Gieck Manual de formulas tecnicas

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<p>G K MANUAL DE F órmulas Técnicas V NOVA TRADUÇÃO Edição Revista e ampliada</p><p>ANDERSON Manual de fórmulas técnicas de K. + R. Gieck nova tradução edição revista e ampliada 1998 no total de 76 edições HEMUS</p><p>Tradução de: Carlos Antonio Lauand Civil-Eletricista) Revisão de: Equipe Técnica Hemus Título do original alemão: TECHNISCHE FORMELSAMMLUNG edição alemã edição em língua portuguesa (c) Copyright 1990 by Gieck Verlag, D-8034 Germering West Germany Nenhuma parte deste livro poderá ser reproduzida, sejam quais forem os meios empregados, sem a permissão por escrito da Editora Todos os direitos adquiridos para a língua portuguesa e reservada a propriedade literária desta publicação pela HEMUS EDITORA LIMITADA RUA DA GLÓRIA, 312 - LIBERDADE - CEP 01510-000 - Cx. POSTAL 9686 FONE (011) 279-9911 - FAX (011) 279-9721 * SÃO PAULO - BRASIL e-mail: hemus@sanet.com.br</p><p>Prefácio Este formulário contém as fórmulas matemáticas e técnicas mais importantes, numa apresentação clara, concisa e ordena- da. Nele, o engenheiro encontrará rapidamente as fórmulas fundamentais de sua especialidade e saberá utilizar aquelas que lhe são menos familiares, graças às explicações sucintas. Cada assunto está designado por uma letra maiúscula, confor- me a lista no do livro. A seqüência das páginas tratando de um mesmo assunto está indicada por um número acompanhado da letra característica. A numeração das fórmu- las é contínua para um mesmo assunto e é representada pela letra minúscula correspondente, que permite a localização fácil das fórmulas utilizadas nos cálculos. Prefácio à edição ampliada Na nova seção J, foi incluída uma matéria também nova sobre EQUAÇÕES DIFERENCIAIS; o CÁLCULO INTEGRAL é trata- do na seção ampliada. A seção GEOMETRIA ANALÍTICA foi aumentada com o Cál- culo Vetorial, a seção ELETROTÉCNICA foi ampliada com Rede e Instalação e a seção MÁQUINAS FERRAMENTAS foi totalmente remodelada. As seções TERMODINÂMICA e ELEMENTOS DE MÁQUINAS juntamente com suas respectivas TABELAS foram revisadas e atualizadas. Meus agradecimentos aos senhores professores J. Dräger, W. Kaspar-Sickermann e B. Maring que na atualiza- ção desta obra. K. Gieck</p><p>Unidades A Áreas B Volumes C Aritmética D Funções circulares E Geometria analítica F Estatística G Cálculo diferencial H Cálculo integral I Equações diferenciais J Estática K Cinemática L Dinâmica M Hidráulica N Calor Resistência dos materiais P Elementos de máquinas Q Engenharia de produção R Eletrotécnica S Física ondulatória T Química U Tabelas Z</p><p>EXPLICAÇÕES para a utilização deste manual Conteúdo de uma fórmula Definição das grandezas: número e unidade O número que exprime a grandeza é a relação entre esta e a unidade escolhida. O número é pois o algarismo pelo qual é preciso multiplicar a unidade para obter a grandeza. grandeza = número X unidade O número torna-se n vezes menor se se escolhe uma grandeza n vezes maior. produto do número pela unidade é constante; a grandeza não varia quando se muda a unidade; por exemplo: mm = O valor da grandeza é o produto do número pela unidade; por exemplo: = 3 mA; 12 mm. Recomenda-se diferenciar bem o símbolo da grandeza do símbolo da unidade. Somente o símbolo da grandeza a caracteriza. O número e a unidade exprimem unicamente o valor da grandeza. A unidade não deve conter indicações especiais referentes à grandeza. Exemplos: errado correto p = 2,7 2,7 bar U = 220 = 220 V Unidades: ata, = BW = AWdg, Exceções: °C, Var, rad.</p><p>As diferentes espécies de equação Equações de grandezas Os símbolos de grandezas representam as grandezas nas fórmulas. Estas são independentes da escolha das unidades. Elas traduzem fenômenos físicos. Os símbolos são substituídos pelo produto de um número por uma unidade quando se calcula numericamente a gran- deza. Neste caso, pode-se introduzir como se quiser os valores e as unidades; por exemplo, fórmula 23: 2.80 = m m S = 20 s. Equações de grandezas com unidades Numa equação de grandezas com unidades, os símbolos das gran- dezas são divididos pela unidade correspondente: por exemplo, fórmula S 73: Fm N 40 = = 162 ou: Fm 40 N = 40 N = 162 N. Nestas equações, as relações entre as grandezas e as unidades correspondentes indicam o valor numérico (número) da grandeza pela unidade escolhida. Estas fórmulas são muitas vezes utilizadas nos cálculos com uso de tabelas. Equações de unidades As equações de unidades exprimem relações entre as unidades. Elas contêm somente unidades e fatores numéricos, por exemplo: 1 m = 100 cm; 1 N = 1 kg Elas podem ser escritas, com vantagem, colocando-se a unidade à esquerda do sinal de igualdade; por exemplo: cm = ; Uma grandeza ou uma parte da equação pode sempre ser multipli- cada por 1 sem mudar seu valor, número 1 representando um quociente de unidades (ver a página anterior).</p><p>Este cálculo permite exprimir uma grandeza em uma outra unidade. Por exemplo: fórmula m 1: F=ma cm 1 cm 1 m F = = 4 = 1 kg m 100 cm Equações de valores numéricos Neste caso, os símbolos indicam valores numéricos. Este formulário não contém tais equações, a fim de evitar as confusões. Grandezas e unidades de base do Sistema Internacional de Unidades Grandezas de base Unidades de base Símbolo Símbolo Nome (em tipo Nome (em tipo itálico) normal) comprimento metro m massa m quilograma kg tempo t segundo S corrente elétrica I ampère A temperatura absoluta T kelvin K quant. matéria n mol mol int. luminosa Iv candela cd Exemplos de unidades Nas tabelas, as palavras "exemplos de unidades" são abreviadas para eu. As unidades indicadas neste formulário são dadas como exemplos. A primeira unidade é a do Sistema O leitor deve utilizar, de preferência, estas unidades, o que simplifica os cálculos. As outras unidades indicadas são, tanto múltiplos decimais das unida- des SI, como unidades prescritas, toleradas ou não pela lei, mas ainda utilizadas [unidades entre colchetes]. Lembramos ao leitor que todas as fórmulas deste manual são equa- ções de grandezas nas quais é necessário introduzir unidades ade- quadas para calcular o valor da grandeza.</p><p>Símbolos utilizados (em grande parte conforme DIN 1304) Espaço e Tempo Mecânica a, B, ângulos m massa ângulo sólido e densidade comprimento volume específico b largura impulso h altura J mom. de inércia de massa r, raio, raio vetor F força G peso próprio d, diâmetro M momento fletor S espaço percorrido MR momento de atrito S espessura T momento de torção u, circunferência p pressão (força pela área) A área, seção transversal o tensão normal de tração ou Am área lateral de um corpo de compressão T tensão tangencial ou de A área externa de um corpo cisalhamento E alongamento específico V volume deslizamento t tempo E módulo de elasticidade velocidade angular G módulo de cisalhamento a aceleração angular I momento de inércia velocidade de área a aceleração W momento resistente g aceleração da gravidade H momento estático de uma Fenômenos periódicos superfície coeficiente de atrito de des- e afins lizamento T período coeficiente de atrito estático f n número de revoluções (fre- coeficiente de atrito radial de rotação) u coeficiente de atrito de rola- angular mento longitudinal comprimento de onda n viscosidade dinâmica Q ângulo de avanço ou recuo, ângulo de defasagem viscosidade cinemática W trabalho, energia</p><p>P potência H campo magnético n rendimento O fluxo elétrico V tensão magnética Calor Rm resistência magnética T temperatura absoluta A condutância magnética temperatura em °C comprimento do entreferro a coeficiente de dilatação linear a coeficiente de temperatura da resistência elétrica y coeficiente de dilatação vo- Y condutibilidade elétrica lumétrica e resistência elétrica específica corrente térmica densid. de corrente térmica constante dielétrica Q quantidade de calor E0 const. de campo elétrico Cp calor específico a pressão constante dielétrica relativa constante N número de espiras Cv calor específico a volume u permeabilidade constante const. de indução magnética quant. de calor específico coef. de permeabilidade condutividade térmica p número de pares de pólo x relação entre os calores es- Z número de condutores pecíficos Q fator de qualidade R constante dos gases ângulo de perdas calor evaporação Y admitância aparente espe- fusão Z impedância aparente cífico X reatância Is de sublimação Ps potência aparente Vn volume normal Q potência reativa U volume específico CM constante de momento Eletricidade e magnetismo Radiações ópticas e I corrente elétrica eletromagnéticas J densid.de corrente elétrica le intensidade energética U tensão elétrica intensidade luminosa tensão da fonte potência irradiante R resistência elétrica, resis- fluxo luminoso tência ativa Qe energia irradiante G condutância elétrica, con- quantidade de luz dutância ativa irradiância Q quantidade de eletricidade, Ev aclaramento carga exposição irradiante C capacidade elétrica Hv exposição luminosa D densidade de fluxo elétrico Le radiância E campo elétrico Lv luminância fluxo magnético velocidade da luz B densidade de fluxo magné- n índice de refração tico, indução f distância focal L indutância D poder refringente</p><p>Unidades A 1 Prefixos e seus Símbolos da Deca Deci = h = Hecto = 102 C = Centi = 10-2 k = Kilo = m : Mili = 10-3 M = Mega = 106 : Micro = 10-6 G = Giga = n = Nano = 10-9 T = Tera : p = Pico = P = Peta = f = Femto = 10-15 E = Hexa = a = Ato = 10-18 Unidades de Comprimento m um mm cm dm km a 1 1 m 1 106 10 10-3 a 2 1 um = 10-6 1 10-3 10-4 10-5 10-9 a 3 1 mm = 10-3 1 10-1 10-2 10-6 a 4 1 cm = 10-2 10 1 10-1 10-5 a 5 1 dm = 105 10 1 10-4 a 6 1 km = 106 1 Unidades de Comprimento (Continuação) mm nm pm (mA) a 7 1 mm = 1 106 107 a 8 1 um = 10-3 1 106 107 a 9 1 nm 10-6 10-3 10 104 a 10 10-7 10-4 1 a 11 1 pm = 10-9 10-6 1 10 a 12 = 10-7 10 10-1 1 Unidades de Área a 13 1 = 1 106 10-6 a 14 1 = 10-12 1 10-6 10-8 10-10 10-18 a 15 1 = 10-6 106 1 10-2 10-4 a 16 1 = 10-4 1 10-10 a 17 1 = 10-2 104 1 10-8 a 18 1 = 106 1 1) = 2) 1 UX (Unidade X ou Röntgen)</p><p>A 2 Unidades Unidades de Volume 1) 1 = 1 106 10-9 a 19 1 mm³ 10-9 1 10-3 10-6 10-18 a 20 1 = 10-6 1 10-3 10-15 a 21 1 = 10-3 106 1 10-12 a 22 1 1 a 23 Unidades de Massa kg mg g dt 1 kg = 1 106 10-2 a 24 1 mg = 10-6 1 10-3 10-8 10-9 a 25 1 g = 10-3 1 10-6 a 26 1 dt = 108 1 a 27 1 t = 1 Mg = 106 10 1 a 28 Unidades de Tempo S ns us ms min 1 S = 1 106 a 29 1 ns = 10-9 1 10-3 10-6 a 30 1 us 10-6 a 31 1 ms 106 1 a 32 1 min 60 60.106 1 a 33 1 h 3600 60 a 34 1 d 1440 a 35 Unidades de Força ou de Peso N 2) kN MN (kp) (dyn) 1 N = 1 10-3 10-6 0,102 a 36 1 kN = 1 108 a 37 1 MN = 106 1 0,102.106 a 38 1) 1 = 1 = 1 Litro = = Newton</p><p>Unidades A 3 Unidades de Pressão Pa bar (Torr) a 39 1 = 1 10-6 10-5 0,0075 a 40 1 = 106 1 10 10,2 7,5 a 41 1 bar = 0,1 1 1,02 750 a 42 (1 at) = 0,981 1 736 a 43 (1 Torr) 1) 133 0,133.10-3 1 Unidades de Trabalho J (kcal) (CV h) a 44 1 = 1 0,102 0,378.10-6 a 45 1 kW h 1 860 1,36 a 46 (1 m) - 9,81 1 a 47 (1 kcal) = 4186,8 1.16.10-3 426,9 1 a 48 (1 CV h) = 0,736 0,27.106 632 1 Unidades de Potência W kW m/s) (kcal/h) (CV) a 49 1 = 1 10-3 0,102 0,860 a 50 1 kW = 1000 1 102 860 1,36 a 51 (1 = 9,81 9.81.10-3 1 8,43 13.3.10-3 a 52 (1 kcal/h) = 1,16 0,119 1 a 53 (1 CV) = 736 0,736 75 632 1 Unidades de Massa para Pedras Preciosas a 54 1 Quilate Métrico (QM) = 200 mg = 0,2 10-3 kg = 1/5000 kg Unidade de Pureza de Metais Preciosos a 55 24 quilates 18 quilates a 56 14 quilates 8 quilates Unidades de Temperatura T = 9 5 Rank K C Rank a 57 K Ponto de ebulição 373,15 100 212 671,67 (Agua) a 58 Rank Ponto de Fusão 32 491,67 do Gelo a 59 = a 60 IF = 5 + Rank Zero TR, e IF são as temperaturas Absoluto 0 nas escalas Kelvin, Rankine, Celsius e Fahrenheit 1) 1 Torr 1/760 atm = 1,33322 mbar 1 mm Hg (mm QS) para t = 0°C 2) 1 J = 1 = 1 Joule 3) 1 W = 1 J/s = 1 Nm/s = 1 Watt</p><p>A4 Unidades Comparação entre unidades anglo-americanas e métricas Unidades de Comprimento pol pé jarda mm m km 1 pol = 1 0,08333 0,02778 25,4 0,0254 a 61 1 pé = 12 1 0,3333 304,8 0,3048 a 62 1 jarda = 36 3 1 914,4 0,9144 a 63 1 mm = 0,03937 1 0,001 10-6 a 64 1 m = 39,37 3,281 1,094 1000 1 0,001 a 65 1 km = 39370 3281 1094 106 1000 1 a 66 Unidades de Área 1 = 1 0,772.10-3 6,452 0,06452 a 67 1 144 1 0,1111 929 9,29 0,0929 a 68 1 1296 9 1 8361 83,61 0,8361 a 69 1 = 0,155 1,197.10-4 1 0,01 0,0001 a 70 1 15,5 0,1076 0,01196 100 1 0,001 a 71 1 = 1550 10,76 1,196 10000 100 1 a 72 Unidades de Volume 3 1 = 1 16,39 0,01639 a 73 1 = 1728 1 0,037 28316 28,32 0,0283 a 74 1 46656 27 1 764555 764,55 0,7646 a 75 1 0,06102 3532-10-8 1 0,001 10-6 a 76 1 = 61,02 0,03532 0,00131 1000 1 0,001 a 77 1 = 61023 35,32 1,307 106 1000 1 a 78 Unidades de Massa dracma onça lb kg Mg 1 dracma 1 0,0625 0,003906 1,772 0,00177 a 79 1 onça = 16 1 0,0625 28,35 0,02832 a 80 1 lb = 256 16 1 453,6 0,4531 a 81 1 g = 0,5643 0,03527 0,002205 1 0,001 10-6 a 82 1 kg = 564,3 35,27 2,205 1000 1 0,001 a 83 1 Mg = 35270 2205 106 1000 1 a 84 Continua em A 5</p><p>Unidades A 5 Continuação de A4 Unidades de Trabalho e Energia lb pé kp m J=W S kW h kcal Btu a 85 = 1 0,1383 1,356 a 86 = 7,233 1 9,807 a 87 = 0,7376 0,102 1 a 88 1 kW h = 2,655.106 1 860 3413 a 89 1 kcal 426,9 4187 1 3, 968 a 90 1 Btu 778,6 107,6 1055 0,252 1 Unidades de Potência hp kp m/s J/s=W kW kcal/s Btu/s a 91 1 hp 1 76,04 745,7 0,7457 0,1782 0,7073 a 92 1 kpm/s 1 9,807 a 93 1 J/s = 0,102 1 10-3 948,4-10-6 a 94 1 kW 1,341 102 1000 1 0,239 0,9484 a 95 1 kcal/s = 5,614 426,9 4187 4,187 1 3,968 a 96 1 Btu/s = 1,415 107,6 1055 1,055 0,252 1 Outras Unidades a 97 1 mil = pol - 0,0254 mm a 98 1 sq mil = = 645,2 a 99 1 milha inglesa = 1609 m a100 1 milha marítima internacional = 1852 m a101 1 milha geográfica = 7420 m a102 1 légua brasileira (3000 braças) = 6600 m a103 1 milha brasileira (1000 braças) 2200 m a104 1 galão Imperial (Ingl.) = 4,546 a105 1 galão Americano (EUA) = 3,785 a106 1 braça (2 varas) 2.20 m a107 1 vara (5 palmos) = a108 1,10 m 1 passo geométrico (5 pés) = 1,65 m a109 1 alqueire paulista = 24200 a110 1 alqueire mineiro = 48400 a111 1 ton curta (EUA) = a112 0,9072 Mg 1 ton longa (GB, EUA) a113 1,0160 Mg 1 = 9,547 = 39964 N m/m³ a114 1 Btu/lb = 0,556 kcal/kg = a115 1 2327 N m/kg = 4,882 = 47,8924 a116 1 (=1p psi) = 0,0703 = 0,6896</p><p>Áreas B 1 Quadrado b 1 A b 2 b 3 = Retângulo b 4 A = a.b b 5 d = Paralelogramo b 6 A = a.h = a.b.sina b 7 d1 = + n2 4 a d2 = V (a - n.cota)2 n2 a Trapézio a b a b 9 A = h = m.h b 10 m = m b Triângulo b 11 A = 2 C b 12 s(s-a)(s-b)(s-c) a + b 13 = a</p><p>B 2 Triângulo A = b 14 h = b 15 a Pentágono regular A = 5 8 b 16 1 a = b 17 = b 18 a Construção: = BD, CD = CE regular A = b 19 d = b 20 a 1,155 s b 21 S = 0,866 d b 22 Octógono regular A = b 23 = b 24 a a = tan b 25 S = d b 26 = = S b 27 Polígono qualquer A = + + A3 b 28 A3 h1 = b 29</p><p>Áreas B 3 Círculo b 30 A = = b 31 = 0,785 b 32 Coroa circular b 33 A = b 34 b 35 b D = D Setor circular b 36 A = a = b 37 b 38 = a b b 39 a = = a em radianos) b 40 S = Segmento circular b 41 A = a S b 42 r = 2 b 43 h = 4 b 44 a veja fórmula b 39 b b 45 = = rab Elipse a b 46 U = b 47 = + D ( 1 + ] donde 2 =</p><p>Volumes C 1 Cubo C 1 V = 2 = D C 3 d = Paralelepípedo 4 V = 5 Ao = 2(ab + ac + bc) 6 d = Va2 + b2 + Paralelepípedo oblíquo C 7 V = (princípio de Cavalieri) Pirâmide c 8 = 3 4 A1 Tronco de pirâmide A2 C 9 V = + A2 + 10 = A2)</p><p>C 2 Volumes Cilindro = 11 c 12 AO = 13 d Casca cilíndrica 4 c 14 D Cone 15 A2 16 3 4 C 17 = 18 r C 19 Tronco de cone 20 3 C 21 m = 22 Esfera = 23 = C 24 = C 25</p><p>Volumes C 3 Segmento de esfera C 26 V = 27 Am = (zona esférica) c 28 Ao = -b 29 V = Calota esférica = 30 Am = (capa da esfera) C 31 Setor esférico 32 33 s) Esfera seccionada por cilindro 34 R C 35 = r) Esfera seccionada por cone C 36 C 37 h +</p><p>C 4 Volumes Toróide V = c 38 = 39 Tronco de cilindro V = c 40 d Segmento de cilindro V = 2 h c 41 = c 42 = Am + + 2 r c 43 Barril 12 c 44 D d Prismóide A2 V = + A2 + 4 A) 45 A Esta fórmula pode ser usada nos cálculos envolvendo os sólidos mostrados nas páginas C 1 ... A1 bem como a esfera e suas partes.</p><p>Aritmética Potências, Raízes Cálculo das potências e das raízes regras gerais exemplos numéricos d 1 = = 7a4 d 2 = = d 3 = 4 = = = = = d 5 = = d 6 an = 3 = d 7 = = d 8 = = d 9 = = = d10 nx = V 6 = 3 d11 = +) = d12 = = = Não aplicável nos casos, p. ex. = = = -2 Os expoentes das potências e das raízes devem ser números puros. Equação quadrática (Equação do 2° grau) d13 Forma normal + 0 d14 Soluções 2 d15 Teorema de Vieta p = - = Cálculo iterativo de uma raiz n-ésima qualquer d16 Se então = + A em que é o valor inicialmente estimado para X. A precisão de aumenta substituindo várias vezes por X.</p><p>Aritmética Potências, Raízes - Binômio D 2 Transformação de expressões algébricas d 17 (a + b)2 = d 18 19 = + 1.2 + + 1.2.3 20 = + 2ab + 2ac + + 2bc + d 21 - = - 2ab + 2ac + - 2bc + d 22 = - d 23 = - d 24 = 25 = b + an-3 + Binômio de Newton d 26 = d 27 = em que n é um número inteiro. 28 (a + b)4 = 4.3 1.2 4.3.2 1.2.3 + + Esquema de cálculo 29 Cálculo dos coeficientes pelo triângulo de Pascal (a + 1 (a + b)' 1 1 (a + 1 2 1 (a + 1 3 3 1 (a + b)' 1 4 64 1 (a + 1 5 10 10 1 6 15 20 15 6 1 Lei de formação: cada linha começa e termina por O segundo e o penúltimo números devem ser os expoentes, e os demais a soma dos da direita e da esquerda imediatamente acima deles. d 30 Expoentes: A soma dos expoentes de a e de b em cada termo é igual ao expoente do binômio n. Se os expoentes de a decrescem, os de b crescem. 31 Sinais: Para (a + b) sinais sempre positivos. Para (a - b) inicialmente sinal positivo, e em seguida alternadamente negativo e positivo. d 32 Exemplos: = + + + + -</p><p>Aritmética D 3 Função racional - Decomposição em frações parciais Função racional fracionada n>m n, m inteiro e positivo Oscoeficientes podem ser reais ou complexos. Se forem as raízes de Q(x), obtém-se um produto de fatores. 33 y (x) = = - P(x) - são as raízes múltiplas reais ou complexas de Q(x); é um fator constante. Decomposição em frações parciais Para simplificar o estudo de y(x), por exemplo a integração, é aconselhável decompor y(x) em frações parciais. 34 y = = + A12 A21 + + +...+ + + Q(x) contém coeficientes reais e raízes complexas (conjugadas complexas). Para a decomposição, esses pares de valores são agrupados em frações parciais Se, em 33 as raízes forem = (conjugadas complexas de n1), e se as designarmos por = k2 = k devido ao aparecimento em pares, pode-se decompor d 34 em frações parciais com as constantes A11 A2k2: + 35 + ax + b + + + As constantes A11 até e, respectivamente, B11, C11 a C1k se calculam igualando os coeficientes de mesma potência em das partes direita e esquerda da equação, desde que o denominador da parte esquerda das frações parciais seja novamente Q(x). Exemplo: 2x-1 = Q(x) = + x+1 2x-1 Q(x) Q(x) x2 + + + + + + + 5 + Igualando os coeficientes da parte esquerda com os da direita: = 1/2; = -3/4. Se as raízes m forem simples, as constantes A11, A21 Aq1 da equação 34 podem ser obtidas por: 36 = =</p><p>Aritmética D 4 Logaritmos Generalidades sistema logaritmo designação na base d 37 log a logaritmo na base a a 38 = 10 logaritmo decimal 39 loge e = e logaritmo natural d 40 log 2 = 2 logaritmo na base 2 Os símbolos x = b chamam-se a base a antilogaritmo b logaritmo Regras para cálculos logarítmicos 41 (xy) = d 42 y = d 43 log = 44 log x = Equação exponencial 45 = b = 46 donde: = a = Conversão de logaritmos d 47 1g = = 48 = = 49 = x = x Base dos logaritmos naturais e = 2,71828183 ... Características dos logaritmos decimais de um número 50 = -2 ou 8. -10 d 51 = -1 ou 9. -10 d 52 1 = 0 di 53 1g 10 = 1 di 54 100 = 2 etc Observação: o antilogaritmo deve ser sempre uma quantidade adimen- sional.</p><p>Aritmética D 5 Permutações, Combinações, Arranjos Permutações Número de permutações de n elementos: x) d 55 Pn = = 3 n Exemplo: os n : 3 elementos a, podem ser permutados de 6 maneiras diferentes: abc bac cab acb bca cba 56 P3 = 3! = 1.2.3 = 6 permutações Caso especial: Se, entre os n elementos houver elementos de 1° espécie, elementos de espécie etc., e nk elementos de espécie, o número de permutações diferentes vale: n! d 57 permutações Exemplo: os n = 3 elementos a, a, b podem ser permutados de 3 maneiras diferentes: aab aba Donde: = 2, = 1, portanto d 58 P3,2 = 3! = 1.2.3 = 3 permutações 1.2.1 Combinações e arranjos Uma "combinação" de n elementos é o número das diferentes maneiras de escolher elementos entre k elementos dados, sem levar em conta sua ordem. Assim, distinguem-se combinações com elementos diferentes ou grupos de elementos iguais. Num "arranjo" de n elementos entre k elementos dados, leva-se em conta a ordem. As tabelas da página D 6 contêm as fórmulas das combinações e dos arranjos com ou sem repetição dos elementos. x) n! pronuncia-se "n fatorial".</p><p>62 61 60 59 Número de combinações Número de arranjos sem com sem com repetição e sem consideração repetição e com consideração de ordem de ordem n! n ! = = = = = ! ! ! Fórmulas = = = C : número de combinações possíveis V : número de arranjos possíveis Explicações n : número de elementos dados dos símbolos k : número de elementos escolhidos entre k elementos dados n = 3 elementos a, b, C Dados k = 2 elementos escolhidos entre os 3 elementos acima ab ac aa ab ac . ab ac aa ab ac Possibi- bc . bb bc ba . bc ba bb bc lidades ca cb ca cb = 3 = 3! = 6 = Cálculo = (3-2 ) ! 1 ! do núme- ro de = = = = ) 2! possibili- dades = 3 = 6 = 3.2 2 ! = 6 1.2 Observa- ab e ba correspondem a uma mesma com- ab e ba correspondem a arranjos binação diferentes ção Cálculo segundo d 27</p><p>Aritmética D7 Determinantes e sistemas de equações lineares Determinantes de segunda ordem: 63 + = r. - + = + Pôr a coluna r no lugar da coluna da coluna y r. = 64 D1= a22 r2 + - + D Determinantes de terceira ordem (Regra de Sarrus) d 65 + + = + - = 66 D = - - as as - - - + + + Substituir a coluna pela coluna Q12 = 67 - - an r3 as - - - + + Desenvolver desse modo D2. em seguida D3. substituindo a coluna y. e depois a Z pela coluna di 68 D y = D D2 2 = D Continua em 8</p><p>Aritmética D 8 Determinantes e sistemas de equações lineares Determinantes de ordem superior à (Pode-se calcular também os determinantes de 3° ordem pela regra de Sarrus, conforme as fórmulas Formar os determinantes e pesquisar os valores nulos por adição ou subtração de duas ou mais linhas multiplicadas ou divididas cada uma por um coeficiente apropriado. Desenvolver o determinante segundo a linha ou a coluna tendo maior número de zeros, alternando os sinais (sinal + para Exemplo: + - a 13 + a21 24 - a31 34 + as 0 Desenvolvimento segundo a + + ass as Desenvolver em seguida, por exemplo, segundo a linha de d 70, se não se encontrar os zeros: 69 ax ass as Introduzir a coluna rsegundo a página D7, para os determinantes D1, desenvolver como para o determinante D. Cálculo das n incógnitas segundo as fórmulas: d 70 , = un = Dn Observação: Prosseguir o desenvolvimento de um determinante de ordem até que se obtenham pelo menos determinantes de ordem.</p><p>Aritmética Progressões D 9 Progressão aritmética A soma de uma progressão aritmética é a soma dos termos de uma série aritmética. (A diferença de dois termos consecutivos é constante, por exemplo, 1.4,7,10...). d 71 = = a, n + com d = 2 2 72 a, = d Média aritmética: cada termo de uma progressão aritmética é a média aritmética am entre dois termos adjacentes am-1 e am + d 73 Para m ésimo termo tem-se: = 2 para 1 <m<n (p. ex.: na progressão acima: = 4 + 10 = 7) 2 Progressão geométrica A soma de uma progressão geométrica é a soma dos termos da série (O quociente de 2 termos consecutivos é constante, por exem- plo 1,2,4,8...). d 74 - 1 - a, = 1 = 9 1 com = - an d 75 Para uma progressão geométrica infinita (n tem-se d 76 = lim = 0 ; = lim = 1 Média geométrica: cada termo de uma progressão geométrica é a média geométrica am de seus dois termos adjacentes am-1 e 77 Para o m ésimo termo tem-se: am = para 1 < m < n (p. ex. na progressão acima: = = 4) Progressão geométrica decimal Aplicação para cálculo de séries de números padronizados O quociente entre dois termos consecutivos chama-se "razão progressiva di 78 = b b inteiro. b determina número de termos ou número de números padronizados de uma série numa década. Os valores dos termos que devem ser arredonda- dos para cima são calculados de acordo com di 77: 79 = = n = 1 b Começando com a = 1 ou = 10 ou = 100 ... Exemplos: b Designação Observação 12, 24 série E intern. veja Z 22 5. 10, 20 R 10. 20 série DIN veja R 1 a : primeiro termo n : número de termos an : último termo : soma dos termos d : diferença entre dois termos 9 : quociente entre dois termos consecutivos consecutivos</p><p>Aritmética Séries D 10 Série binomial d 80 = + em que a é qualquer, positivo ou negativo, inteiro ou Cálculo dos coeficientes do binômio: - - Exemplos: para 81 = + 1 82 = = 83 1 = Série de Taylor 84 + - + - + fazendo a = a série de Mac Laurin: 85 = x + + Exemplos. para d 86 = + + todo x d 87 = + todo + 88 x-1 x+1 + x 89 + + 90 = Continua em</p><p>Aritmética Séries Série de Taylor (Continuação) para Exemplos: todo 91 sin x todo 92 93 tan di 94 cot d 95 + di 96 arccos x 97 arctan d 98 arccot todo 99 sinh todo d100 cosh d101 tanh d102 coth d103 arsinh d104 d105 artanh d106 arcoth +</p><p>Aritmética D 12 Série de Fourier Série de Fourier y Generalidades: toda função perió- dica f(x), que pode ser decomposta em vários intervalos no intervalo de periodicidade - pode ser representada neste intervalo por -r 2A uma série convergente de forma d107 + + sin (nx) Os coeficientes se calculam com as fórmulas: d108 ax = bk = sin (kx) dx Simplificação do cálculo de coeficientes por simetria: função par: f(x) = f(-x) y d109 ak = 2 para d110 o função impar: d111 ak = 0 y d112 bk 2 o para k = Simetria par completa Simetria impar completa d113 Se e Se e d114 então então d115 sin dx para k = para k = d116 ak = 0 = 0,2,4 = 0 para k = d117 = = = 0 para k =</p><p>Aritmética Série de Fourier D 13 Tabela dos desenvolvimentos de Fourier y d118 y = a para d119 y para o 4a sin (3x) sin (5x) d120 + 3 5 d121 y a para y 2 d122 y para a 2 4a d123 y = COS a + (3a) sin (3x) (5a) sin (5x) + d124 y = a para a < y d125 y = o a n d126 = 2a COS + 2 (2x) COS sin 3(r-a) COS (3x) + d127 y = ax/b para y d128 y a para d129 y para 2X d130 sin b sin sin (3x) (5b) sin (5x) + d131 para y d132 y = + sin 2 sin (3x) d133 y + Continua em D 14</p><p>Aritmética Série de Fourier D 14 Continuação de D 13 d134 y = 2ax/x para y d135 para d136 2 o d137 sin sinx (5x) a - d138 para y d139 para d140 4a d141 cos (5x) 52 d142 para y d143 para d144 d145 COS (4x) COS + (6x) 1.3 3.5 5.7 d146 y=0 para y d147 y = a para 2 d148 = 2 d149 (4x) d150 y d151 or d152 (2x) cos (3x) y 32 d153 para y d154 o d155 + + + a sin (3x) 2 3</p><p>Aritmética D 15 Transformação de Fourier Generalidades Na transformação de Fourier F(s(t)}, a função s(t) é transformada por meio da integral de Fourier numa função espectral contínua S(w) (densidade espectral), em que a corresponde à densi- dade do espectro. A função s(t) tem as seguintes propriedades: a) é decomponível em intervalos finitos em que s(t) é contínuo e monóto- no; b) tem valores definidos nos pontos de descontinuidade s(t + d 156 iguais a: d 157 c) é concebida de modo que a integral I dt seja convergente. d 158 Inversamente, a transformada inversa {S(w)} é a função Definições d 159 d 160 = = Energia 161 } = dw espectral -00 Regras de cálculo 162 Defasagem de tempo = V-1 d 163 Convolução = d 164 = -00 d 165 = d 166 F{s(t)) 167 F{s(at)} a real > 0 d 168 = Continua em D 16</p><p>Aritmética Transformação de Fourier D 16 Continuação de D 15 Abaixo são apresentadas funções espectrais, calculadas conforme d 159, para algumas funções de tempo importantes. Correspondências entre a função de tempo e espectral: d 169 = . dw ; = Função do tempo s(f) Densidade espectral S(w) d 170 Função retangular S(w) T T 2n 77 2n d 171 Impulso de Dirac d 172 S(w) = A (densidade espectral constante em d 173 Função retangular (t-T/2)- com variação de pola- ridade (t+T/2) T d 174 = - WT 2 T t s(t) d 175 -3T T 37 d 176/177 A com = Função retangular S(w) t T 2n 7 Continua em D 17</p><p>Aritmética Transformação de Fourier D 17 Continuação de D 16 Função do tempo s(t): Densidade espectral S(w) d 178 Função triangular A.D,(t) 179 i = sin Tw/2 S(w) T t T T 7 Retângulo modulado d 180 = 2 com 181 A + + To d 182 Impulso de Gauss s(t) d 183 Impulso d 184 co-seno com s(t) d 185 Impulso 186 d 187 = 4 1 188 Impulso expon. di 189 A 1/a</p><p>Aritmética D 18 Transformação de Laplace Generalidades: Na transformação de a função de tempo f(t) é transformada numa função-imagem por meio da função integral: 190 = se f(t) = 0 inteiramente definida para 0. é um fator de amortecimento utilizado para garantir a convergência de diversas di 191 funções de tempo em com 0 é uma variável operacional complexa. As equações diferenciais e até mesmo alguns fenômenos únicos não-periódicos (por exemplo engatilhamento) são resolvidos no domínio da imagem; a função f(t) no domínio té definida pela transforma- ção inversa (ver a tabela D 20). Definições 192/193 = representação simplificada: representação simplificada: Regras (ou operações) de cálculo d 194 Linearidade d 195 d 196 Lei de trans- lação Teorema de d 197 convolução = d 198 = d 199 Transf. de 200 F(a.p) variáveis Diferen- d 201 = ciação d 202 L{f"(t)} d 203 = k=0 Integração 204 =</p><p>Aritmética D 19 Transformação de Laplace Aplicação da na solução de equações diferenciais Esquema Domínio - t Operação de cálculo Domínio - p 205 Equações diferenciais Equações para y(t) + cond. iniciais ordinárias para Y(p) veja regras de diferenciação 206 Resultado das soluções Soluçãodas eq. ordinárias das eq. diferenciais transf. inversa conforme Y(p) conforme D 20 A dificuldade de resolução das equações diferenciais desaparece na 207 transformação inversa. Esta é simplificada decompondo Y(p) em frações parciais (v. D 3) ou em funções parciais, cuja transformação inversa no domínio té dada em D 20. Exemplo: + y = f(t) é função da excitação = 2 condição inicial d 201 205 d 206 obtém-se outra solução para y(t). Aqui a hipótese f(t) = função de escalão. Conforme d 213: aplicando + - p - 1+2p + 1+2p conforme D 20 + Aplicação da lei de convolução da transform.-L para as redes lineares Numa rede, uma função de excitação é transformada numa resposta y(t). A rede é caracterizada pela função de transferência que possui uma transformada inversa f2(t). domínio t domínio p fi(t) y (p) Y (p) 208 rede F2(p) o d 209 = = A resposta y(t) depende de (t) para uma dada malha, y(t) se calcula de acordo com d 205, iniciando na linha d 206 para determinar Y(p). - A transformação inversa no domínio t é possível se for uma função racional em pe a transformada L lida em D 20.</p><p>Aritmética D 20 Transformação de Laplace Tabela de correspondência d 210 F(p) = 0 com p = = = V-1 Func.imagem Função tempo Função temp F(p) f(t) F(p) f(t) d 211 1 Dirac p2 1 sin(kt) + d 212 2k d 213 1/p 1 para d 214 para d 215 d 216 1/p2 t tn-1 2 d 217 1 d 218 - d 219 exp(at) d 220 d 221 t.exp(at) d 222 sin(kt) a 223 1 224 VP 1 d 225 1 d 226 2 a 227 sinh(at) 228 p 229 cosh(at) d 230 d 231 k sin(kt) arctan(a/p) di 232 p 233 cos(kt) 234 a e 1 1 di 235 sin(kt)- 236 1 1 2k2 a p 1 d 237/238 sin(kt) { Função de Bessel</p><p>Aritmética D 21 Números complexos Números complexos Generalidades Z = Z a = parte real de Z = parte imaginária de Z r módulo de Z = argumento de Z a e b são reais eixo real i = V-1 a 239 di 240 = +i = -i 241 = -1 = -1 di 242 = -i = +i 243 = +1 1-4 = +1 244 = +i = -i etc. Observação: em eletrotécnica, substitui-se i por j para evitar confusões. Num sistema de coordenadas cartesianas: d 245 246 = d 247 - = di 248 = d 249 Z2 = d 250 = 251 = + 2 + i 2 Continua em D 22</p><p>Aritmética D 21 Números complexos Números complexos Generalidades Z = Z a = parte real de Z = parte imaginária de Z r módulo de Z = argumento de Z a e b são reais eixo real i = V-1 a 239 di 240 = +i = -i 241 = -1 = -1 di 242 = -i = +i 243 = +1 1-4 = +1 244 = +i = -i etc. Observação: em eletrotécnica, substitui-se i por j para evitar confusões. Num sistema de coordenadas cartesianas: d 245 246 = d 247 - = di 248 = d 249 Z2 = d 250 = 251 = + 2 + i 2 Continua em D 22</p><p>Aritmética D 22 Números complexos Números complexos (Continuação) Num sistema de coordenadas polares: 252 = r(cosp + = a + ib 253 di 254 = 255 sin = = a = b di 256 . = r.r2 + d 257 r2 258 = + d 259 = + ) 260 = COS + i raiz inteira) nas fórmulas d 259 e d 260: 1 d 261 = d 262 1 = = + d 263 = V + = 1 d 264 = sin = d 265 2 = + = ) se r2 e = P2 então, tem-se = Z2</p><p>Aritmética D 23 Aplicação da progressão geométrica Juros compostos 266 = d 267 9 = Cálculo dos rendimentos d 268 = d 269 r = d 270 n Se obtém-se as "fórmulas de amortização". Cálculo das anuidades (Fórmula dos bancos de poupança) d 271 = r = d 272 - + d 273 1g n = Explicação dos símbolos : capital inicial n : número de anos : capital depois de n anos : 1 + p r : renda anual (retirada ou renda pa- p : juro (por exemplo gável no começo do ano) 0,06 para 6%)</p><p>Aritmética D 24 Solução geométrica de expressões algébricas C a di 274 = a di 275 = C : b : proporcional 90° di 276 a 277 a : b = b : : proporcional a 278 x Va.b 90° = d 279 b : média proporcional b 280 x2 = + 281 ou = : hipotenusa de um triângulo gulo a 282 = 2 a : altura de um triângulo 283 : 2 d 284 285 x : parte maior de um segmento divi- a dido ao meio e extrema razão (se- ção áurea)</p><p>Funções circulares E 1 Noções fundamentais Grau e radiano de um ângulo plano Representação detalhada Um ângulo é expresso tanto em graus a como em radianos Existe a relação seguin- 3600 300 te entre essas duas medidas: r ad r ad e 1 a 180° a = a Unidades de medidas em graus: Unidades de medidas em radianos: -; rad; m/m 1 radiano (rad) é o ângulo no centro de um círculo de 1 m de raio se o arco interceptado também valer 1 m. Donde: 1 m e. 2 1 rad = 1 m e 3 Assim, o radiano é expresso por um número puro, como no quadro seguinte; a notação rad pode ser suprimida. e 4 a 30° 45° 60° 75° 90° 180° 270° 5 0 6 4 3 12 2 2 @ 0 0,52 0,79 1,05 1,31 1,57 3,14 4,71 6,28 Representação simplificada usual (utilizada neste formulário) Legalmente ficou estabelecido que: 1° = rad 2 e 5 180 Assim, impõe-se a igualdade entre a e a, poupando-se a grandeza básica "Ângulo pla- no" (veja Prefácio). Então: a = a e 1 rad = 57,2958° rad/90 = rad e 6 2 180 Unidades: -; rad: m/m = 1 grau = 1°</p><p>Funções circulares E 2 Noções fundamentais Comprimento de um arco comprimento do arco b de um círculo de r b raio re de ângulo a no centro vale: a e 7 b = r a o triângulo retângulo e 8 cateto oposto a sina = = hipotenusa C b a cateto adjacente b e 9 COS a = = a hipotenusa C C e 10 cateto oposto a cateto adjacente b tan a = = cot a = = e 11 cateto adjacente b cateto oposto a Valores das funções de ângulos importantes e 13 ângulo a 0° 30° 45° 60° 75° 90° 180° 270° 360° sin a 0 0,500 0,707 0,866 0,966 1 0 -1 0 a 1 0,866 0,707 0,500 0,259 0 -1 0 1 tan a 0 0,577 1,000 1,732 3,732 8 8 0 cot a 8 1,732 1,000 0,577 0,268 0 8 0 8 Relação entre as funções senoidais e co-senoidais Equações fundamentais e 14 Função y = A e 15 Função co-senoidal y = A - y 2 Q função seno com amplitude e k=1 função seno com amplitude A = 1,5 e k = 2 co-seno com amplitude A = 1 e k = 1 ou função seno com defasagem Q -</p><p>Funções circulares E 3 Quadrantes e 15 sin 90° - = + a sin ( 90° e 16 COS sin a sin a e 17 tan cot a tan cot a e 18 cot tan a tan a e 19 sin - a) + sin a sin 180 + sin a e 20 COS a a e 21 tan tan a tan tan a e 22 cot cot a cot cot a e 23 sin (270 - a) = a + a) = a e 24 COS sin a + sin a e 25 tan cot a tan cot a e 26 cot tan a cot = - tan a e 27 sin a) = - sin a (360° + a) = + sin a e 28 COS + a + a e 29 tan tan a tan + tan a e 30 cot cot a cot ) = + cot a e 31 sin a 360 ) = + sin a e 32 + a ) = + a e 33 tan tan a tan (a 180° = + tan a e 34 cot cot a cot ) = + cot a +y a o 0 0 90 180 3 270 2 360 2 2</p>