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<p>H R DINAMI MECÂNICA PARA ENGENHARIA De acordo como Sistema Internacional de Unidades (SI) CW PEARSON Companion Website</p><p>HIBBELER DINÂMICA MECÂNICA PARA ENGENHARIA EDIÇÃO PÁGINA EM BRANCO Pearson Education EMPRESA CIDADA</p><p>HIBBELER MECÂNICA PARA ENGENHARIA EDIÇÃO PÁGINA EM BRANCO Tradução Jorge Ritter Revisão Técnica José Maria Campos dos Santos Professor Doutor do Departamento de Mecânica Computacional da Faculdade de Engenharia Mecânica da Universidade Estadual de Campinas PEARSON São Paulo Brasil Argentina Colômbia Costa Rica Chile Espanha Guatemala México Peru Porto Rico Venezuela</p><p>Copyright 2011. Edição em língua portuguesa publicada pela Pearson Education do Brasil Ltda. Tradução autorizada a partir da versão de Cingapura, adaptada da edição original em dos Estados Unidos, intitulada ENGINEERING MECHANICS: DYNAMICS, 12th Edition, de HIBBELER, RUSSELL publicada pela Pearson Education, Inc. do grupo Prentice Hall, Copyright 2010. Adaptada da edição de Cingapura intitulada ENGINEERING DYNAMICS SI, 12th Edition, adaptada por S.C. Fan, publicada pela Pearson Education Asia Ltd., Copyright 2010. Todos os direitos Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, da Pearson Education do Diretor editorial: Roger Trimer Gerente editorial: Sabrina Cairo Supervisor de produção editorial: Marcelo Françozo Editora plena: Thelma Babaoka Editoras: Silvana Afonso e Adriana Mauro Preparação: Viviane Oshima e Renata Gonçalves Revisão: Ana Paula Ribeiro, Renata Siqueira Campos e Erika Alonso Capa: Thyago Santos Editoração eletrônica e Artes Gráficas Ltda. Fotografias fornecidas pelo autor, R. Hibbeler Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Ao ESTUDANTE (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Hibbeler, R.C. Com a esperança de que este trabalho estimule Dinâmica mecânica para engenharia / R.C. o interesse em mecânica para engenharia e sirva Hibbeler tradução Jorge Ritter revisão técnica de guia para entendimento deste José Maria Campos dos 12. ed. São Paulo Pearson Prentice Hall, 2011. Título original: Engineering mechanics ISBN 978-85-7605-814-4 1. Dinâmica 2. Engenharia mecânica I. 10-11460 CDD-620,104 Indices para catálogo sistemático: 1. Dinâmica Mecânica para engenharia : Tecnologia 620.104 2010 Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à Pearson Education do Brasil, uma empresa do grupo Pearson Education Rua Nelson Francisco, 26, Limão CEP: 02712-100 São Paulo SP Tel: (II) 2178-8686 Fax: (11) 2178-8688 e-mail: vendas@pearson.com</p><p>SUMÁRIO 12 Cinemática de uma 1 Objetivos do capítulo 12.1 Introdução I 12.2 retilínea: movimento contínuo 2 12.3 retilínea: movimento irregular 13 12.4 Movimento curvilíneo geral 23 12.5 Movimento componentes retangulares 25 12.6 Movimento de um projétil 29 Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial 40 Movimento curvilíneo: componentes 52 PÁGINA EM BRANCO Análise de movimento absoluto dependente de duas 63 12.10 Movimento relativo de duas partículas usando eixos de translação 67 13 Cinética de uma força e aceleração 83 Objetivos do capítulo 83 13.1 Introdução 83 A equação do movimento 85 13.3 Equação do movimento para um sistema de particulas 87 Equações do movimento: coordenadas retangulares 88 13.5 Equações de movimento: coordenadas normais e tangenciais 102 13.6 Equações de movimento: coordenadas 112 Movimento de força central e mecânica espacial 122 14 Cinética de uma trabalho e energia 133 Objetivos do capítulo 133 14.1 trabalho de uma força 133 14.2 Princípio do trabalho e energia 137 14.3 Princípio do trabalho e energia para um sistema de 138 14.4 Potência e eficiência 151 14.5 Forças conservativas e energia potencial 157 14.6 Conservação de energia 160 15 Cinética de uma impulso e quantidade de movimento 173 Objetivos do capítulo 173 15.1 Princípio do impulso e quantidade de movimento linear 173 15.2 Princípio do impulso e quantidade de movimento linear para um sistema de 178</p><p>viii Sumário ix 15.3 Conservação da quantidade de movimento linear para 19.1 Quantidade de movimento linear e angular 398 um sistema de 185 19.2 Princípio de impulso e quantidade de movimento 401 15.4 Impacto 194 19.3 Conservação da quantidade de movimento 414 15.5 Quantidade de movimento angular 207 19.4 Impacto excêntrico 418 15.6 Relação entre o momento de uma força e a quantidade de movimento angular 208 Revisão 2 Cinética e cinemática do movimento plano de 15.7 Princípio do impulso e quantidade de movimento angulares 210 um corpo rígido 428 15.8 Escoamento estacionário de um fluido 220 Propulsão com massa variável 224 20 Cinemática tridimensional de um corpo rígido 439 Objetivos do capítulo 439 Revisão 1 Cinemática e cinética de uma 238 20.1 Rotação em torno de um ponto fixo 439 16 Cinemática do movimento plano de um corpo rígido 248 20.2 A derivada temporal de um vetor medido a partir de um Objetivos do capítulo 248 sistema fixo ou de um sistema transladando-rotacionando 442 16.1 Movimento plano de um corpo rígido 248 20.3 Movimento geral 445 16.2 Translação 250 20.4 Análise do movimento relativo usando eixos transladando 16.3 Rotação em torno de um eixo fixo 251 e rotacionando 453 16.4 Análise do movimento absoluto 263 21 Cinética tridimensional de um corpo rígido 463 16.5 Análise do movimento relativo: velocidade 269 Objetivos do capítulo 463 16.6 Centro instantâneo de velocidade nula 281 21.1 Momentos e produtos de inércia 463 16.7 Análise do movimento relativo: aceleração 289 21.2 Quantidade de movimento angular 470 16.8 Análise do movimento relativo usando-se um 21.3 Energia cinética 473 sistema de cixos em rotação 301 21.4 Equações de movimento 479 17 Cinética do movimento plano de um corpo rígido: força e 21.5 Movimento 490 aceleração 318 21.6 Movimento livre de torque 495 Objetivos do capítulo 318 22 17.1 Momento de inércia de massa 318 Vibrações 504 Objetivos do capítulo 504 17.2 Equações da cinética do movimento plano 327 22.1 Vibração livre não amortecida 504 17.3 Equações de movimento: translação 330 341 22.2 Métodos de energia 514 17.4 Equações de movimento: rotação em torno de um eixo fixo 17.5 Equações de movimento: movimento plano geral 354 22.3 Vibração forçada não homogênea 519 22.4 Vibração livre amortécida viscosa 522 18 Cinética do movimento plano de um corpo rígido: trabalho e 22.5 Vibração forçada amortecida viscosa 525 energia 367 22.6 Analogias de circuito elétrico 527 Objetivos do capítulo 367 18.1 Energia cinética 367 Apêndices 534 369 A Expressões 534 18.2 trabalho de uma força B Análise vetorial 536 18.3 trabalho de um momento de binário 370 A regra da cadeia 539 18.4 Princípio do trabalho e energia 372 D Equações fundamentais da dinâmica 541 18.5 Conservação de energia 383 E Tabelas de conversão 543 19 Cinética do movimento plano de um corpo rígido: impulso e Soluções e respostas parciais dos problemas fundamentais 546 quantidade de movimento 398 Respostas dos problemas selecionados 561 Objetivos do capítulo 398 Índice remissivo 585</p><p>PREFÁCIO Este livro foi desenvolvido com o intuito de fornecer aos estudantes uma apresentação didática e completa da teoria da mecânica e aplicações à engenharia Reconhecido por sua clareza na explicação e pelos sólidos conjuntos de problemas, Hibbeler é atualmente um dos autores mais vendidos na área. Nesta edição, fotos reais com soluções de vetores são fornecidas para permitir que os alunos entendam melhor os conceitos ensinados e problemas propostos. Os amplos problemas fornecidos no livro são organizados em nível de dificuldade gradual a fim de desenvolver as habilidades de resolução dos assim como fornecer-lhes a prática de que Este livro contém os seguintes novos elementos: Ampla variedade de problemas para a sua prática e resolução. PÁGINA EM BRANCO Diagramas realísticos com vetores para demonstrar aplicações do mundo real. Ampla variedade de problemas para a sua prática e resolução Alguns exercícios são aplicações de problemas de engenharia mecânica em campos como engenharia de petróleo e biomecânica - preparando os estudantes para trabalhar nesses setores em Exemplos Os exemplos (problemas resolvidos) ajudarão os estudantes a aprender os fundamentos e entender os conceitos por trás das questões. Os alunos são capazes de exercitar suas habilidades de resolução por meio desses problemas que possuem grande variedade de soluções 123</p><p>xil Prefácio xiii Problemas fundamentais Além dos problemas já apresentados, os estudantes também têm à disposição listas de problemas dispostas ao longo dos capítulos divididas em três categorias, Um novo recurso nesta esse conjunto de problemas está localizado após para auxiliar ainda mais a aprendizagem do aluno. Os problemas indicados pelo os problemas de exemplo. Ele oferece aos alunos aplicações simples dos conceitos símbolo podem ser resolvidos por meio de procedimentos Aqueles para garantir que tenham entendido o capítulo antes de tentar resolver quaisquer indicados apenas por número possuem resposta no fim do livro. Os indicados com outras questões. o símbolo antes da numeração possuem equação ou resultado numérico adicional junto com a resposta. E os indicados com o símbolo antes da numeração não Problemas possuem resposta. Diagramas com vetores para demonstrar aplicações do mundo real com vetores Foram acrescentadas muitas ilustrações fotorrealistas com vetores. Essas imagens fornecem uma sólida conexão com a natureza tridimensional da engenharia e também ajudam o aluno a visualizar e lembrar conceitos por trás da questão. by de made for determine 14.5 Problemas conceituais Esses problemas descrevem situações encontradas na Eles são 18.30 de am desenvolvidos para testar a capacidade de um aluno em aplicar os conceitos de Os estudantes também se mantêm atualizados sobre as aplicações mais recentes da engenharia Os professores possuem uma ampla variedade de questões entre as quais poderão modificar e acrescentar como novas questões para seus recursos. de Determine do para varia de quando Fotografias A importância de conhecer a matéria é refletida por aplicações do mundo real descritas em fotos em todo o livro. Essas fotografias são utilizadas para explicar como os princípios se aplicam a situações reais. As equações 16.24 16.27 sex para de problemas envalvendo plano de corpor rigidos is Escolha apropriada para orientação para ambos de Y. move Mais frequentemente as soluções são facilmente obtidas no considerado origens 2. 3. o deve fixe an longo do</p><p>xiv CW AGRADECIMENTOS Companion Website Site de apoio do livro No site de apoio do livro professores e estudantes têm acesso a materiais adicionais que facilitam tanto a exposição das aulas como o processo de aprendizagem. Para professor: autor se esforçou para escrever este livro de modo que tanto ao estudante Apresentações em PowerPoint quanto ao professor. Com o passar dos muitas pessoas ajudaram no seu Os professores podem contar com slides que possuem informações e desenvolvimento e serei sempre grato por seus valiosos comentários e sugestões. Gostaria de especialmente às seguintes pessoas que com seus diagramas dos respectivos capítulos. comentários relativos à preparação da décima segunda edição deste trabalho. Banco de imagens Yesh P. Singh, University of Texas San Antonio banco de imagens contém ilustrações, diagramas e fotos encontrados no livro. Manoj Chopra, University of Central Florida Kathryn McWilliams, University of Saskatchewan Esse material é de uso exclusivo dos professores e está protegido por senha. Para Daniel Linzell, Penn State University ter acesso a os professores que adotam o livro devem entrar em contato com seu Larry Banta, West Virginia University representante Pearson ou enviar e-mail para universitarios@pearson.com. Manohar L. Colorado School of Mines Para o estudante: Robert University of Oklahoma Textos adicionais (em Ahmad M. Itani, University of Nevada Existem algumas pessoas que sinto que merecem um reconhecimento Vince O'Brien, diretor de gestão de projetos em equipe, e Rose Kernan, minha editora de produção por muitos anos, por me oferecerem incentivo e apoio. Honestamente, sem a ajuda deles, esta edição totalmente revista e melhorada não teria sido possível. Além disso, um associado e amigo de longa data, Kai Beng foi de grande ajuda na verificação de todo o manuscrito e na preparação das soluções de problemas. Uma nota de agradecimento especial a esse respeito também vai para Kurt Norlin da Laurel Tech Integrated Services Publishing. Durante o processo de produção, sou grato pela ajuda de minha esposa, e minha filha, Mary Ann. com a revisão e digitação necessárias para preparar o texto para publicação. Por gostaria de agradecer muitíssimo a todos os meus alunos e aos colegas da que têm usado o tempo livre para enviar-me e-mails com sugestões e comentários. Como essa lista é longa demais para mencionar, espero que aqueles que ajudaram dessa forma aceitem este reconhecimento Eu agradeceria muito ouvi-lo se em algum momento tiver comentários, sugestões ou problemas relacionados a quaisquer questões relacionadas a esta edição. RUSSELL CHARLES HIBBELER hibbeler@bellsouth.net Agradecimentos edição brasileira Agradecemos a todos os profissionais que trabalharam na produção desta edição de em especial ao professor doutor José Maria Campos dos Santos, da Faculdade de Engenharia Mecânica da Universidade Estadual de Campinas, pela atenção e pelo cuidado com a revisão técnica do livro. Agradecemos também ao professor Wilson Carlos da Silva Junior, mestre em Engenharia Metalúrgica e Materiais pela EPUSP. doutor em Engenharia Biomédica pela UMC e diretor acadêmico da Faculdade de Tecnologia Termomecânica pela sólida consultoria técnica desta edição, auxiliando-nos a manter a qualidade do livro.</p><p>xvi Sobre adaptador CAPÍTULO Fan Sau Cheong, da Nanyang Technological University Cingapura, recebeu seu PhD na Universidade de Hong Kong. professor Fan também é vice-diretor do Centre for Advanced Numerical Engineering Simulations (CANES) da Sua experiência profissional inclui trabalho e investigação em pontes, estruturas em concha. pavimentos, estruturas de cabo e paredes de diafragma de vidro. professor Fan também foi o adaptador 12 da 5. e 6. de Mechanics of materiais de Hibbeler e da 11. ed., em das obras Engineering Mechanics: Statics and Dynamics Cinemática de uma partícula Objetivos do capítulo Introduzir os conceitos de posição, deslocamento, velocidade e aceleração. Estudar o movimento de uma longo de linho reto e representar este movimento graficamente. Investigar o movimento de uma ao longo de uma utilizando diferentes sistemas de Apresentar uma análise do movimento dependente de duas Examinar os de movimento relativo de duas particulas utilizando eixos de 12.1 Introdução Mecânica é ramo das ciências físicas que trata do estado de repouso ou movi- mento de corpos sujeitos à ação de A mecânica aplicada à engenharia é dividida em duas áreas de a saber, estática e diz respeito ao equilíbrio de um corpo que está em repouso ou se move com velocidade Neste capítulo, abordaremos a que trata do movimento acelerado de um corpo. tema da dinâmica será apresentado em duas partes: cinemática, que trata somente dos aspectos do e cinética. que é a análise das forças que causam o Para desenvolver esses a dinâmica de uma partícula será discutida primeiro, seguida por tópicos em dinâmica de corpos rígidos em duas e então três Historicamente, os princípios da dinâmica desenvolveram-se quando foi possível fazer uma medida precisa do Galileu Galilei (1564-1642) foi um dos primei- ros entre os principais contribuintes para esse Seu trabalho consistiu em experimentos utilizando pêndulos e corpos em As contribuições mais signifi- cativas em dinâmica, foram feitas por Isaac Newton que é conhecido por sua formulação das três leis fundamentais do movimento e a lei da atração gravitacional Pouco tempo depois de essas leis terem sido postu- ladas, técnicas importantes para sua aplicação foram desenvolvidas por Lagrange e Existem muitos problemas na engenharia cujas soluções exigem a aplicação dos princípios da o projeto estrutural de qualquer como um automóvel ou um exige que se leve em consideração o movimento ao qual</p><p>2 Capítulo 12 de uma 3 ele é submetido. Isso também é verdadeiro para muitos dispositivos mecânicos, tais partir deste ponto a coordenada da posição é usada para especificar a posição como motores, bombas, ferramentas móveis, manipuladores industriais e maquinários. da em qualquer instante de tempo A intensidade de é a distância de o Além disso, previsões dos movimentos de satélites artificiais, projéteis e espaçonaves o até a normalmente medida em metros e o sentido da direção é defi- estão baseados na teoria da Com os avanços da haverá uma nido pelo sinal algébrico de Apesar de a escolha ser nesse caso, é Posição necessidade ainda maior de se saber como aplicar os princípios dessa matéria. visto que o eixo de coordenada é positivo à direita da origem. Da mesma (a) maneira, ele é negativo se a partícula for posicionada à esquerda de Observe que Solução de problemas a posição é uma quantidade já que ela tem intensidade e direção. Aqui, no entanto, ela está sendo representada pelo escalar algébrico uma vez que a direção As A dinâmica é considerada mais abrangente que a visto que ambas as forças aplicadas a um corpo e seu movimento têm de ser levadas em sempre permanece ao longo do eixo de coordenada. Além disso, muitas aplicações exigem o uso do em vez de apenas álgebra e Deslocamento De qualquer maneira, a forma mais efetiva de se aprender os princípios (b) da dinâmica é resolver problemas. Para ser bem-sucedido nessa tarefa, é necessário deslocamento de uma é definido como a variação na sua posição. 12.1 apresentar o trabalho de uma maneira lógica e como sugerido pela se- Por exemplo, se a se move de um ponto para outro, Figura 12.1b. o deslo- quência de passos apresentada a seguir. camento é: 1. Leia o problema cuidadosamente e tente correlacionar a situação física real com a teoria que você estudou. Nesse caso, As é positivo, uma vez que a posição final da está à direita 2. Desenhe quaisquer diagramas necessários e tabule os dados do problema. da sua posição inicial, ou seja, > Da mesma forma, se a posição final estivesse 3. Estabeleça um sistema de coordenadas e aplique os princípios relevantes, à esquerda da sua posição inicial, As seria negativo. geralmente em forma deslocamento de uma também é uma quantidade e não deve 4. Resolva as equações necessárias algebricamente até onde for prático; em ser confundido com a distância que uma partícula percorre. Especificamente, a dis- seguida, utilize um sistema de unidades consistente e complete a solução tância percorrida é um escalar positivo que representa o comprimento total da numericamente. Apresente a resposta com o mesmo número de algarismos trajetória sobre a qual a se move. significativos dos dados fornecidos. 5. Analise a resposta fazendo uso de julgamento técnico e bom-senso para Velocidade avaliar se ela parece ou não Se uma se move com um deslocamento As durante o intervalo de tempo 6. Uma vez que a solução tenha sido completada, reveja o Tente a velocidade média da particula durante esse intervalo de tempo é: pensar em outras maneiras de obter a mesma solução As Ao aplicar esse procedimento geral, faça o trabalho da maneira mais limpa possi- vel. Um trabalho sem rasuras geralmente estimula um pensamento claro e Se tomarmos valores cada vez menores de At. a intensidade de As torna-se cada vez menor. Consequentemente, a velocidade instantânea é um vetor definido como 12.2 Cinemática retilínea: movimento contínuo (12.1) Começaremos nosso estudo de dinâmica discutindo a cinemática de uma cula que se move ao longo de uma trajetória retilínea ou de uma linha Lembre-se de que uma partícula tem uma massa, mas dimensão e forma Visto que ou é sempre positivo, o sinal utilizado para definir o sentido da Portanto, devemos limitar a aplicação objetos cujas dimensões não têm con- velocidade é o mesmo usado para As ou ds. Por exemplo, se a está se movendo para a direita, Figura a velocidade é positiva; ao passo que se ela sequência na análise do Na maioria dos problemas, estaremos As interessados em corpos de tamanho tais como projéteis ou veículos. está se deslocando para a esquerda, a velocidade é negativa. (Isso é enfatizado aqui Cada um desses objetos pode ser considerado uma desde que o movimento pela seta escrita à esquerda da Equação 12.1.) A intensidade da velocidade é conhe- Velocidade seja caracterizado pelo movimento do seu centro de massa e qualquer rotação do cida como a velocidade escalar, e é geralmente expressa em unidades de m/s. (c) corpo seja desprezada. Ocasionalmente, o termo escalar é A velocidade esca- As lar média é sempre uma grandeza escalar positiva e é definida como a distância Cinemática retilinea total percorrida por uma ST. dividida pelo tempo decorrido ou seja, o A cinemática de uma é caracterizada ao se especificar, em qualquer instante, posição, velocidade e aceleração da média e Por exemplo, a partícula na Figura 12.1d move-se ao longo da trajetória de com- Velocidade escalar média Posição primento ST no tempo de maneira que sua velocidade escalar média = (d) mas sua velocidade média 12.1 A trajetória em linha reta de uma será definida utilizando-se único eixo de coordenada Figura A origem é um ponto fixo na trajetória, e a</p><p>4 Capítulo 12 de uma Aceleração Contando que a velocidade da partícula seja conhecida em dois pontos, a acele- (12.5) ração média da partícula durante o intervalo de tempo é definida como: Aceleração constante Av (e) a representa a diferença na velocidade durante o intervalo de tempo Velocidade como uma função da posição P ou seja, = Figura Pode-se resolver para na Equação e substituir na Equação 12.5. ou inte- A aceleração no tempo é um vetor que é determinado tomando-se grando = a, ds. supondo que inicialmente valores cada vez menores de e correspondentes valores cada vez menores de Av. de maneira que a = (f) (12.2) Figura 12.1 (12.6) Aceleração constante Substituindo a Equação 12.1 nesse resultado, também podemos escrever: (+) Os sinais algébricos de e usados nas três equações apresentadas anterior- são determinados a partir da direção positiva do eixo S como indicado pela seta escrita à esquerda de cada equação. Lembre-se de que essas equações são úteis somente Ambas as média e instantânea, podem ser positivas ou negativas. quando a aceleração é constante quando = = = Um exemplo típico Em particular, quando a está se movendo mais ou sua velocidade de movimento com aceleração constante ocorre quando um corpo cai livremente em escalar está diminuindo, diz-se que a partícula está Neste caso, na direção ao solo. Se a resistência do é desprezada e a distância da queda é Figura é menor que e assim Av = será negativa. Consequentemente, então a aceleração direcionada para baixo quando o corpo está próximo do solo é a também será negativa, portanto, ela atuará para a esquerda, no sentido oposto constante e de aproximadamente 9,81 A prova disso é dada no Exemplo 12.3. de que, quando a velocidade é constante, a aceleração é pois Av = = A unidade comumente usada para expressar a intensidade da aceleração é Pontos importantes Por uma relação diferencial importante envolvendo velocidade e aceleração ao longo da trajetória pode ser obtida eliminando-se o diferencial de A dinâmica trata de corpos que têm movimento com aceleração. tempo dt entre as equações 12.1 e que resulta em A cinemática é um estudo da geometria do (+) a ds dv (12.3) A cinética é um estudo das forças que causam o A cinemática retilínea refere-se ao movimento em linha reta. Embora tenhamos produzido agora três importantes equações per- ceba que a Equação não é independente das equações 12.1 e 12.2. Velocidade escalar refere-se à intensidade da A velocidade escalar média é a distância total percorrida dividida pelo tempo Aceleração constante, a = a, total. Isso é diferente da velocidade média, que é o deslocamento dividido pelo tempo. Quando a aceleração é constante, cada uma das três equações cinemáticas Uma que está se movendo mais devagar está a, = = e a, ds = dv pode ser integrada para se obter fórmulas que relacionam e Uma pode ter uma aceleração e. no ter velocidade zero. A relação a ds = dv é derivada de a = e = eliminando-se Velocidade como uma função do tempo Integre a, = supondo que, = quando = Procedimento para análise Durante o tempo que este foguete é submetido do movimento altitude como umo função do Sistema de tempo pode ser medida e expresso (+) (12.4) Estabeleça uma coordenada de posição ao longo da trajetória e especifique sua como velocidade Aceleração constante então, ser origem fixa e direção positiva. aceleração pode ser Visto que o movimento é ao longo de uma linha reta, as quantidades vetoriais de a = Posição como uma função do tempo de velocidade e aceleração podem ser representadas como grandezas escalares algébricas. Para trabalho o sentido de S. e a então, Integre = supondo que inicialmente = quando = definido por seus sinais algébricos. sentido positivo para cada um desses escalares pode ser indicado por uma seta mostrada ao lado de cada equação cinemática na forma que ela é aplicada.</p><p>6 Capítulo 12 Cinemática de uma 7 Equações cinemáticos Se uma relação é conhecida entre quaisquer duas das quatro a. e uma terceira variável pode ser. então, obtida usando-se uma das equações a = = ou a ds = dv. visto que cada equação relaciona todas as três a Sempre que uma integração for feita, é importante que a posição e a velocidade NOTA: As para aceleração constante não podem ser usadas para solucionar sejam conhecidas em dado instante de tempo a fim de se avaliar ou a constante esse problema, porque a aceleração é uma função do tempo. de integração, se uma integral indefinida for usada, ou os limites de integração, se for usada uma integral definida. Lembre-se de que as equações 12.4 até a têm uso limitado. Essas equa- ções podem ser aplicadas somente quando a aceleração é constante e as Exemplo 12.2 condições iniciais são Um pequeno projétil é disparado verticalmente para em um meio fluido com uma velocidade inicial de 60 m/s. Devido à resistência do arrasto do o pro- jétil experimenta uma desaceleração de a = onde é dada em m/s. Determine a velocidade do projétil e a posição 4 após ele ser disparado. Exemplo 12.1 SOLUÇÃO Sistema de coordenadas carro na Figura 12.2 move-se em uma linha reta de tal maneira que por curto período sua velocidade é definida por = + onde está em segundos. Visto que o movimento é para baixo, a coordenada de posição é positiva para baixo, com a origem localizada em Figura 12.3. Determine sua posição e aceleração quando = 3 Quando = 5 = Velocidade Aqui, a = assim, temos de determinar a velocidade como uma função do tempo Figura 12.3 utilizando a = pois essa equação relaciona (Por que não usar = + Separando as variáveis e integrando com 60 m/s quando = resulta em: (+1) Figura SOLUÇÃO Sistema de coordenadas A coordenada de posição estende-se da origem fixa até o carro. positiva para a direita. 0,8 Posição Visto que = f(r), a posição do carro pode ser determinada a partir de = pois essa equação relaciona e Observando que = 0 quando / = Aqui, a raiz positiva é já que o projétil vai continuar a se mover para Quando = (+) Posição Sabendo que = podemos obter a posição do de = pois essa equação relaciona Usando a condição inicial quando / = temos (+1) Aceleração 2 Visto que a aceleração é determinada a partir de a = pois essa equação relaciona e 0,4 60 Algumas de diferenciação e integração são dadas no Apêndice o mesmo résultado pode ser obtido avaliando-se una constante de integração vez de se usarem limites definidos na integral. Por exemplo, integrando ds = + resulta = + Utilizando a condição de que em = = então, =</p><p>8 Capítulo 12 de uma 9 SOLUÇÃO Exemplo 12.3 Sistema de coordenadas Durante um foguete move-se para cima a 75 m/s. quando está a 40 Como mostrado na Figura 5 é positivo para baixo, medido a partir da placa A. do seu motor Determine a altura máxima SB alcançada pelo foguete e sua Velocidade velocidade um instante antes de ele bater no Enquanto em movimento, o foguete está sujeito a uma aceleração para baixo constante de 9,81 devida à gravidade. Visto que a a velocidade como uma função da posição pode ser obtida utili- zando-se dv = a ds. Percebendo que em = 0.1 m. temos: Despreze o efeito da resistência do ar. (+1) SOLUÇÃO Sistemo de coordenadas A origem o para a coordenada de posição S é tomada ao nível do chão com sentido positivo para cima, Figura 12.4. (1) Altura máximo Já que o foguete está se movendo para cima = 75 m/s quando Na altura = e a velocidade = Para movimento inteiro, a aceleração é A raiz positiva é escolhida já que a está se deslocando para baixo, ou seja, (negativa, pois age no sentido oposto da velocidade positiva ou na direção +s. deslocamento positivo). Visto que a, é constante, a posição do foguete pode ser T relacionada à sua velocidade em dois pontos A e B da trajetória utilizando-se a Tempo Equação 12.6, nominalmente, tempo para a se mover de para B pode ser obtido utilizando-se = dsldt e (+1) a Equação 1, onde = m quando Do Apêndice A, Figure (+1) Velocidade Para obter a velocidade do foguete no instante antes de ele bater no solo, podemos aplicar a Equação 12.6 e C. Figura 12.4. (+1) m/s A raiz negativa foi escolhida já que o foguete está se deslocando para baixo. Simi- NOTA: As para aceleração constante não podem ser usadas aqui porque a larmente, a Equação 12.6 também pode ser aplicada entre os pontos A e C. ou seja, aceleração varia com a posição, ou seja, a = 4s. (+1) Exemplo 12.5 Uma move-se ao longo de uma trajetória horizontal com uma velocidade NOTA: É importante perceber que o foguete está sujeito a uma desaceleração de A m/s. onde é o tempo em segundos. Se ela está localizada inicial- para B de 9.81 em seguida, de B para C ele é acelerado a essa Além mente na origem determine a distância percorrida em 3,5 velocidade média disso, apesar de o foguete momentancamente chegar ao repouso em B = a e a velocidade escalar média da durante o intervalo de tempo. aceleração em B ainda é de para baixo! SOLUÇÃO Sistema de coordenadas Exemplo 12.4 Aqui, o movimento positivo é para a direita, medido a partir da origem Figura 12.6a. Uma metálica é sujeita à influência de um campo magnético na medida em que percorrido ela se move para baixo através de um fluido que se estende da placa A para placa B, Visto que a posição como uma função do tempo pode ser determinada inte- Figura 12.5. Se a partícula é solta a partir do repouso no ponto médio = 100 grando-se = com e a aceleração é a = (4s) onde é dado em determine a velocidade da partícula quando ela alcançar a placa = 200 mm. e o tempo que ela leva para se mover de C para B. 12.5 (1)</p><p>10 Capítulo 12 Cinemática de uma 11 A fim de se determinar a distância percorrida em é necessário investigar a traje- dado em segundos. Quando / = 0, a está localizada 12.8. Uma move-se ao longo de uma linha reta com tória do movimento. Se considerarmos um gráfico da função velocidade, Figura 12.6b, 2 m à esquerda da origem, e quando = ela está 20 m uma velocidade de = onde é dado em teremos que para 0 2 a velocidade é negativa, o que significa que a à esquerda da origem. Determine a posição da metros. Determine a aceleração da partícula em = 15 m. está se deslocando para a e para > 2 S a velocidade é positiva; portanto, a quando (a) está se movendo para a direita. Além disso, observe que = em = A posição da quando = = 3,5 pode ser determinada agora a 12.7 12.8 partir da Equação 1. Isso em: Problemas A trajetória é mostrada na Figura 12.6a. Portanto, a distância percorrida em 3,5 é: Um carro parte do repouso e com aceleração constante Determine a distância percorrida pelo carro A quando eles (b) chega a uma velocidade de 15 m/s quando percorre uma passam pelo outro. Velocidade distância de 200 m. Determine a aceleração do carro e o Figura 12.6 deslocamento tempo exigido. 12.2. Um trem parte do repouso em uma estação e move-se e, então, a velocidade com uma aceleração constante de I Determine a veloci- dade do trem quando = 30 e a distância percorrida durante 12.10 este tempo. 12.3. Um elevador desce a partir do repouso com uma 12.11. Uma move-se ao longo de uma linha reta A velocidade escalar média é definida distância percorrida Esse aceleração de 1,5 m/s2 até alcançar uma velocidade de 4,5 m/s. com uma velocidade = onde é dado em escalar positivo é: Determine o tempo exigido a distância segundos. Quando a está localizada 10 m à Um carro está se movendo a 15 m/s. quando um esquerda da origem. Determine a aceleração quando = S. semáforo, 50 m à sua frente, acende a luz amarela. Determine o deslocamento de = para = 10 e a distância que a NOTA: Nesse problema, a aceleração a que não é a desaceleração constante exigida do carro e o tempo necessário percorre durante este período. para parar no semáforo. Uma esfera é atirada para baixo em um meio com Uma partícula está se movendo ao longo de uma uma velocidade inicial de 27 m/s. Se ela experimenta uma Problemas fundamentais linha reta com uma aceleração de a = desaceleração de a = onde é dado em segundos, onde é dado em segundos. Determine a velocidade e a determine a distância percorrida antes de ela parar. 12.1. Inicialmente, o carro move-se ao longo de uma estrada 12.4. Uma move-se ao longo de uma linha reta posição da como uma função do tempo. Quando *12.13. Uma move-se ao longo de uma linha reta reta com uma velocidade de 35 m/s. Se os freios são aplicados com uma velocidade de onde é dado m. de tal maneira que em 2 ela se move de uma posição inicial ea velocidade do carro reduzida a 10 m/s em 15 determine em segundos. Determine a aceleração da quando 12.6. Uma bola é solta da parte de baixo de um elevador SA = + 0,5 m para uma posição = 1,5 m. Então, em mais a desaceleração constante do carro. que está se movendo para cima com uma velocidade de 4 S. ela move-se de para = m. Determine a 2 m/s. Se a bola bate no fundo do poço do elevador em 3 S. velocidade média e a velocidade escalar média da partícula determine a altura do elevador a partir do fundo do poço no durante o intervalo de 6 S. Problemo 12.1 instante que a bola é solta. Descubra também a velocidade 12.14. Uma move-se ao longo de uma trajetória da bola quando ela bate no fundo do poço. em linha reta de tal maneira que em 4 ela se move de uma 12.2. Uma bola é jogada verticalmente para cima com uma 12.5. A posição da partícula é dada por = 12.7. Um carro tem uma velocidade inicial de 25 m/s e uma posição inicial m para uma posição = +3 m. Então, velocidade de 15 m/s. Determine o tempo do voo quando onde é dado em segundos. Determine o tempo em que a ela retorna para sua posição desaceleração constante de 3 Determine a velocidade em mais 5 ela move-se de SB para = -6 m. Determine velocidade da é zero. Determine também a distância total percorrida pela partícula quando = 3 do carro quando = 4 S. Qual é o deslocamento do carro a velocidade média e a velocidade escalar média da durante o intervalo de tempo de 4 s? Quanto tempo é durante o intervalo de tempo de necessário para se parar o carro? 12.15. Testes revelam que um motorista normal leva em 12.5 *12.8. Se uma tem uma velocidade inicial de torno de 0,75 antes de poder reagir a uma situação para = 12 m/s para a direita, em = 0, determine a sua evitar uma colisão. Um motorista com 0,1% de álcool no 12.6. Uma se move ao longo de uma linha reta posição quando = 10 se a = 2 m/s2 para a seu sistema leva em torno de 3 para fazer o Se com uma aceleração de a = onde 5 é medido estes motoristas estão se deslocando em uma estrada reta a 12.9. A aceleração de uma se movendo ao longo de 12.2 em metros. Determine a velocidade da quando 54 km/h (15 m/s) e seus carros podem desacelerar uma linha reta é a = onde k é uma constante. Se = se determine a distância de parada mais curta d para cada um 12.3. Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta quando determine a velocidade da partícula como a partir do momento que eles veem os pedestres. Moral: Se com uma velocidade de = m/s, onde é dado em uma função do tempo você tem de beber, por favor, não dirija! segundos. Determine a posição da partícula quando 4 12.10. o carro A parte do repouso em = e move-se ao quando = 12.6 longo de uma estrada reta com uma aceleração constante de 2 m/s2 até alcançar uma velocidade de 27 m/s. Depois disso, 12.7. Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta de ele mantém essa velocidade. Quando = o carro B. Problema 12.3 maneira que a sua aceleração é localizado 2000 m distante na estrada, está se movendo na direção de A com uma velocidade constante de 20 m/s. 12.15</p><p>12 Capítulo 12 Cinemática de uma 13 *12.16. Conforme um trem acelera uniformemente, ele segundos. Se 5 quando determine a velocidade 12.36. A aceleração de uma movendo-se ao longo de 12.39. Levando em consideração a variação da aceleração passa por sucessivas marcas de um quilômetro enquanto se e a aceleração da em = m. uma linha reta = onde é dado em Se gravitacional a com relação à altitude y (ver Problema move a velocidades de 2 m/s e. em seguida, 10 m/s. 12.25. Uma move-se ao longo de uma linha reta S = 0, determine a velocidade da partícula em S = m deduza uma equação que relacione a velocidade de uma Determine a velocidade do trem quando ele passar pela com uma aceleração de a = onde é e a posição da quando a velocidade for caindo livremente com a sua altitude. Suponha próxima marca de quilômetro e o tempo que ele leva dado em metros. Determine a velocidade da quando A bola A é jogada verticalmente para cima com uma que a é solta a partir do repouso a uma altitude para percorrer a distância de 2 km. se ela partir do repouso quando = Utilize a velocidade de A bola B é jogada para cima a partir do Yn da superfície terrestre. Com que velocidade a Uma bola é jogada para cima com uma velocidade regra de Simpson para avaliar a integral. mesmo ponto com a mesma velocidade segundos mais tarde. atinge a Terra se ela for solta do repouso a uma altitude de 5 m/s do topo de um prédio de 10 m de Um segundo Se os efeitos da resistência atmosférica são levados Determine o tempo decorrido < do instante que a bola = 500 km? Utilize os dados numéricos no Problema 12.38. mais tarde, outra bola é jogada verticalmente a partir do chão em consideração, um corpo caindo tem uma aceleração A é jogada até quando as bolas passam uma pela outra e com uma velocidade de 10 m/s. Determine a altura a partir definida pela equação a = onde é descubra a velocidade de cada bola neste instante. *12.40. Quando uma cai através do sua do chão onde as bolas passam uma pela outra. dado em m/s e a direção positiva é para baixo. Se o corpo 12.38. Quando um corpo é projetado para uma alta altitude aceleração inicial a = g diminui até ser zero, e daí em 12.18. Um carro parte do repouso e move-se com uma ace- é solto a partir do repouso a uma altitude muito elevada, acima da da Terra, a variação da aceleração da diante ela cai a uma velocidade constante ou terminal leração constante de 1,5 até alcançar uma velocidade determine (a) a velocidade quando e (b) a velocidade gravidade com respeito à altitude y deve ser levada em Se variação da aceleração pode ser expressa como de m/s. Em seguida, move-se com uma velocidade cons- máxima possível ou final do corpo (quando consideração. Desprezando a resistência do essa aceleração determine o tempo necessário para tante por 60 segundos. Determine a velocidade escalar mé- é determinada a partir da fórmula a = onde a velocidade tornar-se = Inicialmente, a partícula A posição de uma ao longo de uma linha dia e a distância total percorrida. reta é dada por = + m. onde é é a aceleração gravitacional constante ao nível do R cai a partir do repouso. 12.19. Um carro está para ser por um elevador até dado em segundos. Determine a posição da partícula é o raio da Terra, e a direção positiva é medida para cima. Uma partícula está se movendo ao longo de uma o quarto andar de uma garagem de estacionamento que quando = e a distância total que ela percorre durante Se = 9,81 e R = 6356 km. determine a velocidade linha reta de maneira que sua posição de um ponto fixo é fica 14,4 m acima do solo. Se o elevador pode acelerar a o intervalo de tempo de 6 S. Dica: Trace a trajetória para inicial mínima (velocidade de escape) na qual um projétil = m. onde é dado em segundos. Determine 0,18 desacelerar a 0,09 m/s2 e alcançar uma determinar a distância total percorrida. deve ser lançado verticalmente a partir da superfície terrestre a distância total percorrida pela de = até = 3 S. velocidade escalar de 2,4 m/s, determine o tempo para que ele não de volta na Terra. Dica: Isso requer Encontre também a velocidade escalar média da 12.30. A velocidade de uma movendo-se ao mais curto para se fazer o começando do repouso = quando durante este intervalo de tempo. longo de uma linha reta é ks. onde k é constante. e terminando no repouso. Se 5 = 0 quando = determine a posição e a aceleração *12.20. Uma está se movendo ao longo de uma da partícula como uma função do tempo. 12.3 Cinemática movimento irregular linha reta de maneira que sua velocidade é definida como 12.31. A aceleração de uma partícula à medida que se move m/s. onde 5 é dado em metros. Se = 2 m quando ao longo de uma linha reta é dada por a = Quando uma tem movimento irregular ou então, sua 0. determine a velocidade e a aceleração como funções onde é dado em segundos. Se = 2 m/s quando velocidade e aceleração não podem ser descritas por uma única função do tempo. = 0. determine a velocidade da e a posição ao longo da trajetória inteira. Em vez uma série de funções será neces- Duas partículas A e B partem do repouso na origem quando = 6 Determine também a distância total que a sária para especificar o movimento em diferentes intervalos. Por essa razão, é conveniente movem-se ao longo de uma linha reta de tal maneira percorre durante este representar o movimento na forma de um Se um gráfico do movimento que que = m/s2 = onde t dado *12.32. A bola A é jogada verticalmente para cima do relaciona quaisquer duas das variáveis a, pode ser desenhado, então, esse gráfico em segundos. Determine a distância entre elas topo de um prédio de 30 m com uma velocidade inicial pode ser usado para construir gráficos subsequentes relacionando duas outras variáveis, e a distância total que cada uma se moveu em = de 5 m/s. No mesmo instante, outra bola B é jogada para já que as variáveis estão relacionadas pelas relações diferenciais = a = 12.22. Uma movendo-se ao longo de uma linha cima a partir do chão com uma velocidade inicial de 20 ou a ds = dv. Várias situações como essas ocorrem o / is reta está sujeita a uma desaceleração a = onde m/s. Determine a altura do chão e o tempo em que y é dado em m/s. Se ela tem uma velocidade m/s e passam uma pela outra. (a) uma posição = 10 m quando determine sua velocidade Os gráficos Uma motocicleta parte do repouso em = move-se e posição quando = 4 ao longo de uma estrada reta com uma aceleração constante Para construir o gráfico dado o gráfico Figura 12.7a. a equação = 12.23. Uma está se movendo ao longo de uma de 1,8 até alcançar uma velocidade de 15 m/s. Depois deve ser usada, visto que ela relaciona as variáveis 5 e t com v. Essa equação esta- linha reta de tal maneira que a sua aceleração é definida disso, ela mantém essa velocidade. Além disso, quando = belece que: como (-2v) onde é dado em metros por segundo. um carro localizado a uma distância de 1800 m na estrada Se = 20 m/s quando = = determine a a está se deslocando na direção da motocicleta a uma velocidade velocidade e a aceleração como funções do tempo. escalar constante de 9 m/s. Determine o tempo e a distância *12.24. Uma parte do repouso e move-se ao longo percorrida pela motocicleta quando um passa pelo inclinação do gráfico = velocidade o to de uma linha reta com uma aceleração a = 12.34. Uma move-se ao longo de uma linha reta onde é dado em m/s. Determine o tempo quando a com uma velocidade = (200s) mm/s. onde S está indicado Por exemplo, medindo-se a inclinação no gráfico quando = a velocidade (b) velocidade da partícula for = 30 m/s. em Determine a aceleração da em é a qual está representada graficamente na Figura 12.7b. o gráfico pode ser = 2000 mm. Quanto tempo leva para a partícula chegar construído traçando este e outros valores a cada instante de tempo. Figura 12.7 -12.25. Quando uma é projetada verticalmente para cima com uma velocidade inicial de ela experimenta a essa posição se 5 = 500 mm quando = uma aceleração a = + onde g é a aceleração devida 12.35. Uma partícula tem velocidade escalar inicial de gráfico a-1 pode ser construído a partir do gráfico de maneira similar, à gravidade; é uma constante e a velocidade da 27 m/s. Se ela experimenta uma desaceleração de Figura visto que: Determine a altura máxima alcançada pela a = onde é dado em segundos, determine sua 12.24. A aceleração de uma movendo-se ao longo velocidade após ela ter viajado 10 m. Quanto tempo isso de uma linha reta é a = onde é dado em leva? inclinação do gráfico = aceleração</p><p>14 Capítulo 12 Cinemática de uma 15 Exemplos de várias medidas são mostrados na Figura 12.8a e representados gra- integração vai produzir um gráfico que é uma parabólica (uma curva de segundo ficamente na Figura 12.8b. grau) e um gráfico que é cúbico (curva de terceiro grau). Os gráficos e Se o gráfico a-s pode ser construído, então pontos no gráfico podem ser determinados utilizando-se dv = a ds. Integrando essa equação entre os limites (a) a / a is área sob o gráfico a-s Portanto, se a área cinza na Figura 12.11a for determinada, e a velocidade inicial (a) (b) Figura e = 0 for conhecida, então Figura 12.11b. Pontos su- cessivos no gráfico podem ser construídos dessa maneira. Se a curva para cada intervalo de movimento pode ser expressa por uma Se o gráfico é conhecido, a aceleração a em qualquer posição pode ser função = então a equação do gráfico para o mesmo intervalo (a) determinada utilizando-se a escrita como: pode ser obtida diferenciando essa função em relação ao tempo, visto que = Da mesma maneira, a equação do gráfico para o mesmo intervalo pode ser de- (b) terminada diferenciando-se = visto que a = Tendo em vista que a diferenciação reduz um polinômio de grau para outro de grau - então se esse aceleração = velocidade vezes inclinação do gráfico 12.11 gráfico é uma parabólica (uma curva de segundo grau), o gráfico será uma linha reta inclinada (uma curva de primeiro e o gráfico será uma linha reta Deste em qualquer ponto (s. v) na Figura 12.12a. a inclinação do constante ou horizontal (uma curva de grau zero). gráfico é medida. Então com e dv/ds conhecidos, o valor de a pode ser calcu- Se o gráfico dado, Figura o gráfico pode ser construído utilizando- lado, Figura 12.12b. -se a = escrita como gráfico também pode ser construído a partir do gráfico ou vice-versa, apro- ximando-se o gráfico conhecido em vários intervalos com funções matemáticas, ou a = em utilizando-se a ds = y dv para obter o outro gráfico. (b) variação na sob gráfico Figura 12.9 Exemplo 12.6 Portanto, para construir o gráfico começamos com a velocidade inicial da e, em seguida, adicionamos a pequenos incrementos de área (Av) deter- Uma bicicleta move-se ao longo de uma linha reta de tal maneira que sua posição é minados a partir do gráfico Desta maneira, sucessivos pontos, Av etc. descrita pelo gráfico mostrado na Figura 12.13a. Construa os gráficos e para são determinados para o gráfico Figura 12.9b. Observe que uma soma algébrica (a) dos incrementos de área do gráfico a-t é necessária, visto que áreas encontradas (m) acima do eixo correspondem a um aumento em enquanto aque- las encontradas abaixo do eixo indicam uma diminuição em (área 150 4 Similarmente, se o gráfico é dado, Figura 12.10a. é possível determinar (a) gráfico usando = dsldt, escrita como: deslocamento = área sob gráfico Da mesma maneira como estabelecido, começamos com a posição inicial da 30 e acrescentamos (algebricamente) pequenos incrementos de área (As) As determinados a partir do gráfico Figura 12.10b. (s) 10 30 Se segmentos do gráfico podem ser descritos por uma série de equações, (b) então cada uma dessas equações pode ser integrada obtendo-se equações descrevendo Figura 12.12 os segmentos correspondentes do gráfico De uma maneira similar, o gráfico (a) pode ser obtido integrando-se as equações que descrevem os segmentos do gráfico Figura 12.13 (b) Como resultado, se o gráfico a-/ é linear (uma curva de primeiro grau), a Figura 12.10</p><p>16 12 de 17 SOLUÇÃO Gráfico Gráfico Visto que ds = integrar as equações do gráfico resulta nas equações corres- pondentes do gráfico Utilizando a Visto que = ds/dt. o gráfico pode ser determinado derivando-se as equações definidas no gráfico Figura 12.13a. Temos: (m/s) esta condição 6 Os resultados estão Também podemos obter valores (s) específicos de medindo a inclinação do gráfico em dado Por exemplo, 10 30 em = 20 a inclinação do gráfico é determinada a partir da linha reta de 3000 (b) gráfico é mostrado na Figura 12.14c. 500 6 m/s NOTA: Uma solução direta para S é possível quando visto que a área trian- gular sob o gráfico produziria o deslocamento As de Gráfico 10 60 Portanto, Visto que a = o gráfico pode ser determinado derivando-se as equações dos segmentos de reta do gráfico Isso resulta em: m (c) Figura 12.14 (s) 10 30 Exemplo 12.8 (c) Os resultados estão representados na Figura 12.13c. gráfico descrevendo o movimento de uma motocicleta é mostrado na Figura 12.15a. Figura 12.13 NOTA: Mostre que a = quando = 5 medindo a inclinação do gráfico Construa o gráfico a-s do movimento e determine o tempo necessário para a moto- cicleta alcançar a posição = 120 m. SOLUÇÃO Exemplo 12.7 0-5 carro na Figura 12.14a parte do repouso e move-se ao longo de uma pista reta de Visto que as equações para os segmentos do gráfico são dadas, o gráfico a-s 3 (m) tal maneira que ele acelera a 10 por 10 em seguida, desacelera a 2 pode ser determinado utilizando-se a 60 Trace os gráficos e determine o tempo r necessário para parar o carro. Qual 10 é a distância percorrida pelo carro? (a) SOLUÇÃO (s) 10 Gráfico -2 Visto que dv = a o gráfico determinado integrando-se os segmentos de linha reta do gráfico Utilizando a condição (a) Os resultados estão representados na Figura 12.15b. 60 120 Quando = = 10(10) = m/s. Utilizando esta como a condição inicial para Tempo tempo pode ser obtido utilizando-se o gráfico ev= porque essa equação (b) o período, temos: (m/s) relaciona Para o primeiro segmento do movimento, = 0 quando então, Figura 12.15 100 Quando Uma solução mais direta para é observando-se que a área sob o gráfico 10 igual à variação na velocidade do carro. Precisamos que Av Figura Desse modo, (b) Figura 12.14</p><p>18 12 de uma 19 Para = 60 m. / = 5 In[0,2(60) 5 In 3 8,05 S. utilizando essas 12.13. Um carro de corridas tipo dragster parte do repouso 12.14. Um carro de corridas tipo dragster parte do repouso condições iniciais para o segundo segmento do e tem uma aceleração descrita pelo gráfico. Construa o e tem uma velocidade descrita pelo gráfico. Construa o gráfico para o intervalo de tempo onde é gráfico durante o intervalo de tempo Também, o tempo para o carro chegar ao repouso. determine a distância total percorrida durante esse intervalo de tempo. (m/s) 20 para = 120 150 0 5 -10 NOTA: Os resultados gráficos podem ser conferidos em parte calculando-se as (s) 15 nações. Por exemplo, em = a = = Os resultados Problema 12.13 também podem ser conferidos em parte por inspeção. gráfico indica o aumento Problemo 12.14 inicial da velocidade (aceleração) seguido pela velocidade constante (a Problemas 12.42. A velocidade escalar de um trem durante o primeiro 12.46. Um trem parte da estação A no percurso do primeiro Problemas fundamentais minuto foi registrada como a seguir: quilômetro, ele move-se com aceleração uniforme. pe- (s) 0 20 40 60 los próximos 2 quilômetros, move-se com velocidade escalar 12.9. Uma move-se ao longo de uma pista reta de 12.11. Uma move-se ao longo de uma estrada reta (m/s) 0 16 21 24 uniforme. Por o trem desacelera uniformemente por ou- tal maneira que sua posição é descrita pelo gráfico onde sua velocidade é descrita pelo gráfico Construa o tro quilômetro antes de chegar ao repouso na estação B. Se o Construa o gráfico para o mesmo intervalo de tempo. gráfico a-s para o mesmo intervalo de tempo. Elabore o gráfico aproximando a curva como segmentos tempo para a jornada inteira é de 6 trace o gráfico de linha reta entre os pontos dados. Determine a distância e determine a velocidade escalar máxima do trem. (m) (m/s) total percorrida. 12.47. A move-se ao longo de uma linha reta com 12.43. Um míssil de dois estágios é lançado verticalmente a velocidade descrita pelo gráfico. Construa o gráfico a-s. a partir do repouso com a aceleração Em 15 o (m/s) 108 primeiro estágio A esgota-se e o segundo estágio B dá Elabore os gráficos e que descrevem o 10 movimento dos dois estágios do para 0 13 10 (s) 6 8 10 (m) 40 4- Problemo 12.9 Problema 12.11 (m) 3 6 12.10. Um carro move-se ao longo de uma estrada reta com 12.12. Um carro esporte move-se ao longo de uma estrada 25 uma velocidade descrita pelo gráfico. Construa os gráficos Problemo reta de tal maneira que sua posição é descrita pelo gráfico. e durante o mesmo Faça = quando = 18 Construa os gráficos e a-1 para o intervalo de tempo *12.48. o gráfico a-s para um jipe viajando ao longo de < (s) uma estrada reta é dado para os primeiros 300 m desse (m/s) (m) 15 20 Construa o gráfico Em = = 225 Problema Um trem de carga parte do repouso e move-se com 24 aceleração constante de 0,15 Após um tempo ele mantém uma velocidade escalar constante de maneira que 2 75 quando = 160 S ele percorreu 600 m. Determine o tempo e trace o gráfico para o 0 (s) Se a posição de uma é definida por 5 10 200 300 20 sen m. onde é dado em segundos, Problemo 12.12 Problemo 12.10 construa os gráficos e Problemo</p><p>20 Capítulo 12 Cinemática de uma particula 21 Uma partícula move-se ao longo de uma curva trenó motorizado desloca-se ao longo de um curso A posição de um ciclista viajando ao longo de uma 12.59. Um missil partindo do repouso move-se ao longo de definida pela equação 5 onde é dado reto de acordo com o gráfico Construa os gráficos 5-1 estrada reta é descrita pelo gráfico. Construa os gráficos uma pista reta e por 10 is tem uma aceleração, como mostrado. em segundos. Trace os gráficos para a partícula e para o mesmo intervalo de tempo de 50 S. Quando = e Trace o gráfico que descreve o movimento e descubra a para distância percorrida em 10 12.50. Um caminhão está viajando ao longo de uma linha (m/s) reta com uma velocidade descrita pelo Construa o (m) gráfico para < 450 m. 40 -0,625 20 12 30 30 50 (m) 184,2 450 10 20 12.53 Problema 12.50 12.56 5 10 12.54. Um motociclista em A está viajando a 18 m/s quando 12.51. Um carro parte do repouso e move-se ao longo de quer passar o caminhão T que está viajando a uma velocidade o carro de corrida tipo dragster parte do repouso e 12.59 uma estrada reta com uma velocidade descrita pelo gráfico. escalar constante de 18 m/s. Para conseguir isso, o move-se ao longo de uma pista reta com uma aceleração- Determine a distância total percorrida até carro parar. acelera a até alcançar uma velocidade escalar máxima desaceleração descrita pelo gráfico. Construa o gráfico *12.60. Um motociclista partindo do repouso move-se ao Construa os gráficos e de m/s. Se ele, então, mantiver essa velocidade escalar, para e determine a distância percorrida antes longo de uma estrada reta e por 10 tem uma aceleração, determine o tempo necessário para ele alcançar um ponto de o dragster entrar em repouso novamente. como mostrado. Trace o gráfico que descreve o localizado 30 m à frente do caminhão. Trace os gráficos movimento e descubra a distância percorrida em 10 (m/s) e para a durante esse 18 m/s 30 18 m/s 25 30 60 90 16,5 30 m 12.51 5 6 Problema 12.54 (m) 200 *12.52. Um carro sobe uma encosta com a velocidade 12.55. Um avião viajando a 70 m/s pousa em uma pista reta mostrada. Determine a distância total que o carro percorre e tem uma desaceleração descrita pelo gráfico. Determine o -15 até parar = 60 s). Elabore o gráfico (s) tempo e a distância percorrida por ele para alcançar uma 6 10 velocidade escalar de 5 m/s. Construa os gráficos e para esse intervalo de tempo, 12.57 12.60 12.58. Um carro esportivo move-se ao longo de uma gráfico de um carro enquanto se move ao longo estrada reta com uma descrita de uma estrada é mostrado. Trace os gráficos e a-1 para pelo gráfico. Se o carro parte do repouso, determine a o distância que o carro se desloca até parar. Construa o 5 (s) gráfico (m/s) 10 24 (s) 30 -10 60 1,8 12.52 Problema 12.55 300 20 -1,2 (s) 5 20 30 Problema 12.58 12.61</p><p>22 Capítulo 12 de uma 23 12.62. Um barco move-se em uma linha reta com a acele- A aceleração de uma lancha de corrida partindo do 12.68. Um avião pousa a 75 m/s em uma pista reta e tem 12.70. gráfico do trem-bala é mostrado. Se o trem ração descrita pelo gráfico a-s. Se ele parte do repouso, repouso é descrita pelo Construa o gráfico uma desaceleração descrita pelo gráfico. Determine a parte do repouso, determine o tempo decorrido antes que construa o gráfico e determine a velocidade escalar má- of distância s' percorrida antes que sua velocidade escalar seja ele volte ao repouso Qual é a distância total xima do barco. Que distância ele percorre antes de parar? reduzida a 7,5 m/s. Trace o gráfico percorrida durante esse intervalo de tempo? Construa os a gráficos a 6 6 3 525 (m) 3 0,6 -2,25 (m) 3 (m) 60 150 150 -4,5 30 75 Problema 12.65 12.66. barco move-se ao longo de uma linha reta com 12.68 a velocidade escalar descrita pelo gráfico. Construa os Um avião move-se ao longo de uma pista reta com Problema 12.62 gráficos e a-s. Determine também o tempo necessário uma aceleração descrita pelo gráfico. Se ele parte do repouso para o barco se deslocar a distância 400 m se = 0 12.63. Um foguete tem uma aceleração descrita pelo gráfico. e precisa de uma velocidade de 90 m/s para decolar, quando Se ele parte do repouso, construa os gráficos e para determine o comprimento de pista mínimo necessário e o (m/s) o movimento no intervalo de tempo 0 14 S. tempo r para a Construa os gráficos e 80 38 8 18 18 20 (m) 10 100 400 (s) Problema 12.69 9 14 Problema 12.66 Problema 12.63 12.67. gráfico para um trem foi determinado experimentalmente. A partir dos dados, construa os gráficos 12.4 Movimento curvilíneo geral Uma motocicleta de corrida está se movendo ao e para o movimento. longo de uma estrada reta com a velocidade escalar descrita (m) O movimento curvilíneo ocorre quando uma se move ao longo de uma pelo gráfico Construa o gráfico a-s. trajetória curva. Visto que essa trajetória é frequentemente descrita em três (m/s) a análise vetorial será usada para formular a posição, velocidade e aceleração da par- 600 Nesta seção, os aspectos gerais do movimento curvilíneo são discutidos, e nas seções subsequentes, vamos considerar três tipos de sistemas de coordenadas frequentemente usados para analisar esse o 75 360 Posição Posição Trajetória Considere uma localizada em um ponto sobre uma curva espacial defi- nida pela função trajetória Figura 12.16a. A posição da medida a 15 (a) 30 40 partir de um ponto fixo será designada pelo vetor posição r = r(f). Observe que 225 525 Problema 12.67 tanto a intensidade quanto a direção desse vetor variarão conforme a se Figura 12.16 move ao longo da curva. Problema 12.64 Um de alguns dos conceitos importantes da análise vetorial é dado no apêndice B.</p><p>24 Capítulo 12 Cinemática de uma 25 As Deslocamento Da definição de derivada, a atua tangente à Figura 12.16f, em ela não é tangente à trajetória do movimento, Figura Para esclarecer esse ponto, Suponha que durante curto intervalo de tempo Ar a partícula se move de uma observe que consequentemente, a devem levar em consideração a variação ocor- a distância As ao longo da curva para uma nova definida por = r + Ar. rida tanto na intensidade quanto na direção da velocidade quando a se Figura deslocamento Ar representa a variação na posição da e é move de um ponto para o próximo ao longo da trajetória, Figura Deslocamento determinado pela subtração vetorial, ou seja, para que a partícula siga qualquer trajetória curva, a variação direcional sempre "gira" (b) o vetor velocidade para o "lado interno" ou "lado côncavo" da trajetória portanto, Velocidade a não pode permanecer tangente à Resumindo, é sempre tangente à (f) Durante o tempo a velocidade média da é trajetória e a é sempre tangente à hodógrafa. Ar 12.5 Movimento curvilíneo: componentes retangulares A velocidade instantânea é determinada a partir dessa equação, fazendo - consequentemente, a direção de Ar aproxima-se da tangente à curva. Por conse- Trajetória Ocasionalmente, o movimento de uma pode ser mais bem descrito ao guinte, y = lim (Ar/Ar) ou longo de uma trajetória que pode ser expressa em termos de suas coordenadas y, 2. Velocidade (g) (12.7) (c) Posição Figura 12.16 Se a está em um ponto y, z) sobre a trajetória curva mostrada na Visto que dr será tangente à curva, a direção de também será tangente à Figura 12.17a. então sua posição é definida pelo vetor posição curva, Figura 12.16c. A intensidade de a qual é chamada de velocidade esca- é obtida observando-se que o comprimento do segmento de linha reta Ar na (12.10) Figura se aproxima do comprimento de arco As quando temos = (12.8) (d) Assim, a velocidade escalar pode ser obtida derivando a função trajetória em k relação ao tempo. y Aceleração Se a tem uma velocidade no tempo e uma velocidade = Av Posição em + Figura então a aceleração média da durante o intervalo (a) (e) de tempo é: Figura Figura 12.16 Quando a se as componentes y, de r são funções do tempo; onde Av = Para estudar essa taxa de variação no tempo, os dois vetores ve- ou r = locidade na Figura 12.16d são traçados na Figura 12.16e de maneira que suas origens Em qualquer instante, a intensidade de é definida pela Equação C-3 no Apêndice estejam localizadas no ponto fixo e suas extremidades toquem em pontos sobre como: a curva. Essa curva é chamada e quando construída, ela descreve o lugar geométrico dos pontos da extremidade do vetor velocidade da mesma maneira que E a direção de é especificada pelo vetor unitário = a trajetória descreve o lugar dos pontos da extremidade do vetor posi- ção, Figura 12.16a. Velocidade Para obter a aceleração instantânea, faça 0. na equação anterior. No limite Av se aproximará da tangente à e assim a = lim ou A primeira derivada de r em relação ao tempo produz a velocidade da partícula. Por conseguinte, (12.9) Substituindo a Equação 12.7 neste resultado, também podemos escrever: Ao se realizar essa derivada, é necessário levar em consideração as variações a tanto na intensidade quanto na direção de cada uma das componentes do vetor. Por exemplo, a derivada da componente de é:</p><p>26 Capítulo 12 Cinemática de uma 27 segundo termo do lado direito é zero, desde que o sistema de referência y, 2 seja fixo, portanto, a direção (e a intensidade) de i não varia com o tempo. A Pontos importantes derivada das componentes j e k pode ser feita de uma maneira similar, o que produz o movimento curvilíneo pode causar variações tanto na intensidade quanto o resultado final. na direção dos vetores velocidade e aceleração. vetor velocidade está sempre direcionado tangente à trajetória. (12.11) Em o vetor aceleração não é tangente à trajetória, mas é tangente à hodógrafa. onde: Se o movimento é descrito utilizando-se coordenadas retangulares, então as (12.12) componentes ao longo de cada um dos não variam a somente sua intensidade e seu sentido (sinal algébrico) A notação com "pontos" representa as derivadas primeiras Considerando-se os movimentos das componentes, a variação na intensidade e na direção da posição e velocidade da serão automaticamente le- vadas em consideração. Velocidade A velocidade tem a partir de: (b) Figura 12.17 e uma direção que é especificada pelo vetor unitário = Como discutido na Seção Procedimento para essa direção é sempre tangente à como mostrado na Figura 12.17b. Aceleração Sistema de Um sistema de coordenadas retangulares pode ser usado para solucionar pro- A aceleração da é obtida a primeira derivada da Equação 12.11 blemas para os quais o movimento pode ser convenientemente expresso em em relação ao tempo (ou a derivada segunda da Equação 12.10 em relação ao termos das suas componentes tempo). Temos: (12.13) Visto que o movimento ocorre ao longo de cada eixo o movimento ao longo de cada eixo é determinado utilizando = e onde: a = ou, nos casos onde o movimento não é expresso como uma função do tempo, a equação a ds = pode ser usada. Em duas dimensões, a equação da trajetória y = f(x) pode ser usada para re- (12.14) lacionar as componentes e y da velocidade e aceleração aplicando a regra Aqui a. representam, as primeiras derivadas temporais de da cadeia do cálculo. Uma revisão desse conceito é dada no Apêndice B. ou segundas derivadas temporais das funções = Uma vez que as componentes y, de e a tenham sido determinadas, as intensidades desses vetores são obtidas por meio do teorema de Pitágoras, A aceleração tem uma intensidade Equação B.3. e seus ângulos de direção coordenados a partir das componen- tes dos seus vetores equações B.4 e B.5. e uma direção especificada pelo vetor unitário = Visto que a representa a taxa de variação temporal tanto na intensidade quanto na direção da velocidade, em geral a não será tangente à Figura 12.17c. Exemplo Em qualquer instante de a posição horizontal do balão meteorológico na Figura 12.18a é definida por = m. onde é dado em Se a equação B da trajetória é y = determine a intensidade e a direção da velocidade e da aceleração quando = 2 S. y SOLUÇÃO Velocidade Aceleração A componente da velocidade na direção (c) Figura Para encontrar a relação entre as componentes da vamos usar a regra da (a) cadeia do cálculo. (Veja o Apêndice A para uma explicação completa.) 12.18</p><p>28 Capítulo 12 de uma 29 Desse = 2(18)(9)/30 = Quando = m/s Portanto, a intensidade da velocidade A direção é tangente à trajetória, Figura onde: = = Aceleração Utilizando a regra da a derivada temporal da Equação I fornece a relação (b) Aceleração entre as componentes da A relação entre as componentes da aceleração é determinada utilizando-se a regra da (Ver Apêndice C.) Temos: Quando m. = 15,81 m/s. 0 = Portanto, Desse modo, Estes resultados são mostrados na Figura 12.19b. A direção de como mostrado na Figura (c) NOTA: Também podemos obter e a. primeiro expressando y = e. em seguida, tomando sucessivas derivadas em relação ao 100 m Figura 12.18 Exemplo (b) Figura 12.19 Por um curto período de tempo, a trajetória do avião na Figura 12.19a é descrita por m. Se o avião está decolando com uma velocidade constante de 10 m/s. determine as intensidades da velocidade e aceleração do avião quando ele está em y = 100 m. 12.6 Movimento de um projétil y movimento de um projétil em voo livre é frequentemente estudado em termos das suas componentes Para ilustrar a análise considere um projétil lançado no ponto com uma velocidade inicial de tendo 100 componentes e Figura 12.20. Quando a resistência do an é desprezada, a única força agindo sobre o projétil é o seu peso, que faz que o projétil tenha uma aceleração para baixo constante de aproximadamente a, = g = 9,81 ou g = (a) Figura 12.19 SOLUÇÃO Quando y = 100 m. então 100 = ou = 316,2 m. já que = Velocidade Utilizando a regra da cadeia (ver Apêndice C) para encontrar a relação entre as componentes da velocidade, temos: (1) Figure * Supondo que o campo gravitacional na terra não varia com</p><p>30 12 de uma 31 Movimento horizontal Movimento vertical Na vertical ou direção y apenas duas das três equações seguintes podem ser Visto que a, = a aplicação das equações de aceleração constante, 12.4 a usadas para a resulta (+) (+) A primeira e a última equação indicam que a componente horizontal da velocidade sempre permanece constante durante o movimento. Por exemplo, se a velocidade final da não é necessária, então a Movimento vertical primeira e a terceira dessas equações não serão Cada fotografia nesto sequência Visto que o eixo y positivo está direcionado para então Aplicando o mesmo de as equações a 12.6. obtemos A escura cai do repouso, enquanto clara dada uma (+1) velocidade horizontal quando é Exemplo 12.11 Ambas as aceleram para baixo com elas (+1) permanecem mesmo altura em Um saco desliza da rampa, mostrada na Figura 12.21. com uma velocidade horizon- qualquer instante de Essa aceleração diference das alturas (+1) tal de 12 m/s. Se a altura da rampa é de 6 m a partir do piso, determine o tempo entre as bolas entre necessário para o saco bater no piso e o alcance R onde os sacos começam a empilhar. sucessivas Lembre-se de que a última equação pode ser formulada com base na eliminação que horizontal entre sucessivas da do tempo das duas primeiras equações, portanto, apenas duas das três equações clara é visto que anteriormente apresentadas são mutuamente independentes. 12 m/s velocidade no direção horizontal permanece Resumindo, problemas envolvendo movimento de um projétil podem ter no máximo três visto que apenas três equações independentes podem ser ou seja, uma equação na direção horizontal e duas na direção vertical. Uma vez que e sejam a velocidade resultante V. que é sempre tangente à 6 m trajetória, pode ser determinada pela soma como mostrado na Figura 12.20. Procedimento para análise R Sistema de Estabeleça os eixos de coordenadas y fixos e esboce a trajetória da partícula. Entre quaisquer dois pontos sobre a trajetória, especifique os dados fornecidos Figura 12.21 pelo problema e identifique as três Em todos os a acelera- ção da gravidade age para baixo e é igual a 9.81 As velocidades iniciais SOLUÇÃO e finais da partícula devem ser representadas em termos das suas componen- Sistema de tes A origem das coordenadas é na origem da trajetória, ponto A. Figura 12.21. Lembre-se de que as componentes positivas e negativas da veloci- A velocidade inicial de um saco tem componentes = 12 m/s e = Além dade e aceleração sempre agem de acordo com suas direções coordenadas entre os pontos A e B a aceleração é a, Visto que = = 12 m/s. as três incógnitas são R o tempo de voo Aqui, não precisamos determinar Equações Dependendo dos dados conhecidos e do que deve ser uma es- Movimento vertical colha deve ser feita quanto as três das quatro equações seguintes que devem A distância vertical de A a é conhecida. e. portanto, podemos obter uma solução ser aplicadas entre os dois pontos sobre a trajetória para se obter a solução direta para utilizando a equação mais direta para o problema. Movimento horizontal (+1) A velocidade na horizontal ou direção é constante, ou seja, = e</p><p>32 Capítulo 12 de uma 33 Movimento horizontal Visto que foi calculado, R é determinado como a seguir. (+) Exemplo 12.13 A pista para esta corrida foi projetada de maneira que os pilotos saltem da rampa de a uma altura de 1 m. Durante uma corrida, observou-se que o piloto mostrado NOTA: cálculo para também indica que se um saco fosse solto do repouso em na Figura permaneceu no an por 1.5 Determine a velocidade escalar na qual ele levaria mesmo tempo para bater no piso em C. Figura 12.21. ele estava deixando a rampa, a distância horizontal que ele se desloca antes de atin- gir o solo e a altura máxima que ele alcança. Despreze o tamanho da motocicleta e o do Exemplo 12.12 (a) SOLUÇÃO A máquina trituradora de madeira é projetada para lançar lascas de madeira a = Sistema de 7,5 como mostrado na Figura 12.22. Se o tubo está orientado a 30° em relação Como mostrado na Figura a origem das coordenadas é estabelecida em A. à horizontal, determine quão h. as lascas atingem a pilha se nesse instante de tempo elas caem sobre a pilha a 6 m do tubo. Entre os pontos extremos da trajetória AB, as três são a velocidade esca- lar inicial a distância e a componente vertical da velocidade Movimento vertical Visto que o tempo do voo e a distância vertical entre as extremidades da trajetória são podemos determinar (b) (+1) Figura 12.23 2 Movimento horizontal A distância R pode agora ser determinada. Figura 12.22 (+) SOLUÇÃO Sistema de coordenadas Quando o movimento é analisado entre os pontos e A. as três incógnitas são a altura h. o tempo de voo for e a componente vertical da velocidade [Observe que = Com a origem das coordenadas em Figura 12.22. a velocidade inicial de uma lasca tem componentes de: A fim de determinar a altura máxima vamos considerar a trajetória Figura 12.23b. Aqui, as três incógnitas são o tempo de a distância horizontal de A a e altura h. Na altura máxima = e visto que é conhecida, podemos determinar h direta- m/s mente, sem considerar Ademais, = = 6,5 m/s e a, = Visto que não precisamos deter- minar temos: = Movimento horizontal (+1) NOTA: Mostre que a motocieleta vai tocar o solo em B com uma velocidade tendo componentes de: (vg), Movimento vertical Relacionando às alturas inicial e final de uma lasca, temos: h=1.38m NOTA: Podemos determinar utilizando</p><p>34 Dinômica Capítulo 12 Cinemática de uma 35 12.23. Determine a velocidade escalar na qual uma bola y Problemas fundamentais de basquete em A deve ser jogada em um ângulo de 30° de maneira que ela chegue à cesta em B. 12.15. Se as componentes e y da velocidade de uma 12.19. Uma está se mvendo ao longo de uma são = (32r) m/s e = 8 determine a equação trajetória parabólica y = Sex = m. onde é dado A 30° da trajetória y = e y = 0 quando = em segundos, determine a intensidade da velocidade e da aceleração da quando 12.16. Uma está se movendo ao longo de uma trajetória 3 0,9 reta. Se a sua posição ao longo do eixo é = (8/) m, onde é dado em segundos, determine sua velocidade escalar quando y 10 m 2 s. 3,6 y 2 12.24. Água é esguichada em um ângulo de 90° a partir da inclinação a 20 m/s. Determine o R. 12.26. Um projétil é disparado com uma velocidade inicial y=0,75x 20 m/s de VA = 150 m/s do telhado do prédio. Determine o alcance R onde ele atinge o solo em B. 3 m Problemo 12.19 12.20. A posição de uma caixa deslizando para baixo por uma espiral pode ser descrita como r = [2 sen + 2 cos I m. onde t é dado em segundos e os argumentos para 4 o e o cosseno estão em Determine a veloci- dade e aceleração da caixa quando t = 2 Problemo 12.16 Problemo 12.17. Uma partícula é forçada a se mover ao longo da Se = m. onde é dado em segundos, 12.25. Uma bola é jogada de A. Se ela precisa transpor o muro em B. determine a intensidade mínima da sua R determine a intensidade da velocidade e da aceleração da quando = velocidade inicial Problemo 12.26 Problemas 12.71. A posição de uma é r = - 12.76. Uma caixa desce deslizando encosta abaixo, como + + onde é dado em segundos. descrito pela equação y = onde é dado em Determine a intensidade da velocidade e da aceleração da metros. Se a caixa tem componentes de velocidade e Problemo 12.20 quando aceleração com = -3 m/s e a, em = 5 m. 12.21. Uma bola é chutada do ponto A com uma veloci- *12.72. A velocidade de uma partícula determine as componentes y da velocidade e aceleração da m dade inicial VA = 10 m/s. Determine a altura máxima h onde té dado em segundos. Se r = 0 quando = determine caixa neste instante. que ela alcança. o deslocamento da partícula durante o intervalo de tempo Problema 12.17 12.22. Uma bola é chutada do ponto A com a velocidade inicial 12.18. Uma move-se ao longo de uma trajetória de VA = 10 m/s. Determine o alcance R e a velocidade escalar Uma move-se ao longo da trajetória uma linha reta y = Se a componente da velocidade quando a bola tocar o parabólica y = Se a sua componente da velocidade ao da é = onde é dado em segundos, longo do eixo y é = determine as componentes e y determine a intensidade da velocidade e da aceleração da da aceleração da Aqui, b e são constantes. quando = 12.74. A velocidade de uma partícula é dada por = Problemo 12.76 + + m/s, onde é dado em segundos. Se a partícula está na origem quando determine a intensidade A posição de uma é definida por = da aceleração da partícula quando = 2 S. qual é cos + 4 sen m. onde é dado em segundos e os a posição da em coordenadas neste instante? argumentos para o seno e o cosseno são dados em radianos. Determine as intensidades da velocidade e aceleração da par- 12.75. Uma desloca-se ao longo da trajetória tícula quando = 1 S. Também, prove que a trajetória da circular = Se a componente y da velocidade da partícula é é = cos determine as componentes e y 12.78. As cavilhas A e B estão restritas a moverem-se nas da sua aceleração em qualquer 12.18 fendas elípticas devido ao movimento da fenda da barra. Se Problemas 12.21/22</p><p>36 Capítulo 12 de uma particula 37 a fenda da barra se desloca com uma velocidade escalar 12.83. Um carrinho de montanha-russa desloca-se para Um lançador joga a bola de beisebol horizontal- Água é liberada de uma mangueira com uma ve- constante de 10 determine a intensidade da velocidade baixo em uma trajetória helicoidal com uma velocidade mente com uma velocidade escalar de 42 m/s de uma altura locidade escalar de 12 m/s Determine os dois ângulos pos- e aceleração da cavilha A quando = m. escalar constante de tal maneira que as equações paramétricas de 1,5 m. Se o rebatedor está distante 18 m. determine o síveis 0 para que o bombeiro segure a mangueira de maneira que definem sua posição sejam = sen kt, y = cos Z = tempo para a bola chegar ao rebatedor e a altura h na qual que a água atinja o prédio em B. Considere = 6 m. h onde he b são constantes. Determine as intensidades ela passa o rebatedor. da sua velocidade e aceleração. 18 10 Problema 12.88 Uma bola é jogada do topo do prédio. Se ela atinge o solo em B em 3 S, determine a velocidade inicial e o ângulo de inclinação no qual ela foi jogada. Encontre Problema 12.78 também a intensidade da velocidade da bola quando ela 12.79. Uma move-se ao longo da trajetória atinge o solo. com uma velocidade escalar constante de = 4 m/s. Determine as componentes e y da velocidade e aceleração Problema 12.83 quando a está em = 4 m. 12.84. A trajetória de uma partícula é definida por = 4kx Problema 12.91/92 *12.80. Um carro move-se sobre um morro descrito por e a componente da velocidade ao longo do eixo y = 4,5) m. Se ela tem uma velocidade escalar onde ambos k e são Determine as componentes Uma máquina de lançar bolas de beisebol está constante de 22,5 m/s. determine as componentes x e y da e y da aceleração quando y = ajustada de maneira que a bola de beisebol seja lançada com velocidade e aceleração da camionete quando = 15 m. Uma partícula move-se ao longo da curva uma velocidade escalar de = 30 m/s. Se a bola atinge o onde e y são dados em m. Se a componente m solo em B, determine os dois ângulos possíveis em que ela pode ter sido lançada. da velocidade na direção 2 m/s e permanece constante, determine as intensidades da velocidade e aceleração quando x 20 m. 12.86. Uma move-se com uma velocidade es- 1.2m calar constante ao longo da trajetória que, por curta dis- Problema 12.80 tância, assume a forma de uma curva senoidal. Determine B as componentes e y da sua velocidade sobre a curva em 18 30 m Uma move-se ao longo da trajetória circular qualquer de A para B em Se ela leva 3 para de A para determine Problema a sua velocidade média quando ela vai de B para C. 12.90. Um projétil é disparado com uma velocidade escalar 12.94. Observou-se que o tempo para a bola atingir o solo de = 60 m/s em um ângulo de 60°. Um segundo projétil em B é 2.5 S. Determine a velocidade e o ângulo no é, então, disparado com a mesma velocidade 0,5 mais tarde. qual a bola foi jogada. Determine o ângulo do segundo de maneira que 30° C os dois projéteis colidam. Em qual posição y) isso vai acontecer? 30 m Problema 12.86 B 50 12.87. Um skatista deixa a rampa em A com uma velocidade Problema 12.94 inicial de em um ângulo de Se ele atinge o solo em B, determine Va e o tempo de voo. 12.95. Se uma motocicleta deixa a rampa movendo-se a Problema 12.81 33 m/s. determine a altura h que a rampa B deve de maneira que a pouse seguramente. 12.82. Um carro desloca-se 2 km para leste por 5 A 33 m/s em seguida, 3 km para norte por 8 em seguida, 4 km Problema 12.90 para oeste por 10 minutos. Determine a distância total percor- 30° B 12.91. Um bombeiro segura a mangueira a um ângulo A = 30° rida e a intensidade do deslocamento do carro. Determine 9 m com a horizontal, e a água é lançada da mangueira em A com também qual é a intensidade da velocidade média e da velo- A B cidade escalar média. 5 uma velocidade de = 12 m/s. Se a corrente de água atinge 105 m o prédio em B, determine as duas distâncias possíveis me- Problema didas a partir do prédio. 12.95</p><p>38 Capítulo 12 de uma 39 jogador de beisebol A rebate a bola com A velocidade do jato de água saindo do orifício Um garoto em A tenta jogar uma bola sobre o carro possa ser colocada em relação à esteira de maneira que e = Quando a bola está diretamente acima pode ser obtida de = gh onde h = 2 m é a distância telhado de um celeiro com uma velocidade escalar inicial de os pacotes entrem no do jogador B, ele começa a correr embaixo dela. Determine do orifício até a superfície livre da água. Determine o tempo = 15 m/s. Determine o ângulo no qual a bola deve ser a velocidade escalar constante e a distância d na qual B para uma de água deixando o orifício alcançar o jogada de maneira que ela alcance sua altura máxima em C. tem de correr a fim de segurar a bola na mesma altura a qual ponto e a distância horizontal onde ela bate na superfície. Encontre também a distância d de onde o garoto deve ficar ela foi rebatida. para fazer o 12.106. Um garoto em A tenta jogar uma bola sobre o telhado de um celeiro de tal maneira que ela é lançada em um ângulo C de = Determine a velocidade mínima que ele deve 1.5 jogar a bola de maneira que ela alcance sua altura máxima 3 m em C. Também, encontre a distância d onde o garoto deve ficar parado de maneira que ele possa fazer o B 4,5 Problema 12.100 12.96 Um projétil é disparado da plataforma em B. atirador realiza o disparo da sua arma do ponto A a um ângulo 12.108 -12.97. Um garoto joga no an uma bola a partrir de com de 30°. Determine a velocidade escalar da bala na boca da 8 uma velocidade em ângulo Se ele em seguida joga arma se ela atinge o projétil em C. Determine a velocidade horizontal de uma bola outra bola com a mesma velocidade a um ângulo < de tênis em A de maneira que ela passe raspando a rede em determine o tempo entre os lançamentos de maneira que as B. Encontre também a distância S medida a partir das redes m bolas colidam em pleno an em B. onde a bola atinge o solo. 10 d 4 Problemas 12.105/106 B 2,25 m 20 0.9 m 12.107. Um bombeiro quer direcionar o fluxo de água da 12.101 sua mangueira para o fogo em B. Determine dois ângulos possíveis e nos quais isso pode ser feito. A água sai da m 12.102. Uma bola de golfe é batida com uma velocidade de mangueira a = 24 m/s. 24 como mostrado. Determine a distância d medida do Problemo 12.109 lançamento até o ponto B. Problema 12.110. Observou-se que o esquiador deixa a rampa A formando o ângulo = 25° com a Se ele atinge 12.98. Uma bola de golfe é batida em A com uma veloci- o solo em B. determine sua velocidade escalar inicial VA e o dade de = 40 m/s e direcionada em um ângulo de 30° com 6 tempo de a horizontal como mostrado. Determine a distância d rida pela bola até atingir B. B 4m 12.102 12.103. Uma bola de futebol americano deve ser chutada sobre m o poste do gol que fica a 4,5 m de altura. Se a sua velocidade escalar inicial é = 24 determine se ela consegue 12.107 12.98 ultrapassar o poste do e, se conseguir, qual o valor de h. *12.108. Pacotes pequenos movendo-se sobre uma esteira 100 m 12.99. Se uma bola de futebol americano é chutada a um *12.104. Uma bola de futebol americano é chutada sobre o transportadora caem dentro de um carrinho de carga de m ângulo de 45°, determine sua velocidade escalar inicial poste do gol uma velocidade inicial de = 24/s como de comprimento. Se a esteira está se movendo com uma mínima de maneira que ela passe sobre o poste do gol em mostrado. Determine o ponto B (x, y) onde ela atinge as velocidade escalar constante de Vc = 2 determine a B C. A que distância S do poste do gol a bola de futebol vai arquibancadas. menor e a maior distância R na qual a extremidade A do atingir o solo em B? Problema 12.110 6 m A 48 m Problema Problemas 12.103/104</p><p>40 Capítulo 12 de uma 41 12.7 Movimento componentes normal e Substituindo na Equação a pode ser escrita como a soma de suas duas componentes, tangencial (12.18) Quando a trajetória ao longo da qual uma partícula se move é costuma onde: ser conveniente o movimento utilizando-se eixos de coordenadas n / os quais atuam normal e tangente à trajetória, respectivamente, e no instante considerado ou (12.19) tem sua origem localizada na e Posição Movimento plano (a) Considere a mostrada na Figura que se move em um plano ao (12.20) longo de uma curva fixa tal que em dado instante ela está na posição medida a a Essas duas componentes mutuamente perpendiculares são mostradas na Figura partir do ponto O. Agora, vamos considerar um sistema de coordenadas que tem sua Portanto, a intensidade da aceleração é o valor positivo de: origem em um ponto fixo sobre a e no instante considerado esta origem coincide com a posição da eixo é tangente à curva nesse ponto e é positivo na (12.21) direção em que aumenta. Designaremos essa direção positiva com vetor unitário Para compreender melhor esses resultados, considere os dois casos especiais de A escolha para eixo normal pode ser feita observando-se que geometrica- (f) movimento a seguir. mente a curva é construída a partir de uma série de segmentos do diferenciais 1. Se a se move ao longo de uma linha reta, então - e da 12.24 ds. Figura 12.24b. Cada segmento ds é formado a partir do de um círculo asso- Rain da curva Equação 12.20. = Deste modo, a a = e podemos concluir que a ciado tendo um raio de curvatura P (rho) e centro de curvatura eixo normal n (b) componente tangencial da aceleração representa a taxa de variação temporal é perpendicular ao eixo com seu sentido positivo direcionado para o centro da na intensidade da velocidade. curvatura Figura 12.24a. Essa direção positiva, que fica sempre do lado côncavo da curva, será designada pelo vetor unitário plano que contém os e é 2. Se a partícula se desloca ao longo de uma curva com uma velocidade escalar constante, então = Portanto, a componente normal da referido como o plano osculador, e nesse caso ele é fixo no plano do aceleração representa a taxa de variação temporal na direção da velocidade. Velocidade Visto que a, sempre age na direção do centro de curvatura, essa componente é às vezes referida como a aceleração centrípeta (ou que busca o centro). Visto que a partícula se move, é uma função do tempo. Como indicado na Como resultado dessas interpretações, uma movendo-se ao longo da Seção a velocidade da tem uma direção que é sempre tangente à trajetória curva na Figura 12.25 terá acelerações direcionadas como Velocidade trajetória, Figura 12.24c, e uma intensidade que é determinada por meio da derivada temporal da função posição = ou seja, = ds/dt (Equação 12.8). Desse modo, (c) (12.15) Variação na onde: direção da velocidade Velocidade a, (12.16) escalar a, Aceleração crescendo A aceleração da partícula é a taxa de variação temporal da velocidade. Assim, Variação na (12.17) intensidade da (d) velocidade A fim de determinar a derivada temporal observe que, quando a partícula se move ao longo do ds no tempo u, preserva sua intensidade unitária; entretanto, Figura 12.25 sua direção varia, e torna-se Figura 12.24d. Como mostrado na Figura precisamos = + du, Aqui, du, estende-se entre as extremidades dos vetores u, Movimento tridimensional e que se encontram sobre um arco de raio infinitesimal = 1. Desse modo, du, Se a se move ao longo de uma curva espacial, Figura então em plano osculador du, tem uma intensidade de du, = (1) e sua direção é definida por Consequente- um dado instante o é univocamente especificado; entretanto, um número infi- (e) mente, du, = e. portanto, a derivada temporal torna-se Visto que nito de linhas retas pode ser construído normal ao eixo tangencial. Como no caso do ds = Figura então = e, portanto, movimento plano, vamos escolher o eixo positivo direcionado para o centro de curvatura da trajetória Esse é referido como normal principal à curva. Com Figura 12.24 os eixos e assim definidos, equações 12.15 até podem ser usadas para plano osculador pode também ser definido como o plano que tem o contato com a curva determinar a. Visto que u, e são sempre perpendiculares entre si e se encontram em um é a posição-limite de um contatando ambos o ponto e o segmento no plano osculador, para o movimento espacial um terceiro vetor unitário, define de ds. Como observado, o plano osculador é sempre coincidente com o de uma curva plana; o eixo binormal b que é perpendicular a e Figura 12.26. entretanto, cada ponto sobre uma curva tridimensional tem um plano osculador único Figura</p><p>42 12 de uma 43 Já que os três vetores unitários estão relacionados entre si pelo produto vetorial, por exemplo, = u, Figura pode ser possível usar essa relação para Exemplo 12.14 estabelecer a direção de um dos eixos, se as direções dos outros dois são conhecidas. Por exemplo, se nenhum movimento ocorre na direção e essa direção e u, são Quando o esquiador alcança o ponto A ao longo da trajetória parabólica na Figura conhecidos, então pode ser determinado, onde, nesse caso, = Figura ele tem uma velocidade escalar de 6 m/s que está aumentando em 2 Determine 12.26. Lembre, entretanto, que está sempre do lado côncavo da curva. a direção da sua velocidade e a direção e a intensidade da sua aceleração neste ins- Despreze o tamanho do esquiador no cálculo. SOLUÇÃO Procedimento para Sistema de Sistema de coordenadas Embora a trajetória tenha sido expressa em termos das suas coordenadas e y, ainda podemos estabelecer a origem dos eixos / no ponto fixo A da trajetória e determi- Contanto que a trajetória da seja conhecida. podemos estabelecer nar as componentes de e a ao longo desses eixos. Figura 12.17a. um conjunto de coordenadas n e tendo uma origem fixa, a qual é coincidente com a partícula no instante Velocidade o eixo tangente positivo age na direção do movimento e o eixo normal posi- Por definição, a velocidade é sempre tangente à trajetória. Visto que tivo está direcionado para o centro de curvatura da trajetória. então = 10 m. = Por conseguinte, em faz um ângulo de 45° com o eixo Figura 12.17a. Velocidade A velocidade da partícula é sempre tangente à trajetória. A intensidade da velocidade é encontrada a partir da derivada temporal da A aceleração é Entretanto, é necessário função determinar primeiro o raio de curvatura da trajetória em A (10 m. 5 m). Visto que Aceleração A componente tangencial da aceleração é o resultado da taxa de variação temporal na intensidade da velocidade. Essa componente age na direção positiva se a velocidade escalar da partícula está aumentando ou na direção A aceleração torna-se: oposta se a velocidade escalar está As relações entre são as mesmas que para o movimento nominalmente Se a, é constante, a, = as equações anteriormente apresentadas, quando Como mostrado na Figura integradas, resultam em: Assim, maneira que, normal NOTA: Utilizando as coordenadas n. fomos capazes de resolver prontamente esse A componente normal da aceleração é o resultado da taxa de variação tempo- problema com o uso da Equação visto que ela leva em conta separadamente ral na direção da velocidade. Essa componente está sempre direcionada para as variações na intensidade e direção de o centro de curvatura da trajetória, ou seja, ao longo do eixo positivo n. A intensidade dessa componente é determinada por Se a trajetória é expressa como o raio da curvatura em qualquer ponto sobre a trajetória é determinado pela equação: 4 5 A derivação desse resultado é dada em qualquer texto básico de cálculo. (a) (b) Figura</p><p>44 Dinômico 12 de uma 45 escalar de tal maneira que a, - onde é dado em segundos, determine a Exemplo intensidade da sua aceleração quando ela chega ao ponto B. Um carro de corrida C move-se em torno da pista circular que tem um raio de 90 m. SOLUÇÃO Figura 12.28. Se o carro aumenta a sua velocidade escalar a uma razão constante de Sistema de coordenadas partindo do repouso, determine o tempo necessário para ele alcançar uma aceleração de Qual é a velocidade escalar neste instante? A posição da caixa em qualquer instante é definida a partir do ponto fixo A utili- zando a posição ou coordenada da trajetória S. Figura 12.29b. A aceleração deve ser determinada em assim, a origem dos é nesse ponto. Aceleração Para determinar as componentes da aceleração é necessário for- mular de maneira que eles possam ser avaliados em B. Visto que = quando (a) então: (1) SOLUÇÃO (2) de coordenadas A origem dos eixos e é coincidente com o carro no instante eixo tempo necessário ao ponto B pode ser determinado observando- está na direção do movimento, e o eixo n positivo é direcionado para o centro do -se que a Figura e visto que círculo. Esse sistema de coordenadas é escolhido visto que a trajetória é conhecida. = 0 quando = temos: Aceleração A intensidade da aceleração pode ser relacionada as suas componentes utilizando-se que a, = a velocidade como uma fun- ção do tempo tem de ser determinada primeiro. Substituindo nas equações e resulta: Desse modo, Em que: tempo necessário para a aceleração chegar a é. portanto, 2 m A intensidade de Figura 12.29c. portanto, Resolvendo para o valor positivo de obtém-se: (b) Velocidade A velocidade escalar no m/s NOTA: Lembre-se de que a velocidade será sempre tangente à trajetória, ao passo que + a aceleração estará direcionada dentro da curvatura da trajetória. Exemplo 12.16 As caixas na Figura 12.29a deslocam-se ao longo do transportador industrial. Se uma (c) caixa como na Figura 12.29b parte do repouso em A e aumenta sua velocidade Figura</p><p>46 Capítulo 12 Cinemática de uma 47 Problemas fundamentais Problemas 12.27. Um barco está se movendo ao longo da trajetória 12.30. Quando x = 3 m. o caixote tem uma velocidade 12.111. Quando se projeta a curva de uma autoestrada, é = m/s, onde é dado em segundos. Determine as circular com uma velocidade escalar de = m/s. escalar de 6 m/s que está aumentando a 1,8 Determine necessário considerar que os carros viajando a uma velocidade intensidades da velocidade e aceleração da lancha no instante onde é dado em segundos. Determine a intensidade da sua a direção da velocidade do caixote e a intensidade da escalar constante de 25 m/s não tenham uma aceleração que aceleração quando = 10 aceleração do caixote nesse exceda 3 Determine o raio de curvatura mínimo da curva. p=50m Em dado instante, um carro desloca-se ao longo de uma estrada curva circular com uma velocidade escalar de 20 m/s enquanto sua velocidade escalar em uma taxa 40 de 3 Se a intensidade da aceleração do carro é 5 determine o raio de curvatura da estrada. -12.113. Determine a velocidade escalar constante máxima m/s 12.27 que um carro de corrida pode ter se a aceleração do carro não pode exceder m/s2 enquanto gira em uma pista tendo 12.28. Um carro está se movendo ao longo da estrada com um raio de curvatura de 200 m. a velocidade escalar de = (300/s) m/s, onde é dado em 12.114. Um automóvel está se deslocando em uma curva Determine a intensidade da sua aceleração quando 3 m circular horizontal que tem raio de 240 m. Se a aceleração Problemas 12.117/118 do automóvel é determine a velocidade escalar Problema 12.30 constante na qual o automóvel está se movendo. 12.119. Um carro viaja ao longo de uma pista circular de raio 300 75 m, e sua velocidade escalar por curto período de tempo 12.115. Um carro move-se ao longo de uma estrada curva t é dado em segun- 12.31. Se a tem uma desaceleração de a, = circular horizontal que tem raio de 600 m. Se a velocidade dos. Determine intensidade da aceleração do carro quando -(0,001s) e sua velocidade escalar na posição A é 25 escalar é uniformemente aumentada a uma razão de 2000 = 2 Qual a distância que ele se moveu em = 2 s? m/s. determine a intensidade da sua aceleração quando ela determine a intensidade da aceleração no instante que passa o ponto B. a velocidade escalar do carro é 60 *12.120. Um carro move-se ao longo de uma trajetória circular de tal maneira que sua velocidade escalar é Um automóvel tem velocidade escalar de 24 m/s 100 aumentada por a, = onde é dado em segundos. no ponto A e tem aceleração tendo intensidade de 3 Determine as intensidades da sua velocidade e aceleração atuando na direção Determine o raio de curvatura após o carro ter se movido = 18 m partindo do 300 da trajetória no ponto A e a componente tangencial da Despreze a dimensão do carro. aceleração. 12.28 12.29. Se o carro desacelera uniformemente ao longo da Problema 12.31 estrada curva de 25 m/s em A para 15 m/s em C. determine a aceleração do carro em B. 12.32. o carro sobe um morro com uma velocidade escalar de = (0,2s) m/s. onde S é dado em metros, medido a partir de A. Determine a intensidade da sua aceleração quando ele está no ponto = 50 onde = 500 m. 50 m 50 m A 12.116 30 12.32 Partindo do repouso, uma lancha desloca-se ao Problemo 12.29 longo da trajetória circular = 50 a uma velocidade escalar = onde é dado em segundos. Determine Problemo 12.120 as intensidades da velocidade e aceleração da lancha no instante em que ela tenha se deslocado 20 m. Um trem passa pelo ponto B com uma velocidade 12.118. Partindo do repouso, uma lancha move-se em torno escalar de 20 a qual está diminuindo em a, = da trajetória circular, P = 50 a uma velocidade escalar Determine a intensidade da aceleração do trem nesse</p><p>48 Dinômica Capítulo 12 de uma 49 12.122. trem passa o ponto A com uma velocidade escalar 12.127. Determine a intensidade da aceleração do avião carro está viajando a uma velocidade escalar de 12.138. carro B faz uma curva de tal maneira que sua de 30 m/s e começa a reduzir sua velocidade escalar a uma durante a curva. Ele voa ao longo da trajetória circular 30 m/s. motorista aciona os freios em A e, assim, reduz a velocidade escalar é aumentada na razão de = razão constante de a, = Determine a intensidade horizontal AB em 40 enquanto mantém uma velocidade velocidade escalar a uma razão de a, onde / onde é dado em segundos. Se um carro parte do da aceleração do trem quando ele chega ao ponto B. onde escalar constante de 90 m/s. repouso quando determine as intensidades da sua é dado em segundos. Determine a aceleração do carro pouco *12.128. Um avião voa ao longo da trajetória circular velocidade e aceleração quando o braço AB gira = 30°. antes de ele chegar ao ponto C na curva circular. carro horizontal AB em 60 Se a sua velocidade escalar no ponto Despreze a dimensão do carro. leva 15 S para viajar de A para C. 200 A é 120 m/s. que diminui a uma razão de a, = (-0,031) 12.139. carro B faz uma curva de tal maneira que sua determine a intensidade da aceleração do avião quando velocidade escalar é aumentada na razão de = chegar ao ponto B. onde é dado em segundos. Se o carro parte do repouso quando = determine as intensidades da sua velocidade e aceleração quando = 2 Despreze a dimensão do carro. B 400 12.121/122 Problemas 12.131/132 12.123. carro passa o ponto A com uma velocidade escalar Uma está se deslocando ao longo de de após o qual a sua velocidade escalar é definida por uma curva circular tendo um raio de 20 m. Se ela tem uma 0,15s) m/s. Determine a intensidade da aceleração velocidade escalar inicial de 20 m/s e em seguida começa a do carro quando ele chega ao ponto B, onde = 51,5 Problemos 12.127/128 reduzir sua velocidade escalar na razão de a, = (-0,25s) *12.124. Se o carro passa o ponto A com uma velocidade Quando o carrinho da montanha-russa está em determine a intensidade da aceleração da partícula 2 segundos escalar de 20 m/s e começa a aumentar sua velocidade es- ele tem uma velocidade escalar de 25 a qual está mais tarde. calar a uma razão constante de a, = 0,5 determine a aumentando em a, = 3 Determine a intensidade da 12.134. Um carro de corrida move-se com uma velocidade A intensidade da aceleração do carro quando = 100 m. aceleração do carrinho da nesse instante e escalar constante de 240 km/h em torno de uma pista de corrida y o ângulo de direção que ela faz com eixo elíptica. Determine a aceleração sentida pelo motorista em A. Problemas 12.138/139 12.130. Se o carrinho da montanha-russa parte do repouso 12.135. carro de corrida move-se com uma velocidade em A e sua velocidade escalar aumenta em escalar constante de 240 km/h em torno da pista elíptica. *12.140. Um caminhão move-se com uma velocidade determine a intensidade da sua aceleração quando ela Determine a aceleração sentida pelo motorista em B. escalar de 4 m/s ao longo de uma estrada circular que tem 16 m alcança B onde = 40 m. um raio de 50 m. Por curta distância a partir de = sua velocidade escalar é, então, aumentada na razão de a, = 100 (0,05s) onde S é dado em metros. Determine sua 12.123/124 16 4 velocidade escalar e a intensidade da sua aceleração no instante em que ele tenha se movido S = 10 m. Quando o carro chega ao ponto A, ele tem -12.141. Um caminhão move-se ao longo de uma estrada velocidade escalar de 25 Se os freios são acionados, circular que tem um raio de 50 m a uma velocidade escalar sua velocidade escalar é reduzida em a 4 de 4 m/s. Por uma curta distância quando sua velocidade imediatamente 2 km escalar então, aumentada na razão de a, = (0,4r) onde antes de ele chegar ao ponto C. é dado em segundos. Determine a velocidade escalar e a 12.126. Quando um carro chega ao ponto A, ele tem intensidade da aceleração do caminhão quando = 4 velocidade escalar de 25 m/s. Se os freios são acionados, sua velocidade escalar é reduzida em a, = Determine a intensidade da aceleração do carro imediamente antes de chegar ao ponto C. Problemas 12.134/135 30 A posição de uma partícula é definida por p=250m Problemos 12.129/130 m onde dado em 50m 12.131. O carro está viajando a uma velocidade escalar de Determine as intensidades da velocidade e acele- 30 m/s. motorista, então, aciona os freios em A e, assim, ração em qualquer instante. reduz a velocidade escalar do carro a uma razão de a, = -12.137. A posição de uma partícula é definida por r = 200 (-0,08v) onde dado em m/s. Determine a aceleração m, onde é dado em segundos. Determine do carro pouco antes de ele chegar ao ponto C na curva Problemas 12.125/126 a intensidade da velocidade e aceleração e o raio de circular. carro leva 15 S para viajar de A para C. curvatura da trajetória quando = Problemas 12.140/141</p><p>50 12 de uma 51 12.142. Dois ciclistas, A e B, estão se deslocando no sentido 12.146. Um motocielista desloca-se ao longo da curva a uma As A e B estão se deslocando no sentido *12.152. Uma move-se ao longo da trajetória y = anti-horário em de uma pista circular a uma velocidade velocidade escalar constante de 9 m/s. Determine a sua anti-horário em torno de uma pista circular a uma velocidade bx + onde a. b e C são Se a velocidade escalar constante de m/s no instante mostrado. Se a aceleração quando ele está localizado no ponto A. Despreze escalar constante de 8 m/s. Se no instante mostrado a escalar da é constante = determine as velocidade escalar de A é aumentada na razão de = 0,09 a dimensão da motocicleta e do motocielista para o cálculo. velocidade de A começa a aumentar na razão de = componentes e y da velocidade e a componente normal da (SA) onde é dado em determine a distância onde é dado em metros, determine a distância aceleração quando = 0. medida no sentido anti-horário ao longo da pista de B para medida no sentido anti-horário ao longo da pista de B para Uma bola é chutada com velocidade escalar inicial A entre os ciclistas quando = Qual é a intensidade da A quando = S. Qual é a intensidade da aceleração de cada aceleração de cada nesse instante? particula neste instante? VA = 8 m/s a um ângulo = 40° com a horizontal. Encontre a equação da trajetória, y = f(x), em seguida, determine 12.150. As partículas A e B estão se deslocando em torno as componentes normal e tangencial da sua desaceleração de uma pista circular a uma velocidade escalar de 8 m/s no quando = 0,25 S. instante Se a velocidade escalar de B está aumentando na razão de = 4 m/s2 e no mesmo instante A tem um aumento na velocidade escalar na razão de 30 = determine quanto tempo leva para ocorrer uma Qual é a intensidade da aceleração de cada 12.146 pouco antes de ocorrer a colisão? 12.147. A caixa de tamanho desprezível está deslizando para m/s Problemo 12.142 baixo ao longo de uma trajetória curva definida pela parábola y = Quando ela está em A = 2 = 1,6 m), a 12.143. Os garotos em um estão se movendo para velocidade escalar é = 8 m/s e o aumento na velocidade escalar é 4 Determine a intensidade da B baixo ao longo de uma curva que pode ser aproximada pela parábola y = Determine a intensidade da sua acele- aceleração da caixa nesse instante. ração quando eles chegam ao ponto A, onde sua velocidade escalar m/s. e ela está aumentando a uma razão de Problemas 12.149/150 Problema 12.153 A 12.151. Um carro de corrida move-se ao longo da pista cir- 12.154. movimento de uma é definido pelas cular com uma velocidade escalar de 16 m/s. Quando ele y equações = m = onde é dado em chega ao ponto A, ele aumenta sua velocidade escalar na segundos. Determine as componentes normal e tangencial razão de dado em m/s. Determine da velocidade e aceleração da quando = A as intensidades da velocidade e aceleração do carro quando 36 in 12.155. Uma motocieleta move-se ao longo da pista elíptica 12.147 ele chega ao ponto B. Além disso, quanto tempo é a uma velocidade escalar constante Determine a maior rio para ele se deslocar de A para B? 60 intensidade da aceleração *12.148. Uma curva de transição em espiral é usada em Problemo 12.143 ferrovias para ligar uma porção reta da linha férrea com uma porção curva. Se a espiral é definida pela equação y = *12.144. Um avião a jato está se deslocando com uma onde e y estão em metros, determine a intensi- velocidade escalar de 120 m/s que está diminuindo a 40 m/s2 dade da aceleração de uma locomotiva se movendo com quando ele chega ao ponto A. Determine a intensidade da 200 uma velocidade escalar constante de 12 m/s quando ela está sua aceleração quando ele está nesse ponto. Especifique no ponto = 180 também a direção do medida a partir do eixo o avião a jato está se deslocando com uma velocidade escalar constante de 110 m/s ao longo da trajetória curva. Determine a intensidade da aceleração do avião no 12.151 Problema 12.155 instante que ele chega ao ponto A 180 Problemas 12.144/145 12.148</p><p>52 Capítulo 12 Cinemática de uma 53 12.8 Movimento curvilíneo: componentes cilíndricas Visto que V, e são mutuamente perpendiculares, a intensidade da velocidade vetorial ou velocidade escalar é simplesmente valor positivo de: Às vezes, o movimento da partícula está restrito a uma que é mais bem (12.26) descrita utilizando-se coordenadas cilíndricas. Se o movimento é restrito ao plano, e a direção de sem dúvida, Figura 12.30c. então coordenadas polares são Aceleração Coordenadas polares Calculando as derivadas temporais da Equação e utilizando as equações Podemos especificar a posição da partícula mostrada na Figura 12.30a utilizando obtemos a aceleração instantânea da uma coordenada radial que se estende para fora a partir da origem fixa o até a e a coordenada transversal que é o ângulo no sentido anti-horário entre uma linha de referência fixa e o eixo ângulo é geralmente medido em graus ou Para avaliar basta determinarmos a variação na direção de já que sua radianos, onde 1 rad = 180% As direções positivas das coordenadas e são defi- intensidade é sempre unitária. Durante o tempo uma variação Ar não alterará nidas pelos vetores unitários e Um Aqui é na direção do a direção de entretanto, uma variação fará que se torne onde = aumento de quando é mantido fixo, e é na direção do aumento de A quando + Figura 12.30d. A variação temporal de é, então, Para pequenos Posição é mantido fixo. Note que essas direções são perpendiculares entre si. ângulos, esse vetor tem uma intensidade e atua na direção ou (a) seja, Assim, Posição (d) Em qualquer instante, a posição da Figura 12.30a. é definida pelo vetor posição: (12.27) (12.22) Substituindo este resultado e a Equação na equação anteriormente apresen- tada para a. podemos escrever a aceleração na forma de componentes como: Velocidade (12.28) A velocidade instantânea é obtida calculando-se a derivada temporal de onde: Utilizando um ponto para representar a derivada temporal, temos: Para avaliar observe que apenas a direção de varia em relação ao tempo, (12.29) visto que por definição a intensidade deste vetor é sempre Portanto, durante termo = = chamado aceleração angular, visto que ele o tempo uma variação não provocará uma variação na direção de entretanto, uma variação fará que u, se torne onde = u, + Figura 12.30b. A mede a variação ocorrida na velocidade angular durante um instante de tempo. A variação temporal de então, Au, Para ângulos pequenos esse vetor tem uma para esta medida é (b) intensidade 1 e age na direção Portanto, Au, e assim, Visto que a, e são sempre a intensidade da aceleração é sim- Aceleração plesmente o valor positivo de: (e) (12.30) (12.23) Figura 12.30 Substituindo na equação acima, a velocidade pode ser escrita na forma de com- A direção é determinada a partir da soma vetorial das suas duas componentes. Em geral, a não será tangente à trajetória, Figura ponentes como: Coordenadas (12.24) onde: Se a se move ao longo de uma curva espacial como mostrado na Figura 12.31, então sua posição pode ser especificada pelas três coordenadas cilíndricas, A coordenada 2 é idêntica àquela usada para coordenadas retangulares. Visto " que o vetor unitário definindo sua direção, é constante, as derivadas temporais (12.25) deste vetor são zero, e, portanto, a posição, velocidade e aceleração da podem Velocidade Estas componentes são mostradas graficamente na Figura 12.30c. A componente ser escritas em termos das suas coordenadas como a seguir: radial V, é uma medida da taxa de aumento ou redução no comprimento da coorde- (c) nada radial, ou seja, enquanto a componente transversal pode ser interpretada como a taxa de variação do movimento ao longo da circunferência de um círculo de (12.31) Figura 12.30 raio Em particular, o termo = é chamado velocidade angular, visto que (12.32) ele indica a taxa de variação temporal do ângulo A unidade comumente usada para 12.31 essa medida é rad/s.</p><p>54 Capítulo 12 Cinemática de uma Derivadas temporais Velocidade e Primeiro, é necessário especificar as primeiras e segundas derivadas de r e Visto As equações anteriores requerem a obtenção das derivadas temporais que é constante, temos: a fim de avaliarmos as componentes e de a Dois tipos de problemas geral- mente ocorrem: 1. Se as coordenadas polares são especificadas como equações paramétricas Assim, em função do tempo = e então as derivadas temporais podem ser determinadas 2. Se as equações paramétricas em função do tempo não são dadas, então a trajetória r = tem de ser conhecida. Utilizando a regra da cadeia do cálculo, podemos, então, encontrar a relação entre e e entre A aplicação da regra da cadeia está explicada no Apêndice C. com alguns Estes resultados são mostrados na Figura 12.32b. NOTA: Os eixos n. são também mostrados na Figura 12.32b. Nesse caso especial de r exemplos. movimento eles são colineares com os eixos e respectivamente. Visto comparação, Procedimento para (b) Sistema de coordenadas Figure 12.32 Coordenadas polares são uma escolha apropriada para resolver problemas quando os dados relativos ao movimento angular da coordenada radial des- crevem o movimento da Ademais, algumas trajetórias do movimento podem ser convenientemente descritas em termos dessas Exemplo 12.18 Para usar coordenadas polares, a origem é estabelecida em um ponto fixo, e a linha radial é direcionada para a A barra OA na Figura 12.33a gira no plano horizontal de tal maneira que A coordenada transversal medida a partir de uma linha de referência fixa Ao mesmo tempo, o anel B está escorregando para fora ao longo de OA de maneira até a linha radial. que = mm. Se em ambos os casos é dado em segundos, determine a ve- locidade e aceleração do anel quando = I S. Velocidade Uma vez que e as quatro derivadas temporais e tenham sido avalia- SOLUÇÃO movimento espiral deste pode das no instante considerado, seus valores podem ser substituídos nas equações Sistema de coordenadas ser seguido utilizando-se componentes Aqui, o radial e 12.29 para obtermos as componentes radiais e transversais de e a. Visto que equações paramétricas da trajetória em função do tempo são dadas, não é constante, coordenada transversal Se for necessário calcular as derivadas temporais de = então a regra da necessário relacionar com B e com o tempo na medida em que o girar em torno da cadeia do cálculo tem de ser usada. (Ver Apêndice C.) Velocidade e aceleração vertical, e altitude vai diminuir Movimento em três dimensões requer uma extensão simples do procedimento com Determinando as derivadas temporais e as avaliando temos: A acima para incluir e (a) Exemplo 12.17 Como brinquedo do parque de diversões mostrado na Figura 12.32a consiste em uma cadeira que está girando em uma trajetória circular horizontal de raio tal que o braço OB tem uma velocidade angular A e aceleração angular Determine as com- A intensidade de ponentes radiais e transversais da velocidade e aceleração do passageiro. Despreze suas dimensões no SOLUÇÃO (a) Como mostrado Figura 12.33c. Sistema de coordenadas Figura 12.32 Visto que o movimento angular do braço é dado, as coordenadas polares são esco- para a solução, Figura 12.32a. Aqui, não está relacionado com r. já que o (c) raio é constante para todo 12.33</p><p>56 | Capítulo 12 de uma 57 A intensidade de a é: NOTA: É também possível determinar a sem ter de calcular (ou a.). Como mos- trado na Figura 12.34d, visto que = 4525.5 então, por solução vetorial, a = 45° = 6400 = NOTA: A velocidade é tangente à trajetória; entretanto, a aceleração é direcionada para dentro da curvatura da trajetória, como esperado. Exemplo 12.20 Exemplo 12.19 Devido à rotação da barra bifurcada, a bola na Figura 12.35a desloca-se pela fenda, descrevendo uma trajetória que em parte está no formato de uma cardioide, r = 0,15 holofote na Figura 12.34a joga um feixe de luz na superfície de uma parede que - cos onde é dado em radianos. Se a velocidade da bola é = 1,2 m/s e está localizada 100 m do holofote. Determine as intensidades da velocidade e a sua aceleração é a = 9 no instante = 180°, determine a velocidade angular aceleração nas quais o feixe parece mover-se pela parede no instante e a aceleração angular da bifurcação. holofote gira com uma velocidade constante de A = 4 rad/s. SOLUÇÃO SOLUÇÃO Sistema de coordenadas Sistemo de coordenadas Esta trajetória é realmente incomum, e matematicamente é mais bem expressa utili- (a) Coordenadas polares serão usadas para solucionar esse problema, visto que a taxa zando-se coordenadas polares, como foi feito aqui, em vez de coordenadas retangulares. de variação angular do holofote é dada. Para determinar as derivadas temporais é Além disso, como 0 e A precisam ser calculados, então as coordenadas são esco- necessário relacionar r com A partir da Figura 12.34a. lhas óbvias. r = 100/cos = 100 sec e aceleração (a) Velocidade e aceleração As derivadas temporais de podem ser determinadas utilizando-se a regra da Figura 12.35 cadeia. Usando a regra da cadeia do cálculo e observando que d(sec = sec tg de e d(tg = sec2 temos: Avaliando esses (b) = rad/s = constante, então = e as equações anteriores, quando Visto que = e utilizando a Equação determina-se i = = 565,7 = = 6788,2 De maneira similar, pode ser encontrado a Equação 12.30. Como mostrado na Figura (c) Os vetores a e são mostrados na Figura 12.35b. Como mostrado na Figura NOTA: Nessa os e (tangencial) coincidirão. eixo (normal) está (b) (d) direcionado para a direita, em oposição a Figura 12.35 Figura 12.34</p><p>58 Capítulo 12 Cinemática de uma 59 Problemas fundamentais Problemas 12.33. carro tem uma velocidade escalar de 16.5 m/s. = 2 rad/s e 4 Determine as componentes radial Uma move-se ao longo de uma trajetória Determine a velocidade angular da linha radial OA nesse e transversal da aceleração da cavilha neste instante. circular de raio 300 mm. Se a sua velocidade angular é rad/s, onde é dado em segundos, determine a intensidade da aceleração da quando -12.157. Uma partícula move-se ao longo de uma trajetória circular de raio 300 mm. Se a sua posição é onde é dado em segundos, determine as intensidades da velocidade e aceleração da quando A partícula sai do repouso quando r=90m r=120m 12.158. Uma move-se ao longo de uma trajetória circular de raio 5 m. Se a sua posição onde é dado em segundos, determine a intensidade da aceleração da quando = Problema 12.33 12.36 12.159. A posição de uma é descrita por 12.165 rad, onde é dado em segundos. Determine as 12.34. A plataforma está girando em torno do eixo vertical 12.37. Os anéis estão conectados por um pino em B e estão intensidades da velocidade e aceleração da no 12.166. A fenda do braço OA gira no sentido anti-horário de modo que em qualquer instante a sua posição angular livres para se mover ao longo da barra OA e da guia curvilínea instante em torno de o com uma velocidade angular constante de = onde / é dado em segundos. Uma bola rola tendo o formato de uma cardioide, = [0,2 + m. *12.160. A posição de uma partícula é descrita por r = movimento do pino B é restrito de tal maneira que ele se para fora ao longo do sulco radial de maneira que sua Em A = 30°. a velocidade angular de OA é = 3 rad/s. mm e rad, onde é dado em segundos. move sobre a superfície circular fixa e ao longo da fenda posição é dada por = onde é dado em segundos. Determine as intensidades da velocidade dos anéis nesse Determine as intensidades da velocidade e aceleração da em OA. Determine as intensidades da velocidade e aceleração Determine as intensidades da velocidade e aceleração da no instante = 1,5 do pino B como uma função de bola quando = 1,5 S. -12.161. Um avião está voando em uma linha reta com 12.167. A fenda do braço OA gira no sentido anti-horário velocidade de 200 km/h e aceleração de 3 Se a hélice em torno de de tal maneira que quando = o braço tem um diâmetro de m e está girando a uma taxa angular OA está girando com uma velocidade angular de uma de 120 rad/s, determine as intensidades de velocidade e aceleração angular de Determine as intensidades da ve- aceleração de uma partícula localizada na extremidade da locidade e aceleração do pino B neste instante. movimento hélice. do pino B é restrito de tal maneira que ele se move sobre a superfície circular fixa e ao longo da fenda em OA. 12.162. Uma partícula move-se ao longo de uma trajetória rad/s circular tendo um raio de 4 m, tal que sua posição como 12.34 uma função do tempo é dada por 0 = (cos 2f) rad, onde é 12.37 dado em segundos. Determine a intensidade da aceleração 12.35. A cavilha P é impulsionada pelo anel do garfo OA da quando = 2 cos ao longo da trajetória curva descrita por = (26) m. No 12.38. No instante que = 45°, o atleta está correndo com instante = rad, a velocidade angular e a aceleração uma velocidade escalar constante de 2 m/s. Determine a 12.163. Uma partícula move-se ao longo de um limaçon (ou angular do anel garfo são 3 rad/s Determine velocidade angular na qual a câmera deve girar a fim de caracol de Pascal) definido pela equação = b a cos a intensidade da aceleração da cavilha nesse instante. seguir o movimento. onde a e b são constantes. Determine as componentes radiais e transversais da velocidade e aceleração da partícula como uma função de e suas derivadas temporais. a Uma move-se ao longo de uma espiral de lituus definida pela equação = onde a é uma constante. Determine as componentes radiais e transversais da velocidade e aceleração da como uma função de suas derivadas temporais, Problemas 12.166/167 Um carro move-se ao longo de uma curva circular *12.168. move-se ao longo da curva circular tendo de raio r = 90 m. No instante mostrado, a sua taxa angular de um raio = 120 m. No instante mostrado, sua taxa angular 30 rotação é = 0,4 a qual está aumentando a uma taxa de rotação é rad/s, que está diminuindo na razão de = 0,2 Determine as intensidades da velocidade e de Determine as componentes radiais e 12.35 aceleração do carro nesse instante. transversais da velocidade e aceleração do carro neste instante e esboce estas componentes na curva. 12.36. A cavilha P é impulsionada pelo anel do garfo ao longo da trajetória descrita por = Quando o anel tem uma velocidade angular e aceleração angular de Problemo 12.38</p><p>60 Capítulo 12 Cinemático de uma 61 Um carro move-se ao longo da curva circular de Determine as intensidades da velocidade e aceleração do 12.178. Quando = 15°, o carro tem uma velocidade escalar = 120 com uma velocidade escalar constante pino P nesse instante. de 50 m/s a qual está aumentando a 6 Determine a de y = 9 m/s. Determine a taxa angular de rotação da (4 2 velocidade angular da câmera acompanhando o carro nesse linha radial r e a intensidade da aceleração do carro. r=120m Problema 12.181 12.182. A caixa desce deslizando pela rampa helicoidal com Problemas 12.168/169 uma velocidade escalar constante de = 2 m/s. Determine a intensidade da sua aceleração. A rampa desce uma distância 12.170. Partindo do repouso, o garoto corre para fora na vertical de I para cada volta completa. raio médio da direção radial a partir do centro da plataforma com uma Problemas 12.172/173 rampa é = 0,5 m. aceleração constante de 0,5 Se a plataforma está girando com uma velocidade constante 0 = 12.174. avião no parque de diversões move-se ao longo 12.183. A caixa desce deslizando pela rampa helicoidal que determine as componentes radiaise transversais da velocidade de uma trajetória definida pelas equações = 4 m, = é definida por = 0,5 m. 0 = rad e = m, rad cos m. onde dado em segundos. Determine Problemas 12.177/178 onde é dado em segundos. Determine as intensidades da e aceleração do garoto quando = 3 S. Despreze seu tamanho. as componentes cilíndricas da velocidade e aceleração do velocidade e aceleração da caixa no instante = rad. 12.179. Se a came gira no sentido horário com uma veloci- avião quando = S. dade angular constante de = 5 rad/s, determine as inten- à 0,2 rad/s sidades da velocidade e aceleração da barra seguidora AB no instante = 30°. A superfície da came tem um formato da limaçon (caracol de Pascal) definida por = (200 + 100 cos mm. r=4m No instante 0 = 30°, a came gira com uma Problema 12.170 velocidade angular no sentido horário de 0 = 5 rad/s e aceleração angular de = Determine as intensidades 12.171. A pequena arruela desliza para baixo na corda da velocidade e aceleração da barra seguidora AB neste Problemas 12.182/183 Problema 12.174 Quando ela está no meio do caminho, sua velocidade escalar instante. A superfície da came tem o formato de uma limaçon é 200 mm/s e sua aceleração é 10 Expresse a 12.175. O movimento do pino P é restringido pela fenda (caracol de Pascal) definida por F = (200 + 100 cos mm. *12.184. A barra OA gira no sentido anti-horário com uma velocidade e a aceleração da arruela nesse ponto em termos velocidade angular constante de = 6 rad/s. Através de curva da lemniscata em OB e pela fenda do braço OA. Se das suas componentes cilíndricas. meios mecânicos, o anel B move-se ao longo da barra com OA gira no sentido anti-horário com uma velocidade angular uma velocidade escalar de = m/s, onde / é dado em de A= 3 rad/s, determine a intensidade da velocidade e segundos. Se = 0 quando = 0. determine as intensidades aceleração do pino P em = 30°. da velocidade e aceleração do anel quando = 0,75 *12.176. movimento do pino P é restringido pela fenda -12.185. A barra OA está girando no sentido anti-horário curva da lemniscata em OB e pela fenda do braço OA. Se com uma velocidade angular de = rad/s. Através de OA gira no sentido anti-horário com uma velocidade angular 700 mm meios mecânicos, o anel B move-se ao longo da barra com de 0= rad/s, onde / é dado em segundos, determine uma velocidade escalar de = m/s. Se = 0 as intensidades da velocidade e aceleração do pino P em Problemas 12.179/180 quando = 0. determine as intensidades da velocidade e = Quando = aceleração do anel em 300 mm automóvel desce da garagem de um edifício por uma rampa em espiral a uma velocidade escalar constante de = m/s. Se a rampa possui uma distância de 12 m 12.171 para cada volta descendente completa, = rad, determine a intensidade da aceleração do carro conforme ele se desloca Se o braço OA gira no sentido anti-horário com uma velocidade angular constante de = 2 determine ao longo da rampa, = 10 m. Dica: Para parte da solução, observe que a tangente à rampa em qualquer ponto está em as intensidades da velocidade e aceleração do pino P em um ângulo de = = 10,81° com a 0 = 30°. pino move-se na fenda fixa definida pela Problemas 12.175/176 horizontal. Use isto para determinar as componentes da lemniscata, e ao longo da fenda no braço. velocidade e as quais, por sua vez, são usadas para pino move-se na fenda curva definida pela O motorista do carro mantém uma velocidade determinar e Problemas 12.184/185 lemniscata e pela fenda no braço. Em = 30°, a velocidade escalar constante de 40 m/s. Determine a velocidade angular angular = 2 e a aceleração angular = da câmera acompanhando o carro quando =</p><p>62 Capítulo 12 de uma 63 12.186. A fenda do braço AB impulsiona o pino C pela fenda 12.191. Solucione o Problema 12.190 se a tiver 12.9 espiral descrita pela equação = Se a velocidade angular uma aceleração angular de = 5 rad/s2 quando 4 rad/s Análise de movimento absoluto dependente de duas é constante em 0. determine as componentes radiais e a = rad. transversais da velocidade e aceleração do pino. y Em alguns tipos de problemas, o movimento de uma dependerá do 12.187. A fenda do braço AB impulsiona o pino C pela fenda espiral descrita pela equação = (1,5 m. onde é dado movimento correspondente de outra Esta dependência comumente ocorre Referência Referência em radianos. Se o braço sai do repouso quando A = e é se as aqui representadas por blocos, estão interligadas por cordas inexten- D impulsionado a uma velocidade angular de = (4f) síveis que passam em torno de polias. Por exemplo, o movimento do bloco A para onde é dado em segundos, determine as componentes baixo ao longo do plano inclinado na Figura vai causar um movimento cor- radiais e transversais da velocidade e aceleração do pino C respondente do bloco B para cima no outro plano inclinado. Podemos mostrar isso quando = matematicamente, primeiro, especificando a posição dos blocos utilizando coorde- nadas de posição SA e Note que cada um dos eixos coordenados (1) é medido a 12.190/191 Figura 12.36 partir de um ponto fixo (O) ou linha de referência fixa, (2) é medido ao longo de Um barco move-se ao longo de uma trajetória cada plano inclinado na direção do movimento de cada bloco, e (3) tem um sentido definida por = cos 26] onde 0 é dado em positivo de C para A e D para B. Se o comprimento total da corda é as duas coor- radianos. Se = rad, onde é dado em segundos, denadas de posição estão relacionadas pela equação determine as componentes radiaise transversais da velocidade e aceleração do barco no instante = I Aqui, é o comprimento da corda passando sobre o arco CD. Calculando a derivada temporal desta expressão, percebendo que e permanecem constantes, enquanto e medem os segmentos da corda que variam em comprimento, temos Referência sinal negativo indica que quando o bloco A tem uma velocidade para baixo, Problemas 12.186/187 ou seja, na direção de positivo, isso causa uma velocidade correspondente para cima do bloco B; isto é, B move-se na direção SB negativa. *12.188. A superfície parcial da came é uma espiral De maneira similar, a derivada em relação ao tempo da equação das velocidades logarítmica = mm, onde A é dado em radianos. produz a relação entre as acelerações Se a came gira a uma velocidade angular constante de Problemo 12.192 = 4 rad/s. determine as intensidades da velocidade e aceleração do ponto na came que contata a barra seguidora Um carro move-se ao longo de uma estrada, a qual, Um exemplo mais complicado é mostrado na Figura 12.37a. Nesse caso, a posi- no instante que = por uma curta distância, é definida por (60/0) m, onde ção do bloco A é especificada por e a posição da extremidade da corda a partir dado em radianos. Se ele mantém uma velocidade escalar Resolva o Problema 12.188 se a came tiver uma da qual o bloco B está suspenso é definida por Como anteriormente, escolhemos aceleração angular de = 2 quando sua velocidade constante de = m/s. determine as componentes radial coordenadas de posição que (1) têm suas origens em pontos fixos ou de referência, angular é = 4 rad/s em = e transversal da sua velocidade quando = rad. Referência (2) são medidas na direção do movimento de cada bloco, e (3) sendo SA positivo para 12.194. Por um curto período de tempo, um avião a jato direita e positivo para baixo. Durante o movimento, o comprimento dos segmentos (a) move-se ao longo de uma trajetória no formato de uma cinza da corda na Figura 12.37a permanecem constantes. Se representa o compri- lemniscata, = (2500 cos No instante que = mento total da corda menos esses segmentos, então as coordenadas de posição podem o equipamento rastreador de radar está girando a A = ser relacionadas pela equação: rad/s com = Determine as componentes radiais e transversais da velocidade e aceleração do avião nesse instante. Visto que e h são constantes durante o movimento, as duas derivadas temporais ⑇ 2500 cos resultam em: Por conseguinte, quando A move-se para a esquerda rad/s com duas vezes o deslocamento. Problemas 12.188/189 Esse exemplo também pode ser trabalhado definindo-se a posição do bloco B a partir do centro da polia de baixo ponto fixo), Figura 12.37b. Nesse caso, 12.190. Uma partícula move-se ao longo de uma espiral de Referência Arquimedes = onde 0 é dado em radianos. Se = 4 rad/s (constante), determine as componentes radiais e A diferenciação temporal Referência transversais da velocidade e aceleração da no (b) instante que = rad. Trace a curva e mostre as Aqui, os sinais são os mesmos. componentes na curva. Problemas 12.194 Figura 12.37</p><p>64 Capítulo 12 Cinemática de uma 65 Derivado temporal Procedimento para Calculando-se a derivada temporal resulta: o método apresentado de relacionar o movimento dependente de uma partícula com aquele de outra pode ser executado utilizando-se escalares algébricos ou coor- de maneira que quando VR = -2 m/s (para denadas de posição contanto que cada se mova ao longo de uma trajetória Quando este for o caso, apenas as intensidades da velocidade e aceleração das enquanto a sua direção permanece inalterada. Equação dos de posição Exemplo 12.22 Estabeleça cada coordenada de posição com uma origem posicionada em um ponto ou referência Determine a velocidade escalar de A na Figura se B tem uma velocidade es- calar para cima de 2 m/s. Não é necessário que a origem seja a mesma para cada uma das coordenadas; Referência entretanto, é importante que cada eixo coordenado escolhido esteja direcio- SOLUÇÃO nado ao longo da trajetória do movimento da Equação das coordenadas de posição Utilizando geometria ou trigonometria, relacione as coordenadas de posição Como as posições dos blocos A e B são definidas utilizando-se as coorde- ao comprimento total da corda, ou aquela porção da corda, que exclui os nadas e Visto que os sistemas têm duas cordas com segmentos que variam de segmentos que não variam de comprimento à medida em que a se comprimento, será necessário utilizar uma terceira coordenada, a fim de relacio- move - tal como segmentos de passando em volta de polias. nar SA com Em outras palavras, o comprimento de uma das cordas pode ser Se um problema envolve um sistema de duas ou mais cordas passando em expresso em termos de SA e e o comprimento da outra corda pode ser expresso volta de polias, então a posição de um ponto sobre uma corda deve ser rela- em termos de cionada à posição de um ponto sobre a outra corda utilizando o procedimento Os segmentos das cordas cinza na Figura não têm de ser considerados na que acabamos de descrever. Equações separadas estão escritas para um com- Por Para os comprimentos de cordas restantes, digamos e temos: primento fixo de cada corda do sistema e as posições das duas 2 m/s então, relacionadas por estas equações (ver exemplos e 12.23). Derivado temporal Derivadas temporais Calculando a derivada temporal destas equações resulta: Figura Duas derivadas temporais sucessivas das equações de coordenadas de posições resultam nas equações de velocidade e aceleração necessárias as quais rela- cionam os movimentos das Eliminando-se produz-se a relação os movimentos de cada Os sinais dos termos nessas equações serão consistentes com aqueles que VA = especificam o sentido positivo e negativo das coordenadas de posição. de maneira que quando m/s (para Exemplo Determine a velocidade escalar do bloco A na Figura 12.38 se o bloco B tiver uma Exemplo velocidade escalar para cima de 2 m/s. D Referência Determine a velocidade escalar do bloco B na Figura 12.40 se a extremidade da corda SOLUÇÃO em A é puxada para baixo com uma velocidade escalar de 2 m/s. Equação dos de posição SOLUÇÃO Nesse sistema, uma corda contendo segmentos que variam de comprimento. As Equação coordenadas de posição coordenadas de posição SA e serão usadas, visto que cada uma é medida a partir A posição do ponto A é definida por e a posição do bloco B é especificada por Referência de um ponto fixo (C ou D) e se estende ao longo das trajetórias de movimento de m/s visto que o ponto E na polia terá o mesmo movimento do bloco. Ambas as coor- cada bloco. Em particular, está direcionado para o ponto E já que o movimento denadas são medidas a partir de uma referência horizontal passando pelo pino fixo de e E é o na polia D. Visto que o sistema consiste em duas cordas, as coordenadas SA e Os segmentos da corda em cinza na Figura 12.38 permanecem com o comprimento não podem ser relacionadas Em vez estabelecendo-se uma ter- constante e não têm de ser considerados quando os blocos se movem. compri- ceira coordenada de podemos agora expressar o comprimento de uma mento restante da também é constante e está relacionado com as variações Figura 12.38 das cordas em termos de e e o comprimento da outra corda em termos de das coordenadas de posição e pela equação. 2 Excluindo os segmentos das cordas cinza na Figura os comprimentos de corda constantes que restam e (com as dimensões do gancho e do elo) podem ser expressos como: Figura 12.40</p><p>66 12 de uma 67 Derivada temporal Calculando-se a derivada temporal, utilizando a regra da cadeia (ver Apêndice C), Derivada temporal A derivada temporal de cada equação dá: (2) Eliminando Em y = 10 determinado a partir da Equação 1. ou seja, = 20 m. Por conse- guinte, a de maneira que = 2 m/s A aceleração é determinada calculando-se a derivada temporal da Equação 2. Visto que é constante, então = temos: Exemplo 12.24 Um homem em A está içando um cofre S. como mostrado na Figura ao cami- Em nhar para a direita com uma velocidade constante = 0,5 m/s. Determine a velocidade e aceleração do cofre quando ele alcança a altura de 10 m. A corda tem 30 m de comprimento e passa sobre uma pequena polia em D. NOTA: A velocidade constante em A faz que a outra extremidade C da corda tenha uma aceleração, visto que faz que o segmento DA varie sua direção assim como D o seu comprimento. 12.10 Movimento relativo de duas usando eixos de translação Ao longo deste capítulo, o movimento absoluto de uma tem sido deter- 0.5 m/s minado usando-se um sistema de referência fixo único. Existem muitos entretanto, nos quais a trajetória do movimento para uma é complicada, de maneira que pode ser mais fácil analisar o movimento em partes, utilizando dois ou Figura 12.41 mais sistemas de Por exemplo, o movimento de uma partícula localizada na extremidade da hélice de um avião, enquanto o avião está em voo, é mais facil- SOLUÇÃO mente descrito se observarmos primeiro o movimento de um avião a partir de uma referência fixa e em seguida superpusermos (vetorialmente) o movimento circular da Equação das de posição partícula medida a partir de uma referência fixada no Este problema é diferente dos exemplos anteriores, pois o segmento de corda DA Nesta seção, sistemas de referência de translação serão considerados para as varia tanto a direção quanto a Entretanto, as extremidades da corda, A análise de movimento relativo das partículas utilizando sistemas de refe- que definem as posições S e são especificadas por meio das coordenadas e rência rotativos será tratada nas seções 16.8 e 20.4. visto que uma análise dessa visto que elas têm de ser medidas a partir de um ponto fixo e direcionadas ao longo natureza depende de um conhecimento prévio da cinemática de segmentos em linha. das trajetórias de movimento das extremidades da corda. As coordenadas x e y podem ser relacionadas, já que a corda tem um compri- Posição mento fixo = 30 m, o qual em todos os momentos é igual ao comprimento do segmento DA mais CD. Utilizando o teorema de Pitágoras para determinar temos Considere as partículas A e B. as quais se movem ao longo de trajetórias arbitrárias mostradas na Figura 12.42. A posição absoluta de cada e é medida a partir da origem comum o do sistema de referência y, A origem de um segundo sistema de referência está fixada à A e move-se com ela. Os eixos desse sistema podem realizar apenas translação em relação a um sistema fixo. A posição de B medida em relação a A é denotada pelo vetor posição relativa (1) Utilizando-se a adição de vetores, os três vetores mostrados na Figura 12.42 podem ser relacionados pela equação: Figure 12.42 (12.33)</p><p>68 12 de uma particula 69 Velocidade conhecidas tanto em sua intensidade quanto em sua direção, as incógnitas tornam-se as componentes e y de eixos y na Figura 12.43a, temos: Uma equação que relaciona as velocidades das partículas é determinada calcu- lando-se as derivadas temporais da equação acima; ou seja, 90i sen 45°j) + (12.34) Aqui, e VA = referem-se às velocidades absolutas, visto que Portanto, a intensidade de elas são observadas a partir de um sistema fixo; ao passo que a velocidade relativa km/h = é observada a partir do sistema de translação. É importante observar que, tendo em vista que os eixos, transladam, as componentes de não Da direção de cada componente, Figura a direção de é: variam a direção a derivada temporal dessas componentes terá apenas de levar em consideração a variação em suas A Equação estabelece, 47,7 km/h portanto, que a velocidade de B é igual à velocidade de A mais (vetorialmente) a (b) velocidade de 'B em relação a como medido pelo observador de translação fixo Observe que a soma de vetores mostrada na Figura indica o sentido correto no sistema de referência para Essa figura antecipa a resposta e pode ser usada para Aceleração SOLUÇÃO A derivada temporal da Equação 12.34 produz uma relação vetorial similar entre escalar as acelerações absoluta e relativa das partículas A e B. As componentes incógnitas de também podem ser determinadas aplicando-se uma análise escalar. Vamos supor que essas componentes atuam nas direções e y (12.35) positivas. Assim, Aqui, é a aceleração de B vista pelo observador localizado em A e (c) realizando uma translação com o sistema de referência Figura 12.43 Procedimento para Decompondo cada vetor em suas componentes resulta: 90 = 67,5 Quando aplicando as equações de velocidade e aceleração relativa, é primeiro (+1) necessário especificar a A que é a origem dos de translação Normalmente, esse ponto tem uma velocidade ou aceleração conhecida. Resolvendo, obtemos os resultados anteriores, Visto que a soma de vetores forma um triângulo, pode haver no máximo duas = 42,3 incógnitas representadas pelas intensidades e/ou direções das quantidades 47,7km/h 47,7 km/h vetoriais. Estas incógnitas podem ser determinadas graficamente, utilizando-se trigono- metria (lei dos senos, lei dos ou decompondo cada um dos três vetores em componentes retangulares ou cartesianos, gerando dessa maneira Exemplo 12.26 um conjunto de equações escalares. avião A na Figura 12.44a está voando ao longo de uma trajetória em linha reta, 700 km/h enquanto o avião B está voando ao longo de uma trajetória circular tendo um raio de curvatura de PB = 400 km. Determine a velocidade e a aceleração de B medidas 100 Exemplo 12.25 pelo piloto de A. Um trem viajando a uma velocidade escalar constante de 90 cruza sobre uma SOLUÇÃO estrada, como mostrado na Figura 12.43a. Se o automóvel A está se deslocando a Velocidade 67,5 km/h ao longo da estrada, determine a intensidade e a direção da velocidade (a) As origens dos eixos e y estão localizadas em um ponto fixo arbitrário. Visto que vetorial do trem em relação ao automóvel. o movimento relativo ao avião A ainda precisa ser determinado, o sistema de refe- SOLUÇÃO I rência de translação y' está ligado a ele, Figura 12.44a. Aplicando a equação de velocidade relativa na forma escalar, visto que os vetores de velocidade de ambos os km/h (a) Análise vetorial aviões são paralelos no instante mostrado, temos: A velocidade relativa é medida a partir dos eixos de translação y' ligados ao (+1) Figura 12.43 Figura 12.43a. Ela é determinada de Visto que e VA são 600 km/h = km/h (b) Uma maneira fácil de lembrar a configuração dessas é observar o do subscrito A entre os dois termos, por exemplo, ag = A soma de vetores é mostrada na Figura Figura 12.44</p><p>70 12 Cinemática de uma 71 Aceleração + o avião B tem ambas as componentes tangencial e normal - da visto sen 60°j) + que ele está voando ao longo de uma trajetória curva. Da Equação 12.20, a intensi- m/s dade da componente normal é: Assim, = 3,588 m/s Aplicando-se a equação de aceleração resulta: Observando que tem componentes +i e +j. Figura sua direção é: 3,588 9 9 m/s Assim, Aceleração carro B tem ambas as componentes - tangencial e normal da aceleração. Por quê? (b) Portanto, da Figura 12.44c, intensidade e direção de são: A intensidade da componente normal = 150 km/h2 NOTA: A solução para este problema foi possível utilizando-se um sistema de referência de visto que o piloto no avião A está Observação do movi- Aplicando a equação para a aceleração resulta: (c) mento do avião A em relação ao piloto do avião B, entretanto, deve ser obtida Figura 12.44 utilizando-se um sistema de eixos rotativos preso ao avião B (Isso é claro. que o piloto do avião B está fixo no sistema rotativo, de maneira que não vira seus olhos m/s2 para acompanhar o movimento de A.) A análise para este caso é dada no Exemplo 16.21. Aqui, tem (c) Figura 12.45 Exemplo 12.27 No instante mostrado na Figura os carros A e B estão viajando com veloci- dades escalares de 18 m/s e 12 m/s, respectivamente. Também nesse instante, A tem uma redução na velocidade escalar na razão de 2 e B tem um aumento na ve- NOTA: Podemos obter a aceleração relativa de utilizando esse método? Refira-se locidade escalar na razão de 3 Determine a velocidade vetorial e aceleração de ao comentário feito no fim do Exemplo 12.26. B em relação a A. m/s Problemas fundamentais 12.39. Determine a velocidade escalar do bloco D se a 12.40. Determine a velocidade escalar do bloco A se a extremidade A da corda é puxada para baixo com uma extremidade B da corda é puxada para baixo com a velocidade p=100m velocidade escalar de = 3 m/s. escalar de 6 B y m/s (a) A 12.45 SOLUÇÃO A Velocidade D Os fixos y estão estabelecidos em um ponto arbitrário no solo e os eixos de translação estão presos ao carro A. Figura 12.45a. Por quê? A velocidade rela- Problemo 12.39 12.40 tiva é determinada a partir de Quais são as incognitas? Utilizando uma análise vetorial cartesiana, temos:</p><p>72 12 Cinemática de uma 73 12.41. Determine a velocidade escalar do bloco A se a 12.44. Determine a velocidade escalar do cilindro B se o Os barcos A e B viajam com uma velocidade escalar 12.48. No instante carros A e B estão se extremidade B da corda é puxada para baixo com uma cilindro A se desloca para baixo com uma velocidade escalar constante de = 15 m/s e = 10 m/s quando deixam deslocando com as velocidades escalares Se B velocidade escalar de m/s. de 4 o em ao mesmo tempo. Determine a distância entre está acelerando a 1200 enquanto A mantém uma eles quando = 4 S. velocidade escalar constante, determine a velocidade e a aceleração de A em relação a B. 100 m 15 m/s 20 km/h A m/s A 65 km/h 12.42. Determine a velocidade escalar do bloco A se a Problema extremidade F da corda é puxada para baixo com uma 12.45. carro A está viajando com uma velocidade esca- Problemo 12.47 12.48 velocidade escalar de = 3 m/s. lar constante de 80 km/h na direção norte, enquanto o carro E B está viajando com uma velocidade escalar constante de Problemas 100 km/h na direção leste. Determine a velocidade do carro B em relação ao carro A. 12.195. o carrinho de mineração C está sendo puxado para Se o cilindro hidráulico H puxa a barra BC a m/s. cima utilizando o motor M e o arranjo de corda e polias determine a velocidade escalar da placa deslizante A. Determine a velocidade escalar na qual un ponto P sobre o cabo tem de estar se movendo na direção do motor para fazer o carrinho subir o plano inclinado com H uma velocidade escalar constante de y = 2 m/s. 2km Problemo 12.197 12.198. Se a extremidade A da corda se move para baixo com uma velocidade escalar de 5 m/s. determine a velocidade 80 escalar do cilindro B. Problemo 12.42 12.43. Determine a velocidade escalar do carro A se o ponto 12.45 P no cabo tem velocidade escalar de 4 m/s quando o motor M enrola o cabo para dentro. 12.46. Dois aviões A e B estão se movendo com as velocidades constantes Determine a intensidade e a direção da velocidade do avião B em relação ao avião A. M 12.195 Determine deslocamento do tronco se o caminhão em puxa o cabo 1,2 m para a m/s Problemo Problemo Problema 12.196 Problema 12.198</p><p>74 Dinômico Capítulo 12 Cinemática de uma 75 Determine a velocidade escalar do elevador se cada cabo em B é puxado para baixo a 2 m/s e a motor recolhe o cabo com uma velocidade constante de velocidade escalar está desacelerando a razão de I 5 Determine a velocidade e a aceleração do bloco A neste B C D 12.202 12.208 12.203. Determine a velocidade escalar de B se A está se 2 m/s Se os motores em A e recolhem seus cabos movendo para baixo com uma velocidade escalar de = 4 m/s no instante conectados com uma aceleração a = onde é dado em determine a velocidade escalar do bloco quando ele alcança uma altura de h = 4 m. partindo do repouso em h = Além determine quanto tempo ele leva para alcançar esta altura. Problema 12.199 Determine a velocidade escalar cilindro A se a 12.205 corda é puxada na direção do motor M com uma taxa constante de 10 m/s. Se o bloco A está se deslocando para baixo com H uma velocidade escalar de 2 m/s enquanto C está se deslo- Se a corda é puxada na direção do motor M com cando para cima a m/s. determine a velocidade escalar do uma velocidade escalar de = m/s. onde / é dado em bloco B. segundos, determine a velocidade escalar do cilindro A Se o bloco A está se deslocando para baixo a m/s quando enquanto o bloco C está se deslocando para baixo a 6 m/s. determine a velocidade escalar do bloco B. A m/s Problemo 12.203 o guindaste é usado para icar a carga. Se os motores em A e B estão recolhendo o cabo com uma velocidade escalar de m/s e 2 m/s. respectivamente, determine a velocidade escalar da carga. Problemo 12.209 m/s motor em C puxa o com uma aceleração de = onde é dado em segundos. o motor em D A puxa o seu cabo a = 5 Se ambos motores partem ao mesmo tempo do repouso quando determine (a) o M tempo necessário para d = e (b) as velocidades dos blocos A e B quando A Problemos 12.200/201 Se a extremidade do cabo em A é puxado para haixo Problemos 12.206/207 com uma velocidade escalar de 2 m/s. determine a velocidade escalar na qual o bloco B sobe. Se a extremidade do cabo em A é puxada para baixo com uma velocidade escalar de 2 m/s. determine a 12.204 velocidade escalar na qual o bloco E sobe. Problemo 12.210</p><p>76 Capitulo 12 Cinemática de uma 77 12.211. movimento do anel em A é controlado por um desprezível em A. Dica: Relacione as coordenadas 12.218. navio move-se com uma velocidade escalar No instante mostrado, os carros A e B movem-se a motor em B de tal maneira que quando o anel está em SA = ao comprimento da corda e calcule a derivada temporal. Em constante = 20 m/s e o vento está soprando a uma velocidades escalares de 30 km/h e 20 km/h. respectivamente. 3 m ele está se deslocando para cima a 2 m/s e desacelerando seguida, substitua a relação trigonométrica entre e velocidade escalar = 10 m/s, como mostrado. Determine Se B está aumentando a sua velocidade escalar na razão de 1200 a razão de I Determine a velocidade e aceleração de a intensidade e direção da componente horizontal da enquanto A mantém uma velocidade escalar constante, um ponto sobre o cabo no instante quando ele é puxado na velocidade da fumaça saindo da chaminé assim como ela é determine a velocidade e aceleração de B em relação a A. direção do motor B. vista por um passageiro localizado sobre o navio. 12.222. No instante mostrado, os carros A e B a velocidades escalares de 30 km/h e 20 km/h, Se A está aumentando a sua velocidade escalar na razão de 400 km/h2 enquanto a velocidade escalar de B está reduzindo na razão de 800 determine a velocidade e aceleração de B em relação a A. Problema 12.214 y 12.215. No instante mostrado, o carro A move-se ao longo da porção reta da estrada com uma velocidade escalar de 25 m/s. Neste mesmo instante, o carro B move-se ao longo da 30° porção circular da estrada com uma velocidade escalar de B 15 m/s. Determine a velocidade do carro B em relação a carro A. 20 km/ 15° 30 km/h Problemo 12.211 Problemo 12.218 200 m *12.212. homem puxa o garoto para cima do galho da 12.219. carro está se deslocando a uma velocidade escalar árvore C ao caminhar para trás a uma velocidade escalar constante de 100 km/h. Se a chuva está caindo a 6 m/s na constante de 1,5 m/s. Determine a velocidade escalar na qual direção mostrada, determine a velocidade da chuva tendo o garoto está sendo içado no instante que = 4 m. Despreze 30 como referência o motorista. Problemas 12.221/222 o tamanho do galho. Quando = 0, = 8 de maneira que A e B são coincidentes, ou seja, a corda tem 16 m de 12.223. Dois barcos deixam a margem ao mesmo tempo e comprimento. movem-se nas direções mostradas. Se VA = 6 m/s e Vg = 4,5 Problema 12.215 homem puxa o garoto para cima do galho da m/s. determine a velocidade do barco A em relação ao barco árvore C ao caminhar para trás. Se ele parte do repouso quando *12.216. carro A move-se ao longo de uma estrada reta B. Quanto tempo depois de terem deixado a margem eles = e se desloca para trás com uma aceleração constante com uma velocidade escalar de 25 m/s acelerando a 1,5 estarão distantes um do outro 240 m? = 0,2 determine a velocidade escalar do garoto no Nesse mesmo instante, o carro Cestá se deslocando ao longo instante = 4 m. Despreze o tamanho do Quando da estrada reta com uma velocidade escalar de 30 m/s Problema 12.219 = = 8 m, de maneira que A e B são coincidentes, ou desacelerando a 3 Determine a velocidade e aceleração seja, a corda tem 16 m de comprimento. 12.220. homem consegue remar barco na água parada do carro A em relação ao carro C. com uma velocidade escalar de 5 m/s. Se o rio está fluindo a carro B está se deslocando ao longo da estrada 2 m/s, determine a velocidade escalar do barco e o ângulo curva com uma velocidade escalar de 15 m/s enquanto reduz que ele deve direcionar o barco de maneira que ele se sua velocidade escalar 2 Nesse mesmo instante, o carro desloque de A para B. C está se deslocando ao longo da estrada reta com uma 30° velocidade escalar de 30 m/s desacelerando na razão de 3 Determine a velocidade e aceleração do carro B em 45° relação ao carro C. 12.223 m -12.224. No instante mostrado, os carros A B movem-se a velocidades escalares de 70 km/h e 50 respectivamente. 30 Se B está aumentando a sua velocidade na razão de 1100 km/ enquanto A mantém uma velocidade escalar constante, Problemas 12.212/213 determine a velocidade e a aceleração de B em relação a A. 12.214. Se o caminhão se desloca a uma velocidade escalar carro B move-se ao longo de uma curva tendo um raio de constante de = 1,8 determine a velocidade escalar da 12.220 curvatura de 0,7 km. caixa para qualquer ângulo da corda. A corda tem um comprimento de 30 m e passa sobre uma polia de tamanho 12.216/217</p><p>78 Capítulo 12 Cinemática de uma 79 No instante mostrado, os carros A e B movem-se a 12.227. Um carro está se deslocando na direção norte ao 12.230. Um homem caminha a 5 km/h na direção de um 12.231. Um homem pode remar um barco a 5 m/s na água velocidades de 70 km/h e 50 Se B está longo de uma estrada reta a 50 km/h. Um instrumento no vento de 20 km/h. Se gotas de chuva caem verticalmente a parada. Ele quer atravessar um rio de 50 m de largura até o reduzindo sua velocidade escalar na razão de 1400 carro indica que o vento está direcionado para leste. Se a 7 km/h no ar parado, determine a direção na qual as gotas ponto B. 50 m correnteza abaixo. Se o rio flui com uma enquanto A está aumentando sua velocidade escalar na razão velocidade escalar do carro é 80 o instrumento parecem em relação ao homem Suponha que a velocidade velocidade de 2 m/s. determine a velocidade escalar do de 800 determine a aceleração de B em relação a A. indica que o vento está direcionado para nordeste. escalar horizontal das gotas de chuva seja igual a do vento. e o tempo necessário para fazer a travessia. carro B move-se ao longo de uma curva tendo um raio de Determine a velocidade escalar e a direção do vento. curvatura de 0,7 km. No instante o carro está se deslocando com uma velocidade de 30 m/s e tem uma aceleração de 2 m/s2 ao longo da autoestrada. No mesmo está se deslocando na curva do trevo rodoviário m/s com uma velocidade escalar de 15 m/s. a qual está reduzindo na razão de Determine a velocidade relativa e aceleração relativa de B em relação a A neste instante. 50 m 70km/h 50 km/h Problemo 12.230 12.231 Problemas conceituais Problema 12.228 Problemas 12.224/225 12.1. Se você medisse o tempo que leva para o elevador de 12.2. Considerando que o aspersor em A está a m do solo, serviço in do ponto A para em de B para C, então, faça uma escala das medidas necessárias a partir da fotografia -12.229. Dois ciclistas A e B movem-se com a mesma 12.226. Um porta-aviões está se deslocando para a frente de C para D. e você também soubesse as distâncias entre cada para determinar a velocidade aproximada do jato de água na velocidade escalar constante de Determine a velocidade com uma velocidade de 50 km/h. No instante mostrado. o um dos pontos, como você poderia determinar a velocidade medida em que ele é lançado pelo aspersor. de A em relação a B se A se desloca ao longo da pista avião em A decolou e alcançou uma velocidade escalar média e a aceleração média do elevador na medida em que enquanto B se desloca ao longo do diâmetro do horizontal para a frente no de 200 km/h, medida a partir ele sobe de A para D? Use valores numéricos para explicar da água parada, Se o avião em B está se deslocando ao longo da como isso pode ser pista do porta-aviões a 175 km/h na direção mostrada, determine a velocidade de A em relação a B. 50 km/h 12.226 Problemo 12.229 Problemo 12.1 Problemo 12.2</p><p>80 Capítulo 12 de uma 81 12.3. Uma bola de basquete foi jogada a um ângulo medido 12.4. o piloto diz para você a envergadura do avião e sua Movimento a partir da horizontal até os braços estendidos do homem velocidade constante no Como você poderia determinar a Se a cesta está a 3 m do faça as medidas apropriadas aceleração do avião no momento mostrado? Use valores movimento curvilíneo ao longo da na fotografia e determine se a bola localizada como mostrado numéricos e tome quaisquer medidas necessárias da trajetória pode ser decomposto em um vai passar pela cesta. movimento retilíneo ao longo dos eixos y, A equação da trajetória é usada la para relacionar o movimento ao longo de y cada eixo. y Movimento de um projétil O movimento em livre de um segue uma parabólica. Ele tem uma velocidade constante na direção ho- e uma aceleração para baixo constante de g = 9.81 na direção ver- Quaisquer duas das três equações y para aceleração constante se aplicam na direção vertical. e. na direção horizontal, apenas uma equação se aplica, 12.3 Problemo 12.4 REVISÃO DO CAPÍTULO Cinemática retilínea Cinemática retilínea refere-se ao movi- mento ao longo de uma linha Uma As Movimento n. coordenada de posições especifica a po- Se eixos normal e tangencial são usados sição da partícula na para a então está sempre na di- As T As é a variação nesta reção A velocidade vetorial média é uma quanti- A aceleração tem duas A dade vetorial definida como deslocamento = -As componente a, leva em consi- o ou dividido pelo intervalo de tempo. deração a variação na intensidade da A velocidade escalar média é uma velocidade: uma redução na velocidade = a e é a distância total percorrida dividida está na direção e um aumento pelo tempo decorrido. na velocidade está na direção positiva. a. dv ds a o tempo, a posição, a velocidade e a ace- dt A componente normal leva em conside- / leração estão relacionados por três equações ração a variação na direção da velocidade. Esse componente está sempre na direção Se a aceleração é conhecida como constante. então as equações diferenciais relacionando 2 velocidade e aceleração po- dem ser integradas. Soluções gráficas Se o movimento é irregular, então ele dv di pode ser descrito por um gráfico Se um di desses gráficos é então os outros podem ser estabelecidos utilizando as re- a lações diferenciais entre a.</p>