MATEMÁTICA BÁSICA Números inteiros

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<p>Matemática</p><p>Números Inteiros</p><p>Matemática básica</p><p>SUMÁRIO</p><p>NÚMEROS INTEIROS 04</p><p>Conjunto dos números naturais (ℕ) 04</p><p>Conjunto dos números inteiros (ℤ) 04</p><p>Multiplicação de números inteiros 07</p><p>Regra de sinais 07</p><p>Algoritmo da multiplicação 07</p><p>Divisão de números inteiros 08</p><p>Algoritmo da soma 04</p><p>Algoritmo da subtração 05</p><p>Regra de sinal da soma e subtração 06</p><p>Matemática > Matemática básica > Números Inteiros3</p><p>Algoritmo da divisão 09</p><p>Regra de sinais para divisão 11</p><p>Matemática > Matemática básica > Números Inteiros4</p><p>NÚMEROS INTEIROS</p><p>Neste material, traremos os principais resultados e propriedades sobre os números</p><p>inteiros, um conjunto essencial para suas provas do Enem e dos demais vestibulares,</p><p>pois eles são a base de muitas coisas que iremos estudar ao longo deste curso. Antes</p><p>de prosseguirmos, vamos fazer uma breve revisão sobre um conjunto numérico mais</p><p>primitivo ainda, o conjunto dos números naturais ℕ.</p><p>Conjunto dos números naturais (ℕ)</p><p>Você deve se lembrar de quando aprendeu a contar pela primeira vez, de quantos lápis de</p><p>cor você tinha ou de quantas pessoas estava em uma sala. Para isso, utilizamos os números</p><p>naturais, denotados pelo conjunto ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, …}. Algo importante a ressaltar é que,</p><p>em algumas literaturas, você encontrará os números naturais iniciando em 0 e ambas as</p><p>definições estão corretas.</p><p>Nesse conjunto, não temos problema nenhum ao somarmos números ou multiplicarmos</p><p>números naturais, pois ambas as operações estão bem definidas, no sentido que a soma</p><p>ou multiplicação de números naturais continua sendo um número natural. Agora, se você</p><p>tentar realizar uma subtração entre números naturais, podemos chegar ao problema 3 - 5.</p><p>O que significa retirar 5 unidades de um total de 3? Ou, ainda, o que significa 4 - 4, já que</p><p>ambos os resultados não pertencem ao nosso conjunto?</p><p>Assim, descobriu-se a existência de um novo conjunto, chamado conjunto dos números</p><p>inteiros (ℤ). Ele contempla essas operações, que, apesar de triviais, pareciam não poder</p><p>ser respondidas nos primórdios da Matemática.</p><p>Conjunto dos números inteiros (ℤ)</p><p>O conjunto dos números inteiros contempla os números naturais, de forma que ℕ ⊂ ℤ,</p><p>de forma que todo número natural também é um número inteiro! Mais ainda, agora esse</p><p>novo conjunto contempla aqueles resultados “não naturais” das operações de subtração</p><p>de números iguais ou de um número menor por um maior.</p><p>ℤ = {… , -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 , …}</p><p>Agora, nossas operações de soma e subtração estão muito bem definidas, pois agora</p><p>temos uma resposta que está em nosso conjunto para as operações 3 - 5 = -2 e 4 - 4 = 0.</p><p>Algoritmo da soma</p><p>Conseguimos fazer muitas somas no velho e infalível método de “contar nos dedinhos”.</p><p>Porém, para operações com números muito grandes, como 153675 + 583723, não sei</p><p>você, mas eu não tenho tudo isso de dedos para fazer essa conta. O que nos traz a</p><p>necessidade de um algoritmo que facilite nossa vida.</p><p>Matemática > Matemática básica > Números Inteiros5</p><p>Graças ao fato de nosso sistema numeral ser posicional, iremos aproveitar essa</p><p>característica para construir nosso algoritmo:</p><p>1) O primeiro passo será escrever nossos números, com cada casa decimal</p><p>correspondente uma acima da outra.</p><p>2) Agora, vamos somar cada algarismo de sua casa decimal e escrever seu</p><p>resultado logo abaixo, concordando com a sua casa decimal. Precisamos estar atentos aos</p><p>2 casos possíveis:</p><p>3) A soma é menor ou igual a 9 – Simplesmente escrever o resultado.</p><p>4) A soma é maior ou igual a 10 – Vamos escrever abaixo de sua casa decimal a</p><p>unidade do resultado, e somar a próxima casa decimal ao algarismo da dezena.</p><p>5) Repetir o processo para os próximos algarismos até chegarmos ao último.</p><p>Vamos realizar o exemplo anterior para concretizar o que acabamos de aprender.</p><p>Como você pôde observar, ao somarmos 6+7 = 13 e 8+5 = 13, escrevemos o número 3,</p><p>que pertencia à unidade do resultado, em sua casa decimal correspondente, e subimos o</p><p>1, que pertencia à casa das dezenas do resultado, somando ao próximo número.</p><p>Algoritmo da subtração</p><p>O algoritmo da subtração é muito semelhante ao da soma, então, vamos aproveitar esse</p><p>sistema de numeração posicional para montar nosso algoritmo.</p><p>1) O primeiro passo será escrever nossos números com cada casa decimal</p><p>correspondente uma acima da outra, tomando cuidado para que o maior número esteja</p><p>acima do menor.</p><p>2) Agora, vamos subtrair cada algarismo de sua casa decimal e escrever seu</p><p>resultado logo abaixo, concordando com a sua casa decimal. Precisamos estar atentos</p><p>aos dois casos possíveis:</p><p>a. O algarismo superior é maior do que o inferior – Simplesmente vamos resolver a diferença entre</p><p>os dois algarismos e escrever seu resultado em sua casa decimal correspondente.</p><p>Matemática > Matemática básica > Números Inteiros6</p><p>b. O algarismo superior é menor que o inferior – Vamos retirar uma unidade da casa vizinha à</p><p>esquerda e somar 10 ao numeral superior. Agora, podemos realizar a subtração e escrever seu</p><p>resultado em sua posição correspondente.</p><p>3) Devemos, então, repetir o processo para os próximos algarismos até chegarmos</p><p>ao último.</p><p>Vamos trabalhar com o exemplo 257-129, para fixar seu aprendizado:</p><p>Precisamos subtrair 1 do 5, e somar 10 ao 7:</p><p>Agora, 4 é maior que 2, então, basta realizar a subtração do número de cima com o de</p><p>baixo:</p><p>Como 2 também é maior que 1, basta realizar a subtração usual. Aqui é importante</p><p>ressaltar o porquê de o maior número estar em cima no algoritmo, pois, se o superior</p><p>fosse menor que o inferior, não teríamos como pedir emprestado da casa decimal vizinha.</p><p>Regra de sinal da soma e subtração</p><p>A soma e subtração vão ter comportamentos específicos conforme o sinal de cada um</p><p>dos números envolvidos.</p><p>1º numeral 2º numeral Execução Resultado</p><p>+5 +7 Somar e manter o sinal. +12</p><p>+5 -7 Subtrair e manter o sinal do maior em módulo. -2</p><p>-5 -7 Subtrair e manter o sinal do maior em módulo. 2</p><p>-5 +7 Somar e manter o sinal. -12</p><p>Matemática > Matemática básica > Números Inteiros7</p><p>Com isso, temos todas as ferramentas de que precisamos para realizar operações de</p><p>soma e subtração com números inteiros. A seguir, veremos os principais resultados de</p><p>multiplicação e divisão de números inteiros.</p><p>Multiplicação de números inteiros</p><p>A multiplicação de um número inteiro vem de uma ideia de somas. Por exemplo: 3⋅5 têm</p><p>o mesmo resultado de 5+5+5, ou seja, o primeiro fator da multiplicação nos diz quantas</p><p>vezes o segundo fator irá se somar.</p><p>Regra de sinais</p><p>Assim como a soma e a subtração têm regras de sinais, a multiplicação não será diferente</p><p>(a divisão vai obedecer às mesmas regras da multiplicação, mas falaremos dela mais à</p><p>frente).</p><p>1º fator 2º fator Execução Resultado</p><p>+5 +6 Sinais iguais, resultado positivo +30</p><p>+5 -6 Sinais diferentes, resultado negativo -30</p><p>-5 -6 Sinais diferentes, resultado negativo -30</p><p>-5 +6 Sinais iguais, resultado positivo +30</p><p>Essas regras de sinais são muito importantes na hora de realizarmos multiplicações.</p><p>Ter atenção à regra de sinais é um grande diferencial, pois, muitas vezes, realizamos</p><p>tudo corretamente em nossas operações, porém, erramos algum sinal e obtemos um</p><p>resultado totalmente diferente do correto (e que normalmente está como “pega ratão”</p><p>nas alternativas).</p><p>Algoritmo da multiplicação</p><p>O algoritmo da multiplicação de números inteiros é bastante semelhante ao da soma e</p><p>da subtração, sobre os quais já falamos anteriormente. Também faremos uso do sistema</p><p>posicional a nosso favor, nos seguintes passos:</p><p>1) Escrever um número abaixo do outro. Aqui não temos a necessidade de o maior</p><p>ficar por cima, mas manter esse padrão vai poupar o seu tempo.</p><p>2) Multiplicar cada casa decimal do número superior com uma casa decimal do</p><p>número inferior.</p><p>3) Quando a multiplicação for maior ou igual a 10, faremos o mesmo processo</p><p>da soma. Ou seja, escreveremos a unidade como resultado em sua casa decimal</p><p>correspondente, e subiremos a dezena para a casa decimal vizinha, de forma a somar</p><p>com o resultado</p><p>da multiplicação.</p><p>Matemática > Matemática básica > Números Inteiros8</p><p>4) Repetir o processo (2) até esgotarmos as casas decimais do número inferior.</p><p>5) Cada vez que trocarmos de casa decimal, incluirmos um zero à direita do</p><p>resultado.</p><p>6) Somar todas as linhas de multiplicação.</p><p>Vamos trabalhar com o exemplo 315 ⋅ 24 para fixarmos as ideias e o algoritmo:</p><p>Escrever os números um abaixo do outro (dando preferência para o maior na parte</p><p>superior):</p><p>Realizar a multiplicação de cada algarismo do 315 por 4:</p><p>Incluir um 0 à direita e multiplicar cada algarismo do 315 por 2:</p><p>Somar os resultados das multiplicações. Nessa etapa, reutilizaremos o algoritmo da soma</p><p>que aprendemos anteriormente:</p><p>Divisão de números inteiros</p><p>A divisão de números inteiros deve ser trabalhada com bastante cuidado. Você se lembra</p><p>quando, lá nos números naturais, não tínhamos um resultado preciso para a diferença</p><p>Matemática > Matemática básica > Números Inteiros9</p><p>3-5, pois o resultado -2 não pertencia ao nosso conjunto? Na divisão, pode acontecer algo</p><p>semelhante, se não trabalharmos com divisões exatas.</p><p>A ideia de divisão inteira é um pouco semelhante à ideia de multiplicação. Falamos</p><p>inicialmente que a multiplicação de 2 números inteiros seria quantas vezes somaríamos o</p><p>mesmo número. A ideia da divisão é muito semelhante, mas não será exatamente quantas</p><p>vezes iremos subtrair um número.</p><p>A ideia essencial de divisão é quantas vezes conseguimos tirar um número de outro. Para</p><p>ficar mais claro, considere 8÷2. Fazendo a leitura da direita para a esquerda, queremos</p><p>saber quantas vezes o número 2 cabe dentro do número 8, ou seja, quantas vezes</p><p>podemos retirar 2 de 8 até chegarmos a zero.</p><p>8 − 2</p><p>1</p><p>= 6 ⇒ 6 − 2</p><p>2</p><p>= 4 ⇒ 4 − 2</p><p>3</p><p>= 2 ⇒ 2 − 2</p><p>4</p><p>= 0</p><p>Desta forma, podemos observar que o 2 cabe 4 vezes dentro do número 8, ou seja, 8÷2=4.</p><p>Outra forma de pensarmos na divisão é pensarmos em quantos grupos de quantidades</p><p>iguais conseguimos formar. O diagrama seguinte mostrará esse mesmo exemplo:</p><p>Mas, assim como não ficaremos fazendo contas nos dedinhos na soma para números</p><p>muito grandes, na divisão, também precisamos de um algoritmo que nos ajude a ganhar</p><p>tempo ao realizarmos as operações.</p><p>Algoritmo da divisão</p><p>O algoritmo da divisão é o único que não segue o padrão que estávamos realizando,</p><p>de colocar números um acima do outro. Agora, a ordem de quem está sendo dividido e</p><p>quem divide muda muito nossas operações, pois 2⋅6 = 6⋅2, mas 6÷2 ≠ 2÷6.</p><p>Já que a ordem em que realizamos a divisão altera o resultado, vamos nomear cada um</p><p>dos fatores:</p><p>Matemática > Matemática básica > Números Inteiros10</p><p>Os passos para realizar o algoritmo da divisão serão:</p><p>1) Preparação:</p><p>a. Escreva o dividendo e o divisor, separados por um “L” deitado, com o dividendo dentro do “L”.</p><p>2) Análise inicial do dividendo:</p><p>a. Comece da esquerda para a direita.</p><p>b. Se o primeiro numeral do dividendo for menor do que o divisor, agrupe o próximo numeral à</p><p>direita. Repita isso até que o agrupamento seja maior ou igual ao divisor.</p><p>c. Se o primeiro numeral é maior ou igual ao divisor, comece a divisão ali.</p><p>3) Executando a divisão:</p><p>a. Determine a maior quantidade de vezes que o divisor cabe no agrupamento atual do dividendo</p><p>sem ultrapassá-lo.</p><p>b. Escreva o resultado dessa quantidade abaixo do “L”</p><p>4) Subtraindo e descendo o próximo numeral:</p><p>a. Multiplique o divisor pela quantidade determinada e subtraia do agrupamento do dividendo.</p><p>b. Desça o próximo numeral do dividendo para o lado do resto.</p><p>5) Repetição:</p><p>a. Repita os passos 3 e 4 até que todos os numerais do dividendo tenham sido descidos e</p><p>processados.</p><p>6) Conclusão:</p><p>a. O número formado abaixo do “L” é o quociente.</p><p>b. O número restante após a última subtração é o resto.</p><p>Considere a seguinte divisão: 316÷4. Vamos utilizar o algoritmo que aprendemos para</p><p>fixar as ideias.</p><p>Primeiramente, monte nosso algoritmo:</p><p>Comece a divisão da esquerda para a direta e utilize a quantidade de dígitos necessária</p><p>para que esse numeral seja maior do que nosso divisor.</p><p>Faça a pergunta “Qual o número da tabuada de 4 mais se aproxima do 31?”.</p><p>Matemática > Matemática básica > Números Inteiros11</p><p>Escreva o 7 abaixo do 4 e subtraia 28 de 31</p><p>Junte o 6 com o resto da diferença e volte para o passo 3: “Qual número da tabuada de 4</p><p>mais se aproxima do 36?”.</p><p>Escreva o 9 (resultado da tabuada) logo à direita do 7 e subtraia 36 (da tabuada) de 36 (da</p><p>divisão)</p><p>Ao chegarmos a um resto igual a zero, concluímos nossa divisão.</p><p>Com isso, temos que 316÷4 = 79</p><p>Regra de sinais para divisão</p><p>Já mencionamos anteriormente que a regra de sinais para a divisão obedece à mesma</p><p>regra da regra de sinais para multiplicação, mas vamos apresentá-la aqui, para você fixar</p><p>bem as ideias.</p><p>1º fator 2º fator Execução Resultado</p><p>+6 +3 Sinais iguais, resultado positivo +2</p><p>+6 -3 Sinais diferentes, resultado negativo -2</p><p>-6 +3 Sinais diferentes, resultado negativo -2</p><p>-6 -3 Sinais iguais, resultado positivo +2</p><p>https://twitter.com/AprovaTotal</p><p>https://www.linkedin.com/company/aprova-total/</p><p>https://www.facebook.com/p/Aprova-Total-100064025744094/</p><p>https://www.instagram.com/aprovatotal/</p><p>https://www.youtube.com/@AprovaTotal</p><p>https://www.tiktok.com/@aprovatotal</p><p>https://aprovatotal.com.br/</p>