EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - PROBABILIDADE

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<p>Exercícios de Probabilidade (questões resolvidas e explicadas)</p><p>Rafael C. Asth</p><p>Professor de Matemá ca e Física</p><p>Teste seus conhecimentos sobre probabilidade com questões divididas por nível de dificuldade, que são úteis para o</p><p>ensino fundamental e médio.</p><p>Aproveite as resoluções comentadas dos exercícios para rar suas dúvidas.</p><p>Questões nível fácil</p><p>Questão 1</p><p>Ao jogar um dado, qual a probabilidade de obtermos um número ímpar voltado para cima?</p><p>Ver Resposta</p><p>Resposta correta: 0,5 ou 50% de chances.</p><p>Um dado possui seis lados, logo, a quan dade de números que podem ficar voltados para cima é 6.</p><p>Há três possibilidades de termos um número ímpar: caso ocorra o número 1, 3 ou 5. Sendo assim, o número de casos</p><p>favoráveis é igual a 3.</p><p>Calculamos então a probabilidade u lizando a seguinte fórmula:</p><p>Subs tuindo os números na fórmula acima, encontramos o resultado.</p><p>As chances de ocorrer um número ímpar são 3 em 6, que corresponde a 0,5 ou 50%.</p><p>Questão 2</p><p>Se lançarmos dois dados ao mesmo tempo, qual a probabilidade de dois números iguais ficarem voltados para cima?</p><p>Ver Resposta</p><p>Resposta correta: 0,1666 ou 16,66%.</p><p>1º passo: determinar o número de eventos possíveis.</p><p>Para cada dado há 6 possibilidades de resultado. São seis possibilidades para um dado e seis possibilidades para ou</p><p>outro.</p><p>Sendo assim, o número de eventos possíveis é:</p><p>U = 6 x 6 = 36 possibilidades</p><p>2º passo: determinar o número de eventos favoráveis.</p><p>Se os dados possuem 6 lados com números de 1 a 6, os resultados com números iguais são:</p><p>Existem seis resultáveis favoráveis.</p><p>3º passo: aplicar os valores na fórmula de probabilidade.</p><p>Para termos o resultado em porcentagem basta apenas mul plicar o resultado por 100. Logo, a probabilidade de se</p><p>obter dois números iguais voltados para cima é de 16,66%.</p><p>Questão 3</p><p>Um saco contém 8 bolas de mesmo tamanho, mas com cores diferentes: três azuis, quatro vermelhas e uma amarela.</p><p>Re ra-se ao acaso uma bola. Qual a probabilidade da bola re rada ser azul?</p><p>Ver Resposta</p><p>Resposta correta: 0,375 ou 37,5%.</p><p>A probabilidade é dada pela razão entre o número de possibilidades e de eventos favoráveis.</p><p>Se existem 8 bolas idên cas, esse é o número de possibilidades que vamos ter. Mas apenas 3 delas são azuis e, por</p><p>isso, a chance de re rar uma bola azul é dada por.</p><p>Mul plicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de re rar uma bola azul é de 37,5%.</p><p>Questão 4</p><p>Qual a probabilidade de rar um ás ao re rar ao acaso uma carta de um baralho com 52 cartas possuindo quatro</p><p>naipes (copas, paus, ouros e espadas) sendo 1 ás em cada naipe?</p><p>Ver Resposta</p><p>Resposta correta: 7,7%</p><p>O evento de interesse é rar um ás do baralho. Se há quatro naipes e cada naipe possui um ás, logo, o número de</p><p>possibilidades de re rar um ás é igual a 4.</p><p>O número de casos possíveis corresponde ao número total de cartas, que é 52.</p><p>Subs tuindo na fórmula de probabilidade, temos:</p><p>Mul plicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de re rar uma bola azul é de 7,7%.</p><p>Questão 5</p><p>Sorteando-se um número de 1 a 20, qual a probabilidade de que esse número seja múl plo de 2?</p><p>Ver Resposta</p><p>Resposta correta: 0,5 ou 50%.</p><p>A quan dade de número total que podem ser sorteados é 20.</p><p>A quan dade de números múl plos de dois são:</p><p>A =</p><p>Subs tuindo os valores na fórmula de probabilidade, temos:</p><p>Mul plicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de sortear um número múl plo de 2 é de 50%.</p><p>Para mais questões, veja também: Exercícios de Probabilidade (fáceis)</p><p>Questões nível médio</p><p>Questão 6</p><p>Se uma moeda é lançada 5 vezes, qual a probabilidade de sair "cara" 3 vezes?</p><p>Ver Resposta</p><p>Resposta correta: 0,3125 ou 31,25%.</p><p>1º passo: determinar o número de possibilidades.</p><p>Há duas possibilidades ao lançar uma moeda: cara ou coroa. Se há duas possibilidades de resultado e a moeda é</p><p>lançada 5 vezes, o espaço amostral é:</p><p>2º passo: determinar o número de possibilidades de ocorrer o evento de interesse.</p><p>O evento coroa será chamado de O e o evento cara de C para facilitar a compreensão.</p><p>O evento de interesse é apenas cara (C) e em 5 lançamentos, as possibilidades de combinações para o evento ocorrer</p><p>são:</p><p>1. CCCOO</p><p>2. OOCCC</p><p>3. CCOOC</p><p>4. COOCC</p><p>5. CCOCO</p><p>6. COCOC</p><p>7. OCCOC</p><p>8. OCOCC</p><p>9. OCCCO</p><p>10. COCCO</p><p>Sendo assim, existem 10 possibilidades de resultados com 3 caras.</p><p>3º passo: determinar a probabilidade de ocorrência.</p><p>Subs tuindo os valores na fórmula, temos que:</p><p>Mul plicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de "sair" cara 3 vezes é de 31,25%.</p><p>Questão 7</p><p>Em uma experiência aleatória foi lançado duas vezes um dado. Considerando que o dado é equilibrado, qual a</p><p>probabilidade de:</p><p>a) A probabilidade de conseguir no primeiro lançamento o número 5 e no segundo o número 4.</p><p>b) A probabilidade de obter em pelo menos um dos lançamentos o número 5.</p><p>c) A probabilidade de obter a soma dos lançamentos igual a 5.</p><p>d) A probabilidade de obter a soma dos lançamentos igual ou menor que 3.</p><p>Ver Resposta</p><p>Respostas corretas: a) 1/36, b) 11/36, c) 1/9 e d) 1/12.</p><p>Para resolver o exercício devemos considerar que a probabilidade da ocorrência de um determinado evento, é dada</p><p>por:</p><p>Na tabela 1 indicamos os pares resultantes dos lançamentos consecu vos do dado. Note que temos 36 casos</p><p>possíveis.</p><p>Tabela 1:</p><p>1.º lançamento-></p><p>2.º lançamento</p><p>1 2 3 4 5 6</p><p>1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)</p><p>2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)</p><p>3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)</p><p>4 (4,1) (4,2) (4,4) (4,4) (4,5) (4,6)</p><p>5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)</p><p>6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)</p><p>a) Na tabela 1 observamos que existe apenas 1 resultado que cumpre a condição indicada (5,4). Assim, temos que em</p><p>um total de 36 casos possíveis, apenas 1 é um caso favorável.</p><p>b) Os pares que atendem a condição de pelo menos um número 5 são:</p><p>(1,5);(2,5);(3,5);(4,5);(5,1);(5,2);(5,3);(5,4);(5,5);(5,6);(6,5). Assim, temos 11 casos favoráveis.</p><p>c) Na tabela 2 representamos a soma dos valores encontrados.</p><p>Tabela 2:</p><p>1.º lançamento-></p><p>2.º lançamento</p><p>1 2 3 4 5 6</p><p>1 2 3 4 5 6 7</p><p>2 3 4 5 6 7 8</p><p>3 4 5 6 7 8 9</p><p>4 5 6 7 8 9 10</p><p>5 6 7 8 9 10 11</p><p>6 7 8 9 10 11 12</p><p>Observando os valores da soma na tabela 2 vemos que temos 4 casos favoráveis da soma ser igual a 5. Assim a</p><p>probabilidade será dada por:</p><p>d) Usando ainda a tabela 2 observamos que temos 3 casos em que a soma é igual ou menor que 3. A probabilidade</p><p>neste caso será dada por:</p><p>Leia mais</p><p>Questão 8</p><p>Qual a probabilidade de lançar um dado sete vezes e sair 3 vezes o número 5?</p><p>Ver Resposta</p><p>Resposta correta: 7,8%.</p><p>Para encontrar o resultado podemos usar o método binomial, visto que cada lançamento do dado é um evento</p><p>independente.</p><p>No método binomial, a probabilidade de um evento acontecer em k das n vezes é dado por:</p><p>onde:</p><p>n: número de vezes que ocorrerá a experiência</p><p>k: número de vezes de acontecer um evento</p><p>p: probabilidade do evento acontecer</p><p>q: probabilidade do evento não acontecer</p><p>Vamos agora subs tuir os valores para a situação indicada.</p><p>Para ocorrer 3 vezes o número 5 temos:</p><p>n = 7</p><p>k = 3</p><p>(em cada jogada temos 1 caso favorável entre 6 possíveis)</p><p>Subs tuindo os dados na fórmula:</p><p>Logo, a probabilidade de jogar o dado 7 vezes e sair 3 vezes o número 5 é de 7,8%.</p><p>Questão 9</p><p>Um casal planeja ter cinco filhos e deseja saber a probabilidade de serem 3 meninos e 2 meninas. Calcule esta</p><p>probabilidade.</p><p>Ver Resposta</p><p>Resposta: 31,25%</p><p>A probabilidade do evento A nascer menina é: P(A) = 1/2</p><p>A probabilidade do evento B nascer menino é: P(B) = 1/2</p><p>A ocorrência destes eventos é independente e uma das possibilidades seria:</p><p>A . A . B . B . B</p><p>Desta forma, em probabilidades</p><p>Ainda, é preciso verificar que os eventos podem ocorrer em diversas ordens. Para resolver calculamos uma</p><p>permutação de 5 elementos, com 2 repe ções de A e 3 repe ções de B.</p><p>Repare que este é o mesmo resultado de realizarmos uma combinação:</p><p>A probabilidade final será calculada como:</p><p>Questão 10</p><p>Uma pesquisa realizada com 800 pessoas sobre a preferência pelos telejornais de uma cidade, evidenciou que 200</p><p>entrevistados assistem o apenas o telejornal A, 250 apenas o telejornal B e 50 assistem A e B. Das pessoas</p><p>entrevistadas, qual a probabilidade de sortear ao acaso uma pessoa que assiste o telejornal A ou o telejornal B?</p><p>Ver Resposta</p><p>Resposta: 62,5%</p><p>Seja o evento A, sortear uma pessoa que assiste o telejornal A,</p><p>O evento B, sortear uma pessoa que assiste B,</p><p>A interseção são as pessoas que assistem os dois telejornais, 50 pessoas.</p><p>Desta forma, temos que</p><p>A probabilidade de sortear alguém que assista A ou O é de 62,5%.</p><p>Questão 11</p><p>(Enem/2012) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a par ciparem de uma brincadeira.</p><p>Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos</p><p>objetos em um dos cômodos da casa.</p><p>O obje vo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o</p><p>objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram par cipar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta.</p><p>As respostas devem ser sempre dis ntas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez.</p><p>Se a resposta do aluno es ver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.</p><p>O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há:</p><p>a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas dis ntas</p><p>b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas dis ntas</p><p>c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas dis ntas</p><p>d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas dis ntas</p><p>e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas dis ntas</p><p>Ver Resposta</p><p>Alterna va correta: a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas dis ntas.</p><p>1º passo: determinar o número total de possibilidades u lizando o princípio mul plica vo.</p><p>2º passo: interpretar o resultado.</p><p>Se cada aluno deve ter uma resposta e foram selecionados 280 alunos, entende-se que o diretor sabe que algum</p><p>aluno acertará a resposta porque há 10 alunos a mais do que a quan dade de respostas possíveis.</p><p>Questão 12</p><p>(Enem/2012) Em um jogo há duas urnas com dez bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a seguir indica as</p><p>quan dades de bolas de cada cor em cada urna.</p><p>Cor Urna 1 Urna 2</p><p>Amarela 4 0</p><p>Azul 3 1</p><p>Branca 2 2</p><p>Verde 1 3</p><p>Vermelha 0 4</p><p>Uma jogada consiste em:</p><p> 1.º: o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será re rada por ele da urna 2</p><p> 2.º: ele re ra, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão</p><p> 3.º: em seguida ele re ra, também aleatoriamente, uma bola da urna 2</p><p> 4.º: se a cor da úl ma bola re rada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo</p><p>Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar?</p><p>a) Azul</p><p>b) Amarela</p><p>c) Branca</p><p>d) Verde</p><p>e) Vermelha</p><p>Ver Resposta</p><p>Alterna va correta: e) Vermelha.</p><p>Analisando os dados da questão, temos:</p><p> Como a urna 2 não nha nenhuma bola amarela, se ele pegar uma amarela da urna 1 e colocar na urna 2, o</p><p>máximo que terá de bolas amarelas é 1.</p><p> Como nha apenas uma bola azul na urna 2, se ele pegar mais uma bola azul, o máximo que terá de bolas</p><p>azuis na urna é 2.</p><p> Como nha duas bolas brancas na urna 2, se ele adicionar mais uma dessa cor, o máximo de bolas brancas na</p><p>urna será 3.</p><p> Como já nha 3 bolas verdes na urna 2, se ele pegar mais uma dessa cor, o máximo de bolas vermelhas na</p><p>urna será 4.</p><p> Já há quatro bolas vermelhas na urna 2 e nenhuma na urna 1. Logo, esse é o maior número de bolas dessa</p><p>cor.</p><p>Pela análise de cada uma das cores, vimos que a maior probabilidade é de pegar uma bola vermelha, já que é a cor</p><p>que está em maior quan dade.</p><p>Questão 13</p><p>(Enem/2013) Numa escola com 1.200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas</p><p>línguas estrangeiras: inglês e espanhol.</p><p>Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses</p><p>idiomas.</p><p>Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse</p><p>aluno fale espanhol?</p><p>a) 1/2</p><p>b) 5/8</p><p>c) 1/4</p><p>d) 5/6</p><p>e) 5/14</p><p>Ver Resposta</p><p>Alterna va correta: a) 1/2.</p><p>1º passo: determinar o número de alunos que falam pelo menos uma língua.</p><p>2º passo: determinar o número de alunos que falam inglês e espanhol.</p><p>3º passo: calcular a probabilidade do aluno falar espanhol e não falar inglês.</p><p>Questão 14</p><p>(Enem/2013) Considere o seguinte jogo de apostas:</p><p>Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis,</p><p>serão sorteados apenas 6.</p><p>O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma</p><p>cartela.</p><p>O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quan dade de números escolhidos.</p><p>Quan dade de números</p><p>escolhidos em uma cartela</p><p>Preço da Cartela</p><p>6 2,00</p><p>7 12,00</p><p>8 40,00</p><p>9 125,00</p><p>10 250,00</p><p>Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções:</p><p> Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos</p><p> Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos</p><p> Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos</p><p> Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos</p><p> Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos</p><p>Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são:</p><p>a) Caio e Eduardo</p><p>b) Arthur e Eduardo</p><p>c) Bruno e Caio</p><p>d) Arthur e Bruno</p><p>e) Douglas e Eduardo</p><p>Ver Resposta</p><p>Alterna va correta: a) Caio e Eduardo.</p><p>Nessa questão de análise combinatória, devemos u lizar a fórmula de combinação para interpretar os dados.</p><p>Como são sorteados apenas 6 números, então o valor de p é 6. O que vai variar para cada apostador é o número de</p><p>elementos tomados (n).</p><p>Mul plicando o número de apostas pela quan dade de combinações, temos:</p><p>Arthur: 250 x C(6,6)</p><p>Bruno: 41 x C(7,6) + 4 x C(6,6)</p><p>Caio: 12 x C(8,6) + 10 x C(6,6)</p><p>Douglas: 4 x C(9,6)</p><p>Eduardo: 2 x C(10,6)</p><p>De acordo com as possibilidades de combinações, Caio e Eduardo são os apostadores com mais chances de serem</p><p>premiados.</p>