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<p>Capítulo 4</p><p>Deformação de imagem de alta dimensão</p><p>John Ashburner & Karl J. Friston O Departamento</p><p>Wellcome de Neurociência de Imagem,</p><p>12 Queen Square, Londres WCIN 3BG, Reino Unido.</p><p>Índice</p><p>4.1 Introdução</p><p>4.2 Métodos . .</p><p>4.2.1 Enquadramento Bayesiano</p><p>4.2.2 Potenciais de verossimilhança</p><p>4.2.3 Potenciais Prévios - 2D</p><p>4.2.4 Potenciais Anteriores - 3D</p><p>4.2.5 O algoritmo de otimização</p><p>4.2.6 Inversão de um campo de deformação</p><p>4.3 Exemplos .</p><p>4.3.1 Deformação bidimensional usando dados simulados</p><p>4.3.2 Registo de Pares de Imagens</p><p>4.3.3 Registar uma média</p><p>4.4 Discussão .</p><p>4.4.1 Parametrizando as deformações</p><p>4.4.2 O critério de correspondência</p><p>4.4.3 Os Priores</p><p>4.4.4 O Algoritmo de Otimização</p><p>Resumo</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>4</p><p>4</p><p>6</p><p>10</p><p>12</p><p>13</p><p>14</p><p>14</p><p>14</p><p>24</p><p>24</p><p>25</p><p>25</p><p>28</p><p>Este capítulo é sobre a deformação de imagens cerebrais de diferentes sujeitos para o mesmo espaço</p><p>estereotáxico. No entanto, ao contrário do Capítulo 3, este método usa milhares ou milhões de</p><p>parâmetros, por isso é potencialmente capaz de obter muito mais precisão. Uma alta dimensão</p><p>1</p><p>2 CAPÍTULO 4. DEFORMAÇÃO DE IMAGEM DE ALTA DIMENSÃO</p><p>modelo é usado, em que uma abordagem de elementos finitos é empregada para estimar as traduções</p><p>no local de cada voxel na imagem do modelo. As estatísticas bayesianas são usadas para obter uma</p><p>estimativa máxima a posteriori (MAP) do campo de deformação. A validade de qualquer método de</p><p>registo baseia-se em grande medida no conhecimento prévio sobre a variabilidade dos parâmetros</p><p>estimados. Nesta abordagem, assume-se que os priores devem ter alguma forma de simetria, na</p><p>medida em que os priores que descrevem a distribuição de probabilidade das deformações devem ser</p><p>idênticos aos dos inversos (ou seja, deformar o cérebro de A para o cérebro B não deve ser diferente</p><p>probabilisticamente de deformar B para A). O pressuposto fundamental é que a probabilidade de esticar</p><p>um voxel por</p><p>Um fator de n é considerado o mesmo que a probabilidade de encolher n voxels por um fator de n-1. A</p><p>função penal de escolha baseia-se nos logs dos valores singulares das matrizes jacobinas com</p><p>distribuições normais, o que impõe</p><p>um mapeamento um-para-um contínuo. É apresentado um algoritmo de descida de gradiente que</p><p>incorpora os priores acima para obter uma estimativa MAP das deformações. Uma maior</p><p>consistência é conseguida através do registo das imagens nas suas "médias", onde esta média é</p><p>tanto de intensidade como de forma.</p><p>4.1 Introdução</p><p>Duas imagens cerebrais do mesmo sujeito podem ser co-registradas usando uma transformação de corpo</p><p>rígido de seis parâmetros, que simplesmente descreve a posição relativa e a orientação das imagens. No</p><p>entanto, para combinar imagens cerebrais de diferentes sujeitos (ou o cérebro do mesmo sujeito que pode</p><p>ter mudado de forma ao longo do tempo [9]), é necessário estimar um campo de deformação que também</p><p>descreva as formas relativas das imagens. O capítulo anterior descreveu um método de registro de imagens</p><p>de diferentes assuntos, a fim de corresponder às formas gerais. No entanto, muitos mais parâmetros são</p><p>necessários para descrever a forma de um cérebro com precisão, e estimá-los pode ser muito propenso a</p><p>erros. Este erro pode ser reduzido garantindo que os campos de deformação sejam internamente</p><p>consistentes [4]. Por exemplo, suponha que uma deformação que corresponde ao cérebro f ao cérebro g é</p><p>estimada, e também uma deformação que corresponde ao cérebro g ao cérebro f. Se um campo de</p><p>deformação não é o inverso do outro, então pelo menos um deles tem que estar errado.</p><p>Muitas vezes, as distribuições de probabilidade prévias usadas pelos esquemas de registro bayesianos são</p><p>lineares (ver Seção ?? ), e incluem a minimização da energia de membrana do campo de deformação [1,</p><p>10], a energia de flexão [3] ou a energia linear-elástica [17]. Nenhuma dessas penalidades lineares é</p><p>simétrica e não preserva explicitamente a topologia1 das imagens distorcidas.</p><p>Uma alternativa, ao uso de um esquema bayesiano incorporando alguma forma de elástico prévio, poderia</p><p>ser usar um modelo de fluido viscoso [5, 6] para estimar as urdiduras. Nestes modelos, os métodos de</p><p>diferença finita são normalmente usados para resolver as equações diferenciais parciais que modelam uma</p><p>imagem à medida que ela "flui" para a mesma forma que a outra. A grande vantagem desses métodos é que</p><p>eles são capazes de contabilizar grandes deslocamentos e também garantir que a topologia da imagem</p><p>distorcida seja preservada, mas eles têm a desvantagem de serem computacionalmente caros. Os modelos</p><p>fluidos viscosos são quase capazes de distorcer qualquer imagem para que ela se pareça com qualquer</p><p>outra imagem, preservando a topologia original. Em alguns aspetos, estes modelos podem ter demasiada</p><p>liberdade, na medida em que deformações extremamente improváveis não são penalizadas.</p><p>Os modelos de fluidos viscosos são uma das muitas abordagens que descrevem as transformações espaciais</p><p>em termos de um processo físico. No entanto, em vez de obedecer às leis físicas, o modelo de registro baseado</p><p>na intensidade apresentado neste capítulo utiliza regras estatísticas. As deformações improváveis são</p><p>1 A palavra "topologia" é usada no mesmo sentido que em "Propriedades topológicas de mapas anatômicos lisos" [7]. Se as</p><p>transformações espaciais não são um-para-um e contínuas, então as propriedades topológicas de diferentes estruturas podem</p><p>mudar.</p><p>4.2. MÉTODOS 3</p><p>penalizado pela incorporação de informações prévias sobre a suavidade das deformações esperadas</p><p>usando um esquema MAP. Além disso, a topologia das imagens deformadas é preservada, garantindo que</p><p>as deformações sejam globalmente um-para-um.</p><p>O restante do capítulo está dividido em três seções principais. A seção de métodos descreve os</p><p>princípios bayesianos por trás do registro, que é essencialmente um procedimento de otimização que</p><p>simultaneamente minimiza uma função de probabilidade (ou seja, a soma das diferenças quadradas</p><p>entre as imagens) e uma função de penalidade que se relaciona com a probabilidade prévia de obter as</p><p>deformações. Vários exemplos de imagens registadas são fornecidos na secção seguinte. A seção final</p><p>discute a validade do método e inclui uma série de sugestões para trabalhos futuros.</p><p>4.2 Métodos</p><p>Registrar um volume de imagem para outro envolve estimar um campo vetorial (campo de deformação)</p><p>que mapeia de coordenadas de uma imagem para as da outra. Neste trabalho, uma imagem (a imagem</p><p>do modelo) é considerada como fixa, e um mapeamento desta imagem para a segunda imagem (a</p><p>imagem de origem) é estimado. A intensidade do i-ésimo voxel do gabarito é denotada por g(xi), onde x¡</p><p>é um vetor que descreve as coordenadas do voxel. O campo de deformação que abrange o domínio do</p><p>modelo é indicado por yi (ou y(xi)) em cada ponto, e a intensidade da imagem de origem neste ponto</p><p>mapeada por f (y;). A imagem de origem é transformada para corresponder ao modelo, fazendo uma</p><p>nova amostragem nas coordenadas mapeadas.</p><p>Esta seção começa descrevendo como os campos de deformação são parametrizados como</p><p>transformações afins em partes dentro de uma malha de elementos finitos. O registo é conseguido</p><p>através da correspondência das imagens e, simultaneamente, tenta maximizar a suavidade das</p><p>deformações. As estatísticas bayesianas são usadas para incorporar essa suavidade no registro, e um</p><p>método de otimização é apresentado para encontrar a estimativa máxima a posteriori (MAP) dos</p><p>parâmetros. São apresentadas formas adequadas para a suavidade dos priores. A primeira delas é a</p><p>forma ideal, que por razões práticas só foi desenvolvida para registro em duas dimensões. A segunda</p><p>forma é uma aproximação ao ideal, e foi desenvolvida para registro de imagens bidimensionais e</p><p>tridimensionais.</p><p>4.2.1 Enquadramento Bayesiano</p><p>Esta abordagem ao registo de imagens estima a transformação espacial necessária em cada voxel e,</p><p>portanto, requer muitos parâmetros. Por exemplo, para registrar dois volumes de tamanho 256 x 256 x 108</p><p>voxels, precisa de 21.233.664 parâmetros.</p><p>O número de parâmetros que descrevem as transformações</p><p>excede o número de voxels nos dados. Por isso, é essencial que os graus efetivos de liberdade sejam</p><p>reduzidos, impondo prévios ou constrangimentos ao registo. Como no capítulo anterior, a estatística</p><p>bayesiana é usada para incorporar uma distribuição de probabilidade prévia no modelo de deformação.</p><p>O teorema de Bayes pode ser expresso como (ver Eqn. ?? ):</p><p>p(Y|b)xx p(b|Y)p(Y) (4.1)</p><p>onde p(Y) é a probabilidade a priori dos parâmetros Y, p(b|Y) é a probabilidade de observar os</p><p>dados b dados os parâmetros Y, e p(Y|b) é a probabilidade a posteriori de Y dados os dados b.</p><p>Aqui, Y são os parâmetros que descrevem a deformação e b são as imagens a serem combinadas.</p><p>A estimativa aqui determinada é a estimativa máxima a posteriori (MAP), que é o valor</p><p>4 CAPÍTULO 4. DEFORMAÇÃO DE IMAGEM DE ALTA DIMENSÃO</p><p>de Y que maximiza p(Y|b). Uma probabilidade está relacionada à sua forma de Gibbs por:</p><p>p(Y) x e-H(Y) (4.2)</p><p>Portanto, a estimativa da PAM é idêntica à estimativa do parâmetro que minimiza o potencial de</p><p>Gibbs da distribuição posterior (H(Y|b)), onde:</p><p>H(Y|b)=H(b|Y)+H (Y)+c (4.3)</p><p>onde c é uma constante. O registro é, portanto, um problema de otimização não linear, pelo qual</p><p>a função de custo a minimizar é a soma do potencial de probabilidade (H(b|Y)) e o potencial prévio</p><p>[H(Y)). Estes potenciais são agora discutidos em pormenor.</p><p>4.2.2 Potenciais de verossimilhança</p><p>O registo corresponde a uma imagem de origem (f) a uma imagem de modelo (g). O modelo atual assume que uma</p><p>é simplesmente uma versão espacialmente transformada da outra (ou seja, não há variações de intensidade entre</p><p>elas), onde as únicas diferenças de intensidade são devidas ao ruído Gaussiano aditivo uniforme.</p><p>O potencial de Gibbs para esta situação é dado por:</p><p>H(b Y) = 202X(f(yi) - g(x;)) 2 (4.4)</p><p>onde g(x¡) é o i-ésimo valor de pixel de g e f(yi) é o valor de pixel correspondente de f. Neste modelo, a variância (o2) é</p><p>assumida como sendo a mesma para todos os voxels. Um valor adequado a ser usado para cada iteração é estimado calculando a</p><p>soma residual das diferenças ao quadrado2. Para as iterações iniciais, o o2 tem um valor mais alto, colocando mais peso nos priores,</p><p>de modo que as deformações são mais suaves. Quando próximo da solução final, o o2 diminuiu, e o algoritmo é capaz de calcular</p><p>deformações mais detalhadas.</p><p>O potencial é calculado através da amostragem de pontos discretos I dentro da imagem do modelo, e pontos</p><p>equivalentes dentro da imagem de origem são amostrados usando interpolação trilinear. Gradientes da imagem</p><p>de origem interpolada triangular são necessários para o registro, e estes são calculados usando um método de</p><p>diferença finita.</p><p>4.2.3 Potenciais Prévios - 2D</p><p>Considere os campos de deformação que registram duas imagens f e g. Os dois campos mapeados a partir de</p><p>F a G, e de G a F podem ser combinados para mapear de F a G e depois de volta a F. Se os registos</p><p>forem perfeitos, então a deformação resultante deve ser uniformemente zero. Quaisquer desvios devem</p><p>ser devidos a erros de registo. Deve haver simetria nos priores, a fim de minimizar esses erros. Além de</p><p>considerar as forças deformadoras que deformam a imagem f para corresponder à imagem g. as forças</p><p>mediadoras do inverso da deformação também precisam ser consideradas. Para alcançar esta simetria,</p><p>parte-se do pressuposto fundamental de que a probabilidade de esticar um voxel por</p><p>Um fator de n é o mesmo que a probabilidade de encolher n voxels por um fator de n-1. Por exemplo, uma</p><p>deformação que estica um voxel na imagem de origem para encaixar dois voxels no modelo, deve incorrer</p><p>na mesma penalidade que a contração de dois voxels para caber um voxel modelo.</p><p>Para calcular esses potenciais em 2D, os pixels da imagem do modelo (g) são considerados como estando em uma</p><p>grade regular, com espaçamento unitário entre eles. Uma malha triangular conecta os centros 2Note que esta é uma</p><p>abordagem Bayesiana Empírica, pois o componente de variância é derivado dos próprios dados, e que a estimativa</p><p>de variância é apenas uma aproximação porque os graus de liberdade não são calculados corretamente.</p><p>4.2. MÉTODOS 5</p><p>C</p><p>Figura 4.1: Para o problema de registro bidimensional, a área da imagem do modelo (g) é dividida</p><p>em uma malha triangular onde os nós estão centrados nos pixels.</p><p>de cada píxel (como mostra a figura 4.1). Dentro de cada triângulo, supõe-se que haja um mapeamento</p><p>afim uniforme entre as imagens. Se as coordenadas dos vértices de um triângulo não deformado forem</p><p>(x11,[21), ([12, [22) e (['13, [23), e se forem mapeadas para coordenadas (y11, y21), (912, y22) e (913,</p><p>y23), respectivamente, então o mapeamento afim 3×3 (M) pode ser obtido por:</p><p>-1</p><p>₼11 m12 m13 911 912 913 11 £12 £13</p><p>M = m21 m22 m23 = 921 922 923 X21 X22 £23 (4.5)</p><p>0 0 1</p><p>L - 1 1 1 |1 1 1</p><p>A matriz jacobiana (J) deste mapeamento afim é simplesmente obtida da matriz M por:</p><p>J =</p><p>m11 12 m21</p><p>m22</p><p>(4.6)</p><p>A penalidade por distorcer cada um desses triângulos é derivada de sua matriz jacobiana. Usando a</p><p>decomposição de valores singulares, J pode ser decomposto em duas matrizes unitárias (U e V) e</p><p>uma matriz diagonal (S), tal que J = USVT. As matrizes unitárias representam simplesmente rotações</p><p>3 e, portanto, não são importantes para a função penal. A matriz diagonal S contém os valores</p><p>singulares, e estes representam o alongamento relativo em direções ortogonais. O determinante de J</p><p>(|J|) representa as variações relativas de volume e é simplesmente o produto dos valores singulares.</p><p>Uma função potencial prévia adequada deve preservar um mapeamento individual entre f e g, restringindo os</p><p>determinantes das matrizes jacobinas a serem positivos. O inverso do mapeamento também precisa ser</p><p>considerado, na medida em que o potencial (por unidade de área) para J deve ser idêntico ao que seria</p><p>obtido para J-1. Uma penalidade como log(|J|) 2 (ou mesmo |J| + |J|-1 - 2) realizaria ambos os critérios. No</p><p>entanto, comprimentos relativos também precisam ser considerados, e as mudanças de comprimento e</p><p>volume devem ter distribuições semelhantes. Uma forma adequada para esta função é baseada nos logs dos</p><p>elementos diagonais de S sendo desenhados a partir de uma distribuição normal. A penalidade por unidade</p><p>de área é, portanto, Xlog(s11)2+ Alog(s22)2, onde À é um "parâmetro de regularização" 4 . Se a seringa</p><p>3 As complicações surgem quando o determinante de J é negativo. Neste caso, U ou V também incorporarão uma reflexão por</p><p>ter um determinante negativo. No entanto, isso não deve causar problemas, uma vez que o registro impede que o determinante</p><p>de J se torne negativo.</p><p>4 À falta de determinar \ usando um grande número de deformações "verdadeiras", é-lhe atribuído algum valor adequado</p><p>que facilite a rápida convergência para soluções razoáveis.</p><p>6 CAPÍTULO 4. DEFORMAÇÃO DE IMAGEM DE ALTA DIMENSÃO</p><p>logs de cada elemento diagonal de S são normalmente distribuídos, então log |J| também é normalmente</p><p>distribuído como log(|J|) = log(s11) + log(s22) e tanto log(s11) como log(s22) são normalmente distribuídos.</p><p>Cada patch triangular tem uma área de 1/2 pixel, e terá uma área de |J|/2 pixels quando mapeados para o</p><p>espaço da imagem f. A área total afetada pela penalidade no modelo e nas imagens de origem é, portanto,</p><p>(1 + |J|) /2, de modo que a penalidade para cada triângulo se torna:</p><p>(4.7)</p><p>A Figura 4.2 ilustra exemplos destas sanções em termos de funções de probabilidade bidimensionais. O</p><p>potencial prévio sobre toda a imagem é baseado na soma dos potenciais para cada um dos triângulos I:</p><p>H(Y)= Chi (4.8)</p><p>Para simplificar, na descrição atual, o fato de as imagens terem limites é ignorado. Na prática, os</p><p>limites são fixados de modo que a deformação nas bordas seja sempre zero.</p><p>4.2.4 Potenciais Prévios - 3D</p><p>O ponto 4.2.3 descreve campos de deformação constituídos por uma manta de retalhos de triângulos. A</p><p>situação é mais complexa quando se trabalha com deformações tridimensionais. Para este caso, o</p><p>volume da imagem do modelo é dividido</p><p>em uma malha de tetraedros, onde os vértices dos tetraedros</p><p>estão centrados nos voxels. Isto é conseguido considerando grupos de oito voxels como pequenos cubos.</p><p>Cada um destes cubos é dividido em cinco tetraedros: um central com 1/3 do volume do cubo e quatro</p><p>exteriores, cada um com 1/6 do volume do cubo [12]. Existem duas maneiras possíveis de dividir um cubo</p><p>em cinco tetraedros. A alternância entre as duas conformações num padrão quadriculado tridimensional</p><p>garante que todo o volume do gabarito é uniformemente coberto (ver figura 4.3). Um campo de</p><p>deformação é gerado pelo tratamento dos vértices dos tetraedros como pontos de controle. Esses pontos</p><p>são movidos iterativamente até que a melhor partida seja alcançada. As deformações são limitadas a</p><p>serem localmente um para um, garantindo que um tetraedro nunca ocupe nenhum do mesmo volume que</p><p>seus vizinhos. Quando uma deformação é um-para-um, é possível calcular o seu inverso (Secção 4.2.6).</p><p>O algoritmo pode usar uma das duas condições de contorno possíveis. O mais simples é quando os vértices de</p><p>tetraedros que se encontram no limite permanecem fixos em suas posições originais (condição limite de</p><p>Dirichlet). Desde que a estimativa inicial inicial para as deformações seja globalmente um-para-um, então o</p><p>campo de deformação final também satisfará esta restrição [7]. A outra condição limite envolve permitir que os</p><p>vértices na superfície se movam livremente (análogo à condição limite de Neumann). É possível que as</p><p>restrições globais um-para-um sejam quebradas neste caso, uma vez que os volumes de tetraedros não</p><p>vizinhos podem agora sobrepor-se. Os exemplos mostrados posteriormente usam a condição de limite livre.</p><p>Dentro de cada tetraedro, a deformação é considerada como uma transformação afim uniforme da</p><p>qual a matriz jacobiana é extraída de forma semelhante à descrita no ponto 4.2.3.</p><p>É aplicada uma sanção a cada um dos tetraedros que constituem o volume abrangido. Para cada</p><p>tetraedro, é o produto de uma penalização por unidade de volume e o volume total afetado pelo</p><p>tetraedro. O volume afetado é o volume do tetraedro não deformado na imagem modelo, mais o</p><p>volume que o tetraedro deformado ocupa dentro da imagem de origem (v (1 + |J|), em que v é o</p><p>volume do tetraedro não deformado).</p><p>Uma boa penalidade contra a deformação de cada tetraedro é baseada nos logs dos valores singulares das</p><p>matrizes jacobinas em cada ponto da deformação sendo extraído de uma distribuição normal.</p><p>4.2. MÉTODOS 7</p><p>Figura 4.2: Funções de densidade de probabilidade relacionadas com a posição do nó central, assumindo</p><p>que todos os outros voxels permanecem em locais fixos numa grelha regular. Coluna da esquerda: usando</p><p>regularização pesada À = 10. Coluna da direita: usando regularização de luz À =1. Acima: em uma grade</p><p>regular. Abaixo: em uma grade irregular. As probabilidades são definidas como o expoente da função de</p><p>custo negativo (como em Eqn. 4.2), onde a função de custo é derivada das matrizes jacobinas dos</p><p>triângulos que têm o nó como vértice. A função custo é baseada na soma dos quadrados dos logs dos</p><p>valores singulares. As linhas pontilhadas mostram a posição do nó na conformação com a função de menor</p><p>custo.</p><p>8 CAPÍTULO 4. DEFORMAÇÃO DE IMAGEM DE ALTA DIMENSÃO</p><p>Figura 4.3: O volume da imagem do modelo é dividido em uma malha de tetraedros irregulares, onde</p><p>os vértices dos tetraedros estão centrados nos voxels. Grupos de oito voxels são considerados</p><p>pequenos cubos. O volume de cada cubo é dividido em cinco tetraedros, em um dos dois arranjos</p><p>possíveis mostrados aqui. Uma face de um cubo que é dividida de acordo com um arranjo, se opõe</p><p>com a face de um cubo que foi dividido da outra maneira. Por causa disso, é necessário organizar as</p><p>duas conformações em um padrão quadriculado tridimensional.</p><p>4.2. MÉTODOS 9</p><p>4</p><p>Funções potenciais</p><p>3.5</p><p>3</p><p>22.5</p><p>2</p><p>1.5</p><p>1</p><p>0.5</p><p>0</p><p>0.5 1.5 2 2.5</p><p>Valor Singular</p><p>3 3.5 4</p><p>Figura 4.4: Comparação das diferentes funções de custo. A linha pontilhada mostra o potencial</p><p>estimado a partir de log(sii)2, onde s ¡¡ é o i-ésimo valor singular de uma matriz jacobiana. A linha sólida</p><p>mostra o novo potencial, que se baseia em (szi + s ;; - 2)/4. Para valores singulares muito próximos de</p><p>um, os potenciais são quase idênticos.</p><p>O uso de métodos convencionais para calcular a SVD de uma matriz 3 x 3 é atualmente muito lento para ser</p><p>usado dentro de um procedimento de registro de imagem.</p><p>Usando a regularização SVD, a penalidade por unidade de volume é Zq=1 log(sii)2, onde Sii é o i-ésimo</p><p>valor singular da matriz jacobiana. Esta função é equivalente a Zi= log(szi)2/4. Usando uma</p><p>aproximação que log(x)2 ~ x + 1/x - 2 para valores de x muito próximos de um, temos agora a função</p><p>Di=1(s2; +1/s2 ;- 2)/4. Esta função é relativamente simples de avaliar, porque a soma dos quadrados</p><p>dos valores singulares de uma matriz é equivalente à soma dos quadrados dos elementos individuais da</p><p>matriz. Isso deriva do fato de que o traço de uma matriz é igual à soma de seus autovalores, e os</p><p>autovalores de JT J são os quadrados dos valores singulares de J. O traço de JT J é equivalente à</p><p>soma dos quadrados dos elementos individuais de J. Da mesma forma, a soma dos quadrados dos</p><p>recíprocos dos valores singulares é idêntica à soma dos quadrados dos elementos da matriz inversa. Os</p><p>valores singulares da matriz não precisam ser calculados, e não há mais necessidade de chamar a</p><p>função log (que é relativamente lenta para calcular). A penalidade para cada um dos tetraedros é agora:</p><p>h=Média(1+|J|) tr (JTJ+(J-1)TJ-1-2I) /4 (4.9)</p><p>onde tr é a operação de rastreamento, I é uma matriz de identidade 3 x 3, v é o volume do tetraedro não</p><p>deformado (1/6 ou 1/3), e À é uma constante de regularização. O potencial prévio para toda a imagem é</p><p>a soma dessas funções de penalidade sobre todos os tetraedros. A Figura 4.4 mostra uma comparação</p><p>do potencial com base na função de custo original (log(s¿i)2 e o potencial baseado em (szi + si-2)/4.</p><p>Potencial derivado do</p><p>Valor Singular</p><p>10 CAPÍTULO 4. DEFORMAÇÃO DE IMAGEM DE ALTA DIMENSÃO</p><p>O O O O O</p><p>0 0 O O</p><p>O 0 O 0 Ou Ou Ou Ou Ou</p><p>Ou Ou Ou 0 Ou Ou Ou Ou Ou</p><p>Ou Ou Ou Ou</p><p>Ou Ou O 0 O</p><p>Figura 4.5: Os seis triângulos vizinhos cujas matrizes jacobinas são influenciadas pela tradução</p><p>do ponto central.</p><p>4.2.5 O Algoritmo de Otimização</p><p>As imagens são combinadas estimando o conjunto de parâmetros (Y) que maximiza sua probabilidade a</p><p>posteriori. Isso envolve começar com um conjunto de estimativas iniciais e repetidamente fazer pequenos</p><p>ajustes para que o potencial posterior seja diminuído. Em cada iteração, as posições dos pontos de controle</p><p>(nós) são atualizadas in situ, através da varredura sequencial através do volume do modelo. Durante uma</p><p>iteração do registro tridimensional, o looping pode funcionar de inferior para superior (mais lentamente),</p><p>posterior para anterior e da esquerda para a direita (mais rápido). Na iteração seguinte, a ordem da</p><p>atualização é invertida (superior a inferior, anterior a posterior e da direita para a esquerda). Esta sequência</p><p>alternada é continuada até que não haja mais uma redução significativa para o potencial posterior, ou para</p><p>um número fixo de iterações.</p><p>Cada iteração da otimização envolve a determinação da taxa de mudança do potencial posterior em</p><p>relação a pequenas mudanças em cada elemento de Y. Para a enésima iteração, as estimativas para o</p><p>i-ésimo elemento de Y são modificadas de acordo com:</p><p>y(n+1) =y(n) _OH(Y|b)= y(n) - € (OH (b|Y) OH (Y)</p><p>Oyi Żyi Żyi</p><p>(4.10)</p><p>em que o valor de € é escolhido para ser adequadamente pequeno (ver abaixo).</p><p>OH(b|Y)/Ży; é a taxa de variação do potencial de probabilidade em relação às alterações em Yi:</p><p>OH(b|Y) _ d(f(yi) - g(xi))2 /(202) __ (f(yi) - g(xi)) de(yi)</p><p>Żyi 02</p><p>(4.11)</p><p>em que o o2 é estimado conforme descrito no ponto 4.2.2. Na atualização, cada nó é movido ao longo</p><p>da direção que diminui mais rapidamente o potencial a posteriori (um método de descida de gradiente).</p><p>Para o registo bidimensional, OH(Y) /dy; depende de alterações</p><p>nas matrizes jacobinas dos seis</p><p>triângulos adjacentes mostrados na Figura 4.5. Como a matemática da computação dessas</p><p>derivadas parciais é algébrica densa, uma sub-rotina C é fornecida na Figura 4.6 que calculará as</p><p>derivadas para um único patch triangular.</p><p>Para o caso tridimensional, mover um nó na malha influencia as matrizes jacobinas dos tetraedros</p><p>que têm um vértice nesse nó, de modo que a taxa de mudança do potencial posterior é igual à</p><p>taxa de mudança da probabilidade mais a taxa de mudança dos potenciais anteriores</p><p>4.2. MÉTODOS 11</p><p>dh_dy vazio (duplo *h, duplo *dh1, duplo *dh2, duplo lambda,</p><p>{</p><p>}</p><p>duplo x11, duplo x21, duplo y11, duplo y21, duplo x12, duplo</p><p>x22, duplo y12, duplo y22, duplo x13, duplo x23, duplo y13,</p><p>duplo y23)</p><p>duplo j11, j12, j21, j22, dj1, dj2;</p><p>duplo w, w1, w2, dt, dt1, dt2, tm, tm1, tm2; duplo s1, s2,</p><p>dis1, dis2, d2s1, d2s2; duplo dtx, t1, t2, t3, t4; DTX</p><p>= x11*(x22-x23)+x12*(x23-x21)+x13*(x21-x22);</p><p>J11 = (y11*(x22-x23)+y12*(x23-x21)+y13*(x21-x22))/dtx;</p><p>J12 = (y11*(x13-x12)+y12*(x11-x13)+y13*(x12-x11))/dtx;</p><p>J21 = (y21*(x22-x23)+y22*(x23-x21)+y23*(x21-x22))/dtx;</p><p>J22 = (y21*(x13-x12)+y22*(x11-x13)+y23*(x12-x11))/dtx;</p><p>DJ1 = (x22-x23)/dtx; dj2=(x13-x12)/dtx;</p><p>3 = j11*j11+j12*j12+j21*j21+j22*j22;</p><p>w1 = 2,0*(dj1*j11+dj2*j12); w2 = 2,0*(dj1*j21+dj2*j22);</p><p>DT j22*j11-j12*j21;</p><p>DT1 j22*dj1-dj2*j21; dt2 = dj2*j11-j12*dj1;</p><p>T1 = w+2,0*dt; T2 = w-2,0*dt; T3 = t1*t2;</p><p>if (t3>1e-6){ t3 =</p><p>sqrt(t3); tm = 2,0*t3; tm1</p><p>= (t2*(w1+2*dt1)+t1*(w1-2*dt1))/t3;</p><p>TM2 = (t2*(w2+2*dt2)+t1*(w2-2*dt2))/t3;</p><p>}</p><p>else { tm = 0,0; tm1 = 1,0; tm2 = 1,0; } s1 = w *0,50 + tm</p><p>*0,25; s2 = w *0,50 - tm *0,25; d1s1 = w1*0,50 + tm1*0,25; dis2 = w1*0,50 -</p><p>tm1*0,25; d2s1 = w2*0,50 + tm2*0,25; d2s2 = w2*0,50 - tm2*0,25; T1</p><p>log(s1); T2 = log(s2) ;</p><p>T3 = t1/s1; T4 = t2/s2;</p><p>DTX = lambda*fabs(dtx)*0,5;</p><p>T1 = 0,25*(t1*t1 + t2*t2);</p><p>T2 = 0,50*(t3*d1s1 + t4*d1s2);</p><p>T3 0,50*(t3*d2s1 +t4*d2s2);</p><p>*h</p><p>= dtx*t1*(dt+1); *dh1 = dtx*(t1*dt1</p><p>+t2*(dt+1)); *dh2 = dtx*(t1*dt2 +t3*(dt+1));</p><p>Figura 4.6: Código C para calcular a taxa de variação do potencial anterior (h) em relação às</p><p>variações em y11 e y21. Os argumentos passados para a rotina são as coordenadas originais nos</p><p>vértices do triângulo. Estes são (x11,x21), (x12,x22) e (x13,x23), e são mapeados para (y11,y21),</p><p>(y12,y22) e (y13,y23), respectivamente. Os valores retornados são h, dh1 e dh2, e estes</p><p>correspondem ao potencial de deformação do adesivo triangular e à taxa de variação do potencial</p><p>em relação às mudanças em y11 e y21. Note que os valores singulares de uma matriz J 2×2 são</p><p>((w+((w+2d)(w-2d))1/2)/2)1/2 e ((w-((w+2d)(w-2d))1/2)/2)1/2, onde w = j21 + j12 + j21 + j2 e d =</p><p>j22011 - j12j21.</p><p>12 CAPÍTULO 4. DEFORMAÇÃO DE IMAGEM DE ALTA DIMENSÃO</p><p>destes tetraedros locais. Aproximadamente metade dos nós formam um vértice em 8 tetraedros</p><p>vizinhos, enquanto a outra metade são vértices de 24 tetraedros. É necessária a taxa de variação da</p><p>função de penalização para cada tetraedro em relação às mudanças de posição de um dos vértices. O</p><p>Matlab 5.3 Symbolic Toolbox (The Math Works, Natick, Mass., EUA) foi usado para derivar expressões</p><p>para calcular analiticamente essas derivadas, mas essas fórmulas não são dadas aqui. As ideias</p><p>apresentadas acima pressupõem que as dimensões do voxel são isotrópicas, e o mesmo para ambas as</p><p>imagens. As modificações ao método que são necessárias para dar conta dos casos mais gerais são</p><p>triviais e também não são mostradas aqui.</p><p>Se um nó é movido muito longe, então o determinante de uma ou mais das matrizes jacobinas</p><p>associadas a um triângulo vizinho ou tetraedro pode tornar-se negativo. Isso significaria uma violação</p><p>da restrição um-para-um no mapeamento (uma vez que os tetraedros vizinhos ocupariam o mesmo</p><p>volume), por isso é evitado por um procedimento de colchetes. A tentativa inicial move o nó por uma</p><p>pequena distância €. Se qualquer um dos determinantes se tornar negativo, então o valor de € é</p><p>reduzido pela metade e outra tentativa é feita para mover o nó a menor distância de sua localização</p><p>original. Isso continua para o nó até que as restrições sejam satisfeitas. Repete-se então um</p><p>procedimento semelhante, segundo o qual o valor de € continua a ser reduzido para metade até que o</p><p>novo potencial seja inferior ou igual ao valor anterior. Ao incorporar esse procedimento, o potencial</p><p>nunca aumentará à medida que um nó for movido, garantindo assim que o potencial sobre toda a</p><p>imagem diminua a cada iteração.</p><p>4.2.6 Inversão de um campo de deformação</p><p>Ocasionalmente, é desejável calcular o inverso de um campo de deformação. Por exemplo, se foi definida</p><p>uma deformação que deforma o cérebro A para corresponder ao cérebro B, pode ser útil ter o inverso</p><p>dessa deformação para deformar o cérebro B para corresponder ao cérebro A. Esta seção descreve</p><p>como fazer isso para transformações tridimensionais. O método de registro estima um campo de</p><p>deformação que descreve um mapeamento de pontos no volume do modelo para aqueles no volume de</p><p>origem. Cada ponto dentro do modelo mapeia exatamente um ponto dentro da imagem de origem, e cada</p><p>ponto dentro da fonte mapeia para um ponto no modelo. Por esta razão, existe um inverso único da</p><p>transformação espacial. Para inverter o campo de deformação, é necessário encontrar o mapeamento</p><p>dos voxels na imagem de origem para seus locais equivalentes no modelo.</p><p>O volume do modelo é coberto por um grande número de tetraedros contíguos. Dentro de cada tetraedro,</p><p>o mapeamento entre as imagens é descrito por uma transformação afim. Inverter a transformação</p><p>envolve a varredura sequencial através de todos os tetraedros deformados para encontrar quaisquer</p><p>voxels da imagem de origem que se encontram dentro. Os vértices de cada tetraedro são projetados no</p><p>espaço do volume da fonte, e assim formam um tetraedro irregular dentro desse volume. Todos os voxels</p><p>dentro da imagem de origem (sobre a qual o campo de deformação é definido) devem cair em um desses</p><p>tetraedros. Uma vez identificados os voxels dentro de um tetraedro, o mapeamento para a imagem do</p><p>modelo é obtido simplesmente multiplicando as coordenadas dos voxels na imagem de origem pelo</p><p>inverso da matriz afim M para o tetraedro (da Seção 4.2.4).</p><p>O primeiro problema é localizar os voxels da imagem fonte que se encontram dentro de um tetraedro,</p><p>dada a localização dos quatro vértices. Isto envolve encontrar locais onde as coordenadas x, y e z</p><p>assumem valores inteiros dentro do volume tetraédrico. Em primeiro lugar, os vértices do tetraedro</p><p>são classificados em coordenadas z crescentes. Os planos onde z toma um valor inteiro são</p><p>identificados entre o primeiro e o segundo, o segundo e o terceiro, e o terceiro e quarto vértices. Entre</p><p>o primeiro e o segundo vértices, a forma transversal de um tetraedro (onde cruza um plano onde z é</p><p>um inteiro) é triangular. Os cantos do triângulo estão nos locais onde as linhas que ligam o primeiro</p><p>vértice a cada um dos outros três vértices cruzam o plano. Da mesma forma, entre o terceiro e o</p><p>quarto vértices, a secção transversal é novamente triangular, mas desta vez os cantos estão nas</p><p>intersecções das linhas que ligam o primeiro, segundo e terceiro vértices ao</p><p>4.3. EXEMPLOS 13</p><p>3.</p><p>2.</p><p>-</p><p>0</p><p>-1</p><p>-2 ....</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4 -1</p><p>1</p><p>Direção Y</p><p>Direção X</p><p>Figura 4.7: Ilustração de como os voxels estão localizados dentro de um tetraedro.</p><p>quarto. Entre o segundo e o terceiro vértice, a secção transversal é um quadrilátero, e este pode ser</p><p>descrito por dois triângulos. A primeira pode ser construída a partir das intersecções das linhas que ligam</p><p>vértices um a quatro, dois a quatro e dois a três. A outra é a partir das intersecções das linhas que ligam</p><p>vértices um a quatro, um a três e dois a três. O problema foi agora reduzido ao mais trivial de encontrar</p><p>coordenadas dentro da área de cada triângulo para o qual x e y são ambos valores inteiros (ver Figura</p><p>4.7).</p><p>O procedimento para encontrar pontos dentro de um triângulo é dividido em encontrar as extremidades</p><p>dos segmentos de linha no triângulo onde y tem um valor inteiro.</p><p>Para encontrar os segmentos de linha, os</p><p>cantos do triângulo são classificados em coordenadas y crescentes. O triângulo é dividido em duas áreas</p><p>menores, separadas por uma linha no nível do segundo vértice. O método para identificar as extremidades</p><p>dos segmentos de linha é semelhante ao utilizado para identificar os cantos dos triângulos. Os voxels são</p><p>então simplesmente localizados encontrando pontos em cada uma das linhas onde x é inteiro.</p><p>4.3 Exemplos</p><p>Nesta secção são apresentados vários conjuntos de exemplos. O primeiro é baseado em dados simulados e</p><p>é projetado para mostrar a natureza simétrica das deformações estimadas. Seguem-se exemplos de registo</p><p>de um cérebro para outro, tanto em duas como em três dimensões. Finalmente, são dados exemplos de</p><p>vários cérebros registados em simultâneo, novamente em duas e três dimensões.</p><p>Direção Z</p><p>14 CAPÍTULO 4. DEFORMAÇÃO DE IMAGEM DE ALTA DIMENSÃO</p><p>4.3.1 Deformação bidimensional usando dados simulados</p><p>Dados simulados são usados para demonstrar a reversibilidade dos campos de deformação. Foram construídas duas</p><p>imagens, uma delas um círculo e a outra um quadrado. O círculo foi deformado para corresponder ao quadrado, e o</p><p>quadrado para corresponder ao círculo. Nenhum ruído foi adicionado às imagens, portanto, uma variação constante foi</p><p>assumida para todas as iterações. Os resultados finais do registo são apresentados na Figura</p><p>4.8. Para demonstrar a simetria das deformações, combinaram-se os dois campos de deformação.</p><p>Estes são apresentados na Figura 4.9. Se as deformações fossem perfeitamente simétricas, as</p><p>deformações combinadas seriam completamente uniformes. No entanto, rugas podem ser vistas, o que</p><p>pode ser devido ao uso de aproximações finitas de funções contínuas. Outro fator que contribui para as</p><p>rugas pode ser porque os potenciais de probabilidade que impulsionam o registro não são simétricos.</p><p>4.3.2 Registo de Pares de Imagens</p><p>Aqui estão exemplos de registro de pares de imagens juntos, primeiro em duas dimensões e depois em</p><p>três dimensões.</p><p>Exemplo bidimensional</p><p>Aproximadamente fatias correspondentes através de duas imagens de RM de diferentes indivíduos foram</p><p>registradas juntas usando a abordagem atual. A fim de reduzir a chance de o algoritmo ser capturado em</p><p>um mínimo local, as primeiras iterações do registro foram realizadas com as imagens suavizadas usando</p><p>uma largura total de 8mm na metade máxima do núcleo de convolução gaussiana. Valores maiores para \</p><p>também foram usados para as iterações iniciais, a fim de estimar a forma global da cabeça antes de</p><p>estimar as deformações mais detalhadas. Os resultados finais do registo são apresentados na Figura 4.10.</p><p>Exemplo tridimensional</p><p>Um par de imagens cerebrais tridimensionais foram registradas pela primeira vez usando os métodos de</p><p>registro global descritos no Capítulo 3, que fornecem um bom ponto de partida para estimar o campo de</p><p>deformação highdimensional ideal. Demorou cerca de 15; horas para estimar os 21.233.664 parâmetros em um</p><p>dos processadores de um SPARC Ultra 2 (Sun Microsystems, EUA). A Figura 4.11 mostra as duas imagens</p><p>cerebrais registadas, e os campos de deformação correspondentes são apresentados na Figura 4.12.</p><p>4.3.3 Registar uma média</p><p>Um dos temas deste capítulo é sobre a obtenção de consistência interna nas deformações estimadas.</p><p>Até agora, apenas mapeamentos entre pares de imagens foram discutidos. Quando um número de</p><p>imagens deve ser registrado no mesmo espaço estereotáxico, então há mais maneiras possíveis de</p><p>conseguir isso. As diferentes vias que podem ser tomadas para atingir o mesmo objetivo podem nem</p><p>sempre produzir resultados consistentes [14, 20, 4]. A fim de obter mais consistência nas deformações,</p><p>as imagens devem ser todas registradas em um modelo que é alguma forma de média de todas as</p><p>imagens individuais. Um mapeamento entre qualquer par de cérebros pode então ser obtido</p><p>combinando a transformação de um dos cérebros para o modelo, com o inverso da transformação que</p><p>mapeia do outro cérebro para o modelo.</p><p>4.3. EXEMPLOS 15</p><p>Figura 4.8: Demonstração utilizando dados simulados. Acima à esquerda: quadrado original. Acima à direita:</p><p>círculo original. Centro à esquerda: quadrado deformado para corresponder ao círculo. Centro direito: círculo</p><p>deformado para corresponder ao quadrado. Abaixo à esquerda: campo de deformação aplicado ao círculo para</p><p>deformá-lo para corresponder ao quadrado. O campo de deformação mostra de onde os dados devem ser</p><p>reamostrados na imagem original para gerar a versão distorcida. Abaixo à direita: campo de deformação</p><p>necessário para deformar o quadrado para o círculo.</p><p>16 CAPÍTULO 4. DEFORMAÇÃO DE IMAGEM DE ALTA DIMENSÃO</p><p>Figura 4.9: Demonstração da reversibilidade das deformações obtidas pela combinação de deformações para</p><p>a frente e para trás. esquerda: campo de deformação que se deforma do círculo para o quadrado e volta para</p><p>o círculo. direita: campo de deformação que se deforma do quadrado para o círculo e de volta para o</p><p>quadrado.</p><p>Exemplo bidimensional</p><p>Um procedimento iterativo foi usado para gerar essa média a partir de uma fatia das imagens de RM de 29</p><p>indivíduos. As imagens foram primeiramente registradas no mesmo espaço estereotáxico usando um registro</p><p>afim de 12 parâmetros, e a mesma fatia extraída de todas as imagens registradas. A primeira etapa envolveu a</p><p>média das intensidades das imagens não distorcidas para criar uma estimativa inicial para o modelo. Em</p><p>seguida, uma iteração do procedimento de registro foi usada para aproximar cada uma das imagens da forma</p><p>do modelo. Os cérebros deformados foram então calculados em média novamente, e essa média foi usada</p><p>como modelo para a próxima rodada do procedimento. Isso continuou até que o algoritmo convergiu e o</p><p>potencial de Gibbs do sistema foi minimizado. O modelo resultante deste procedimento é apresentado na</p><p>Figura 4.13. Um procedimento semelhante a este pode ser uma técnica muito útil e baseada em princípios para</p><p>gerar modelos e referências "canônicas".</p><p>Exemplo tridimensional</p><p>Um procedimento semelhante foi realizado usando o método de registro tridimensional, onde uma imagem</p><p>que é a média de seis cérebros de indivíduos normais foi criada. A imagem era uma média não só de</p><p>intensidade, mas também de forma. Mais uma vez, os métodos de registo global descritos no Capítulo 3</p><p>foram utilizados pela primeira vez. O procedimento começou por estimar as deformações aproximadas que</p><p>mapeiam cada uma das imagens para um modelo de referência, usando o registo afim de 12 parâmetros</p><p>seguido pela abordagem da função base (ver Figuras ?? e ?? ). Após o registro, cada uma das imagens foi</p><p>transformada de acordo com os parâmetros estimados. As imagens transformadas continham 121 x 145 x</p><p>121 voxels, com uma resolução de aproximadamente 1,5 x 1,5×1,5mm. A primeira estimativa do novo</p><p>modelo foi calculada como a média dessas imagens. As matrizes de transformação afins estimadas de 4 ×</p><p>4 e os coeficientes de função de base foram usados para gerar parâmetros iniciais para estimar os campos</p><p>de deformação de alta dimensão.</p><p>Para cada uma das seis imagens, dez iterações do algoritmo atual foram usadas para aproximar</p><p>ligeiramente as imagens para registrar com o modelo. As imagens espacialmente transformadas foram</p><p>novamente calculadas em média para obter uma nova estimativa para o modelo, após o que as imagens</p><p>foram novamente registradas no modelo usando mais dez iterações. Este processo prosseguiu num total de</p><p>4.3. EXEMPLOS 17</p><p>Figura 4.10: Acima à esquerda: a imagem de origem não distorcida. Acima à direita: a imagem do modelo. Abaixo à</p><p>esquerda: o campo de deformação aplicado à imagem de origem, a fim de deformá-la para corresponder à imagem do</p><p>modelo. Abaixo à direita: a imagem de origem após a deformação para corresponder ao modelo.</p><p>18 CAPÍTULO 4. DEFORMAÇÃO DE IMAGEM DE ALTA DIMENSÃO</p><p>a) b)</p><p>c) d)</p><p>Figura 4.11: Plano sagital a partir de duas imagens registadas em conjunto. A imagem do modelo (referência)</p><p>é mostrada em (d). (a) mostra a imagem</p><p>de origem após o registo afim na imagem de modelo A imagem de</p><p>origem após o registo da função de base é mostrada em (b), e o resultado final do registo está em (c). Os</p><p>campos de deformação são apresentados na Figura 4.12.</p><p>4.3. EXEMPLOS 19</p><p>Figura 4.12: Os campos de deformação correspondentes às imagens da Figura 4.11. Dois componentes</p><p>(traduções verticais e horizontais) do campo após o registro da função afim e base são mostrados à</p><p>esquerda, enquanto o campo de deformação final é mostrado à direita.</p><p>quatro vezes. Um plano de cada uma das imagens espacialmente transformadas é mostrado na Figura 4.14.</p><p>Visualmente, as imagens registadas são muito semelhantes. Isso nem sempre é uma boa indicação da</p><p>qualidade do registro (mas confirma que o algoritmo de otimização reduziu os potenciais de</p><p>probabilidade). Em teoria, as estruturas erradas poderiam ser registadas em conjunto, mas distorcidas</p><p>para parecerem idênticas.</p><p>As superfícies cerebrais das imagens originais foram extraídas utilizando os procedimentos descritos no</p><p>Capítulo 5. Isto envolveu uma segmentação da substância cinzenta e branca na qual foram realizadas</p><p>operações morfológicas para remover as pequenas quantidades de tecido não cerebral restante. As</p><p>superfícies foram então renderizadas. Foram selecionados vários pontos que estavam perto da superfície</p><p>do cérebro do modelo (a média das imagens espacialmente transformadas). Usando as transformações</p><p>espaciais computadas, esses pontos foram projetados no local correspondente mais próximo nas</p><p>superfícies cerebrais renderizadas. A Figura 4.15 mostra as superfícies renderizadas. Note-se que a grande</p><p>quantidade de variabilidade cortical significa que é muito difícil identificar objetivamente locais homólogos</p><p>nas superfícies dos diferentes cérebros. As formas das estruturas internas do cérebro são menos variáveis,</p><p>então o método é capaz de estimar transformações para essas regiões com muito mais precisão. Embora</p><p>os campos de deformação contenham um mapeamento da imagem de modelo em forma média para cada</p><p>uma das imagens individuais, ainda é possível calcular o mapeamento entre qualquer par de imagens. Isso</p><p>é feito combinando uma deformação direta que mapeia da imagem do modelo para a primeira imagem, com</p><p>uma deformação inversa (calculada conforme descrito na Seção 4.2.6) que mapeia da segunda imagem</p><p>para o modelo. A Figura 4.16 mostra cinco imagens que foram transformadas desta forma para</p><p>corresponder à mesma imagem.</p><p>20 CAPÍTULO 4. DEFORMAÇÃO DE IMAGEM DE ALTA DIMENSÃO</p><p>Figura 4.13: Acima à esquerda: a média das imagens de RM de 29 indivíduos registrados juntos</p><p>usando um registro afim de 12 parâmetros. Acima à direita: a média (forma e intensidade) das</p><p>mesmas 29 imagens de RM após registo conjunto utilizando o método descrito no ponto 4.3.3.</p><p>Abaixo à esquerda: os desvios-padrão das imagens de RM afins registradas. Abaixo à direita: os</p><p>desvios-padrão das imagens de RM após o registro usando o método atual. As imagens de desvio</p><p>padrão são mostradas usando a mesma escala de intensidade.</p><p>4.3. EXEMPLOS 21</p><p>Figura 4.14: As imagens dos seis cérebros após o registo da função afim e base, seguidas do registo de</p><p>imagens de alta dimensão utilizando os métodos descritos neste capítulo (ver também Figuras ?? e ?? ). As</p><p>transformações de alta dimensão são capazes de modelar deformações de alta frequência que não podem</p><p>ser alcançadas usando apenas a abordagem da função base.</p><p>22 CAPÍTULO 4. DEFORMAÇÃO DE IMAGEM DE ALTA DIMENSÃO</p><p>Figura 4.15: Superfícies renderizadas dos seis cérebros originais. Os marcadores brancos correspondem a</p><p>localizações equivalentes nas superfícies cerebrais, conforme estimado pelo algoritmo de registo.</p><p>4.3. EXEMPLOS 23</p><p>Figura 4.16: Combinando as deformações, é possível calcular um mapeamento entre qualquer par de imagens.</p><p>Neste exemplo, as imagens restantes foram todas transformadas para corresponder à mostrada no canto inferior</p><p>esquerdo.</p><p>24 CAPÍTULO 4. DEFORMAÇÃO DE IMAGEM DE ALTA DIMENSÃO</p><p>4.4 Discussão</p><p>A validação de métodos de deformação é uma área complexa. A adequação de uma avaliação depende da</p><p>aplicação específica para a qual as deformações devem ser utilizadas. Por exemplo, se a aplicação foi a</p><p>normalização espacial de imagens funcionais de diferentes sujeitos, então a avaliação mais apropriada pode ser</p><p>baseada na avaliação da sensibilidade dos testes estatísticos voxel-wise. Como o procedimento de deformação é</p><p>baseado apenas em informações estruturais, ele é cego para os locais de ativação funcional. Se os locais das</p><p>ativações podem ser aproximados em correspondência em diferentes assuntos, então é seguro dizer que o</p><p>procedimento de normalização espacial está funcionando bem. A melhor medida de correspondência depende</p><p>de quanto as imagens são suavizadas antes de realizar os testes estatísticos. Diferentes métodos de registro</p><p>terão um desempenho diferente dependendo da quantidade de suavização usada. Por exemplo, a diferença no</p><p>desempenho de métodos de alta e baixa dimensão será menor quando muitos alisamentos forem usados. Mais</p><p>informações sobre este assunto podem ser encontradas na Secção ??.</p><p>Outra aplicação pode envolver a identificação de diferenças de forma entre populações de indivíduos. Neste</p><p>caso, a utilidade do algoritmo de deformação seria avaliada pelo quão bem os campos de deformação podem</p><p>ser usados para distinguir entre as populações.</p><p>A fim de saber quão bem um novo método de empenamento funciona, ele precisa ser considerado em</p><p>relação a outros métodos disponíveis. Também é provável que haja muitos hiperparâmetros a serem</p><p>ajustados para cada um dos modelos, a fim de obter os melhores resultados. É provável que os valores</p><p>ótimos para estes hiperparâmetros dependam dos tipos de imagens que estão a ser registadas. Em vez de</p><p>se concentrar em uma das muitas estratégias de avaliação possíveis, esta seção considera a validade dos</p><p>diferentes componentes do método de deformação descrito no capítulo atual. A validade do método de</p><p>registo depende de quatro elementos principais: a parametrização das deformações, os critérios de</p><p>correspondência, os priores que descrevem a natureza das urdiduras e o algoritmo para estimar a</p><p>transformações espaciais.</p><p>4.4.1 Parametrizando as deformações</p><p>As deformações são parametrizadas usando transformações afins regularmente dispostas em pedaços.</p><p>Os mesmos princípios descritos neste capítulo também podem ser aplicados a arranjos mais irregulares</p><p>de tetraedros. Como grande parte de um campo de deformação estimado é muito suave, enquanto</p><p>outras regiões são mais complexas, pode ser vantajoso em termos de velocidade organizar os tetraedros</p><p>de forma mais eficiente. O layout dos triângulos ou tetraedros descritos neste capítulo é relativamente</p><p>simples, e tem a vantagem de que nenhuma memória extra é necessária para armazenar as</p><p>coordenadas originais de vértices. Isso também significa que alguns dos cálculos necessários para</p><p>determinar as matrizes jacobianas (parte de uma inversão de matriz) podem ser pré-computados e</p><p>armazenados de forma eficiente. Uma alternativa à utilização dos mapeamentos lineares poderia ser a</p><p>utilização de mapeamentos não lineares por partes, como os descritos por [11]. No entanto, tais</p><p>mapeamentos não se encaixariam facilmente no quadro atual, pois não haveria uma expressão simples</p><p>para o potencial de Gibbs para cada uma das manchas do campo de deformação. Isso ocorre porque a</p><p>matriz jacobiana não é constante dentro de um patch, então calcular o potencial de Gibbs exigiria um</p><p>procedimento de integração complicado.</p><p>Em termos de velocidade, este método não se compara favoravelmente com alguns outros algoritmos de</p><p>registro baseados em intensidade de alta dimensão [18], e este capítulo não se concentrou em descrever</p><p>maneiras de tornar o algoritmo mais eficiente. Uma maneira de conseguir isso seria usar uma densidade</p><p>crescente de nós. Para as iterações iniciais, ao estimar deformações mais suaves, menos nós são</p><p>necessários para definir adequadamente</p><p>as deformações. O número de parâmetros que descrevem as</p><p>deformações é igual a três vezes o número de nós, e uma convergência mais rápida deve ser alcançada</p><p>usando menos parâmetros. Vale a pena notar que um esquema grosseiro a multa para o</p><p>4.4. DISCUSSÃO 25</p><p>A disposição dos nós não é necessária em termos de validade do método. Uma abordagem grosseira a fina</p><p>(em termos de uso de imagens mais suaves e deformações para as primeiras iterações) ainda pode ser</p><p>alcançada mesmo quando o campo de deformação é descrito por um número igualmente grande de nós do</p><p>início ao fim.</p><p>4.4.2 O critério de correspondência</p><p>O critério de correspondência descrito aqui é totalmente automático e produz estimativas reprodutíveis e</p><p>objetivas de deformações que não são suscetíveis a vieses de diferentes investigadores. Isso também</p><p>significa que é necessário relativamente pouco tempo do usuário para realizar os registros. No entanto, isso</p><p>tem a desvantagem de que a perícia e a compreensão humanas (que são extremamente difíceis de codificar</p><p>em um algoritmo) não são usadas pelo registro. Resultados mais precisos podem ser possíveis se o método</p><p>for semiautomático, permitindo também que os recursos identificados pelo usuário sejam correspondidos.</p><p>O critério de correspondência atual envolve minimizar a soma das diferenças ao quadrado entre as imagens</p><p>de origem e de modelo. Este mesmo critério também é usado por muitos outros métodos de registro não</p><p>lineares baseados em intensidade e assume que uma imagem é apenas uma versão espacialmente</p><p>transformada da outra, mas com ruído Gaussiano branco adicionado. Note-se que, normalmente, não é esse</p><p>o caso. Depois de combinar um par de imagens cerebrais, a diferença residual nunca é puramente um ruído</p><p>branco uniforme, mas tende a ter uma magnitude espacialmente variável. Por exemplo, a variância residual</p><p>nos voxels de fundo é normalmente muito inferior à da substância cinzenta. Um modelo melhorado usaria um</p><p>mapa de variância não estacionário e, possivelmente, covariância de modelo entre voxels vizinhos, ou</p><p>mesmo covariância entre intensidades em diferentes regiões (por exemplo, ver Seção ?? ).</p><p>A validade do critério de correspondência depende em parte da validade da imagem do modelo. Se os</p><p>valores de intensidade dos diferentes tecidos da imagem do modelo diferirem sistematicamente dos dos</p><p>tecidos correspondentes na imagem de origem, então a validade da correspondência será prejudicada</p><p>porque as correlações introduzidas nos resíduos não são contabilizadas pelo modelo. A patologia é outro</p><p>caso em que a validade do registo fica comprometida. Isso ocorre porque não há mais uma</p><p>correspondência um-para-um entre as características das duas imagens. Uma imagem de modelo ideal</p><p>deve conter um cérebro "canônico" ou de forma média. Em média, registrar uma imagem cerebral em um</p><p>modelo canônico requer deformações menores (e, portanto, menos propensas a erros) do que seria</p><p>necessário para registrar um modelo de forma incomum.</p><p>Embora os anteriores para o modelo de registo sejam simétricos, o critério de correspondência não o é. Um</p><p>efeito disso é que os gradientes de apenas uma imagem são usados para direcionar o registro, em vez dos</p><p>gradientes de ambos. Isto é ilustrado na Figura 4.17. Com um critério de correspondência totalmente</p><p>simétrico, espera-se que as avaliações das secções 4.3.1 e 4.3.2 produzam resultados mais coerentes.</p><p>Note-se, no entanto, que a correspondência utilizada no ponto 4.3.3 pode ser considerada simétrica. Ao</p><p>registrar um par de imagens juntas, combinando ambas com sua média, os gradientes de ambas as imagens</p><p>são considerados igualmente. O resultado desse procedimento seriam dois campos de deformação que</p><p>mapeiam "meio caminho". Combinando as deformações "a meio caminho" da forma apropriada (como</p><p>mostra a Figura 4.16), pode-se obter um par de campos de deformação que mapeiam entre as imagens, e</p><p>são ambos inversos um do outro.</p><p>4.4.3 Os Priores</p><p>Considere o mapeamento de transformações entre as imagens f e g. Ao combinar o mapeamento de</p><p>transformação da imagem f para a imagem g, com aquele que mapeia a imagem g para a imagem f, uma</p><p>terceira transformação pode ser obtida que mapeia de f para g e depois de volta para f. Quaisquer não</p><p>uniformidades nesta transformação resultante representam erros no processo de registo. Os priores</p><p>adotados neste capítulo tentam reduzir tais inconsistências nos campos de deformação. O extremo</p><p>26 CAPÍTULO 4. DEFORMAÇÃO DE IMAGEM DE ALTA DIMENSÃO</p><p>Imagem do modelo Imagem de origem</p><p>Força assimétrica Força simétrica</p><p>Figura 4.17: Comparação de um potencial de probabilidade simétrico com um potencial de probabilidade</p><p>assimétrico. As setas nas imagens inferiores mostram as direções em que a imagem de origem seria deformada.</p><p>A imagem do modelo contém um recurso que não é encontrado na imagem de origem. Se um registro for</p><p>baseado apenas em gradientes da imagem de origem, é provável que esse recurso não tenha efeito sobre a</p><p>transformação espacial final estimada. No entanto, se o potencial de probabilidade for simétrico, esse recurso</p><p>impulsionaria uma expansão local da imagem de origem, até que o potencial de probabilidade seja equilibrado</p><p>pelo potencial anterior.</p><p>4.4. DISCUSSÃO 27</p><p>Figura 4.18: O objetivo da inclusão da distribuição de probabilidade prévia no modelo de registo é</p><p>penalizar as alterações de forma da imagem de origem. Uma rotação rígida do corpo de uma região</p><p>do cérebro não faz nada para a forma dessa região. No entanto, para girar em relação às regiões</p><p>vizinhas, então tesouras e zooms são necessários e estes mudam a forma da imagem.</p><p>Caso de inconsistência entre uma transformação direta e inversa é quando o mapeamento um-para-um entre as</p><p>imagens quebra. Ao contrário de muitos métodos de registro bayesianos que usam priores lineares [1, 10, 17, 3,</p><p>2], o esquema bayesiano aqui usa uma função de penalidade que se aproxima do infinito se uma singularidade</p><p>começa a aparecer no campo de deformação. Isto é conseguido considerando as transformações espaciais</p><p>para frente e inversa ao mesmo tempo. Por exemplo, quando o comprimento de uma estrutura é duplicado na</p><p>transformação para a frente, isso significa que o comprimento deve ser reduzido para metade na transformação</p><p>inversa. Por causa disso, a função de penalidade usada aqui é a mesma para o avanço e o inverso de uma</p><p>dada transformação espacial. A forma ideal para esta função deve ser baseada nos logs dos valores singulares</p><p>das matrizes jacobianas com distribuições normais, mas a função computada mais rapidamente descrita na</p><p>Seção 4.2.4 é suficientemente próxima</p><p>aproximação.</p><p>A função penalidade é invariante às orientações relativas das imagens. Não penaliza as rotações ou</p><p>traduções isoladamente, apenas as relativas à posição dos voxels vizinhos. Para reposicionar uma região</p><p>em relação aos seus vizinhos, é necessário introduzir escala e cisalhamento nas transformações afim. É</p><p>esta escala e cisalhamento que o modelo penaliza, e não a posição e orientação em si (ver Figura 4.18).</p><p>Apenas a forma do potencial anterior foi declarada, e pouco foi dito sobre sua magnitude em relação ao</p><p>potencial de verossimilhança. Isso ocorre porque não está claro quais devem ser as magnitudes relativas dos</p><p>dois conjuntos de potenciais. \ relaciona-se com a nossa crença na quantidade de variabilidade estrutural</p><p>cerebral que é provável que seja observada na população. Um valor relativamente grande para \ resulta em que</p><p>as deformações sejam mais suaves, à custa de uma maior diferença quadrada residual entre as imagens,</p><p>enquanto um pequeno valor para À resultará em uma menor diferença quadrada residual, mas menos</p><p>deformações suaves. As distribuições anteriores descritas neste capítulo são estacionárias (uma vez que ) é</p><p>constante em todo o texto). Na realidade, é muito provável que a verdadeira quantidade de variabilidade</p><p>estrutural cerebral seja diferente de região para região [16], de modo que um conjunto de priores não</p><p>estacionários deveria, em teoria,</p><p>produzir estimativas MAP mais válidas.</p><p>Grande parte da variabilidade não estacionária será maior em algumas direções do que em outras. Uma</p><p>maneira alternativa de entender a função de penalidade com base em logs normalmente distribuídos de</p><p>valores singulares, é considerar os tensores de tensão de Hencky das deformações (ver Capítulo 6). O</p><p>modelo potencial anterior descrito neste capítulo é essencialmente minimizar a soma dos quadrados dos</p><p>elementos tensores de Hencky. A variabilidade anisotrópica pode ser modelada assumindo diferentes</p><p>variâncias para cada elemento tensor de Hencky, permitindo assim mais alongamento ou contração em</p><p>algumas direções do que em outras. Outras propriedades do material poderiam ser introduzidas modelando</p><p>também a covariância entre os elementos tensores. Por exemplo, fazendo todos os elementos diagonais do</p><p>tensor correlacionados, então as deformações poderiam ser forçadas a ser as mesmas em todas as direções.</p><p>Outro</p><p>28 CAPÍTULO 4. DEFORMAÇÃO DE IMAGEM DE ALTA DIMENSÃO</p><p>Forma Original Primeira Rotação</p><p>2 2</p><p>1 1</p><p>0 0</p><p>-1 -1</p><p>-2 -2</p><p>-2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2</p><p>Rotação e Alongamento Ortogonal Girar, esticar e girar</p><p>2 2</p><p>1 1</p><p>0 00</p><p>-1 -1</p><p>-2 -2</p><p>-2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2</p><p>Figura 4.19: Uma matriz de transformação afim que executa um cisalhamento deve ter valores singulares que</p><p>não sejam iguais a um. Esta figura mostra um cisalhamento aplicado a um quadrado e círculo decomposto nos</p><p>passos definidos pela decomposição do valor singular. O alongamento que ocorre entre a subfigura superior</p><p>direita, e a subfigura inferior esquerda, é o que seria penalizado. Note-se que o cisalhamento não altera a área</p><p>dos objetos, de modo que uma penalidade baseada apenas nos determinantes jacobianos não teria efeito sobre</p><p>esse tipo de distorção.</p><p>o modelo de covariância poderia ser usado para forçar as deformações a serem preservadas de volume (isocórico),</p><p>forçando o traço do tensor de Hencky a igual a zero. Distribuições de probabilidade prévias ainda mais complexas</p><p>poderiam ser concebidas que envolvessem a modelagem da covariância entre os tensores de deformação de</p><p>triângulos vizinhos (ou mesmo remotos) ou tetraedros. Em teoria, tais modelos poderiam ser usados para fazer regiões</p><p>inteiras se esticarem ou contraírem uniformemente.</p><p>Estimar a quantidade normal de variabilidade estrutural não é simples. Métodos de registro podem ser</p><p>usados para fazer isso, registrando um grande número de imagens cerebrais em um modelo canônico. No</p><p>entanto, as estimativas de variabilidade estrutural serão fortemente dependentes dos priores usados pelo</p><p>algoritmo. Surge uma situação de "ovo e galinha", em que os priores são necessários para estimar os</p><p>campos de deformação ideais, e os campos de deformação são necessários para estimar os priores</p><p>corretos. Pode ser possível superar este problema usando um método Bayes empírico (ver Capítulo 13)</p><p>para estimar os hiperparâmetros desconhecidos (ou seja, o2 e À), que descrevem a importância relativa</p><p>dos diferentes componentes da função objetiva.</p><p>4.4.4 O Algoritmo de Otimização</p><p>O método procura a solução MAP, que é a realização mais provável de todos os campos de deformação</p><p>possíveis. O algoritmo de descida mais íngreme que é usado não garante que a solução MAP globalmente</p><p>ótima será alcançada, mas significa que uma solução ótima local pode ser alcançada - eventualmente.</p><p>Métodos de otimização robustos que quase sempre encontram o ideal global levariam um tempo</p><p>extremamente longo para serem executados com um modelo que usa milhões de parâmetros. Estes</p><p>métodos simplesmente não são viáveis para uso rotineiro em problemas desta escala. No entanto, se sulcos</p><p>e giros podem ser facilmente rotulados a partir das imagens cerebrais, então métodos robustos podem ser</p><p>aplicados para corresponder às características rotuladas. Métodos robustos tornam-se mais práticos quando</p><p>.....</p><p>....</p><p>........</p><p>BIBLIOGRAFIA 29</p><p>A quantidade de informação é reduzida a algumas características principais. A correspondência robusta pode</p><p>então ser usada para enviesar o registro de alta dimensão [13, 19, 8], aumentando assim a probabilidade de</p><p>obter o ótimo global.</p><p>Se as estimativas iniciais estiverem suficientemente próximas do ideal global, então é mais provável</p><p>que o algoritmo encontre a verdadeira solução MAP. Portanto, a escolha dos parâmetros iniciais pode</p><p>influenciar a validade do resultado final do registro. Uma superfície de erro baseada apenas no</p><p>potencial anterior não contém nenhum mínimo local. No entanto, pode haver muitos mínimos locais</p><p>quando o potencial de probabilidade é adicionado a isso. Portanto, se o potencial posterior é dominado</p><p>pelo potencial de verossimilhança, então é muito menos provável que o algoritmo alcance a verdadeira</p><p>solução MAP. Se se quiserem estimar deformações de frequência muito elevada, os parâmetros iniciais</p><p>devem estar muito próximos da solução ótima.</p><p>Um método para aumentar a probabilidade de alcançar uma boa solução é reduzir gradualmente o valor de X em</p><p>relação a 1/02 ao longo do tempo. Isso tem o efeito de fazer com que o registro estime as deformações mais globais</p><p>antes de estimar deformações mais detalhadas. A maior parte da variabilidade espacial é de baixa frequência, de</p><p>modo que o algoritmo pode chegar razoavelmente perto de uma boa solução usando um valor relativamente alto</p><p>para lambda. Isso também reduz o número de mínimos locais para as primeiras iterações. As imagens também</p><p>devem ser mais suaves para as iterações anteriores, a fim de reduzir a quantidade de informações confusas e o</p><p>número de mínimos locais. Uma análise destas abordagens pode ser consultada em [15].</p><p>É usado um valor para o2 baseado na diferença quadrada residual entre as imagens após a iteração</p><p>anterior. O2 é maior para as iterações iniciais, de modo que o potencial posterior é baseado mais nos</p><p>anteriores. Diminui ao longo do tempo, diminuindo assim a influência dos priores e permitindo estimar</p><p>deformações de maior frequência. Da mesma forma, para o exemplo em que as imagens foram</p><p>registradas em sua média, a imagem do modelo foi mais suave no início. Cada vez que o modelo foi</p><p>recriado, ele foi ligeiramente mais nítido do que a versão anterior. As informações de alta frequência que</p><p>confundiriam o registro nas iterações iniciais são gradualmente reintroduzidas na imagem do modelo,</p><p>conforme necessário.</p><p>À primeira vista, parece que otimizar os milhões de parâmetros que descrevem um campo de</p><p>deformação seria uma tarefa impossível. Deve-se notar que esses parâmetros estão todos</p><p>relacionados entre si, uma vez que a regularização tende a preservar a forma da imagem, e assim</p><p>reduz o número efetivo de graus de liberdade que o modelo tem para se encaixar. O caso limite seria</p><p>definir o parâmetro de regularização \ ao infinito. Desde que as condições de contorno o permitissem,</p><p>isso teoricamente reduziria a dimensionalidade do problema a uma transformação de corpo rígido de</p><p>seis parâmetros (embora a implementação atual fosse incapaz de lidar com um À do infinito).</p><p>Bibliografia</p><p>[1] Y. Amit, U. Grenander e M. Piccioni. Restauração de imagem estrutural através de modelos</p><p>deformáveis. Jornal da Associação Americana de Estatística, 86:376-387, 1991.</p><p>[2] F. L. Bookstein. Principais urdiduras: estrias de placas finas e decomposição de deformações. IEEE Transactions on Pattern</p><p>Analysis and Machine Intelligence (Transações IEEE em análise de padrões e inteligência de máquina), 11(6):567-585, 1989.</p><p>[3] F. L. Bookstein. Métodos de marco para formas sem pontos de referência: Morfometria de diferenças de</p><p>grupo na forma do contorno. Análise de Imagem Médica, 1(3):225-243, 1997.</p><p>[4] G. E. Christensen. Transformações elásticas lineares consistentes para correspondência de imagens. In A.</p><p>Kuba et al., editor, Proc. Information Processing in Medical Imaging, páginas 224-237, Berlim, Heidelberg,</p><p>1999. Springer-Verlag.</p><p>30 CAPÍTULO 4. DEFORMAÇÃO DE IMAGEM DE ALTA DIMENSÃO</p><p>[5] G. E. Christensen, R. D. Rabbitt e M. I. Miller. Mapeamento cerebral 3D usando uma</p><p>neuroanatomia</p><p>deformável. Física em Medicina e Biologia, 39:609-618, 1994.</p><p>[6] G. E. Christensen, R. D. Rabbitt e M. I. Miller. Modelos deformáveis usando cinemática de</p><p>deformação grande. 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Lavallee, editores, Proc.</p><p>CVRMed-MRCAS'97, Heidelberg, 1997. Springer-Verlag.</p><p>[11] A. Goshtasby. Funções de mapeamento cúbico por partes para registro de imagens. Reconhecimento de Padrões,</p><p>20(5):525-533, 1987.</p><p>[12] A. Guéziec e R. Hummel. Exploração da extração superficial triangulada utilizando decomposição</p><p>tetraédrica. Transações IEEE em visualização e computação gráfica, 1:328-342,</p><p>1995.</p><p>[13] S. C. Joshi, M. I. Miller, G. E. Christensen, A. Banerjee, T. A. Coogan e U. Grenander.</p><p>Mapeamento cerebral hierárquico através de soluções generalizadas de dirichlet para mapeamento de</p><p>variedades cerebrais. In Simpósio Internacional de Ciência Ótica, Engenharia e Instrumentação da SPIE,</p><p>1995.</p><p>[14] L. Le Briquer e J. C. Gee. Desenho de um modelo estatístico da forma do cérebro. In J. Duncan e G.</p><p>Gindi, editores, Proc. Information Processing in Medical Imaging, páginas 477-482, Berlim,</p><p>Heidelberg, Nova Iorque, 1997. Springer-Verlag.</p><p>[15] H. Lester e S. R. Arridge. Um levantamento do registro hierárquico não linear de imagens médicas. Reconhecimento de</p><p>Padrões, 32:129-149, 1999.</p><p>[16] H. Lester, S. R. Arridge, K. M. Jansons, L. Lemieux, J. V. Hajnal e A. Oatridge. Registo não linear</p><p>com o algoritmo de fluido de viscosidade variável. In A. Kuba et al, editor, Proc. Information</p><p>Processing in Medical Imaging, páginas 238-251, Berlim, Heidelberg, 1999. Springer-Verlag.</p><p>[17] M. I. Miller, G. E. Christensen, Y. Amit e U. Grenander. Manual de matemática de</p><p>neuroanatomias deformáveis. Proc. Academia Nacional de Ciências, 90:11944-11948, 1993.</p><p>[18] J.- P. Thirion. Correspondência rápida e não rígida de imagens médicas 3D. Relatório técnico 2547,</p><p>Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique, maio de 1995. Disponível a partir de</p><p>http://www.inria.fr/RRRT/RR-2547.html.</p><p>[19] P. M. Thompson e A. W. Toga. Visualização e mapeamento de anormalidades anatômicas usando um</p><p>atlas cerebral probablístico baseado em transformações aleatórias de fluidos. In Proc. Visualização em</p><p>Computação Biomédica, páginas 383-392, 1996.</p><p>BIBLIOGRAFIA 31</p><p>[20] R. P. Woods, S. T. Grafton, C. J. Holmes, S. R. Cherry e J. C. Mazziotta. Registo automatizado de</p><p>imagens: I. Métodos gerais e intrasujeito, validação intramodalidade. Revista de Tomografia</p><p>Assistida por Computador, 22(1):139-152, 1998.</p>