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<p>Coleção S CHAUM COMUNICAÇÃO ANALÓGICA E DIGITAL edição Hwei P. Hsu 333 problemas resolvidos e com explicações completas Conteúdo atualizado sobre informação e capacidade de canal Capítulo sobre sinais e espectro 130 problemas complementares ® Bookman</p><p>AUTORIZADA DE H873t Hsu, Hwei P. Teoria e problemas de comunicação analógica e digital / Hwei P. Hsu : tradução Gustavo Guimarães Paiva. - 2. ed. - Porto Alegre : Bookman, 2006. 340 p. : 28 cm. - (Coleção Schaum) ISBN 978-85-363-0665-0 1. Comunicação elétrica - Ruído. 2. Sistema - Comunicação. 3. Sinal - Processamento digital. 4. Transmissão digital. 5. Transmissão analógica. I. CDU 621.391 Catalogação na publicação: Júlia Angst Coelho - CRB 10/1712</p><p>HWEI P. HSU, Ph.D. Professor de Engenharia Elétrica na Farleigh Dickinson University Teoria e Problemas de COMUNICAÇÃO ANALÓGICA E DIGITAL Edição Tradução: Gustavo Guimarães Paiva Doutor em Engenharia Elétrica (CPDEE - UFMG) Professor Adjunto do Departamento de Engenharia Eletrônica da UFMG Consultoria, supervisão e revisão técnica desta edição: Antônio Pertence Júnior Engenheiro Eletrônico e de Telecomunicações Especialista em Processamento de Sinais (Ryerson University - Canadá) Professor de Telecomunicações da FUMEC (MG) Professor Titular da Faculdade de Sabará/MG 2006</p><p>Obra originalmente publicada sob o título Schaum's Outline: Analog and Digital Communications, 2/E Hwei P. Hsu Original edition 2003, The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. ISBN 0-07-140228-4 Capa: Rogério Grilho Preparação de original: Mareci Pedron de Oliveira Supervisão editorial: Denise Weber Nowaczyk Editoração eletrônica: Laser House Hwei P. Hsu recebeu seu B.S. da National Taiwan University e seu M.S. e Ph.D. do Case Institute of Technology. Ele já publicou diversos livros, incluindo Teoria e Problemas de Sinais e Sistemas (Coleção Schaum) e Schaum's Outlines of Probability, Random Variables & Random Processes. Reservados todos os direitos de publicação, em língua portuguesa, à EDITORA S.A. (BOOKMAN® COMPANHIA EDITORA é uma divisão da EDITORA S.A.) Av. Jerônimo de Ornelas, 670 - Santana 90040-340 Porto Alegre RS Fone (51) Fax (51) 3027-7070 É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, no todo ou em parte, sob quaisquer formas ou por quaisquer meios (eletrônico, mecânico, gravação, fotocópia, distribuição na Web e sem permissão expressa da Editora. SÃO PAULO Av. Angélica, 1.091 Higienópolis 01227-100 São Paulo SP Fone (11) 3665-1100 Fax (11) 3667-1333 SAC 0800 703-3444 IMPRESSO NO BRASIL PRINTED IN BRAZIL</p><p>Prefácio objetivo deste livro, tal como na edição anterior, é fornecer uma introdução aos princípios básicos em comunica- ção analógica e digital para alunos de graduação avançados em engenharia elétrica ou de computação. Considera- se o conhecimento anterior sobre análise de circuitos, mas uma prévia exposição ao curso de sinais e sistemas tam- bém é útil. O livro pode ser utilizado como um livro-texto e para o estudo individual. Cada capítulo apresenta um tópico com vários problemas resolvidos, os quais constituem uma parte integral do texto. Nesta edição, dois capítulos tratam de ferramentas básicas. Essas ferramentas são, então, aplicadas aos três ca- pítulos seguintes em sistema de comunicação analógica, incluindo a amostragem e transmissão digital de sinais analógicos. Probabilidade, variáveis aleatórias e processos aleatórios são apresentados nos Capítulos 6 e 7 e apli- cados aos capítulos O efeito do ruído em sistemas de comunicação analógica é estudado no Capítu- lo 8. O Capítulo 9 aborda o efeito do ruído na comunicação digital e a recepção ótima. Teoria da informação e co- dificação de fonte são tratados no Capítulo 10. Esta edição contém um capítulo novo, o Capítulo 11, sobre codifi- cação de controle de erro, incluindo códigos lineares de bloco, códigos cíclicos e códigos convolucionais. Montville, New Jersey HWEI P. HSU</p><p>Sumário CAPÍTULO 1 Sinais e Espectro 11 1.1 Introdução 11 1.2 Série de Fourier e Espectro Discreto 11 1.3 Transformada de Fourier e Espectro Contínuo 12 1.4 Propriedades da Transformada de Fourier 13 1.5 Transformadas de Fourier de Sinais de Potência 15 CAPÍTULO 2 Transmissão e Filtragem de Sinais 34 2.1 Introdução 34 2.2 Resposta ao Impulso e Resposta em 34 2.3 Características de Filtragem de Sistemas LIT 36 2.4 Transmissão de Sinais em Sistemas LIT 36 2.5 Filtros 37 2.6 Filtros de Quadratura e Transformada de Hilbert 39 CAPÍTULO 3 Modulação em Amplitude 52 3.1 Introdução 52 3.2 Modulação em Amplitude 52 3.3 Modulação com Faixa Lateral Dupla 53 3.4 Modulação em Amplitude Ordinária 54 3.5 Modulação com Faixa Lateral Única 56 3.6 Modulação de Faixa Lateral Única Vestigial 58 3.7 Translação de e Mixagem 60 3.8 Multiplexação por Divisão de 61 CAPÍTULO 4 Modulação em Ângulo 76 4.1 Introdução 76 4.2 Modulação em Ângulo e Instantânea 76 4.3 Modulação por Fase e 77 4.4 Espectro de Fourier de Sinais Modulados em Ângulo 78 4.5 Modulação em Ângulo em Banda Estreita 78 4.6 Modulação Senoidal (ou por Tom) 79 4.7 Largura de Faixa de Sinais Modulados em Ângulo 80 4.8 Geração de Sinais Modulados em Ângulo 81 4.9 Demodulação de Sinais Modulados em Ângulo 82</p><p>8 SUMÁRIO CAPÍTULO 5 Transmissão Digital de Sinais Analógicos 98 5.1 Introdução 98 5.2 Modulação por Codificação de Pulso 98 5.3 Teorema da Amostragem 99 5.4 Amostragem 99 5.5 Modulação em Amplitude de Pulso 101 5.6 Quantização 101 5.7 Codificação 104 5.8 Requisito de Largura de Faixa do PCM 104 5.9 Modulação Delta 105 5.10 Formato de Sinalização 107 5.11 Multiplexação por Divisão no Tempo 108 5.12 Requisitos de Largura de Faixa para TDM 109 5.13 Formatação do Pulso e Interferência entre Símbolos 109 5.14 Sistemas de Modulação Digital de Portadora 112 CAPÍTULO 6 Probabilidade e Variáveis Aleatórias 135 6.1 Introdução 135 6.2 Probabilidade 135 6.3 Variáveis Aleatórias 138 6.4 Variáveis Aleatórias Bidimensionais 140 6.5 Funções de Variáveis Aleatórias 142 Medidas Estatísticas 144 6.7 Distribuições Especiais 146 CAPÍTULO 7 Processos Aleatórios 174 7.1 Introdução 174 7.2 Definições e Notações de Processos Aleatórios 174 7.3 Estatísticas de Processos Aleatórios 175 7.4 Correlações de Densidades de Potência Espectral 178 7.5 Transmissão de Processos Aleatórios em Sistemas Lineares 180 7.6 Classes Especiais de Processos Aleatórios 181 CAPÍTULO 8 Ruído em Sistemas de Comunicação Analógica 210 8.1 Introdução 210 8.2 Ruído Aditivo e Relação Sinal/Ruído 210 8.3 Ruído em Sistemas de Comunicação Banda Base 211 8.4 Ruído em Sistemas de Modulação em Amplitude 212 8.5 Ruído em Sistemas de Modulação em Ângulo 216 CAPÍTULO 9 Detecção Ótima 235 9.1 Introdução 235 9.2 Detecção de Sinal Binário e Teste de Hipótese 235 9.3 Probabilidade de Erro e Detector de Probabilidade Máxima 236 Detecção Ótima 238 9.5 Performance da Probabilidade de Erro em Sistemas de Transmissão Binária 240 CAPÍTULO 10 Teoria da Informação e Codificação de Fonte 255 10.1 Introdução 255 10.2 Medida de Informação 255</p><p>SUMÁRIO 9 10.3 Canais Discretos sem Memória 257 10.4 Informação Mútua 260 10.5 Capacidade do Canal 261 10.6 Canal Ruído Branco Gaussiano Aditivo 262 10.7 Codificação de Fonte 263 10.8 Codificação de Entropia 265 CAPÍTULO 11 Codificação de Controle de Erro 291 11.1 Introdução 291 11.2 Codificação do Canal 291 11.3 Códigos de Bloco 292 Códigos Lineares de Bloco 292 11.5 Códigos Cíclicos 295 11.6 Códigos Convolucionais 299 11.7 Decodificação de Códigos Convolucionais 304 APÊNDICE A Transformada de Fourier 329 APÊNDICE B Funções de Bessel (B) 331 APÊNDICE C Função Erro Complementar Q (z) 333 ÍNDICE 335</p><p>Capítulo 1 Sinais e Espectro 1.1 INTRODUÇÃO Neste capítulo, será feita uma revisão dos fundamentos de sinais no domínio da A descrição do domí- nio da geralmente é chamada de A análise espectral de sinais usando a série de Fourier e a transformada de Fourier é um dos métodos fundamentais utilizados na engenharia de comunicação. 1.2 SÉRIE DE FOURIER E ESPECTRO DISCRETO A. Série Exponencial Complexa de Fourier: um sinal periódico com período fundamental Define-se, então, a série exponencial complexa de Fou- rier de dada por (1.1) onde (1.2) para algum instante arbitrário Fazendo teremos (1.3) Os coeficientes C, são chamados de coeficientes de Fourier de Eles são, geralmente, números complexos, po- dendo ser expressos por (1.4) onde é a amplitude e é o ângulo de fase de</p><p>12 TEORIA E PROBLEMAS DE ANALÓGICA E DIGITAL B. Espectro de O gráfico de em função da angular = é chamado de espectro da amplitude do sinal periódico x(t). gráfico de 0, em função de é chamado de espectro de fase de x(t). Como o índice n pode assumir apenas números inteiros, o espectro de de um sinal periódico existe apenas em discretas sen- do chamado, portanto, de espectro discreto de ou espectro de linha. Se o sinal periódico for uma função real no tempo, então, (1.5) Isso significa que, para um sinal periódico real, os coeficientes positivos e negativos são conjugados, ou seja, (1.6) Logo, o espectro de amplitude é uma função par de e o espectro de fase é uma função de C. Potência de um Sinal Periódico e Teorema de Parseval: A potência de um sinal periódico x(t) é definida pelo valor médio quadrático em um período: (1.7) teorema de Parseval para a série de Fourier diz que se x(f) for um sinal periódico com período então (1.8) 1.3 TRANSFORMADA DE FOURIER E ESPECTRO CONTÍNUO Para generalizar a representação por série de Fourier (1.1) em uma representação válida de sinais não-periódicos no domínio da será apresentada a transformada de Fourier. A. Definição: Seja x(f) um sinal não-periódico. A transformada de Fourier de x(t), simbolizada por F é definida por: (1.9) A transformada inversa de Fourier de X(w), simbolizada por é definida por (1.10) As Equações (1.9) e (1.10) são, geralmente, chamadas de par transformada de Fourier, descritas por B. Espectro de Em geral, a transformada de Fourier é uma função complexa da angular de tal forma que pode- mos expressá-la na forma (1.11) Onde é chamado de espectro contínuo de amplitude de x(t) e é chamado de espectro contínuo de fase de Portanto, o espectro é chamado de espectro contínuo, pois tanto a amplitude quanto a fase de X(w) são fun- ções contínuas da</p><p>CAPÍTULO 1 SINAIS E ESPECTRO 13 Se x(t) for uma função real no tempo, teremos (1.12) ou (1.13) Portanto, tal como na série complexa de Fourier, o espectro de amplitude é uma função par de (1), e o espec- tro de fase é uma função de (1). C. Energia do Sinal e Teorema de Parseval: A energia normalizada E de um sinal x(t) é definida por E (1.14) Se E for finita (E < então diz-se que x(t) é um sinal de energia. Se então define-se a potência média nor- malizada P dada por P (1.15) Se P for finita (P então x(f) é dito ser um sinal de potência. Note que um sinal periódico é um sinal de potên- cia se a sua energia por período for finita. O teorema de Parseval para a transformada de Fourier afirma que se for um sinal de energia, então (1.16) 1.4 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER 1. Linearidade (Sobreposição): (1.17) 2. Deslocamento no Tempo: (1.18) A Equação (1.18) mostra que o efeito de um deslocamento no domínio do tempo implica em, simplesmente, adi- cionar o termo linear ao espectro de fase original 3. Deslocamento na (1.19) 4. Escalonamento: (1.20) A Equação (1.20) mostra que a compressão no tempo de um sinal resulta em uma expansão espectral e que a expansão do sinal resulta em uma compressão espectral.</p><p>14 TEORIA E PROBLEMAS DE COMUNICAÇÃO ANALÓGICA E DIGITAL 5. Inversão no tempo: (1.21) 6. Dualidade: (1.22) 7. Diferenciação: Diferenciação no tempo: (1.23) A Equação (1.23) mostra que o efeito da diferenciação no domínio do tempo é a multiplicação de X(w) por jw no domínio da Diferenciação na (1.24) 8. Integração: Se X(0) )=0, então, du (1.25) A Equação (1.25) mostra que o efeito da integração no domínio do tempo é a divisão de X(w) por jw no domínio da assumindo que X(0) = 0. Note que, pela definição (1.9) (1.26) O caso mais geral de X(0) 0 é considerado na Seção 1.5 [Eq. (1.42)]. 9. Convolução: A convolução de dois sinais denotada por é um novo sinal definido por (1.27) Logo, (1.28) A Equação (1.28) é chamada de teorema da convolução no tempo, mostrando que a convolução no domínio do tem- po é a multiplicação no domínio da (Prob 1.18). Note que a operação da convolução é comutativa, ou seja,</p><p>CAPÍTULO 1 E ESPECTRO 15 10. Multiplicação: (1.29) A Equação (1.29) é geralmente referenciada como sendo o teorema da convolução na Portanto, a mul- tiplicação no domínio do tempo é a convolução no domínio da 1.5 TRANSFORMADAS DE FOURIER DE SINAIS DE POTÊNCIA Para determinar a transformada de Fourier de um sinal periódico ou um sinal de potência, a função impulso unitá- rio será apresentada A. Função Impulso: A função impulso unitário, também chamada de função delta de Dirac, não é uma função ordinária, sendo de- finida em termos do seguinte processo: (1.30) onde o(f) é qualquer função regular contínua A Equação (1.30) e todas as expressões tam- bém são válidas para o impulso no domínio da simplesmente substituindo por Note que a Eq. (1.30) é uma expressão simbólica, não devendo ser considerada como uma integral ordinária de Neste sentido, é geralmente chamada de função generalizada e é conhecida como função de tes- te. Uma classe diferente de função de teste definirá uma função generalizada diferente. Similarmente, a função del- ta atrasada - é definida por (1.31) onde é qualquer função regular contínua para Algumas das propriedades adicionais de são (1.32) se for contínua para = to (1.33) se for contínua para = (1.34) (1.35) (1.36) (1.37) Note que a Equação (1.35) pode ser obtida fazendo-se na Eq. As Equações (1.33) e (1.37) são casos especiais das Eqs. (1.32) e (1.36), respectivamente, para Uma definição alternativa para é fornecida pelas duas seguintes condições: (1.38) (1.39)</p><p>16 TEORIA E PROBLEMAS DE ANALÓGICA E DIGITAL As condições (1.38) e (1.39) correspondem à noção intuitiva de um impulso unitário como sendo o limite de uma escolha adequada de uma função convencional, possuindo área unitária e uma largura infinitamente pequena. Por conveniência, é mostrada esquematicamente na Fig. 1-1(a). B. Transformada de Fourier de e do Sinal Constante: Usando a Eq. (1.9) e Eq. (1.30), a transformada de Fourier de é dada por 1 Temos, portanto, o seguinte par transformada de Fourier para (1.40) Esta relação afirma que o espectro de estende-se uniformemente em todo o intervalo de como mos- tra a Fig. 1-1(b). x(r) X(w) 1 0 (a) (b) Fig. 1-1 Função impulso unitário e seu espectro. Pela aplicação da propriedade da dualidade [Eq. à Eq. (1.40) e reparando que a função delta é uma fun- ção par [Eq. (1.35)], obtém-se (1.41) A Equação (1.41) mostra que o espectro de um sinal constante (ou sinal cc) [Fig. é a função delta ocorrendo à zero, como mostrado na Fig. 1-2(b). x(t) X(w) 1 0 o (a) (b) Fig. 1-2 Sinal constante e seu espectro. C. Propriedade da Integração: Se X(0) # 0, então (1.42) Problemas Resolvidos Série de e Espectro Discreto 1.1 Desenvolva a Eq. (1.2).</p><p>CAPÍTULO 1 SINAIS E ESPECTRO 17 Como = e = para qualquer to e para n partir deste resultado, tem-se que (1.43) onde é a delta de Kroneker, definida por (1.44) Multiplicando ambos os lados da Eq. (1.1) por e integrando (alterando a ordem da integração e da soma), obtemos = Portanto, Trocando m por n obtém-se a Eq. (1.2). 1.2 Considere a forma de onda quadrada periódica x(t) mostrada na Fig. 1-3(a). Determine a série de Fourier comple- xa de e trace o espectro de amplitude para (a) a = T/4 e (b) Seja Devido à simetria de x(f) com relação usaremos a Eq. (1.3) para determinar os coeficientes da série de Fourier de x(f). x(1) I -T -a 0 a T (a) -2 2 (b) (c) Fig. 1-3 Trem de pulso retangular e seu espectro de amplitude (a) forma de onda quadrada periódica, (b) a = T/4, (c) a =T/8.</p><p>18 TEORIA E PROBLEMAS DE COMUNICAÇÃO ANALÓGICA E DIGITAL (1.45) (1.46) (a) = nn O espectro de amplitude para este caso está mostrado na Fig. 1-3(b). (b) = espectro de amplitude para este caso está mostrado na Fig. 1-3(c). 1.3 Determine a série de Fourier complexa para a forma de onda quadrada periódica y(f) mostrada na Fig. y(r) -T - 0 2a T Fig. 1-4 Seja (1.47) Comparando a Fig. 1-4 com a Fig. 1-3(a), observa-se por a na Eq. (1.1), teremos tem-se (1.48) A partir da Eq. (1.48) observa-se que o espectro de amplitude de um sinal deslocado no tempo permanece o mesmo. sendo que o efeito do deslocamento no tempo do sinal é a introdução de um deslocamento de fase em seu espectro de fa- se, sendo o deslocamento uma função linear de 1.4 Considere o sinal Determine a série de Fourier complexa de x(f) e trace seu espectro de Pode-se utilizar a Eq. (1.3) para se determinar os coeficientes de Fourier, mas neste caso é mais simples utilizar a fórmula de Euler e identificar, por os coeficientes de Fourier. Pode-se expressar por =</p><p>CAPÍTULO 1 SINAIS E ESPECTRO 19 = 0 para espectro de de sen está mostrado na Fig. 1-5. 1/2 2 -3 -1 o 1 2 3 n x12 -2 (a) -3 o 2 3 n -x/2 (b) Fig. 1-5 sen e seu espectro. 1.5 Determine a série de Fourier complexa para o sinal = Novamente, utilizando a fórmula de Euler, teremos = Portanto, tem-se que e todos os outros valores de são iguais a zero. 1.6 são sinais periódicos com período T, e suas expressões da série de Fourier complexa são mostre que o sinal é periódico com o mesmo período podendo ser expresso por onde é dado por (1.49) k=-00</p><p>20 TEORIA E PROBLEMAS DE COMUNICAÇÃO E DIGITAL Portanto, x(f) é periódica com período T. Seja Logo, dt dt dt dt = k=-00 1.7 os dois sinais periódicos do Prob. 1.6. Mostre que (1.50) A Equação (1.50) é conhecida como fórmula de Parseval. A partir do Prob. 1.6 e da Eq. temos dt = k=-00 Fazendo =0, na expressão acima, obtemos = = Transformada de Fourier e Espectro Contínuo 1.8 Considere o sinal [Fig. 1-6(a)] (1.51) onde u(t) é a função degrau unitário, definida por (1.52) Determine a transformada de Fourier de e faça um esboço de seus espectros de amplitude e fase. A partir da Eq. (1.9), temos 1 (1.53) espectro de amplitude e fase de são os quais estão mostrados na Fig. 1-6(b) e (c).</p><p>CAPÍTULO 1 SINAIS E ESPECTRO 21 Va 1 x(r) -a 0 a w (b) #/2 o /4 (a) a Fig. 1-6 1.9 Determine a transformada de Fourier do sinal [Fig. 1-7(a)] a>0 (1.54) sinal x(t) pode ser reescrito por Logo, Assim sendo, teremos (1.55) A transformada de Fourier X(w) de x(f) está mostrada na Fig. 1-7(b). X(w) I 2a 0 o (a) (b) Fig. 1-7</p><p>22 TEORIA E PROBLEMAS DE COMUNICAÇÃO ANALÓGICA E DIGITAL 1.10 Determine a transformada de Fourier do sinal pulso retangular, [Fig. 1-8(a)], definida por (1.56) senaw (1.57) A transformada de Fourier de está mostrada na Fig. 1-8(b). x(r) X(w) 2a I -a 0 a 0 (a) (b) Fig. 1-8 1.11. Aplicando a transformada inversa de Fourier [Eq. (1.10)] à Eq. (1.57) para t=0, mostre que a>0 (1.58) Substituindo a Eq. (1.57) na Eq. (1.10), temos sen A partir da Eq. (1.56) ou da Fig. 1-8(a), sen aw a>0 Quando a < obtém-se sen pois sen(-0) = 1.12 Dado X(w) = determine x(f). A partir da Eq. (1.10) e usando a identidade de Euler, teremos = cot + Como (cos é uma função de a primeira integral do terceiro termo na expressão anterior é zero. Portanto, pela Eq. (1.58), obtemos (1.59) onde sgn(f) (função sinal) é definida por (Fig. 1-9) (1.60)</p><p>CAPÍTULO 1 E ESPECTRO 23 A partir do resultado anterior, tem-se o seguinte par transformada de Fourier (1.61) sgn (1) 1 0 - Fig. 1-9 Função sinal. Propriedades da Transformada de Fourier 1.13 Verifique a propriedade da dualidade (1.22), ou seja, A partir da definição da transformada inversa de Fourier (1.10), temos = Trocando por obtemos Trocando, agora, 1 por Como conclui-se que Determine a transformada de Fourier do sinal [Fig. 1-10(a)] sen at (1.62) A partir do resultado do Prob. 1.10. tem-se aw Agora, a partir da propriedade da dualidade da transformada de Fourier obtém-se</p><p>24 TEORIA E PROBLEMAS DE E DIGITAL Portanto, (1.63) Onde é definida por [veja Eq. (1.56) e Fig. 1-10(b)] x(1) X(w) a - 1 sen at 0 - -a 0 a 3 a (a) (b) Fig. 1-10 1.15 Mostre que se então, (1.64) A Equação (1.64) é conhecida como o teorema da modulação. Usando a identidade de Euler e a propriedade de deslocamento em (1.19), obtemos 1.16 A transformada de Fourier de um sinal x(t) é dada por [Fig. 1-11(a)]: Determine e esboce x(t). A partir da Eq. (1.63) e do teorema da modulação (1.64) tem-se que sen cos a qual é esboçada na Fig. 1-11(b).</p><p>CAPÍTULO 1 SINAIS E ESPECTRO 25 X(w) 2a -wo wo 3 (a) (b) Fig. 1-11 1.17 um sinal real e [x(f)]. Então mostre que (1.65) Pela definição (1.9), temos F = Portanto, se x(t) é real, então Logo, 1.18 Prove o teorema da convolução no tempo (1.28), ou seja, Pelas definições = Alterando a ordem da integração, = Pela propriedade de deslocamento no tempo (1.18) da transformada de Fourier, Portanto, temos Logo,</p><p>26 TEORIA E PROBLEMAS DE ANALÓGICA E DIGITAL 1.19 Considere o sinal real x(f) e assuma (1.66) (a) Mostre que x(f) pode ser expresso por (1.67) onde são os componentes pares e de x(f), respectivamente. (b) Mostre que (1.68) (a) Seja (a) Então, (b) Resolvendo (a) e (b) para determinarmos obtemos (1.69) (b) Agora, se é real, então, a partir da Eq. (1.65) do Prob. 1.17, temos - Portanto, concluímos que A Equação (1.68) mostra que a transformada de Fourier de um sinal real par é uma função real de e que a trans- formada de Fourier de um sinal real é uma função imaginária de 1.20 Usando os resultados do Prob. 1.19, refaça o Prob. 1.9. A partir da Eq. (1.53), temos Pela Eq. (1.69), a componente par de u(f) é dada por Portanto, ou o qual é o mesmo resultado obtido no Prob. 1.9 [Eq. (1.55)].</p><p>CAPÍTULO 1 SINAIS E ESPECTRO 27 1.21 Mostre que se x(f) é limitado em faixa, ou seja sen at então = A partir do Prob. temos sen at = Pelo teorema da convolução no tempo (1.27), sen at = nt senat Logo, 1.22 Se e mostre que (1.70) A partir do teorema da convolução na (1.29), tem-se ou seja, Fazendo (1) = 0, obtém-se = Trocando a variável auxiliar de temos, finalmente, 1.23 Prove o teorema de Parseval da Eq. (1.16) para um sinal real. Se x(t) é real, então, a partir de (1.65) do Prob. 1.17, temos</p><p>28 TEORIA E PROBLEMAS DE ANALÓGICA E DIGITAL Portanto, fazendo na Eq. (1.70) do Prob. obtemos Transformadas de Fourier de Sinais de Potência 1.24 Verifique a propriedade (1.32): A prova será baseada na seguinte propriedade da equivalência: funções generalizadas. Então, a propriedade da equivalência afirma que se e somen- te se = (1.71) para toda função de teste Se x(f) é contínua em então = = para todo Logo, pela propriedade da equivalência (1.71), concluímos que 1.25 Verifique a Eq. (1.36), ou seja, De acordo com a propriedade comutativa da convolução e da definição (1.31) de temos = = 1.26 Determine a série complexa de Fourier do trem de impulsos unitários mostrado na Fig. 1-12(a) e definido por (1.72) Seja A partir da Eq. os coeficientes são</p><p>CAPÍTULO 1 SINAIS E ESPECTRO 29 Portanto, (1.73) -T o T 2T 0 (a) (b) Fig. 1-12 Trem de impulsos unitários e seu espectro de amplitude. 1.27 Determine a transformada de Fourier dos seguintes sinais: (a) (b) (c) = cos (a) Aplicando a propriedade de deslocamento na (1.19) à Eq. (1.41), teremos (1.74) (b) A partir da Eq. (1.74), temos (1.75) (c) Usando a fórmula de Euler. teremos Logo, usando as Eqs. (1.74) e (1.75) e a propriedade da linearidade (1.17), obtemos (1.76) Determine a transformada de Fourier de um sinal periódico com período T. Podemos expressar por Determinando a transformada de Fourier dos dois lados desta equação e usando a Eq. (1.74), obtemos (1.77) Note que a transformada de Fourier de um sinal periódico é constituída por uma de impulsos lo- calizados nas harmônicas do sinal. 1.29 Determine a transformada de Fourier do trem de impulsos unitários periódico [Fig. 1-13(a)]. A partir da Eq. (1.73) do Prob. a série complexa de Fourier de 8,(f) é dada por:</p><p>30 TEORIA E PROBLEMAS DE ANALÓGICA E DIGITAL Usando a Eq. (1.77) do Prob. 1.28. ou (1.78) Portanto, a transformada de Fourier de um trem de impulsos unitário também é similar ao trem de impulsos [veja Fig. 1-13(b)]. -T 0 T 27 0 wo w (a) (b) Fig. 1-13 Trem de impulso unitário e sua transformada de Fourier. 1.30 Determine a transformada de Fourier da função degrau unitário u(t). Como mostrado na Fig. u(t) pode ser expressa por Note que é a componente par de e sgn(f) é a componente de Portanto, a qual, utilizando as Eqs. (1.41) e (1.61) torna-se (1.79) I - 1 2 I 2 = + 0 0 0 2 Fig. 1-14 Função degrau unitário e suas componentes par e 1.31 Mostre que e determine sua transformada de Fourier.</p><p>CAPÍTULO 1 SINAIS E ESPECTRO 31 Pela definição (1.27) da convolução, = pois A seguir, utilizando o teorema da convolução (1.28) e a Eq. (1.79), obtemos = pois = pela Eq. (1.33) 1.32 Utilize o teorema da convolução na (1.29) para obter o teorema da modulação (1.64). (Veja o Prob. 1.15.) A partir da Eq. temos Pelo teorema da convolução na (1.29), * onde a última igualdade é oriunda da Eq. (1.36). Seja um sinal periódico com período fundamental e seja um segmento de entre ou seja, Mostre que (1.80) onde são os coeficientes de Fourier de x(f) e é a transformada de Fourier de Usando a definição (1.9) = Como então,</p><p>32 TEORIA E PROBLEMAS DE COMUNICAÇÃO ANALÓGICA E DIGITAL 1.34 Usando a Eq. (1.80), refaça o Prob. 1.2. A partir da Fig. 1-3 vimos que = da Fig. 1-8(a). Usando a Eq. (1.57) temos Logo, pela Eq. (1.80), obtemos sen a qual é a Eq. (1.45). Problemas Complementares Considere a forma de onda de dente de serra mostrada na Fig. 1-15. Determine e esboce o espectro de amplitu- de e fase de x(t). Resp. = x(t) 1/2 0 T T 2 Fig. 1-15 1.36 Determine o período fundamental e os coeficientes de Fourier do sinal: (a) (b) Resp. (a) (b) Seja os coeficientes de Fourier de um sinal periódico x(f). Determine os coeficientes d, do sinal em termos Resp. 1.38 um sinal periódico com período fundamental Seja cos Expresse os coeficientes de Fou- rier d, de em termos dos coeficientes de Fourier de Resp. 1.39 Mostre que se um sinal x(t) periódico é par, então seus coeficientes de Fourier são reais e se x(f) for então seus coeficientes de Fourier são imaginários. Dica: Utilize a identidade de Euler = cos - j sen na Eq. (1.3). 1.40 Verifique o teorema de Parseval para séries de Fourier, Eq. (1.8). Dica: na fórmula de Parseval (1.50) (Prob. 1.7). Determine a transformada de Fourier de = Resp.</p><p>CAPÍTULO 1 SINAIS E ESPECTRO 33 1.42 Prove o teorema da convolução na ou seja Dica: Aplique a propriedade da dualidade (1.22) ao teorema da convolução no tempo (1.28). Mostre que se então Dica: Repita o teorema da diferenciação no tempo (1.23). 1.44 Determine a transformada de Fourier de sen Resp. Determine a transformada de Fourier de</p><p>Capítulo 2 Transmissão e Filtragem de Sinais 2.1 INTRODUÇÃO A transmissão de sinais é o processo pelo qual o sinal de mensagem é transmitido em um canal de comunicação. A filtragem de sinais propõe-se a alterar o conteúdo espectral do sinal, de tal forma que possa ser realizada uma me- lhor transmissão e recepção do sinal. Muitos canais de comunicação, assim como os filtros, podem ser modelados como sistemas lineares invariantes no tempo. Neste capítulo, iremos rever os conceitos básicos de sistemas linea- res invariantes no tempo analisados no domínio da 2.2 RESPOSTA AO IMPULSO E RESPOSTA EM A. Sistemas Lineares Invariantes no Tempo: Um sistema é um modelo matemático de um processo físico relacionando o sinal de entrada (sinal de fonte ou ex- citação) ao sinal de saída (sinal de resposta). Seja x(f) e y(f) os sinais de entrada e saída, respectivamente, de um sistema. Desta forma, o sistema é visto co- mo o mapeamento de x(f) em y(f), sendo simbolicamente representado por (2.1) onde é o operador que produz a saída y(t) a partir da entrada x(t), como ilustrado na Fig. 2-1. Se o sistema satisfaz as seguintes duas condições, então o sistema é chamado de sistema (2.2) para todos os sinais de entrada (2.3) para todos sinais de entrada e um escalar a. A condição (2.2) é a propriedade de adição e a condição (2.3) é a propriedade da homogeneidade. Se o sistema satisfaz a seguinte condição, então o sistema é chamado de invariante no tempo ou sistema fixo: (2.4) onde to é qualquer constante real. A Equação (2.4) indica que uma entrada atrasada resulta em uma saída atrasada.</p><p>CAPÍTULO 2 TRANSMISSÃO E FILTRAGEM DE SINAIS 35 Se o sistema é linear e invariante no tempo, então o sistema é chamado de sistema linear invariante no tem- po (LIT). Sistema y(r) T Fig. 2-1 Representação do sistema por um operador. B. Resposta ao Impulso: A resposta ao impulso de um sistema LIT é definida como a resposta do sistema quando a entrada é ou seja, (2.5) A função h(t) é podendo ser não nula para (2.6) então, o sistema é chamado de causal. C. Resposta a uma Entrada Arbitrária: A resposta y(f) de um sistema LIT a uma entrada arbitrária x(f) pode ser expressa como sendo convolução de e a resposta do sistema h(t) ao impulso, ou seja, = (2.7) Como a convolução é comutativa, pode-se escrever a saída também por = (2.8) D. Resposta em Aplicando o teorema da convolução no tempo da transformada de Fourier (1.28) à Eq. (2.7), teremos (2.9) onde = H(w) é chamado de resposta em (oufunção de transferência) do sistema. Portanto, (2.10) As relações representadas pelas Eqs. (2.5), (2.7) e (2.9) estão mostradas na Fig. 2.2. Determinando a transformada inversa de Fourier da Eq. (2.9), a saída será (2.11) Portanto, pode-se ver que tanto a resposta ao impulso h(t) quanto a resposta em caracterizam o sis- tema LIT.</p><p>36 TEORIA E PROBLEMAS DE ANALÓGICA E DIGITAL 1 H(w) Sistema LIT X(w) Fig. 2-2 Relações entre as entradas e saídas de um sistema LIT. 2.3 CARACTERÍSTICAS DE FILTRAGEM DE SISTEMAS LIT A resposta em é uma propriedade característica de um sistema LIT, sendo, geralmente, um valor complexo, ou seja, H(w) = (2.12) Quando o sistema LIT apresentar uma resposta ao impulso h(t) real, então H(w) apresentará uma simetria em con- jugado [Eq. (1.65)], ou seja, (2.13) Significando que (2.14) ou seja, a amplitude é uma função par da e a fase é uma função da Seja Y(w) Rescrevendo a Eq. (2.9), teremos (2.15) Logo, obtemos (2.16) (2.17) Observe que o espectro de amplitude do sinal de saída é dado pelo produto do espectro de amplitude do sinal de en- trada pelo espectro de amplitude da resposta em O espectro de fase da saída é dado pela soma do espec- tro de fase do sinal de entrada e do espectro de fase da resposta em Portanto, um sistema LIT atua co- mo um filtro no sinal de entrada; a palavra filtro é utilizada para denotar um sistema que possui algum tipo de com- portamento seletivo em 2.4 TRANSMISSÃO DE SINAIS EM SISTEMAS LIT A. Transmissão sem Distorção: A transmissão sem distorção em um sistema é caracterizada pela reprodução exata da forma do sinal de entrada na saída. Portanto, se x(f) é o sinal de entrada, a saída desejada será (2.18)</p><p>CAPÍTULO 2 TRANSMISSÃO E FILTRAGEM DE SINAIS 37 onde é um tempo de atraso e K é uma constante de ganho. Este fato é ilustrado na Fig. 2-3(a) e (b). Determinan- do a transformada de Fourier dos dois lados da Eq. (2.18) teremos (2.19) A partir da Eq. (2.9), observa-se que para a transmissão sem distorção o sistema deve possuir (2.20) Ou seja, a amplitude de H(w) deve ser constante em toda a faixa de e a fase de H(w) deve ser linear com a Este fato é ilustrado na Fig. 2-3 (c) e (d). x(1) A K 0 0 (a) Sinal de entrada (c) função de (1) KA 0 0 (b) Sinal de saída Inclinação (d) em função de (1) Fig. 2-3 Transmissão sem distorção. B. Distorção em Amplitude e Distorção em Fase: Quando o espectro de amplitude de um sistema não é constante dentro da faixa de de interesse, as componentes de do sinal de entrada são transmitidas com quantidades diferentes de ganho ou atenua- ção. Este efeito é chamado de distorção em Amplitude. Quando o espectro de fase do sistema não é linear com a o sinal de saída possuirá uma forma de onda diferente do sinal de entrada, devido aos diferentes atrasos em função da passagem de diferentes compo- nentes de do sinal de entrada no sistema. Esta forma de distorção é chamada de distorção em 2.5 FILTROS A. Filtros Ideais: Por definição, um filtro ideal possui as características de uma transmissão sem distorção em uma ou mais faixas es- pecíficas de e reposta nula para todas as outras Um filtro passa-faixa (FPF) ideal é definido por (2.21) caso contrário espectro de amplitude e fase de estão mostrados na Fig. 2-4. O FPF ideal permite a passagem de todas as componentes do sinal de entrada cujas estejam entre sem distorção. Todas as outras compo-</p><p>38 TEORIA E PROBLEMAS DE COMUNICAÇÃO ANALÓGICA E DIGITAL nentes do sinal de entrada são rejeitadas. Os parâmetros as de corte inferior e superior, res- pectivamente, do 1 0 0 Fig. 2-4 Resposta em para um FPF ideal. Um filtro passa-baixa (FPB) ideal é definido pela Eq. (2.21) com Um filtro passa-alta (FPA) ideal é defini- do pela Eq. (2.21) com Um filtro rejeita-faixa (FRF) ou filtro notch é definido por (2.22) caso contrário B. Filtros Causais: Observe que todos os filtros ideais discutidos na seção anterior são não-causais, pois h(t) 0 para < Não é pos- sível construir filtros ideais. Como mostrado na Eq. para um filtro causal (ou filtro fisicamente realizável) a resposta ao impulso h(t) deve satisfazer a condição h(t) para < 0 C. Largura de Faixa de Filtros: A Largura de faixa de um filtro passa-baixa ideal é igual à sua de corte, ou seja, = [Fig. 2-11(a)]. A largura de faixa de um filtro passa-faixa ideal é dada por (Fig. 2-4). valor médio é a central do filtro. Um filtro passa-faixa é chamado de estreito se Não se define largura de faixa para um filtro passa-alta ou um filtro rejeita-faixa. Para filtros não ideais ou práticos, uma definição comum de largura de faixa do filtro (ou sistema) é a largura de faixa de 3dB, Para um filtro passa-baixa, é definida como sendo a positiva na qual o es- pectro de amplitude é reduzido para um valor igual a como ilustrado na Fig. 2-5(a). Para o caso de um filtro passa-faixa, é definido pela diferença entre as nas quais H(w) cai para um valor igual a do valor de pico de na média (chamada de de meia-faixa), como ilustra- do na Fig. 2-5(b). Esta definição é um tanto quanto arbitrária, podendo tornar se ambígua ou não-única para respos- tas com vários picos de mas ela é um critério de medição da largura de faixa de sistemas aceita mun- dialmente. Note que cada definição de largura de faixa anterior foi definida apenas no eixo de positi- vas, definindo sempre uma positiva ou uma largura de faixa em um lado apenas. A A A 0 w, 0 w (a) (b) Fig. 2-5 Largura de faixa de filtros.</p><p>CAPÍTULO 2 TRANSMISSÃO E FILTRAGEM DE SINAIS 39 2.6 FILTROS DE QUADRATURA E TRANSFORMADA DE HILBERT A. Filtro de Quadratura: Um filtro de quadratura [ou deslocador de fase de radianos é um sistema no qual todas as passam, e cuja resposta em é dada por (2.23) Como = H(w) pode ser reescrito por H(w) = -j sgn (w) (2.24) A resposta ao impulso h(t) correspondente pode ser obtida por (Prob. 2.15) (2.25) B. Transformada de Hilbert: Seja o sinal a entrada de um filtro de quadratura (Fig. 2-6). Então, pela Eq. (2-6), a saída é definida como transformada de Hilbert de x(f), denotada por Logo, (2.26) A transformada de Fourier de é dada por X(w) = (2.27) Deslocador de fase /2 rad Fig. 2-6 Deslocador de fase de Problemas Resolvidos Resposta ao impulso e resposta em 2.1 Determine se cada um dos seguintes sistemas abaixo é linear. (a) (b) (a) = Logo, o sistema representado em (a) é linear.</p><p>40 TEORIA E PROBLEMAS DE ANALÓGICA E DIGITAL (b) = Portanto, o sistema representado em (b) não é linear. O sistema também não satisfaz a condição de homogeneidade (2.3). O sistema representado por (a) é chamado de modulador balanceado para sinais DSB (Double-sideband*) pa- ra modulação em amplitude (veja Seção 3.3). O sistema representado por (b) é o gerador de sinais AM (modulação em amplitude) ordinários (veja Seção 3.4). 2.2 Considere um sistema com entrada e saída dado por (a) O sistema é linear? (b) O sistema é invariante no tempo? (a) Similarmente, se então Portanto, o sistema é linear (b) Seja Então = = A seguir, considere a entrada Então, Portanto, o sistema não é invariante no tempo. Este sistema é chamado de amostrador ideal (veja Seção 5.4). 2.3 Obtenha a Eq. (2.7), ou seja, Onde e são a saída e a entrada, respectivamente, de um sistema LIT cuja resposta ao impulso é h(t). Se o sistema é invariante no tempo, então, a partir da Eq. (2.4), temos Agora, a partir da definição (1.31) de podemos expressar x(f) por * N. de T. Faixa lateral dupla.</p><p>CAPÍTULO 2 TRANSMISSÃO E FILTRAGEM DE SINAIS 41 A partir da linearidade do operador T obtemos 2.4 A reposta de um sistema LIT a uma função degrau unitário u(t) é chamada de resposta ao degrau unitário de um sistema, sendo denotada por a(t). Mostre que a(t) pode ser obtido por (2.28) e se o sistema for causal, então = (2.29) A partir da Eq. (2.8), = Como teremos Para um sistema causal, como h(t) 2.5 Seja um sistema LIT com resposta ao impulso representado por um operador Se (2.30) então é chamado de autovalor de T e é chamado de autofunção associada a Mostre que a resposta em de H(w) = T [h(t)] é o autovalor do sistema LIT e é a autofunção associada. Usando a Eq. (2.8), teremos (2.31) Portanto, observa-se que é o autovalor do sistema LIT e é a autofunção associada. 2.6 Considere o circuito RC mostrado na Fig. 2-7(a). Determine a resposta em H(w) e a resposta ao impul- h(t) do circuito. Usando o princípio da divisão de tensão, pode-se obter a resposta em H(w) por inspeção: = 1 + = a (2.32)</p><p>42 TEORIA E PROBLEMAS DE COMUNICAÇÃO ANALÓGICA E DIGITAL A seguir, do Prob. 1.8. obtemos (2.33) a qual está mostrada na Fig. 2-7(b). R RC x(1) i(r) C y(1) 0 (a) Circuito RC (b) Resposta ao impulso do circuito RC Fig. 2-7 2.7 Considere o circuito RC mostrado na Fig. 2-7(a). Determine a resposta ao degrau a(t). A partir da Eq. (2.33), temos Portanto, pela Eq. (2.29) a resposta ao degrau unitário é = (2.34) 2.8 Refaça o Prob. 2.7, utilizando a técnica de reposta em e transformada inversa de Fourier. Considera agora x(f) = Portanto, X(w) = A seguir, pela Eq. (2.32), Portanto, pela Eq. (2.9) obtemos = jw + No último passo, utilizou-se a propriedade (1.33) da função 8 e a técnica de expansão em frações parciais. Calculando a transformada inversa de Fourier de Y(w), obtemos Características de Filtro de Sistemas Lineares 2.9 Mostre que o circuito RC do Prob. 2.6 [Fig. é um filtro passa-baixa. Determine sua largura de faixa de 3dB. A partir do Prob. 2.6. a resposta em H(w) é dada por 1</p><p>CAPÍTULO 2 TRANSMISSÃO E FILTRAGEM DE SINAIS 43 onde = Escrevendo = teremos |H(w)| e espectro de amplitude H(w) e o espectro de fase são mostrados na Fig. 2-8. Nesta figura, observa-se que o cir- cuito RC da Fig. passa-baixa. = /2 1 /4 -wo 0 (a) (b) Fig. 2-8 2.10 tempo de subida t, do filtro RC passa-baixa da Fig. 2-7(a) é definido como o tempo necessário para que a respos- ta ao degrau unitário vá de 10 a 90% do seu valor final. Mostre que é a largura de faixa de 3dB (em hertz) do filtro. A partir da Eq. (2.34) do Prob. a resposta ao degrau unitário do filtro RC passa-baixa é a qual é mostrada na Fig. 2-9. Pela definição do tempo de subida = = 0,9 onde = Dividindo a primeira equação pela segunda equação do lado direito, teremos e 0,35</p><p>44 TEORIA E PROBLEMAS DE ANALÓGICA E DIGITAL 1,0 0,9 0.1 0 t, 2.11 Mostre que o circuito RL mostrado na Fig. 2-10(a) é um filtro passa-alta. R 1 x(t) 0 (a) Circuito RL (b) Resposta em amplitude e fase do circuito RL. Fig. 2-10 De maneira similar ao Prob. 2.6, pode-se obter a resposta em por inspeção: = (2.35) A amplitude de é mostrada na Fig. 2-10(b). Observa-se, portanto, que o circuito RL da Fig. 2-10(a) é um fil- tro passa-alta. Filtros 2.12 Determine a resposta ao impulso h(t) do FPB ideal com de corte A resposta em de um FPB ideal com frequência de corte é dada por para W (2.36) caso contrário A amplitude e fase de estão mostradas na Fig. 2-11(a A resposta ao impulso do FPB ideal pode ser deter- minada utilizando a transformada inversa de Fourier da Eq. (2.36), resultando em (2.37) A resposta ao impulso está mostrada na Fig. 2-11(b). Note que # para Portanto, o FPB ideal não é um sistema causal.</p><p>CAPÍTULO 2 TRANSMISSÃO E FILTRAGEM DE SINAIS 45 1 0 wc 0 0 wc (a) (b) Resposta em e reposta ao impulso de um FPB ideal. 2.13 Considere o sistema mostrado na Fig. 2-12(a). Determine a reposta ao impulso h(t) e sua resposta em + x(r) Atraso T (a) 2 0 (b) Fig. 2-12 A partir da Fig. 2-12(a), pode-se escrever a relação entre a entrada x(f) e a saída y(f) por Portanto, pela definição (2.5), teremos Usando a Eq. (1.40) e a propriedade (1.18), obtemos = 2 A amplitude de H(w) é mostrada na Fig. 2-12(b). sistema é chamado de filtro comb.</p><p>46 TEORIA E PROBLEMAS DE ANALÓGICA E DIGITAL 2.14 Uma transmissão por vários caminhos ocorre quando o sinal transmitido chega ao receptor por dois ou mais cami- nhos com atrasos diferentes. Um vários caminhos é ilustrado na Fig. 2-13(a). (a) Determine a função do sistema em H(w) desse canal e trace para = 1 e (b) Para compensar a distorção introduzida pelo canal, um filtro de equalização é geralmente utilizado. Idealmen- te, a função em do sistema do filtro de equalização é dada por Geralmente uma linha de atraso ou filtro transversal, como mostrado na Fig. 2-13(b), é utilizado para apro- ximar o filtro de equalização. Determine os valores de assumindo + + Atraso a T - (a) Modelos para uma transmissão por vários caminhos Atraso Atraso Atraso T T T a, a2 an + + + + (b) Filtro por linha de atrasos (a) Determinando a transformada de Fourier dos dois lados desta equação teremos Pela Eq. (2.10), Usando a identidade de Euler para obtemos Portanto,</p><p>CAPÍTULO 2 TRANSMISSÃO E FILTRAGEM DE SINAIS 47 Quando + Os espectros de amplitude de mostrados na Fig. 2-14. a=1 2 1 0 - - T Fig. 2-14 (b) A partir da Fig. 2-13(b), temos Determinando a transformada de Fourier dos dois Portanto, a resposta em do filtro transversal é dada por Considerando Usando podemos expressar por Logo, 1, então</p><p>48 TEORIA E PROBLEMAS DE COMUNICAÇÃO ANALÓGICA E DIGITAL Filtros em Quadratura e Transformadas de Hilbert 2.15 Verifique a Eq. (2.25). A partir da Eq. (1.61) temos Aplicando a propriedade da dualidade (1.22), sgn(-w) = -2n sgn(w) a partir da qual, obtém-se 2.16 Mostre que um sinal e sua transformada de Hilbert possuem o mesmo espectro de amplitude. Pela Eq. (2.27) = Como sgn(w) = 1, = 2.17 Mostre que se é a transformada de Hilbert de x(f), então a transformada de Hilbert de ou seja, (2.38) Seja Então, pela Eq. (2.27) e = = conclui-se que 2.18 Seja um sinal real. Mostre que e sua transformada de Hilbert são ortogonais, ou seja, (2.39) Usando a Eq. (1.70), temos Sex(f) é real, então, pela Eq. (1.12), teremos =</p><p>CAPÍTULO 2 TRANSMISSÃO E FILTRAGEM DE SINAIS 49 Logo pois o integrando da última integral é uma função de 2.19 = cos Determine Usando a Eq. (1.76) = -j Logo, = Portanto, pelo resultado do Prob. obtemos = Note que 2.20 Seja. = (a) Determine. (b) Utilize o resultado de (a) para confirmar que (Prob. 2.15) (a) Pela definição (2.26) e Eq. (1.37), obtém-se (b) A partir da Eq. (1.40) Logo, pela Eq. (2.27), temos = sgn sgn (w) Desta forma, conclui-se que sgn (w) 1 Problemas Complementares 2.21 Considere um sistema cuja relação entrada-saída é dada pela seguinte equação linear onde x(t) e y(f) são a entrada e a saída do sistema, respectivamente, e a e b são constantes. Este sistema é linear? Resp. Não.</p><p>50 TEORIA E PROBLEMAS DE ANALÓGICA E DIGITAL 2.22 Considere um sistema representado por onde x*(f) é o conjugado complexo de Este sistema é linear? Resp. 2.23 Um sistema é chamado estável BIBO* se cada entrada limitada produzir uma saída limitada. Mostre que o sistema é estável se sua resposta ao impulso for absolutamente integrável, ou seja, Dica: Determine o valor absoluto dos dois lados da Eq. (2-8) e utilize o fato de 2.24 Considere o circuito RC simples mostrado na Fig. 2-7(a). Determine a saída para a entrada [Veja Eq. 1-56)]. Resp. 2.25 Determine a resposta em do circuito mostrado na Fig. 2-15 e mostre que o circuito é um filtro pas- sa-alta. Resp. H(w) = - - + jwRC) R C i x(t) i(t) y(r) Fig. 2-15 2.26 Determine a resposta em H(w) do circuito obtido pela mudança de posição de na Fig. 2-15 e mos- tre que o circuito é, agora, um filtro passa-baixa. Resp. 2.27 Determine a resposta ao impulso e a largura de faixa de 3dB do filtro cuja resposta em é H(w) = Resp. = 6,44 radianos por segundo (rad/s) 2.28 Um filtro gaussiano é um sistema linear cuja resposta em é dada por Calcule (a) a largura de faixa de 3dB e (b) a largura de faixa por Resp. = 0,59 N. de T. Bonded Input, Bonded em inglês, que significa entrada limitada, saída</p><p>CAPÍTULO 2 TRANSMISSÃO E FILTRAGEM DE SINAIS 51 2.29 Um filtro passa-baixa de butterworth possui onde n é o número de componentes reativas (isto é, indutores ou capacitores). (a) Mostre que quando se aproxima das características de um filtro passa-baixa ideal, mostrado na Fig. 2-11 (a) com (b) Determine n tal que seja constante a 1dB dentro da faixa de de = Resp. (a) Note que (b) n=3 2.30 Se a resposta ao impulso unitário de um sistema LIT causal não possui um impulso na origem, mostre, então, que com e B(w) satisfazem as seguintes equações: Estas equações são conhecidas como par transformadas de Hilbert. Dica: Assuma e use a causalidade de h(t) para mostrar que 2.31 Mostre que Dica: Use a Eq. (2.27) e aplique o teorema de Parseval (1.16) à transformada de Fourier. 2.32 Mostre que Dica: Utilize a Eq. (2.27). 2.33 = sen sen Determine Dica: Utilize a Eq. (2.27). Resp.</p><p>Capítulo 3 Modulação em Amplitude 3.1 INTRODUÇÃO A transmissão de um sinal contendo informação (ou um sinal de mensagem) em um canal de comunicação passa- faixa, tal como uma linha telefônica ou um canal de satélite, geralmente necessita de um deslocamento da faixa de contidas no sinal para outra faixa de mais adequada para a transmissão. Um deslocamento na faixa de do sinal é obtido através da modulação. A modulação é definida como o processo pelo qual alguma característica de um sinal portador é variada de acordo com o sinal modulante. Dessa forma, o sinal de men- sagem é chamado de sinal modulante, e o resultado da modulação é chamado de sinal modulado. Os tipos básicos de modulação analógica são modulação por onda contínua (OC) e modulação por pulso. Na modulação por onda contínua, um sinal senoidal + é utilizado como portadora. Dessa forma, um sinal de portadora modulado pode ser representado matematicamente por (3.1) Na é chamado de da portadora. A(t) e são chamados de amplitude ins- tantânea e ângulo de fase instantâneo da portadora, respectivamente. Quando é linearmente relacionado com o sinal de mensagem m(t), o resultado é a modulação em amplitude. Se ou sua derivada for linearmente rela- cionada como então teremos uma modulação em fase ou De maneira geral, as modulações por fa- se e são chamadas de modulação em ângulo, a qual é discutida no Cap. 4. Na modulação por pulso, um trem periódico de pulsos curtos é utilizado como portadora. 3.2 MODULAÇÃO EM AMPLITUDE Na modulação em amplitude, a portadora modulada é representada por [fazendo = 0 na Eq. (3.1), sem perda de generalidade], (3.2) na qual a amplitude da portadora A(f) é linearmente relacionada com o sinal de mensagem m(f). A modulação em am- plitude é geralmente chamada de modulação Dependendo do tipo da relação espectral entre m(t) e A(t), pode-se ter os seguintes tipos de modulação em amplitude: modulação com faixa lateral dupla (DSB), modulação em amplitu- de ordinária (AM), modulação com faixa lateral única (SSB) e modulação com faixa lateral única vestigial (VSB)*. * N. de T. As siglas referem-se aos termos em amplitude modulation, single-sideband e vestigial-sideband.</p>