Ebook completo_Geometria Analítica e Álgebra Linear_Ser e Digital Pages (Versão Digital)

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Natália Galvão Simão de Souza,
Pedro Henrique Lopes Nunes Abreu dos Santos,
Organizadora Karla Adriana Barbosa Mendes da Silva Lôbo.
GEOMETRIA ANALÍTICA 
E ALGEBRA LINEAR
Geometria Analítica 
e Álgebra Linear
© by Ser Educacional
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Carvalho.
Ilustrador: João Henrique Martins.
Souza, Natália Galvão Simão de; Santos, Pedro Henrique Lopes Nunes 
Abreu dos.
Organizador(a): Lôbo, Karla Adriana Barbosa Mendes da Silva.
Nome Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear
Recife: Digital Pages e Grupo Ser Educacional - 2022.
166 p.: pdf
ISBN: 978-65-81507-61-9
1. Geometria 2. Álgebra 3. Cálculo.
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SINTETIZANDO
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conteúdo estudado.
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CURIOSIDADES
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CONTEXTUALIZANDO
Contextualização sobre o 
tema abordado.
DEFINIÇÃO
Definição sobre o tema 
abordado.
DICA
Dicas interessantes sobre 
o tema abordado.
EXEMPLIFICANDO
Exemplos e explicações 
para melhor absorção do 
tema.
EXEMPLO
Exemplos sobre o tema 
abordado.
FIQUE DE OLHO
Informações que 
merecem relevância.
SUMÁRIO
Unidade I
Estudo dos Vetores � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 15
Conceitos Básicos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �15
Vetores no Plano e no Espaço � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 18
Sistemas de eixos cartesianos do plano e do espaço para representar 
Vetores � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �18
Vetores no espaço � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �19
Operações entre vetores� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 20
Adição de vetores no Plano e no Espaço � � � � � � � � � � � � � � 20
Multiplicação de um Número Real por um Vetor � � � � � � 22
Produto escalar � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 23
Produto vetorial � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 25
Produto misto � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 26
Unidade II
Definição e Notações de Matrizes � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 33
Conceitos básicos de matrizes � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �33
Tipos Especiais de Matrizes � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 35
Matrizes quadradas, identidades e triangulares � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 35
Matrizes simétricas e antissimétricas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 37
Matriz linha e matriz coluna � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 38
Operações com Matrizes � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 38
Adição � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 38
Multiplicação por um escalar � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 39
Multiplicação entre matrizes � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 40
Transposição de matrizes� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 42
Matriz simétrica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 44
Cálculo de determinantes � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 44
Matriz Inversa � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �48
Método de inversão pela matriz adjunta � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 48
Método de inversão pelas operações elementares � � � � � � � � � � � � � � � � � 48
Equações Lineares � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �54
Sistemas de equações lineares � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 56
O número de equações e variáveis do sistema � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 57
Método do escalonamento ou eliminação de Gauss � � � � � � � � � � � � � � � � 59
Equações da Reta: Vetorial, Paramétricas, Simétricas E Reduzidas
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �62
Equações paramétricas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 65
Equações simétricas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 67
Equações reduzidas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 69
Classificação das retas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 70
Interseção entre retas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 74
Ângulo entre retas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 76
Equação geral do plano � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 77
Interseção entre planos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 79
Unidade III
 Espaços Vetoriais � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �85
Subespaços vetoriais � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 88
Representação geométrica da soma e multiplicação escalar de vetores
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �91
Combinação Linear � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 94
Dependência e independência linear � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 95
Base e dimensão de espaços vetoriais � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 97Transformação Linear � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 98
Transformação do plano no plano � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �101
Reflexão � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 103
Escalonamento � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 104
Rotação � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 105
Transformação ortogonal � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 106
Autovetores e Autovalores � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 110
Calculando autovalores � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 111
Calculando autovetores � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 112
Diagonalização de Operadores � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 117
Operadores diagonalizáveis � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 117
Unidade IV
As Cônicas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 125
Elementos da Parábola � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 126
Equações reduzidas da parábola � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 128
1º caso � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 128
2º Caso � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 130
Equação da parábola com o vértice fora da origem do sistema � � � � � �137
1º Caso � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 139
2º Caso � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 140
Equação da parábola na forma explícita � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �141
Estudo da Elipse � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 144
Elementos da elipse � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 145
Equação da elipse de centro na origem do sistema � � � � � � � � � � � � � � � � 146
1º Caso � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 146
2º Caso � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 148
Equação da elipse de centro fora da origem do sistema � � � � � � � � � � � � � 151
1º Caso � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 151
2º Caso � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 152
Estudo da Hipérbole � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �154
Elementos da hipérbole � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 155
Equações da hipérbole de centro na origem do sistema � � � � � � � � � � � 157
1º Caso � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 157
2º Caso � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 158
Equações da hipérbole de centro fora da origem do sistema � � � � � � � 159
 1º Caso � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 160
2º Caso � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 160
Apresentação
Olá, estudante! Tudo bem com você? 
Seja bem-vindo(a) à nossa disciplina! 
A Geometria Analítica e Álgebra Linear são campos da mate-
mática que se complementam por meio de estudos relacionados ao 
comportamento dos vetores e dos demais elementos lineares (retas, 
planos etc.). Nesta disciplina, trataremos de conceitos e caracterís-
ticas de tais elementos para que possamos compreender suas apli-
cações em situações cotidianas.
A partir do trabalho publicado em 1637, pelo matemático e 
filósofo francês René Descartes, foi possível estabelecer o método 
cartesiano que relacionou a Álgebra e a Geometria para o estudo de 
curvas planas. Em 1769, foram publicadas ideias complementares 
ao trabalho de Descartes, desenvolvidas pelo matemático francês 
Pierre de Fermat. O trabalho de Fermat relacionou as equações al-
gébricas a outros objetos geométricos, facilitando o cálculo de pro-
blemas de geometria e a interpretação dos resultados obtidos nesses 
problemas.
Mais de dois séculos depois do surgimento de tais conceitos, 
eles ainda têm papel fundamental no desenvolvimento de soluções 
para diversas áreas como, por exemplo, na computação gráfica, na 
interpretação de resultados de exames de diagnóstico por imagem, 
em ferramentas de GPS, entre outros.
Dessa forma, esperamos que, a partir deste material, você 
possa compreender as técnicas básicas de cálculo e algumas das 
suas aplicações, além de desenvolver a sua habilidade de reconhe-
cer, interpretar e desenvolver representações gráficas de grande-
zas vetoriais e problemas matemáticos que utilizam as cônicas. 
Ao longo do curso, os conceitos de Geometria Analíca e Ál-
gebra Linear, estarão dispostos seguindo uma sequência lógica de 
interação entre os conceitos.
Você está pronto para embarcar nesta jornada? Vamos 
adiante!
Autoria
Natália Galvão Simão de Souza
Sou licenciada em Matemática (2014) pela 
Universidade Estadual Paulista (UNESP). 
Atualmente, desenvolvo pesquisas no âm-
bito do ensino e da aprendizagem da Ma-
temática e da Estatística por meio do grupo 
de estudos em Educação Estatística e Ma-
temática (GEEM), vinculado ao Programa de Mestrado em Ensino e 
História das Ciências e da Matemática da Universidade Federal do 
ABC.
Pedro Henrique Lopes Nunes Abreu dos 
Santos
Sou mestre em Engenharia de Materiais 
pela Escola de Engenharia de Lorena – Uni-
versidade de São Paulo (EEL-USP) (2019) e 
graduado em Engenharia Industrial Quí-
mica, também pela EEL-USP (2016). Hoje, 
atuo, principalmente, em projetos que envolvem o preparo e a ca-
racterização de materiais cerâmicos, junto ao Grupo de Materiais 
Cerâmicos do Departamento de Engenharia de 
Materiais da EEL-USP, vinculado ao Programa de 
Pós-Graduação em Engenharia de Materiais.
Currículo Lattes
Currículo Lattes
Organizadora
Karla Adriana Barbosa Mendes da Silva 
Lôbo
Sou graduada em Licenciatura Plena em 
Matemática pela Universidade Fede-
ral Rural de Pernambuco (2002) e mestre 
em Educação Matemática e Tecnológica 
pela Universidade Federal de Pernambuco 
(2012). Desde 2008, atuo na docência superior em ensino presencial 
e à distância, na formação de profissionais da área de educação e na 
área técnica.
Currículo Lattes
UN
ID
AD
E
1
Objetivos
 → Introduzir conceitos, sobre vetores no plano e no espaço para 
a resolução de problemas geométricos.
 → Apresentar o cálculo de produtos entre vetores e relacioná-los 
aos conceitos de comprimento, área e volume.
14
Introdução
Caro(a) estudante, agora, vamos começar nossa jornada!
Iniciaremos com uma apresentação dos conceitos básicos 
para o estudo de vetores, na qual serão apresentadas diferentes 
classificações e propriedades. 
Além disso, apresentaremos os processos para a realização 
de operações, como adição, subtração e cálculo de produtos entre 
vetores (escalar, vetorial e misto), que estão relacionadas ao con-
ceito de comprimento, área e volume. Assim, você entenderá que 
tais conceitos formam a base para compreender os vetores de uma 
perspectiva plana e espacial e, então, operacionalizar os vetores de 
forma geométrica e de forma analítica.
15
Estudo dos Vetores
Iniciaremos o estudo de vetores com a apresentação de alguns con-
ceitos básicos sobre retas e segmentos orientados.
Conceitos Básicos
Uma reta qualquer, a denominaremos de “r”, é definida como uma 
reta orientada (oueixo) quando possui um sentido de percurso fixo, 
indicado por uma seta. Por sua vez, um segmento de reta é um seg-
mento orientado quando é determinado por dois pontos, com um 
deles sendo a origem e o outro, a extremidade do segmento. Assim, 
um segmento de origem, no ponto A, e extremidade, no ponto B, é 
chamado de segmento AB, com a seta indicando o sentido do seg-
mento (figura 1).
Figura 1 – Reta orientada r com sentido positivo e segmento AB.
Fonte: (SOUZA, 2020).
Os segmentos orientados são chamados de vetores, por apre-
sentarem as determinadas características (figura 2).
Figura 2 – Conceitos básicos dos vetores.
Fonte: Elaborado pela autora (Adaptado de SOUZA, 2020).
DEFINIÇÃOSAIBA MAIS
INFOGRÁFICO
16
Os vetores representam grandezas vetoriais, já os números 
Reais por si só, representam grandezas escalares. 
As grandezas escalares são aquelas que podem ser definidas por 
apenas um número real, acompanhado de uma unidade de medida 
adequada. Por exemplo:
 → área de uma figura plana em cm²;
 → volume de um reservatório em L;
 → temperatura de um ambiente em °C;
 → comprimento de uma mesa em cm.
Uma grandeza vetorial é conhecida por ter seu módulo, também 
chamado de comprimento ou intensidade, a sua direção e o seu sen-
tido, como:
 → força empregada no deslocamento de um objeto;
 → velocidade de um automóvel se deslocando em uma rodovia;
 → aceleração no lançamento de um projétil. 
Os vetores podem ser classificados de acordo com características 
específicas em relação à forma, dimensão e sentido. Assim, observe 
as informações do seguinte infográfico:
17
Infográfico 1 – Características e classificação do vetores.
Fonte: Elaborado pela autora (Adaptado de SOUZA, 2020)
18
Vetores no Plano e no Espaço
Sistemas de eixos cartesianos do plano e do 
espaço para representar Vetores
No plano, cada vetor pode ser associado a um par ordenado, que são 
as suas coordenadas e sua notação é dada pela expressão analítica 
de x : 
A coordenada x é chamada de abscissa e a coordenada y de 
ordenada. Em seguida, a figura 3 mostra a representação do vetor 
no plano.
Figura 3 – Representação do vetor no plano.
Fonte: (SOUZA, 2020).
19
Os vetores i e j formam uma base canônica para “gerar” ve-
tores no plano, eles representam, respectivamente, os vetores de 
coordenadas (1, 0) e (0,1).
Vetores no espaço
A origem do sistema é representada pelo ponto O, pelo qual passam 
três retas. A reta com direção do vetor x o eixo x (das abscissas), a 
reta com direção do vetor x é o eixo y (das ordenadas) e a reta com 
direção do vetor x é o eixo z (das cotas). Esses três eixos são chama-
dos de eixos coordenados.
Sendo os vetores representados pela expressão analítica de .
Em seguida a figura 4, apresenta um sistema coordenado, ou 
seja, vetores na representação espacial.
Figura 4 – Eixo coordenado no espaço.
Fonte: (STEINBRUCH; WINTERLE, 1987, p. 25.)
20
Os vetores x, x e x formam uma base canônica para “gerar” 
vetores no espaço, eles representam respectivamente, os vetores de 
coordenadas (1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0, 1).
Operações entre vetores
Adição de vetores no Plano e no Espaço
Sendo dois vetores, a adição entre eles não ocorre da mesma forma, 
como ocorre com os escalares, tendo em vista que podemos resolver 
pelo método Geométrico e Analítico.
Para encontrar a soma de dois vetores, neste caso vamos con-
siderar x e x, pelo método Geométrico, consideramos um ponto A 
qualquer, a partir do qual traçamos um segmento que represente o 
vetor x . A extremidade desse segmento está no ponto que chama-
remos de B e, a partir do qual, iremos traçar um representante do 
vetor v que terá extremidade no ponto C. O vetor resultante da soma 
de u e v é o vetor AC e é representado pelo vetor t.
Figura 5 – Soma dos segmentos x e x.
Fonte: Elaborado pela autora (Adaptado de WINTERLE, 2000).
A diferença entre dois vetores é dada pela soma de um vetor e 
o oposto do outro vetor:
21
Considerando três vetores quaisquer x , x e x , as proprieda-
des da adição podem ser estabelecidas como:
O método analítico para determinar o vetor resultante da 
soma de dois vetores é outro método que pode ser empregado para 
o caso da soma de apenas dois vetores não paralelos. Nesse caso, 
considerando os vetores x e x , representados na figura 6 pelos seg-
mentos x = AB e x = AD, completa-se o paralelogramo ao traçar os 
lados DC e BC, paralelos aos segmentos, e a soma x + x é dada pelo 
segmento de origem em A e extremidade em C, coincidente com a 
diagonal do paralelogramo.
Figura 6 – Soma de vetores pelo método analítico.
Fonte: (WINTERLE, 2000).
EXEMPLO
22
A adição de dois vetores x =(x1, y1) e x =(x2, y2) é definida 
por:
x + x =( x1+ x2, y1+ y2)
Por exemplo, dados os vetores x = (8, 2) e x = (4, 12), o vetor 
resultante da operação x + x possui coordenadas iguais a:
x + x = (8 + 4, 2 + 12) = (12, 14)
Multiplicação de um Número Real por um Vetor
Na multiplicação de um vetor por um número real, consideremos 
um vetor não nulo ( x ≠ 0) e um número real diferente de 0 (𝖺 ≠ 0). 
O vetor resultante do número real 𝖺 pelo vetor x é representado 
por 𝖺 x, sendo x = (x, y) por um número real qualquer fica definida 
como:
a x = (ax , ay )
Dados os vetores x = (8, 2) e a = 2, o vetor resultante da operação 
 a x possui coordenadas iguais a:
a x = 2 x = (2 . 8, 2 . 2) = (16, 4)
Observação: 
 → Se a = 0, x = x, o produto é o vetor nulo x;
 → Seja um vetor k . x , com x ≠ x, k ϵ R, obteremos todos os infi-
nitos vetores colineares a x.
23
é representado por x . x e resulta um número real. O produto escalar 
de u por v também pode ser representado por < u, v > e é lido como 
“u escalar v”. Assim, vamos apontar alguns exemplos em seguida.
Produto entre Vetores
Para conhecer as classificações e características dos produtos entre 
vetores, preste atenção na figura abaixo:
Figura 7 – Características e classificações dos produtos entre vetores.
Fonte: elaborado pela autora.
Produto escalar
O conceito do resultado de um produto escalar está relacionado à 
ideia de dimensão, o comprimento. Esse comprimento pode ser o 
tamanho da projeção de um vetor em relação a outro ou mesmo o 
comprimento de qualquer vetor.
Na definição algébrica de um produto escalar, o produto es-
calar de dois vetores e cvbngb bcvb cfbcfé
EXEMPLO
24
1. Determinar o produto escalar entre os vetores x = -5x + 3 x + 
8 x e v = -2 x + 4 x- x
A solução é: x · x = -5(-2) + 3(4) + 8(-1) = 10 + 12 - 8 = 14.
2. Considerando o mesmo vetor x , podemos calcular x . x , que 
é igual a: x · x = -5(-5) + 3(3) + 8(8) = 25 + 9 + 64 = 98.
3. Determinar as coordenadas dos vetores x = (4, a, -1) e x = (a, 
2, 3), dados os pontos A (4, -1, 2) e B (3, 2 - 1), e sabendo que x 
x · ( x + x ) = 5. A solução é:
 → Primeiro, devemos determinar o vetor :
 = A - B = (4 - 3, -1 - 2,2 - (-1)) = (1, -3, 3)
 → Em seguida, vamos encontrar + :
v + = (a + 1,2 + (-3), 3 + 3) = (a + 1, -1, 6)
 → Por fim, podemos substituir na equação dada:
 · ( + ) = 5
(4, a, -1) · (a + 1, -1,6) = 5
4(a + 1) + a(-1) -1(6) = 5
4a + 4 - a - 6 = 5
3a - 2 = 5
a= 7/3
EXEMPLO
25
Determinar o produto vetorial entre x e x . Sendo 
e
Resolução:
1. Determinar os vetores x e x. 
x = (5, 4, 3)
x = (1, 0, 1)
Produto vetorial
Ao contrário do produto escalar, que resulta em um número real, 
o produto vetorial apresenta um vetor como solução. O módulo do 
vetor encontrado em um produto vetorial, representa geometrica-
mente, a área de um paralelogramo, gerado pela sobreposição dos 
dois vetores que se multiplicaram. Para o cálculo de um produto ve-
torial, iremos utilizar um método de resolução de determinante de 
uma matriz. O produto vetorial de x e x é dado por:
Aplicando um método de cálculo de determinante:
26
2. Representar os vetores na matriz e, em seguida, calcular o de-
terminante:
Considerando os vetores e , 
temos que x · x é simultaneamente ortogonala x e x.
Figura 8 – Vetor x · x ortogonal aos vetores x e x pertencentes a um plano π.
Fonte: (WINTERLE, 2000).
Produto misto
Como o próprio nome sugere, um produto misto se dá ao utilizar, 
em uma mesma expressão, o produto escalar e o produto vetorial. 
Vamos então definir o produto misto entre três vetores:
27
A seguinte representação descreve o comportamento do pro-
duto misto em uma visão geometrica:
Figura 9 – Paralelepípedo de volume x
Fonte: (WINTERLE, 2000).
EXEMPLO
DICA
28
Determinar, o produto misto dos vetores x = (2, 3, 5), x = (-1, 3, 3) e 
x = (4, -3, 2). Solução:
=(6+9)2-(-2-12)3+(3-12)5
= 30+ 42 – 45
= 27
O Geogebra é um software de matemática dinâmica, gratuito, que 
pode ser acessado on-line e que permite que os usuários alimentem 
a plataforma com simulações, exercícios, aulas, entre outros tipos 
de materiais didáticos. Além disso, é possível encontrar uma calcu-
ladora de produto misto.
SINTETIZANDO
29
Parabéns, estudante! 
Você concluiu esta etapa.Um dos objetivos dessa unidade foi intro-
duzir conceitos sobre vetores no plano e no espaço. Para isso, inicia-
mos com o estudo de retas e segmentos orientados, explorando suas 
principais características e classificações. Em seguida, foi possível 
definir vetores, apresentar os procedimentos de cálculo envolvidos 
nas operações com eles e estudar alguns casos particulares da rela-
ção entre vetores, de acordo com o ângulo formado entre eles.
Em seguida, deixamos de estudar os vetores por uma perspecti-
va geométrica e passamos a considerar as coordenadas do plano e 
do espaço cartesiano para representar os vetores e para realizar as 
operações.
Por fim, conhecemos o produto escalar, o vetorial e o misto e inter-
pretamos, geometricamente, esses conceitos relacionados às medi-
das de comprimento, área e volume.
Assim, espero que você tenha aproveitado este conteúdo. Até à 
próxima!
UN
ID
AD
E
2
Objetivos
 → Introduzir o conceito de matriz, as operações que podem ser 
executadas e aplicabilidade no universo da Álgebra Linear 
(solução de sistemas lineares de equações) e Geometria Ana-
lítica (representações e operações com vetores);
 → Apresentar a determinação das equações das retas e planos e 
os cálculos das intersecções entre retas e planos, utilizando 
sistemas de equações como ferramenta.
32
Introdução
Olá, estudante! Tudo bem com você?
Seja bem-vindo(a) de volta!
Vamos iniciar esta etapa com uma apresentação do conceito 
e representação genérica de uma matriz. Assim, serão apresenta-
dos diferentes tipos especiais de matrizes e os processos para a rea-
lização de operações, adição, subtração e cálculo de produtos entre 
escalares e matrizes e produto entre matrizes.
Tais conceitos formam a base para organizar e manipular 
elementos representáveis em uma matriz, além da sua plicação na 
resolução de sistemas de equações lineares e a utilização dos dois 
elementos (matriz e sistema) para resolução de problemas com re-
tas e planos.
Assim, você está pronto(a) para iniciar nossa jornada? Bons 
estudos!
DEFINIÇÃO
33
Definição e Notações de Matrizes
Iniciaremos o estudo de matrizes pela apresentação de alguns con-
ceitos básicos sobre esse elemento algébrico e sua representação 
genérica. Em seguida, serão apresentadas as operações e aplicações 
da mesma.
Conceitos básicos de matrizes
Aos arranjos numéricos ou de funções, organizados em linhas e co-
lunas, e delimitados, geralmente, por colchetes, damos o nome de 
matrizes. 
Este elemento da Álgebra pode ser referenciado como matriz 
m x n (lê-se matriz m por n), sendo que m representa o número de 
linhas, e n, o número de colunas. Como exemplo, temos a matriz (1):
Algumas observações interessantes podem ser feitas a partir 
desta matriz 2 × 3, isto é, apresenta 2 linhas e 3 colunas. Primeiro, 
observe que outra forma de as representar é através do uso de letras 
maiúsculas (A, B, C etc.). Note ainda que matrizes comportam todos 
os tipos de números e expressões matemáticas que forem necessá-
rias.
34
Agora que conhecemos uma matriz, podemos expressá-la de 
forma mais genérica, facilitando o entendimento dos demais as-
suntos que ainda serão abordados. Cada elemento da matriz A pode 
ser representado, genericamente, pela forma aij. Perceba que a letra 
representada em maiúsculo para indicar a matriz é também adotada 
em minúsculo para representar seus elementos. Os índices i e j aqui 
apresentados representam a posição destes dentro da matriz. Por-
tanto, i representa a linha,e j, a coluna à qual o elemento pertence 
dentro da matriz.
De forma genérica, uma matriz poderia ser representada 
como: 
Algumas características particulares das matrizes podem 
nos ajudar muito na hora de resolver problemas, facilitando nosso 
trabalho. As características que podemos destacar e que serão mais 
bem exploradas nos tópicos seguintessão: os números de linhas e 
colunas das matrizes; a natureza dos elementos nelas contidos; e 
a relação entre os elementos de determinada linha ou coluna com 
outra em uma mesma matriz.
Muitas classes e subclasses de matrizes podem ser citadas. Ao 
longo dos próximos tópicos, encontraremos os principais tipos de 
matrizes, organizadas de acordo com suas características, buscando 
defini-las e identificá-las da maneira mais compreensível possível.
35
Tipos Especiais de Matrizes
Matrizes quadradas, identidades e triangulares
A própria nomenclatura das matrizes quadradas já diz muito sobre 
este tipo específico de matriz. A matriz quadrada é toda matriz m x n 
em que m é igual a n (m = n). Como exemplo, temos:
Um conceito muito importante para matrizes quadradas é o 
conceito das diagonais principal e secundária. A diagonal principal 
de uma matriz quadrada é a diagonal na qual os índices i e j de todos 
os elementos é igual. Por exemplo, no caso da matriz D, a diagonal 
principal é composta pelos elementos d11, d22 e d33. Para a matriz E, 
a diagonal principal apresenta os valores 3, 4, 9 e 1, e para a matriz 
F, a diagonal principal é representada pelos três números 1.
Já no caso da diagonal secundária, ela é composta por ele-
mentos em que a soma de i e j seja sempre igual a n + 1 (assim, i +j 
= n + 1). Por exemplo, no caso da matriz D, a diagonal secundária é 
composta pelos elementos d31, d22 e d13; para a matriz E, ela apre-
senta os valores 3, 3, 5 e 7; para a matriz F, os valores 0, 1 e 0. 
A figura 1 mostra, de forma mais simplificada, quais são as 
diagonais principal e secundária das matrizes D, E e F.
DEFINIÇÃO
36
Figura 1 – Representação das diagonais principal (em verde) e secundária (em 
vermelho) das matrizes D, E e F.
Fonte: (SANTOS, 2019).
A partir da compreensão do conceito de diagonal principal, 
é possível perceber que a matriz F é um tipo específico de matriz 
quadrada, que chamamos de matriz identidade.
Por definição, matriz identidade é toda matriz quadrada na qual os 
elementos da diagonal principal valem 1 e os demais elementos são 
nulos.
Para referenciar matrizes identidade, podemos simplesmen-
te utilizar o símbolo In, no qual I identifica a matriz identidade, e n 
representa o número de linhas e colunas da matriz.Por exemplo, a 
matriz F é a matriz identidade I3. 
Além da matriz identidade, há outra forma específica de ma-
triz quadrada, chamada de matriz triangular, que ainda pode ser 
dividida entre matrizes triangulares superiores e inferiores, con-
forme representadas:
37
Figura 2 – Representação de triângulos nas matrizes G (matriz triangular inferior) e H 
(matriz triangular superior).
Fonte: (SANTOS, 2019).
Agora, se atente para as definições.
 → Matriz triangular superior: é toda matriz quadrada na qual 
os elementos aij, em que i seja maior que j (i > j), sejam nulos.
 → Matriz triangular inferior: é toda matriz quadrada na qual os 
elementos aij, em que i seja menor que j (i < j), sejam nulos.
Matrizes simétricas e antissimétricas
Considere os dois exemplos a seguir:
Se compararmos os elementos da matriz J queestão acima e 
abaixo da diagonal principal, observamos que a diagonal funciona 
como um “espelho” e os demais elementos estão dispostos de for-
ma “espelhada”. Chamamos este tipo de matriz de simétrica.
Enquanto isso, no caso da matriz K, se tomarmos novamente 
a diagonal principal como um espelho, percebemos que os números 
38
também se espelham, mas os sinais são invertidos entre eles. Neste 
caso, chamamos esta matriz de antissimétrica. Estes dois tipos se-
rão mais explorados ao longo deste material.
Até este ponto de nossa discussão, fica difícil definir exata-
mente matrizes simétricas e antissimétricas, uma vez que tais defi-
nições dependem fortemente de alguns conceitos de operações com 
matrizes que ainda não foram apresentadas. Consequentemente, as 
definições exatas destes dois tipos especiais de matrizes serão apre-
sentadas mais adiante, ainda nesta unidade.
Matriz linha e matriz coluna
É possível que matrizes apresentem apenas uma linha e/ou apenas 
uma coluna. Nestes casos específicos, as matrizes são também co-
nhecidas como vetores. Como exemplos,temos as matrizes repre-
sentadas em:
Quando representamos vetores, além de letras maiúsculas, 
podemos também utilizar letras minúsculas em negrito, como é o 
caso dos vetores l, m e n, apresentados em (2). Assim, define-se ve-
tor como toda matriz m x n na qual m e/ou n é igual a 1.
Operações com Matrizes
Adição
A primeira coisa que deve ser observada para se realizar soma ou 
subtração entre matrizes, é que elas devem ter exatamente o mes-
39
mo tamanho, ou seja, o mesmo número de linhas e colunas entre si, 
como se constata no caso das matrizes A e B. Vamos então construir 
a matriz C a partir da soma das matrizes A e B. Para tanto, precisa-
mos compreender que cada elemento cij é obtido a partir da soma 
dos elementos aij e bil, conforme o exemplo:
Assim, vamos construir a matriz C a partir da soma das ma-
trizes A e B. Para tanto, precisamos compreender que cada elemen-
to cij é obtido a partir da soma dos elementos aij e bil, conforme o 
exemplo:
Aplicando esta regra nas nossas matrizes A e B, temos:
A mesma regra é válida para a subtração entre matrizes.
Multiplicação por um escalar
Quando multiplicamos uma matriz por qualquer número Real (estes 
chamados de escalares), nomeamos esta operação como multipli-
cação por escalar:
40
Algumas regras básicas para soma de matrizes e multiplica-
ção escalar podem ser escritas para facilitar as operações, conforme 
descrito em:
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
A + (-A) = 0
c • (A + B) = c • A + c •B
(c + k) • A = c • A + k • A
c • (k • A) = (c • k) • A
Multiplicação entre matrizes
A multiplicação entre matrizes só pode ser realizada quando temo-
suma matriz m x p e uma matriz p x n. Assim, só é possível multipli-
car duasmatrizes quando o número de colunas da primeira matriz é 
igual ao número de linhas da segunda matriz.
De modo geral, a multiplicação entre matrizes segue a equa-
ção que representa a obtenção dos elementos cij da matriz resultan-
te da multiplicação de duas matrizes genéricas A e B.
41
Figura 3 –Representação gráfica do método de multiplicação entre matrizes.
Fonte: (SANTOS, 2019).
A Figura 4 apresenta o mesmo cálculo, feito para a multipli-
cação das matrizes F por G.
Figura 4 - Multiplicação das matrizes F por G para a obtenção da matriz H.
Fonte: (SANTOS, 2019).
Conforme dito anteriormente, a multiplicação da matriz F 
pela matriz G só é possível devido ao fato do número de colunas de 
F ser igual ao número de linhas de G. Neste caso específico do nosso 
exemplo, podemos também dizer que o número de colunas em G é 
igual ao número de linhas em F. Desta forma, podemos também re-
presentar a multiplicação de G por F, como apresentado na figura 5.
42
Figura 5 - Multiplicação das matrizes G por F para a obtenção da matriz J.
Fonte: (SANTOS, 2019).
Transposição de matrizes
A matriz transposta AT é originada da transposição das linhas de 
uma matriz A em colunas, e das colunas da matriz A em linhas. É 
muito simples obter a transposta de uma matriz. Vamos tomar 
como exemplo nossa matriz K e sua transposta KT, conforme repre-
sentado:
43
Figura 6 - Comparações entre as matrizes K e sua transposta KT.
Fonte: (SANTOS, 2019).
Conhecendo agora os conceitos de matrizes transpostas, te-
mos condições de definir melhor dois tipos de matrizes que já foram 
citadas: as matrizes simétricas e as antissimétricas. Para tanto, va-
mos retomar novamente as duas matrizes já apresentadas.
44
Matriz simétrica
Por definição, é toda matriz cuja transposta é exatamente igual à 
matriz original.
Figura 7 –Comparações entre as colunas da matriz J e as linhas da matriz JT. 
Fonte: (SANTOS, 2019).
Façamos o mesmo com a matriz K. Neste caso, quando fa-
zemos a transposição, notamos que os números se repetem, mas 
os sinais estão opostos. No entanto, podemos comparar a matriz 
transposta com uma terceira, sendo esta última a matriz oposta de 
K. A figura 8 demostra de forma mais visual tal propriedade das ma-
trizes antissimétricas.
Figura 8 – Comparações entre as colunas da matriz K e as linhas da matriz KT, e entre 
as matrizes KT e -K.
Fonte: (SANTOS, 2019).
Desta forma, decorre a definição de que matriz antissimétrica 
é toda matriz cuja transposta é exatamente igual à matriz oposta 
(–A = AT).
Cálculo de determinantes
O determinante é um número que representa a matriz como um 
todo, sendo calculado a partir de todos os seus elementos. Para 
EXEMPLO
45
calculá-lo, devemos determinar a soma do produto dos elementos 
das diagonais paralelas à diagonal principal, subtraindo a soma dos 
produtos dos elementos das diagonais paralelas à diagonal secun-
dária. Mais uma vez, para simplificar o entendimento, podemos de-
monstrar todo o cálculo de forma visual, como na figura 9.
Figura 9 – Método de cálculo do determinante de matrizes quadradas de ordem 1 a 3.
Fonte: (SANTOS, 2019).
Vamos calcular o determinante das matrizes L e M:
Inicialmente, trabalharemos com a matriz L, pois o cálculo de de-
terminantes de matrizes de ordem 2 é extremamente simples, uma 
vez que elas apresentam apenas as próprias diagonais principal e 
secundária. Portanto, devemos calcular o produto dos elemen-
tos das duas diagonais. Para a diagonal principal, temos(1 • 7 = 7), 
enquantopara a diagonal secundária, temos [(–2) • 3 = –6]. Após 
a determinação destes dois produtos, devemos subtrair o produto 
da diagonal secundária do produto da diagonal principal, ou seja, 
[7 – (–6) = 7 + 6 = 13].
46
No caso da matriz M, de ordem 3, utilizaremos o método descrito na 
figura 9, conforme apresentado em:
É importante ressaltar que o método apresentado na figu-
ra é válido apenas para matrizes de ordem 1 a 3. Para matrizes de 
ordens superiores, devemos utilizar outros métodos que não serão 
abordados profundamente aqui. Algumas propriedades das matri-
zes podem facilitar muito o cálculo de determinantes. As principais 
propriedades que influenciam neste resultado são apresentadas no 
Quadro 1.
Quadro 1 – Algumas propriedades características de matrizes e seus determinantes.
Propriedade Exemplos
Se todos os elementos de uma 
linha ou coluna de uma matriz 
forem nulos, o determinante 
desta matriz será nulo.
Se duas linhas ou colunas de 
uma matriz forem iguais, o 
determinante desta matriz será 
nulo.
47
Se duas linhas ou colunas 
apresentam elementos com 
valores proporcionais, o 
determinante desta matriz será 
nulo.
Se os elementos de uma linha 
ou coluna de uma matriz são 
o resultado da manipulação 
de outras linhas ou colunas da 
mesma matriz, o determinante 
desta matriz será nulo. 
Se os elementos de uma linha 
ou coluna forem multiplicados 
por um fator K, o determinante 
desta matriz também será 
multiplicado por K.
O determinante da transposta 
de uma matriz é igual ao 
próprio determinante da 
matriz.
A troca entre duas linhas 
ou colunas em uma matriz 
acarretam na inversão do sinal 
do determinante.
O determinante de uma matriztriangular é igual ao produto 
dos elementos da diagonal 
principal.
O determinante de qualquer 
matriz identidade é igual a 1.
 Fonte: SANTOS, P. Álgebra Linear. São Paulo: DP CONTENT, 2019 (Adaptado).
48
Matriz Inversa
A inversa de uma matriz é aquela que, multiplicada pela matriz ori-
ginal, resulta em uma matriz identidade. Para aprendermos a calcu-
lar uma matriz inversa, precisamos determinar se a matriz original 
é invertível. Para tanto, basta calcularmos o seu determinante. 
Toda matriz quadrada com determinante diferente de zero é 
invertível. Desta constatação, decorre que o cálculo de uma matriz 
pode ser efetuado a partir de diferentes métodos, que serão explo-
rados em detalhe agora.
Método de inversão pela matriz adjunta
Uma das formas para calcular a inversa de uma matriz é a 
partir da equação:
Método de inversão pelas operações elementares
Existe ainda outro método de calcular a matriz inversa que é através 
de operações elementares com a matriz original e a matriz iden-
tidade de mesma ordem.Operações elementares são operações de 
transformação de matrizes e podem ou não alterar seus determi-
nantes. As operações elementares existentes são:
 → permutação de duas linhas ou colunas – o determinante da 
matriz resultante é igual ao determinante da matriz original 
multiplicado por -1 (conforme já descrito no Quadro 1);
 → multiplicação dos elementos de uma linha ou coluna por um 
fator K – o determinante da matriz resultante é igual ao de-
terminante da matriz original multiplicado pelo fator K (con-
forme já descrito no quadro 1); 
49
 → substituição dos elementos – a substituição dos elementos 
de uma linha ou coluna pela soma deles mesmos com o pro-
duto dos elementos de outra linha ou coluna com um número 
real diferente de zero. O determinante da matriz resultante 
não se altera em relação ao determinante da matriz original. 
Para obtermos a matriz inversa a partir de operações elemen-
tares, devemos efetuar as operações na matriz original, de forma 
que a transformemos em uma matriz identidade. Ao mesmo tempo, 
devemos efetuar as mesmas operações em uma matriz identidade, o 
que fará com que ela se transforme em nossa matriz inversa.
Para facilitar a dinâmica do nosso cálculo, vamos transfor-
mar elemento por elemento de nossa matriz original, até obtermos 
a matriz identidade. Nosso elemento a11 já é exatamente 1. Portanto, 
não precisamos trabalhar com ele. Nosso elemento a21 é igual a 1 e 
precisamos fazer com que ele se torne nulo. Para tanto, podemos 
subtrair dos elementos da segunda linha, os valores dos elementos 
da primeira, conforme apresentado:
Observe que colocamos junto à matriz original uma matriz 
identidade e estamos realizando, simultaneamente, as operações 
elementares.
Agora, para o elemento a31, podemos subtrair dos elementos 
da terceira linha os valores dos elementos da primeira linha multi-
plicados por 3, conforme apresentado a seguir:
50
Agora, temos a primeira coluna inteira da nossa matriz com 
elementos correspondentes aos da matriz identidade. Podemos 
passar para a manipulação da segunda coluna. Para o elemento a, 
podemos somar os valores dos elementos da segundaaos elementos 
da primeira linha, multiplicados por 3, conforme apresentado:
51
Para o elemento a22, basta multiplicarmos toda a linha 2 por 
-1, para que possamos inverter apenas seu sinal, conforme apre-
sentado em:
Para o elemento a23, podemos somar aos elementos da ter-
ceira linha os valores dos elementos da segunda linha multiplicados 
por 5, conforme apresentado em:
Para o elemento a31, podemos somar, aos elementos da pri-
meira linha, os valores dos elementos da terceira linha multiplica-
dos por 4/7, conforme apresentado em:
52
Para o elemento a32, podemos subtrair, dos elementos da se-
gunda linha, os valores dos elementos da terceira linha multiplica-
dos por 1/7, conforme apresentado em:
53
Por fim, para o elemento a33, basta multiplicarmos toda a li-
nha 3 por -1/7, conforme apresentado em:
54
Agora, analise as duas matrizes que obtivemos no final:
Conforme esperado, foi possível transformar nossa matriz 
original em uma matriz identidade realizando apenas operações 
elementares.
Equações Lineares
Equação linear é toda equação que pode ser escrita da seguinte for-
ma:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... +anxn = b(3)
Na qual a1, a2, a3, ..., an são números reais ou complexos já co-
nhecidos, chamados coeficientes da equação b; também um núme-
ro inteiro ou complexo já conhecido, é denominado termo indepen-
dente e x1, x2, x3, ..., xn são as variáveis de nossa equação.
DICA
55
Uma maneira muito prática para interpretar equações lineares é 
analisar graficamente como elas se comportam. 
Vamos considerar a seguinte equação:
2x + 3 = y ou 2x - y = -3
Primeiramente, analisando a segunda forma de expressar a 
equação, note que x e y são nossas variáveis, 2 e (-1) (valor que mul-
tiplica y) são nossos coeficientes e -3 é o termo independente. 
Nesta equação, podemos atribuir valores às variáveis x e y, 
tais que o termo independente seja igual a -3. Por exemplo, se dis-
sermos que x vale 1, y deve valer 5. Se y vale 1, x deve valer -1 e assim 
por diante. O gráfico 1, no qual o eixo das abscissas corresponde aos 
valores de x e o eixo das ordenadas corresponde aos valores de y, 
representa os dois pontos conforme calculados e a linha que passa 
por estes pontos e que corresponde à equação 2.
Gráfico 1 – Representação gráfica da curva 2x + 3 = y.
Fonte: (SANTOS, 2019).
56
Sistemas de equações lineares
Muitas vezes, precisamos trabalhar com mais de uma equação para 
resolver um problema. Quando temos um conjunto de equações li-
neares, nós o chamamos de sistema linear ou sistema de equações 
lineares.Veja um exemplo: 
Dessa forma, perceba que, na equação da segunda linha, não 
temos a representação da variável y, bem como na equação da ter-
ceira linha não temos a representação da variável x, por isso, pode 
parecer que as equações não correspondem à equação genérica 
apresentada na equação 1. No entanto, podemos dizer que os coefi-
cientes da variável y na segunda equação e da variável x na terceira 
equação valem zero e, portanto, tais variáveis não são representa-
das nas equações. Podemos também representar graficamente um 
sistema linear. Para isto, vamos considerar o seguinte sistema:
57
Gráfico 2 – Representação gráfica do sistema linear da equação.
Fonte: (SANTOS, 2019).
O número de equações e variáveis do sistema
Para mostrar, de forma geral, as possibilidades dos sistemas linea-
res, vamos considerar um sistema genérico:
58
A partir do modelo genérico apresentado, podemos dizer que 
um sistema linear pode ter um número m de equações e um núme-
ro n de variáveis. Portanto, duas situações são possíveis, podemos 
trabalhar com sistemas lineares nos quais m é igual a n (número de 
equações igual ao número de variáveis) ou com sistemas nos quais 
m é um número diferente de n (número de equações diferente do 
número de variáveis), sendo que, neste segundo caso, o número de 
equações pode ser menor ou maior do que o número de variáveis. 
A identificação de qual tipo de sistema estamos trabalhan-
do pode ser fundamental para definir qual é o melhor método para 
resolvê-lo. Resolvendo sistemas lineares com o mesmo número de 
variáveis e equações, conseguimos, ao longo da unidade, resolver 
alguns sistemas lineares, com o mesmo número de equações e va-
riáveis, de forma visual, por meio de gráficos. Este tipo de resolução 
é simples quando trabalhamos com equações com duas variáveis, 
pois conseguimos representá-lo em um plano.
No entanto, se aumentarmos o número de variáveis e equa-
ções para três, teremos que visualizar, graficamente, o sistema em 
um gráfico tridimensional, o que dificulta um pouco a análise. Se 
falamos de sistemas com quatro ou mais variáveis e equações, esta 
visualização se torna impossível, já que precisaríamos enxergar o 
mundo em quatro dimensões ou mais.
Para a nossa sorte, diversos métodosmatemáticos para a re-
solução de sistemas mais complexos já foram desenvolvidos. Todos 
eles envolvem a manipulação de matrizes, o que nos leva à neces-
sidade de representar nossos sistemas lineares na forma matricial. 
Assim, imagine o seguinte sistema linear:
59
Podemos representá-lo através de três matrizes, sendo uma 
para os coeficientes, uma para as variáveis e uma para os termos 
independentes do sistema, da seguinte forma:
Método do escalonamento ou eliminação de Gauss
Para o método do escalonamento ou de eliminação de Gauss, nos-
so objetivo é transformar a matriz dos coeficientes em uma matriz 
triangular superior e inferior por meio de operações elementares. 
Ao mesmo tempo em que realizamos esta transformação, aplicamos 
as mesmas operações elementares à matriz de termos independen-
tes.
Para facilitar nosso trabalho, podemos construir o que cha-
mamos de matriz ampliada do sistema, na qual dividimos os ele-
mentos da matriz de coeficientes e da matriz de termos indepen-
dentes por uma barra dentro da matriz:
Para facilitar nosso cálculo, a primeira operação elementar 
que podemos efetuar é permutar a linha 2 com a linha 1, conforme 
representado no sistema linear (4). É muito mais fácil fazer o esca-
lonamento das equações quando o elemento a11 vale 1. 
60
Após a permuta, para zerar o elemento a21, podemos sub-
trair, dos elementos da segunda linha, os valores dos elementos da 
primeira linha multiplicados por 2, conforme apresentado no siste-
ma linear (5):
61
Agora, podemos retornar à nossa forma de sistema linear. 
Teremos então:
Vemos agora que temos uma equação que permanece com 
as três variáveis (x, y e z), mas temos também uma equação apenas 
com as variáveis y e z e uma com a variável z. Desta forma, podemos 
calcular z a partir da última equação:
Substituindo o valor de z na segunda equação, encontramos 
o valor de y:
Por fim, substituímos os valores de y e z na primeira equação 
e encontramos o valor de x:
62
Equações da Reta: Vetorial, Paramétricas, 
Simétricas E Reduzidas
Vamos considerar uma reta r do espaço, um ponto A pertencente a 
essa reta e um vetor ⃗ não nulo paralelo a r. Temos que um ponto X 
pertence à reta r se, e somente se, o vetor (a) for paralelo ao vetor ⃗. 
Se (ax e ⃗ são paralelos, podemos afirmar que ax) é um múltiplo de 
⃗ e, considerando um número λ ϵ R, temos que:
Figura 10–Segmento (a) paralelo ao vetor ⃗.
(5)
Fonte: (SANTOS, 2019).
EXEMPLO
63
Assim, também podemos escrever a equação (5) da seguinte 
forma:
(6)
Ainda considerando que o ponto A tem coordenadas (x1, y1, 
z1), o ponto X tem coordenadas (x, y, z) e ⃗=(a, b, c), temos a terceira 
equação:
(7)
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + λ (a, b, c)
Qualquer uma das equações (5), (6) ou (7) é denominada equação 
vetorial da reta r. O vetor v é o vetor diretor de r e o número real λ é 
denominado parâmetro.
Uma reta r passa pelo ponto A (1,-1, 4) e tem a direção de ⃗ =(2, 3, 2). 
A sua equação vetorial é, portanto, dada por:
(x, y, z) = (1, -1, 4) + λ(2, 3, 2)
Em que (x, y, z) representam um ponto qualquer de r (WINTERLE, 
2000, p. 103).
64
Para obter os pontos dessa reta, basta atribuir valores reais ao parâ-
metro λ. Por exemplo:
 → Para λ = 1
P1 = (1, -1, 4) + 1(2, 3, 2) = (3, 2, 6).
 → Para λ = 2
P2 = (1, -1, 4) + 2(2, 3, 2) = (5, 5, 8)
 → Para λ = 3
P3 = (1, -1, 4) + 3(2, 3, 2) = (7, 8, 10)
 → Para λ = 0
Temos o próprio ponto A: (x, y, z) = (1,- 1, 4) + 0(2, 3, 2) = (1, -1, 4)
 → Para λ = -1
P4 = (1, -1, 4) + (-1)(2, 3, 2) = (-1, -4, 2)
Se λ assumir todos os valores reais, teremos todos osinfinitos pon-
tos da reta.
Observações:
1. Cada número real λ corresponde a um ponto P pertencente à 
reta. O contráriotambémocorre: cada ponto da reta corres-
ponde a um número real. 
Por exemplo, dado oponto P(5, 5, 8) pertencente à reta, po-
demos encontrar o parâmetro λ:
(5, 5, 8) = (1, -1, 4) + λ(2, 3, 2)
(5, 5, 8) - (1, -1, 4) = λ(2, 3, 2)
(4, 6, 4) = λ(2, 3, 2)
65
Portanto: λ = 2
2. A equação (x, y, z) = (1,-1,4) + λ(2, 3, 2) não é a única equação 
vetorial de r. Existem infinitas equações que podem ser obti-
das ao se tomar outro ponto de r e outro vetor múltiplo de ⃗. 
Por exemplo:
(x, y, z) = (1, -1, 4) +λ(4, 6, 4)
Trata-se, também, de uma equação vetorial de r, em que foi 
utilizado umvetor diretor 2⃗.
Boulos e Camargo (2005) sintetizam a interpretação da equa-
ção vetorialda reta ao destacarem que o vetor diretor serve para fi-
xar a direção da reta, enquanto um ponto qualquer da reta serve 
para fixar sua posição no espaço. Uma reta admite muitos vetores 
diretores, todos não nulos e paralelos entre si.
Equações paramétricas
A partir da equação vetorial da reta, temos que:
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + λ(a, b, c)
(x, y, z) = (x1 + aλ, y1 + bλ, z1 + cλ)
Pela condição de igualdade, podemos obter o que chamamos 
de equações para métricas da reta:
EXEMPLO
66
Exemplo 1
A partir das equações paramétricas de uma reta, é possível obter o 
seu vetor diretor e um ponto que pertence à reta.
Nesse caso, a reta passa pelo ponto de coordenadas (6, -1, 2) e é pa-
ralela ao vetor igual a (1, 2, -3).
Exemplo 2
Também é possível obter a equação paramétrica de uma reta que 
passa por dois pontos A(3, -1, -2) e B(1, 2, 4). Para isso, devemos 
considerar um vetor = como o vetor diretor da reta.
Portanto, temos que:
67
Equações simétricas
Partindo das equações paramétricas da reta:
x = x1 + aλ
y = y1 + bλ
z = z1 + cλ
Supondo que a, b e c são diferentes de 0, podemos escrever da 
seguinte forma:
Como, para cada ponto da reta, existe apenas um valor de λ 
correspondente, então podemos escrever as equações simétricas da 
reta:
Exemplo 1:
As equações simétricas da reta que passam pelo ponto A (3, 0, 
-5) e têm a mesmadireção do vetor V ⃗= (2i) ⃗+ ( xxsão:
68
Exemplo 2:
Uma reta que passa pelos pontos A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) 
tem como equações simétricas:
Pois(AB)é um vetor diretor dessa reta, de modo que:
Então, a reta que passa pelos pontos A(4, 2, -6) e B(8, 0, -4), 
por exemplo, tem como equações simétricas:
Exemplo 3:
Para que três pontos distintos A1(x1, y1, z1), A2(x2, y2, z2) e 
A3(x3, y3, z3) pertençam à mesma reta, é necessário que estes sejam 
colineares, ou seja:
69
Para algum m pertencente aos números reais.
Utilizando as equações simétricas da reta, podemos escrever 
que:
Por exemplo, dados os pontos A1(5, 2, -6), A2(-1, -4, -3) e 
A3(7, 4, -7):
Equações reduzidas
Por exemplo, considereuma reta r definida por um ponto A (4, -8, -6) 
e pelo vetor diretor ⃗=(1,2,-3). As equações simétricas dessa reta, 
como já estudamos anteriormente, serão dadas por:
A partir das equações simétricas de uma reta, é possível es-
crever duas variáveis em função da terceira, isolando as variáveis y 
e z e as expressando em função de x, conforme a seguinte equação:
70
As expressões (1) e (2) são denominadas equações reduzidas 
da reta r na variável x. As reduzidas da reta são sempre da forma: 
Ainda sobre o exemplo anterior, também é possível obter ou-
tras equações reduzidas da mesma reta r, ao se isolar as variáveis x e 
z em função de y e x, e y em função de z.
Classificação das retas
Neste tópico, iremos estudar a classificação dada a duas retas de 
acordo com a posição relativa entre elas. Classificaremos as retas 
em:
 → paralelas;
 → concorrentes;
 → reversas.
71
No caso das retas paralelas, podemos ainda classificá-las em 
coincidentes ou distintas.
Por isso, devemos considerar um sistema de coordenadas (O, 
( 1, e1, e1: um vetor ⃗= (a, b, c), que é vetor diretor da reta r; um 
vetor ⃗= (m, n, p), que é vetor diretor da reta s; um ponto A (x1, y1, 
z1), pertencente à reta r; um ponto B (x2, y2, z2), pertencente à reta s.
As retas r e s serão reversas se, e somente se, o conjunto de 
vetores (⃗, ⃗,(AB) for linearmente independente, ou seja, se o de-
terminante for diferente de zero:
A figura 11 representa duas retas reversas. Essas retas são re-
versas pois não se intersecionam e não sãoparalelas.
Figura 11 – Retas reversas.
Fonte: (Adaptado de BOULOS; CAMARGO, 2005).
72
Duas retas são consideradas paralelasse o vetor de uma delas 
for igual a ummúltiplo do vetor da outra, como podemos observar a 
seguir:
Veja, na figura 12, a representação de duas retas paralelas.
Figura 12 – Retas paralelas.
Fonte: (SANTOS, 2019).
73
Duas retas são concorrentes se, e somente se, forem coplana-
res (pertencerem aum mesmo plano) e não paralelas. Deste modo, 
podemos determinar que as retassão concorrentes se:
A figura 13 apresenta o ponto de interseção de duas retas con-
correntes.
Figura 13 – Retas concorrentes e seu ponto de interseção.
Fonte: (SANTOS, 2019).
74
Interseção entre retas
Consideremos duas retas concorrentes r1 e r2. Para determinar o 
pontode interseção entre elas, devemos, por meio da resolução 
dosistema formado pelas equações das duas retas, determinarseu 
ponto comum.
Em cada par de retas apresentado a seguir, buscaremosde-
terminar, caso exista, o ponto de interseção entreelas. Para isso, 
devemos considerar que, se existe um pontocomum às duas retas, 
este ponto é solução única do sistema formado pelas equações das 
duas retas.
Após igualar as expressões para as variáveis x, y e z, temos:
75
Para esse sistema, a solução é h = t = -1. Substituindo esses va-
lores na equação de r, encontramos o ponto de interseção I (2, -1, 3):
x = 3 + (-1) = 2
y = 1 + 2(-1) = -1
z = 2 - (-1) = 3
Como as equações de s nos fornecem valores para as variáveis 
x, y e z, podemos substituir esses valores nas equações de r, obtendo 
o seguinte sistema:
Da primeira equação, obtemos:
4 -t = -2t -3
-t = -2t -3 -4
-t +2t = -3 -4
t = -7
Da segunda equação, obtemos um valor diferente para o pa-
râmetro t:
2 +2t =t
2t - t = -2
t = -2
76
Como o sistema não tem solução, concluímos que não há 
ponto de interseção entre as retas r e s.
Os vetores diretores das retas r e s são, respectivamente, 
r .= (1,-3,2) e = (2,-6,4). Podemos observar que o vetor s é um 
múltiplo do vetor r.
Ângulo entre retas
Para dar início ao nosso estudo sobre o ângulo entre retas, vamos 
considerarduas retas r1 e r2 com vetores diretores_⃗e (v , respec-
tivamente.
Chamamos de ângulo de duas retas r1 e r2,o menor ângulo 
formado entre ovetor diretor (v e o vetor diretor (2 . Considerando 
que esse ângulo é θ, temos que:
77
Equação geral do plano
Considere A (x1, y1, z1) um ponto pertencente a um plano π, e ⃗= (a, 
b, c), ⃗≠0, um vetor normal (ortogonal) ao plano:
Figura 14–Representação de um plano π.
Fonte: (SANTOS, 2019).
Uma vez que ⃗é ortogonal ao plano π,⃗ é ortogonal a todo 
vetor representado em π. Portanto, um ponto P (x, y, z) pertence a π 
se, e somente se, o vetor(AP)é ortogonal a n, isto é:
78
Considerando -ax1–by1 + cz1 = d, obtemos a equação geral do 
plano π.
ax + by + cz + d = 0
Observações:
1. Assim como x = (a, b, c) é um vetor normal ao plano π, 
qualquer vetor não nulo e múltiplo de também é um vetor 
normal ao plano;
2. Devemos notar que os três coeficientes a, b e c da equa-
ção geral do plano representam os componentes de um ve-
tor normal ao plano. Exemplo: Se um plano π é dado por 
π: 3x + 2y – z + 1 = 0, um vetor normal ao plano é n =(3, 2, -1);
3. Para obter pontos de um plano dado por uma equação geral, 
basta atribuir valores arbitrários a duas das variáveis e calcu-
lar o valor da outra na equação dada. Exemplo: se na equação 
anterior fizermos x = 4 e y = -2, teremos:
3(4) + 2(-2) - z + 1 = 0
12 -4 -z + 1 = 0
z = 9
Portanto, o ponto A (4, -2, 9) pertence a esse plano.
Exemplo 1: Escreva uma equação geral do plano 𝜋 que passe 
pelo ponto A (2, 1, 3) e seja paralelo ao plano:
π1: 3x - 4y -2z + 5 = 0
79
Intuitivamente, podemos afirmar que um vetor normal a um 
plano é também normal a qualquer plano paralelo a este. Portanto, 
como π é paralelo a π1, o vetor ⃗ = (3, -4, -2) normal a 𝜋1 também é 
normal a π. Portanto, podemos escrever a equação de π da seguinte 
forma:
3x - 4y - 2z + d = 0
Se o ponto A pertence ao plano 𝜋, suas coordenadas devem 
verificar a equação:
3(2) – 4(1) – 2(3) + d = 0
Disso, temos que d = 4. A equação de 𝜋 é, portanto:
𝜋: 3x - 4y - 2z + 4 = 0
Interseção entre planos
Considere dois planos não paralelos, como vemos a seguir:
π1: 5x -y +z - 5 = 0 e π2 : x + y +2z -7 =0
Temos que a interseção de dois planos não paralelos resulta 
em uma reta r,cujas equações buscamos determinar. A seguir, serão 
expostos alguns procedimentos para se obter as equações da reta 
apresentada:
 → Sabemos que r está contida nos dois planos, ou seja, as coor-
denadas dequalquer ponto de r devem satisfazer simultanea-
mente as equações dos planos. Assim, podemos afirmar que 
a reta r é determinada pela solução do sistema formado pelas 
equações dos planos:
80
O sistema terá infinitas soluções, pois os pontos da reta são 
infinitos. Colocando as equações em função de x, obtemos as equa-
ções reduzidas da reta r:
 → Outra forma de obter equações para a reta r é determinando 
um de seus pontos e um vetor diretor. Considere o ponto A, 
que tem abcissa igual a 0. Substituindo esse valor no sistema:
Teremos o seguinte resultado:
A solução desse sistema é y = -1 e z = 4. Portanto, o ponto A 
tem coordenadas (0, -1, 4).
Considerando os vetores(n) e (n) normais aos planos π1 e π2, 
respectivamente o vetor diretor ⃗ da reta r é simultaneamente or-
togonal a (n)e (n).
SINTETIZANDO
81
Parabéns, estudante! Você concluiu mais uma etapa.
Ao longo deste conteúdo, trabalhamos os conceitos de matrizes, 
abordando seus principais tipos e particularidades, além de conhe-
cermos as principais operações matemáticas que podem ser reali-
zadas com esta poderosa ferramenta.
Em seguida, vimos as classificações e métodos de resolução de sis-
temas lineares, aplicando, por exemplo, o método de Eliminação de 
Gauss.
Além disso, apresentamos os procedimentos para o estudo de dois 
objetos: a reta e o plano. Iniciamos esta temática com a determi-
nação das diferentes formas da equação da reta: vetorial, paramé-
tricas, simétricas e reduzidas. Depois, aprendemos as posições 
relativas entre retas, desenvolvendo processos de cálculo para a de-
terminação de ângulos e pontos de interseção entre retas.
Por fim, em relação ao estudo do plano, neste objeto de aprendiza-
gem nos limitamos a introduzir os processos de determinação das 
equações paramétricas, geral e vetorial do plano, além das equações 
da reta resultante da interseção de dois planos não paralelos. As-
sim,é importante lembrar que a relação estabelecida entre Geome-
tria Analítica e Álgebra Linear simplifica o processo de resolução de 
problemas geométricos, antes tidos como de difícil resolução.
Espero que você tenha aproveita do nosso conteúdo. Até a próxima!
UN
ID
AD
E
3
Objetivos
 → Introduzir os conceitos de espaços e dos subespaços vetoriais.
 → Realizar um estudo sobre decomposição dos vetores através 
da combinação linear.
 → Conceituar e classificar os vetores em Linearmente Depen-
dente (LD) e Linearmente Independente (LI) e determinar as 
bases dos espaços com os vetores LI.
 → Realizar transformações lineares entre espaços vetoriais e de-
terminar os autovetores e autovalores das transformações do 
mesmo plano.
 → Realizar transformações lineares mesmo plano.
84
Introdução
Olá, estudante! Tudo bem com você?
 Seja bem-vindo(a) de volta! 
Vamos iniciar este objeto de aprendizagem com uma apre-
sentação dos conceitos básicos para o estudo dos espaços vetoriais 
(vetores). Nesse sentido, serão apresentadas as propriedades que 
definem os Espaços e subespaços vetoriais.
Além disso, vamos conhecer os processos para a determina-
ção das combinações lineares e os conjuntos Linearmente Depen-
dentes (LD) e Linearmente Independentes (LI). 
Tais conceitos formam a base para compreender as transfor-
mações lineares entre espaços vetoriais de uma perspectiva plana e 
espacial e, então, operacionalizar os vetores desses espaços na for-
ma geométricae analítica, observando as transformações no mes-
mo plano. 
Assim, você está pronto(a) para iniciar nossa jornada? Bons 
estudos! 
DEFINIÇÃO
85
 Espaços Vetoriais
Antes de tudo, para você conhecer os conceitos que norteiam e fun-
damentam os espaços vetoriais, observe a figura 1.
Figura 1 – Espaços vetoriais.
Fonte: elaborado pela autora (adaptado de SANTOS, 2019).
Espaços vetoriais são conjuntos não vazios, cujos elementos são ve-
tores com os quais podemos efetuar operações de soma e multipli-
cação escalar. 
Dessa forma, espaços vetoriais precisam, necessariamente, 
respeitar dez regras relacionadas às operações de soma e multipli-
cação escalar. Elas são chamadas de axiomas. Vamos agora enten-
der como se diferenciam!
Os axiomas válidos para a soma:
1. um vetor w, originado da soma de um vetor u e um vetor v 
pertencentes ao espaço vetorial V, também pertence a V;
86
2. comutatividade da soma: u + v = v + u;
3. associatividade da soma: (u + v) + w = v + (u + w) = (u + w) + v;
4. Para todo espaço vetorial V, existe um vetor no qual todos os 
elementos são nulos. Este vetor é conhecido como vetor nulo 
ou vetor zero, ou simplesmente 0. A seguinte operação deve 
ser válida: v + 0 = v;
5. Para todo vetor v, existe um vetor -v, tal que v + (-v) = 0. 
Axiomas válidos para multiplicação escalar:
1. considerando um escalar c e um vetor v contido no espaço ve-
torial V, o produto destes dois elementos, ou seja, o vetor cv, 
também está contido no espaço vetorial V.
2. distributiva do produto entre um escalar e a soma de dois ve-
tores: c(u + v) = cu + cv.
3. distributiva do produto da soma de dois escalares e um vetor: 
(c + d)v = cv + dv.
4. associatividade da multiplicação: (cd)v = c(dv).
5. O produto do escalar 1 pelo vetor v resulta no próprio vetor v: 
1v = v.
Para facilitar a compreensão, vamos aplicar todos os axiomas 
a um exemplo. Para tanto, vamos considerar a seguinte regra para 
um espaço vetorial:
Nosso primeiro exemplo será um espaço vetorial muito uti-
lizado em álgebra linear, conhecido como X². Esta notação deve ser 
lida da seguinte maneira: os vetores do conjunto X² são compostos 
87
pelos elementos x e y, tal que x e y pertencem ao grupo dos números 
reais. Note que dissemos que os vetores pertencentes ao grupo R^2 
possuem dois elementos, x e y. 
Como estamos trabalhando com vetores coluna, dizer que 
eles possuem dois elementos significa o mesmo que dizer que os ve-
tores possuem duas linhas. Portanto, vamos testar os dez axiomas, 
considerando os três vetores u, v e w, além dos escalares c =2 e d=2.
1. x x . Os elementos x e y do vetor 
resultante pertencem aos números reais. Portanto, o axioma é 
válido!
2. x x X. Portanto, o 
axioma é válido!
3. 
 
 . Portanto, o axioma é válido!
4. 0000 0 . Os elementos x e y pertencem aos números reais. Por-
tanto, o axioma é válido!
5. x . Portanto, o axioma é 
válido!
6. c . Os elementos x e y do vetor re-
sultante pertencem aos números reais. Portanto, o axioma é 
válido!
7. c 
Portanto, o axioma é válido!
.
88
8. c 
 
 . 
Portanto, o axioma é válido!
9. 
 
Portanto, o axioma é válido!
10. 1 . Portanto, o axioma é válido!
É comum trabalharmos também com os espaços vetoriais ³, 
⁴, 5, ..., n. Até ³, somos capazes de compreender visualmente os 
vetores, pois eles são representados graficamente em três dimen-
sões. Mas quando trabalhamos com espaços vetoriais com quatro 
ou mais elementos, podemos trabalhar com eles apenas matema-
ticamente, pois somos incapazes de visualizar mais do que três di-
mensões.
Subespaços vetoriais
Subespaços vetoriais são espaços contidos dentro de um outro es-
paço vetorial. Assim como os espaços vetoriais, os subespaços de-
vem respeitar os dez axiomas anteriormente citados. No entanto, 
para testarmos se um conjunto de vetores é um subespaço, não 
precisamos testar todos os axiomas. Podemos nos focar apenas nos 
axiomas 1, 4 e 6.
.
.
89
Para entender melhor, vamos tomar como exemplo três can-
didatos a subespaços vetoriais que pertencem a ²:
Analisaremos cada caso utilizando as matrizes para repre-
sentar os vetores dos subconjuntos:
 Aplicando o primeiro axioma, temos:
Olhando os elementos do vetor resultante, percebemos que o 
axioma foi atendido, pois o elemento y vale o oposto do elemento x.
O segundo axioma nos diz que o vetor nulo deve fazer parte 
do subespaço.
Se substituirmos os elementos do vetor u, por exemplo, por 
zero, temos:
Com isto, conseguimos provar que o vetor nulo faz parte do 
subespaço e, portanto, o axioma foi atendido.
Por fim, vamos analisar o sexto axioma:
Mais uma vez, percebemos que o axioma foi atendido, pois o 
elemento y é o oposto do elemento x. Desta forma, pudemos com-
provar que V1 é um subespaço de ². 
90
Agora, vamos fazer o mesmo para V2:
A aplicação dos três axiomas selecionados, neste caso, mos-
tra que nenhum deles pode ser atendido para o subespaço V2. Quan-
do testamos o primeiro axioma, o elemento y deveria ser igual ao 
elemento x somado a um (se x = x1 + x2, y deveria ser igual a 1 + x1 + 
x2); no entanto, o que encontramos é o elemento x somado a dois (2 
+ x1 + x2).
No caso do quarto axioma, encontramos um vetor diferente 
do vetor nulo, sendo que o elemento x vale zero, mas o elemento y 
vale 1. E, para o sexto axioma, se o elemento x equivale a cx2, o ele-
mento y deveria valer 1 + cx2. No entanto, temos o elemento y como 
c + cx2. Portanto, chegamos à conclusão que V2 não é um subespaço 
vetorial de ².
Agora, vamos analisar V3:
91
Para V3, notamos que é possível atender ao quarto axioma. 
No entanto, o primeiro e o sexto axioma não foram atendidos. Desta 
forma, podemos afirmar que V3 também não é um subespaço veto-
rial do espaço ².
Representação geométrica da soma e 
multiplicação escalar de vetores
Agora que já aprendemos o que são vetores e espaços vetoriais, é in-
teressante entendermos, de maneira mais visual, como funcionam 
as operações de soma e multiplicação escalar que efetuamos com os 
vetores dentro dos espaços vetoriais. Para ilustrar estas operações, 
usaremos como exemplo vetores contidos no espaço vetorial R2, ou 
seja, seremos capazes de representar graficamente nossos vetores 
no plano cartesiano.
Novamente, vamos usar como exemplo os vetores u, v e w, e 
os escalares c = 2 e d = 3. Em um primeiro momento, podemos repre-
sentar a soma dos vetores u e v. Já sabemos que esta soma resulta no 
vetor .
A representação geométrica da soma de vetores é conhecida 
como regra do polígono. Para iniciarmos nossa representação, va-
mos posicionar nosso vetor u na origem do plano cartesiano, con-
forme o gráfico 1(a). Agora, para somarmos u e v, precisamos fixar a 
origem do vetor v no final do vetor u, conforme mostrado no gráfico 
1(b). Por fim, traçamos um vetor que parte da origem do vetor u e 
vai em direção ao final do vetor v, conforme apresentado no gráfico 
1(c). Agora, se analisarmos as coordenadas do vetor resultante desta 
soma, veremos que x vale 3 e y vale 0, conforme já havíamos defini-
do a partir da soma algébrica.
92
Gráfico 1 – Representação geométrica da soma dos vetores u e v, resultando no vetor u + v.
Fonte: (Adaptado de SANTOS, 2019). 
(b)
(c)
(a)
93
Se fizermos o mesmo procedimento considerando os três ve-
tores u, v e w, cuja soma sabemos que é o vetor . O vetor u + v + w 
está representadono gráfico 2.
Gráfico 2 – Representação geométrica da soma dos vetores u, v e w, resultando no 
vetor u + v + w.
Fonte: (Adaptado de SANTOS, 2019).
Quando falamos da multiplicação escalar, estamos falando 
também de uma operação de soma de vetores. Por exemplo, o vetor 
2u também pode ser interpretado como o vetor u + u.
Desta forma, podemos representar geometricamente a mul-
tiplicação escalar como se estivéssemos representando uma soma 
de vetores. O gráfico 3 mostra a multiplicação de u pelo escalar c = 2 
e de v pelo escalar d = 3.
94
Gráfico 3 – Representação geométrica das multiplicações escalares 2u e 3v.
Fonte: (Adaptado de SANTOS, 2019).
Combinação Linear
Podemos combinar dois ou mais vetores para formarmos outros ve-
tores. Essa prática recebe o nome de combinação linear. Para exem-
plificar, vamos utilizar novamente os vetores u, v e w.
Já sabemos e comprovamos que estes três vetores estão con-
tidos no espaço vetorial ². No entanto, será que a combinação de 
dois destes vetores é capaz de representar o espaço vetorial como 
um todo?
Para sabermos, vamos testar se a combinação dos vetores u= 
xx e v= é capaz de gerar o vetor w = . Para tanto, podemos 
escrever uma equação matricial da seguinte forma:
Agora, podemos reescrever esta equação na forma de um sis-
95
tema de equações lineares, em que os elementos da matriz w repre-
sentem os termos independentes, c1 e c2 sejam nossas variáveis e 
os elementos das matrizes u e v sejam os coeficientes das equações. 
Assim, teremos:
Ao resolvermos este sistema linear, podemos dizer que é um 
sistema linear compatível determinado e que os valores de c1 e c2 
são, respectivamente, -5/ e -2/(resolva para confirmar os resulta-
dos). Desta forma, comprovamos que é possível combinar os vetores 
u e v para obtermos w quando c1 e c2 são aqueles encontrados na 
solução do sistema linear.
Dependência e independência linear
Consideremos uma combinação linear r = c1v1 + c2v2 + c3v3 + ... + 
cnvn. Neste caso, esta combinação é linearmente dependente se pu-
dermos atribuir valores a c1, c2, c3, ..., cn, nem todos nulos, de tal 
forma que r seja um vetor nulo. Caso contrário, o sistema é conhe-
cido como linearmente independente.
Para um primeiro exemplo de aplicação desta definição, va-
mos novamente utilizar o exemplo da combinação linear dos veto-
res u e v, dando origem ao vetor genérico r, cujos valores dos ele-
mentos escalares c1 e c2 valem c_1=a/3+b/ e c_2=a/3-b.
Agora, se quisermos obter o vetor nulo, ou seja, se atribuir-
mos aos elementos a e b o valor zero, teremos também, para os es-
calares c1 e c2, o valor zero. De acordo com a definição, a combinação 
96
é linearmente dependente apenas quando temos, pelo menos, um 
escalar não nulo em nossa combinação.
Neste caso, como os dois escalares valem zero para a com-
binação do vetor nulo, dizemos que nosso espaço vetorial é linear-
mente independente. 
Agora, vejamos um segundo exemplo:
Neste caso, percebemos que os valores dos escalares c1 e c2 
estão conectados. Por exemplo, se definimos c1 = 2, c2 deve valer 
-4. Quando analisamos os dois vetores u e v, isso fica compreensí-
vel, pois vemos que os elementos de um vetor são proporcionais aos 
elementos do outro. De acordo com a definição anteriormente apre-
sentada, este espaço vetorial é linearmente dependente, pois, para 
obtermos o vetor nulo, utilizamos dois escalares não nulos.
DEFINIÇÃO
DEFINIÇÃO
97
Base e dimensão de espaços vetoriais
Chamamos de base, um conjunto de vetores capazes de gerar um 
espaço vetorial e que sejam linearmente independentes. 
Por exemplo, o conjunto de vetores u= e v= é consi-
derado uma base do espaço vetorial R², uma vez que a combinação 
linear dos dois é capaz de gerar qualquer vetor contido no espaço 
vetorial e por serem linearmente independentes. Já o conjunto dos 
vetores u= e v=xxxxnão é uma base do espaço vetorial R², pois 
são linearmente dependentes e não são capazes de gerar qualquer 
vetor de R² a partir de uma combinação linear.
Chamamos de dimensão de um espaço vetorial, o número de veto-
res em uma de suas bases.
Podemos dizer que a dimensão do espaço vetorial R² é igual 
a 2 (como vimos, dois vetores são suficientes para definir qualquer 
vetor do espaço vetorial) e a dimensão do espaço vetorial R³ é igual 
a 3, ..., e do espaço vetorial Rn é igual a n. O que isto significa? Para 
espaços vetoriais em duas dimensões, dois vetores são suficientes 
para se formar uma base, assim como três são suficientes para for-
mar uma base de um espaço vetorial em três dimensões e assim por 
diante.
98
Transformação Linear
Até agora, com as combinações lineares, trabalhamos dentro de um 
mesmo espaço vetorial. No entanto, é possível manipular vetores 
de um espaço vetorial para encontrarmos vetores de outros espaços 
vetoriais. Para tanto, realizamos operações conhecidas como trans-
formações lineares.
Os conceitos das transformações lineares são muito pareci-
dos com os conceitos de funções matemáticas. Vamos entender um 
exemplo para podermos comparar com os conceitos de função.
Vamos considerar vetores contidos no espaço vetorial V (ou 
R²). Assim, realizaremos uma transformação linear a fim de obter 
matrizes pertencentes ao espaço vetorial W (que é um subespaço de 
R³). Para isso, nossa transformação linear será:
T:V → W = T(x, y) = (2x, -y · x + y)
Traduzindo a equação, nós realizaremos uma transformação 
linear que consiste em pegarmos vetores de ² e transformá-los em 
vetores de um subespaço vetorial de ³, sendo que, para tanto, o va-
lor do elemento x do novo vetor valerá 2x do primeiro vetor, y valerá 
–y do primeiro vetor e o elemento z será a soma dos elementos x e 
y do vetor em ³. Vamos representar esquematicamente, na figu-
ra 2, como fizemos para a função matemática, considerando os três 
vetores que temos utilizado nesta unidade, u= [1, v= [2/(e w = [(-3.
99
Figura 2 - Representação esquemática do funcionamento de uma transformação 
linear.
Fonte: (SANTOS, 2019).
Dessa forma, podemos fazer analogias entre as funções ma-
temáticas e as transformações lineares. 
No caso das transformações, nosso domínio é o espaço ve-
torial que contém todos os vetores para os quais a transformação 
linear apresenta uma resposta, ou seja, R². O contradomínio é for-
mado pelo espaço vetorial R³. Já a imagem, podemos dizer que é o 
conjunto que contém todos os vetores que são resposta à transfor-
mação linear. É interessante observar que nem todos os vetores de 
R³ podem ser obtidos a partir desta transformação sugerida e, dessa 
forma, a imagem da transformação é um subespaço de R³. 
Por exemplo, os vetores unitários fazem parte do contrado-
mínio da transformação, mas não fazem parte da imagem, uma vez 
que não há valores para x e y capazes de formar tais vetores.
100
Outra forma de representar uma transformação linear é por 
meio de uma multiplicação de matrizes de acordo com a base ado-
tada para os espaços vetoriais que representam o domínio e a ima-
gem da transformação. Vamos continuar nosso exemplo utilizando 
a transformação linear T(x, y) = (2x,-y . x + y). Em um primeiro mo-
mento, vamos considerar a base canônica do domínio: 
Nosso primeiro passo é aplicar a regra da transformação so-
bre as matrizes da base: 
Agora, tudo o que precisamos fazer é montarmos uma matriz 
que contenha exatamente os elementos contidos nos dois vetores 
obtidos: 
101
Transformação do plano no plano
Muitas vezes, deseja-se realizar a “movimentação” de vetores em 
um plano. Um excelente exemplo para isto é a aplicação de trans-
formações lineares em computação gráfica. Quando fazemos esta 
movimentação de vetores, também estamos falando de transfor-
mações lineares, apesar de estas serem efetuadas para transformar 
vetores de um espaço vetorial para outro espaço vetorial da mesma 
dimensão (no nosso caso, do plano no plano). 
Essas transformações podem ser sempre interpretadas como 
uma multiplicação de matrizes,conforme já vimos nos tópicos an-
teriores. Neste caso, o tipo de transformação que queremos efetuar 
nos dirá qual é o tipo de matriz que deverá multiplicar nosso vetor 
para que ocorra a transformação. 
A partir de agora, definiremos três transformações diferentes 
do plano que são largamente aplicadas na resolução de problemas 
matemáticos: reflexão, escalonamento e a rotação. 
Neste tópico, para facilitar nossa visualização, iremos traba-
lhar sempre com conjuntos de vetores. Ao invés de interpretá-los 
como vetores propriamente ditos, interpretaremos como pontos no 
plano cartesiano que formam um triângulo, conforme apresentado 
nos gráficos 4 e 5.
102
Gráfico 4 – Representação dos vetores que serão transformados (a).
Fonte: (SANTOS, 2019).
Gráfico 5 – Representação do triângulo que é formado a partir das coordenadas dos 
vetores (b).
Fonte: (SANTOS, 2019).
103
Reflexão
A reflexão ocorre quando queremos “espelhar” o conjunto de veto-
res em relação a um dos eixos x ou y, ou até mesmo em relação à ori-
gem. A tabela 1 apresenta os operadores, ou seja, as matrizes pelas 
quais multiplicamos nossos vetores para que a transformação linear 
de reflexão seja realizada. O Gráfico 6 apresentará como acontecem 
as três reflexões:
Tabela 1 – Operadores para a reflexão de vetores.
Fonte: (Adaptado de SANTOS, 2019).
Gráfico 6 – Reflexões do triângulo formado por vetores.
Fonte: (SANTOS, 2019).
Reflexão em relação ao eixo x
Reflexão em relação ao eixo y
Reflexão em relação à origem
104
Escalonamento
Esta é a transformação linear plana que tem por objetivo aumentar 
ou diminuir o tamanho dos objetos formados pelos vetores selecio-
nados.
Gráfico 7 – Escalonamento do triângulo formado por vetores.
Fonte: (SANTOS, 2019).
105
Rotação
Neste caso, queremos rotacionar nosso objeto em relação à origem. 
Para tanto, devemos utilizar como operador uma matriz composta 
por senos e cossenos do ângulo q pelo qual se deseja rotacionar o 
objeto.
Gráfico 8 – Rotações do triângulo formado por vetores.
Fonte: (SANTOS, 2019).
106
Transformação ortogonal
Imaginemos um subespaço vetorial V de ² que constitua todos os 
vetores (x, ax). Agora, vamos imaginar que temos um vetor u (x, 
y) que pertença ao espaço ², mas não ao subespaço V. O gráfico 9 
apresenta a reta que representa o subespaço V, além do vetor u.
Gráfico 9 – Representação do subespaço v (x, ax) e do vetor u (x,y) em ²
Fonte: (SANTOS, 2019).
Muitas vezes nos deparamos com a resolução de problemas 
que envolvem determinar um vetor do subespaço vetorial V que seja 
a projeção do vetor u. É importante atentar para o fato de não es-
tarmos falando de uma rotação do vetor u para que ele coincida com 
algum vetor pertencente ao subespaço V. Neste caso, o que preci-
107
samos fazer é traçar uma linha perpendicular entre o final do vetor 
u e a reta que representa o subespaço V, conforme representado no 
gráfico 10. Chamamos essa transformação linear plana de transfor-
mação ortogonal.
Gráfico 10 – Projeção do vetor u no subespaço vetorial v
Fonte: (SANTOS, 2019).
Com isso, somos capazes de obter o vetor u’ (x’, y’), mas pre-
cisamos ainda definir matematicamente uma forma de calcular os 
valores de x’ e y’. Em primeiro lugar, sabemos que y’ é uma função 
de x’, de acordo com o que já foi apresentado como regra do subes-
paço vetorial V (y = ax). Pela equação de Pitágoras, sabemos que o 
quadrado do vetor u é igual ao quadrado do vetor u’ somado ao qua-
drado da linha que traçamos perpendicular ao vetor u’ (para facilitar 
a compreensão, vamos dizer que esta linha representa um vetor w). 
108
O tamanho dos vetores podemos chamar de módulo e, novamente, 
de acordo com o teorema de Pitágoras, podemos calculá-los da se-
guinte maneira para um vetor genérico v:
Agora, se aplicarmos este conceito ao conjunto de vetores que 
temos, ficaremos com o seguinte desenvolvimento das equações:
Desenvolvendo até o fim esta equação, temos:
Agora sabemos como relacionar o valor x’ em relação às coor-
denadas x, y do vetor original e ao escalar a que faz parte da regra 
criada para definir o subespaço V. Portanto, ficamos com a seguinte 
equação:
109
Podemos interpretar esta equação matricial como sendo o 
seguinte sistema linear:
Se atribuirmos valores para x e y, podemos encontrar quanto 
valem os elementos da matriz que representam o operador para esta 
transformação linear. Então, vamos supor que nosso vetor apresen-
te os elementos x = 1 e y = 0. Desta forma, temos:
O mesmo é válido quando substituímos x = 0 e y = 1:
Portanto, a equação que representa nossa transformação li-
near plana ortogonal é:
110
Autovetores e Autovalores
Dentro da álgebra linear existem transformações lineares T: n → 
n (ou seja, transformações lineares de um espaço vetorial Rn para 
o mesmo espaço vetorial n) as quais podem ser representadas de 
acordo com a seguinte expressão: Ax = λx, ou seja, a multiplicação 
de uma matriz A n × n (matriz quadrada) por um vetor x é igual a 
uma multiplicação entre um escalar λ, chamado de autovalor e o ve-
tor x, chamado de autovetor da matriz quadrada A.
Para entendermos um pouco melhor o que são os autoveto-
res e autovalores, vamos analisar um exemplo que chamaremos de 
exemplo 1: 
Temos aqui uma transformação linear do vetor x, utilizando 
como operador a matriz A. Ao multiplicarmos a matriz A [ ] pelo 
vetor x [ obtemos um outro vetor, de mesmo tamanho que o vetor 
x, sendo [ . Se analisarmos bem este cálculo, podemos dizer que 
o vetor que obtivemos como resposta nada mais é do que o vetor x 
multiplicado pelo escalar 5:
É exatamente assim que surgem os conceitos de autovetores 
e autovalores.
Autovetor de uma matriz (ou operador) A n X n é todo vetor 
(não nulo) x que, quando transformado por A, resulta em um vetor 
que é proporcional a x, ou seja, equivale a x multiplicado por um es-
calar λ. Autovalor de uma matriz (ou operador) A n. n é todo escalar 
λ que, multiplicado por um x, resulta no mesmo vetor que a multi-
plicação de A por x.
111
Calculando autovalores
Dada uma matriz quadrada, precisamos seguir uma sequência de 
cálculo para determinar se ela possui autovetores e autovalores e, 
caso apresente, quais seriam estes.
Nesse sentido, o primeiro passo que precisamos executar é 
a determinação dos autovetores da matriz. Para exemplificar a se-
quência, vamos utilizar novamente como exemplo a matriz [(1 3)].
Vamos escrevê-la novamente na equação que representa a 
transformação linear que envolve os autovetores e autovalores, mas 
sem definirmos quem é a matriz x e o escalar λ. Temos:
Para que possamos seguir com nosso cálculo, podemos tam-
bém interpretar a multiplicação escalar λ ∙ 1x_como a multiplicação 
entre matrizes [⃗()] ∙ [(x] . Se analisarmos bem a matriz ⃗] , 
podemos afirmar que ela é a multiplicação escalar de λ pela matriz 
identidade [⃗()] . 
Portanto, podemos denominar esta matriz de λI, ou seja, po-
demos agora reescrever a transformação linear e simplificá-la:
112
De maneira genérica, podemos escrever que (A - λI). x = 0. Se 
reescrevermos esta multiplicação de matrizes na forma de um sis-
tema linear, temos:
A equação apresentada é conhecida como polinômio carac-
terístico. Assim, é um polinômio que vai representar quanto valem 
os autovalores de uma matriz. Nosso polinômio característico é uma 
equação de segundo grau, cuja solução pode ser calculada a partir da 
fórmula de Bhaskara:
Portanto, podemos chegar à conclusão de que a nossa matriz 
A possui dois autovalores: λ1 = 5, conforme já havíamos provado an-
teriormente, e λ2 = -1
Calculando autovetores
Agora que conhecemos os autovetores associados à nossa matriz, 
podemos encontrar também os autovetores correspondentes a cada 
um dos autovalores.
Vamos começar encontrando os autovetores corresponden-
tes a λ1 = 5. O que podemos fazer para encontrar os autovetores é 
retornar ao sistema linear 7, substituindo os valores de λ. Logo:
113
Resolvendo pelo método de Gauss-Jordan,temos:
114
Com isto, podemos dizer que qualquer vetor cujos elementos 
x1 e x2 sejam iguais entre si são autovetores da matriz A quando o 
autovalor é igual a 5. Agora, façamos o mesmo para λ2 = -1:
115
116
Gráfico 11 – Representação geométrica das transformações lineares envolvendo os 
autovalores da matriz A (a) λ1 = 5 e (b) λ2 = -1.
Fonte: (SANTOS, 2019).
117
Dessa forma, podemos observar que as transformações li-
neares, envolvendo uma matriz e um de seus autovetores, resultam 
em um subespaço vetorial, chamado de autoespaço. Para matrizes 
2 × 2, que é o caso do nosso exemplo, o autoespaço gerado pode ser 
representado por uma reta que passa pela origem. Se estivéssemos 
trabalhando com matrizes 3 × 3, ou seja, no espaço vetorial 3, o au-
toespaço é representado como um plano que passa pela origem.
Diagonalização de Operadores
Até este ponto da unidade, estamos trabalhando com transforma-
ções lineares, considerando como base da transformação, a base ca-
nônica. No entanto, se considerarmos como base da transformação 
os autovetores que obtivemos (damos o nome de base de autovalo-
res), podemos diagonalizar o operador da transformação, ou seja, a 
matriz.
Sabemos que matrizes diagonais (cujos únicos elementos não 
nulos são os elementos que constituem a diagonal principal), por 
serem muito mais simples, são muito mais fáceis de trabalharmos. 
Por exemplo, se tivermos alguma aplicação computacional para o 
uso de autovetores e autovalores, é preferível trabalharmos com 
matrizes diagonais, pois o computador terá que efetuar muito me-
nos cálculos, neste caso, deixando programas mais rápidos e efi-
cientes.
Operadores diagonalizáveis
Diz-se que um operador (ou matriz) é diagonalizável quando a 
multiplicação B = P-1 X A X P é válida. O que exatamente significa 
esta multiplicação? A matriz A já é conhecida, pois esta é exatamen-
te nosso operador. A matriz B é a nossa matriz diagonal, também 
conhecida como matriz semelhante à A. Portanto, precisamos de-
finir agora quem é P e, consequentemente, P-1 (a matriz inversa de 
P). P é simplesmente uma matriz criada a partir dos autovetores de 
nosso operador. 
118
Para facilitar a compreensão, vamos tentar diagonalizar al-
gumas das matrizes que já apresentamos nos exemplos anteriores. 
Retomando o exemplo 1: operador [⃗(1)] e autovetores [⃗] para λ1 = 
5 e ⃗-2x para λ2 = -1.
Para obtermos nossa matriz P, devemos simplesmente atri-
buir valores a x1 e x2 e, em seguida, distribuir os elementos em uma 
única matriz. Podemos atribuir qualquer valor a x1 e x2. Para facilitar 
nossos cálculos, vamos atribuir 1 para ambos, resultando nos veto-
res [⃗e ⃗]. Desta forma, temos P=(xxxx]. Agora, vamos calcular a 
matriz inversa de P utilizando o método das operações elementares:
Agora, vamos efetuar a multiplicação conforme a definição 
de matrizes diagonalizáveis:
SINTETIZANDO
119
Lembrando que, no caso de multiplicação entre matrizes, a 
ordem dos fatores altera completamente o produto. Portanto, de-
vemos sempre fazer a multiplicação P-1. A e, em seguida, da matriz 
resultante deste primeiro cálculo pela matriz P. Ao final da multipli-
cação, obtivemos uma matriz diagonal como esperávamos.
Uma observação muito interessante que podemos fazer é que 
a matriz diagonal que obtivemos por meio deste processo de dia-
gonalização é constituída por elementos na diagonal principal que 
são exatamente os autovalores do operador original. Assim, isto é 
um padrão que pode facilitar nossos cálculos: toda matriz diagona-
lizada será constituída pelos autovalores nas posições da diagonal 
principal.
Parabéns, estudante! Você concluiu mais esta etapa.
Nesta etapa, aprendemos a aplicar vetores em espaços vetoriais, es-
tes conjuntos de vetores seguem regras específicas e devem atender 
a dez axiomas para garantir que o conjunto de vetores analisados 
120
constitui um espaço vetorial. Além dos espaços vetoriais, conhece-
mos os subespaços vetoriais, aos quais também associamos os dez 
axiomas. 
Em seguida, estudamos sobre as combinações lineares que se cons-
tituem nas operações de soma de matrizes e multiplicação escalar 
a partir de determinados vetores. Os conceitos de combinações li-
neares nos levaram aos conceitos de base e dimensão de um espaço 
vetorial. Estes conceitos viabilizaram outra maneira de representar 
espaços vetoriais. 
Além disso, introduzimos os conceitos de transformações lineares, 
cálculos que atuam de forma muito parecida às funções matemáti-
cas, pois trabalhamos com os conceitos de domínio, contradomínio 
e imagem das transformações. Dentro do tópico, vimos brevemente 
as principais transformações lineares planas, que envolvem mu-
danças nos vetores em um plano cartesiano.
Por fim, vimos que autovalores e autovetores são definidos por meio 
da transformação linear Ax = λx, que indica que, em alguns casos, ao 
invés de utilizarmos uma matriz como operador da transformação, 
podemos representá-la simplesmente como uma multiplicação es-
calar. Os vetores e autoespaços relacionados a cada autovalor po-
dem ser linearmente dependentes ou independentes, influenciando 
diretamente na diagonalização do operador. Por sua vez, a diagona-
lização dos operadores se dá quando obtemos uma matriz diagonal 
a partir do operador utilizando como base desta transformação os 
autovetores obtidos. 
Por este motivo, é extremamente importante definirmos se os au-
tovetores são linearmente dependentes ou linearmente indepen-
dentes, uma vez que bases de espaço vetoriais precisam ser criadas 
a partir de vetores linearmente independentes.
Assim, espero que você tenha assimilado este conteúdo. Até a pró-
xima!
UN
ID
AD
E
4
Objetivos
 → Estudar os tipos de cônicas e suas características, classifican-
do-as em parábola, elipse ou hipérbole.
 → Distinguir as cônicas a partir de suas equações.
 → Identificar, a partir das equações, as posições das cônicas em 
relação à origem do sistema e aos eixos coordenados.
124
Introdução
Olá, estudante! Tudo bem com você?
Seja bem-vindo(a) de volta!
Iniciaremos essa unidade, com uma apresentação dos tipos 
de cônicas, seus conceitos e representação. Portanto, vamos co-
nhecer as parábolas, elipses e hipérboles e serão pontuadas suas 
classificações, representações e demonstrações geométricas. Além 
disso, vamos aprender a determiná-las, utilizando equações algé-
bricas.
Você está pronto(a) para embarcar nesta jornada? Bons es-
tudos!
125
As Cônicas
As superfícies cônicas devem ser encaradas como sendo ilimitadas, 
pois são constituídas a partir de duas retas que, por definição, se 
estendem infinitamente em ambos os sentidos. Quando um plano 
π secciona essa superfície sem passar pelo ponto O, podemos ter a 
formação das cônicas: parábola, elipse ou hipérbole.
Figura 1 - Superfície cônica circular. 
Fonte: (WINTERLE, 2000, p. 159).
Portanto, conforme o plano π secciona a geratriz da superfície cô-
nica, obtemos:
 → Parábola – quando um plano π secciona, paralelamente, a 
geratriz da cônica (figura 2a);
 → Elipse – quando um plano π secciona apenas uma das folhas 
da superfície e não é paralelo à geratriz (figura 2b);
 → Hipérbole – quando um plano π não é paralelo à geratriz e 
secciona as duas folhas da superfície cônica (figura 2c).
126
Figura 2 – Superfície cônica circular e as seções cônicas.
Fonte: (WINTERLE, 2000, p. 159).
Todo plano admite um sistema de coordenadas de forma que exista 
uma relação entre os pontos de um plano e o conjunto dos números 
reais, que chamamos de coordenadas. Nesse contexto, analisare-
mos cada uma das cônicas através das suas coordenadas do plano.
É importante ressaltar que as cônicas são de fundamental impor-
tância na astronomia, sendo descritas por Apolônio de Perga geô-
metra grego, e, posteriormente, por Kepler e Galileu para o estudo 
de trajetórias de projéteis e planetas.
Até hoje, as cônicas são amplamente utilizadas na física para anali-
sar a trajetória de partículas e estudar o comportamento de ondas de 
rádioe superfícies refletoras, entre outras aplicações.
Assim, agora vamos pontuar os elementos e equações que descre-
vem e classificam estas cônicas (Parábola, Elipse e Hipérbole). Siga 
em frente, caro(a) aluno(a)!
Elementos da Parábola
Inicialmente, imaginemos um plano π em que se traça uma reta d 
∈ π e um ponto F qualquer desse plano, de maneira que F ∉ d. De-
finimos parábola como o conjunto de todos os pontos desse plano 
que são equidistantes de um ponto fixo (F) e de uma reta fixa desse 
plano (d).
127
Em outras palavras, parábolas podem ser vistas como o con-
junto de todos os pontos cuja distância de um certo ponto, o foco, é 
igual à sua distância de uma determinada reta, a diretriz. Observe a 
figura 3, que retrata graficamente uma parábola.
Figura 3 – Parábola. 
Fonte: (WINTERLE, 2000, p. 162).
Quando nos referimos a uma parábola, deve-se levar em 
consideração que, se tomarmos um ponto P do plano π que não per-
tence à reta diretriz d, dizemos que P é ponto dessa parábola se:
d(P, F) = d(P, P')
De maneira análoga, isso significa que os pontos P1, P2, V e P3 
pertencem à parábola quando a distância de cada um desses pontos 
até F é a mesma distância entre eles até à reta d, quando tomamos 
sua perpendicular.
Em uma parábola, podemos destacar alguns elementos:
 → Foco – é o ponto F; 
 → Diretriz – é a reta d; 
128
 → Eixo – é a reta que passa por F e é perpendicular à diretriz;
 → Vértice – é o ponto de interseção entre a parábola e seu eixo, 
o qual chamamos de V.
Figura 4 – A parábola e seus elementos.
Fonte: (SOUZA, 2020)
Equações reduzidas da parábola
Quando o vértice da parábola está localizado na origem do sistema, 
ou seja, V = (0, 0), temos dois casos que iremos observar atenta-
mente a partir de agora.
1º caso
O eixo da parábola é o eixo das ordenadas, o eixo y. Imagine uma si-
tuação em que seja P(x, y) um ponto qualquer da parábola com o foco 
F(0,P ), conforme pode-se observar na seguinte figura:
129
Figura 5 – Parábola com seu eixo coincidindo com o eixo das ordenadas.
Fonte: (STEINBRUCH; WINTERLE, 1987, p. 206).
O vértice de uma parábola é a interseção entre a parábola e 
seu próprio eixo, que a divide em duas partes simétricas. Nota-se 
também que a distância do foco ao vértice, assim como a distân-
cia do vértice à reta diretriz, são equivalentes (X). Como P é ponto 
dessa parábola, sabemos que a distância do ponto P ao foco e à reta 
diretriz é a mesma: d(P, F) = d(P, P’) e podemos reescrevê-la como 
|FP|= |P'P|.
Como P'(x,- ), conforme observado abaixo:
ou
130
Então, temos que:
x2 = 2py
Dizemos que esta é a equação reduzida da parábola quando seu eixo 
é o eixo das ordenadas (eixo y) e seu vértice está localizado na ori-
gem do sistema. Essa equação reduzida da parábola constitui a for-
ma padrão da equação da parábola.
2º Caso
O eixo da parábola é o eixo das abscissas, o eixo x. Imagine uma si-
tuação em que seja P(x, y) um ponto qualquer da parábola com o foco 
F( , 0). Observe a figura 6:
Figura 6 – Parábola com seu eixo coincidindo com o eixo das abscissas.
Fonte: (STEINBRUCH; WINTERLE, 1987, p. 206).
Como P é um ponto dessa parábola, sabemos que | |= | |. Como 
P'( , y), de maneira análoga ao 1º caso, temos que a equação redu-
131
zida da parábola, com seu eixo coincidindo com o eixo das abscissas, 
pode ser escrita da seguinte forma:
Y² = 2px
Realizamos o estudo do sinal a partir da equação reduzida da pará-
bola. Segundo os casos estudados, teremos a análise de cada situa-
ção possível:
 → situação 1 – eixo da parábola coincide com o eixo das ordena-
das. Como x² = 2py e x² ≥ 0, então 2py ≥ 0. Para que isso acon-
teça, os sinais de p e y devem ser iguais, além da concavidade 
da parábola ser definida por p, que chamamos de parâmetro 
da parábola. A concavidade é voltada para cima quando p > 0 e 
voltada para baixo quando p < 0 (figura 7a).
 → situação 2 – eixo da parábola coincide com o eixo das abs-
cissas. Como y² = 2px e y² ≥ 0, então 2px ≥ 0. Para que isso 
aconteça, os sinais de p e x devem ser iguais, além da conca-
vidade da parábola ser definida por p. A concavidade é voltada 
para direita quando p > 0 e voltada para esquerda quando p < 
0 (figura 7b).
Chamamos o número real p de parâmetro da parábola e p ≠ 0. Esse 
parâmetro é a distância entre o foco F até a reta diretriz.
132
Figura 7 (a) (b) – Estudo da concavidade da parábola.
133
Fonte: (SOUZA, 2020).
EXEMPLO
134
Trace um esboço do gráfico e obtenha a equação da parábola que 
satisfaça as seguintes condições:
a. Vértice V(0, 0) e foco F(1,0);
b. Vértice V(0, 0) e diretriz y = 3;
c. Vértice V(0,0), passa pelo ponto P(-2, 5) e tem concavidade 
voltada para cima. 
Fonte: (WINTERLE, 2000, p. 166).
Resolução: 
a. Como o foco tem coordenadas x = 1 e y = 0, o eixo da pará-
bola coincide com o eixo das abscissas. Portanto, utiliza-
mos a seguinte equação reduzida da parábola: y² = 2px. Mas 
como = 1 (coordenada do vértice), temos que p = 2. Substi-
tuindo na equação, temos que: y² = 2 ∙ 2x = 4x. Logo, a equação 
reduzida dessa parábola é: y² = 4x. 
O gráfico é esboçado a partir da localização dos principais 
pontos (vértice e foco) e sua concavidade é determinada pelo 
sinal de p. Como p > 0, a concavidade é voltada à direita, como 
você pode observar na figura abaixo: 
Figura 8 – Gráfico do item a.
Fonte: (SOUZA, 2020).
135
b. Como o vértice é localizado na origem V(0,0) e sua diretriz é a 
reta y = 3, sabemos que a diretriz é paralela ao eixo x. Logo, a 
parábola tem seu eixo coincidindo com o eixo das ordenadas 
(0y) e concavidade voltada para baixo. Portanto, utilizamos a 
seguinte equação reduzida da parábola: x² = 2py. Porém, como 
= -3 (pela diretriz), temos que p = -6. Substituindo na equa-
ção, temos que x² = -12y. 
O gráfico é esboçado a partir da localização dos principais 
pontos (vértice e foco) e sua concavidade é determinada pelo 
sinal de p. Como p < 0, a concavidade é voltada para baixo (fi-
gura 9):
Figura 9 – Gráfico do item b.
Fonte: (SOUZA, 2020).
c. Sabemos que o vértice dessa parábola passa pela origem e que 
tem sua concavidade voltada para cima. Logo, a equação re-
duzida é do tipo x² = 2py. Como P(-2,5) é ponto dessa parábo-
la, então é solução da equação, logo:
136
Portanto, a equação reduzida dessa parábola é:
Figura 10 – Gráfico do item c.
Fonte: (SOUZA, 2020).
137
Equação da parábola com o vértice fora da origem 
do sistema
Agora, iremos estudar os casos em que o vértice da parábola não 
é localizado na origem do sistema, ou seja, V ≠ (0, 0). Para isso, 
devemos compreender o processo de translação de eixos, conforme 
demonstrado a seguir.
Consideremos o plano cartesiano xOy e um ponto arbitrário 
desse plano O’(h, k). Podemos realizar a translação dos eixos, origi-
nalmente utilizados, para um novo eixo, que chamaremos de x’Oy’, 
desde que algumas condições sejam atendidas:
 → Os eixos O’x’ e O’y’ tenham a mesma unidade de medida dos 
eixos Ox e Oy;
 → Os eixos O’x’ e O’y’ tenham a mesma direção dos eixos Ox e 
Oy;
 → Os eixos O’x’ e O’y’ tenham o mesmo sentido dos eixos Ox e 
Oy. 
Quando todas essas condições são satisfeitas, um sistema pode ser 
obtido através de outro. Logo, um ponto P pode ser escrito de acordo 
com as coordenadas do plano cartesiano xOy como P(x, y) ou, ainda, 
com coordenadas de x’Oy’ como P(x’, y’).
EXEMPLO
138
Figura 11 – Translação dos eixos.
Fonte: (WINTERLE, 2000, p. 167).
Podemos estabelecer uma relação entre as coordenadas, em 
que x = x’ + h e y = y’ + k. A transformação de coordenadas de um 
plano para outro permite modificar a forma da equação.
Suponha uma parábola de equação reduzida x’² = 3y’, tendo como 
referência o sistema x’Oy’. Seja h = 8 e k = -5, escreva a equação 
tomando como referência o plano xOy.
Resolução 
Como h = 8 e k = -5, temos como origem do plano x’Oy’ o ponto O’(8, 
-5). Conhecendo a equação da parábola, basta realizar a transfor-
mação de coordenadas. Dessa maneira, temos que:
139
Sendo assim, pode-se concluirque no sistema xOy, a equação da 
parábola é x² - 16x - 3y + 34 = 0.
Agora vamos estudar uma parábola que tem o vértice fora da 
origem do sistema.
1º Caso
O eixo da parábola é paralelo ao eixo das ordenadas, o eixo y. Ima-
gine uma parábola de vértice V(h, k) cujo eixo é paralelo ao eixo y 
(consideramos aqui o plano xOy). Suponhamos agora que esse vér-
tice V(h, k) seja origem O’ do sistema x’Oy’.
Quando supomos isso, temos o caso em que há uma transla-
ção do eixo. Assim, quando a parábola tem seu eixo coincidindo com 
o eixo das ordenadas, temos a seguinte equação: x’² = 2py’. 
Porém, sabemos que a transformação entre as coordenadas 
se dá na forma x = x’+ h e y = y’ + k. Sendo assim, a equação da pará-
bola com vértice fora da origem e paralelo ao eixo y é definida por:
(x - h)² = 2p(y - k)
Em que h e k são as coordenadas do vértice V(h, k).
EXEMPLO
140
2º Caso
O eixo da parábola é paralelo ao eixo das abscissas, o eixo x. Imagine 
uma parábola de vértice V(h, k) cujo eixo é paralelo ao eixo x (consi-
deramos aqui o plano xOy). Suponhamos agora que esse vértice V(h, 
k) seja origem O’ do sistema x’Oy’, como foi feito no caso anterior. 
Quando a parábola tem seu eixo coincidindo com o eixo das ordena-
das, temos a seguinte equação: y’² = 2px’.
Como a transformação entre as coordenadas se dá na forma 
x’ = x - h e y’ = y - k, definimos a equação da parábola com vértice 
fora da origem e paralelo ao eixo x como: 
(y - k)2 = 2p(x - h)
Em que h e k são as coordenadas do vértice V(h, k). 
Determine a equação da parábola de vértice V(3, -1), sabendo que 
y - 1 = 0 é a equação da diretriz.
Resolução
Nesse exemplo, temos o caso em que o vértice está fora da origem e 
sua diretriz é paralela ao eixo x (y = 1). Dizer que a diretriz é paralela 
ao eixo x significa que o eixo da parábola é paralelo ao eixo y, já que 
o eixo da parábola é perpendicular à sua diretriz. Logo: 
(x - h)² = 2p(y - k).
Sabemos que o parâmetro é a distância entre o vértice e a reta di-
retriz, e como = -2, então p = -4. Como V(3, -1), temos h = 3 e k = -1. 
Substituindo esses valores na equação, temos:
141
(x - 3)² = 2 ∙ (-4) ∙ (y - (-1))
(x-3)² = 2 ∙ (-4) ∙ (y + 1)
x² - 6x + 9 = -8y – 8
Assim, a parábola tem equação x²- 6x + 8y + 17 = 0 e gráfico 
conforme evidencia a figura 12.
Figura 12 – Esboço do gráfico.
Fonte: (SOUZA, 2020).
Equação da parábola na forma explícita
Também podemos escrever a equação da parábola de maneira ex-
plícita, evidenciando um de seus termos. Uma equação na forma ex-
plícita é apresentada como:
 → y = ax² + bx + c, caso o eixo da parábola seja paralelo ao eixo 
Oy ou;
 → x = ay² + by + c, quando o eixo da parábola é paralelo ao eixo 
Ox. 
EXEMPLO
142
Em ambos os casos, a ≠ 0, uma vez que, ao contrário, não é 
possível obter uma parábola. 
Exemplo 1
Sabe-se que o vértice de uma parábola com eixo paralelo ao eixo das 
ordenadas é dada pelo ponto V(2, -1) e seu parâmetro é dado por 
p= . A partir das informações apresentadas, transforme a equação 
padrão de uma parábola em uma equação da parábola na forma ex-
plícita. 
Fonte: (STEINBRUCH; WINTERLE, 1987, p. 219)
Resolução
Como o vértice está fora da origem, a equação na forma padrão é 
dada por (x - h)² = 2p(y - k). Porém, h e k são as coordenadas do 
vértice e p= . Portanto:
Logo, a equação explícita é obtida a partir do isolamento de y, pois o 
eixo da parábola é paralelo ao eixo das ordenadas: y = 4x² - 16x + 15.
Exemplo 2 
Transforme a equação explícita da parábola do exemplo anterior na 
equação padrão. Em seguida, identifique seu vértice.
Fonte: (STEINBRUCH; WINTERLE, 1987, p. 220).
143
Resolução
A equação explícita dessa parábola é dada na seguinte forma: y = 4x² 
- 16x + 15. Lembrando que a forma padrão é equacionada da seguin-
te maneira: (x - h)² = 2p(y - k). Então, a equação explícita deve ser 
manipulada a fim de chegarmos na sua forma padrão:
Transformando em quadrado perfeito:
O vértice da parábola é V(h, k), mas, pelo formato da equação pa-
drão, temos h = 2 e k = -1. Logo, o vértice é V(2,-1). Também pode-
mos observar o parâmetro p, visto que: 2p = → p = .
A equação padrão da parábola é (x- 2)² = (y + 1), com vértice V(2, 
-1) e p = .
144
Estudo da Elipse
Chamamos de elipse o conjunto de todos os pontos pertencentes a 
um plano π que respeitam a seguinte regra: a soma das distâncias a 
dois pontos fixos desse plano sempre é constante. A figura 13 ilus-
tra esse caso:
Figura 13 – Elipse. 
Fonte: (STEINBRUCH; WINTERLE, 1987, p. 226).
A ilustração sugere que, qualquer que seja o ponto P, ele será 
ponto da elipse se a soma das distâncias dele até os pontos F1 e F2 
for constante. Dessa maneira, a distância entre F1 e F2 = 2c, e, co-
nhecendo um número real a tal que 2a > 2c, dizemos que P é um 
ponto dessa elipse se d(P, F1 ) + d(P,F2 ) = 2a
 → quanto mais próximos os focos (F1 e F2) estão entre si, mais a 
elipse se assemelha a uma circunferência. Se F1 = F2, teremos 
uma circunferência;
 → consequentemente, quanto mais longe os focos estão um do 
outro, mais achatada é a elipse.
145
Elementos da elipse
 Antes de iniciar o estudo das equações de uma elipse é necessário 
conhecer seus elementos, ilustrados na seguinte figura:
Figura 14 – Elementos da elipse.
Fonte: (WINTERLE, 2000, p. 178).
 → Focos: pontos F1 e F2. 
 → Distância focal: é a distância entre os dois focos (2c). 
 → Centro: é o ponto médio da distância entre os focos (C).
 → Eixo maior: é o segmento , que contém os focos e pos-
sui comprimento 2ª. 
 → Eixo menor: é o segmento de comprimento 2b e per-
pendicular ao segmento , exatamente no ponto C. 
 → Vértices: pontos A1, A2, B1 e B2.
146
Como dito anteriormente, a partir da proximidade entre os 
focos, toda elipse pode ter um achatamento ou não. Para sabermos 
o quão achatada uma elipse é, basta calcularmos sua excentricidade 
da seguinte maneira:
É possível destacar uma outra relação através da figura 14, 
em que os vértices C, B2 e F2 formam um triângulo retângulo de 
hipotenusa a e catetos b e c. Logo:
Equação da elipse de centro na origem do sistema
Imagine uma elipse de centro C(0, 0). Podem ocorrer duas situa-
ções, explicitadas a seguir:
1º Caso
O eixo maior está no eixo das abscissas (considere a figura 15 para as 
demonstrações fornecidas):
Figura 15 – Elipse com eixo maior no eixo x.
Fonte: WINTERLE, 2000, p. 179
147
Pela definição de elipse, sabemos que d(P, F1) + d(P, F2) = 2a. 
Portanto, podemos calcular as distâncias a partir das coordenadas 
de cada um desses pontos:
Elevando os dois lados ao quadrado, teremos:
Elevando os lados ao quadrado novamente:
Mas, da relação de Pitágoras, vem que: a² - c² = b². Portanto, 
substituindo, temos b² x² + a² y² = a² b². Dividindo todos os termos 
por a² b²:
148
Essa é a equação reduzida da parábola com centro na origem 
e eixo maior sobre o eixo das abscissas.
2º Caso
O eixo maior está no eixo das ordenadas. Com procedimento similar 
ao do caso anterior, obtemos:
Essa é a equação reduzida da parábola com centro na origem e eixo 
maior sobre o eixo das ordenadas, representada pela figura 16.
Figura 16 – Elipse com eixo maior em y.
Fonte: (WINTERLE, 2000, p. 180).
OBSERVAÇÃO
EXEMPLO
149
 → Sempre o maior dos denominadores na equação reduzida re-
presenta o número a², em que a é a medida do semieixo maior 
devido à relação a² = b² + c²;
 → Se, na equação da elipse, o número a² é denominador de x², 
então o eixo maior está sobre o eixo dos x. Caso seja denomi-
nador de y², então o eixo maior está sobre o eixo dos y. 
Dada a elipse 9x² + 25y² = 225, determine:
a. a medida dos semieixos; 
b. um esboço do gráfico;
c. os focos; 
d. a excentricidade. 
Fonte: (STEINBRUCH; WINTERLE, 1987, p. 232).
Resolução
a. Dividindo cada termo da equação por 225:
150
Porém, como 25 = 5² > 3² = 9, o semieixo maior é 5 e está sobre o 
eixo x. Semieixos: a = 5 e b = 3.
b. Neste caso, o esboço do gráfico fica da seguinte maneira:
Figura 17 – Esboço do gráfico.
Fonte:(SOUZA, 2020).
c. Os focos são determinados através do Teorema de Pitágoras. 
Como a elipse tem eixo maior no eixo das abscissas, os focos 
têm as coordenadas F1 (-c, 0) e F2 (c, 0). Por Pitágoras, temos:
151
Portanto, os focos são F1 (-4, 0) e F2 (4, 0). 
d. A excentricidade é calculada através da seguinte expressão: 
Equação da elipse de centro fora da origem do 
sistema
De maneira análoga, consideremos o plano cartesiano xOy e um 
ponto arbitrário desse plano O’(h, k), que será o centro da nossa 
elipse. 
Dessa forma, um ponto P pode ser escrito de acordo com as 
coordenadas do plano cartesiano xOy como P(x, y) ou, ainda, como 
coordenadas de x’Oy’ como P(x’, y’). Assim como no estudo da pa-
rábola, podemos estabelecer uma relação entre as coordenadas, em 
que x = x’ + h e y = y’ + k. É importante ressaltar que a transformação 
de coordenadas de um plano para outro permite modificar a forma 
da equação. 
Posto isso, reescreveremos as equações da elipse, separando-
-as em dois casos, que veremos em detalhe a partir de agora.
1º Caso
O eixo maior é paralelo ao eixo das abscissas. No caso em que a elip-
se é centrada em C(h, k), usamos o recurso de translação dos eixos 
e obtemos como equação da elipse com o eixo paralelo ao eixo das 
abscissas (x):
EXEMPLO
152
Transformando as coordenadas do plano x’Oy’ para as do 
plano xOy, temos como equação da elipse:
2º Caso
O eixo maior é paralelo ao eixo das ordenadas. Considerando uma 
elipse centrada em C(h, k), de maneira similar ao caso anterior, ob-
temos como equação da elipse com o eixo paralelo ao eixo das or-
denadas (y):
Uma elipse, cujo eixo maior é paralelo ao eixo dos x, tem centro C(2, 
3), excentricidade e= e eixo menor medindo 6. Obtenha uma equa-
ção dessa elipse.
Resolução
 Sabe-se que o eixo maior é paralelo ao eixo dos x e que o centro está 
fora da origem, logo, a equação que vamos utilizar será: 
153
Os valores de h e k são as coordenadas do centro, logo, h = 2 e k = 3. O 
eixo menor (2b) tem medida 6, fornecida pelo enunciado, portanto 
b = 3. Outra informação fornecida é a excentricidade da elipse e = . 
A partir dela, estabelecemos uma relação entre a distância focal e o 
eixo maior:
Assim, podemos relacionar os eixos maior, menor e a distância focal 
através do Teorema de Pitágoras, logo, a² = b² + c². Como b = 3 e 
c = , conseguimos obter o valor do eixo maior:
Portanto, a equação da elipse é:
154
Estudo da Hipérbole
Imagine uma situação em que fixamos dois pontos fixos em um pla-
no π, aos quais chamaremos de focos, representados por F1 e F2. 
Chamamos de hipérbole, o conjunto de todos os pontos P(x, y) ∈ π, 
de tal forma que a diferença entre as distâncias de P até cada um 
dos focos, em valor absoluto, seja constante. Analisemos a figura 18 
para compreender a situação descrita.
Figura 18 – Hipérbole.
Fonte: (WINTERLE, 2000, p. 193).
Considerando que a distância d (F1, F2) = 2c e que a seja um 
número real tal que 2a < 2c, damos o nome de hipérbole a todo pon-
to P tal que | d(P, F1) - d(P, F2)| = 2a. 
Como observado na Figura 18, uma hipérbole apresenta 
dois ramos: neste caso, quando P(x, y) está à direita, a diferen-
ça d(P, F1) - d(P, F2) = 2a e, quando P está à esquerda, a diferença 
d(P, F1) - d(P, F2) = -2a.
155
Elementos da hipérbole
Para destacar os elementos da hipérbole, vamos observar a figura 
19:
Figura 19 – Elementos da hipérbole.
Fonte: (WINTERLE, 2000, p. 193).
 → Foco: dois pontos distintos, chamados de F1 e F2. 
 → Distância focal: é a distância entre os focos, tal que d(F1 , F2) 
= 2c.
 → Centro: é o ponto médio C do segmento .
 → Vértices: são os pontos A1 e A2, que interceptam o eixo real. 
 → Eixo real ou transverso: é o segmento de comprimento 
2a. 
156
 → Eixo imaginário ou não transverso: é o segmento de 
comprimento 2b. É importante ressaltar que ⊥ em 
C. 
 → Abertura da hipérbole: ângulo θ.
 → Assíntotas: as retas r e s.
Uma particularidade da hipérbole para relacionarmos os 
elementos a, b e c diz respeito à construção de uma circunferência 
centrada em C, com raio c. O retângulo MNPQ é a interseção da cir-
cunferência com as assíntotas e, a partir desse retângulo, chegamos 
à relação c² = a² + b². Assim como na elipse, podemos calcular a ex-
centricidade da hipérbole da seguinte maneira:
 → A excentricidade de uma hipérbole está relacionada com a 
abertura dos ramos da hipérbole.
 → A hipérbole é uma curva simétrica em relação aos eixos real e 
imaginário.
 → No caso particular em que a = b, o retângulo MNPQ se trans-
forma em um quadrado e as assíntotas são perpendiculares, 
como ilustrado na figura 20. Nesse caso, a hipérbole recebe o 
nome de hipérbole equilátera.
157
Figura 20 – Hipérbole equilátera.
Fonte: (STEINBRUCH; WINTERLE, 1987, p. 249).
Equações da hipérbole de centro na origem do 
sistema
Sabendo que o centro da hipérbole se encontra na origem do siste-
ma, temos que C(0, 0). 
1º Caso
O eixo real está sobre o eixo das abscissas. Seja P(x, y) um ponto 
qualquer da hipérbole de focos F1 (-c, 0) e F2 (c, 0), pela definição 
de hipérbole temos que | d (P, F1) – d (P, F2) | = 2a.
EXEMPLO
158
Ou seja:
Simplificando a equação de maneira similar ao estudo das 
elipses, e considerando a relação c² = a² + b², obtemos como equa-
ção da hipérbole centrada na origem e eixo real em x:
2º Caso
O eixo real está sobre o eixo das ordenadas. Assim como no caso das 
parábolas e elipses, a equação da hipérbole centrada na origem e 
eixo real sobre o eixo dos y é definida como:
Somente trocamos a posição das variáveis x e y.
Encontre a equação da hipérbole e de suas assíntotas conhecendo os 
focos F1 , F2 e a medida do eixo transverso 6.
Fonte: (BOULOS; CAMARGO, 2005, p. 265).
Resolução
Como o eixo transverso foi dado, temos que 2a = 6, portanto a = 3. A 
distância focal é de 2c = 2 , assim, c = . Portanto, temos que: 
c² = a² + b² e b = 2. Os focos estão em Ox, portanto, a equação da 
hipérbole é:
159
As assíntotas são retas que passam pela origem e, portanto, tem 
equação y = mx, em que m é a declividade (m= e m= ). Portanto, 
as assíntotas são y= x e y= x.
Figura 21 – Esboço do gráfico.
Fonte: (SOUZA 2020).
Equações da hipérbole de centro fora da origem 
do sistema
Considere que o centro da hipérbole se encontra fora da origem do 
sistema C(h, k).
EXEMPLO
160
 1º Caso
O eixo real é paralelo ao eixo das abscissas. De maneira análoga ao 
estudo das parábolas e elipses, utilizamos a ideia de translação dos 
eixos, resultando na seguinte equação:
2º Caso 
O eixo real é paralelo ao eixo das ordenadas. Assim como no caso 
anterior, a equação da hipérbole centrada fora da origem e eixo real 
paralela ao eixo dos y é definida como:
Dada a hipérbole de equação 9x² - 4y² - 54x + 8y + 121 = 0, deter-
mine:
a. sua equação reduzida;
b. o centro; 
c. os vértices;
d. os focos;
e. a excentricidade.
Fonte: (WINTERLE, 2000, p. 200).
161
 Resolução
a. A equação reduzida é obtida através da manipulação da equa-
ção da hipérbole. Agrupando os termos semelhantes e com-
pletando os quadrados, temos:
9X² - 54X - 4Y² + 8Y= -121
9(X² - 6X) - 4 (Y²- 2Y)= - 121
9 (X² - 6X + 9) - 4(Y² - 2Y + 1)= - 121 + 9.9 + 4.1
9(X - 3)² - 4(Y - 1)² = - 36
Dividindo todos os termos da equação por -36 obtemos a equação 
padrão da hipérbole: 
Nota-se que a hipérbole não é centrada na origem do sistema, mas 
é paralela ao eixo y. A equação reduzida é escrita considerando as 
coordenadas x’Oy’:
b. O centro admite como coordenadas h e k, assim, obtemos o 
centro C (3, 1).
 
c. Os vértices são A1 (3, 1 + a) e A2 (3, 1 - a). Como a hipérbole é 
paralela ao eixo y, os vértices variam em y e são fixos em x.
SINTETIZANDO
162
Portanto, os vértices são A1 (3, 4) e A2 (3, -2).
d. Os focos são F1 (3, 1 - c) e F2 (3, 1 + c), obtidos através da se-
guinte relação:
Logo, os focos são F1 (3, 1 - ) e F2 (3,1+ ).
e. A excentricidade é facilmente calculada pela relação e= - .
Parabéns, estudante! Você concluiu mais esta etapa.Nesta unidade, apresentamos o estudo das cônicas por meio da dis-
cussão de alguns de seus aspectos, elementos e equações. Com isso, 
iniciamos abordando as parábolas, explorando suas características, 
elementos, representação gráfica e equações. Durante essa análise, 
estudamos sua concavidade e vimos os casos em que seu vértice está 
centrado na origem do sistema e quando ele não está. 
Dessa forma, nos casos em que o vértice não estava centrado na ori-
gem do sistema (xOy), exploramos o procedimento adotado para 
realizarmos a transposição para um outro sistema (x’Oy’), o que fa-
cilita a troca entre as coordenadas. 
Em seguida, foi apresentado esse mesmo estudo para outros ti-
pos de cônicas: as elipses e as hipérboles. A partir dessas análises, 
aprendemos a identificar as cônicas a partir de suas equações, além 
de como identificar se elas estão centradas ou não na origem, assim 
como se são paralelas aos eixos x ou y. 
163
Por fim, estudamos a excentricidade das elipses e hipérboles, in-
clusive o caso particular de elipse em que temos a circunferência. 
Além disso, ressaltamos em que medida a excentricidade interfere 
na cônica e o que ela significa.
Assim, espero que você tenha aproveitado este conteúdo. Até a pró-
xima!
164
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	Capa Geometria Analítica e Álgebra Linear (Versão Digital)
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