Análise Funcional II

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<p>Faculdade de Ciências</p><p>Departamento de Matemática e Informática</p><p>10 Teste de Recooperação de Análise Funcional II. Correcção.</p><p>Duração: 2 horas. 29.09.2006</p><p>Todas as respostas têm de ser justificadas.</p><p>Todos os espaços lineares e EN consideram-se sobre o campo R.</p><p>1. Seja dado espaço linear X constituido das funções diferenciáveis continuamente x : [0, 1] → R. Será o</p><p>funcional dado p : X → R uma norma em X?</p><p>a) (1 valor) p(x) = |x(0)− x(1)|+</p><p>(∫ 1</p><p>0 |x′(t)|2</p><p>)1/2</p><p>.</p><p>b) (1 valor) p(x) = maxt∈[0,1] |x(t)|1/2.</p><p>Resolução: a) Não é norma, visto que não se cumpre axioma (N1). De facto, para x(t) ≡ 1 obtemos</p><p>p(x) = 0.</p><p>b) Não é norma, visto que não se cumpre axioma (N2). De facto, para x(t) ≡ 1 obtemos p(x) = 1 e</p><p>p(4x) = 2, logo p(4x) 6= 4p(x).</p><p>2. No espaço vectorial X, constituido das sucessões liminadas x = (xn)∞n=1, consideremos duas normas:</p><p>norma ‖x‖∞ = sup</p><p>n∈N</p><p>|xn| e norma ‖x‖ = sup</p><p>n∈N</p><p>(</p><p>1</p><p>n |xn|</p><p>)</p><p>.</p><p>a) (2 valores) Normas ‖ · ‖ e ‖ · ‖∞ em X são equivalentes?</p><p>b) (2 valores) Será (X, ‖ · ‖) espaço de Banach?</p><p>Resolução: a) Não. Tomemos x(n) = (</p><p>n−1︷ ︸︸ ︷</p><p>0, 0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . .), n ∈ N. É claro que ‖x(n)‖∞ = 1 e</p><p>‖x(n)‖ = 1/n → 0. Então a sucessão {x(n)}∞n=1 ⊂ X diverge em relação a norma ‖ · ‖∞ e converge ao</p><p>elemento nulo em relação a norma ‖ · ‖.</p><p>b) Não. Mostremos isto usando metodo de reducção ao absurdo. Suponhamos, que (X, ‖·‖) é B-espaço.</p><p>Como (X, ‖ · ‖∞) é B-espaço e ‖x‖ ≤ ‖x‖∞, x ∈ X (este desigualdade verifica-se evidentamente) então</p><p>normas ‖ · ‖ e ‖ · ‖∞ são equivalentes, pelo Teorema 1.9. Obtemos a contradição com a conclusão em</p><p>a).</p><p>3. Consideremos o subconjunto P ⊂ L2[0, 1] consituido dos todos os polinómios p : [0, 1] → R (mais</p><p>exactamente, dos classos de equivalência dos polinómios em relação a medida de Lebesgue) e o elemento</p><p>x ∈ L2[0, 1] determinado por x(t) = sen t em q.t.p. de [0, 1].</p><p>a) (1 valor) Será P subespaço do B-espaço L2[0, 1]?</p><p>b) (1 valor) Ache a distância em L2[0, 1] entre o elemento x e o conjunto P .</p><p>c) (2 valores) Ache o interior do conjunto P + x em L2[0, 1].</p><p>Resolução: a) Não. P é denso em L2[0, 1], logo não é fechado.</p><p>b) ρ(x, P ) = infy∈P ‖y − x‖ = 0, visto que P é denso em L2[0, 1].</p><p>c) Int(P + x) = ∅. Fixemos y ∈ P + x, ε > 0 e consideremos a função yε(t) = ε</p><p>2 cos t. É evidente que</p><p>y + yε ∈ B(y, ε) \ (P + x), logo y não é ponto interior de P + x.</p><p>4. (3 valores) Consideremos o operador linear A : l1 → l1 definido pela fórmula</p><p>Ax =</p><p>(</p><p>x1,</p><p>x1 + x2</p><p>2</p><p>,</p><p>x1 + x2 + x3</p><p>4</p><p>, . . . ,</p><p>1</p><p>2n−1</p><p>n∑</p><p>k=1</p><p>xk, . . .</p><p>)</p><p>, x = (xn)∞n=1 ∈ l1.</p><p>Demonstre que A é contínuo e ache ‖A‖.</p><p>1</p><p>Resolução: Dado x = (xn)∞n=1 ∈ l2 obtemos usando fórmula da soma de progressão geomêtrica:</p><p>‖Ax‖ = |x1|+ 1</p><p>2 |x1 + x2|+ . . . + 1</p><p>2n−1 |x1 + . . . + xn|+ . . . ≤</p><p>‖x‖+ 1</p><p>2‖x‖+ . . . + 1</p><p>2n−1 ‖x‖+ . . . = 1</p><p>1−1/2‖x‖ = 2‖x‖.</p><p>Daqui implica que A é limitado (= contínuo) e ‖A‖ ≤ 2.</p><p>De outro lado, tomemos y = (1, 0, 0, . . . , 0, . . .) ∈ l1. Obtemos ‖Ay‖ = 1 + 1</p><p>2 + 1</p><p>2n−1 + . . . = 2‖y‖, logo</p><p>‖A‖ ≥ 2. Daqui e da desigualdade oposto implica ‖A‖ = 2.</p><p>5. (2 valores) Seja dada a sucessão dos operadores {An}∞n=1 ⊂ L(C[0, 1]), definidos pela fórmula (Anx)(t) =</p><p>x(t/n), t ∈ [0, 1]. Demonstre que esta sucessão converge ponualmente e não converge uniformamente</p><p>ao operador A ∈ L(C[0, 1]) determinado pela fórmula (Ax)(t) = x(0), t ∈ [0, 1].</p><p>Resolução: (∀x ∈ C[0, 1]) obtemos, usando continuidade da função x no ponto 0,</p><p>‖(An −A)x‖ = max</p><p>t∈[0,1]</p><p>|x(t/n)− x(0)| = max</p><p>t∈[0,1/n]</p><p>|x(t)− x(0)| → 0, quando n →∞.</p><p>Então, An</p><p>p→ A.</p><p>De outro lado, sejam xn(t) = ntχ[0,1/n](t) + χ(1/n,1](t), t ∈ [0, 1], n ∈ N. É claro que xn ∈ C[0, 1],</p><p>‖xn‖ = 1 e ‖(An −A)xn‖ ≥ |xn(1/n)− xn(0)| = 1. Então ‖An −A‖ ≥ 1, n ∈ N. Logo {An} converge</p><p>não uniformamente ao operador A.</p><p>6. (2 valores) Sejam X espaço de Banach, A ∈ L(X), kerA = {0X} e existe uma sucessão não limitada</p><p>{xn}∞n=1 ⊂ X tal que ‖Axn‖ = 1 (∀n ∈ N). Escolha das alternativas a),b),c) só uma, que será</p><p>Verdadeira. a) ImA = X; b) Im A 6= X; c) nos suposições dadas pode ser Im A = X ou ImA 6= X.</p><p>Resolução: b) é Verdadeira. Mostremos isto por método de reducção ao absurdo. Suponhamos que</p><p>ImA = X. Então, pela kerA = 0X o operador A tem o inverso A−1 : X → X. Pelo Teorema de</p><p>Banach A−1 é limitado. Pelo Teorema 2.15 ∃m > 0 tal que ‖Ax‖ ≥ m‖x‖ (x ∈ X). Daqui implica</p><p>‖xn‖ ≤ 1</p><p>m‖Axn‖ = 1</p><p>m . Isto esté em contradição com condição que {xn}∞n=1 não é limitada.</p><p>7. (3 valores) Seja dado o operador A ∈ L(C[0, 1]):</p><p>(Ax)(t) =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>(t− s)2006x(s) ds− x(t2006), t ∈ [0, 1].</p><p>Mostre que A é invertível continuamente e ‖A−1‖ ≤ 2007</p><p>2006 .</p><p>Resolução: Representemos A como a soma A = A0 + K, onde</p><p>(A0x)(t) = −x(t2006), (Kx)(t) =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>(t− s)2006x(s) ds, t ∈ [0, 1].</p><p>Para qualquer y ∈ C[0, 1] a equação A0x = y tem única solução x ∈ C[0, 1], tal que x(t) = −y( 2006</p><p>√</p><p>t),</p><p>t ∈ [0, 1]. Logo existe A−1</p><p>0 : C[0, 1] → C[0, 1], definido por (A−1</p><p>0 x)(t) = −x( 2006</p><p>√</p><p>t), t ∈ [0, 1]. Mais</p><p>ainda,</p><p>‖A−1</p><p>0 x‖ ≤ max</p><p>t∈[0,1]</p><p>| − x( 2006</p><p>√</p><p>t)| ≤ ‖x‖, =⇒ ‖A−1</p><p>0 ‖ ≤ 1,</p><p>De outro lado, pelo Teorema 2.9,</p><p>‖K‖ = max</p><p>t∈[0,1]</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>(t− s)2006 ds =</p><p>1</p><p>2007</p><p>max</p><p>t∈[0,1]</p><p>(t2006 − (t− 1)2006) =</p><p>1</p><p>2007</p><p>Então,</p><p>‖A−A0‖ = ‖K‖ = 2007−1 < 1 ≤ ‖A−1</p><p>0 ‖−1.</p><p>Pelo Corolário 2.12 (as papeis de A, B do corolário desempenham no exercício A0 e A, resp.), o operador</p><p>A é invertível continuamente e</p><p>‖A−1‖ ≤ ‖A−1</p><p>0 ‖</p><p>1− ‖K‖ · ‖A−1</p><p>0 ‖ ≤</p><p>1</p><p>1− 2007−1</p><p>=</p><p>2007</p><p>2006</p><p>.</p><p>2</p>