atividade de calc

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<p>Questão 1: Encontre a solução geral das equações diferenciais: Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar fator integrante para resolvê- la. 1. Escrevemos a equação na forma padrão: 2. fator integrante é dado = 3. Multiplicamos toda a equação por u(t): 4. Integramos ambos os lados em relação 5. Calculamos as integrais: 6. Somando as soluções e simplificando, temos: Onde C3 é a constante de integração.</p><p>Esta também é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Usaremos fator integrante para resolvê-la. 1. Escrevemos a equação na forma padrão: 2. fator integrante é dado por 3. Multiplicamos toda a equação por dt 4. Integramos ambos os lados em relação a 5. Calculamos a integral: 6. Multiplicamos ambos os lados por e2t para isolar y:</p><p>Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Usaremos fator integrante para resolvê- la. 1. Escrevemos a equação na forma padrão: 2. fator integrante é dado 3. Multiplicamos toda a equação por u(t): 4. Integramos ambos os lados em relação a 5. Calculamos as integrais: 6. Multiplicamos ambos os lados pore-t para isolar y: Simplificando:</p><p>3 cos(2t), Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos resolvê-la utilizando o fator integrante. 1. Escrevemos a equação na forma padrão: 1 2. fator integrante é dado por 3. Multiplicamos toda a equação por u(t): 4. Integramos ambos os lados em relação a dt 5. Para resolver a integral, utilizamos integração por partes. Suponha: du=dt e 2 A integral fica: t - 6. Multiplicando pela constante 3:</p><p>Questão 2: Encontre a solução dos PVIs (Problemas de Valor Inicial) dados: Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem com uma condição inicial. Vamos resolver usando o fator integrante e, em seguida, aplicar a condição inicial. 1. Escrevemos a equação na forma padrão: 2. fator integrante é dado por 3. Multiplicamos toda a equação por u(t): 4. Integramos ambos os lados em relação a 5. Usando a técnica de integração por partes, resolvemos a integral: 6. Portanto, a solução geral é: 7. Aplicando a condição inicial 1 1 C=3 8. Assim, a solução particular é:</p><p>= y(1)=0 - Novamente, vamos resolver a equação usando fator integrante e aplicar a condição inicial. 1. Escrevemos a equação na forma padrão: 2. fator integrante é dado por = 3. Multiplicamos toda a equação por u(t): t 4. Integramos ambos os lados em relação a C 5. Multiplicamos por para isolar y: 6. Aplicando a condição inicial y(1)=0 1 7. Assim, a solução particular é:</p><p>Questão 3: Encontre a solução geral das equações diferenciais: Essa é uma equação diferencial que pode ser resolvida usando separação de variáveis. 1. Reescrevemos a equação separando as variáveis e 2. Integramos ambos os lados: 3. Calculamos as integrais: C 4. Multiplicamos ambos os lados por 2: 5. Finalmente, expressamos a solução geral: onde C1 = 2C é a constante de integração. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos resolvê-la por separação de variáveis. 1. Reescrevemos a equação para isolar as variáveis: 2. Integramos ambos os lados: dx 3. Calculamos a integral:</p><p>c) y = Essa é uma equação que também pode ser resolvida por separação de variáveis. 1. Reescrevemos a equação separando ex: dy 2. Integramos ambos os lados: dx 3. Para a integral do lado esquerdo, usamos a substituição = - 4. A integral da direita pode ser resolvida como: 5. Portanto, a solução geral é: Novamente, usamos separação de variáveis para resolver essa equação. 1. Reescrevemos a equação separando e 2. Integramos ambos os lados: 3. Finalmente, expressamos a solução geral: y(x)</p><p>Questão 4: Encontre a solução dos PVIs (Problemas de Valor Inicial) dados: - Vamos resolver essa equação diferencial usando separação de variáveis e, em seguida, aplicar a condição inicial. 1. Reescrevemos a equação separando as variáveis y e 2. Integramos ambos os lados: 3. Calculamos as integrais: 4. Multiplicamos ambos os lados por 2: 5. Agora aplicamos a condição inicial 6. Substituindo valor de C na equação: Como sinal negativo:</p><p>- Essa equação é uma equação diferencial ordinária na forma polar. Vamos resolvê-la usando separação de variáveis e, em seguida, aplicar a condição inicial. 1. Reescrevemos a equação separando as variáveis T e A. 2. Integramos ambos os lados: 3. Calculamos as integrais: 4. Invertendo ambos os lados para resolver para T: + C 5. Aplicamos a condição inicial C 2 6. Substituímos C na solução:</p>