Problemas de Combinatória

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<p>.</p><p>1. De quantosmodos podemos escolher uma vogal e uma</p><p>consoante da palavra MATEMATICA?</p><p>2. Um correio vende cinco tipos diferentes de envelopes</p><p>e 4 tipos de selos. De quantas maneiras pode‐se com‐</p><p>prar um envelope e um selo?</p><p>3. Estão escritos em um quadro negro sete substantivos,</p><p>cinco verbos e dois adjetivos. Podemos formar uma</p><p>frase escolhendo um substantivo, um verbo e um ad‐</p><p>jetivo, nessa ordem, sem nos importarmos sobre se a</p><p>frase faz sentido ou não. Quantas frases podemos for‐</p><p>mar desta maneira?</p><p>4. (OBM) Quantos números de três algarismos diferentes</p><p>de zero têm pelo menos dois algarismos iguais?</p><p>5. Quantos números com cinco algarismos têm todos os</p><p>seus algarismos com a mesma paridade (todos pares</p><p>ou todos ímpares)?</p><p>6. Quantos são os números de quatro algarismos que não</p><p>possuem dois algarismos consecutivos com a mesma</p><p>paridade?</p><p>7. (OBM) São dados um tabuleiro e uma peça, comomos‐</p><p>tra a figura abaixo.</p><p>De quantas maneiras diferentes podemos colocar a</p><p>peça no tabuleiro, de modo que cubra completamente</p><p>3 casas?</p><p>8. De um grupo de 8 alunos, devemos escolher 3 deles</p><p>para formar uma comissão composta por um presi‐</p><p>dente, um vice‐presidente e um secretário. De quantos</p><p>modos a comissão pode ser formada?</p><p>9. De um grupo de 8 alunos, devemos escolher 3 de‐</p><p>les para formar uma equipe (sem cargos específicos)</p><p>que participará de uma olimpíada de matemática. De</p><p>quantos modos a equipe pode ser formada?</p><p>10. Um país tem 20 cidades e cada par de cidades está</p><p>conectado por uma rota aérea. Quantas rotas aéreas</p><p>existem?</p><p>11. Quantos são os anagramas da palavra AMORA?</p><p>12. Quantos são os anagramas da palavra URUBU?</p><p>13. Quantos são os anagramas da palavra MATEMATICA?</p><p>14. (OBMEP) Cristina gosta de adivinhar em quais casinhas</p><p>seus ratinhos Mingo, Lingo e Tingo irão se esconder,</p><p>após ser aberta a gaiola em que eles moram. As ca‐</p><p>sinhas são numeradas de 1 a 6 e dois ou mais rati‐</p><p>nhos podem se esconder na mesma casinha. Ela regis‐</p><p>tra suas previsões em cartões como os da figura, mar‐</p><p>cando um X em cada linha.</p><p>(a) De quantas maneiras Cristina pode preencher um</p><p>cartão?</p><p>(b) De quantas maneiras ela pode preencher um car‐</p><p>tão, supondo que os ratinhos se esconderão em</p><p>três casinhas diferentes?</p><p>(c) De quantas maneiras ela pode preencher um car‐</p><p>tão, supondo que dois ratinhos se esconderão em</p><p>uma mesma casinha e o terceiro em uma casinha</p><p>diferente?</p><p>15. Na cidade Gótica, as placas das motos consistem de</p><p>três letras. A primeira letra deve estar no conjunto C,</p><p>H, L, P, R, a segunda letra no conjunto A, I, O e a ter‐</p><p>ceira letra no conjunto D, M, N, T. Certo dia, decidiu‐se</p><p>aumentar o número de placas usando duas novas le‐</p><p>tras: J e K. O intendente dos transportes ordenou que</p><p>as novas letras fossem postas em conjuntos diferentes.</p><p>Determine comqual opção podemos obter omaior nú‐</p><p>mero de placas.</p><p>16. Quantas são as senhas de 11 dígitos formadas apenas</p><p>pelos dígitos 1 e 2, tais que não aparecem dois dígitos</p><p>1 consecutivos?</p><p>17. (OBM) No super bola, o mais novo jogo de futebol, o</p><p>jogador joga em temporadas. Cada temporada possui</p><p>sete partidas e, em cada partida, o jogador pode obter</p><p>3 pontos se vencer, 1 ponto se empatar e 0 ponto se</p><p>perder. De quantosmodos diferentes um jogador pode</p><p>obter exatamente 15 pontos em uma temporada?</p><p>18. (OBM) As permutações da palavra BRASIL foram lista‐</p><p>das em ordem alfabética, como se fossem palavras de</p><p>seis letras em um dicionário. Qual é a 361ª palavra</p><p>nessa lista?</p><p>19. (OBM) Betinha tem 3 fichas brancas, 4 pretas e 3 cin‐</p><p>zentas, todas de mesmo formato e diferentes apenas</p><p>em relação à cor. Ela coloca fichas no tabuleiro a seguir,</p><p>formado por quadradinhos iguais, no máximo uma fi‐</p><p>cha por quadradinho.</p><p>De quantasmaneiras diferentes ela pode colocar no ta‐</p><p>buleiro</p><p>(a) exatamente três fichas, sendo uma ficha branca,</p><p>uma preta e uma cinzenta somente na primeira li‐</p><p>nha horizontal?</p><p>(b) exatamente três fichas pretas somente na segunda</p><p>linha horizontal?</p><p>(c) exatamente três fichas de cores diferentes?</p><p>(d) todas as dez fichas, de modo que em dois quadra‐</p><p>dinhos com um lado comum não haja duas fichas</p><p>pretas?</p><p>20. (OBM) Um número de oito dígitos é dito robusto se</p><p>cumprir as condições a seguir:</p><p>(i) Nenhum dos seus algarismos é 0.</p><p>(ii) A diferença entre dois algarismos consecutivos é</p><p>4 ou 5.</p><p>Responda às perguntas a seguir:</p><p>(a) Quantos são os números robustos?</p><p>(b) Um número robusto é dito super‐robusto se todos</p><p>os seus algarismos são distintos. Calcule a soma de</p><p>todos os números super‐robustos.</p><p>2</p>