Análise de Circuitos em Engenharia

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<p>William H. Hayt Jr.</p><p>Jack E. Kemmerly</p><p>Steven M. Durbin</p><p>Análise de</p><p>Circuitos em</p><p>Engenharia 8ª edição</p><p>Clássico da área, Análise de Circuitos em Engenharia chega à oitava edição com as credenciais</p><p>de quem apresentou a milhares de estudantes o complexo mundo da análise de circuitos</p><p>elétricos lineares do ponto de vista da prática da engenharia. Em paralelo, os alunos também</p><p>têm contato com os detalhes do desenvolvimento de um método de solução de problemas</p><p>por meio de abordagem pedagógica cuidadosamente elaborada e testada em sala de aula. Os</p><p>alunos são ainda orientados para a aplicação de análise com auxílio de computador tanto para</p><p>verifi car cálculos a mão quanto suas soluções para problemas de soluções múltiplas.</p><p>Destaques desta edição:</p><p>• Mais de 1.000 exercícios novos ou revisados ao fi nal dos capítulos.</p><p>• Uso de ícones para identifi car pontos de atenção: armadilhas comuns,</p><p>problemas de projeto com mais de uma resposta e problemas que exigem</p><p>análise com apoio de um computador.</p><p>• Novos exemplos e problemas práticos.</p><p>• Tratamento ampliado de fi ltros ativos, incluindo a análise e projeto de</p><p>fi ltros Butterworth de múltiplos estágios.</p><p>• Uso ampliado do MATLAB® e do PSpice®.</p><p>A</p><p>nálise de Circuitos em</p><p>Engenharia</p><p>Hayt Jr.</p><p>Kemmerly</p><p>Durbin</p><p>Hayt Jr.</p><p>Kemmerly</p><p>Durbin</p><p>H</p><p>ayt Jr.</p><p>Kem</p><p>m</p><p>erly</p><p>D</p><p>urbin</p><p>8ª edição</p><p>8</p><p>ª ed.</p><p>Análise de</p><p>Circuitos em</p><p>Engenharia</p><p>A</p><p>nálise de</p><p>Circuitos em</p><p>Engenharia</p><p>A Bookman Editora é um dos selos editoriais do</p><p>Grupo A Educação, empresa que oferece soluções</p><p>em conteúdo, tecnologia e serviços para a educação</p><p>acadêmica e profi ssional. O Grupo A Educação</p><p>publica com exclusividade obras com o selo</p><p>McGraw-Hill Education em língua portuguesa.</p><p>ENGENHARIA ELÉTRICA</p><p>www.grupoa.com.brwww.grupoa.com.br</p><p>0800 703 3444</p><p>8ª ed.</p><p>CONTEÚDO ONLINE</p><p>Procure por este livro no site do Grupo A</p><p>(www.grupoa.com.br) e, depois de cadastrado,</p><p>faça download do Capítulo 19 (em português) e de</p><p>respostas de problemas selecionados (em inglês).</p><p>ÁREA DO PROFESSOR</p><p>Professores podem ter acesso ao manual de soluções,</p><p>PPTs com aulas e imagens (em inglês) depois de fazer</p><p>o cadastro no site www.grupoa.com.br, buscar este</p><p>livro e clicar no link Material para o Professor.</p><p>Conheça também</p><p>ALEXANDER & SADIKU</p><p>Fundamentos de circuitos elétricos, 5.ed.</p><p>BOLTON, W.</p><p>Mecatrônica: uma abordagem multidisciplinar, 4.ed.</p><p>DINIZ, SILVA & NETTO</p><p>Processamento digital de sinais: projeto e análise de sistemas, 2.ed.</p><p>EDMINISTER & NAHVI</p><p>Eletromagnetismo, 3.ed. (Coleção Schaum)</p><p>FUSCO, V.</p><p>Teoria e técnicas de antenas: princípios e prática</p><p>HAYES, M.</p><p>Processamento digital de sinais (Coleção Schaum)</p><p>HAYT & BUCK</p><p>Eletromagnetismo, 8.ed.</p><p>HSU, H. P.</p><p>Comunicação analógica e digital, 2.ed. (Coleção Schaum)</p><p>Sinais e sistemas, 2.ed. (Coleção Schaum)</p><p>LATHI, B. P.</p><p>Sinais e sistemas lineares, 2.ed.</p><p>MALVINO & BATES</p><p>Eletrônica, 7.ed. (Volumes 1 e 2)</p><p>NAHVI & EDMINISTER</p><p>Circuitos elétricos, 5.ed. (Coleção Schaum)</p><p>RIZZONI, G.</p><p>Fundamentos de engenharia elétrica</p><p>SADIKU, M.</p><p>Elementos de eletromagnetismo, 5.ed.</p><p>SADIKU, MUSA & ALEXANDER</p><p>Análise de circuitos elétricos com aplicações</p><p>THOMAS, ROSA & TOUSSAINT</p><p>Análise e projeto de circuitos elétricos lineares, 6.ed.</p><p>UMANS, S. D.</p><p>Máquinas elétricas de Fitzgerald e Kingsley, 7.ed.</p><p>VAHID, F.</p><p>Sistemas digitais: projeto, otimização e HDLs</p><p>WENTWORTH, S.</p><p>Eletromagnetismo aplicado</p><p>H426a Hayt, William H.</p><p>Análise de circuitos em engenharia [recurso eletrônico] /</p><p>William H. Hayt, Jr., Jack E. Kemmerly, Steven M. Durbin ;</p><p>tradução: Juan Paulo Robles Balestero, Márcio Falcão Santos</p><p>Barroso ; revisão técnica: Antonio Pertence Júnior. – 8. ed. –</p><p>Dados eletrônicos. – Porto Alegre : AMGH, 2014.</p><p>Capítulo 19 está disponível online.</p><p>Editado também como livro impresso em 2014.</p><p>ISBN 978-85-8055-384-0</p><p>1. Engenharia elétrica. 2. Circuitos elétricos. I. Kemmerly,</p><p>Jack E. II. Durboin, Stevem M. III. Título.</p><p>CDU 621.37</p><p>Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus – CRB 10/2052</p><p>Capítulo 9 u O Circuito RLC338</p><p>9.5 O CIRCUITO RLC SÉRIE SEM FONTES</p><p>Queremos agora determinar a resposta natural de um modelo de circuito</p><p>composto de um resistor ideal, um indutor ideal e um capacitor ideal conec-</p><p>tados em série. O resistor ideal pode representar um resistor real conectado</p><p>a um circuito LC em série ou RLC em série; ele representa as perdas ôhmi-</p><p>cas e as perdas no núcleo ferromagnético do indutor; da mesma forma, ele</p><p>é usado para representar todas essas perdas e a presença dos demais dispo-</p><p>sitivos que absorvem energia no circuito.</p><p>O circuito RLC série é o dual do circuito RLC paralelo, e esse simples</p><p>fato é suficiente para tornar a sua análise uma tarefa trivial. A Figura 9.21a</p><p>mostra o circuito série. A equação íntegro-diferencial fundamental é</p><p>L di</p><p>dt</p><p>+ Ri + 1</p><p>C</p><p>t</p><p>t0</p><p>i dt − υC (t0) = 0</p><p>que, por sua vez, deve ser comparada com a equação análoga para o circuito</p><p>RLC paralelo, novamente desenhado na Figura 9.21b,</p><p>C dυ</p><p>dt</p><p>+ 1</p><p>R</p><p>υ + 1</p><p>L</p><p>t</p><p>t0</p><p>υ dt − iL (t0) = 0</p><p>As respectivas equações de segunda ordem obtidas com a diferenciação</p><p>dessas duas equações com relação ao tempo também são duais:</p><p>L d2i</p><p>dt2 + R di</p><p>dt</p><p>+ 1</p><p>C</p><p>i = 0 [30]</p><p>C d2υ</p><p>dt2 + 1</p><p>R</p><p>dυ</p><p>dt</p><p>+ 1</p><p>L</p><p>υ = 0 [31]</p><p>Toda nossa discussão a respeito do circuito RLC paralelo é diretamente</p><p>aplicável a um circuito RLC série; as condições iniciais de tensão no capaci-</p><p>tor e corrente no indutor são equivalentes às condições iniciais de corrente</p><p>no indutor e tensão no capacitor; a resposta de tensão se torna uma resposta</p><p>de corrente. Portanto, é possível reler as quatro seções anteriores usando</p><p>a linguagem dual e obter, assim, uma descrição completa do circuito RLC</p><p>série. Esse processo, no entanto, tende a nos induzir a uma leve neurose</p><p>após os primeiros parágrafos e não parece ser realmente necessário.</p><p>Um Breve Resumo da Resposta do Circuito Série</p><p>Em termos do circuito mostrado na Figura 9.21a, a resposta sobreamortecida é</p><p>i(t) = A1es1t + A2es2t</p><p>onde</p><p>s1,2 = − R</p><p>2L</p><p>± R</p><p>2L</p><p>2</p><p>− 1</p><p>LC</p><p>= − α ± α2 − ω2</p><p>0</p><p>assim,</p><p>α = R</p><p>2L</p><p>ω0 = 1</p><p>√LC</p><p>p FIGURA 9.21 (a) O circuito RLC série, que é o</p><p>dual de (b) um circuito RLC paralelo. Os valores dos</p><p>elementos, naturalmente, não são idênticos nos dois</p><p>circuitos.</p><p>i</p><p>L</p><p>C</p><p>R</p><p>(a)</p><p>υL</p><p>+</p><p>–</p><p>υC +–</p><p>LR C</p><p>(b)</p><p>υ</p><p>+</p><p>–</p><p>iCiL</p><p>339Seção 9.5 u O circuito RLC série sem fontes</p><p>A forma da resposta criticamente amortecida é</p><p>i(t) = e− αt (A1t + A2)</p><p>e a resposta subamortecida pode ser escrita como</p><p>i(t) = e− αt (B1 cosωdt + B2 senωdt)</p><p>ωd = ω2</p><p>0 − α2</p><p>É evidente que, se trabalharmos em termos dos parâmetros α, ω0 e ωd,</p><p>as formas matemáticas das respostas para as situações duais são idênticas.</p><p>Um aumento em α nos circuitos série ou paralelo leva a uma resposta</p><p>sobreamortecida, ao mesmo tempo em que mantém ω0 constante. O único</p><p>cuidado que precisamos ter se refere ao cálculo de α, que é igual a 1/2RC</p><p>no circuito paralelo e igual a R/2L no circuito em série; assim, α aumenta</p><p>com o aumento da resistência em série ou com a diminuição da resistência</p><p>em paralelo. Para maior conveniência, as principais equações para circuitos</p><p>RLC em paralelo e série estão resumidas na Tabela 9.1.</p><p>Dado o circuito RLC em série da Figura 9.22, em que L = 1 H, R = 2 kΩ, C =</p><p>1/401 µF, i(0) = 2 mA e vC(0) = 2 V, calcule i(t) e trace um gráfico para t > 0.</p><p>Calculamos α = R/2L = 1.000 s–1 e ω0 = 1 / √LC = 20,025 rad/s. Isso indica</p><p>uma resposta subamortecida; calculamos, portanto, o valor de ωd e obtemos</p><p>20.000 rad/s. Exceto pela avaliação das duas constantes arbitrárias, a resposta</p><p>já é conhecida:</p><p>i(t) = e−1000t (B1 cos 20.000t + B2 sen 20.000 t)</p><p>Como sabemos que i(0) = 2 mA, podemos substituir esse valor em nossa</p><p>equação por i(t) para obter</p><p>B1 = 0,002 A</p><p>u EXEMPLO 9.7</p><p>Tabela 9.1 u Resumo das Equações Importantes para Circuitos RLC sem Fontes</p><p>Tipo Condição Critério α ω0 Resposta</p><p>Paralelo</p><p>Série</p><p>Paralelo</p><p>Série</p><p>Paralelo</p><p>Série</p><p>Sobreamortecido</p><p>Criticamente amortecido</p><p>Subamortecido</p><p>α > ω 0</p><p>α = ω0</p><p>α < ω 0</p><p>1</p><p>√LC</p><p>1</p><p>√LC</p><p>1</p><p>√LC</p><p>A1es1t + A2es2t , onde</p><p>s1,2 =</p><p>−α ± √α2 − ω2</p><p>e− αt (A1t + A2)</p><p>e− αt (B1 cosωdt + B2 senωdt),</p><p>onde ωd = ω2</p><p>0 − α2</p><p>1</p><p>2RC</p><p>R</p><p>2L</p><p>1</p><p>2RC</p><p>R</p><p>2L</p><p>1</p><p>2RC</p><p>R</p><p>2L</p><p>p FIGURA 9.22 Um simples circuito RLC sem</p><p>fontes, com energia armazenada no indutor e no</p><p>capacitor em t = 0.</p><p>i</p><p>L</p><p>C</p><p>R υL</p><p>+</p><p>–</p><p>υC +–</p><p>Capítulo 9 u O Circuito RLC340</p><p>portanto,</p><p>i(t) = e−1000t (0,002 cos 20.000t + B2 sen 20.000t) A</p><p>A condição inicial restante deve ser aplicada à derivada; assim,</p><p>di</p><p>dt</p><p>= e−1000t (− 40 sen 20.000t + 20.000B2 cos 20.000t</p><p>− 2 cos 20.000t − 1000B2 sen 20.000t)</p><p>e</p><p>di</p><p>dt t= 0</p><p>= 20.000B2 − 2 = vL (0)</p><p>L</p><p>= vC (0) − Ri(0)</p><p>L</p><p>= 2 − 2000(0,002)</p><p>1</p><p>= − 2 A/s</p><p>de modo que</p><p>B2 = 0</p><p>A resposta desejada é, portanto,</p><p>i(t) = 2e−1000t cos 20.000t mA</p><p>Um bom gráfico pode ser feito traçando-se primeiro as duas partes do</p><p>envelope exponencial, 2e–1.000t e –2e–1.000t mA, como mostram as linhas</p><p>tracejadas na Figura 9.23. A localização dos quartos de ciclo na onda cos-</p><p>senoidal em 20.000t = 0, π/2, π etc., ou t = 0,07854k ms, k = 0, 1, 2, ..., por</p><p>meio de pequenas marcas no eixo dos tempos, permite o rápido traçado da</p><p>curva oscilatória.</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>–1</p><p>–2</p><p>0,2 0,4 0,6 0,8 1,0</p><p>i (t) (mA)</p><p>t (ms)</p><p>p FIGURA 9.23 A resposta de corrente de um circuito RLC série subamortecido no qual</p><p>α = 1.000 s–1, ω0 = 20.000 s–1, i(0) = 2 mA e vC(0) = 2 V. A construção do gráfico é simplificada</p><p>com o traçado do envelope, mostrado como um par de linhas tracejadas.</p><p>O tempo de acomodação pode ser facilmente determinado usando-se a parte</p><p>de cima do envelope, isto é, fazemos 2e–1.000ts mA igual a 1% do seu valor</p><p>máximo, 2 mA. Assim, e–1.000ts = 0,01, e ts = 4,61 ms é o valor aproximado</p><p>que normalmente se utiliza.</p><p>341</p><p>u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO</p><p>9.7 Com referência ao circuito mostrado na Figura 9.24, calcule (a) α; (b)</p><p>ω0; (c) i(0+); (d) di/dt|t=0+; (e) i(12 ms).</p><p>Resposta: 100 s–1; 224 rad/s; 1 A; 0; – 0,1204 A.</p><p>Como exemplo final, vamos fazer uma pausa para considerar situações</p><p>em que o circuito inclui uma fonte dependente. Se não nos interessa nenhu-</p><p>ma corrente ou tensão de controle associada à fonte dependente, podemos</p><p>simplesmente determinar o equivalente de Thévenin conectado ao indutor e</p><p>ao capacitor. Caso contrário, deparamo-nos com a necessidade de escrever</p><p>uma equação íntegro-diferencial apropriada, calcular a derivada indicada e</p><p>resolver a equação diferencial resultante da melhor forma que pudermos.</p><p>Obtenha uma expressão para vC(t) no circuito da Figura 9.25a válida</p><p>para t > 0.</p><p>10 V 2 V</p><p>9 V</p><p>t = 0</p><p>5 H</p><p>2 mF</p><p>i</p><p>+ –</p><p>3i</p><p>+</p><p>–</p><p>υC –+</p><p>(a)</p><p>2 V 1 A</p><p>9 V</p><p>i</p><p>+ –</p><p>3i</p><p>(b)</p><p>υteste</p><p>+</p><p>–</p><p>p FIGURA 9.25 (a) Circuito RLC contendo uma fonte dependente. (b) Circuito para encontrar</p><p>Req.</p><p>Como estamos interessados somente em vC(t), é perfeitamente aceitável</p><p>começar com a determinação da resistência equivalente de Thévenin</p><p>conectada em série com o indutor e o capacitor em t = 0+. Fazemos isso</p><p>conectando uma fonte de 1 A, como mostra a Figura 9.25b, de onde pode-</p><p>mos deduzir que</p><p>υteste = 11i − 3i = 8i = 8(1) = 8 V</p><p>Logo, Req = 8 Ω, então, α = R/2L = 0,8 s–l e ω0 = 1/√LC = 10 rad/s, o que</p><p>significa que esperamos ter uma resposta subamortecida com ωd = 9,968 rad/s</p><p>e a forma:</p><p>υC (t) = e− 0,8t (B1 cos 9,968t + B2 sen 9,968t) [32]</p><p>u EXEMPLO 9.8</p><p>0,5 H 40 mF</p><p>100 V</p><p>i</p><p>u(– t) A</p><p>p FIGURA 9.24</p><p>Seção 9.5 u O circuito RLC série sem fontes</p><p>Capítulo 9 u O Circuito RLC342</p><p>Considerando o circuito em t = 0–, notamos que iL(0−) = 0 devido à presença</p><p>do capacitor. Pela lei de Ohm, i(0–) = 5 A, assim,</p><p>υC (0+ ) = υC (0− ) = 10 − 3i = 10 − 15 = − 5 V</p><p>Esta última condição substituída na Equação [32] resulta em B1 = –5 V.</p><p>Calculando a derivada da Equação [32] e a avaliando em t = 0, temos</p><p>dυC</p><p>dt t= 0</p><p>= − 0,8B1 + 9,968B2 = 4 + 9,968B2 [33]</p><p>Vemos a partir da Figura 9.25a que</p><p>i = − C dυC</p><p>dt</p><p>Logo, fazendo uso do fato de que i(0+) = iL(0–) = 0 na Equação [33], obtemos</p><p>B1 = –0,4013 V e podemos escrever</p><p>vC (t) = − e− 0,8t (5 cos 9,968t + 0,4013 sen 9,968t) V t > 0</p><p>A simulação desse circuito no PSpice, mostrada na Figura 9.26, confirma</p><p>nossa análise</p><p>Tempo</p><p>T</p><p>e</p><p>n</p><p>s</p><p>ã</p><p>o</p><p>n</p><p>o</p><p>C</p><p>a</p><p>p</p><p>a</p><p>c</p><p>i</p><p>t</p><p>o</p><p>r</p><p>sen</p><p>,,,,</p><p>,</p><p>,</p><p>, ,</p><p>p FIGURA 9.26 Simulação do circuito mostrado na Figura 9.25a no PSpice.</p><p>u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO</p><p>9.8 Determine uma expressão para iL(t) no circuito da Figura 9.27 válida</p><p>para t > 0 se vC(0–) = 10 V e iL(0–) = 0. Note que, neste caso, embora a</p><p>aplicação das técnicas de Thévenin não seja muito útil, a ação da fonte</p><p>dependente liga vC e iL de maneira que resulta em uma equação diferen-</p><p>cial linear de primeira ordem.</p><p>t FIGURA 9.27 Circuito para o</p><p>Exercício de Fixação 9.8.</p><p>2 V 5 H</p><p>2 V</p><p>iL</p><p>3υC</p><p>10 mF</p><p>υC –+</p><p>Resposta: iL (t) = −30e−300t A, t > 0.</p><p>Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para</p><p>esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual</p><p>da Instituição, você encontra a obra na íntegra.</p>