Questoes resolvidas aritmetica

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<p>data fecha D PARA a, a) Sc e DE FORMA b=-a. b) - a total = a a c) (-1) a = -a - a = [1 do = is d) - (ab) =0 abt = - (-alb = -(ab) = 0+1</p><p>data fecha D S S D M M V S (-a) (-b) = ab (-b) = - (-a) (-b) = ab 1.3 a) b) l - a-b - (a+b) c/ = cb-ca c(b-a) = = - acc Se (do) c>a + so +</p><p>data fecha D S 5 D L M M V SE as b - PROBLEMAS 1.1 PARA a, MOSTRE (do)- = a) Se = e a+b+0 = b+b) = = = - a = Syd bs-a b) =0 -3+2 (-a) - (-a) a c) = - a a + (-a) = = 101 -1.(a) = a</p><p>data fecha D S S D L M M J V S - = (-a) = (-a) - -(ab) MOSTRE E - FOR n2 d (2mt2) 8 que lalsa labl2 (ab)2</p><p>data fecha 0 S D L M M 5 labl = ab, abco * azo e * e -azo e a se, e somente se, /a/ = (1) Si A (1) e(2), (-1).(-a) > (-1).r de (1)</p><p>data fecha D S D M M J V S iii) - = alo D lale Se # -r BASTA TOMAR r 1.6) a) b asb b) be # n, I 10 SEO FOR posses MENOR ELEMENTO KES H 0 FATO MONOR ELEMENTO 5, PORTANTO # n L Suponha que existe tal ques</p><p>data fecha D 5 Q 5 D L M M V 5 ab - 1 a = ob ab=1 PAGINA 17 1.12) MOSTRE AS SEGUINTES FORMULAS a) 6 6) VERIFICANDO SE A PROPRIEDADE E VALIDA 1.(1+1). PARA n=1, A 6 ic) A PROPRIEDADE VALE PARA 6 DEVEMOS DEMONSTRAR que A VALE PARA ENTAO TEMOS: + (n+2). 6 n(ntt). + RESOLVENDO 6 (nts) + 6n+6] 6 6 6</p><p>data fecha D S T Q a S D L M M S b) 2 , n = 2 2 i) PARA n=1, 2 [ 1. (1+1) 2 1, PARA A PROPRIEDADE E VALIDA. ii) SUPONDO BE que A PARA ALGOM ENTAO TEMOS: 2 AGORA DEVEMOS PROVAR A PROPRIELADE VALE (nrs). R 2 + D + 2 4 4 (n+e) [ 4 2 como 1 1 t n 1.2 2.3 n(n+1) i) PARA TEMOS: LOGO A PROPRIEDADE VALIDA PARA n=1. Its ii) DE A PROPRIEDADE SEJA VALIDA PARA ALGUM 1 1 1 n 1.2 2.3 AGORA DEVEMOS PROVAR que A PROPRIEDADE VALE PARA nts,</p><p>data fecha D D L M M J 1 + 1 1 + 1 n+1 1.2 2.3 1 1 D n(n+2)+1 1.2 n+1 D = (n+2) c) + n(4n2-1) 3 i) PARA n=1, TEMOS: (2.1-1) 3 1, A VALIDA PARA n=1. 3 Supondo por que a vale para 12+32+ + + 3 + [ 3 n. +3 3 3 n+1 3 3 (n+1) [ - 1] 3 -3n-3 (nts). [4 3 4n+3 -4n-4</p><p>data fecha D S a D L M M V &) 1 1 + 1 1.2.3 2.3.4 (nt2) 4(nrs) (n+2) i) PARA n=1, TEMOS: 1.4 1 A PROPRIEDADE E 1.2.3 ii) HIPOTESE DE que A VALE AARA ALGHM ENTAO TEMOS: 1 1 1 1.2.3 2.3.4 4(n+1)(nt2) AGORA DEVEMOS PROVAR que A PROPRIED VALE PARA nt1. 1 + 1 1 1 1.2.3 2.3.4 4(n+2) n(nt3) + 1 n+1 8 n3 nty +4) (n+2) 4n-4 4 (n+2) n+4</p><p>data fecha D T 5 D L M M V S 1.13) LIMA ARITMETICA (PA) E UMA DE (an) TAL que as E E, PARA TODO nE TEM-SE que anti = NúMERO REAL Fixo CHAMASO DE MOSTRE an= PARA n = 1, TEMOS: ast (n -1). r a1 = a = a1 S A PROPRIEDADE E VERDABEIRA ii) POR que A PROPRIEDADE SEJA VALIDA PARA AlGum n, TEMOS: 3d antro is ant1 ant1 = 0 que MOSTRA que A PROPRIEDADE VALIDA PARA nts. b) SE Sn = MOSTRE que Sn n 2 2 nas + r 2 i) n= 1, 51 = E VERDADEIRA ii) H.I que pin) SEJA SOMANDO ant1 A MEMBROS MEMBROS DA ant1 = a1 + nr VA Sn + an +1 Snt1 na1t a1 + nr 2 as + 2 0 TORNA</p><p>data fecha D S Q 5 D L M M J V S las +an).n + n(n-1). = 2 2 ans (n-1)r, TEMOS (astan) n 2nas n. (an-as) 2 a (altan).n 2 2 2 2 1.14) UMA PG E BE (an) TAL que as DADO E, PARA TODO TEM-SE que ONDE É REAL Fixo, DIFERENTE DE RAZAO. MOSTRE que an = i) PARA n=1, TEMOS: as - as. as = as, LOGO A VALE PARA n=1. ii) SUPONHAMOS AGORA que A VALE PARA ALGOM n EN, an = AGORA AMBOS MEMBROS DA POR 4, OBTEMOS: an. = as. ant1 - as. Assim, que A PROPRIEDADE E PARA TODO N</p><p>data fecha D T S 5 D L M M V 5 b) Se Sn ast MOSTRE que as i) PARA n=1, TEMOS: 9-1 9-1 A PROPRIEDADE É VERDADEIRA PARA ii) SUPONHAMOS A VALIDA AGORA DEVEMOS PROVAR que A PROPRIEDADE VALE PARA SOMANDO ants A AMBOS 05 MEMBROS DA Snts = Sn + ants + = - = Id 9-1 A PROBLEMAS 2.1 SEJAM DUAS ELEMENTOS DE CONJUNTO A OPERAÇÕES BASICAS DA E SEJA CEA. MOSTRE n n as (ai +bi) = ai + n PARA n=1, = is (ai + ai + bi i=1 A PROPRIEDALE É que PARA n (ai+bi) = bi</p><p>data fecha D S T S S D L M M J V S ant bnts A as LADOS DA ANTERIOR, OBTEMOS: (ai + bi) = tants bnts n = ait n = oi ants + bi + bnts = ai bi i=s DE A TODO ne n n b) ai = icai i) PARA A VERDADEIRA, 1 = PARA n TENHAMOS: nts n cai + Assim, n C ai = ai) + ants = ai + + its cai PELO DE A VERDADEIRA PARA TODO nE</p><p>data fecha D 5 Q Q 5 5 L M M J V 5 n c) If - i) A SERA PARA TEMOS: n=1 (airs - ai) = - ai LOGO A PARA ii) SOPONHAMOS que PARA ALGUM n n = ants - ai, Assim, n - ai) - ai) (an+2 - anti) + = - as - i=1 S = - as PELO DE A E VERDADEIRA PARA TODO (21 2.3 UMA FECHADA PARA CADA DAS a) 1 + (1+2) (1+2+3) tn (1+2+ A SOMA E A (1+2+ +n) SOMA DOS TERMOS DE n L=1 +i).i = n(nts)(nt2) = LES 2 3 CALCURE A Sn A bE SOMATORIO, PODEMOS FAZENDO A DISTRIBUTIVA, i=1 n n S Sn = 5n = + i=s i=1 (1+2+ +n) Sn= + = 6 2 6 = n.(nts). (2nt1) + Sn= 3</p><p>data fecha D S T Q S D L M M V S EXEMPLO: A TERMO GERAL DA DA DE STEINER = A PODE SER so SEGUINTE Pits TOMANDO SOMATORIO DE AMBOS LADOS, OBTEMOS: n-1 n-1 - = (its) 0 PRIMEIRO MEMBRO DA ACIMA UMA SOMBRA TELESCOPICA E VALE Pn - 0 MEMBRO E E (n-1).n PORTANTO, 2 2 p(n) = n.(nts) + 2 ACHE UMA FORMOLA PARA a) 2+4+ ten Sns (astan).n 2 Sn = 2 Sn b) 2+5+8+ + (3n-1) Sn 2 Sn 2</p><p>data fecha D 5 T Q S 5 D L M M V S 2.9) DEMONSTRE A DAS + m n + + + + x il PARA n=1, TEMOS: S x A PARA n=1. ii) SUPONHA que A VÁLIDA PARA nE PROVAR ELA (i) the = = (n+2 it2 LOGO A E PARA + = old</p><p>data fecha D S T Q S D L M M J V S a e b que a DIVIDE que b E DE a, BENOTAMOS a/b SE TALQUE bs ac No EM que a DIVIDE DENOTAMOS 1) SE 0, a/a e a/ac qualquer que SEJA CEZ. 2) & KEZ 3) Se a/- a - 4) e 2/6 pois EXISTE 3E Z TALQUE 61 5X6, pois # TALQUE 6= C.5 OBS: a E Z d MENOS 1, -1, a,-a BE a) a a, bec SAO NUMEROS TAIS que b/c, a/c SE a/b Existe C1 EZ TAL SE b/c EXISTE TAL que C POR = (c,a) SB a, b, m, n E TAIS que a/b a/c a/ SE ENTRO EXISTE XE TAL ax (1) SE a/c, EXISTE YE TAL que = ay (2) = max + nay mb = a on SEJAM a, b, E Z. 1) a/a 2) Se a/b ca/cb 6) SE a/b e b #0 7) SE a/b e b/a 3) SE ca/cb l C#O a/b 4) 1/a</p><p>data fecha D T Q D L M M V (3) SE EXISTE TAL que cb b= ma (5) a/o pois (6) Se a/b e que = red D MOSTRE que & nEN 3 DIVIDE in c) SE DE ii) SUPONHA que 3 PARA que A VALE PARA nts, 3 4nts - SEJA: 2nt1 EXEMPLO: MOSTRE que 3 E DE KEZ = i) PARA TEMOS: P(s) VALIDA ii) p(n) VERDABEIRA PARA UM CERTO que É 3 = KE Z = n+2 n+2 + 7.2 n+2 - 7.</p><p>data fecha D S T S D L M M J V S DA TEOREMA: DADOS sois INTEIROS a, b com PAR DE ger TAIS que qb tr com OBS: as NUMEROS CHAMADOS RESTO NA DE a FOR b SEJAM a PRIMEIRO A EXISTENCIA No e L= { a Ln No # DE SE a 20, a E NonL NonL * SB OUTRA PARTE b b >1 (-a).(b-1) a 20 NonL * No NonL E PELO BOA ORDEM NonL MENOR ELEMENTO DE r, NonL r E No E EX: MOSTRE 0 RESTO BE 10 NA POR E S 10" n = i) PARA VERDABEIRA ii) A SEJA VERDADEIRA PARA ALGUM KEZ, DEVEMOS PROVAR PARA +1 PORTANTO A 5</p><p>data fecha D S T Q Q 5 D M M V S 3.4 MOSTRE que NUMEROS NATURALS CONSECU POR KEN, K. tez i CONSECUTIVOS SOBRE = i=1, + I = SUPONHA que A PROPRIEDADE p(i) E VALIDA PARA ALGHM MOSTREMOS que A PROPRIEDADE VALE PARA : K.(K+1) K. (K+i) = b) MOSTRE que (anti) = que n(nts) (nts) = n. (n-1) PRODUTO DE No CONSECUTIVO POR a 3.5 PROVAR FOR SENDO i) PARA TEMOS: - D 1/2, LOGO A PROPRIEDADE VERDADEIRA PARA LL) que PARA CERTO MOSTREMOS 2nt que A VALE PARA (e.e =8 = POR = ) = (E- = =</p><p>data fecha D S Q S S D V S 3.6) MOSTRE que SABENDO que 270 = = 4.434 9.93 = I 13.434 + 417) + - 0 PROCESSO SE REPETE 3.7) MOSTRE que 2nts n i) PARA n=0, TEMOS: & 6/6 ii) SAPONHA que A PROPRIEDADE VALE PARA CERTO MOSTREMOS que VALE PARA nts, +1 52 = - = - = 6/5 6/5 ents 3.9) PARA quais VALORES DE a +3 Como - -3 = - - = 30 2 DIVISORES 3, 5,6, DIVIDE at3 E DIVISOR DE 30</p><p>data fecha D Q 5 D L M M V a+3=1 N a+3=2 N a+3=3 a a+3=5 a+3=6 a=3EN a+3=10 a=7EN a+3=15 N S- 3.20) MOSTRE que: a) n É E * n É n = KEZ St Se KE PAR D 4. sup D D5 * SE K = = 4. = 8x. D E um 8, PARA E b) SE n É DE ENTHO DE 24. = 24.K * SET n 2, SE n NAO E DE3, n= n = 3K+1 n = 3K+2 n = # N=1, * Se n +1 SE 12t (3t+1) of 12 PAR = 12 = (6x+1) = 24. (2x+1) (3x+2)</p><p>data fecha D S S D L M M J V S 4 n2 +2 & * SE n E PAR 2K 2+2 = +2-42 = I 2 = 4 - -2 B * SE n I +3 PORTANTO NAO E 3.23) MOSTRE que, SE UM a NAO E 3, ENTAO a DEIXA PESTO 1 NA DIVISAO POR 3. MOSTREMOS que a2 a NAO 3: a = LOGO N=1 ou ¥ 5E a I = 2 = a2 (39+2) +129 +4 = b) A PARTIR DESSE b SAO 3 SE 3/a e SUPONHA POR que 3+ a PELO 39+1 ou SAPONHA que SE 3/a = * ANALOGO SE 3ta 31b, A 3 a ) 2</p><p>data fecha D 5 Q 5 D M M V S 3.24) SEJA N um PROVE que A DE POR 6 NUNCA up N = + SR rso N=6.9 d-s N2 3692 = SE r=1 N= N2= = N2 SE D N56q+2 RESTO E 3.25) RESTO DA N POR 20 É 8, É RESTO DA N A N= = (1) e <5 (2) 4(5q+2) = L= Asas L KEZ a KEZ was E DE N - N = e LOGO RESTO is 8805</p><p>data fecha D S T S S D L M M V 3.8) SEJAM a, EZ a) SE a MOSTRE que an - a + a a-6 SOBRE nz2, SE TEMOS: a-b SUPONHA que A PROPRIEDADE E PARA ALGUM n>2, MOSTREMOS que VALE PARA ants - - (a.an a-b a-b H.I n-1 a- b a-b an PORTANTO A PROPRIEDADE VALE PARA nts, n>2 TEOREMA DE FERMAT P = Ex: DETERMINE RESTO DA 2024 DE 3 47. 47 E ENTAO TEMOS: 1 (mod 47) 2024 3 (md47) 0 RESTO DA 1. Ex: DETERMINE 2022 0 RESTO DA 32024 DE 3 in 1 2 3 47) x.g 1 (mod 4 9x 9.21 mdc 1 21 (mod 47) 2022</p><p>data fecha D T 5 D M M DOS SEJAM MEN a, DIREMOS que SAO m, SE as RESTOS DE POR m b m TEOREMA DE Z E P a a a SL * pla * pt a P is DA a as as 2100 por b) POR 127 1. "((L-) * 1 mod 127 10/10 ( (53)7 (-2) mod E- = 1 -128 mod 127 127 mod 127 lot 16 25 c) 3. -1 mod 127 126 mod 127 * to Go mod3 (22 (ES 1 25 mod ES- 2E-1 mod 3 15 ES- - mod3 25 11 a Las ES + 225 1 mod3 (d 2 mod3 1 mod3 * ) d- 1 ) 5 1.5 mods 5 mod3 25 15 IN 16 2 LOGO 0 DA É</p><p>data fecha D S T Q S S D L M M V 12 Ex: CALCULAR 0 RESTO DA DE 11 5 (72) 56 d D 7 12 712 712 5 - 19 LOGO DA DE 11 5. Ex: PROVE FOR 13. * 3 mod 27 & 6 mod 13 3 13, 13 13 266 . 24 13 + mod 270 -3 is Ex: que: + 23101 É 66.0 FSI LS as E 43 And opal E 1 EL 101 (mod 66) at 43101 (mode 66) as - to 23 L- ES + Ebam 25 n E FOR 1. - as 0 (mod atb) S as S a -b L 1 an L as S an a an b) EL 0=9 a a opal S</p><p>data fecha D 5 0 5 D M M J V 5 Ex: DETERMINE RESTO DA DE POR 9= 999 99 x(-1) (mod 891 (mod - 891 1000) 109 99...9 = LOGO DA = 999 Ex: PROVE que POR n PARA LEMA: PARA n TEMOS: n=11 0 11 atb 0 atb) n -b (mod (mod a+b) an (modatb) Ex: PROVE POR INDUCAO que + 7n E 5, PARA n=1, 8+7=15=5.3, A É ii) SUPONHA que A PROPRIEDADE SEJA VÁLIDA PARA ALGUMENE QUEREMOS PROVAR que A PROPRIEDADE VALE PARA PARA KEZ 2nt2 PARA nts, TEMOS: - +7.7n com</p><p>data fecha D S T Q S S D L M M V S SeJA n UM MOSTRE que TEM PELO MENOS n FATORES PRIMOS i) PARA n = 1, TEMOS: 3, LOGO A PARA ii) A PROPRIEDADE VALE PARA nE N, AGORA que A VALE PARA -1 1 an ant2 TEM ALGUM DIFERENTE n DIVIGORES DE an Ex: SEJA P B que SAO PROVE que (a+b) PELO TROREMA FERMAT a+b D atb (dtn a na a b (modp) at b (modp)ED III (modp) A DOS a, bec POR 30. PROVE que TAMBEM E DIVISIVEL POR n5 n como 30 = TEMOS: (mods) a5+b5+c5 III 42 n5 n (mod2) POR 30.</p><p>data fecha D 5 T S 5 D L M M V S 22) MOSTRE PARA TODO N 3.5 + 2 E DIVISIVEL POR 17 APLICANDO SOBRE n, TEMOS: i) PARA n=1, 3.1+1 3.5 = 3.125 t = 23.17, LOGO A ii) SUPONHA A PROPRIEDADE SEJA VERDADEIRA PARA 2nts 3.5 = KEZ. AGORA, QUEREMOS DEMONSTRAR que A PROPRIEDADE SEJA VALIDA PARA 3.5 2n+3 3.5 +2 3.(5 ants 2 3. 25) + 8 2048 3. (17+8)) 17 + 3.5 8 + 3.5 17 + ants 3.5 17 + 8 (3.5 8), A PROPRIEDADE 16) DADA A (an), com n TAL que as 8 ants an = E = 7 an-1 PARA nz 2, are = alass PARA n=1, TEMOS as+1= as = 8 as-1 PARA = a3 8-1 PARA n=3, 8 a3 = 04 = I POR CONJECTURA, PERCEBEMOS que, A PARTIR so 10 TERMO, INDICES PONDE A E TODOS PARES, CORRESPONDE 8, como, PODE, TEMOS que IMPAR, LOGO ass= 8 7</p><p>data fecha D S S 5 D L M M V DOS 1905 PRIMEIROS DA an 51905 = ao tastas + 51905 51905 8.952 8.952 51905 = 51305 = 1+ 952.64 51905=1+8704 51905 = 8705 8 7) SEJAM a, bec INTEIROS, 3 MOSTRE a2 POR 3. a, be 1 2, POR 3. a=3msts a = com b= b com +2, com EZ 2 + LOGO + t 3 1) MOSTRE que INTEIRO a PAR SE SE a2 FOR SUPONHA a E PAR. um K TAL que a= 2K. DESSA FORMA, a =2K KEZ SE a PAR, a2 PARA VERIFICAR SE PAR, ENTAO a PROVAR A CONTRA-P SE a DE FATO: a= 2K+1 = +1 29+1,</p><p>data fecha D S T Q D L M M V 5 2) que DE CONSECUTIVOS 6 E que PRODUTO DE CONSECUTIVOS E POR 24 SEJA n. (nt2) 0 PRODUTO CONSECUTIVOS. mos PROVAR que DE Em TRES um PAR E APENAS DE 3, PRODUTO multiple BE ENTANTO, PROVAR UTILIZANDO DA ONDE n=6ktn PARA KEZ e r E {0, 3, n = x = 6/x; n = 6/x n= x = = (6k+4) n= = 6 6K+4 = 6/x n 4 61x Em TODOS CASOS, que 6 PRODUTO DE TRES CONSECUTIVOS. SEJA Y= n PRODUTO PRE PROVAR que DE FATO, Em QUATRO TEMOS = Dois PARES E DENTRE PARES, DELES OUTRO E DE 4, PRODUTO E DENTRE as DOS É DE 3. como PELO ITEM 61 n (nts). (n+2), ALEM Disso, como m que PROVAR que isso, BASTA 0 COMPORTAMENTO DE y PARA DA DE n POR 4. PELO ALGO DA que n=4k PARA KE Z e r E 18 n (n+3) = (4k+3). (4k+4) = 8/Y (a (K+1) n=4k+3 = 8K (K+1) 81Y Em TODOS CASOS, que 24 PRODUTO *</p><p>data fecha D S T D M M J V S 3) MOSTRE que PARA INTEIRO n PELO DA KEZ TESTANDO AMBOS CASOS, TEMOS: pois n= = pois Assim, 4) PROVE que SE SEJA NUMEROS CONSECUTIVOS PARA PROVAR que VERIFICAR que MAC ANALISAREMOS CADA CASO: DA a = KE 2, 3, 51x KEZ (a-1)(a+2) (a-2)(atd) SABEMOS que PORTANTO, mmc 5) SEJA MOSTRE 2 a) 2; SEJA USANDO ESCREVER a= KE 2K.(2K-1) a= PORTANTO, FOR</p><p>data fecha D Q D M M b) 3 a - a E POR SEJA = NO que 6 DIVIDE TRES a POR c) - a 30 SEJA x = a = a(a-s) PELO SABEMOS que 61x, POIS um DOS FATORES DE CONSECUTIVOS. como 6.5 = 30 e mdc (5,6) RESTA VERIFICAR ALGORITMO DA a KE Z in 2,3 3, 4} CADA DAS TEMOS: a = 5K a = 5K+ (a-1) 5K 51x a = a = 5K+3 51x a = 5K+4 (a+1)= 5 (K+1) Assim, l 61x 6) MOSTRE que TODO É DA FORMA É DA FORMA CONTRARIO FALSO TEMOS que = 2.3K +3 +2 = +2 = VEJAMOS NÚMERO DA FORMA 3K+2 que NAO E DA FORMA Lim DELES NA as DA FORMA NAO SAO FORMA 2,8,14,20,26 que CORRESPONDEM JUSTAMENTE AOS NUMEROS DA FORMA 7) DA a) TODO INTEIRO E DA FORMA ou SE n E ELE DEVE SER DA FORMA PELO DIVISAO, KEZ E DA CAGOS, = 2 LOGO, que n É DA FORMA 4k+1 ou</p><p>data fecha D S S S D L M M J V S QUADRADO DE TODO E DA FORMA 3K PELO DA n E DA FORMA n = PE Assim, 3.3p2 = 3K;KEZ n= n= = = KE Z QUADRADO DA FORMA 3K DE TODO FORMA 9K ou PELO ALGORITMO DA PEZ ERE {0,1, Assim, = = KEZ KE CUBO DE TODO FORMA OH 8) PROVE que INTEIRO DA 11, E DICA: MOSTRE que TODO PERFEITO E DA FORMA OBSERVE 11...11 = 10-1, AGORA PODEMOS ESCREVER 9 = (10-1) +10 n-2 +10+1. g ANALISAR DA DE NATURAL DA FORMA DA OBSERVE como 10=2.5, SE n>1, que = Assim, que >1. DESSA FORMA, 100 = 5n-3) 4K+3</p><p>data fecha D S 5 D L M M PROVE que SE a, bec SAO INTEIROS que E POR 9, ENTAO NO um sas TRES POR 3. VAmos CALCULAR CONFORME A TABELA AGORA CONSIDERE QUE: (mod3), ENTAO TEMOS: 1+1+1 -3(modg) ENTAO n+1 PARA CADA n, SEJA an= 2 +1. DETERMINE TODOS VALORES DE n PARA a 03 an É DIVISÍVEL POR 5. PARA n=1 as = (mod5) PARA n=2 as PARA n=3 PARA n=4 PARA as= (mods) UMA REPETIÇÃO DE RESTOS A CADA 4 TERMOS CONSECUTIVOS; - PARA BASE 2, TEREMOS ALGARISMOS DAS UNIDADES: SOMENTE KEZ PARA an = a4k= - 2 K PARA an= a4k+1= - PARA - 2 4k+3 PARA N=3 an= 8k+7 - (md4) ou</p>