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Apostila de Tipografia da UFPR 2

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• Inclinação da baliza na hora de realizar a medida; 
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• Erro de pontaria na leitura de direções horizontais. 
 
 
1.4.4 - Precisão e Acurácia 
 
A precisão está ligada a repetibilidade de medidas sucessivas 
feitas em condições semelhantes, estando vinculada somente a efeitos 
aleatórios. 
 
A acurácia expressa o grau de aderência das observações em 
relação ao seu valor verdadeiro, estando vinculada a efeitos aleatórios e 
sistemáticos. A figura 1.15 ilustra estes conceitos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.15 - Precisão e acurácia. 
 
O seguinte exemplo pode ajudar a compreender a diferença 
entre eles: um jogador de futebol está treinando cobranças de pênalti. 
Ele chuta a bola 10 vezes e nas 10 vezes acerta a trave do lado direito do 
goleiro. Este jogador foi extremamente preciso. Seus resultados não 
apresentaram nenhuma variação em torno do valor que se repetiu 10 
vezes. Em compensação sua acurácia foi nula. Ele não conseguiu acertar 
o gol, “verdadeiro valor”, nenhuma vez. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 - REVISÃO MATEMÁTICA 
 
 
 
Neste capítulo é realizada uma revisão de unidades e 
trigonometria, necessária para o estudo dos próximos temas a serem 
abordados. 
 
2.1 - Unidades de Medida 
 
2.1.1 - Medida de Comprimento (metro) 
 
A origem do metro ocorreu em 1791 quando a Academia de 
Ciências de Paris o definiu como unidade padrão de comprimento. Sua 
dimensão era representada por 1/10.000.000 de um arco de meridiano da 
Terra. 
Em 1983, a Conferência Geral de Pesos e Medidas estabeleceu 
a definição atual do “metro” como a distância percorrida pela luz no 
vácuo durante o intervalo de tempo de 1/299.792.458 s. 
O metro é uma unidade básica para a representação de medidas 
de comprimento no sistema internacional (SI). 
 
Tabela 2.1 - Prefixos. 
Nome 
Valor 
Numérico 
Símbolo Nome 
Valor 
Numérico 
Símbolo 
Deca 101 da deci 10-1 d 
Hecto 102 H centi 10-2 c 
Kilo 103 K mili 10-3 m 
Mega 106 M micro 10-6 µ 
Giga 109 G nano 10-9 n 
Tera 1012 T pico 10-12 p 
 
 
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2.1.2 - Medida Angular 
 
2.1.2.1 - Radiano 
Um radiano é o ângulo central que subentende um arco de 
circunferência de comprimento igual ao raio da mesma. É uma unidade 
suplementar do SI para ângulos planos. 
2πR — 360º arco = R = raio (2.1) 
Raio
Ra
io
θ
Arco
 
Figura 2.1 - Representação de um arco de ângulo. 
 
 
2.1.2.2 - Unidade Sexagesimal 
Grau 
1 grau = 1/360 da circunferência 
grau ° 1° = (π /180) rad 
minuto ’ 1’ = 1°/60= (π/10800) rad 
segundo ” 1” = 1°/3600 = (π/648000) rad 
 
 
2.1.2.3 - Unidade Decimal 
Grado 
1 grado =1/400 da circunferência 
Um grado é dividido em 100’ e cada minuto tem 100”. 
 
 
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2.1.2.4 - Exercícios 
 
1) Transformação de ângulos: 
 
Transforme os seguintes ângulos em graus, minutos e segundos 
para graus e frações decimais de grau. 
a) 32º 28’ 59” = 32, 48305556º 
b) 17º 34’ 18,3” = 17,57175º 
c) 125º 59’ 57” = 125,9991667º 
d) 200º 08’ 06” = 200,135º 
 
2) Soma e subtração de ângulos: 
 
30º20’ + 20º 52’ = 
 
 30º20’ 
+20º52’ → 51º 12’ 
 50º72’ 
 
 
28º41’ + 39°39’ = 
 
 28º41’ 
+39º39’ → 68º 20’ 
 67º80’ 
 
 
42º30’ - 20°40’ = 
 
 
 42º30’ 41º 90’ 
- 20º40’ → - 20º 40’ → 21º 50’ 
 21º 50’ 
 
 
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OBS: é comum, utilizando a calculadora, obter resultados 
com várias casas decimais, neste caso, recomenda-se o arredondamento. 
Por exemplo: 
 
 30º20’ 30,33333333º 
 - 20º52’ → - 20,86666666º → 
 21º 50’ 9,56666666º 
 
 = 9º 27’ 59,999999’’ = 9º 28’ 
 
Já para a transformação de graus decimais para graus, 
minutos e segundos, é necessário manter um mínimo de 6 casas 
decimais para obter o décimo do segundo com segurança. 
 
3) Cálculo de funções trigonométricas utilizando uma calculadora 
Ao aplicar as funções trigonométricas (seno, cosseno e 
tangente), com uma calculadora, o ângulo deve estar em graus e frações 
de graus ou radianos, sendo que neste último caso, a calculadora deve 
estar configurada para radianos. Por exemplo: 
 
Para o ângulo 22º 09’ 04”, calcular o valor do seno, cosseno e 
tangente: 
1º) transformar para graus decimais ou radianos: 
22º 09’ 04” = 22,1511111º = 0,386609821864 rad 
 
2º) aplicar a função trigonométrica desejada: 
sen(22,1511111º) = sen(0,386609821864 rad) = 0,377050629 
cos(22,1511111º) = cos(0,386609821864 rad) = 0,926192648 
tg(22,1511111º) = tg(0,386609821864 rad) = 0,407097411 
 
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Ao aplicar-se a função sem a transformação do ângulo pode-
se incorrer em erros nos cálculos futuros, como é possível observar no 
exemplo a seguir. 
Para o ângulo α = 22º 09’ 04” calculando-se o valor da função 
seno sem converter o valor do ângulo, obtém-se: 
sen(22,0904) = 0,376069016 
Já transformando-o para graus decimais obtém-se: 
 
sen(22,1511111º) = 0,377050629 
Considerando uma distância de 300 m, entre um vértice de uma 
poligonal e um ponto de detalhe qualquer, pode-se observar a seguinte 
diferença no valor de ∆x calculado. 
∆x = 300 × sen (22,0904) = 300 × 0,376069016 → ∆x = 112,821 m 
∆x = 300 × sen (22,1511111) = 300 × 0,377050629 → ∆x = 113,115 m 
Logo, uma diferença de 29,4 cm. 
 
2.2 - Revisão de Trigonometria Plana 
 
A trigonometria teve origem na Grécia, em virtude dos 
estudos das relações métricas entre os lados e os ângulos de um 
triângulo, provavelmente com o objetivo de resolver problemas de 
navegação, Agrimensura e Astronomia. 
 
2.2.1 - Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo 
 
A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. A 
partir da figura 2.2 podem ser estabelecidas as seguintes relações: 
 
 
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Figura 2.2 - Triângulo retângulo. 
 
Seno 
sen α =
) (
) ( 
aHipotenusa
cOpostoCateto
 
 
 
Cosseno 
cos α = 
) (
) ( 
aHipotenusa
bAdjacenteCateto
 
 
 
Tangente 
tg α = 
) ( 
) ( 
bAdjecenteCateto
cOpostoCateto
 
 
 
 
 
 
α
β
a
A
B
C
b
c
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2.2.2 - Teorema de Pitágoras 
 
“O quadrado do comprimento da hipotenusa é igual a soma 
dos quadrados dos comprimentos dos catetos.” 
 
222 cba += (2.2) 
 
2.3 - Exercícios 
1) No triângulo abaixo, determinar as relações solicitadas. 
α
β
a = 2m
m
A
B
C
b = 3
c = 1m
 
 
sen α = 
2
1
 
 2
 1
=
m
m
 cos β = 
2
1
 
 2
 1
=
m
m
 
cos α = 
2
3
 
 2
 3
=
m
m
 sen β =
2
3
 
 2
 3
=
m
m
 
tg α = 
3
1
 
 3
 1
=
m
m
 tg β = 3 
 1
 3
=
m
m
 
 
Obs.: É importante lembrar que as funções trigonométricas são 
adimensionais, ou seja, para qualquer unidade que esteja sendo utilizada, 
elas sempre se simplificarão como pode ser visto no exemplo acima. 
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2) Um observador na margem de um rio vê o topo de uma torre 
na outra