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1 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA 
CENTRO SÓCIO-ECONÔMICO 
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA E RELAÇÕES INTERNACIONAIS 
CURSO: CIÊNCIAS ECONÔMICAS 
DISCIPLINA: CNM 7137 - ECONOMIA MATEMÁTICA II 
DOCENTE RESPONSÁVEL: JAYLSON SILVEIRA 
2º SEMESTRE/2011 
 
 NOTAS DE AULA 
 
 Para analisar a evolução (mudanças de estado) de um sistema econômico no transcorrer do 
tempo temos que escolher certas variáveis que sejam consideradas relevantes na caracterização do 
estado desse sistema, bem como componentes, considerados fundamentais, da estrutura que determina 
a evolução do sistema. Suponha que um sistema econômico seja satisfatoriamente descrito por m 
variáveis, as quais são denominadas variáveis de estado, e que estas sejam mensuráveis. Segue que o 
estado de um sistema econômico em um determinado ponto do tempo pode ser descrito pelo seguinte 
vetor de estado: 
 ))(,),(),(()( 21 tytytyty m…= ou 












=
)(
)(
)(
)( 2
1
ty
ty
ty
ty
m
⋮
. (1.1) 
 O conjunto de todos os vetores de estado factíveis, ou seja, a coleção de todos os estados que o 
sistema pode assumir é denominado espaço de estados, denotado por Θ . Dado que as variáveis de 
estado assumem somente valores reais, então mΘ ⊂ ℝ . Na próxima seção estudaremos sistemas 
dinâmicos cujo estado pode ser caracterizado por apenas uma única variável de estado. Cabe salientar, 
que a variável t pode ser considerada uma variável discreta (análise de período) ou uma variável 
contínua (análise contínua). 
 
1. SISTEMAS DINÂMICOS DISCRETOS UNIDIMENSIONAIS 
 Como motivação, seguem alguns exemplos de modelos econômicos dinâmicos nos quais o 
tempo é tratado como uma variável discreta. Neste caso a análise econômica baseia-se, 
fundamentalmente, na análise das soluções de equações de diferenças finitas. 
 
Exemplo 1.1: O modelo da teia de aranha linear (Fonte: Chiang, 2006, cap. 17, seções 17.4 e 17.5; 
Shone, 2001, cap. 2, seções 2.1 a 2.5). 
 
 2 
Exemplo 1.2: Um modelo dinâmico do multiplicador keynesiano (Fonte: Shone, 2001, cap. 3, seções 
3.1 a 3.6). 
 
1.1. EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS FINITAS: DEFINIÇÃO, CLASSIFICAÇÃO, EXISTÊNCIA E UNICIDADE 
DA SOLUÇÃO 
 Dada uma função )(tfy = , sua diferença primeira é definida como: 
 )()( tfttfyt −∆+=∆ ou )()( ttftfyt ∆−−=∆ , (1.2) 
nas quais t∆ é um acréscimo (um número real) à variável independente da função :f →ℝ ℝ . Sem 
perda de generalidade, iremos daqui em diante adotar a forma )()( tfttfyt −∆+=∆ e assumir que 
1=∆t . Dessa maneira, fazendo )(tfyt ≡ , )1(1 +≡+ tfyt ,..., )( ntfy nt +≡+ , as sucessivas 
diferenças primeiras tomam a forma: 
 
1
1 2 1
2 3 2
1
( 1) ( )
( 2) ( 1)
( 3) ( 2)
( ) ( 1) .
t t t
t t t
t t t
t n t n t n
y f t f t y y
y f t f t y y
y f t f t y y
y f t n f t n y y
+
+ + +
+ + +
+ + + +
∆ = + − = −
∆ = + − + = −
∆ = + − + = −
∆ = + − + − = −
⋮
 (1.3) 
 Analogamente, as sucessivas diferenças segundas são definidas como as diferenças entre as 
sucessivas diferenças primeiras, a saber: 
.2)()(
2)()(
2)()(
2)()(
11111
2
2342334232
2
1231223121
2
121121
2
−++++−+++++++++
++++++++++
++++++++++
++++++
+−=−−−=∆−∆=∆
+−=−−−=∆−∆=∆
+−=−−−=∆−∆=∆
+−=−−−=∆−∆=∆
ntntntntntntntntntnt
tttttttttt
tttttttttt
tttttttttt
yyyyyyyyyy
yyyyyyyyyy
yyyyyyyyyy
yyyyyyyyyy
⋮
 (1.4) 
 Enfim, as sucessivas diferenças terceiras são definidas como: 
 
.33
)]()[()]()[(
)()(
33
)]()[()]()[(
)()(
123
1121223
112
2
1
23
123
1121223
112
2
1
23
ntntntnt
ntntntntntntntnt
ntntntntntntnt
tttt
tttttttt
ttttttt
yyyy
yyyyyyyy
yyyyyyy
yyyy
yyyyyyyy
yyyyyyy
+++++++
+++++++++++++++
+++++++++++
+++
+++++++
++++
−+−=
−−−−−−−=
∆−∆−∆−∆=∆−∆=∆
−+−=
−−−−−−−=
∆−∆−∆−∆=∆−∆=∆
⋮ (1.5) 
 3 
 Uma equação funcional é uma equação na qual a incógnita é uma função. Uma equação de 
diferenças é uma equação funcional que envolve pelo menos uma das diferenças …,,, 32 yyy ∆∆∆ , 
definida implicitamente por: 
 0);,...,,,,( 21 =+++ αntttt yyyytG , (1.6) 
na qual zα ∈Ω ⊂ ℝ é um vetor com z parâmetros (constantes paramétricas ou variáveis exógenas). 
Assumiremos no que segue que (1.6) pode ser posta na forma explícita: 
 );,...,,,,( 121 α−++++ = nttttnt yyyytgy , (1.7) 
que é a forma que aparece normalmente em modelos econômicos. 
As equações de diferenças podem ser classificadas segundo: 
(a) O número de argumentos (variáveis independentes) da função-incógnita; 
(b) A mais alta diferença que aparece na equação; 
(c) A linearidade ou não com relação às variáveis ntttt yyyy +++ ,,,, 21 … . 
(d) A presença da variável t como argumento independente da função )(⋅g . 
Uma equação de diferenças é denominada ordinária se a função-incógnita )(⋅= fy apresenta apenas 
uma variável independente ou argumento (geralmente a variável tempo), caso contrário é classificada 
como parcial. Uma equação de diferenças ordinária é dita ser de n-ésima ordem se a mais alta 
diferença que aparece na equação é uma diferença n-ésima, ou equivalentemente, se a maior diferença 
entre os subscritos de tempo/período é n. Uma equação de diferenças é linear se a função )(⋅g em 
(1.7) for linear nas variáveis ntttt yyyy +++ ,,,, 21 … , caso contrário é classificada como não-linear. Uma 
equação de diferenças é autônoma se a variável t não aparece como argumento independente na 
função )(⋅g em (1.7), caso contrário é denominada não-autônoma. 
 
Exercício 1.1: Resolva todas as questões do "Review Exercises" Hoy et al. (2001, p. 762). 
 
Uma solução da equação de diferenças ordinária (1.7) num intervalo I é uma seqüência 
},,,{}{ 2100 …yyyy tt =∞= , ou seja, uma função )(tyt φ= com },2,1,0{ …⊂∈ It , que satisfaz a 
equação funcional (1.7) nesse intervalo. 
 
Exemplo 1.3: Crescimento populacional malthusiano. 
 
 Como vimos no exemplo anterior, uma equação de diferenças pode apresentar infinitas 
soluções. Essas soluções diferenciam-se entre si por uma constante arbitrária. O conjunto formado por 
 4 
essa família de seqüências é denominado solução geral. Se fixarmos um vetor de parâmetros α e uma 
condição de contorno 
00
( , )tt y ∈ ×Θℝ podemos determinar a constante arbitrária tal que a trajetória 
definida pela equação de diferenças passe pelo ponto 
00
( , )tt y ∈ ×Θℝ , obtendo dessa maneira uma 
solução definida, a qual passaremos a denotar por ),,(),,;(
00 00 αφαφ tttt ytytty ≡= para 0tt ≥ . 
Qualquer equação de diferenças ou sistema de equações de diferenças pode ser transformado 
em um sistema de primeira ordem equivalente. Para fixar idéias, considere uma equação de diferenças 
ordinária de segunda ordem autônoma: 
 );,( 11 α−+ = ttt xxgx . (1.8) 
Definindo uma nova variável tt xy =+1 e possível reescrever (1.8) como );,(1 αttt yxgx =+ . Assim, a 
equação de diferenças ordinária de segunda ordem autônoma (1.8) é equivalente ao seguinte sistema: 
 
.
),;,(
1
1
tt
ttt
xy
yxgx
=
=
+
+ α
 (1.9) 
Portanto, as questões de existência e unicidade de soluções podem ser estabelecidas, sem perda de 
generalidade, em sistemas de equações de diferenças ordinárias de primeira ordem. 
 
Teorema 1.1: Sejam mty ∈Θ ⊂ ℝ um vetor de m variáveis de estado, I um conjunto de números 
inteiros consecutivos e zα ∈Ω ⊂ ℝ um vetor com z parâmetros (constantes paramétricas ou variáveis 
exógenas). Suponha que a função Θ→ΩΘ x x : Ig do sistema de equações de diferenças 
ordinárias de primeira ordem );,(1 αtygy tt =+ seja bem-definida. Então, o problema de valor de 
contorno: );,(1 αtygy tt =+ com ),( 00 tyt conhecido tem uma, e somente uma, solução 
),,(
00 αφ ttt yty = para 0tt ≥ num dado subconjunto de I que contém 0t . 
Prova: FUENTE, Angel de la. Mathematical methods and models for economists. Cambridge: 
Cambridge University Press, 2000, p. 399, Theorem 1.1. 
 
1.2. EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS FINITAS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM LINEARES 
Na presente seção, buscando facilitaro processo de estudo, buscaremos manter a mesma 
notação utilizada em Chiang e Wainwright (2006, cap. 17 e 18) que é a bibliografia básica dessa parte 
do curso. 
 
EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM COM COEFICIENTES E TERMO 
CONSTANTES 
Uma equação de diferenças ordinária de primeira ordem linear com coeficiente e termo 
constantes tem a seguinte forma geral: 
 5 
 CyAyA tt =++ 110 , (1.10) 
na qual os coeficientes 00 ≠A , 01 ≠A e C são constantes. A equação (1.10) pode ser normalizada 
multiplicando ambos os lados por 
0
1
A : 
 cayy tt =++1 , (1.11) 
na qual 
0
1
A
A
a = e 
0A
C
c = . 
Quando 0≠c a equação (1.11) é denominada não-homogênea. Quando 0=c a equação 
(1.11) torna-se homogênea. Neste caso ela pode ser expressa como: 
 tt ayy −=+1 , (1.12) 
A solução desta equação de diferenças pode ser obtida recursivamente. Suponha que em 0=t 
seja conhecido 0y . Assim, os subseqüentes valores da variável de estado podem ser obtidos da 
seguinte maneira: 
 
.)(
 
,)(
,)(
,
0
0
3
23
0
2
12
01
yay
yaayy
yaayy
ayy
t
t −=
−=−=
−=−=
−=
⋮
 (1.13) 
Portanto, a equação homogênea, 01 =++ tt ayy , associada à equação não-homogênea (1.11), 
tem uma solução geral, que passaremos a denotar por1 cy , com a seguinte forma geral: 
 
t
c Aby = , (1.14) 
na qual A e b são constantes arbitrárias. Note que para (1.14) ser de fato a solução da equação de 
diferenças homogênea (1.12) a seguinte igualdade deve ser satisfeita: 
 01 =++ tt aAbAb . (1.15) 
Esta é verificada se: 
 
1
 Em Chiang e Wainwright (2006, cap. 17, seção 17.2) denominada função complementar. 
 6 
 
ab
abAb t
−=
=+ 0)(
 (1.16) 
Enfim, a solução geral da equação homogênea associada a (1.11) é: 
 
t
c aAy )(−= , (1.17) 
 Intuitivamente, um estado de equilíbrio da equação não-homogênea (1.11) é uma situação na 
qual o sistema dinâmico subjacente não muda de estado.2 Mais precisamente, *y é um estado de 
equilíbrio (um ponto de equilíbrio ou um ponto fixo) de (1.11) se *1 yyy tt ==+ para todo 0tt ≥ . 
Portanto, um estado de equilíbrio *y é aquele que satisfaz a condição: 
 cayy =+ ** , (1.18) 
o qual é dado por:3 
 py
a
cy ≡
+
=
1
*
, para 1−≠a . (1.19) 
Quando 1−=a a equação de diferenças (1.11) torna-se: 
cyy tt =−+1 . (1.20) 
Lembrando que, por convenção, 1=∆t , deduzimos que a taxa média de variação da variável de 
estado y com relação ao tempo é constante e igual a: 
 c
t
yy
t
y ttt
=
∆
−
=
∆
∆ +1
. (1.21) 
Logo, a variável de estado y é uma função linear da variável tempo t cujo coeficiente angular é c: 
 ctdyt += , (1.22) 
sendo d é uma constante arbitrária. A função (1.22) é de fato uma solução particular de (1.20), pois: 
 cctdcctdctdtcdyy tt =−−++=+−++=−+ )()]1([1 . (1.23) 
 
2
 Ou muda de estado a uma taxa de variação constante como veremos mais adiante. 
3
 Chiang e Wainwright (2006, cap. 17) denomina tal solução de integral particular ou solução particular, e a 
denota por py . 
 7 
Sem perda de generalidade, podemos fazer 0=d em (1.22). Assim, a solução particular da equação 
de diferenças não-homogênea (1.11), quando 1−=a , é dada por: 
 cty p = (1.24) 
 A solução geral da equação de diferenças (1.11) é dada pela soma da função complementar 
(1.17) e da solução particular (1.19) ou (1.24): 
 




−=+−
−≠
+
+−
=+=
.1 para ,)(
,1 para ,
1
)(
actaA
a
a
c
aAyyy
t
t
pct (1.25) 
Deve-se verificar que (1.25) é de fato uma solução de (1.11), o que pode ser feito diretamente 
como segue. Se 1−≠a temos: 
 
[ ]
.
,
11
)()(
,
1
)(
1
)(
,
1
1
1
cc
c
a
c
a
a
c
aaAaA
c
a
c
aAa
a
c
aA
cayy
tt
tt
tt
=
=





+
+
+
+−+−
=



+
+−+



+
+−
=+
+
+
+
 (1.26) 
Se 1−=a temos: 
 
[ ] [ ]
[ ] [ ]
.
,)1()()(
,)()1()(
,
1
1
1
cc
ccttcaaAaA
cctaAtcaA
cayy
tt
tt
tt
=
=−++−+−
=+−+++−
=+
+
+
+
 (1.27) 
A separação da solução geral de uma equação de diferenças linear em duas partes (função 
complementar e solução particular) é geralmente conhecida como princípio da superposição. Para 
demonstrá-lo basta mostrar que (1.25) contém todas as soluções da equação de diferenças não-
homogênea (1.11).4 Se demonstrarmos que a diferença entre qualquer solução da equação não-
homogênea (1.11), denotada por tφ , e a solução particular py é de fato a solução complementar cy , 
ou seja, se mostrarmos que cpt yy =−φ , então poderemos concluir que pct yy +=φ e, 
 
4
 Argumento baseado em Azariadis, C. Intertemporal macroeconomics. Cambridge: Blackwell, 1993, p. 127-
128. 
 8 
conseqüentemente, que tφ tem a forma de (1.25). Desde que, por hipótese, tφ é uma solução de (1.11) 
e py em (1.19) ou (1.24) é também um solução de (1.11) podemos escrever: 
 ca tt =++ φφ 1 , (1.28) 
 cayy pp =+ . (1.29) 
Subtraindo (1.29) de (1.28) obtemos: 
 0)(1 =−+−+ ptpt yay φφ . (1.30) 
Note que está última equação de diferenças é homogênea na variável ptt yy −≡ φ~ , que é o desvio 
com relação ao equilíbrio. Com base em (1.17) sabemos que a solução de (1.30) é: 
 
t
ptt aAyy )(~ −=−≡ φ . (1.31) 
Adicionando py a ambos os lados obtemos (1.25), o que demonstra o princípio da superposição. 
 Fixando uma condição de contorno ),(
00 tyt podemos determinar a constante arbitrária A na 
solução geral em (1.25) tal que a trajetória definida pela equação de diferenças (1.11) passe pelo ponto 
),(
00 tyt , obtendo dessa maneira uma solução definida. Isto pode ser feito substituindo 0t e 0y na 
solução geral (1.25): 
 p
t
t yaAy +−= 00 )( , (1.32) 
da qual resulta: 
 
0
0
))(( tpt ayyA −−−= . (1.33) 
Substituindo (1.33) em (1.25) obtemos finalmente a solução definida de uma equação de diferenças de 
primeira ordem linear com coeficiente e termo constantes: 
 p
tt
ptt yayyy +−−=
− 0
0
))(( (1.34) 
Da discussão anterior podemos estabelecer o seguinte algoritmo para obter a solução geral e a 
solução definida de uma equação de diferenças de primeira ordem linear com coeficiente e termo 
constantes: 
 
 
 
1) Determine o estado de equilíbrio (solução particular); 
2) Determine a solução da equação homogênea associada à equação não-homogênea (função complementar); 
3) Determine a solução geral somando as soluções obtidas nos passos anteriores; 
4) Determine a solução definida com base na solução geral e na condição de contorno. 
Obs.: Naturalmente, os dois primeiros passos podem ser efetuados em qualquer ordem. 
 9 
 
 
 Uma questão relevante na análise dinâmica é saber se o sistema dinâmico em questão ao ser 
deslocado de um estado de equilíbrio retorna (ou mantém-se próximo) a tal estado. Um ponto de 
equilíbrio é estável (neutralmente estável ou estável-Lyapunov) quando as trajetórias (soluções) que 
iniciam na sua vizinhança permanecem próximas a ele. Quando as trajetórias não só permanecem 
próximas, mas também tendem ao ponto de equilíbrio, esse é classificado como assintoticamente 
estável. Quando as trajetórias se distanciam progressivamente do ponto de equilíbrio, ele é 
denominado instável. Analisando a solução geral (1.34) vemos que a estabilidade do estado de 
equilíbrio py associado à equação de diferenças (1.11) depende diretamente da função complementar 
cy , mais precisamente do coeficiente ab −= . Na Figura 1 encontram-se ilustrados os 
comportamentos dinâmicos associadosà cada valor do coeficiente ab −= . 
 
Exemplo 1.1 (continuação): Solução geral e definida do modelo da teia de aranha linear. 
 
Exemplo 1.2 (continuação): Análise do processo do multiplicador. 
 
Exercício 1.2: Resolva todas as questões do "Exercício 17.2", "Exercício 17.3", "Exercício 17.4" e 
"Exercício 17.5" de Chiang e Wainwright (2006). Resolva todas as questões dos "Exercises" propostos 
por Hoy et al. (2001, p. 778-780). 
 
Exercício 1.3: Lista de reforço. 
 
 10
 
Figura 1. Soluções de uma equação de diferenças de primeira ordem linear autônoma 
 Fonte: Chiang e Wainwright (2006, p. 532) 
 11
EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM COM COEFICIENTES E TERMO 
CONSTANTES5 
 
(a) FORMA GERAL: 
Uma equação de diferenças ordinária linear de segunda ordem com coeficientes e termo 
constantes tem a seguinte forma geral: 
 CyAyAyA ttt =++ ++ 21120 , (1.35) 
com pelo menos 00 ≠A e 02 ≠A no intervalo de tempo considerado relevante. A equação (1.35) 
pode ser normalizada multiplicando ambos os lados da equação anterior por 
0
1
A : 
 cyayay ttt =++ ++ 2112 , (1.36) 
na qual 
0
1
1 A
A
a = , 
0
2
2 A
A
a = e 
0A
C
c = . 
Seguem alguns modelos econômicos cujas equações que definem a transição de estado são 
equações de diferenças da forma (1.36). 
 
Exemplo 1.4: O modelo dinâmico linear de equilíbrio parcial de mercado com expectativas 
extrapolativas (Hoy et al., 2001, chapter 20 e Goodwin, 1947 apud Shone, 2001, section 
2.5). 
 
Exemplo 1.5: Um modelo de duopólio de Cournot (Hoy et al., 2001, chapter 20). 
 
Exemplo 1.6: O modelo de interação do multiplicador e do acelerador de Samuelson (Chiang e 
Wainwright, 2006, seção 18.2). 
 
(b) EXISTÊNCIA E UNICIDADE DA SOLUÇÃO DEFINIDA: 
 Suponha que nos períodos 0t e 10 1 tt ≡+ sejam conhecidos os respectivos valores da 
variável de estado 
0t
y e 
1t
y . Para demonstrar a existência e unicidade da solução (definida) da 
equação de diferenças (1.36) podemos utilizar o Teorema 1.1. Para isso basta reescrever (1.36) da 
seguinte maneira: 
 cyayay ttt +−−= ++ 2112 , (1.36-a) 
ou mais convenientemente, como: 
 
5
 Consulte Chiang e Wainwright (2006, seção 18.1) e Gandolfo (1996, chapter 5). 
 12
 cyayay ttt +−−= −+ 1211 (1.36-b) 
Esta última equação de diferenças pode ser transformada num sistema de equações de diferenças 
ordinária linear de primeira ordem. Definindo uma nova variável tt yz =+1 e a introduzindo em (1.36-
b) resulta: 
 
.
,
1
211
tt
ttt
yz
czayay
=
+−−=
+
+
 (1.37) 
Este sistema de equações de diferenças é um caso especial do sistema (1.9). Portanto, pelo Teorema 
1.1, dada a condição de contorno ),(
00 tyt e ),( 11 tyt fica garantida a existência e unicidade da 
solução da equação de diferenças (1.36). 
 
 
(c) ESTRUTURA GERAL DA SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS ORDINÁRIAS LINEARES DE 
SEGUNDA ORDEM HOMOGÊNEAS COM COEFICIENTES CONSTANTES: 
 
Por enquanto, vamos admitir que existem duas soluções, denotadas por6 1tφ e 2tφ , para a 
equação de diferenças linear homogênea: 
02112 =++ ++ ttt yayay , (1.38) 
associada à equação de diferenças não-homogênea (1.36). A questão prática de como encontrar as 
soluções 1tφ e 2tφ será tratada posteriormente. Agora, nosso objetivo é mostrar que todas as soluções 
da equação homogênea (1.38) é uma combinação linear 2211 ttt cc φφφ +≡ das soluções linearmente 
independentes 1tφ e 2tφ . 
Em primeiro lugar, vamos demonstrar que conhecidas as soluções 1tφ e 2tφ podemos gerar 
infinitas soluções da equação de diferenças homogênea (1.38) a partir de uma combinação linear de 
1
tφ e 2tφ : 
 
Teorema 1.2: Se 1tφ e 2tφ são soluções da equação homogênea (1.38), 
02112 =++ ++ ttt yayay , então a combinação linear 
2
2
1
1 ttt cc φφφ +≡ é uma solução de 
(1.38) para quaisquer valores de 1c e 2c . 
 
6
 Naturalmente, na expressão itφ o sobrescrito i serve para indicar que se trata da i-ésima solução. 
 13
Prova: Introduzindo a combinação linear 22
1
1 ttt cc φφφ += na equação de diferenças (1.38) o 
resultado é: 
][][
][][
][][][
2
2
2
11
2
22
1
2
1
11
1
21
2
22
2
121
2
22
1
12
1
111
1
21
2
2
1
12
2
12
1
111
2
22
1
212112
tttttt
tttttt
ttttttttt
aacaac
cacaccacac
ccaccaccaa
φφφφφφ
φφφφφφ
φφφφφφφφφ
+++++=
+++++=
+++++=++
++++
++++
++++++
 
Como, por hipótese, 1tφ e 2tφ são soluções da equação (1.38), segue que: 
 
.0
,0
2
2
2
11
2
2
1
2
1
11
1
2
=++
=++
++
++
ttt
ttt
aa
aa
φφφ
φφφ
 
Logo, 
 02112 =++ ++ ttt aa φφφ .  
 
 O próximo ponto é saber se todas as soluções da equação de diferenças homogênea (1.38) são, 
de fato, da forma 22
1
1 ttt cc φφφ += . Para responder a tal questão, primeiramente podemos estabelecer 
sob que condições pode-se determinar univocamente os valores das constantes 1c e 2c de maneira que 
exista uma, e somente uma, solução da equação de diferenças, dada uma condição de contorno. O 
teorema que segue responde esta questão: 
 
Teorema 1.3: Sejam 1tφ e 2tφ soluções da equação (1.38), 02112 =++ ++ ttt yayay . Suponha 
que 
00 tt
y=φ e 
11 tt
y=φ , os valores que a variável de estado assume nos períodos 0t e 1t , 
sejam conhecidos. Se o determinante de Casorati , 
 12
21
11
00
10
),(
tt
tt
tt yyC φφ
φφ
≡ 
não é nulo, então existe valores para as constantes 1c e 2c para os quais 
2
2
1
1 ttt cc φφφ +≡ 
satisfaz a equação de diferenças (1.38) e a condição de contorno ),(
00 tyt e ),( 11 tyt . 
Prova: Desde que, por hipótese, 1tφ e 2tφ são soluções da equação (1.38), então nos pontos 0t e 
1t podemos estabelecer as seguintes igualdades: 
 
.
,
2
2
1
1
2
2
1
1
111
000
ttt
ttt
cc
cc
φφφ
φφφ
+=
+=
 
Estas equações formam um sistema linear nas variáveis 1c e 2c que pode ser posto na forma 
matricial: 
 14
 





=









1
0
11
00
2
1
21
21
t
t
tt
tt
c
c
φ
φ
φφ
φφ
 . 
Pela regra de Cramer temos: 
 
21
21
2
2
1
11
00
11
00
tt
tt
tt
tt
c
φφ
φφ
φφ
φφ
= e 
21
21
1
1
2
11
00
11
00
tt
tt
tt
tt
c
φφ
φφ
φφ
φφ
= . 
Portanto, 1c e 2c são determinados se, e somente se, 0),( 10 ≠tt yyC .  
 
 Finalmente, estamos em condições de responder a questão: Todas as soluções da equação de 
diferenças homogênea (1.38) são da forma 2211 ttt cc φφφ +≡ ? O teorema que segue responde essa 
pergunta afirmativamente. 
 
Teorema 1.4: Se 1tφ e 2tφ são soluções da equação (1.38), 02112 =++ ++ ttt yayay , e 
0),(
10
≠tt yyC , então a família de soluções 
2
2
1
1 ttt cc φφφ +≡ com constantes arbitrárias 1c e 
2c inclui todas as soluções da equação de diferenças homogênea (1.38). 
Prova: Seja tψ uma solução qualquer da equação de diferenças (1.38). Queremos demonstrar 
que tψ pertence ao conjunto das soluções geradas pela combinação linear 2211 ttt cc φφφ +≡ , 
ou seja, que existe uma escolha de 1c e 2c tal que tt φψ = . Sejam 0t e 1t a seqüência de 
períodos na qual 0),(
10
≠tt yyC . Faça 00 tt y=ψ e 11 tt y=ψ . Assim, a função tψ é solução 
do seguinte problema de valor de contorno: 02112 =++ ++ ttt yayay , com ),( 10 tt yy 
conhecido. Como 0),(
10
≠tt yyC é possível, pelo Teorema 1.3, escolher os valores das 
constantes 1c e 2c tal que 
2
2
1
1 ttt cc φφφ +≡ também é solução do problema de valor de 
contorno anterior. Logo, como há uma única solução deste problema (Teorema 1.1), devemos 
ter tt φψ = .  
 
Vamos agora tratar da questão prática da determinação da forma da solução 22
1
1 ttt cc φφφ +≡ 
da equação de diferenças homogênea (1.38). Por analogia com as equações de diferenças de primeira 
ordem homogênea com coeficiente e termo constantes, tentaremos como solução da equação (1.38) a 
função tt Aby = , na qual A e b são constantes arbitrárias. Para quet
t Aby = seja solução de (1.38) 
devemos ter: 
 15
 02
1
1
2
=++ ++ ttt AbaAbaAb , (1.39) 
que é verificada se: 
 00)( 212212 =++⇔=++ ababababAb t . 
Descartando a solução trivial 0=ty , ou seja, supondo 0≠A e 0≠b , então devemos impor que: 
021
2
=++ abab (1.40) 
A equação (1.40) é chamada equação característica, cujas raízes 1b e 2b são dadas por: 
 
2
4)(
,
2
2
11
21
aaa
bb
−±−
= . (1.41) 
A depender do sinal do discriminante 2
2
1 4)( aa − as raízes 1b e 2b podem ser reais e distintas, reais 
e iguais ou complexas conjugadas. Adiante analisaremos cada um desses casos. 
 
Caso 1: 04)( 221 >− aa . 
 Neste caso as raízes são: 
 
2
4)( 2211
1
aaa
b
−+−
= e 
2
4)( 2211
2
aaa
b
−−−
= . (1.42) 
Conseqüentemente, temos duas soluções para a equação de diferenças homogênea (1.38), a saber: 
 
t
t bAy )( 11= e tt bAy )( 22= . (1.43) 
De fato, pelo Teorema 1.2, a combinação linear dessas duas funções é também uma solução da 
equação homogênea (1.38): 
 
tt
t bAbAy )()( 2211 += (1.44) 
Com efeito, lembrando que 122
1
111 )()( +++ += ttt bAbAy e 2222112 )()( +++ += ttt bAbAy , temos: 
[ ] [ ]tttttt
tttttt
ttt
bAabAabAbAabAabA
bAbAabAbAabAbAyayay
)()()()()()(
])()([])()([])()([
222
1
221
2
22112
1
111
2
11
22112
1
22
1
111
2
22
2
112112
+++++=
+++++=++
++++
++++
++
 
(1.45) 
desde tt bAy )( 11= e tt bAy )( 22= são soluções da equação homogênea (1.38), então: 
 0)()()( 1121111211 =++ ++ ttt bAabAabA e 0)()()( 2221221222 =++ ++ ttt bAabAabA 
 16
Logo a expressão algébrica em (1.45) é nula e, portanto, a função (1.44) é a solução geral da equação 
homogênea (1.38) quando a equação característica apresenta raízes reais e distintas. 
 
Caso 2: 04)( 221 =− aa . 
 Neste caso as raízes são: 
 
2
1
21
abb −== . (1.46) 
Dessa forma, temos apenas uma solução para a equação de diferenças homogênea (1.38), a saber: 
 
t
t bAy )( 11= . (1.47) 
Para gerar todas as soluções possíveis (o espaço-solução) devemos obter mais uma solução 
linearmente independente. Esta função é: 
 
t
t btAy )( 12= . (1.48) 
Substituindo (1.48) na equação de diferenças homogênea (1.38): 
 [ ]tabtabtbA
btAabtAabtA
t
ttt
211
2
112
122
1
121
2
12
)1())(2()(
)())(1())(2(
++++=
++++ ++
 
Introduzindo (1.46) nesta última: 
 
















+





−+





−





−=














−+








+





−+





−





−=








+





−++





−+





−
2
1
1
2
11
2
2
1
2
1
2
1
1
2
11
2
2
1
1
2
11
2
222
2
)(
2
)(
222
2
)1(
2
)2(
2
a
a
a
a
t
aA
aa
a
a
a
a
t
aA
ta
a
ta
a
t
aA
t
t
t
 
desde que 04)( 221 =− aa , então 4
)( 21
2
a
a = . Logo, 
 0
4
)(
2222
2
11
1
2
1
2
1
1
2
1
=+





−+





−=+





−+





−
aa
a
a
a
a
a
a
. 
Portanto, a função (1.48) é de fato uma solução da equação de diferenças homogênea (1.38). 
 A solução geral da equação de diferenças homogênea (1.38) é dada pela combinação linear das 
funções (1.47) e (1.48): 
 17
 
ttt
t btAAbtAbAy ))(()()( 1211211 +=+= (1.49) 
Com efeito, lembrando que ( ) 11211 )]1([ ++ ++= tt btAAy e ( ) 21212 )]2([ ++ ++= tt btAAy , temos: 
{ }
{ } { }tttttt
ttt
ttt
btAabtAabtAbAabAabA
btAAabtAAabtAAyayay
)())(1())(2()()()(
)]([))](1([))](2([
122
1
121
2
12112
1
111
2
11
1212
1
1211
2
1212112
+++++++=
+++++++=++
++++
++
++
(1.50) 
desde tt bAy )( 11= e tt btAy )( 12= são soluções da equação homogênea (1.38), então: 
 0)()()( 1121111211 =++ ++ ttt bAabAabA e 
0)())(1())(2( 1221121212 =++++ ++ ttt btAabtAabtA . 
Logo, a expressão algébrica (1.50) é nula e, conseqüentemente, a função (1.49) é a solução geral da 
equação homogênea (1.38) quando a equação característica apresenta raízes reais iguais. 
 
Caso 3: 04)( 221 <− aa . 
 Neste caso as raízes são números complexos conjugados: 
 vihb +=1 e vihb −=2 , (1.51) 
na qual 
2
1ah −= , 
2
)(4 212 aa
v
−
= e 1−=i .Dessa forma, temos duas soluções para a equação 
homogênea (1.38), a saber: 
 
t
t vihAy )(3 += e tt vihAy )(4 −= , (1.52) 
na qual 3A e 4A são constantes arbitrárias. Pelo Teorema 1.2, a combinação linear dessas duas 
funções é também uma solução da equação homogênea (1.38): 
 
tt
t vihAvihAy )()( 43 −++= (1.53) 
Com efeito, lembrando que 14
1
31 )()( +++ −++= ttt vihAvihAy e 
2
4
2
32 )()( +++ −++= ttt vihAvihAy , temos: 
 
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]ttt
ttt
tt
tttt
ttt
vihAavihAavihA
vihAavihAavihA
vihAvihAa
vihAvihAavihAvihAyayay
)()()(
)()()(
)()(
)()()()(
42
1
41
2
4
32
1
31
2
3
432
1
4
1
31
2
4
2
32112
−+−+−+
+++++=
−+++
−+++−++=++
++
++
++++
++
 (1.54) 
desde tt vihAy )(3 += e tt vihAy )(4 −= são soluções da equação homogênea (1.38), então: 
 18
 0)()()( 3213123 =+++++ ++ ttt vihAavihAavihA e 
0)()()( 4214124 =−+−+− ++ ttt vihAavihAavihA . 
Logo, a expressão algébrica (1.54) é nula e, sendo assim, a função (1.53) é, de fato, a solução geral da 
equação homogênea (1.38) quando a equação característica apresenta raízes complexas. 
 Há uma maneira mais elucidativa, baseada no Teorema de De Moivre, de expressar a solução 
(1.53). O citado teorema pode ser assim enunciado: 
Teorema 1.5: (De Moivre) A igualdade titi t θθθθ sencos)sen(cos ±=± é verificada para 
todo ,...}2,1,0{∈t . 
Prova: Gandolfo (1996, p. 56) A prova é por indução. Para 1=t temos 
θθθθ sencos)sen(cos 1 ii ±=± . Suponha que a igualdade em questão seja válida para t-1, 
ou seja, 
 )1(sen)1(cos)sen(cos 1 −±−=± − titi t θθθθ . 
Devemos demonstrar que ela é válida para t, isto é, que 
titi t θθθθ sencos)sen(cos ±=± . 
Note que 
.)sen)(cossen(cos)sen(cos 1−±±=± tt iii θθθθθθ 
Usando a hipótese de que a igualdade vale para t-1 segue que: 
].cos)1(sen)1(cos[sen)]1(sensen)1(cos[cos
),1(sensen)1(cossencos)1(sen)1(coscos
),1(sensen)1(cossencos)1(sen)1(coscos
)],1(sen)1()[cossen(cos)sen(cos
2
+−+−±−−−=
−−−±−±−=
−+−±−±−=
−±−±=±
θθθθθθθθ
θθθθθθθθ
θθθθθθθθ
θθθθθθ
ttitt
ttitit
tititit
titii t
Sabemos da trignometria elementar que bababa sensencoscos)cos( −=+ e 
abbaba cossencossen)sen( +=+ . Logo, a expressão anterior pode ser transformada como 
segue: 
 
.sencos
)],1(sen[)]1(cos[)sen(cos
tit
titi t
θθ
θθθθθθ
±=
−+±−+=±
 
Isto completa a prova. † 
 
 Antes de aplicarmos este teorema é necessário expressar a solução (1.53) em coordenadas 
polares. Seja 22 vhR += o módulo/valor absoluto dos números complexos conjugados vih ± . 
Seja θ o ângulo formado pelo vetor ),( vh e o eixo das abscissas do diagrama de Argand, medido no 
sentido anti-horário. Existe uma relação biunívoca entre as coordenadas ),( vh e as coordenadas 
),( θR dada pela transformação de coordenadas a seguir: 
 19
 θcosRh = e θsenRv = . (1.55) 
Com base em (1.55) podemos reescrever a solução (1.53) como segue: 
 
tt
t iRRAiRRAy ])sen(cos[])sen(cos[ 43 θθθθ −++= , 
])sen(cos)sen(cos[ 43 tttt iAiARy θθθθ −++= . (1.53-a) 
Utilizando o Teorema de De Moivre a solução (1.53-a) torna-se: 
 )]sen(cos)sen(cos[ 43 titAtitARy tt θθθθ −++= . (1.53-b) 
Por definição, 
2
1ah −= e 
2
)(4 212 aa
v
−
= , logo 2
22 avhR =+= e, portanto, (1.57) 
transforma-se em: 
 )]sen(cos)sen(cos[)( 432 titAtitAay tt θθθθ −++= , 
 ]sen)(cos)[()( 43432 tiAAtAAay tt θθ −++= . (1.53-c) 
Queremos que ty assuma valores reais. Se fizermos iA βα +=3 , sendo α e β duas constantes reais, 
e tomarmos 4A como seu conjugado, ou seja, iA βα −=4 , então 
143 2 AiiAA ≡=−++=+ αβαβα e 243 2)]([)( AiiiiAA ≡−=−−+=− ββαβα . Introduzindo 
estas expressões em (1.53-c) resulta: 
 
]sencos[)( 212 tAtAay tt θθ += . (1.53-d) 
 Enfim, podemos concluir que a solução da equação de diferenças linear homogênea (1.38) 
pode ser genericamenterepresentada como segue: 
 





<−+
=−+
>−+
=
,04)( se ],sencos[)(
 ,04)( se ,))((
, 04)( se ,)()(
2
2
1212
2
2
1121
2
2
12211
aatAtAa
aabtAA
aabAbA
y
t
t
tt
t
θθ
 (1.56) 
na qual: 
2
4)(
,
2
2
11
21
aaa
bb
−±−
= , 
2
1ah −= , 
2
)(4 212 aa
v
−
= , 2aR= e 
)/(sen )/cos( RvarcRharc ==θ . 
 
 
 20
(d) ESTRUTURA GERAL DA SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS ORDINÁRIAS LINEARES DE 
SEGUNDA ORDEM NÃO-HOMOGÊNEAS COM COEFICIENTES E TERMO CONSTANTES: 
 
O estado *y é um estado de equilíbrio de (1.36) se *12 yyyy ttt === ++ para todo 0tt ≥ . 
Portanto, um estado de equilíbrio *y é aquele que satisfaz a condição: 
 cyayay =++ *2
*
1
*
, (1.57) 
o qual é dado por:7 
 py
aa
cy ≡
++
=
21
*
1
, para 121 −≠+ aa . (1.58) 
Quando 121 −=+ aa a equação de diferenças não-homogênea (1.36) torna-se: 
,)()(
,)1(
1212
2122
cyyayy
cyayay
tttt
ttt
=−−−
=++−
+++
++
 
 .21 cyay tt =∆−∆ + (1.59) 
A equação de diferenças (1.59) é uma equação linear de primeira ordem na variável ty∆ . Nós 
sabemos da subseção 1.1.2 que a solução particular dessa equação é: 
 ,1 para ,
1 22
1 ≠
−
=−=∆ + a
a
cyyy ttt (1.60) 
 .1 para , 21 ==−=∆ + actyyy ttt (1.61) 
A equação (1.60) é uma equação de diferenças linear de primeira ordem com coeficiente e 
termo constantes, cuja solução particular já é conhecida: 
 pt yt
a
cy ≡
−
=
21
, para 12 ≠a , (1.62) 
ou, lembrando que )1( 12 aa +−= : 
 pt yt
a
cy ≡
+
=
12
, para 21 −≠a . (1.62-a) 
 
7
 Chiang e Wainwright (2006, cap. 18) denomina tal solução de integral particular ou solução particular, e a 
denota por py . 
 21
Na equação de diferenças (1.61) o termo é variável (uma função do tempo). Lembrando que, 
por convenção, 1=∆t , inferimos que a taxa de variação da variável de estado y com relação ao tempo 
é uma função linear do tempo: 
 ct
t
yy
t
y ttt
=
∆
−
=
∆
∆ +1
. (1.61) 
Logo, a variável de estado y é uma função quadrática da variável t: 
 
2ktyt = , (1.62) 
na qual k é uma constante arbitrária. Note que a equação de diferenças (1.36) quando 01 21 =++ aa 
e 12 =a torna-se cyyy ttt =+− ++ 12 2 . A função (1.62) é de fato a solução particular de 
cyyy ttt =+− ++ 12 2 se: 
 
,)12(2)44(
,)1(2)2(
,2
222
222
12
cktttkttk
ckttktk
cyyy ttt
=+++−++
=++−+
=+− ++
 
 
2
ck = . (1.63) 
Enfim, a solução particular quando 01 21 =++ aa e 12 =a é: 
 pt yt
cy ≡= 2
2
. (1.62-a) 
Resumindo a solução particular da equação de diferenças não-homogênea (1.36) é: 
 









−===++
≠=++
+
=
−
≠++
++
=
)2ou ( 1 e 01 se ,
2
1 e 01 se ,
21
01 se ,
1
1221
2
221
12
21
21
aaaat
c
aaat
a
c
t
a
c
aa
aa
c
y p (1.64) 
 
 
(e) O PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO PARA EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS DE SEGUNDA ORDEM: 
 
Como no caso da solução da equação de diferenças ordinária linear de 1ª com coeficiente e 
termo constantes, a solução da equação de diferenças ordinária linear de 2ª ordem com coeficientes e 
termo constantes (1.36) pode ser decomposta em duas partes (solução particular e função 
complementar). Se demonstrarmos que a diferença entre qualquer solução da equação não-homogênea 
 22
(1.36), denotada por tφ , e a solução particular py é de fato a solução complementar cy , ou seja, se 
mostrarmos que cpt yy =−φ , então poderemos concluir que pct yy +=φ . 
 
Teorema 1.6: Qualquer solução tφ da equação de diferenças ordinária de 2ª ordem (1.36), 
cyayay ttt =++ ++ 2112 , pode ser expressa como cpt yy +=φ . 
Prova: Desde que, por hipótese, tφ é uma solução de (1.36) e py em (1.64) é também uma 
solução de (1.36) podemos escrever: 
 caa ttt =++ ++ φφφ 2112 , 
 cyayay ppp =++ 21 . 
Subtraindo a segunda equação da primeira resulta: 
 0)()()( 2112 =−+−+− ++ ptptpt yayay φφφ . 
Note que está última equação de diferenças de segunda ordem é homogênea na variável 
ptt yy −≡ φ~ , que é o desvio com relação ao equilíbrio. Por (1.56) sabemos que sua solução é 
dada por: 
 cptt yyy =−≡ φ~ , 
sendo: 
 
( )



<−+
=−+
>−+
≡
.04)( se ],sencos[
 ,04)( se ,))((
, 04)( se ,)()(
2
2
1212
2
2
1121
2
2
12211
aatAtAa
aabtAA
aabAbA
y
t
t
tt
c
θθ
 
Logo, cpt yy +=φ .  
 
Exemplo 1.4 (continuação): O modelo dinâmico linear de equilíbrio parcial de mercado com 
expectativas extrapolativas (Goodwin, 1947 apud Shone, 2001, section 2.5). 
 
Exercício 1.4: Resolva todas as questões do "Exercício 18.1" de Chiang e Wainwright (2006) e 
questões selecionadas da ANPEC. 
 
Exemplo 1.5 (continuação): Um modelo de duopólio de Cournot (Hoy et al., 2001, chapter 20). 
 
Exemplo 1.6 (continuação): O modelo de interação do multiplicador e do acelerador de Samuelson 
(Chiang, 1982, seção 18.2). 
 
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Exercício 1.5: Resolva todas as questões do "Exercício 18.2" de Chiang e Wainwright (2006) e 
questões selecionadas da ANPEC. 
 
Exercício 1.6: Resolva todas as questões dos "Exercises" propostos por Hoy et al. (2001, p. 836-837).