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<p>PROFESSOR. LUIS FARIAS 23</p><p>NÚMEROS COMPLEXOS</p><p>AULA 2</p><p>O PLANO COMPLEXO E A 1A FORMULA DE MOIVRE</p><p>O PLANO COMPLEXO</p><p>Convém notar que as definições dadas no início para a soma e o produto de números complexos são</p><p>formais, isto é, independem do sentido matemático que possamos atribuir ao número 𝑖.</p><p>No entanto, elas têm como consequência o fato extremamente importante que podemos identificar o</p><p>conjunto dos números complexos com o ℝ2 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥, 𝑦 ∈ ℝ} por meio do isomorfismo ℝ − linear</p><p>𝑄:ℝ2 ⟶ ℂ</p><p>𝑄(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑖 ∙ 𝑦 .</p><p>Assim dado um ponto do ℝ2, existe um único complexo que pode ser representado, isto é, se 𝑝 =</p><p>(𝑎, 𝑏) ∈ ℝ2 existe um único 𝑧 = 𝑎 + 𝑖 ∙ 𝑏 ∈ ℂ. E da mesma forma, dado 𝑧 = 𝑐 + 𝑖 ∙ 𝑑 ∈ ℂ, existe um único</p><p>𝑝′ = (𝑐, 𝑑) ∈ ℝ2.Deste modo, dado 𝑧 = 𝑥 + 𝑖 ∙ 𝑦 ∈ ℂ, podemos representá-lo graficamente como o plano do</p><p>plano cartesiano de abscissa 𝑥 e ordenada 𝑦, ou como o vetor que liga a origem a este ponto. Neste contexto,</p><p>chamamos o plano cartesiano de Plano Complexo, o eixo dos 𝑥 de eixo real e o eixo dos 𝑦 de eixo imaginário.</p><p>( )Im z</p><p>( )Re z</p><p>( ),z x y x i y= = + </p><p>x</p><p>y</p><p>PROFESSOR. LUIS FARIAS</p><p>24</p><p>NÚMEROS COMPLEXOS</p><p>Exemplo: O conjunto 𝐴 = {𝑧 ∈ ℂ, 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 𝑥2 + 𝑦2 = 1} representa uma circunferência de centro (0,0) e o</p><p>raio 1 no plano complexo.</p><p>( )Im z</p><p>( )Re z</p><p>( )0, 1 i=</p><p>( )1, 0 1− = − ( )1, 0 1=</p><p>( )0, 1 i− = −</p><p>Dado o número complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑖 ∙ 𝑏, o ponto 𝑝 = (𝑎, 𝑏), é chamado de afixo 𝑧 ou imagem do</p><p>complexo 𝑧.</p><p>No plano complexo ℂ, cada número complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑖 ∙ 𝑏 pode ser representado por um vetor de</p><p>origem (0,0) e extremidade 𝑝 (𝑥, 𝑦) afixo de 𝑍. 𝑧 é caracterizado por 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗.</p><p>Considerando os números complexos como vetores, a adição de dois vetores é da mesma forma que a</p><p>adição de vetores no plano que os representam pela regra do paralelogramo, e a diferença entre dois números</p><p>complexos geometricamente representa a adição do primeiro vetor pelo simétrico do segundo, sob a condição</p><p>da regra do paralelogramo. Abaixo indicaremos as interpretações gráficas da adição e da subtração de números</p><p>complexos.</p><p>( )Im z</p><p>( )Re z</p><p>z w+</p><p>w</p><p>z</p><p>w−</p><p>z w−</p><p>PROFESSOR. LUIS FARIAS</p><p>25</p><p>NÚMEROS COMPLEXOS</p><p>A FORMA TRIGONOMÉTRICA</p><p>Vamos agora representar os números complexos de outra forma, um modo que seja mais fácil de</p><p>trabalhar.</p><p>( )Im z</p><p>( )Re z</p><p>( ),z x y x i y= = + </p><p>x</p><p>y</p><p>θ0</p><p>Consideremos um número complexo, 𝑧 = 𝑥 + 𝑖 ∙ 𝑦 não nulo. Seja 𝜃0 o ângulo que o semi-eixo real</p><p>positivo com o vetor correspondente a 𝑧 no sentido anti-horário. Note que:</p><p>𝑐𝑜𝑠 𝜃0 =</p><p>𝑥</p><p>√𝑥2+𝑦2</p><p>=</p><p>𝑥</p><p>|𝑧|</p><p>, 𝑠𝑒𝑛 𝜃0 =</p><p>𝑦</p><p>|𝑧|</p><p>, assim</p><p>𝑧 = 𝑥 + 𝑖 ∙ 𝑦 = |𝑧| ∙ cos 𝜃0 + 𝑖 ∙ |𝑧| ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃0 = |𝑧|(cos 𝜃0 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃0)</p><p>Desta forma, dado 𝑧1 ∈ ℂ, é sempre possível representar 𝑧1 da forma (∗) 𝑧1 = |𝑧|(cos 𝜃0 + 𝑖 ∙</p><p>𝑠𝑒𝑛 𝜃0), onde 𝜃 ∈ ℝ. Essa representação é chamada de polar ou forma trigonométrica de 𝑧.</p><p>Dizemos que 𝜃 é um argumento de 𝑧, mas qualquer 𝛿 = 𝜃 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ, também satisfaz (∗). Assim,</p><p>𝑎𝑟𝑔(𝑧) = {𝜃0 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}. O único argumento de 𝑧 que pertence ao intervalo [0,2𝜋] é chamado de</p><p>argumento principal e denotado por 𝑎𝑟𝑔(𝑧).</p><p>Agora veremos como é a multiplicação dos números complexos dessa forma. Dados 𝑧, 𝑤 ∈ ℂ, sabemos</p><p>agora que existem 𝛼, 𝜃 de modo que:</p><p>{</p><p>𝑧 = |𝑧| ∙ (𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃)</p><p>𝑤 = |𝑤| ∙ (𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛼)</p><p>a) (Multiplicação)</p><p>𝑧 ∙ 𝑤 = |𝑧| ∙ |𝑤| ∙ (𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃)(𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛼)</p><p>= |𝑧 ∙ 𝑤|(𝑐𝑜𝑠 𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑖(𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝛼))</p><p>= |𝑧 ∙ 𝑤|(𝑐𝑜𝑠(𝜃 + 𝛼) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃 + 𝛼))</p><p>Sendo 𝜃 o argumento principal de 𝑧, queremos representar na forma polar 𝑧−1. De fato:</p><p>1</p><p>𝑧</p><p>=</p><p>1</p><p>|𝑧|</p><p>(</p><p>1</p><p>𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃</p><p>) =</p><p>1</p><p>|𝑧|</p><p>(𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃) =</p><p>1</p><p>|𝑧|</p><p>(𝑐𝑜𝑠(−𝜃) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛(−𝜃))</p><p>= |𝑧|−1(𝑐𝑜𝑠(2𝜋 − 𝜃) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛(2𝜋 − 𝜃))</p><p>b) (Divisão)</p><p>𝑧</p><p>𝑤</p><p>= 𝑧 ∙ 𝑤−1 = |𝑧|(𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃) ∙ |𝑤|−1 ∙ (𝑐𝑜𝑠(−𝛼) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛(−𝛼))</p><p>=</p><p>|𝑧|</p><p>|𝑤|</p><p>(𝑐𝑜𝑠(𝜃 − 𝛼) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃 − 𝛼))</p><p>Suponha que queremos achar os números reais 𝑥 𝑒 𝑦 de modo que:</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>+ 𝑖 ∙</p><p>√3</p><p>2</p><p>)</p><p>1000</p><p>= 𝑥 + 𝑖 ∙ 𝑦</p><p>Uma ideia que vem é usar o binômio de Newton, mas desta forma torna-se trabalhoso. Para potências</p><p>de complexos, temos o seguinte:</p><p>PROFESSOR. LUIS FARIAS</p><p>26</p><p>NÚMEROS COMPLEXOS</p><p>Teorema (1ª FÓRMULA DE ABRAHAM DE MOIVRE (1667/1754))</p><p>Dado 𝑧 ∈ ℂ, 𝑧 = |𝑧|(𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ), onde 𝜃 é o argumento principal de 𝑧. Então,</p><p>𝑧𝑛 = |𝑧|𝑛(𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝜃) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜃)), ∀ 𝑛 ∈ ℤ.</p><p>Prova: Primeiro vamos provar o resultado para 𝑛 positivo. Digamos que</p><p>𝑧𝑘 = |𝑧|𝑘 ∙ (𝑐𝑜𝑠 (𝑘𝜃) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜃)), daí</p><p>𝑧𝑘+1 = |𝑧|𝑘 ∙ |𝑧|(𝑐𝑜𝑠 (𝑘𝜃 + 𝜃) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝜃 + 𝜃))</p><p>= |𝑧|𝑘+1 ∙ (𝑐𝑜𝑠 ((𝑘 + 1)𝜃) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 ((𝑘 + 1)𝜃)).</p><p>Então, pelo princípio de indução, temos que a fórmula acima é verdadeira para todo</p><p>𝑛 ≥ 1.</p><p>Se 𝑛 = −1, não há o que provar. Dado 𝑛 um inteiro negativo 𝑛 = −𝑚,𝑚 ∈ ℕ, assim,</p><p>𝑧𝑛 = 𝑧−𝑚 =</p><p>1</p><p>𝑧𝑚</p><p>=</p><p>1</p><p>|𝑧|𝑚∙(𝑐𝑜𝑠 (𝑚𝜃)+𝑖∙𝑠𝑒𝑛 (𝑚𝜃))</p><p>= |𝑧|−𝑚 ∙ (𝑐𝑜𝑠 (−𝑚𝜃) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (−𝑚𝜃))</p><p>𝑧𝑛 = |𝑧|𝑛 (𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝜃) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜃))</p><p>IDENTIDADE DE EULER</p><p>Lembremo-nos do cálculo que a expansão em série de Taylor de 𝑒𝑥 para todo 𝑥 real é:</p><p>ex = 1 + x +</p><p>x2</p><p>2!</p><p>+</p><p>x3</p><p>3!</p><p>+</p><p>x4</p><p>4!</p><p>+ ⋯</p><p>onde 𝒆 é a base dos logaritmos naturais e é definido da forma:</p><p>lim</p><p>𝑛→+∞</p><p>(1 +</p><p>1</p><p>𝑛</p><p>)</p><p>1</p><p>𝑛</p><p>= 𝑒.</p><p>No caso complexo, podemos definir a exponencial da seguinte forma:</p><p>ez = 1 + z +</p><p>z2</p><p>2!</p><p>+</p><p>z3</p><p>3!</p><p>+</p><p>z4</p><p>4!</p><p>+ ⋯ (∗)</p><p>Essa função tem também a propriedade que 𝑒𝑎+𝑏 = 𝑒𝑎 ∙ 𝑒𝑏 , ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℂ.</p><p>Coloque agora 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, onde 𝑥 = 𝑅𝑒(𝑧) 𝑒 𝑦 = 𝐼𝑚(𝑧) e obtemos 𝑒𝑥+𝑖∙𝑦 = 𝑒𝑥 ∙ 𝑒𝑖∙𝑦, mas em (∗), fazendo</p><p>𝑧 = 𝑖 ∙ 𝑦 e usando as definições das funções seno e cosseno, temos a identidade de Euler, para todo 𝑦 ∈ ℝ.</p><p>𝒆𝒊∙𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝒚 + 𝒊 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝒚</p><p>Denotamos cos 𝑦 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑦 por</p><p>𝐜𝐢𝐬 (𝐲) = 𝐜𝐨𝐬 𝒚 + 𝒊 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝒚.</p><p>Como exemplo, vemos que 𝑒</p><p>𝜋∙𝑖</p><p>2 = 𝑖, 𝑒1+𝜋∙𝑖 = −𝑒.</p><p>PROFESSOR. LUIS FARIAS</p><p>27</p><p>NÚMEROS COMPLEXOS</p><p>PROBLEMAS DE APRENDIZAGEM II</p><p>1. Mostre que se (√3 + 𝑖)</p><p>2𝑛</p><p>, 𝑛 ∈ ℕ, é real, então 𝑛 é múltiplo de 3.</p><p>2. (ITA/2004) Sendo 𝑧 =</p><p>1+𝑖</p><p>√2</p><p>, calcule o valor numérico de: |𝑧 + 𝑧2 + 𝑧3 + ⋯+ 𝑧60|</p><p>3. (IME/1989) Mostre que todas as raízes da equação: (𝑧 + 1)5 + 𝑧5 = 0, pertencem a uma mesma reta</p><p>paralela ao eixo imaginário.</p><p>4. (RÚSSIA) Mostre que todas as raízes de (𝑧 − 1)5 − 32 ∙ (𝑧 + 1)5 = 0 pertencem a uma circunferência.</p><p>5. Prove que para 𝑛 ∈ ℕ∗, temos:</p><p>a) (𝑛</p><p>0</p><p>) − (𝑛</p><p>2</p><p>) + (𝑛</p><p>4</p><p>) − (𝑛</p><p>6</p><p>) + (𝑛</p><p>8</p><p>) − ⋯ = (√2)</p><p>𝑛</p><p>∙ cos (</p><p>𝑛∙𝜋</p><p>4</p><p>)</p><p>b) (𝑛</p><p>1</p><p>) − (𝑛</p><p>3</p><p>) + (𝑛</p><p>5</p><p>) − (𝑛</p><p>7</p><p>) + ⋯ = (√2)</p><p>𝑛</p><p>∙ sen (</p><p>𝑛∙𝜋</p><p>4</p><p>)</p><p>6. (IME/1978) Seja 𝐴 = {𝑧 e ℂ, |𝑧| = 1}. Determine a imagem de 𝐴 pela função 𝑔, complexa de variável</p><p>complexa, tal que 𝑔(𝑧) = (4 + 3𝑖)𝑧 + 5 − 𝑖, ∀ 𝑧 ∈ ℂ.</p><p>7. (ITA/2007) Determine o conjunto 𝐴 formado por todos os números complexos 𝑧 tais que</p><p>𝑧</p><p>𝑧 − 2𝑖</p><p>+</p><p>2𝑧</p><p>𝑧 + 2𝑖</p><p>= 3 e 0 < |𝑧 − 2𝑖| ≤ 1.</p><p>8. Sejam 𝑥, 𝑦 e 𝑧 números reais, de modo que: {</p><p>sen 𝑥 + sen𝑦 + +sen 𝑧 = 0</p><p>cos 𝑥 + cos 𝑦 + cos 𝑧 = 0</p><p>Prove que: {</p><p>sen(2 ∙ 𝑥) + sen(2 ∙ 𝑦) + sen(2 ∙ 𝑧) = 0</p><p>𝑒</p><p>cos(2 ∙ 𝑥) + cos(2 ∙ 𝑦) + cos(2 ∙ 𝑧) = 0</p><p>.</p><p>9. Faça o que se pede em cada item abaixo:</p><p>a) Seja 𝑧 ∈ ℂ, não nulo e 𝛼 um número real tal que 𝑧 +</p><p>1</p><p>𝑧</p><p>= 2 ∙ cos(𝛼).</p><p>Prove que 𝑧𝑛 +</p><p>1</p><p>𝑧𝑛</p><p>= 2 ∙ cos(𝑛𝛼) , ∀ 𝑛 ∈ ℕ.</p><p>b) (LUÍS FARIAS/2006) Sejam 𝑥1 e 𝑥2 raízes de 𝑥2 − √3 ∙ 𝑥 + 1 = 0. Determine o valor numérico de</p><p>𝑥1</p><p>2016 + 𝑥2</p><p>2016.</p><p>10. (TITU ANDREESCU) Determine o valor numérico de:</p><p>∑ cos (</p><p>𝑘𝜋</p><p>11</p><p>)</p><p>9</p><p>𝑘=1</p><p>𝑘 í𝑚𝑝𝑎𝑟</p><p>PROFESSOR. LUIS FARIAS</p><p>28</p><p>NÚMEROS COMPLEXOS</p><p>11. (IME/1979) Determine os valores máximo e mínimo de |𝑧 − 4|, sabendo-se que |𝑧 + 3𝑖| ≤ 1, onde 𝑧 ∈</p><p>ℂ.</p><p>12. (OLIMPÍADA INDIANA) Determine o menor valor para o real positivo 𝐴 sabendo que:</p><p>|𝑧| = 3 𝑒</p><p>21</p><p>|𝑧4 − 5 ∙ 𝑧2 + 6|</p><p>≤ 𝐴,</p><p>Onde 𝑧 ∈ ℂ.</p><p>13. (หนังสอืไทยคณติศาสตร)์ Seja 𝑧 um número complexo |𝑧| = 1. Determine o maior valor possível para a</p><p>Expressão abaixo:</p><p>𝐸 = |𝑧 + 1| + 2|𝑧 − 1|</p><p>14. (TITU ANDREESCU) Considere a função 𝑓: ℝ ⟶ ℂ, defina por:</p><p>𝑓(𝑥) =</p><p>1 + 𝑥 ∙ 𝑖</p><p>1 − 𝑥 ∙ 𝑖</p><p>Prove que 𝑓 é injetiva e determine o conjunto imagem de 𝑓.</p><p>15. (EDWARD LAZANSKY) Prove que:</p><p>sen (</p><p>𝜋</p><p>𝑛</p><p>) + (</p><p>2𝜋</p><p>𝑛</p><p>) + ⋯+ sen(</p><p>(𝑛 − 1)</p><p>𝑛</p><p>) = cotg (</p><p>𝜋</p><p>2𝑛</p><p>).</p><p>16. (IME/2016/2019) Seja 𝑧 um número complexo tal que</p><p>2𝑧</p><p>𝑖∙�̅�</p><p>possui argumento</p><p>3𝜋</p><p>4</p><p>e log3(2𝑧 + 2𝑧̅ + 1) = 2. Determine o número complexo z.</p><p>17. (IME/2011) Sejam 𝑧1 = 10 + 6 ∙ 𝑖 e 𝑧2 = 4 + 6 ∙ 𝑖 números complexos tais que: 𝑎𝑟𝑔 (</p><p>𝑧−𝑧1</p><p>𝑧−𝑧2</p><p>) =</p><p>𝜋</p><p>4</p><p>.</p><p>Determine o modulo do complexo: 𝑧 − 7 − 9 ∙ 𝑖.</p><p>18. (ITA/2012) Para 𝑧 = 1 + 𝑖𝑦, 𝑦 > 0, determine todos os pares (𝑎, 𝑦), 𝑎 > 1 tais que 𝑧10 = 𝑎. Escreva 𝑎</p><p>e 𝑦 em função de Arg 𝑧.</p><p>19. (หนังสอืไทยคณติศาสตร)์ Sejam 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠 (</p><p>2𝜋</p><p>7</p><p>) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (</p><p>2𝜋</p><p>7</p><p>) e 𝐴 = 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧4 𝑒 𝐵 = 𝑧3 + 𝑧5+𝑧6.</p><p>a) Determine o valor numérico de 𝐴 + 𝐵.</p><p>b) Determine o valor numérico de 𝐴. 𝐵.</p><p>c) Prove que: 𝑠𝑒𝑛 (</p><p>2𝜋</p><p>7</p><p>) + 𝑠𝑒𝑛 (</p><p>4𝜋</p><p>7</p><p>) + 𝑠𝑒𝑛 (</p><p>8𝜋</p><p>7</p><p>) =</p><p>√7</p><p>2</p><p>.</p><p>20. (CHÃO KHEK LUN/HONG KONG) Ache o valor numérico da soma</p><p>tg210 + tg230 + tg250 + ⋯+ tg2890.</p><p>PROFESSOR. LUIS FARIAS</p><p>29</p><p>NÚMEROS COMPLEXOS</p><p>PROBLEMAS DE FIXAÇÃO II</p><p>1. Qual é o maior natural 𝑛 de dois algarismos de modo que:</p><p>(</p><p>√3 + 𝑖</p><p>2</p><p>)</p><p>𝑛</p><p>=</p><p>√3</p><p>2</p><p>∙ 𝑖 +</p><p>1</p><p>2</p><p>a) 99 b) 98 c) 97 d) 96 d) 95</p><p>2. Sejam 𝑧 𝑒 𝑤 dois números complexos não nulos tais que: |𝑧𝑤| = 1 𝑒 𝐴𝑟𝑔(𝑧) − 𝐴𝑟𝑔(𝑤) =</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>. Podemos</p><p>afirmar que 𝑧̅ ∙ 𝑤 é?</p><p>a) – 𝑖 b) 1 c) -1 d) 𝑖 e) 2</p><p>3. Se 𝑎 = cos(120) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(120).Podemos afirmar que :𝑎15 + 𝑎−15é igual a?</p><p>a) 2 b) 1 c) -1 d) -2 e) 1</p><p>4. Determine o menor valor do natural 𝑛 positivo para o qual (√3 + 𝑖)</p><p>𝑛</p><p>é real e positivo.</p><p>5. (ÍNDIA) Sejam 𝑧𝑘 (𝑘 = 0,1,2, . .6) as raízes de: (𝑧 + 1)7 + (𝑧)7 = 0. Podemos afirmar que:</p><p>∑ 𝑅𝑒(6</p><p>𝑘=0 𝑧𝑘) é igual a?</p><p>341. 0 b)</p><p>3</p><p>2</p><p>c)</p><p>−7</p><p>2</p><p>d)</p><p>7</p><p>2</p><p>e) 1</p><p>6. (ÍNDIA) Sejam 𝑧1 𝑒 𝑧2 complexos tais que: |𝑧1| = 12, |𝑧2 − 3 − 4𝑖| = 5. Podemos afirmar que o valor</p><p>mínimo de |𝑧1 − 𝑧2| é ?</p><p>a) 0 b) 2 c) 7 d) 17 e) nda</p><p>7. (ÍNDIA) Sejam 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 𝑥 𝑒 𝑦 ∈ ℤ. Determine a área do retângulo cujos vértices são as raízes da</p><p>equação:</p><p>𝑧 ∙ (𝑧̅)3 + 𝑧̅ ∙ 𝑧3 = 350</p><p>a) 48 b) 32 c) 40 d) 80 e) nda</p><p>8. (ÍNDIA) Se 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ∈ ℂ. Sabendo que: 𝑎𝑟𝑔 (</p><p>𝑧−1</p><p>𝑧+1</p><p>) =</p><p>𝜋</p><p>4</p><p>, podemos afirmar que:</p><p>a) 𝑥2 − 𝑦2 − 2𝑥 = 1</p><p>b) 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 = 1</p><p>c) 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑦 = 1</p><p>d) 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 = 1</p><p>e) nda</p><p>PROFESSOR. LUIS FARIAS</p><p>30</p><p>NÚMEROS COMPLEXOS</p><p>9. Seja 𝐴 = {𝑧 ∈ ℂ; |𝑧 + 3 − 4𝑖| = 12}. Determine qual lugar geométrico que 𝐴 representa e determine o</p><p>valor mínimo de |𝑧|, 𝑧 ∈ 𝐴.</p><p>10. (SÃO PETERSBURGO/IME/2019) Dentre todos os complexos 𝑧, tais que |𝑧 − 25 ∙ 𝑖| ≤ 15, calcule</p><p>o de menor argumento.</p><p>11. (PERU) Se |𝑧 − 2| = 1, qual é o valor máximo e mínimo que |𝑧 + 𝑖| pode assumir?</p><p>12. (ESCOLA NACIONAL DE ENGENHARIA) Considere as imagens dos números</p><p>complexos: {𝑧 ∈ ℂ; 1 ≤ |𝑧| ≤ 2} .Determine o conjunto das imagens dos complexos 𝑤 = 𝑖 ∙ 𝑧 + 1 + 𝑖.</p><p>13. Mostre que |</p><p>𝑧−3</p><p>𝑧+3</p><p>| = 2 representa uma circunferência.</p><p>14. Mostre que o conjunto 𝐴 = {z e ℂ − {−1};</p><p>z−1</p><p>z+1</p><p>é imaginário puro}. Representa uma circunferência</p><p>centrada na origem com raio 1.</p><p>15. (ITA/1982) Qual é o lugar geométrico dos pontos 𝑧 ∈ ℂ − {0} com 𝑅𝑒 (</p><p>1</p><p>𝑧</p><p>) = 𝑎, onde 𝑎 > 0.</p><p>16. (ESPECEX) De todos os números complexos z que satisfazem a condição |𝑧 − (2 − 2𝑖)| = 1, existe</p><p>um número complexo 𝑧1 que fica mais próximo da origem. Determine a parte real desse número</p><p>complexo 𝑧1.</p><p>17. (ESPECEX) A representação geométrica, no Plano de Argand-Gauss, do conjunto de pontos que</p><p>satisfazem a condição |𝑧 + 2 − 3𝑖| = |𝑧 − 1 + 4𝑖| 𝑐𝑜𝑚 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ é uma reta de qual</p><p>equação?</p><p>18. (EFOMM) Determine o lugar geométrico dos pontos do plano complexo que satisfazem a equação</p><p>abaixo:</p><p>|𝑧|</p><p>3</p><p>= |𝑧 + 1̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅|</p><p>19. (EFOMM) Considere o conjunto dos números complexos 𝑧 com a propriedade|𝑧 + 169𝑖| ≤ 65</p><p>admitindo que i é a unidade imaginária. Determine o elemento desse conjunto que possui o maior</p><p>argumento.</p><p>20. (ESCOLA NAVAL) Sabendo que 𝑧 =</p><p>1</p><p>2</p><p>+ 𝑖</p><p>√3</p><p>2</p><p>é um número complexo. Determine o menor inteiro</p><p>positivo n, para o produto é um número real positivo: 𝑧1 ∙ 𝑧2 ∙ 𝑧3 ∙∙∙∙∙ 𝑧𝑛.</p><p>21. (ESCOLA NAVAL) Determine o menor inteiro positivo n, para o número (1 + 𝑖)𝑛 𝑠𝑒𝑗𝑎 real.</p><p>22. (ITA/1995) Seja 𝑧 um número complexo satisfazendo 𝑅𝑒(𝑧) > 0 e (𝑧 + 𝑖)2 + |𝑧̅ + 𝑖|2 = 6. Se 𝑛 é o</p><p>menor natural para o qual 𝑧𝑛 é um imaginário puro, então 𝑛 é igual a?</p><p>23. (ITA/2001) Se 𝑧 = 1 + 𝑖√3 e 𝑧 ∙ �̅� = 1, com 𝛼 ∈ (0, 2𝜋) é o argumento principal de 𝑧 ∙ 𝑤, então 𝛼 é</p><p>igual a?</p><p>24. (ITA/2006) Se 𝛼 ∈ [0, 2𝜋) é o argumento de um número complexo 𝑧 ≠ 0 e 𝑛 é um natural tal que:</p><p>(</p><p>𝑧</p><p>|𝑧|</p><p>)</p><p>𝑛</p><p>= 𝑖 ∙ sen(𝑛𝛼).</p><p>Prove que 2 ⋅ 𝑛 ⋅ 𝛼 − 𝜋 é múltiplo de 2𝜋.</p><p>25. (ITA/2009) Se 𝑎 = cos (</p><p>𝜋</p><p>5</p><p>) e 𝑏 = sen (</p><p>𝜋</p><p>5</p><p>), prove que: (𝑎 + 𝑖 ∙ 𝑏)54 = −𝑎 + 𝑏𝑖.</p><p>PROFESSOR. LUIS FARIAS</p><p>31</p><p>NÚMEROS COMPLEXOS</p><p>26. (IME/1993)</p><p>a) Calcule o argumento do complexo: 𝑖(1 + 𝑖).</p><p>b) Escreva sob a forma trigonométrica o complexo: 1 + 𝑖 ∙ √3.</p><p>27. (IME/1999) Determine as raízes de: 𝑧2 + 2 ∙ 𝑖 ∙ 𝑧 + 2 − 4𝑖 = 0, e localize-as no plano complexo, com</p><p>𝑖 = √−1.</p><p>28. (ROMÊNIA) Determine o valor numérico de: cos (</p><p>𝜋</p><p>9</p><p>) ∙ cos (</p><p>2𝜋</p><p>9</p><p>) ∙ cos (</p><p>4𝜋</p><p>9</p><p>)</p><p>29. (ROMÊNIA) Determine o valor numérico de: cos2 (</p><p>𝜋</p><p>18</p><p>) + cos2 (</p><p>5𝜋</p><p>18</p><p>) + cos2 (</p><p>7𝜋</p><p>18</p><p>)</p><p>30. (5a IMO/IME/2010) Determine o valor numérico de:</p><p>cos (</p><p>𝜋</p><p>7</p><p>) − cos (</p><p>2𝜋</p><p>7</p><p>) + cos (</p><p>3𝜋</p><p>7</p><p>)</p><p>31. (IME) Determine em função de n as somas a seguir.</p><p>nxxxxS sen3sen2sensen1 ++++= </p><p>2 2S cos x cos x ... cos nx= + + +</p><p>32. (ITA/2014)</p><p>a) Determine o valor máximo de: |𝑧 + 𝑖|, sabendo que |𝑧 − 2| = 1, 𝑧 ∈ ℂ.</p><p>b) Se 𝑧0 ∈ ℂ satisfaz (a), determine</p><p>33. (ITA/2014) Se 𝑧 = (</p><p>1+𝑖√3</p><p>1−𝑖√3</p><p>)</p><p>10</p><p>.Determine o valor de 2 ∙ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑅𝑒(𝑧)) + 5 ∙ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(2 ∙ 𝐼𝑚(𝑧)).</p><p>34. (IME/2013) Sejam 𝑧1 𝑒 𝑧2 complexos que satisfazem a equação:</p><p>𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0</p><p>Onde 𝑝 𝑒 𝑞 são reais diferentes de zero. Sabe-se que os módulos de 𝑧1 𝑒 𝑧2 são iguais e que a diferença entre os</p><p>seus argumentos vale 𝛼 ≠ 0. Determine o valor de (𝑐𝑜𝑠</p><p>𝛼</p><p>2</p><p>)</p><p>2</p><p>em função de 𝑝 𝑒 𝑞.</p><p>35. (IME/2014) Para o Complexo 𝑧 que descreve o lugar geométrico representado pela desigualdade:</p><p>|𝑧 − 26𝑖| ≤ 10. Sejam 𝛼1 𝑒 𝛼2 os valores máximo e mínimo de seu argumento. O valor de: |𝛼1 − 𝛼2|</p><p>é?</p><p>36. (IME/2015) Descreva o lugar geométrico do número complexo z que atende à</p><p>equação</p><p>𝑎𝑟𝑔(𝑧 − 𝑧1) − 𝑎𝑟𝑔(𝑧 − 𝑧2</p><p>) − 𝑎𝑟𝑔(𝑧 − 𝑧3 ) = 𝑘 ∙ 𝜋 ,</p><p>Em que 𝑧1 é real, 𝑧2 𝑒 𝑧3 são complexos conjugados com parte imaginária não nula e k é um número inteiro.</p><p>37. นังสอืไทยคณติศาสตร)์ Sejam 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠 (</p><p>2𝜋</p><p>5</p><p>) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (</p><p>2𝜋</p><p>5</p><p>) e 𝐴 = 𝑧1 + 𝑧4 𝑒 𝐵 = 𝑧2 + 𝑧3.</p><p>a) Prove que 𝐴 𝑒 𝐵 são números reais.</p><p>b) Determine o valor numérico de 𝐴 + 𝐵.</p><p>c) Determine o valor numérico de 𝐴. 𝐵.</p><p>d) Encontre o valor numérico de 𝑐𝑜𝑠 (</p><p>2𝜋</p><p>5</p><p>).</p><p>PROFESSOR. LUIS FARIAS</p><p>32</p><p>NÚMEROS COMPLEXOS</p><p>38. Seja 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠 (</p><p>2𝜋</p><p>9</p><p>) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (</p><p>2𝜋</p><p>9</p><p>). Qual o valor numérico da expressão E abaixo?</p><p>𝑬 = (1 + 𝑧)(1 + 𝑧8) + (1 + 𝑧2)(1 + 𝑧7) + (1 + 𝑧3)(1 + 𝑧6) + (1 + 𝑧4)(1 + 𝑧5)</p><p>39. (หนังสอืไทยคณติศาสตร)์ Seja 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 um complexo tal que: |𝑧 + 1 − 2𝑖| = 2 ∙ √2. Determine o</p><p>maior valor que a expressão abaixo</p><p>𝐸 = |𝑧 − 1| + 2017 ∙ |𝑧̅ + 3 + 4𝑖|</p><p>40. (CARL FRIEDRICH GAUSS/1797) Prove que:</p><p>cos (</p><p>2𝜋</p><p>17</p><p>) + 𝑐𝑜𝑠 (</p><p>18𝜋</p><p>17</p><p>) + 𝑐𝑜𝑠 (</p><p>26𝜋</p><p>17</p><p>) + 𝑐𝑜𝑠 (</p><p>30𝜋</p><p>17</p><p>) =</p><p>√17 − 1</p><p>4</p><p>PROFESSOR. LUIS FARIAS</p><p>33</p><p>NÚMEROS COMPLEXOS</p><p>GABARITO</p><p>1) b 11) 𝟏 + √𝟓 𝒆 √𝟓 − 𝟏 21) n=4 31) Demonstração</p><p>2) a 12) * 22) n=2 32) *</p><p>3) a 13) Demonstração 23) 𝟐𝝅/𝟑 33) 𝟒𝝅/𝟑</p><p>4) 12 14) Demonstração 24) Demonstração 34) Demonstração</p><p>5) c 15) Circunferência 25) Demonstração 35) 𝟐𝒂𝒓𝒄𝒕(</p><p>𝟓</p><p>𝟏𝟐</p><p>)</p><p>6) b 16) (𝟒 − √𝟐)/𝟐 26) * 36) *</p><p>7) a 17) 3x-7y-2=0 27) * 37) Demonstração</p><p>8) c 18) Circunferência 28) Demonstração 38) *</p><p>9) 𝟕 19) 60-144i 29) Demonstração 39) Demonstração</p><p>10) 𝒛 = 𝟐𝟎𝒄𝒊𝒔𝜶, 𝜶 =</p><p>𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(</p><p>𝟒</p><p>𝟓</p><p>)</p><p>20) n=3 30) 1/2 40) Demonstração</p><p>PROFESSOR. LUIS FARIAS</p><p>34</p><p>NÚMEROS COMPLEXOS</p><p>SUGESTÕES OU RESOLUÇÕES</p><p>4) Solução: Nesses casos, devemos colocar o complexo na forma trigonométrica, isto é,</p><p>√3 + 𝑖 = 2 ∙ [𝑐𝑜𝑠 (</p><p>𝜋</p><p>6</p><p>) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (</p><p>𝜋</p><p>6</p><p>)].</p><p>Logo, 𝑧𝑛 = (√3 + 𝑖)</p><p>𝑛</p><p>= 2𝑛. [𝑐𝑜𝑠 (</p><p>𝑛𝜋</p><p>6</p><p>) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (</p><p>𝑛𝜋</p><p>6</p><p>)]. Queremos que: 𝐼𝑚(𝑧𝑛) = 0 e 𝑅𝑒(𝑧𝑛) > 0, donde</p><p>teremos 𝑛 = 12 ∙ 𝑘, 𝑘 ∈ ℤ. Então, o menor valor é 𝑛 = 12.</p><p>9) Solução: Escrevendo 𝐴 de outra forma, temos: 𝐴 = {𝑧 ∈ ℂ; |𝑧 − (−3 − 4𝑖)| = 12}. Então 𝐴 representa</p><p>uma circunferência de centro (−3, 4) e raio 12 no plano complexo. Para achar o mínimo de |𝑧|, devemos usar a</p><p>desigualdade triangular já demonstrada nestas notas de aula. Assim, temos que:</p><p>12 = |𝑧 − (−3 + 4𝑖)| = |𝑧 + (3 − 4𝑖)| ≤ |𝑧| + |3 − 4𝑖| = |𝑧| + 5</p><p>Logo, |𝑧| ≥ 7. Não podemos afirmar que o mínimo é |𝑧| = 7, pois devemos observar se existe tal 𝑧 ∈ 𝐴. Tome</p><p>𝑧 =</p><p>7</p><p>5</p><p>(3 − 4𝑖). Tome que |𝑧| = 7 e 𝑧 ∈ 𝐴. Logo, o mínimo é 7.</p><p>16) Solução:</p><p>PROFESSOR. LUIS FARIAS</p><p>35</p><p>NÚMEROS COMPLEXOS</p><p>17) Solução:</p><p>18) Solução:</p><p>PROFESSOR. LUIS FARIAS</p><p>36</p><p>NÚMEROS COMPLEXOS</p><p>19) Solução:</p><p>20) Solução:</p><p>PROFESSOR. LUIS FARIAS</p><p>37</p><p>NÚMEROS COMPLEXOS</p><p>21) Solução:</p><p>22) Solução:</p><p>Seja z = a + bi com a > 0 (a, b  R). Temos (z + i)2 + =+ 6|iz| 2</p><p> (a + bi + i)2 + | a – bi + i |2 = 6  (a + (b + 1)i)2 + |a + (1 – b)i |2 – 6 = 0 </p><p> a2 + 2a(b + 1)i – (b + 1)2 + a2 + (1 – b)2 – 6 = 0 </p><p></p><p>1b</p><p>1a</p><p>0)1b(a2</p><p>06)b1()1b(a2 222</p><p>−=</p><p>=</p><p></p><p>=+</p><p>=−−++−</p><p>Logo, z = 1 – i. Como z2 = (1 – i)2 = –2i, concluímos que o menor valor de n para o qual zn é imaginário puro</p><p>é 2.</p><p>PROFESSOR. LUIS FARIAS</p><p>38</p><p>NÚMEROS COMPLEXOS</p><p>23) Solução:</p><p>24) Solução:</p><p>PROFESSOR. LUIS FARIAS</p><p>39</p><p>NÚMEROS COMPLEXOS</p><p>25) Solução:</p><p>26) Solução:</p><p>27) Solução:</p><p>PROFESSOR. LUIS FARIAS</p><p>40</p><p>NÚMEROS COMPLEXOS</p><p>28) Solução:</p><p>29) Solução:</p><p>PROFESSOR. LUIS FARIAS</p><p>41</p><p>NÚMEROS COMPLEXOS</p><p>30) Solução:</p><p>31) Solução:Seja</p><p>2</p><p>sen</p><p>2</p><p>cos2</p><p>x</p><p>i</p><p>x</p><p>Ce</p><p>ix</p><p>+== , onde 12 −=i ; assim tem-se que</p><p>nxinx</p><p>x</p><p>i</p><p>x</p><p>C</p><p>xix</p><p>x</p><p>i</p><p>x</p><p>C</p><p>xix</p><p>x</p><p>i</p><p>x</p><p>C</p><p>n</p><p>n sencos</p><p>2</p><p>sen</p><p>2</p><p>cos</p><p>2sen2cos</p><p>2</p><p>sen</p><p>2</p><p>cos</p><p>sencos</p><p>2</p><p>sen</p><p>2</p><p>cos</p><p>2</p><p>2</p><p>4</p><p>4</p><p>2</p><p>2</p><p>+=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+=</p><p>+=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+=</p><p>+=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+=</p><p></p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>=</p><p>−</p><p>−</p><p>+=</p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>−</p><p>=+++</p><p>n</p><p>j</p><p>nnnn</p><p>n jxijx</p><p>CC</p><p>CCC</p><p>C</p><p>C</p><p>CC</p><p>CCC</p><p>1</p><p>12</p><p>22</p><p>242 sencos</p><p>)1(</p><p>)1(</p><p></p><p>( ) 12</p><p>1</p><p>2</p><p>sen</p><p>2</p><p>sen</p><p>2</p><p>sen</p><p>2</p><p>cos</p><p>2</p><p>sen</p><p>2</p><p>cossencos iSS</p><p>x</p><p>nx</p><p>nx</p><p>i</p><p>nxx</p><p>i</p><p>x</p><p>jxijx</p><p>n</p><p>j</p><p>+=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+=+</p><p>=</p><p>2</p><p>sen</p><p>2</p><p>sen</p><p>2</p><p>)1(</p><p>sen</p><p>2</p><p>sen</p><p>2</p><p>sen</p><p>2</p><p>)1(</p><p>cos</p><p>12 x</p><p>nxxn</p><p>i</p><p>x</p><p>nxxn</p><p>iSS</p><p></p><p>+</p><p>+</p><p></p><p>+</p><p>=+</p><p>De onde tiramos os valores de interesse 1S e 2S igualando-se as partes reais e imaginárias da igualdade acima</p><p>respectivamente.</p><p>PROFESSOR. LUIS FARIAS</p><p>42</p><p>NÚMEROS COMPLEXOS</p><p>32) Solução:</p><p>33) Solução:</p><p>PROFESSOR. LUIS FARIAS</p><p>43</p><p>NÚMEROS COMPLEXOS</p><p>34) Solução:</p><p>PROFESSOR. LUIS FARIAS</p><p>44</p><p>NÚMEROS COMPLEXOS</p><p>35) Solução:</p><p>PROFESSOR. LUIS FARIAS</p><p>45</p><p>NÚMEROS COMPLEXOS</p><p>36) Solução:</p><p>PROFESSOR. LUIS FARIAS</p><p>46</p><p>NÚMEROS COMPLEXOS</p><p>38) Solução:</p><p>PROFESSOR. LUIS FARIAS</p><p>47</p><p>NÚMEROS COMPLEXOS</p><p>39) Solução:</p><p>40) Solução:</p><p>Sugestão: Seja 𝑧 = 𝑐𝑖𝑠 (</p><p>2𝜋</p><p>17</p><p>), defina 𝐴 = 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧4 + 𝑧8 + 𝑧9 + 𝑧13 + 𝑧15 + 𝑧16</p><p>𝐵 = 𝑧3 + 𝑧5 + 𝑧6 + 𝑧7 + 𝑧10 + 𝑧11 + 𝑧12 + 𝑧14</p><p>𝑉𝑒𝑗𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝐴 + 𝐵 = −1 𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝐴 ∙ 𝐵(𝑛𝑎 𝑟𝑎ç𝑎)!. A soma pedida é a metade da parte</p><p>real de 𝐴. Boa sorte!.</p>