SED Unidade 1 - Lição 1 4 - Equações de Variáveis Separadas

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Lição 1.4 - Equações de Variáveis Separadas 
Lição 1.4 - página 01 
Equações Diferenciais de Primeira Ordem de Variáveis Separadas 
 
Olá aluno. 
Nesta lição vamos aprender a resolver um certo tipo de equações diferenciais de primeira ordem, onde as variáveis da equação não aparecem misturadas. 
Na sua forma mais geral, as equações diferenciais de primeira ordem de variáveis separadas são do tipo 
o 
onde e são funções que assumem valores reais e , respectivamente. 
Observe que as equações diferenciais de variáveis separadas generalizam as equações estudadas até agora. De fato, quando temos as 
equações estudadas na lição 1.2 e quando temos as equações estudadas na lição 1.3. 
A idéia básica para resolver a equação diferencial em questão consiste em assumir e reescrever a equação na forma 
o 
Integrando a expressão acima na variável obtemos 
o 
Olhando para a integral do lado esquerdo como sendo na variável obtemos 
o 
Logo, resolvendo as integrais vamos obter 
 
o 
o 
e, consequentemente, 
 
o 
ou, equivalentemente, 
o (constante) 
Conclusão: as curvas integrais de uma equação diferencial de primeira ordem, de variáveis separadas, do tipo 
 
obedecem a equações do tipo 
 
onde 
o , 
o e 
o representa uma constante qualquer. 
Apesar de parecer complicado, você verá nos exemplos a seguir que o método acima para resolver equações diferenciais de variáveis separadas não é tão difícil como parece. 
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Equações de Variáveis Separadas - exemplo 1 
 
Como primeiro exemplo de equações diferenciais de primeira ordem de 
variáveis separadas, considere 
o 
Neste exemplo temos e . 
Em cada ponto do plano cartesiano, a inclinação da direção determinada 
pelo campo das direções da equação diferencial neste ponto é igual ao valor do 
quociente , não sendo definida quando . 
Observe abaixo o campo de direções da equação diferencial em questão. 
 
campo de direções de 
Experimente arrastar o ponto central azul em destaque na visualização acima 
para observar o movimento das direções do campo em questão. 
Para encontrar as curvas integrais soluções da equação diferencial em 
questão, procedemos assim: 
o 
Separando variáveis 
o 
Integrando 
o 
Resolvendo as integrais 
o 
Reescrevendo 
o 
Usando o fato de que representa uma constante genérica 
o 
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Conclusão: as curvas integrais da equação diferencial são 
circunferências centradas na origem, sendo o raio determinado pelo valor da 
constante . 
 
Observe que a equação da curva integral estabelece duas 
possibilidades de soluções: 
o 
o 
Ambas as funções acima são soluções da equação diferencial em questão. 
 
Para continuar, você deve assinalar qual é a solução da equação diferencial 
em questão que satisfaz a condição . 
 
 
 
 
Equações de Variáveis Separadas - exemplo 2 
 
Como segundo exemplo de equações diferenciais de primeira ordem de 
variáveis separadas, considere 
o 
Neste exemplo temos e . 
Este exemplo foi estudado na lição 1.3. 
Para encontrar as curvas integrais soluções da equação diferencial em 
questão, procedemos assim: 
o 
Separando variáveis 
 
o 
Integrando 
 
o 
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Resolvendo as integrais 
 
o 
Aplicando a exponencial em ambos os lados 
 
o 
Usando as propriedades da exponencial 
 
o 
Usando o fato de que representa uma constante genérica 
 
o 
Conclusão: as soluções da equação diferencial são as funções 
 
onde representa uma constante arbitrária. 
Para continuar na lição você deve assinalar qual a solução da equação 
diferencial que satisfaz a condição inicial . 
 
 
 
 
Equações de Variáveis Separadas - exemplo 3 
 
Como terceiro exemplo de equações diferenciais de primeira ordem de 
variáveis separadas, considere 
o 
Neste exemplo temos e . 
Este exemplo foi estudado na lição 1.3. 
Para encontrar as curvas integrais soluções da equação diferencial em 
questão, procedemos assim: 
o 
Separando variáveis 
 
o 
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Integrando 
 
o 
Aplicando o método das frações parciais 
 
o 
Aplicando propriedades da integral 
 
o 
Resolvendo as integrais 
 
o 
Evidenciando constantes 
 
o 
Reescrevendo 
 
o 
Usando as propriedades do logaritmo e o fato de que é uma constante 
arbitrária 
 
o 
Aplicando exponenciais em ambos os lados 
 
o 
Usando propriedades da exponencial 
 
o 
Usando o fato de que é uma constante arbitrária 
o 
Isolando a variável 
o 
o 
o 
o 
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
o 
Conclusão: as soluções da equação diferencial são as 
funções 
 
onde representa uma constante arbitrária. 
Para continuar na lição você deve assinalar qual a solução da equação 
diferencial que satisfaz a condição inicial . 
 
 
 
 
Equações de Variáveis Separadas - exemplo 4 
 
Muito bem !!! Estamos chegando ao final desta lição. 
Algumas vezes a equação diferencial aparece na forma de diferenciais, como 
abaixo: 
o 
Esta equação pode ser reescrita como segue: 
o 
o 
Para encontrar as curvas integrais soluções da equação diferencial em questão, 
procedemos assim: 
o 
Separando variáveis 
 
o 
Integrando 
 
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
o 
Resolvendo as integrais 
 
o 
Aplicando exponenciais em ambos os lados 
 
o 
Usando propriedades da exponencial 
 
o 
Usando propriedades da exponencial 
 
o 
Usando o fato de que é uma constante arbitrária 
o 
Conclusão: as soluções da equação diferencial são as 
funções 
 
onde representa uma constante arbitrária. 
Para finalizar a lição você deve assinalar qual a solução da equação 
diferencial que satisfaz a condição inicial . 
 
 
 
 
 
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
	Lição 1.4 - Equações de Variáveis Separadas
	Equações Diferenciais de Primeira Ordem de Variáveis Separadas
	Equações de Variáveis Separadas - exemplo 1
	Equaçõesde Variáveis Separadas - exemplo 2
	Equações de Variáveis Separadas - exemplo 3
	Equações de Variáveis Separadas - exemplo 4