Capítulo 28 - Campos Magnéticos

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<p>Halliday</p><p>www.grupogen.com.br</p><p>http://gen-io.grupogen.com.br</p><p>Fundamentos de Física</p><p>Volume 3</p><p>http://www.grupogen.com.br/</p><p>http://gen-io.grupogen.com.br/</p><p>O GEN | Grupo Editorial Nacional reúne as editoras Guanabara Koogan, Santos, Roca, AC Farmacêutica,</p><p>LTC, Forense, Método, E.P.U. e Forense Universitária</p><p>O GEN-IO | GEN – Informação Online é o repositório de material suplementar dos livros dessas editoras</p><p>www.grupogen.com.br</p><p>http://gen-io.grupogen.com.br</p><p>http://www.grupogen.com.br/</p><p>http://gen-io.grupogen.com.br/</p><p>Capítulo 28</p><p>Campos Magnéticos</p><p>O Que Produz um Campo Magnético?</p><p>Os campos magnéticos podem ser produzidos de</p><p>duas formas.</p><p>A primeira forma é usar partículas eletricamente</p><p>carregadas em movimento, como os elétrons</p><p>responsáveis pela corrente elétrica em um fio, para</p><p>fabricar um eletroímã. A corrente produz um campo</p><p>magnético.</p><p>A outra forma de produzir um campo magnético é</p><p>usar partículas elementares, como os elétrons, que</p><p>possuem um campo magnético intrínseco.</p><p>Em alguns materiais, os campos magnéticos dos</p><p>elétrons se somam para produzir um campo magnético</p><p>no espaço que cerca o material. É por isso que um</p><p>ímã permanente possui um campo magnético</p><p>permanente.</p><p>Na maioria dos materiais, por outro lado, os campos</p><p>magnéticos dos elétrons se cancelam e o campo</p><p>magnético em torno do material é nulo.</p><p>A Definição de B</p><p>Podemos fazer uma analogia direta com a definição de campo elétrico.</p><p>A Definição de B</p><p>Podemos definir um campo magnético B fazendo uma partícula carregada passar</p><p>pelo ponto onde queremos definir o campo, usando várias direções e velocidades</p><p>para a partícula e medindo a força que age sobre a partícula nesse ponto. B é</p><p>definido como uma grandeza vetorial cuja direção coincide com aquela para a qual</p><p>a força é zero.</p><p>A força magnética que age sobre uma partícula carregada, FB, é definida através da</p><p>equação</p><p>onde q é a carga da partícula, v é a velocidade da partícula e B é o campo</p><p>magnético. O módulo da força é, portanto,</p><p>onde  é o ângulo entre os vetores v e B.</p><p>Determinação da Força Magnética</p><p>A unidade de campo magnético do SI é o tesla</p><p>(T), que equivale a um newton por coulomb-</p><p>metro por segundo ou um newton por</p><p>ampère-metro:</p><p>Uma unidade antiga de campo magnético,</p><p>que não pertence ao SI mas ainda é usada na</p><p>prática, é o gauss (G). A relação entre o gauss</p><p>e o tesla é a seguinte:</p><p>A Definição de B</p><p>Linhas de Campo Magnético</p><p>• A direção da tangente a uma linha de campo</p><p>magnético em qualquer ponto do espaço fornece a</p><p>direção de B nesseponto.</p><p>• O espaçamento das linhas representa o módulo de B ;</p><p>quanto mais intenso é o campo, mais próximas estão</p><p>as linhas, e vice-versa.</p><p>Exemplo: Força Magnética sobre uma Partícula em Movimento</p><p>Campos Cruzados: A Descoberta do Elétron</p><p>1. Com E = 0 e B = 0 o ponto luminoso não sofre deflexão.</p><p>2. Aplicar o campo elétrico E e medir a deflexão resultante do feixe.</p><p>3. Mantendo E, ligar agora B e ajustar o seu valor até que o feixe retorne</p><p>à posição sem deflexão.</p><p>Campos Cruzados: A Descoberta do Elétron</p><p>Substituindo ay e t, obtemos</p><p>Quando os dois campos são ajustados para que a força elétrica e a força magnética se</p><p>cancelem mutuamente, temos:</p><p>Campos Cruzados: A Descoberta do Elétron</p><p>Campos Cruzados: O Efeito Hall</p><p>A figura mostra uma fita de cobre percorrida por uma corrente i e submetida a um campo</p><p>magnético. (a) Situação logo depois que o campo magnético é aplicado, mostrando a</p><p>trajetória curva de um elétron. (b) Situação após o equilíbrio ser atingido, o que acontece</p><p>rapidamente. Observe que cargas negativas se acumulam do lado direito da fita, deixando</p><p>cargas positivas não compensadas do lado esquerdo. Assim, o potencial é maior do lado</p><p>esquerdo. (c) Para o mesmo sentido da corrente, se os portadores de carga fossem positivos,</p><p>tenderiam a se acumular no lado direito, que ficaria com um potencial maior.</p><p>Campos Cruzados: O Efeito Hall</p><p>Ao campo elétrico E que se estabelece entre as bordas da fita está associada uma diferença de</p><p>potencial</p><p>onde d é a largura da fita. Quando as forças elétrica e magnética estão em equilíbrio,</p><p>onde vd é a velocidade de deriva. Além disso,</p><p>onde J é a densidade de corrente, n é o número de cargas por unidade de volume e A é a área da</p><p>seção reta dada pela expressão</p><p>Assim,</p><p>onde l = A/d é a espessura da fita.</p><p>Exemplo: Diferença de Potencial em um Condutor em Movimento</p><p>Exemplo: Diferença de Potencial em um condutor em movimento (continuação)</p><p>Uma Partícula Carregada em Movimento Circular</p><p>Considere uma partícula de carga |q| e massa m que</p><p>se mova com velocidade v perpendicularmente a</p><p>um campo magnético uniforme de módulo B.</p><p>A força magnética age continuamente sobre a</p><p>partícula; como B e v são sempre perpendiculares,</p><p>a força faz a partícula descrever uma trajetória</p><p>circular.</p><p>O módulo da força magnética que age sobre</p><p>a partícula é</p><p>No caso do movimento circular,</p><p>Elétrons circulando em uma câmara que contém uma</p><p>pequena quantidade de gás (a trajetória dos elétrons é</p><p>o anel claro). Na câmara existe um campo magnético</p><p>uniforme que aponta para fora da tela. A força</p><p>magnética aponta para o centro do anel. (Cortesia de</p><p>John Le P. Webb, Sussex University, Inglaterra)</p><p>Uma Partícula Carregada em Movimento Circular</p><p>Elétrons circulando em uma câmara que contém uma pequena</p><p>quantidade de gás (a trajetória dos elétrons é o anel claro). Na</p><p>câmara existe um campo magnético uniforme que aponta para</p><p>fora da tela. A força magnética aponta para o centro do anel.</p><p>(Cortesia de John Le P. Webb, Sussex University, Inglaterra)</p><p>Substituindo o raio, temos</p><p>Trajetórias Helicoidais</p><p>Fig. 28.11 (a) Uma partícula carregada se move na presença de um campo magnético uniforme B com a velocidade</p><p>da partícula fazendo um ângulo  com a direção do campo. (b) A partícula descreve uma trajetória helicoidal de</p><p>raio r e passo p. (c) Uma partícula carregada se move em espiral na presença de um campo magnético não</p><p>uniforme. (A partícula pode ser aprisionada, passando a descrever um movimento de vaivém entre as regiões em</p><p>que o campo é mais intenso.) Observe que nas duas extremidades a componente horizontal da força magnética</p><p>aponta para o centro da região.</p><p>O vetor velocidade de uma partícula pode ser separado em duas componentes, uma paralela e outra</p><p>perpendicular ao campo magnético, . A componente paralela determina</p><p>o passo p da hélice (distância entre espiras sucessivas na Fig. 28-11b). A componente perpendicular</p><p>determina o raio da hélice.</p><p>Na Fig. 28-11c, o espaçamento menor das linhas de campo nas extremidades mostra que o campo é mais</p><p>intenso nessas regiões. Se o campo for suficientemente intenso, a partícula será “refletida” de volta para o</p><p>centro. Quando a partícula é refletida nas duas extremidades, dizemos que está aprisionada em uma</p><p>garrafa magnética.</p><p>Exemplo: Movimento Helicoidal de uma Partícula em um Campo</p><p>Magnético</p><p>Exemplo: Movimento Circular Uniforme</p><p>de uma Partícula em um Campo Magnético</p><p>28.7 Cíclotrons</p><p>Suponha que um próton, injetado pela fonte S situada no centro do</p><p>cíclotron na Fig. 28-13, esteja inicialmente se movendo em direção ao</p><p>dê da esquerda, negativamente carregado. O próton é atraído pelo dê e</p><p>entra nele. Depois de entrar, fica isolado do campo elétrico pelas</p><p>paredes de cobre do dê; em outras palavras, o campo elétrico não</p><p>penetra nas câmaras. O campo magnético, porém, não está sujeito aos</p><p>efeitos das paredes de cobre (um metal não magnético) e, portanto,</p><p>age sobre o próton, fazendo com que descreva uma trajetória</p><p>semicircular cujo raio, que depende da velocidade, é dado por r =</p><p>mv/|q|B).</p><p>Suponha que no instante em que o próton chega ao espaço central,</p><p>proveniente do dê da esquerda, a diferença de potencial entre os dois</p><p>dês seja invertida. Nesse caso, o próton é novamente atraído por um</p><p>dê negativamente carregado e é novamente acelerado. O processo</p><p>continua, com o movimento do próton sempre em fase com as</p><p>oscilações do potencial,</p><p>até que a trajetória em espiral leve a partícula</p><p>até a borda do sistema, onde uma placa defletora a faz passar por um</p><p>orifício e deixar um dos dês.</p><p>A frequência f com a qual a partícula circula sob o efeito do campo</p><p>magnético (e que não depende da velocidade) pode ser igual à</p><p>frequência fosc do oscilador elétrico, ou seja,</p><p>O Síncrotron</p><p>O cíclotron não funciona bem no caso de prótons com uma energia maior que</p><p>50 MeV. Além disso, para prótons de 500 GeV e um campo magnéticode</p><p>1,5 T, o raio da circunferência é 1,1 km, o que exigiria um eletroímã de</p><p>tamanho descomunal.</p><p>O síncrotron foi criado para resolver esses dois problemas. Em vez de possuírem</p><p>valores fixos como no cíclotron, o campo magnético e a frequência do oscilador</p><p>variam com o tempo enquanto as partículas estão sendo aceleradas.</p><p>Quando isso é realizado de forma correta,</p><p>(1) a frequência de revolução das partículas permanece em fase com a</p><p>frequência do oscilador;</p><p>(2) as partículas descrevem uma trajetória circular em vez de espiral.</p><p>Mesmo assim, no caso de partículas de alta energia, o raio da trajetória não pode</p><p>deixar de ser grande. O síncrotron do Fermi National Accelerator Laboratory</p><p>(Fermilab), em Illinois, desligado em 2011, tinha uma circunferência de 6,3 km</p><p>e podia produzir prótons com uma energia da ordem de 1 TeV (= 1012 eV).</p><p>Exemplo: Acelerando uma Partícula Carregada em um Cíclotron</p><p>Força Magnética em um Fio Percorrido por Corrente</p><p>Considere um trecho de fio de comprimento L.</p><p>Após um intervalo de tempo t = L/vd, todos os</p><p>elétrons de condução desse trecho passam pelo</p><p>plano xx da Fig. 28.15.</p><p>A carga que passa pelo plano nesse intervalo é</p><p>dada por</p><p>Nesse caso,</p><p>Força Magnética em um Fio Percorrido por Corrente</p><p>Para qualquer orientação de B em relação a vd obtemos</p><p>Em módulo, podemos escrever</p><p>Força Magnética em um Fio Percorrido por Corrente</p><p>Para um fio curvo, podemos calcular a força dFB em uma porção</p><p>infinitesimal dL do fio.</p><p>Exemplo: Força Magnética em um Fio Percorrido por Corrente</p><p>Torque em uma Espira Percorrida por Corrente</p><p>As duas forças magnéticas, F e –F, produzem um torque que faz a</p><p>espira girar em torno do eixo central.</p><p>Torque em uma Espira Percorrida por Corrente</p><p>Para definir a orientação da espira mostrada em (a) em relação ao campo magnético, usamos um vetor</p><p>normal n que é perpendicular ao plano da espira. A figura (b) ilustra o uso da regra da mão direita para</p><p>determinar a orientação de n . Na figura (c), o vetor normal é mostrado fazendo um ângulo  com a</p><p>direção do campo magnético.</p><p>No lado 2 da espira, o módulo da força é</p><p>mas essa força é cancelada pela força a que está submetido o lado 4.</p><p>O módulo das forças que agem sobre os lados 1 e 3 é o mesmo,</p><p>Torque em uma Espira Percorrida por Corrente</p><p>mas, como é mostrado em (c), as duas forças não estão aplicadas ao longo da mesma reta e por isso</p><p>produzem um torque, dado por</p><p>No caso de uma bobina formada por N espiras de área A = ab, o torque total que age sobre a bobina é</p><p>Onde</p><p>É o momento de dipolo magnético da espira</p><p>Torque em uma Espira Percorrida por Corrente</p><p>Sendo assim, podemos escrever</p><p>Que em notação vetorial pode ser escrito como</p><p>O que é análogo ao torque sobre um dipolo elétrico</p><p>O Momento Magnético Dipolar</p><p>Como no caso do dipolo elétrico, um dipolo magnético</p><p>submetido a um campo magnético externo tem uma energia</p><p>que depende da orientação relativa entre o momento</p><p>magnético dipolar e o campo magnético:</p><p>A energia do dipolo magnético tem o valor mínimo</p><p>(−B cos 0 = −B), quando o momento dipolar aponta na</p><p>direção do campo magnético, e o valor máximo (−B cos</p><p>180° = +B) quando o momento dipolar aponta na direção</p><p>oposta.</p><p>Definição:</p><p>onde N é um número de espiras da bobina, i é a corrente na bobina e A é a área</p><p>envolvida pelas espiras da bobina.</p><p>Direção: O momento magnético dipolar aponta na direção da normal ao plano da bobina.</p><p>A definição de torque pode ser escrita na forma</p><p>O Momento Magnético Dipolar</p><p>De acordo com as equações acima,</p><p>a unidade de momento dipolar</p><p>magnético pode ser o ampère-</p><p>metro quadrado (A.m2) ou o joule</p><p>por tesla (J/T).</p>