Representação da incerteza

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<p>Métodos Experimentais em Engenharia</p><p>1</p><p>Representação da Incerteza</p><p>“Os valores numéricos da estimativa e da incerteza-padrão, ou da incerteza expandida,</p><p>não devem ser fornecidos com um número excessivo de algarismos. É geralmente suficiente</p><p>fornecer com até no máximo dois algarismos significativos...” [1]</p><p>1- Introdução</p><p>A incerteza é uma medida da dúvida que o operador possui dos resultados que obteve</p><p>numa certa medição. Portanto, ela é fundamental para identificar diversos aspectos da</p><p>qualidade destes resultados. Entre estes aspectos, está o número de algarismos com os quais</p><p>deve ser apresentado o resultado.</p><p>Qualquer operação realizada para se obter um valor experimental apresentará</p><p>dúvidas, inclusive a operação para se obter a incerteza relacionada a este valor. Nestas</p><p>condições, é natural que se pergunte: qual é a dúvida que existe no valor da incerteza? Esta</p><p>questão pode ser transformada em: quais são os algarismos significativos na representação da</p><p>incerteza?</p><p>Esta é uma discussão complexa e que depende da completude do conhecimento do</p><p>mensurando e de todas as suas grandezas de influência. Também depende do método</p><p>estatístico utilizado para a determinação do mensurando. Neste estudo, será feita uma análise</p><p>qualitativa de algumas questões importantes para esta determinação. Serão tratados aspectos</p><p>da padronização de representação e do método estatístico escolhido.</p><p>2- Padronização da representação</p><p>O mensurando é resultado de um conjunto de operações experimentais e</p><p>matemáticas. Ao representar o resultado, deve haver uma preocupação em indicar qual a</p><p>dúvida que existe neste resultado. O número de algarismos deste mensurando deve dar</p><p>informações sobre esta dúvida.</p><p>Para que o leitor de um mensurando qualquer não seja induzido a crer que haja</p><p>significância igual em todos os algarismos apresentados, padronizou-se escrever o número de</p><p>algarismos do mensurando de forma compatível com os de sua incerteza associada. Por</p><p>exemplo, as representações de um determinado mensurando X são adequadas:</p><p>X=(1,7382+/-0,0019)</p><p>X=(1,738+/-0,002)</p><p>onde o intervalo foi estimado, por exemplo, de forma a que o VVC (valor verdadeiro</p><p>convencional) esteja nele contido, com, por exemplo, 95% de probabilidade.</p><p>Métodos Experimentais em Engenharia</p><p>2</p><p>Ao indicar o valor mais provável de X com 5 algarismos significativos é de se esperar</p><p>que todos eles sejam confiáveis. Observa-se que o último deles, o “2”, certamente é menos</p><p>significativo que o penúltimo, o “8”, já que a incerteza apresentada mostra que há dúvidas</p><p>sobre ele.</p><p>Assim, acrescentar mais um algarismo ao mensurando, e, portanto, na sua incerteza</p><p>parece desnecessário. Desta forma, a padronização proposta pela ISO GUM [1] é de que a</p><p>incerteza seja dada com, no máximo, dois algarismos significativos, independente do método</p><p>utilizado para se determinar esta incerteza.</p><p>Vale lembrar que, em alguns casos, a incerteza é adotada como sendo o desvio padrão</p><p>de medidas de uma amostra. Se o número de amostras for significativo frente à população e a</p><p>distribuição for suficientemente conhecida, este desvio padrão pode ser determinado com</p><p>muitos algarismos significativos.</p><p>Aqui cabe uma avaliação criteriosa do operador:</p><p>- caso o objetivo da medição seja indicar o valor do desvio padrão da distribuição, ele deve</p><p>utilizar tantos algarismos quantos sejam significativos (este ponto será discutido no próximo</p><p>item);</p><p>- caso o objetivo seja indicar o valor mais provável desta medição, o desvio padrão da</p><p>distribuição é um excelente indicador da incerteza (tipo A) deste valor. Ao adotar o desvio</p><p>padrão como incerteza, o número de algarismos deverá ser limitado a dois.</p><p>Para concluir, há diversos documentos que propõem uma padronização para o uso de</p><p>1 ou 2 algarismos significativos para a incerteza. Com base no intervalo resultante, podem ser</p><p>identificados 3 tipos de orientação:</p><p>- use um algarismo, quando sua experiência indicar que este algarismo é suficiente para definir</p><p>os intervalos nos quais o mensurando tem probabilidade de estar. Este é também o caso no</p><p>qual o método escolhido para identificar esta incerteza só permite estimar a sua ordem de</p><p>grandeza;</p><p>- use dois algarismos, quando o resultado vai ser utilizado para a determinação de outro valor</p><p>na sequência do processo. Neste caso, às vezes a propagação desta incerteza com um único</p><p>algarismo pode tornar o intervalo resultante de todo o processo muito maior ou muito menor</p><p>do que o razoável em face à qualidade das medições. Por questões de conservadorismo, na</p><p>dúvida arredonde a incerteza para cima, garantindo intervalos mais confiáveis para a</p><p>probabilidade pretendida.;</p><p>- use um algarismo, se este for maior que “3” e dois se for menor. O argumento é que, por</p><p>exemplo, se um intervalo que garante 95% de incidência for +/- 1,5, arredondá-lo para +/-2</p><p>aumenta em demasia a probabilidade de o valor estar neste intervalo. Reduzi-lo para +/- 1, por</p><p>outro lado, reduz demais esta probabilidade. Já arredondar +/-8,5 para +/-9 mantém os</p><p>intervalos na mesma ordem de grandeza (no item seguinte este ponto será retomado).</p><p>Métodos Experimentais em Engenharia</p><p>3</p><p>3- Limitações dos métodos estatísticos utilizados</p><p>De forma geral, a maior limitação dos métodos estatísticos (métodos tipo A) para se</p><p>determinar a incerteza está na falta de conhecimento perfeito do mensurando e de todas suas</p><p>grandezas de influência. Como raramente apenas uma grandeza interfere no mensurando,</p><p>normalmente não faz sentido conhecer uma das grandezas com um número excessivo de</p><p>algarismos significativos.</p><p>Uma exceção para esta condição é quando o conhecimento do mensurando é muito</p><p>bom e pode-se afirmar que um número grande de medições diretas do mensurando permite</p><p>conhecer com precisão o intervalo que provavelmente envolve o valor verdadeiro. Esta</p><p>hipótese precisa considerar que as flutuações de grandezas de influência afetam</p><p>aleatoriamente o mensurando. Por exemplo, se a incerteza do instrumento de medição</p><p>(portanto incerteza da grandeza de influência “valor indicado no instrumento”) for muito</p><p>menor que a variação natural do mensurando, esta hipótese é razoável. Por outro lado, se, por</p><p>exemplo, uma balança de resolução de 0,1 kg for usada para medir valores de uma massa de</p><p>cerca de 0,1 kg, um número grande de medições não deve ser útil para obter a incerteza da</p><p>medição. Outras grandezas de influência podem ser ainda mais significativas que a incerteza</p><p>da leitura do instrumento.</p><p>De qualquer forma, o uso dos métodos estatísticos possuem limitações, em geral</p><p>associadas à dificuldade de obtenção de um número grande de medições ou da falta de</p><p>utilidade de intervalos muito exatos para a tomada de uma decisão.</p><p>O efeito do número de medições em mensurando com distribuição normal e o efeito</p><p>da incerteza na precisão do intervalo serão discutidos a seguir.</p><p>3.1 Número de medições</p><p>A Figura 1 corresponde à realização de 7 ensaios, cada um com 10 medições. Sabe-se</p><p>que a distribuição possui um comportamento normal, com valor médio de 1 e desvio padrão</p><p>de 0,1.</p><p>Métodos Experimentais em Engenharia</p><p>4</p><p>Figura 1 – Resultados de 7 ensaios com 10 medições cada</p><p>Fonte: autoria própria</p><p>Observa-se que as propriedades de cada ensaio variam ligeiramente, apesar do</p><p>mensurando ser exatamente o mesmo. Claramente, o valor médio do sétimo ensaio é</p><p>ligeiramente menor que o valor médio do sexto ensaio. Também se observa que a dispersão</p><p>do sexto ensaio é maior do que a do quinto.</p><p>De forma numérica, esta avaliação pode ser vista na Figura 2, onde o esperado para o</p><p>mensurando foi adotado com sendo o valor médio e está representado por um ponto. A barra</p><p>simétrica em relação ao valor médio representa o desvio padrão das 10 medições em cada</p><p>ensaio.</p><p>0,0</p><p>0,2</p><p>0,4</p><p>0,6</p><p>0,8</p><p>1,0</p><p>1,2</p><p>1,4</p><p>1 2 3 4 5 6 7</p><p>V</p><p>a</p><p>lo</p><p>r</p><p>d</p><p>a</p><p>m</p><p>e</p><p>d</p><p>iç</p><p>ã</p><p>o</p><p>Número do Ensaio</p><p>Resultado</p><p>de 7 ensaios,</p><p>cada um com 10 medições.</p><p>Métodos Experimentais em Engenharia</p><p>5</p><p>Figura 2 – Representação da média e desvio padrão de cada ensaio</p><p>Fonte: autoria própria</p><p>Se o número de medições em cada ensaio crescer, as médias tenderão ao valor do</p><p>mensurando – neste caso 1. Também o seu desvio padrão tenderá ao desvio padrão do</p><p>mensurando, neste caso, 0,1. Claramente a informação obtida sobre o desvio padrão</p><p>utilizando 10 medições não é exata.</p><p>O valor mais provável do desvio padrão pode ser estimado a partir do desvio padrão</p><p>de qualquer uma das amostras. No entanto, haverá uma dúvida nesta estimativa. De acordo</p><p>com as propriedades da distribuição normal e da amostragem, o ISO GUM apresenta a Tabela</p><p>1, na qual a variação do desvio padrão determinado a partir da amostra de N medições está</p><p>indicada em % do desvio padrão obtido. Associando o desvio padrão à incerteza, podemos</p><p>dizer que a tabela indica a “incerteza da incerteza” (grau de dúvida no desvio padrão da</p><p>população), em função do número de medições da amostra.</p><p>Tabela 1: Desvio-padrão do desvio-padrão experimental da média de n observações independentes de uma variável aleatória</p><p>normalmente distribuída q, relativamente ao desvio-padrão da média [2]</p><p>N incerteza da</p><p>incerteza (%)</p><p>2 76%</p><p>3 52%</p><p>4 42%</p><p>5 36%</p><p>10 24%</p><p>20 16%</p><p>30 13%</p><p>50 10%</p><p>O gráfico da Figura 3 representa os pontos desta tabela.</p><p>0,0</p><p>0,2</p><p>0,4</p><p>0,6</p><p>0,8</p><p>1,0</p><p>1,2</p><p>1 2 3 4 5 6 7</p><p>Valor estimado do mensurando a</p><p>partir da média de 10 medições</p><p>Métodos Experimentais em Engenharia</p><p>6</p><p>Figura 3- Incerteza da incerteza em função do número de medições</p><p>Fonte: autoria própria</p><p>De forma aproximada, esta estimativa pode ser calculada pela expressão [2]:</p><p>1</p><p>�2(� − 1)</p><p>Ou seja, quanto maior o número de medições, maior será a exatidão do desvio padrão</p><p>da população obtido a partir das medições. Entretanto, mesmo para um número grande de</p><p>medições, como 50, a estimativa que pode ser feita do desvio padrão possui uma incerteza de</p><p>cerca de 10% do valor real.</p><p>Assim, um número elevado de algarismos significativos na incerteza determinada a</p><p>partir do desvio padrão de poucas medições não faz sentido. Por exemplo, se o desvio padrão</p><p>de 50 medições for de 1,000, não é adequado escrever a incerteza com mais do que dois</p><p>algarismos, ou seja, u=1,0. Um acréscimo de 1 no último algarismo significativo (1,1), significa</p><p>um dúvida de 10% do seu valor. Mais um algarismo na incerteza (1,00) não fornece mais</p><p>informações do que as disponíveis com “apenas” 50 medições, e dá a falsa impressão de maior</p><p>precisão no valor indicado.</p><p>Além disso, ao escrever a incerteza com 2 algarismos, sabendo que a dispersão desta</p><p>incerteza é de, por exemplo 10%, poderíamos escrever que a incerteza obtida pelo desvio</p><p>padrão de 50 medições seria (0,10 +/-10%). Isto significa que, se diversos grupos refizerem o</p><p>ensaio com outras 50 medições, apenas cerca de 68% dos grupos obteria valores da incerteza</p><p>dentro deste intervalo. Lembre-se que, em uma distribuição normal, um intervalo de +/- um</p><p>desvio padrão em torno de um valor médio representa apenas cerca de 68% dos resultados</p><p>obtidos.</p><p>0%</p><p>10%</p><p>20%</p><p>30%</p><p>40%</p><p>50%</p><p>60%</p><p>70%</p><p>80%</p><p>1 10 100Número de medições (N)</p><p>Estimativa da incerteza da incerteza</p><p>(%)</p><p>Métodos Experimentais em Engenharia</p><p>7</p><p>Assim sendo, a dúvida sobre o valor da incerteza da média obtida pelo desvio padrão</p><p>de 50 medidas não possui mais do que dois algarismos significativos, mesmo em uma</p><p>distribuição perfeitamente conhecida e simples. Se um algarismo extra já é inútil na</p><p>distribuição normal, em um mensurando para o qual há diversas grandezas de influência com</p><p>distribuições não perfeitamente normais ou conhecidas, este algarismo extra é ainda menos</p><p>significativo.</p><p>3.2 Precisão do intervalo</p><p>O intervalo, no qual o valor verdadeiro deve estar, naturalmente depende do valor</p><p>estimado e da variação dos valores obtidos experimentalmente. Supondo que estes valores</p><p>apresentem uma distribuição idealmente normal, a curva da Figura 4 pode ser utilizada para</p><p>determinar este intervalo [2], de acordo com a probabilidade considerada.</p><p>Figura 4- Probabilidade e fator de abrangência</p><p>Fonte: autoria própria</p><p>O intervalo, no caso simétrico, é determinado em função do fator de abrangência k</p><p>por:</p><p>+/- U = +/- k.u</p><p>com a incerteza “u” sendo adotada como o desvio padrão de um número suficientemente</p><p>grande de medidas (por exemplo, n “infinito”, ou “muito maior que 50”). Ou seja, neste caso</p><p>extremo, há um conhecimento praticamente perfeito do desvio padrão, com tantos algarismos</p><p>significativos quantos desejados.</p><p>Ao se observar essa curva, percebe-se que quanto maior o fator de abrangência, maior</p><p>a probabilidade do valor verdadeiro estar dentro do intervalo desejado. Nota-se também que a</p><p>0,00%</p><p>20,00%</p><p>40,00%</p><p>60,00%</p><p>80,00%</p><p>100,00%</p><p>0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00</p><p>Probabilidade do VVC estar no</p><p>intervalo</p><p>x</p><p>Fator de abrangência</p><p>Métodos Experimentais em Engenharia</p><p>8</p><p>curva não apresenta comportamento linear, apresentando um efeito de “saturação” a partir</p><p>de k=1,5, aproximadamente.</p><p>Tipicamente são utilizados três fatores de abrangência k:</p><p>- k=1, para o qual o intervalo obtido possui cerca de 68,3% (é um número irracional) de incluir</p><p>o valor verdadeiro. Este intervalo normalmente é utilizado para trocar informações entre</p><p>grupos de mesma competência técnica, pois facilita a conversa (a amplitude do intervalo é</p><p>numericamente igual à incerteza). Observe que deste intervalo estão excluídos 32,7% (cerca</p><p>de 1/3) dos valores obtidos experimentalmente.</p><p>- k=2, que determina um intervalo com probabilidade de 95,4% (cerca de 95%) Este intervalo é</p><p>muito bom para representar um valor aceitável para os valores obtidos, sendo aquele</p><p>normalmente utilizado para representar resultados em engenharia. Provavelmente, como em</p><p>todo intervalo de uma distribuição normal, parte dos resultados obtidos estarão fora do</p><p>intervalo proposto.</p><p>- k=3, que determina um intervalo de cerca de 99,7%. Muitas vezes este intervalo é</p><p>considerado suficiente para afirmar que um resultado fora dele é “praticamente” impossível.</p><p>Naturalmente se milhões de medições forem realizadas, muitas estarão fora deste intervalo.</p><p>A Figura 5 apresenta uma ampliação da curva anterior em torno de k=2.</p><p>Figura 5- Probabilidade e fator de abrangência em torno de k=2</p><p>Fonte: autoria própria</p><p>Observa-se que o conhecimento preciso de k, e também da incerteza, permite o</p><p>cálculo preciso da determinação da probabilidade do valor verdadeiro encontrar-se dentro do</p><p>intervalo declarado (+/- U).</p><p>1,96; 95,0%</p><p>93,0%</p><p>94,0%</p><p>95,0%</p><p>96,0%</p><p>97,0%</p><p>1,80 1,90 2,00 2,10 2,20</p><p>k (fator de abrangência)</p><p>Probabilidade do VVC estar no intervalo</p><p>x</p><p>Fator de abrangência</p><p>Métodos Experimentais em Engenharia</p><p>9</p><p>Suponha que seja suficiente, para uma determinada aplicação, afirmar que o valor</p><p>verdadeiro se encontra no intervalo indicado com aproximadamente 95% de chance. Suponha</p><p>ainda, que, por exemplo, “aproximadamente” signifique qualquer ponto da figura 5, algo entre</p><p>93% e 97%. Neste caso, a exatidão deste intervalo não precisa ser perfeita. Se ao invés de usar</p><p>k=2,0, for usado k=1,8 ou k=2,2 (os limites da figura são k=2 mais ou menos 10%) para a</p><p>determinação do intervalo, a afirmação “aproximadamente com 95% de chance” significa que</p><p>a precisão de 10% na determinação do intervalo está adequada.</p><p>Uma vez que o intervalo depende da multiplicação do fator de abrangência pela</p><p>incerteza estimada, é aceitável, neste caso, também uma variação de 10% da incerteza.</p><p>Portanto, declarar um k, ou uma incerteza, com muitos algarismos significativos torna-se</p><p>desnecessário.</p><p>A Figura 6 ilustra o mesmo raciocínio para um intervalo que abrange</p><p>aproximadamente 68 % dos valores obtidos em um número infinito de medições.</p><p>Figura 6- Probabilidade e fator de abrangência em torno</p><p>de k=1</p><p>Fonte: autoria própria</p><p>Observa-se que o conhecimento com precisão do valor do fator de abrangência de</p><p>10% (entre 0,9 e 1,1), produz intervalos que possuem a chance de abranger o valor verdadeiro</p><p>como algo entre 63% e 73%.</p><p>Na Figura 7, observa-se que o efeito de conhecer o fator de abrangência igual a 3 com</p><p>10% de precisão (entre 2,7 e 3,3), implica em definir intervalos muitos semelhantes, nos quais</p><p>a probabilidade do valor verdadeiro estar dentro deles é muito próxima de 99,7%. Este</p><p>resultado provém do efeito de “saturação” da curva, já observado anteriormente na Figura 4.</p><p>1; 68,3%</p><p>63,0%</p><p>65,0%</p><p>67,0%</p><p>69,0%</p><p>71,0%</p><p>73,0%</p><p>0,90 0,95 1,00 1,05 1,10</p><p>Probabilidade do VVC estar no intervalo</p><p>x</p><p>Fator de abrangência</p><p>Métodos Experimentais em Engenharia</p><p>10</p><p>Figura 7- Probabilidade e fator de abrangência em torno de k=3</p><p>Fonte: autoria própria</p><p>Pode-se concluir que conhecer o intervalo com muito mais do que 10% de precisão é</p><p>pouco útil para a tomada de decisões, quando é suficiente afirmar que “o valor verdadeiro</p><p>possui aproximadamente 68% (ou 95% ou 99,7%) de chance de estar no intervalo declarado”.</p><p>Uma vez que o intervalo é determinado tanto pelo valor de k, como pelo valor da incerteza u,</p><p>conhecer o valor desta incerteza com muito mais do que 10% de precisão raramente será útil</p><p>para efeitos práticos. Naturalmente se, para a tomada de decisões, for necessário afirmar que</p><p>“a probabilidade do VVC encontrar-se no intervalo indicado é de exatamente 95,000%” o</p><p>número de medições e de algarismos significativos para a declaração da incerteza tenderia a</p><p>infinito.</p><p>A representação de uma incerteza com um determinado número de algarismos</p><p>significativos implica no conhecimento desta incerteza com uma determinada exatidão. Na</p><p>Figura 8 foi traçado um gráfico com três curvas, que representam o número de algarismos</p><p>significativos utilizados para representar a incerteza: 1(curva azul); 2(curva vermelha); e 3</p><p>(curva verde). Naturalmente, o efeito do número de algarismos significativos na precisão</p><p>percentual da incerteza é dependente do valor da incerteza.</p><p>Por exemplo, a resolução de 1 algarismo para uma incerteza de valor “1”, produz 100%</p><p>de dúvida (1 em 1). Já a resolução de 2 algarismos na mesma incerteza, reduz a dúvida para</p><p>10%. A resolução de dois algarismos numa incerteza igual a 5 produz uma dúvida de 2% (0,1</p><p>em 5,0, com 5,0 possuindo 2 algarismos significativos).</p><p>3; 99,7%</p><p>99,3%</p><p>99,4%</p><p>99,5%</p><p>99,6%</p><p>99,7%</p><p>99,8%</p><p>99,9%</p><p>2,70 2,80 2,90 3,00 3,10 3,20 3,30</p><p>Probabilidade do VVC estar no intervalo</p><p>x</p><p>Fator de abrangência</p><p>Métodos Experimentais em Engenharia</p><p>11</p><p>Esta análise justifica a recomendação prática de se utilizar dois algarismos</p><p>significativos para incertezas cujo primeiro algarismo seja 1 ou 2. O valor da precisão</p><p>percentual diminui para incertezas com o primeiro algarismo igual a 3 ou maior, justificando a</p><p>possibilidade de utilização de um único algarismo significativo nesses casos. Em qualquer caso,</p><p>não há justificativa prática para se utilizar mais que dois algarismos significativos na</p><p>representação da incerteza.</p><p>Figura 8- Incerteza percentual da incerteza versus valor da incerteza, em função do número de algarismos significativos</p><p>em sua representação.</p><p>Fonte: elaboração própria</p><p>Portanto não são necessários 3 algarismos significativos para representar uma</p><p>incerteza, uma vez que, como discutido anteriormente, raramente é necessário conhecer com</p><p>muita precisão o percentual dos resultados esperados que ficarão dentro do intervalo</p><p>determinado.</p><p>Por outro lado, a representação com apenas um algarismo significativo para o valor</p><p>resultante do intervalo, deverá ser restrita a intervalos que representem altas probabilidades</p><p>de abranger o Valor Verdadeiro Convencional (por exemplo, 95% ou 99,7%), ou para incertezas</p><p>cujo primeiro algarismo seja 3 ou maior.</p><p>4- Conclusão</p><p>Propor um número de algarismos significativos para a incerteza é uma tarefa que exige</p><p>um excelente conhecimento do mensurando. Mas mesmo neste caso, a utilidade da incerteza</p><p>e o rigor estatístico raramente permitirão conhecer a incerteza com mais do que dois</p><p>algarismos significativos.</p><p>0,1%</p><p>1,0%</p><p>10,0%</p><p>100,0%</p><p>0 2 4 6 8 10 12</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>número de</p><p>algarismos</p><p>significativos</p><p>Métodos Experimentais em Engenharia</p><p>12</p><p>O estudo apresentado promoveu algumas explicações e justificativas para as</p><p>recomendações da ISO GUM [1], referentes à representação da incerteza com um número</p><p>máximo de dois algarismos significativos, já que um número maior não teria nenhum</p><p>significado prático, tendo em vista os métodos estatísticos envolvidos nos processos</p><p>experimentais de medição. Segue abaixo transcrição de item específico sobre “Relatando a</p><p>Incerteza”, extraído deste documento:</p><p>“7.2.6 Os valores numéricos da estimativa y e da incerteza-padrão uc(y), ou da incerteza</p><p>expandida U, não devem ser fornecidos com um número excessivo de algarismos. É</p><p>geralmente suficiente fornecer uc(y) e U [assim como as incertezas-padrão u(xi) das</p><p>estimativas de entrada xi uc(y) e U [assim como as incertezas-padrão u(xi) das</p><p>estimativas de entrada xi] com até no máximo dois algarismos significativos, embora, em</p><p>alguns casos, seja necessário reter algarismos adicionais para evitar erros de</p><p>arredondamento nos cálculos subsequentes. Ao relatar resultados finais, às vezes pode</p><p>ser apropriado arredondar incertezas para cima, em vez de arredondar até o algarismo</p><p>mais próximo. Por exemplo, uc(y) = 10,47 mΩ pode ser arredondada para 11 mΩ.</p><p>Entretanto, deve prevalecer o bom senso, e um valor como u(xi) = 28,05 kHz deve ser</p><p>arredondado para baixo, para 28 kHz. As estimativas de entrada e de saída devem ser</p><p>arredondadas para ficarem consistentes com suas incertezas; por exemplo, se y = 10,057</p><p>62 mΩ com uc(y) = 27 mΩ, y deve ser arredondado para 10,058 mΩ.”</p><p>5- Referências</p><p>[1] Avaliação de dados de medição — Guia para a expressão de incerteza de medição.</p><p>Tradução da versão original de 2008. INMETRO. Disponível em:</p><p><http://www.inmetro.gov.br/noticias/conteudo/iso_gum_versao_site.pdf>. Acesso em: 13</p><p>janeiro 2016.</p><p>[2] “Fundamentos da teoria de Erros”, J.H. Vuolo, Editora Edgard Blücher, 2ª. Edição, 1996</p><p>Autor</p><p>Apostila elaborada pelo prof. Julio Carlos Teixeira e revisada pela profa. Denise Consonni.</p>