Apostila esforços atuantes em peças estruturais

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<p>Mecânica das Estruturas</p><p>Revisão: José Antonio Oliveira do Nascimento</p><p>Projeto Gráfico: Leandro Schmidt</p><p>Nilson Magagnin Filho</p><p>CONTEÚDO</p><p>5.1. INTRODUÇÃO ............................................................................................... 03</p><p>5.2. ELEMENTOS ESTRUTURAIS ...................................................................... 03</p><p>5.2.1. Elementos Lineares ou Barras ........................................................... 03</p><p>5.2.2. Elementos Laminares ou Bilineares ................................................... 04</p><p>5.2.3. Elementos Tridimensionais ................................................................ 05</p><p>5.3. CLASSIFICAÇÃO GERAL DOS ESFORÇOS ............................................... 05</p><p>5.4. ESFORÇOS EXTERNOS ATIVOS ................................................................ 05</p><p>5.4.1. Classificação Quanto ao Modo de Atuar ............................................ 06</p><p>5.4.2. Classificação Quanto à Origem .......................................................... 06</p><p>5.4.3. Classificação Quanto à Forma de Atuar ............................................ 06</p><p>5.4.4. Transmissão dos Esforços ................................................................. 07</p><p>5.4.5. Cargas Atuantes em Estruturas ......................................................... 10</p><p>5.5. ESFORÇOS EXTERNOS REATIVOS ........................................................... 11</p><p>5.5.1. Idealização Estrutural ......................................................................... 11</p><p>5.5.2. Vínculos .............................................................................................. 12</p><p>5.5.3. Vínculo do Primeiro Gênero Estático ................................................. 13</p><p>5.5.4. Vínculo do Segundo Gênero Estático ................................................ 13</p><p>5.5.5. Vínculo do Terceiro Gênero Estático ................................................. 13</p><p>5.5.6. Quadro Resumo ................................................................................. 14</p><p>5.5.7. Classificação Estática das Estruturas ................................................ 14</p><p>5.5.8. Cálculo das Reações de Apoio .......................................................... 16</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais</p><p>5.6. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................ 21</p><p>ESTUDO DIRIGIDO .............................................................................................. 25</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS ................................................................................ 26</p><p>FONTES ............................................................................................................... 35</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais</p><p>5.1. INTRODUÇÃO</p><p>A Análise Estrutural é a parte da Mecânica que estuda as estruturas. Este</p><p>estudo consiste na determinação dos esforços e das deformações a que elas ficam</p><p>submetidas quando solicitadas por ações externas como forças de contato, peso</p><p>próprio, variações de temperatura, movimentos de apoio e outras.</p><p>O objetivo dessa análise é precisamente analisar o equilíbrio das estruturas</p><p>quando submetidas a esforços externos e internos, bem como a determinação das</p><p>deformações a que elas ficam sujeitas.</p><p>As estruturas são deformáveis, de modo que o equilíbrio só se dá numa</p><p>configuração próxima à inicial, que é atingida quando as forças internas à estrutura,</p><p>gradativamente aumentadas durante a deformação, são capazes de realizar as</p><p>necessárias ligações estáticas entre as diversas forças externas.</p><p>O estudo do equilíbrio e das deformações em uma estrutura conduz a</p><p>análise da estrutura para dois tipos de problemas básicos, dimensionamento ou</p><p>verificação de uma estrutura.</p><p>Dimensionar uma peça estrutural ou uma estrutura é encontrar suas</p><p>dimensões com as melhores condições de segurança (resistência), funcionalidade</p><p>(rigidez), economia e estática. É chamado de problema direto.</p><p>Verificar uma peça estrutural ou uma estrutura é, conhecidos a forma, o</p><p>material e as dimensões, verificar suas condições de estabilidade. É chamado de</p><p>problema inverso.</p><p>5.2. ELEMENTOS ESTRUTURAIS</p><p>Para o estudo dos efeitos das forças atuantes e do seu comportamento as</p><p>peças ou elementos estruturais são classificados em três tipos básicos:</p><p>5.2.1. Elementos Lineares ou Barras</p><p>Possuem uma dimensão predominante sobre as outras duas, o</p><p>comprimento. São as vigas, os pilares, as barras de treliças, etc.</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 03</p><p>l b</p><p>l h</p><p>5.2.2. Elementos Laminares ou Bilineares</p><p>Possuem duas dimensões predominantes sobre a outra. São as placas,</p><p>chapas e cascas.</p><p>Placa – o carregamento é normal ao seu plano.</p><p>a h</p><p>b h</p><p>Exemplo: Lajes</p><p>Chapa – o carregamento é paralelo ao seu plano.</p><p>a h</p><p>b h</p><p>Exemplo: Vigas-parede</p><p>Casca – são as placas em forma de curvas.</p><p>Exemplos: Cúpulas,</p><p>Abóbadas.</p><p>b</p><p>a</p><p>h</p><p>h</p><p>a</p><p>b</p><p>Elevação Corte A-A</p><p>l</p><p>h</p><p>b</p><p>A</p><p>A</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 04</p><p>5.2.3. Elementos Tridimensionais</p><p>Possuem as três dimensões da mesma ordem de grandeza, não havendo</p><p>predominância de nenhuma delas. São os blocos ou maciços.</p><p>≅ ≅a b h</p><p>Exemplo: Sapatas,</p><p>Tubulões</p><p>5.3. CLASSIFICAÇÃO GERAL DOS ESFORÇOS ATUANTES</p><p>⎧ →⎧⎪→⎪ ⎨⎪ →⎪⎨ ⎩</p><p>⎪</p><p>→⎪⎩</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>Concentradas</p><p>Ativos - Cargas ou Ações</p><p>Externos Distribuídas</p><p>Reativos - Reações de Apoio</p><p>Esforço Normal (N)</p><p>Esforços</p><p>Esforço Cortante (Q ou V)</p><p>Atuantes Solicitantes</p><p>Momen</p><p>Internos</p><p>τ</p><p>⎧</p><p>⎪</p><p>⎪</p><p>⎪</p><p>⎪</p><p>⎪</p><p>⎪ ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪⎪</p><p>⎪⎨ ⎪⎪</p><p>⎪⎪ ⎨</p><p>⎪⎪ ⎪⎪</p><p>⎪ ⎪⎨</p><p>→⎪⎪ ⎩⎪</p><p>⎪ ⎪</p><p>⎪ →⎧⎪ ⎪⎪ →⎪ ⎨</p><p>⎪ →⎪⎪ ⎩⎩⎩</p><p>to Fletor (M)</p><p>Momento Torsor (T)</p><p>Tensões Normais (σ)</p><p>Resistentes</p><p>Tensões Tangenciais ( )</p><p>5.4. ESFORÇOS EXTERNOS ATIVOS</p><p>Os esforços externos ativos são as ações ou cargas que atuam sobre a</p><p>estrutura. De uma maneira geral, podem ser classificados como abaixo.</p><p>a</p><p>h</p><p>b</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 05</p><p>5.4.1. Classificação Quanto ao Modo de Atuar</p><p>→⎧</p><p>⎨→⎩</p><p>Cargas Permanentes - peso próprio</p><p>Quanto ao Tempo</p><p>Cargas Acidentais - móveis, pessoas</p><p>→⎧</p><p>⎪</p><p>⎨</p><p>⎪→⎩</p><p>Cargas Fixas - peso próprio, ação de</p><p>elementos sobre outrosQuanto ao Tempo e Espaço</p><p>Cargas Móveis - automóveis</p><p>5.4.2. Classificação Quanto à Origem</p><p>{Cargas Estáticas Empuxos, peso próprio</p><p>→⎧</p><p>⎨→⎩</p><p>Cargas de Impacto - vento, frenagem, aterrissagem</p><p>Cargas Dinâmicas</p><p>Cargas Repetidas - Trilhos de Estrada de Ferro</p><p>⎧</p><p>⎨</p><p>⎩</p><p>Deformação lenta, retração no concreto,</p><p>Cargas de Sujeição</p><p>ação da temperatura (dependem do tempo)</p><p>5.4.3. Classificação Quanto à Forma de Atuar</p><p>Cargas Concentradas – são cargas que atuam em um ponto da estrutura.</p><p>Exemplos: viga apoiando sobre viga; pilar apoiando sobre viga; pilar apoiando</p><p>sobre pilar etc.</p><p>Cargas Distribuídas – são cargas que atuam em diversos pontos da estrutura;</p><p>frequentemente atuam ao longo de um trecho da estrutura.</p><p>q1</p><p>q2</p><p>P</p><p>A</p><p>C</p><p>B</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 06</p><p>Exemplos: parede apoiando sobre viga; laje apoiando sobre viga etc.</p><p>Momento Aplicado – são cargas momento, fletor ou torsor, concentradas ou</p><p>distribuídas ao longo de um trecho da estrutura.</p><p>5.4.4. Transmissão dos Esforços</p><p>Exemplos de determinação das cargas em edifícios, esquemas de cálculo e</p><p>transmissão de esforços nas peças estruturais:</p><p>Detalhe 1</p><p>Detalhe 2</p><p>Detalhe 3</p><p>M T</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 07</p><p>Detalhe 1</p><p>Detalhe 2</p><p>a</p><p>b</p><p>P</p><p>V</p><p>q</p><p>M</p><p>M B</p><p>L</p><p>q</p><p>q</p><p>A</p><p>B</p><p>B</p><p>q</p><p>MT</p><p>A V</p><p>V</p><p>P</p><p>A</p><p>B</p><p>M</p><p>M</p><p>C</p><p>b</p><p>a</p><p>L</p><p>q</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 08</p><p>Unidades:</p><p>→</p><p>→</p><p>→</p><p>→ ⋅ ⋅ ⋅</p><p>→ ⋅ ⋅ ⋅T</p><p>P (tf) (kgf) (kN)</p><p>V (tf) (kgf) (kN)</p><p>q (tf/m) (kgf/m) (kN/m)</p><p>M (tf m) (kgf m) (kN m)</p><p>M (tf m) (kgf m) (kN m)</p><p>Detalhe 3</p><p>PB</p><p>PC</p><p>VB</p><p>VB</p><p>q</p><p>MV</p><p>L</p><p>L</p><p>C</p><p>VC</p><p>VC</p><p>MV</p><p>L1</p><p>L2</p><p>L3</p><p>B</p><p>C</p><p>B</p><p>VB = f(PB, q, ...)</p><p>VC = f(PC, q, ...)</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 09</p><p>Transmissão dos Esforços</p><p>5.4.5. Cargas Atuantes em Estruturas</p><p>A seguir indicam-se alguns tipos de cargas que podem atuar sobre as</p><p>estruturas.</p><p>M</p><p>Mt</p><p>C</p><p>P Q</p><p>B</p><p>P</p><p>C</p><p>D</p><p>M</p><p>N</p><p>M</p><p>P</p><p>D E</p><p>P</p><p>A</p><p>Q</p><p>Mt</p><p>M</p><p>B</p><p>Mt</p><p>M</p><p>A B</p><p>C</p><p>D E</p><p>P</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 10</p><p>Carga concentrada Carga Uniformemente Distribuída</p><p>Carga Parabólica do 2º Grau Simétrica Carga com Variação Qualquer</p><p>Carga Parabólica do 2º Grau Carga Linearmente Distribuída</p><p>Carga Momento Concentrada Carga Momento Distribuída</p><p>Normalmente atuam combinações destas cargas sobre as estruturas.</p><p>5.5. ESFORÇOS EXTERNOS REATIVOS</p><p>5.5.1. Idealização Estrutural</p><p>Como já se sabe, uma estrutura é um conjunto de elementos resistentes.</p><p>Para que haja a transmissão de esforços entre os elementos da estrutura deve</p><p>haver ligação entre eles.</p><p>Nas grandes estruturas utilizam-se os aparelhos de apoio para vincular</p><p>determinadas partes da estrutura permitindo, ao mesmo tempo, os movimentos</p><p>previstos no projeto, que podem ser de rotação, translação ou ambos.</p><p>M (tf·m/m) M (tf·m)</p><p>q (tf/m)q (tf/m)</p><p>q (tf/m)q (tf/m)</p><p>P (tf) q (tf/m)</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 11</p><p>Exemplos de aparelhos de apoio. Fonte: Fernando Lemos do Brasil Ltda.</p><p>Nas estruturas correntes não se colocam aparelhos de apoio, embora o</p><p>cálculo dos esforços seja efetuado com a hipótese de existirem vínculos separando</p><p>os elementos da estrutura. Trata-se, apenas, de uma simplificação de cálculo,</p><p>admissível em estruturas com vãos e carregamentos pequenos, para os quais</p><p>alguns tipos de esforços podem ser desprezados. É o caso, por exemplo, que</p><p>ocorre com freqüência nas estruturas de edifícios, quando, para simplificar os</p><p>cálculos, consideram-se as vigas articuladas nos pilares, separando-se os pórticos</p><p>reais (estrutura monolítica) em pilares e vigas, estas isostáticas ou contínuas. Para</p><p>tais estruturas as normas técnicas de cálculo fornecem orientações, ou seja,</p><p>prescrevem recomendações, de como devem ser consideradas as ligações entre</p><p>os elementos da estrutura para efeito de cálculo.</p><p>5.5.2. Vínculos</p><p>Para conseguir que uma estrutura fique em equilíbrio é fundamental que os</p><p>movimentos de translação e rotação provocados pelos esforços externos a ela</p><p>aplicados sejam impedidos. Com isso, elimina-se a possibilidade de a estrutura</p><p>sofrer deslocamentos de corpo rígido.</p><p>A restrição a esses movimentos é feita pela introdução de vínculos na</p><p>estrutura.</p><p>Toda vez que se restringe o livre movimento de um ou mais pontos de uma</p><p>estrutura diz-se que houve uma vinculação ou apoio. Ao impedir um determinado</p><p>deslocamento, o vínculo introduz na estrutura uma reação de apoio. A direção da</p><p>reação do apoio é sempre coincidente com a direção do movimento impedido.</p><p>É importante frisar que só aparece reação de apoio em um vínculo quando</p><p>há movimento impedido.</p><p>Para representar as vinculações de um elemento com outro são usados</p><p>símbolos que identificam cada tipo de vínculo existente. Os vínculos são</p><p>caracterizados em função do número de movimentos que eles retiram (impedem)</p><p>da estrutura.</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 12</p><p>Lembrando que, no caso plano, é possível haver duas translações (vertical e</p><p>horizontal) e uma rotação (giro), tem-se a seguinte classificação básica para os</p><p>vínculos no plano.</p><p>5.5.3. Vínculo do Primeiro Gênero Estático</p><p>Impede um único movimento de translação (vertical ou horizontal), deixando</p><p>livre a outra translação (horizontal ou vertical) e a rotação.</p><p>É comumente chamado de apoio simples ou pêndulo ou articulação móvel.</p><p>Visualização: barra sobre um rolete.</p><p>Símbolos utilizados:</p><p>5.5.4. Vínculo do Segundo Gênero Estático</p><p>Impede dois movimentos de translação (vertical e horizontal), deixando livre</p><p>a rotação.</p><p>É comumente chamado de rótula ou articulação fixa.</p><p>Visualização: barras unidas por pinos.</p><p>Símbolos utilizados:</p><p>5.5.5. Vínculo do Terceiro Gênero Estático</p><p>Impede os dois movimentos de translação e a rotação. É chamado de engaste.</p><p>Movimento</p><p>(giro)</p><p>V</p><p>H</p><p>Barra</p><p>Barra</p><p>Pino</p><p>V</p><p>H</p><p>Translação Horizontal</p><p>V</p><p>Giro</p><p>V</p><p>Barra</p><p>Rolete</p><p>V</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 13</p><p>Visualização: barra “encravada”.</p><p>Símbolo utilizado:</p><p>5.5.6. Quadro de Resumo</p><p>Reações (M, V, H)</p><p>Nome do Vínculo Símbolos Movimentos</p><p>Restritos Existem Não Existem</p><p>Pêndulo, Apoio Móvel</p><p>ou Articulação Móvel</p><p>1 V H, M</p><p>Rótula, Apoio Fixo</p><p>ou Articulação Fixa</p><p>2 V, H M</p><p>Engaste</p><p>3 V, H, M -</p><p>5.5.7. Classificação Estática das Estruturas</p><p>Ao se escreverem as equações de equilíbrio para o cálculo das reações de</p><p>apoio, três casos podem ocorrer:</p><p>1º Caso: o número de incógnitas (reações) é igual ao número de equações.</p><p>2º Caso: o número de incógnitas (reações) é inferior ao número de equações.</p><p>3º Caso: o número de incógnitas (reações) é superior ao número de equações.</p><p>No primeiro caso os vínculos estão, provavelmente, proporcionados em</p><p>número e em modo exatamente suficiente a não haver translações e rotações. O</p><p>equilíbrio é estável qualquer que seja o sistema de forças exteriores. O problema é</p><p>chamado isostático e a estrutura isostática. Exemplos:</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 14</p><p>No segundo caso ainda há possibilidades de deslocamentos (graus de</p><p>liberdade). Os vínculos não são suficientes para assegurar o equilíbrio contra</p><p>qualquer carregamento e pode haver equilíbrio apenas sob determinadas</p><p>condições. Tal equilíbrio é instável, pois modificadas as forças exteriores o</p><p>equilíbrio pode ser rompido. O problema é chamado hipostático e a estrutura</p><p>hipostática. Exemplos:</p><p>Estável Instável</p><p>No terceiro caso o equilíbrio é estável, mas há vínculos abundantes. No</p><p>sistema de equações não é possível determinar as reações de apoio</p><p>exclusivamente com os recursos da estática. Para resolver o problema há</p><p>necessidade de lançar mão de outras equações ligadas às deformações dos</p><p>materiais. O problema é chamado hiperestático e a estrutura hiperestática.</p><p>Exemplos:</p><p>1 vez hiperestática 1 vez hiperestática</p><p>2 vezes hiperestática</p><p>2 vezes hiperestática 2 vezes hiperestática</p><p>P P</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 15</p><p>3 vezes hiperestática</p><p>5.5.8. Cálculo das Reações de Apoio</p><p>O cálculo das reações de apoio é feito através do equilíbrio entre as cargas</p><p>aplicadas e as reações geradas pelos apoios.</p><p>As condições de equilíbrio são dadas pelas Equações Universais da Estática</p><p>que, no caso plano são as seguintes:</p><p>∑ i xF = 0 ∑ i yF = 0 ∑ QM = 0</p><p>ou</p><p>∑H = 0 ∑V = 0 ∑ OM = 0</p><p>onde V e H representam cada força ou componente de força vertical e horizontal,</p><p>respectivamente, aplicados externamente à estrutura e MO representa o momento</p><p>das forças ou componentes de forças em relação ao ponto “O” qualquer do plano.</p><p>Como se têm três equações de equilíbrio, só é possível determinar as</p><p>reações de apoio em estruturas que possuam até três movimentos impedidos. As</p><p>estruturas que possuem mais de três movimentos impedidos por seus apoios, sob</p><p>o ponto de vista do seu</p><p>equilíbrio externo, possuem apoios excedentes. Tais apoios</p><p>restringem deformações das peças e a determinação das reações de apoio nestes</p><p>casos é feita através das condições de equilíbrio da estática adicionadas a</p><p>condições de compatibilidade de deformações.</p><p>Roteiro Para o Cálculo das Reações de Apoio</p><p>1º. Identificar os vínculos e os respectivos movimentos impedidos e liberados por</p><p>cada um deles.</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 16</p><p>2º. Introduzir as reações de apoio com sentidos coincidentes com aqueles positivos</p><p>do sistema de eixos x, y, z.</p><p>3º. Aplicar as condições de equilíbrio no plano ∑ i xF = 0 , ∑ i yF = 0 e ∑ QM = 0 de</p><p>modo a determinar a intensidade e o real sentido das forças de reação.</p><p>Cálculo das Reações de Apoio Para Vigas em Balanço</p><p>a) Carga concentrada</p><p>∴</p><p>∴ ⋅</p><p>⋅</p><p>∴</p><p>∑</p><p>∑</p><p>∑</p><p>A</p><p>AA</p><p>A</p><p>A</p><p>H = 0H = 0</p><p>M - P a = 0M = 0</p><p>M = P a</p><p>V = PV = 0</p><p>b) Carga uniformemente distribuída</p><p>∴</p><p>∴</p><p>⋅ ⋅</p><p>⋅</p><p>∴ ⋅</p><p>∑</p><p>∑</p><p>∑</p><p>A</p><p>A</p><p>A</p><p>2</p><p>A</p><p>A</p><p>H = 0H = 0</p><p>aM = 0 M + q a = 0</p><p>2</p><p>q aM = -</p><p>2</p><p>V = q aV = 0</p><p>Observação: o sinal negativo de MA significa que essa reação atua no sentido</p><p>contrário ao arbitrado.</p><p>HA</p><p>A</p><p>VA</p><p>MA</p><p>a</p><p>B</p><p>q</p><p>HA</p><p>A</p><p>VA</p><p>a</p><p>MA</p><p>P</p><p>B</p><p>P q</p><p>MA B</p><p>VA VB</p><p>HA</p><p>P q</p><p>MA B</p><p>1º Gênero 2º Gênero</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 17</p><p>c) Carga linearmente distribuída</p><p>∴</p><p>∴ ⋅</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>∴ ⋅</p><p>∑</p><p>∑</p><p>∑</p><p>A</p><p>A</p><p>A</p><p>2</p><p>A</p><p>A</p><p>H = 0H = 0</p><p>q a aM = 0 M - = 0</p><p>2 3</p><p>q aM =</p><p>6</p><p>q aV = 0 V =</p><p>2</p><p>d) Momento aplicado</p><p>∴</p><p>∴</p><p>∴</p><p>∑</p><p>∑</p><p>∑</p><p>A</p><p>AA</p><p>A</p><p>A</p><p>H = 0H = 0</p><p>M - M = 0M = 0</p><p>M = M</p><p>V = 0V = 0</p><p>Cálculo das Reações de Apoio Para Vigas Bi-apoiadas</p><p>a) Carga concentrada</p><p>∴</p><p>∴ ⋅ ⋅</p><p>⋅</p><p>∴</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>∑</p><p>∑</p><p>∑</p><p>A</p><p>BA</p><p>B</p><p>A B</p><p>A</p><p>A</p><p>H = 0H = 0</p><p>P a - V L = 0M = 0</p><p>P aV =</p><p>L</p><p>V - P + V = 0V = 0</p><p>P a PV = P - = (L - a)</p><p>L L</p><p>P bV =</p><p>L</p><p>b) Carga concentrada inclinada</p><p>∴ ⋅</p><p>⋅</p><p>∴ ⋅ ⋅ ⋅</p><p>⋅ ⋅</p><p>∴ ⋅</p><p>∑</p><p>∑</p><p>∑</p><p>B</p><p>B</p><p>AB</p><p>A</p><p>A B</p><p>H + P cos θ = 0H = 0</p><p>H = - P cos θ</p><p>V L - P sen θ b = 0M = 0</p><p>P b sen θV =</p><p>L</p><p>V - P sen θ + V = 0V = 0</p><p>VA</p><p>A</p><p>VB</p><p>a</p><p>θ</p><p>b</p><p>HB</p><p>P</p><p>B</p><p>C</p><p>L</p><p>P · cos θ</p><p>P · sen θ</p><p>VB</p><p>C</p><p>L</p><p>HA</p><p>P</p><p>VA</p><p>a</p><p>BA</p><p>b</p><p>A HA</p><p>a</p><p>MA</p><p>VA</p><p>B M</p><p>HA</p><p>A</p><p>VA</p><p>q</p><p>MA</p><p>a</p><p>B</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 18</p><p>⋅ ⋅ ⋅</p><p>⋅B A</p><p>P sen θ P a sen θV = P sen θ - V = (L - b) =</p><p>L L</p><p>c) Carga uniformemente distribuída</p><p>∴</p><p>∴</p><p>⋅ ⋅ ⋅</p><p>⋅</p><p>∴ ⋅</p><p>⋅</p><p>∑</p><p>∑</p><p>∑</p><p>A</p><p>B</p><p>A</p><p>A</p><p>A B</p><p>B</p><p>H = 0H = 0</p><p>LM = 0 V L - q L = 0</p><p>2</p><p>q LV =</p><p>2</p><p>V - q L + V = 0V = 0</p><p>q LV =</p><p>2</p><p>d) Carga linearmente distribuída</p><p>∴</p><p>∴ ⋅ ⋅</p><p>⋅ ⋅</p><p>⋅</p><p>∴ ⋅</p><p>⋅</p><p>∑</p><p>∑</p><p>∑</p><p>A</p><p>B</p><p>B</p><p>A</p><p>A B</p><p>B</p><p>H = 0H = 0</p><p>q L 2 LM = 0 V L - = 0</p><p>2 3</p><p>q LV =</p><p>3</p><p>q LV = 0 V - + V = 0</p><p>2</p><p>q LV =</p><p>6</p><p>e) Momento aplicado</p><p>∴</p><p>∴ ⋅</p><p>∴</p><p>∑</p><p>∑</p><p>∑</p><p>A</p><p>BA</p><p>B</p><p>A B</p><p>A</p><p>H = 0H = 0</p><p>M + V L = 0M = 0</p><p>MV = -</p><p>L</p><p>V + V = 0V = 0</p><p>MV = +</p><p>L</p><p>A</p><p>VA</p><p>HA</p><p>L</p><p>VB</p><p>b</p><p>B</p><p>a</p><p>M</p><p>A HA</p><p>VA</p><p>L</p><p>VB</p><p>q</p><p>B</p><p>A</p><p>VBVA</p><p>L</p><p>HA</p><p>q</p><p>B</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 19</p><p>Cálculo das Reações de Apoio Para Pórticos</p><p>∴</p><p>∴ ⋅ ⋅ ⋅</p><p>⋅</p><p>∴</p><p>⋅</p><p>⋅</p><p>∑</p><p>∑</p><p>∑</p><p>B</p><p>AB</p><p>A</p><p>A B</p><p>B</p><p>B</p><p>H = PH = 0</p><p>V L + P c - P b = 0M = 0</p><p>P (b - c)V =</p><p>L</p><p>V - P + V = 0V = 0</p><p>P (b -c)V = P -</p><p>L</p><p>P (a+c)V =</p><p>L</p><p>Cálculo das Reações de Apoio Para Treliças</p><p>∴</p><p>⋅</p><p>∴</p><p>⋅ ⋅ ⋅</p><p>⋅ ⋅ ⋅</p><p>⋅ ⋅</p><p>⋅</p><p>∴</p><p>⋅ ⋅</p><p>⋅</p><p>∑</p><p>∑</p><p>∑</p><p>A</p><p>A</p><p>C</p><p>A A</p><p>A</p><p>A</p><p>A B</p><p>B</p><p>V - P - P = 0V = 0</p><p>V = 2 P</p><p>LM = 0 V L + H a - P = 0</p><p>2</p><p>(P L/2 - 2 P L)H =</p><p>a</p><p>3 P LV = -</p><p>2 a</p><p>H + H = 0H = 0</p><p>3 P LH =</p><p>2 a</p><p>Cálculo das Reações de Apoio Para Carregamentos Combinados</p><p>HB</p><p>A</p><p>RB</p><p>1 tf/m</p><p>VA</p><p>2 tf/m</p><p>HA</p><p>θ</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>2m</p><p>6m 3m</p><p>3m</p><p>2m</p><p>VB</p><p>2 tf/m</p><p>2 tf</p><p>HA A</p><p>HB</p><p>a/2</p><p>VA</p><p>a/2 P</p><p>B</p><p>D</p><p>C</p><p>E</p><p>L/2 L/2</p><p>P</p><p>A</p><p>VA</p><p>P</p><p>VB</p><p>L</p><p>HB</p><p>c</p><p>B</p><p>a b</p><p>P</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 20</p><p>⋅ ⋅ ←</p><p>⋅ ⋅ ←</p><p>B B B</p><p>B B B</p><p>H = R cos θ = 0,6 R cos θ = 3/5 = 0,6</p><p>V = R sen θ = 0,8 R sen θ = 4/5 = 0,8</p><p>∴ ⋅</p><p>⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅</p><p>⋅ ⋅ ⋅</p><p>∴ ⋅ ⋅</p><p>⋅</p><p>∴ ⋅</p><p>∑</p><p>∑</p><p>∑</p><p>A</p><p>B B</p><p>B B</p><p>B</p><p>A B</p><p>A</p><p>A</p><p>A B</p><p>2 3M = 0 1 + 1 6 3 + 2 + 2 3 7,5 + H 1 - 2 1 - V 9 = 0</p><p>2</p><p>3 + 18 + 2 + 45 + 0,6 R - 2 - 9 (0,8 R ) = 0</p><p>R = 10 tf</p><p>V - 1 6 - 2 3 + V = 0V = 0</p><p>V = 12 - 0,8 10</p><p>V = 4 tf</p><p>H - 3 2/2 + 2 + H = 0H = 0</p><p>⋅A</p><p>A</p><p>H = 1 - 0,6 10</p><p>H = - 5 tf</p><p>Verificação:</p><p>∴ ⋅</p><p>⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅</p><p>→</p><p>∑ B</p><p>A A</p><p>2 3M = 0 V 9 + H 1 + 2 - 1 6 6 + 2 - 2 3 1,5 - 2 2 = 0</p><p>2</p><p>36 + 5 + 6 - 36 + 2 - 9 - 4 = 0 ok</p><p>5.6. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS</p><p>01. Calcular as reações de apoio para a viga a seguir.</p><p>∴ ⋅</p><p>⋅</p><p>∴ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅</p><p>⋅</p><p>∑</p><p>∑</p><p>Bi x</p><p>B</p><p>B</p><p>EB</p><p>E</p><p>E</p><p>H + 10 cos 30º = 0F = 0</p><p>H = - 10 cos 30º</p><p>H = - 8,66 kN</p><p>10 sen 30º 2 - 20 - 0,5 40 4,5 5 - 15 6,5 - 25 4 8,5 + V 9 = 0M = 0</p><p>9 V = 850 + 97,5 + 450 + 20 - 10</p><p>V = 156,39 kN</p><p>1,5 m</p><p>VE</p><p>10 kN</p><p>VB</p><p>2,5 m</p><p>E FC DA</p><p>B</p><p>2 m 4,5 m2 m</p><p>30º</p><p>20 kN·m</p><p>15 kN</p><p>40 kN/m 25 kN/m</p><p>HB</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 21</p><p>∴ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅</p><p>⋅</p><p>∑ B Ei y</p><p>B</p><p>B</p><p>V + V - 10 sen 30º - 25 4 - 40 4,5 0,5 - 15 = 0F = 0</p><p>V = -156,39 + 10 sen 30º +100 + 90 + 15</p><p>V = 53,61 kN</p><p>Verificação:</p><p>⋅ ⋅</p><p>⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅</p><p>∑ CM = 0</p><p>40 4,5 3 10 sen 30º 4 - 53,61 2 - 20 - - 15 4,5 - 25 4 6,5 + 156,39 7 = 0</p><p>2</p><p>0 = 0</p><p>02. Calcular as reações de apoio para a treliça a seguir.</p><p>Decomposição de RB</p><p>→ ⋅</p><p>→ ⋅</p><p>B B B B</p><p>B B B B</p><p>sen α = H /R H = R sen α</p><p>cos α = V /R V = R cos α</p><p>Condições de Equilíbrio</p><p>∴ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑ B BA V 12 + H 6 - 10 3 - 10 6 - 20 9 - 15 3 - 20 6 = 0M = 0</p><p>3 m</p><p>HA</p><p>15 kN RB</p><p>VA</p><p>F</p><p>A</p><p>BH</p><p>D</p><p>C</p><p>M</p><p>N</p><p>LJ</p><p>E</p><p>I</p><p>α</p><p>G</p><p>3 m</p><p>3 m</p><p>3 m</p><p>3 m 3 m3 m 3 m</p><p>20 kN</p><p>10 kN</p><p>10 kN</p><p>20 kN</p><p>5 kN</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 22</p><p>∴ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅</p><p>⋅</p><p>∑ B B</p><p>B</p><p>B</p><p>A 12 R cos 30º + 6 R sen 30º = 30 + 60 + 180 + 45 +120</p><p>13,39</p><p>M</p><p>R = 435</p><p>R = 32,4</p><p>= 0</p><p>9 kN</p><p>Logo,</p><p>⋅ →</p><p>⋅ →</p><p>B B</p><p>B B</p><p>H = 32,49 sen 30º H = 16,25 kN</p><p>V = 32,49 cos 30º H = 28,14 kN</p><p>∴</p><p>∴</p><p>∑</p><p>∑</p><p>A Bi x</p><p>A B</p><p>A</p><p>A</p><p>A Bi y</p><p>A B</p><p>A</p><p>A</p><p>H + 10 + 10 + 20 - H = 0F = 0</p><p>H = H - 40</p><p>H = 16,25 - 40</p><p>H = - 23,75 kN</p><p>V - 5 - 15 - 20 + V = 0F = 0</p><p>V = 40 - V</p><p>V = 40 - 28,14</p><p>V = 11,86 kN</p><p>Verificação:</p><p>∴ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑ I - 11,86 9 - 23,75 6 + 10 3 - 20 3 + 5 9 + 15 6 + 20 3 + 28,14 3 = 0M = 0</p><p>0 = 0</p><p>03. Calcular as reações de apoio do pórtico a seguir.</p><p>VA</p><p>HA</p><p>HB</p><p>25 kN/m</p><p>3 m</p><p>D E</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>4,5 m</p><p>1,5 m 2 m 2,5 m4,5 m</p><p>10 kN/m</p><p>15 kN·m</p><p>15 kN</p><p>20 kN</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 23</p><p>∴ ⋅</p><p>∴ ⋅</p><p>⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅</p><p>∑</p><p>∑</p><p>∑</p><p>Ai y</p><p>A</p><p>A</p><p>B</p><p>B</p><p>B</p><p>B</p><p>i x</p><p>V - 15 - 10 11,5 = 0F = 0</p><p>V = 130 kN</p><p>25 4,5 4,5M = 0 - + 15 - 10 11,5 3,75 - 15 4,5 + 20 4,5 - 1,5 H = 0</p><p>2 3</p><p>- 84,375 + 15 - 431,25 - 67,5 + 90H =</p><p>1,5</p><p>478,125H = -</p><p>1,5</p><p>H = - 318,75 kN</p><p>F = 0 ∴ ⋅ ⋅A B</p><p>A B</p><p>A</p><p>A</p><p>H + H - 20 + 25 4,5 0,5 = 0</p><p>H = - H + 20 - 56,25</p><p>H = 318,75 - 36,25</p><p>H = 282,5 kN</p><p>Verificação:</p><p>⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅</p><p>∑ EM = 0</p><p>- 130 8 + 282,5 4,5 + 25 4,5 0,5 3 + 15 + 15 3,5 + 10 11,5 4,25 - 318,75 3 = 0</p><p>0 = 0</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 24</p><p>ESTUDO DIRIGIDO</p><p>01. Em que consiste a análise de estruturas?</p><p>02. Qual é o objetivo da análise estrutural?</p><p>03. Quais são os tipos básicos de problemas da análise estrutural?</p><p>04. O que é dimensionar uma estrutura?</p><p>05. O que é verificar uma estrutura?</p><p>06. Descreva as barras.</p><p>07. Descreva as placas, as chapas e as cascas.</p><p>08. Descreva os blocos ou maciços.</p><p>09. Como se classificam os esforços atuantes em estruturas?</p><p>10. Como se classificam os esforços externos ativos?</p><p>11. Quais são os principais tipos de cargas atuantes nas estruturas?</p><p>12. Como são idealizados os esforços externos reativos?</p><p>13. Como são tratadas as ligações entre os elementos das grandes</p><p>estruturas?</p><p>14. Como são tratadas as ligações entre os elementos das estruturas correntes?</p><p>15. Qual é o objetivo da introdução de vínculos nas estruturas?</p><p>16. Descreva o vínculo do 1º gênero estático.</p><p>17. Descreva o vínculo do 2º gênero estático.</p><p>18. Descreva o vínculo do 3º gênero estático.</p><p>19. O que é uma estrutura hiperestática?</p><p>20. O que é uma estrutura isostática?</p><p>21. O que é uma estrutura hipostática?</p><p>22. Quais são as equações universais da estática para o caso plano?</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 25</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>01. Para as estruturas abaixo, identificar os vínculos e especificar as respectivas</p><p>reações introduzidas, desenhando-as.</p><p>Exemplo:</p><p>Vínculo A → rótula (HA e VA)</p><p>Vínculo B → pêndulo (VB)</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>f)</p><p>g)</p><p>h)</p><p>i)</p><p>A B</p><p>A</p><p>A B</p><p>A</p><p>B C</p><p>D</p><p>A</p><p>B C</p><p>A B</p><p>A B</p><p>A B</p><p>C</p><p>A B DC</p><p>A B</p><p>VA</p><p>HA</p><p>VB</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 26</p><p>j)</p><p>k)</p><p>l)</p><p>m)</p><p>n)</p><p>o)</p><p>p)</p><p>q)</p><p>02. Calcular as reações de apoio das seguintes vigas:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>B</p><p>5 m</p><p>2 tf/m</p><p>A</p><p>1 m</p><p>4 tf·m</p><p>B</p><p>1 m</p><p>4 tf</p><p>A</p><p>4 tf/m</p><p>4 m</p><p>C D A B EA B</p><p>A</p><p>B</p><p>A</p><p>B</p><p>A B</p><p>A</p><p>D</p><p>C</p><p>BA B</p><p>C</p><p>A</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 27</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>f)</p><p>g)</p><p>h)</p><p>B</p><p>1,5 m</p><p>2 tf</p><p>A</p><p>D C</p><p>1,5 m3 m</p><p>1 tf/m</p><p>B</p><p>4 m</p><p>4 tf/m</p><p>A</p><p>2 m</p><p>C</p><p>30º</p><p>4 tf</p><p>A</p><p>4 m</p><p>2 tf</p><p>C</p><p>B</p><p>12 tf·m</p><p>2 m</p><p>B</p><p>1 m</p><p>3 tf/m</p><p>A</p><p>4 m 1 m 2 m</p><p>2 tf</p><p>2 tf/m 1 tf·m</p><p>B</p><p>2 m</p><p>1 tf·m</p><p>A</p><p>30º</p><p>2 m2 m</p><p>3 tf</p><p>C D</p><p>B</p><p>2 m</p><p>3 tf</p><p>A</p><p>2 m 2,5 m 1,5 m</p><p>1 tf/m</p><p>2 tf/m</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 28</p><p>i)</p><p>j)</p><p>03. Calcular as reações de apoio das treliças a seguir:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>D</p><p>1,2 m</p><p>7 tf</p><p>B</p><p>A</p><p>3,5 m 3,5 m</p><p>2,4 tf</p><p>A</p><p>0,9 m</p><p>0,6 tf</p><p>B</p><p>1,2 m 1,2 m</p><p>ED</p><p>C</p><p>0,3 tf</p><p>E</p><p>0,8 m</p><p>0,7 tf</p><p>BA</p><p>D</p><p>C</p><p>F</p><p>1,5 m 1,5 m</p><p>0,7 tf</p><p>0,8 tf</p><p>2,4 tf</p><p>A</p><p>5 m</p><p>1 tf/m</p><p>B</p><p>1 tf</p><p>A</p><p>2,5 m</p><p>1 tf</p><p>B C</p><p>2,5 m</p><p>1 tf</p><p>60º</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 29</p><p>d)</p><p>e)</p><p>f)</p><p>04. Calcular as reações de apoio dos seguintes pórticos:</p><p>C</p><p>0,5 m</p><p>1,2 tf</p><p>B</p><p>A</p><p>0,4 m</p><p>0,375 m</p><p>A</p><p>0,5 m</p><p>1,2 tf</p><p>C</p><p>B</p><p>1,2 m0,375 m</p><p>B</p><p>1,25 m</p><p>10,5 tf</p><p>A</p><p>4 m</p><p>3 m</p><p>C</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 30</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>2 m</p><p>E</p><p>A</p><p>B DC</p><p>1,5 m 4,5 m</p><p>2 m</p><p>15 kN·m</p><p>20 kN</p><p>20 kN/m</p><p>D</p><p>2 m</p><p>F</p><p>A</p><p>B</p><p>C E</p><p>3 m</p><p>1 m 3 m 1 m</p><p>15 kN 15 kN·m</p><p>10 kN/m</p><p>10 kN</p><p>20 kN</p><p>A</p><p>1 m</p><p>15 kN/m</p><p>D</p><p>B C</p><p>2 m</p><p>2 m6 m</p><p>2 kN/m</p><p>20 kN·m</p><p>10 kN</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 31</p><p>d)</p><p>e)</p><p>3 m</p><p>C</p><p>D</p><p>B</p><p>A</p><p>3 m</p><p>3 m</p><p>20 kN·m</p><p>20 kN/m</p><p>10 kN 10 kN</p><p>30 kN</p><p>A</p><p>1 m20 kN</p><p>B C</p><p>E</p><p>D</p><p>F</p><p>1 m</p><p>1 m</p><p>0,5 m</p><p>1 m1 m</p><p>20 kN·m</p><p>10 kN</p><p>10 kN/m</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 32</p><p>f)</p><p>g)</p><p>A</p><p>2 m</p><p>20 kN/m</p><p>C</p><p>H</p><p>D</p><p>F</p><p>B</p><p>E</p><p>G</p><p>3 m 1 m2 m</p><p>2 m</p><p>1 m</p><p>1 m</p><p>1 m</p><p>1 m</p><p>15 kN·m</p><p>10 kN</p><p>10 kN</p><p>20 kN/m</p><p>10 kN</p><p>25 kN/m</p><p>A</p><p>1 m</p><p>B</p><p>C D</p><p>2 m</p><p>1 m 1 m</p><p>15 kN</p><p>10 kN/m 20 kN·m</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 33</p><p>h)</p><p>i)</p><p>C</p><p>2 m</p><p>10 kN/m</p><p>3 m 4 m 3 m</p><p>3 m</p><p>1 m</p><p>2 m</p><p>10 kN·m</p><p>10 kN</p><p>10 kN/m</p><p>A B</p><p>F</p><p>G</p><p>D</p><p>C</p><p>1 m</p><p>10 kN/m</p><p>A</p><p>1 m</p><p>2 m</p><p>1,5 m 1,5 m 1,5 m 2 m2,5 m</p><p>ED</p><p>B</p><p>F G</p><p>15 kN</p><p>5 kN/m</p><p>15 kN/m</p><p>20 kN·m 20 kN</p><p>H</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 34</p><p>FONTES</p><p>- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS</p><p>Notas de Aulas</p><p>Hélio Silveira Ribas</p><p>- ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS</p><p>Gorfin, B.</p><p>Oliveira, M.</p><p>Livros Técnicos e Científicos Editora</p><p>- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS E MECÂNICA DAS ESTRUTURAS</p><p>Notas de Aulas</p><p>Nilson Magagnin Filho</p><p>- CURSO DE ANÁLISE ESTRUTURAL – VOLUME 1</p><p>José Carlos Sussekind</p><p>Editora Globo</p><p>Mecânica das Estruturas I A</p><p>Esforços Atuantes em Peças Estruturais 35</p><p><<</p><p>/ASCII85EncodePages false</p><p>/AllowTransparency false</p><p>/AutoPositionEPSFiles true</p><p>/AutoRotatePages /All</p><p>/Binding /Left</p><p>/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)</p><p>/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)</p><p>/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)</p><p>/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)</p><p>/CannotEmbedFontPolicy /Warning</p><p>/CompatibilityLevel 1.6</p><p>/CompressObjects /Tags</p><p>/CompressPages 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