Trigonometria (ESA)

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EQUIPE OS CONTÍNUOS 
MATEMÁTICA 
AULA 33 
 
 
 
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO 
É aquele no qual seu centro também é centro de eixos 
coordenados e cujo raio é unitário (R=1) 
 
RELAÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
Do triângulo OBM, temos 𝑆en α = MB/OB, mas como 
OB = R = 1, temos que 𝐒𝐞𝐧 𝛂 = 𝐌𝐁 
 
𝐶𝑜𝑠 α = OM /OB, mas OB = R = 1; logo 
 𝐂𝐨𝐬 𝛂 = 𝐎𝐌 
 
Como OBM é retângulo, vale o teorema de Pitágoras. 
Logo temos 𝑂𝐵2 = 𝑂𝑀2 + 𝑀𝐵2, ou seja: 
 
𝑺𝒆𝒏 𝜶𝟐 + 𝑪𝒐𝒔 𝜶𝟐 = 𝟏 
 
Assim como 𝑡𝑔 𝛼 = 
𝑀𝐵
𝑂𝑀
, ou seja : 
Definimos secante de um ângulo ( sec 𝛼) como o 
inverso do cosseno, ou seja: 
 
 
 
 
 
Definimos cossecante de um ângulo ( cossec 𝛼) como 
o inverso do seno, ou seja: 
 
 
 
Definimos cotangente de um ângulo ( cotg 𝛼) como o 
inverso da tangente, ou seja: 
 
 
 
QUADRANTE 
 
 
 
 
𝒕𝒈 𝜶 = 
𝒔𝒆𝒏 𝜶
𝒄𝒐𝒔 𝜶
 
 
𝑆𝑒𝑐 𝛼 = 
1
𝐶𝑜𝑠 𝛼
 
 
𝐶𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 
1
𝑠𝑒𝑛 𝛼
 
𝐶𝑜𝑡𝑔 𝛼 = 
1
𝑡𝑔 𝛼
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 EQUIPE OS CONTÍNUOS 
MATEMÁTICA 
AULA 33 
 
 
 
Intervalo de variação 
 
Por causa do raio unitário do círculo trigonométrico, 
tanto os valores de sen 𝛼 quanto cos 𝛼 são limitados 
entre -1 e 1 , ou seja; 
 
 
 
Obs: Vale a pena relembrar que 2𝜋rad é igual a 360° 
logo 𝜋rad é igual a 180° 
 
FÓRMULAS DA ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS 
TRIGONOMÉTRICOS 
Considerados dois arcos quaisquer de medidas a e b, 
as operações da soma e da diferença entre esses arcos 
serão dadas pelas seguintes identidades: 
 
𝑠𝑒𝑛 (𝑎 + 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 . cos 𝑏 + cos 𝑎 . 𝑠𝑒𝑛 𝑏 
𝑠𝑒𝑛 (𝑎 − 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 . cos 𝑏 − cos 𝑎 . 𝑠𝑒𝑛 𝑏 
𝑐𝑜𝑠 (𝑎 + 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠 𝑎 . cos 𝑏 − sen 𝑎 . 𝑠𝑒𝑛 𝑏 
𝑐𝑜𝑠 (𝑎 − 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠 𝑎 . cos 𝑏 + sen 𝑎 . 𝑠𝑒𝑛 𝑏 
𝑠𝑒𝑛 2𝑎 = 2. 𝑠𝑒𝑛 𝑎 . cos 𝑎 
𝑐𝑜𝑠 2𝑎 = 𝑐𝑜𝑠2 𝑎 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑎 
𝑡𝑔 2𝑎 =
2. 𝑡𝑔 𝑎
1 − 𝑡𝑔2𝑎
 
𝑡𝑔 (𝑎 + 𝑏) =
𝑡𝑔 𝑎 + 𝑡𝑔 𝑏
1 − 𝑡𝑔 𝑎 . 𝑡𝑔 𝑏
 
 
Obs: 𝑡𝑔 𝑎 + 𝑡𝑔 𝑏 terá solução se, e somente se: 
I) 𝑎, 𝑏 ≠ 
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 (𝑘 𝜖 𝑍) 
II) 𝑎 + 𝑏 ≠ 
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 (𝑘 𝜖 𝑍) 
III) 1 − 𝑡𝑔 𝑎 . 𝑡𝑔 𝑏 ≠ 0 
𝑡𝑔 (𝑎 − 𝑏) =
𝑡𝑔 𝑎 − 𝑡𝑔 𝑏
1 + 𝑡𝑔 𝑎 . 𝑡𝑔 𝑏
 
 
Obs: 𝑡𝑔 (𝑎 − 𝑏) terá solução se, e somente 
se: 
I) 𝑎, 𝑏 ≠ 
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 (𝑘 𝜖 𝑍) 
II) 𝑎 − 𝑏 ≠ 
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 (𝑘 𝜖 𝑍) 
III) 1 + 𝑡𝑔 𝑎 . 𝑡𝑔 𝑏 ≠ 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 EQUIPE OS CONTÍNUOS 
MATEMÁTICA 
AULA 33 
 
 
1.(EEAR 2006.1) Sejam as medidas de arcos 
trigonométricos 
I) 
17𝜋
8
rad e 
41𝜋
8
rad 
II) 1490° e – 1030° 
É correto afirmar que as medidas 
a)Em I são de arcos côngruos. 
b)Em I são de arcos suplementares. 
c)Em II são de arcos côngruos. 
d)Em II são de arcos complementares. 
 
2.(EEAR 2006.1) Dois ângulos medem 
2𝜋
9
𝑟𝑎𝑑 
e 
5𝜋
18
rad. O menor deles,em graus, mede: 
a)30° b)40° c)50° d)60° 
3.(EEAR 2009.1) São negativas, no 4° 
quadrante, as funções 
a) Seno, cosseno e tangente 
b) Seno, cosseno e cotangente 
c) Cosseno, tangente e secante 
d)Seno, tangente e cossecante 
4. (2011.2) Se A = Tg 120° e B = tg 240°, 
então 
a)B=A b)B=-A c)B = 2A d)B = - 2A 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. (EEAR 2008.1) Comparando-se tg 20°, tg 
110° e tg 200°, obtém-se 
 
a) tg 20°= tg 200° > tg 110° 
b) tg 20°= tg 110°< tg 200° 
c) tg 20°<tg 110° tg<200° 
d) tg 200° <tg 20°< tg 1 
 
6. (EEAR 2009.1) Simplificando-se a 
expressão 
𝑡𝑔 𝑥+ cot 𝑥
cos sec 𝑥
, obtém-se 
a) Cossec x b)Cos x 
c)Sec x d)Tg x 
 
7. (2011.2) Se sen y = m e cos y = n, o valor 
de 
sec 𝑦
cossec 𝑦
 é: 
a) m b)n² c)Mn d)m/n 
8. (EEAR 2002)Se  é um ângulo tal que 
2
0

 e o dobro do seu seno é igual ao 
triplo do quadrado da sua tangente, então o 
valor do seu cosseno é 
a) 
3
3
b)
2
2
 c)
2
3
 d)
3
2
 
 
9. (EEAR 2008.2) O valor da expressão 
𝑡𝑔 𝑥
csc 𝑥−1
, para 0< 𝑥 <
𝜋
2
 e sen x= 
1
3
, é: 
a)
1
4
 b)
1
2
 c)
√2
3
 d)
√2
8
 
 
 
 
 
10. (EEAR 2010.1) Seja x = 150°. Classifique 
em verdadeiro(V) ou falsa (F) cada uma das 
sentenças, a seguir assinale a alternativa que 
apresenta o número de sentenças 
verdadeiras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 EQUIPE OS CONTÍNUOS 
MATEMÁTICA 
AULA 33 
 
 
I - cos x = 
√3
2
 
II – sen 2x< 0 
III - tg
𝑥
2
> 0 
a)0 b)1 c)2 d)3 
 
11. (EEAR 2008.1) O valor da expressão 
(sin
𝜋
6
−sin
𝜋
4
)√3
cos
𝜋
2
+sin
𝜋
3
 é: 
a)1 - √2 b)1+√2 c)
√3
2
 d)
2√3
3
 
12. (EEAR 2010.2) Para xy ≠ 0, a expressão 
𝑦² cos 180°−𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛270°+𝑦²𝑠𝑒𝑛90°
𝑥²𝑐𝑜𝑠0°
 equivale 
a 
a)yx b)1/x c)y/x² d)y 
 
 
13. (EEAR 2009.2) Se x e y são arcos do 
1°quadrante, 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
√3
2
 e cos y = 
√2
2
, então o 
cos (x + y) é igual a 
 
𝑎)
√2+ √6
2
 b)
√3+√6
4
 c)
√2− √6
4
 d)
√3− √6
2
 
 
14. (EEAR 2009.1) Sejam a e b arcos do 
primeiro quadrante. Se a + b =90°, então cos 
( a- b), em função de b, é igual a 
a) sen 2b b)cos 2b c)sen 2b/2 d)cos 2b/2 
 
 
 
 
15. (2011.2) Se cos x = 2/3 e sen x >0, então 
sen 2x é 
𝑎)
4√5 
9
 𝑏) 
2√5
3
 c)
5√3
2
 d)
√3
6
 
16. (EEAR 2010.1) Sen x + cos 2x = 1, então 
um dos valores de sen x é: 
a)1 b)1/2 c) 𝑐)
√2
2
 d) - 
√3
3
 
17. (EEAR 2010.2) Se a e b são arcos do 2 ° 
quadrante tais que sen a =
√2
2
 e 
cos b = - ½, então sen ( a + b) é 
 
𝑎)
√2(−√3+√2)
4
 b)
−√2(1+ √3)
4
 c)
√3(3− √2)
4
 
d)
3(3− √2)
4
 
18. (EEAR 2008.2) Se 0< 𝑥 <
𝜋
2
 e 𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
2
3
, 
então sen 2x é igual a 
𝑎)
√3
3
 b)
√5
3
 c)
4√5
9
 d)
4√3
9