Matemática Financeira - Desconto Simples

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<p>1</p><p>Profa. Fabrícia Constantino</p><p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>Profa. Fabrícia Constantino</p><p>Matemática Financeira – Desconto simples</p><p>Quando se faz uma aplicação com vencimento predeterminado,</p><p>obtém-se um comprovante de aplicação que pode ser, por</p><p>exemplo, uma nota promissória ou letra de câmbio.</p><p>Caso o aplicador precise de dinheiro antes de vencer o prazo de</p><p>aplicação, deve voltar à instituição captadora, transferir a posse</p><p>do título e levantar o principal e os juros ganhos.</p><p>Se uma empresa, que faça venda a prazo, precise levantar</p><p>fundos a mesma pode, junto ao banco, transferir a posse de</p><p>suas duplicatas recebendo dinheiro em troca.</p><p>2</p><p>Profa. Fabrícia Constantino</p><p>Matemática Financeira – Desconto simples</p><p>Desconto é o abatimento concedido sobre um título de crédito</p><p>em virtude de seu resgate antes do vencimento, recebendo o</p><p>portador do título nesta operação um valor menor do que aquele</p><p>que receberia se aguardasse a data de vencimento.</p><p>É uma operação tradicional no mercado financeiro e no setor</p><p>comercial, e objetiva levantar fundos.</p><p>A diferença entre o valor nominal (N) e o valor líquido</p><p>(descontado) (V) pago ao portador do título é o que se</p><p>denomina Desconto (D).</p><p>Profa. Fabrícia Constantino</p><p>Matemática Financeira – Desconto simples</p><p>Algumas definições importantes:</p><p>Títulos de crédito – são instrumentos legais previstos no direito</p><p>comercial (contratos), usados para formalizar dívidas que serão</p><p>pagas no futuro, em prazo previamente estipulado.</p><p>Representam ativos financeiros que permitem que seus</p><p>possuidores possam negociá-los.</p><p>Os títulos de créditos que podem ser descontados são: notas</p><p>promissórias, duplicatas, e letras de câmbio.</p><p>Notas promissórias: são documentos comuns entre pessoas</p><p>físicas, podendo também serem emitidas por pessoas jurídicas</p><p>ou em favor de instituições.</p><p>3</p><p>Profa. Fabrícia Constantino</p><p>Matemática Financeira – Desconto simples</p><p>Duplicatas: são emitidas por firmas contra seus clientes</p><p>(pessoas físicas ou jurídicas) para quem venderam mercadorias</p><p>ou prestaram serviços a prazo.</p><p>Letras de Câmbio: são emitidas por empresas, com aceite de</p><p>uma sociedade de crédito, financiamento e investimento. São</p><p>colocadas no mercado para captar recursos pra serem</p><p>aplicados no próprio mercado em forma de financiamentos,</p><p>pelos quais são cobrados taxas de juros maiores do que</p><p>aquelas pagas aos portadores das letras de câmbio.</p><p>Os títulos apresentados sempre têm um valor declarado que é o</p><p>valor nominal (ou valor de face) que representa o valor que deve</p><p>ser pago na data de vencimento, que também vem declarada.</p><p>Profa. Fabrícia Constantino</p><p>Matemática Financeira – Desconto simples</p><p>Pela sistemática de capitalização simples, os valores do</p><p>desconto são obtidos por meio de cálculos lineares.</p><p>Nessa sistemática, o desconto é tradicionalmente classificado</p><p>em duas modalidades: desconto racional simples (também</p><p>chamado de desconto “por dentro”) e desconto bancário ou</p><p>comercial simples (também denominado desconto “por fora”)</p><p>4</p><p>Profa. Fabrícia Constantino</p><p>Matemática Financeira – Desconto simples</p><p>1. Desconto Racional ou ‘Por Dentro’</p><p>O desconto racional, também chamado de desconto real, de desconto</p><p>verdadeiro ou de desconto por dentro, é o desconto que se obtém pelo</p><p>cálculo do juros simples sobre o valor atual, do título que é quitado "n"</p><p>períodos antes de seu vencimento.</p><p>Dr = Vr i n</p><p>Onde:</p><p>Dr = Desconto racional ou valor do desconto racional (juros do título de crédito)</p><p>Vr = Valor atual racional ou valor descontado racional ou valor líquido</p><p>n = Prazo (= Dia do vencimento - Dia do resgate)</p><p>i = Taxa de desconto racional</p><p>P</p><p>0</p><p>Vr</p><p>Dr</p><p>Juros</p><p>N</p><p>Profa. Fabrícia Constantino</p><p>Matemática Financeira – Desconto simples</p><p>Desconto: é a quantia a ser abatida do valor nominal</p><p>Dr = N – Vr</p><p>Onde: N = Valor Nominal ou valor de face, ou valor de emissão</p><p>Valor Descontado: é a diferença entre o valor nominal e o desconto</p><p>Vr = N – Dr</p><p>Como: Dr = Vr i n</p><p>Então: Vr = N – Vr i n e N = Vr + Vr i n</p><p>N = Vr [1 + (i) (n)]</p><p>Como: Vr = N / [1 + (i) (n)]</p><p>Então: Dr = N – Vr => Dr = N – _ N _ => Dr = _ N i n _</p><p>1 + (i) (n) 1 + (i) (n)</p><p>5</p><p>Profa. Fabrícia Constantino</p><p>Matemática Financeira – Desconto simples</p><p>Exemplos:</p><p>1. Sabendo-se que o valor de face de um título é de $ 4.500,00 vencível em 5</p><p>meses, descontado à taxa de 48% a.a., qual o valor do desconto racional</p><p>simples e o valor descontado racional simples?</p><p>N = $ 4.500,00 n = 5 meses i = 48% a.a = 4% a.m. Dr = ? Vr = ?</p><p>Solução: Dr = _ N i n _ - > Dr = ($ 4.500,00) (0,04/mês) (5 meses)</p><p>1 + (i) (n) 1 + (0,04/mês) (5 meses)</p><p>Dr = $ 900,00 = $ 900,00 - > Dr = $ 750,00</p><p>1 + 0,20 1,20</p><p>Vr = N – Dr - > Vr = $ 4.500,00 – $ 750,00</p><p>Vr = $ 3.750,00</p><p>Profa. Fabrícia Constantino</p><p>Matemática Financeira – Desconto simples</p><p>2. Uma empresa emitiu um título de crédito com vencimento em 18 de</p><p>novembro. Noventa e três dias antes do vencimento descontou-o a uma taxa</p><p>de desconto simples “por dentro” de 2% a.m. Se o valor líquido recebido foi $</p><p>6.300,00 na operação de desconto, qual foi o valor de emissão e o valor do</p><p>desconto “por dentro”?</p><p>Vencimento: 18/11 n = 93 dias Ano comercial = 360 dias</p><p>i = 2% a.m. = 0,02 a.m. (desconto simples por dentro)</p><p>Valor recebido = Valor descontado = Vr = $ 6.300,00</p><p>N = ? Dr = ?</p><p>Solução: N = Vr [1 + (i) (n)]</p><p>N = $ 6.300,00 [1 + (0,02/mês) ( 93 dias) (1 mês/30 dias)]</p><p>N = $ 6.300,00 [1 + (0,020) (93/30)] = $ 6.300,00 (1 + 0,0620)</p><p>N = $ 6.300,00 (1,0620) = $ 6.690,60</p><p>Dr = Vr i n</p><p>Dr = (6.300,00) (0,02) (93/30) - > Dr = $ 390,60</p><p>6</p><p>Profa. Fabrícia Constantino</p><p>1. Se o valor de face de uma nota promissória é de $ 300.000,00</p><p>descontada 4 meses e 10 dias antes de seu vencimento, a uma</p><p>taxa trimestral de 63%, qual foi o desconto simples racional?</p><p>R: Dr = $ 142.931,94</p><p>2. Um investidor resgatou uma letra de câmbio 4 meses antes do</p><p>vencimento a uma taxa de juros simples de 9% a.t, o valor</p><p>recebido nesta operação foi de $ 6.000,00. Pergunta-se: a) O</p><p>valor do desconto, b) o valor nominal da letra.</p><p>R: a) Dr = $ 720,00 / b) N = $ 6.720,00</p><p>Desconto simples – Exercícios</p><p>Profa. Fabrícia Constantino</p><p>Matemática Financeira – Desconto simples</p><p>2. Desconto Comercial ou ‘Por Fora’</p><p>É o desconto que se obtém pelo cálculo do juros simples sobre o valor</p><p>nominal do título que seja quitado "n" períodos antes do seu</p><p>vencimento.</p><p>Em regime de capitalização simples, se não estiver explícito se é desconto comercial</p><p>ou racional, será sempre comercial, pois é este que acontece na prática.</p><p>Dc = N i n Vc = N – Dc Vc = N [1 – (i) (n)]</p><p>Onde:</p><p>Dc = Desconto comercial, ou valor do desconto comercial, ou juros do título de crédito</p><p>Vc = Valor atual comercial, ou valor descontado comercial, ou valor líquído recebido.</p><p>N = Valor Nominal ou valor de face, ou valor de emissão</p><p>n = Prazo antes do vencimento que foi descontado o título de crédito</p><p>i = Taxa de desconto simples comercial</p><p>7</p><p>Profa. Fabrícia Constantino</p><p>Matemática Financeira – Desconto simples</p><p>Exemplos:</p><p>3. Uma letra de câmbio de $ 7.000,00, foi descontada quarenta e oito dias</p><p>antes do vencimento a uma taxa de desconto simples comercial de 6% a.t.</p><p>Determinar o juros do título de crédito e o valor descontado comercial simples.</p><p>N = $ 7.000,00 n = 48 dias i = 6% a.t.(taxa de desconto simples comercial)</p><p>Dc = ? (juros) Vc = ?</p><p>Solução: Dc = N i n</p><p>Dc = ($ 7.000,00) (0,06/trim) (48 dias) (1 trim/90 dias)</p><p>Dc = $ 224,00</p><p>Vc = N – Dc</p><p>Vc = $ 7.000,00 – $ 224,00 - > Vc = $ 6.776,00</p><p>Profa. Fabrícia Constantino</p><p>Matemática Financeira</p><p>– Desconto simples</p><p>4. Quantos dias antes do vencimento foi descontada uma letra de câmbio de</p><p>valor nominal de $ 11.500,00 que foi descontada a uma taxa de desconto</p><p>simples “por fora” de 26,09% a.s, recebendo, após o desconto o valor líquido</p><p>de $ 10.000,00.</p><p>Vc = $ 10.000,00 i = 26,09% a.s. (desconto simples comercial)</p><p>Solução : Dc = N – Vc Dc = N i n</p><p>$ 11.500,00 – $ 10.000,00 = $ 11.500,00 (0,2609/sem) (n)</p><p>$ 1.500,00 = $ 11.500,00 (0,2609/sem) (n)</p><p>$ 1.500,00 sem / $ 3.000,35 = (n) - > n = 0,4999 sem ≈ 0,50 sem</p><p>n = (0,50 sem) (180 dias / 1 sem)</p><p>n = 90 dias</p><p>8</p><p>Profa. Fabrícia Constantino</p><p>3. Sabendo-se que o valor nominal de uma letra de câmbio é $</p><p>9.000,00 foi descontada "por fora" 200 dias antes do vencimento</p><p>Se o valor descontado foi $ 1.010,00, qual foi a taxa anual de</p><p>desconto simples?</p><p>R: i = 159,80% a.a.</p><p>4. Duas duplicatas, com valores nominais de $ 50.000,00 e $</p><p>75.000,00 e vencíveis em 9 e 5 meses, respectivamente,</p><p>sofreram desconto simples “por fora”, gerando um total de $</p><p>80.000,00, correspondente à soma de seus valores atuais. Qual</p><p>a taxa anual de desconto referente a esta operação?</p><p>R: i = 0,0545/mês = 65,45% a.a.</p><p>Desconto simples – Exercícios</p><p>Profa. Fabrícia Constantino</p><p>5. Sabendo-se que o valor nominal de uma nota promissória é $</p><p>137.800,00 vencível em 13 meses, descontado à taxa de desconto</p><p>simples "por dentro" é de 24% a.s., qual é o valor do desconto e o valor</p><p>descontado?</p><p>N = $ 137.800,00 n = 13 meses i = 24% a.s. = 4% a.m. Dr = ? Vr = ?</p><p>Solução: Dr = _ N i n _ - > Dr = (137.800) (0,04) (13)</p><p>1 + (i) (n) 1 + (0.04) (13)</p><p>Dr = $ 47.142,11</p><p>Vr = N - Dr - > Vr = 137.800,00 - 47.142,11</p><p>Vr= $ 90.657,89</p><p>R: Dr = $ 47.142,11 / Vr = $ 90.657,89.</p><p>Desconto simples – Mais Exercícios ...</p><p>9</p><p>Profa. Fabrícia Constantino</p><p>6. Quantos dias antes do vencimento foi descontada uma letra de</p><p>câmbio de valor de emissão igual $ 8.070,00; o desconto $ 2.500,00 e</p><p>a taxa de desconto simples “por dentro” 6% a.m.</p><p>Dr = $ 2.500,00 i = 6% a.m. N = $ 8.070,00 n = ? (dias)</p><p>Solução: Dr = Vr i n Vr = N − Dr</p><p>2.500,00 = (8.070,00 − 2.500,00) (0,06/30) n</p><p>n = 224 dias</p><p>R: n = 224 dias.</p><p>Desconto simples – Mais Exercícios ...</p><p>Profa. Fabrícia Constantino</p><p>7. Uma empresa emitiu uma nota promissória de valor de face $</p><p>11.470,00 que foi descontada a uma taxa de desconto simples</p><p>comercial de 3,75% a.m., 144 dias antes do seu vencimento. Calcule o</p><p>valor descontado e o valor do desconto.</p><p>N = $ 11.470,00 i = 3,75% a.m. Vc = ? Dc = ?</p><p>Solução: Vc = N (1 − i n)</p><p>Vc = 11.470,00 [1 − (0,0375) (144) (1/30)]</p><p>Vc = $ 9.405,40</p><p>Dc = N −Vc</p><p>Dc = 11.470,00 − 9.405,40</p><p>Dc = $ 2.064,60</p><p>ou Dc = N i n = (11.470,00) (0,0375) (144) (1/30)= $ 2.064,60</p><p>R: Vc = $ 9.405,40 / Dc = $ 2.064,60.</p><p>Desconto simples – Mais Exercícios ...</p><p>10</p><p>Profa. Fabrícia Constantino</p><p>8. Se um título de crédito de valor nominal de $ 25.238,53, com</p><p>vencimento para 2,5 semestres, foi substituído por outro de valor de</p><p>face de $ 28.900,00 a uma taxa de juros racional simples de 4,5%</p><p>a.m., qual o prazo de vencimento do novo título de crédito?</p><p>N1 = $ 25.238,53 n1 = 2,5 sem. = 15 meses</p><p>N2 = $ 28.900,00 n2 = ? i = 4,5% a.m. (racional)</p><p>Solução: V1 = V2 N = Vr [1 + (i) (n)]</p><p>N1 = N2 _</p><p>1 + (i) (n1) 1 + (i) (n2)</p><p>25.238,53 [1 + (0,045) (15)]-1 = 28.900,00 [1 + (0,045) (n2)]</p><p>-1</p><p>15.067,46 = 28.900,00 [1 + (0,045) (n2)]</p><p>-1</p><p>15.067,46 [1 + (0,045) (n2)] = 28.900,00</p><p>15.067,46 + 678,04 (n2) = 28.900,00</p><p>n2 = 20,40 meses</p><p>R: n2 = 20,40 meses .</p><p>Desconto simples – Mais Exercícios ...</p><p>Profa. Fabrícia Constantino</p><p>9. Quero substituir uma nota promissória de $ 8.000,00, com</p><p>vencimento em 60 dias, por outra com vencimento em 100 dias. Qual</p><p>será o valor da nova nota promissória, a uma taxa de desconto simples</p><p>“por fora” de 96% a.a.?</p><p>N1 = $ 8.000,00 n1 = 60 dias</p><p>N2 = ? n2 = 100 dias i = 96% a.a. (por fora)</p><p>Solução: V1 = V2 Vc = N [1 − (i) (n)]</p><p>N1 [1 − (i) (n1)] = N2 [1 − (i) (n2)]</p><p>8000,00 [1 − (0,96) (60) (1/360) = N2 [1 − (0,96) (100) (1/360)]</p><p>6.720,00 = N2 (0,733)</p><p>N2 = $ 9.163,64</p><p>R: N2 = $ 9.163,64.</p><p>Desconto simples – Mais Exercícios ...</p><p>11</p><p>Profa. Fabrícia Constantino</p><p>Matemática Financeira – Desconto simples</p><p>3. Relação entre desconto Racional e Comercial</p><p>Já foi percebido que nas mesmas condições de tempo e taxa,</p><p>determinado montante terá um desconto comercial maior em relação</p><p>ao desconto racional.</p><p>Dc ˃ Dr</p><p>Dr = _ N i n _</p><p>1 + (i) (n)</p><p>Dc = N i n</p><p>Dc = Dr (1+in)</p><p>Profa. Fabrícia Constantino</p><p>Matemática Financeira – Desconto simples</p><p>Exemplos:</p><p>5. Numa operação de desconto com um título a vencer em 5 meses, o</p><p>desconto comercial é R$ 140 maior que o desconto racional. Qual será o valor</p><p>nominal de título, se a taxa de juros empregada nos descontos for de</p><p>24%a.a.?</p><p>i = 24% a.a. n = 5 meses Dc = Dr + 140</p><p>Solução: Dc = Dr (1 + in)</p><p>Dr +140 = Dr (1 + 0,24x5/12)</p><p>Dr +140 = 1,1Dr - > 0,1Dr =140</p><p>Dr =1.400</p><p>Dc = 1.400 + 140 = 1.540</p><p>Dc = Nin</p><p>1.540 = N (0,24x5/12)</p><p>N = R$ 15.400</p><p>12</p><p>Profa. Fabrícia Constantino</p><p>Matemática Financeira – Desconto simples</p><p>6. Qual o prazo de antecipação do resgate tal que o desconto seja igual a três</p><p>quartos do desconto comercial, considerando-se uma taxa de juros de</p><p>40%a.a. em ambos os descontos?</p><p>i = 40% a.a. n = ??? Dr = ¾ Dc</p><p>Solução: Dc = Dr (1 + in)</p><p>Dc = (3Dc/4) (1 + 0,4n)</p><p>Dc/ Dc = ¾ (1 + 0,4n)</p><p>1 = 0,75 + 0,3 n</p><p>n = 0,25/0,3</p><p>n = 0,83333 anos ou 10 meses</p><p>Profa. Fabrícia Constantino</p><p>10. Calcule o desconto simples racional sofrido por um título de crédito</p><p>que foi resgatado 5 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de</p><p>96% a.a., se este mesmo título de crédito tivesse sofrido um desconto</p><p>simples “por fora” cujo valor do desconto teria sido de $ 8.500,00.</p><p>Dr = ? Dc = $ 8.500,00 n = 5 meses i = 96% a.a. = 0,08 a.m.</p><p>Solução: Dc = N i n - > 8.500,00 = N (0,08) (5)</p><p>N = $ 21.250,00</p><p>Dr = N i n - > Dr = (21.250,00)(0,08)(5)</p><p>1 + (i) (n) 1 + (0,08)(5)</p><p>Dr = $ 6.071,43</p><p>Ou Dc = Dr (1 + in)</p><p>Dr = _ Dc _- > Dr = (8.500,00) = $ 6.071,43</p><p>(1 + i.n) 1 + (0,08)(5)</p><p>R: Dr = $ 6.071,43.</p><p>Desconto simples – Exercício</p><p>13</p><p>Profa. Fabrícia Constantino</p><p>Matemática Financeira – Desconto simples</p><p>Taxa de Juros Efetiva</p><p>Taxa efetiva para desconto comercial:</p><p>if = (N/Vc) – 1</p><p>n</p><p>No desconto racional a taxa de desconto é a própria taxa efetiva. Isto</p><p>resulta do fato de ser o desconto racional derivado de considerações</p><p>de convenção matemática e não financeira, como é o caso do</p><p>desconto comercial.</p><p>Profa. Fabrícia Constantino</p><p>Matemática Financeira – Desconto simples</p><p>Exemplo:</p><p>7. Um banco realiza suas operações de desconto aplicando uma taxa de</p><p>desconto de 2% a.m. Uma empresa descontou nesse banco, uma nota</p><p>promissória de R$100.000,00 três meses antes do vencimento. Calcular o</p><p>valor liberado à empresa e a taxa de desconto efetiva.</p><p>N= R$100.000 i = 2% a.m. n = 3 meses Vc = ? if = ?</p><p>Solução: Vc = N [1 – (i) (n)]</p><p>Vc = 100.000 [1 – (0,02).(3)]</p><p>Vc = R$ 94.000,00</p><p>if = (N/Vc) – 1</p><p>n</p><p>if = (100.000/94.000) – 1 = 0,02128</p><p>3</p><p>if = 2,128% a.m.</p><p>14</p><p>Profa. Fabrícia Constantino</p><p>11. Uma duplicata de R$6.000,00 foi descontada comercialmente,</p><p>resultando em um crédito de R$5.100,00 na conta do cliente.</p><p>Considerando uma taxa de desconto de 5% a.m., calcular o prazo ao</p><p>vencimento do título e a taxa de desconto efetiva.</p><p>N = $ 6.000 V = $ 5.100 i = 5% a.m. n = ? if = ?</p><p>Solução: Dc = N i n</p><p>(6.000 – 5.100) = 6.000 . 0,05 . n</p><p>n = 3 meses</p><p>if = (N/Vc) – 1</p><p>n</p><p>if = (6.000/5.100) – 1 = 0,0588 a.m.</p><p>3</p><p>R: n = 3 meses / if = 5,88% a.m.</p><p>Desconto simples – Exercício</p><p>Profa. Fabrícia Constantino</p><p>12. Um título de valor nominal de R$ 111,11 foi descontado em um</p><p>banco, à taxa de 4% a.m. cinco meses antes do vencimento (desconto</p><p>comercial simples). Qual a taxa mensal que representou para o banco</p><p>esse investimento?</p><p>R.: Vc = R$ 88,88 / if = 5 % a.m.</p><p>13. Qual a taxa efetiva mensal de uma operação de desconto</p><p>comercial simples de um título realizada à taxa de 18,4% a.a., três</p><p>meses antes do seu vencimento?</p><p>R.: 1,61 % a.m.</p><p>14. Achar a diferença entre o desconto comercial simples e o racional</p><p>simples de um título de R$ 2.100,00 descontado a 3% ao mês, 50</p><p>dias antes de seu vencimento.</p><p>R.: R$ 5,00</p><p>Desconto simples – Mais Exercícios ...</p><p>15</p><p>Profa. Fabrícia Constantino</p><p>Dúvidas?</p>