Tipos de vibração

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<p>Tipos de vibração</p><p>Prof. Ricardo Teixeira da Costa Neto</p><p>Descrição</p><p>Você será apresentado às relações existentes entre os movimentos de</p><p>sistemas com mais de dois graus de liberdade e aos tipos de vibrações</p><p>que ocorrem em elementos contínuos, tais como cabos, vigas e eixos.</p><p>Propósito</p><p>O entendimento das relações entre o movimento de corpos, peças e</p><p>elementos, quer estejam interconectados ou não, é substancial para que</p><p>o profissional da área de mecânica esteja apto para dimensionar</p><p>máquinas que executem movimentos repetitivos.</p><p>Objetivos</p><p>Módulo 1</p><p>Sistemas com mais de dois graus de</p><p>liberdade</p><p>Reconhecer o comportamento dos sistemas oscilatórios de múltiplos</p><p>graus de liberdade e suas frequências naturais.</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 1/93</p><p>Módulo 2</p><p>Vibrações em vigas e barras considerando</p><p>rigidez equivalente</p><p>Reconhecer o comportamento de elementos contínuos quando</p><p>tratados como elementos elásticos com rigidez equivalente.</p><p>Módulo 3</p><p>Vibrações em meio contínuo</p><p>Reconhecer as frequências naturais e os modos de vibração de</p><p>meios contínuos.</p><p>Introdução</p><p>Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo e conheça os</p><p>conceitos de sistemas com mais de dois graus de liberdade,</p><p>vibrações em vigas e barras considerando rigidez equivalente e</p><p>vibrações em meio contínuo.</p><p></p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 2/93</p><p>1 - Sistemas com mais de dois graus de liberdade</p><p>Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer o comportamento dos sistemas</p><p>oscilatórios de múltiplos graus de liberdade e suas frequências naturais.</p><p>Os sistemas oscilatórios de múltiplos</p><p>graus de liberdade</p><p>Neste vídeo, conheça os sistemas de três e quatro graus de liberdade e</p><p>também os conceitos de vibrações não amortecidas e vibrações livres.</p><p>Sistemas com três graus de liberdade</p><p>não amortecidos</p><p>Neste vídeo, conheça os modos de vibrar de um sistema de três graus</p><p>de liberdade de translação. E, também, conheça os métodos para</p><p>calcular suas raízes.</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 3/93</p><p>Sistemas com mais de dois graus de liberdade são conhecidos como</p><p>sistemas de múltiplos graus de liberdade. As frequências naturais e os</p><p>correspondentes modos de vibrar de sistemas com múltiplos graus de</p><p>liberdade, em que os elementos complacentes (mola e amortecedor)</p><p>têm relações constitutivas lineares podem ser encontrados da mesma</p><p>forma quando já se conhecem as equações de movimento. Tais</p><p>equações são escritas em forma matricial, evidenciando as matrizes de</p><p>inércia e de rigidez . Calcula-se a matriz dinâmica, , e em</p><p>seguida seus autovalores, a partir da equação característica.</p><p>Ao chegar nessa etapa, recomenda-se o uso de algoritmos para</p><p>encontrar numericamente raízes de polinômios, tendo em vista que a</p><p>equação característica é de terceiro grau. Existem métodos analíticos</p><p>para encontrar suas raízes (por exemplo, o método de Briot-Ruffini), mas</p><p>lembre-se de que:</p><p>O grau da equação característica é igual ao número de</p><p>graus de liberdade, e a busca por raízes é mais</p><p>complicada.</p><p>Imagine uma situação em que haja o oscilador harmônico com três</p><p>massas vinculadas por meio de molas lineares, como na imagem.</p><p>Sistema com três graus de liberdade sem amortecimento.</p><p>Esse sistema tem três graus de liberdade de translação, e do diagrama</p><p>de corpo livre consegue-se obter as matrizes:</p><p>Matriz de inércia,</p><p>Ξ K Ξ−1K</p><p>Ξ</p><p>Ξ =</p><p>⎡⎢⎣m1 0 0</p><p>0 m2 0</p><p>0 0 m3</p><p>⎤⎥⎦27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 4/93</p><p>Matriz de rigidez,</p><p>Sendo um problema de vibrações livres não amortecidas, o sistema de</p><p>equações de movimento é:</p><p>E as frequências naturais são calculadas por meio dos autovalores da</p><p>matriz :</p><p>Obtém-se a equação característica do sistema:</p><p>Sendo:</p><p>Essa equação tem três raízes, e as frequências naturais são</p><p>. Os modos de vibração são os autovetores correspondentes.</p><p>Admita que:</p><p>K</p><p>K =</p><p>⎡⎢⎣(k1 + k2) −k2 0</p><p>−k2 (k2 + k3) −k3</p><p>0 −k3 (k3 + k4)</p><p>⎤⎥⎦Ξ +K =</p><p>⎡⎢⎣ẍ1</p><p>ẍ2</p><p>ẍ3</p><p>⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣x1</p><p>x2</p><p>x3</p><p>⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣000⎤⎥⎦A = Ξ−1K</p><p>det(A− λI) = = 0∣( k1+k2</p><p>m1</p><p>) − λ − k2</p><p>m1</p><p>0</p><p>− k2</p><p>m2</p><p>( k2+k3</p><p>m2</p><p>) − λ − k3</p><p>m2</p><p>0 − k3</p><p>m3</p><p>( k3+k4</p><p>m3</p><p>) − λ∣λ3 + αλ2 + βλ+ γ = 0</p><p>α = − [( k1 + k2</p><p>m1</p><p>) + ( k2 + k3</p><p>m2</p><p>) + ( k3 + k4</p><p>m3</p><p>)]</p><p>β = (</p><p>k1k2 + k1k3 + k2k3</p><p>m1m2</p><p>) + (</p><p>k1k3 + k1k4 + k2k3 + k2k4</p><p>m1m3</p><p>) + (</p><p>k2k3 + k2k4 + k3k4</p><p>m2m3</p><p>)</p><p>γ = − [ k1k2k3 + k1k2k4 + k1k3k4 + k2k3k4</p><p>m1m2m3</p><p>]</p><p>ωn,i = √λi</p><p>m1 = 5kg</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 5/93</p><p>Substituindo os valores nas expressões dos coeficientes e ,</p><p>obtém-se:</p><p>As raízes do polinômio , são calculadas</p><p>numericamente, e as frequências naturais são:</p><p>Os modos normais de vibrar são:</p><p>m1 = 9kg</p><p>m1 = 4kg</p><p>k1 = 120N/m</p><p>k2 = 135N/m</p><p>k3 = 140N/m</p><p>k4 = 90N/m</p><p>α,β γ</p><p>α = −136, 56</p><p>β = 5.094, 44</p><p>γ = −35.666, 67</p><p>λ3 + αλ2 + βλ+ γ = 0</p><p>ω1 = 3, 01rad/s</p><p>ω2 = 7, 25rad/s</p><p>ω3 = 8, 65rad/s</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 6/93</p><p>e e são constantes.</p><p>Lembre-se de que é a proporção entre os valores das</p><p>coordenadas, não seus valores absolutos, que importa.</p><p>Em cada autovetor, entre as três coordenadas, a de maior valor absoluto</p><p>indica qual das três massas tem movimento oscilatório preponderante</p><p>quando comparado com os movimentos oscilatórios das outras duas.</p><p>Assim, no primeiro modo, representado pelo autovetor , é a</p><p>coordenada correspondente à massa a de maior valor absoluto. Isso</p><p>significa que, quando observamos as amplitudes de oscilação teremos</p><p>o seguinte:</p><p>Movimentos oscilatórios das massas representados qualitativamente.</p><p>Na imagem apresentada, o sombreado por trás de cada massa indica</p><p>qualitativamente a amplitude de deslocamento de uma das massas em</p><p>u1 = Ψ1</p><p>⎡⎢⎣0, 6410, 76⎤⎥⎦u2 = Ψ2</p><p>⎡⎢⎣ 1</p><p>−6, 5 × 10−3</p><p>−0, 88</p><p>⎤⎥⎦u3 = Ψ3</p><p>⎡⎢⎣ 0, 64</p><p>−0, 57</p><p>1</p><p>⎤⎥⎦Ψ1, Ψ2 Ψ3</p><p>u1</p><p>m2</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 7/93</p><p>relação às outras duas, enquanto as setas indicam o sentido do</p><p>movimento relativo entre as massas.</p><p>No primeiro modo, , a massa apresenta maior amplitude de</p><p>oscilação, e as três oscilam em fase na frequência:</p><p>No segundo modo, , quem apresenta maior amplitude de oscilação é</p><p>a massa . Aparentemente a massa não oscila. Entretanto,</p><p>observe pelos valores das coordenadas do autovetor desse modo</p><p>normal que a razão entre as amplitudes de e de é:</p><p>Ou seja, quando a massa oscilar com amplitude de , a massa</p><p>oscilará com amplitude de . Além disso, o sinal negativo</p><p>indica que essas massas oscilam em sentidos opostos, fora de fase:</p><p>quando vai para a direita, vai para a esquerda, e vice-versa.</p><p>Quanto à massa , sua amplitude de oscilação é comparável à de</p><p>em módulo, mas também oscila em sentido oposto, tal qual ocorre com</p><p>sinais opostos. A frequência do sistema nessa situação é:</p><p>No terceiro modo normal, , a massa que oscila com maior amplitude é</p><p>. Já a massa é a que oscila com menor amplitude, e em oposição</p><p>de fase. A massa oscila em fase com , e todo o sistema vibra</p><p>com frequência:</p><p>Vibrações não amortecidas: três</p><p>graus de liberdade ‒ rotação</p><p>Neste vídeo, conheça o comportamento oscilatório não amortecido de</p><p>um sistema torcional de três graus de liberdade.</p><p>u1 m2</p><p>ω1 = 3, 01rad/s</p><p>u2</p><p>m1 m2</p><p>m2 m1</p><p>X2</p><p>X1</p><p>=</p><p>−6, 5 × 10−3</p><p>1, 0</p><p>= 0, 0065∣ ∣ ∣ ∣m1 1, 0cm</p><p>m2 0, 0065cm</p><p>m1 m2</p><p>m3 m1</p><p>m2−</p><p>ω2 = 7, 25rad/s</p><p>u3</p><p>m3 m2</p><p>m1 m3</p><p>ω3 = 8, 65rad/s</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 8/93</p><p>Na abordagem de um sistema de três graus de liberdade de rotação, os</p><p>discos têm momentos de inércia em torno do eixo que passa por seus</p><p>centros e , e os eixos que os interconectam</p><p>A outra constante não é nula, e depende das condições iniciais, no caso</p><p>da deflexão inicial, .</p><p>A deflexão inicial é dada por:</p><p>B1n =</p><p>2</p><p>L</p><p>∫</p><p>L</p><p>0</p><p>w0(x) sen</p><p>nπx</p><p>L</p><p>dx</p><p>B2n =</p><p>2</p><p>ncπ</p><p>∫</p><p>L</p><p>0</p><p>ẇ0(x) sen</p><p>nπx</p><p>L</p><p>dx</p><p>h</p><p>w(x, t) =</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=1</p><p>sen</p><p>nπx</p><p>L</p><p>(B1n cos</p><p>ncπ</p><p>L</p><p>t+B2n sen</p><p>ncπ</p><p>L</p><p>t)</p><p>ẇ0(x) = 0 B2n = 0</p><p>w(x, t) =</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=1</p><p>B1n sen</p><p>nπx</p><p>L</p><p>cos</p><p>ncπ</p><p>L</p><p>t</p><p>w0(x)</p><p>B1n =</p><p>2</p><p>L</p><p>∫</p><p>L</p><p>0</p><p>w0(x) sen</p><p>nπx</p><p>L</p><p>dx</p><p>w0(x)</p><p>w0(x) = {</p><p>2hx</p><p>L</p><p>, 0 ≤ x ≤ L</p><p>2</p><p>2h(L−x)</p><p>L</p><p>, L</p><p>2 ≤ x ≤ L</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 66/93</p><p>Essas expressões são substituídas na expressão da constante :</p><p>Pondo em evidência as constantes e arrumando as integrais, tem-se:</p><p>Há duas situações para :</p><p>Observe que o valor de alterna entre -1 e 1:</p><p>E assim por diante. A expressão pode ser substituída por uma</p><p>equivalente:</p><p>E assim:</p><p>A solução geral é:</p><p>B1n</p><p>B1n =</p><p>2</p><p>L</p><p>{∫</p><p>L/2</p><p>0</p><p>2hx</p><p>L</p><p>sen</p><p>nπx</p><p>L</p><p>dx+ ∫</p><p>L</p><p>L/2</p><p>2h(L− x)</p><p>L</p><p>sen</p><p>nπx</p><p>L</p><p>dx}</p><p>B1n =</p><p>4h</p><p>L2</p><p>{∫</p><p>L/2</p><p>0</p><p>x sen</p><p>nπx</p><p>L</p><p>dx+ L∫</p><p>L</p><p>L/2</p><p>sen</p><p>nπx</p><p>L</p><p>dx− ∫</p><p>L</p><p>L/2</p><p>x sen</p><p>nπx</p><p>L</p><p>dx}</p><p>B1n</p><p>B1n = {</p><p>8h</p><p>π2n2 sen nπ</p><p>2 , n = 1, 3, 5,…</p><p>0, n = 2, 4, 6…</p><p>sen(nπ/2)</p><p>n = 1 ⇒ sen</p><p>π</p><p>2</p><p>= 1</p><p>n = 3 ⇒ sen</p><p>3π</p><p>2</p><p>= −1</p><p>n = 5 ⇒ sen</p><p>5π</p><p>2</p><p>= 1</p><p>n = 7 ⇒ sen</p><p>7π</p><p>2</p><p>= −1</p><p>sen</p><p>nπ</p><p>2</p><p>= (−1)</p><p>n−1</p><p>2 , n = 1, 3, 5, 7,…</p><p>B1n = {</p><p>8h</p><p>π2n2 (−1)</p><p>n−1</p><p>2 , n = 1, 3, 5,…</p><p>0, n = 2, 4, 6…</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 67/93</p><p>A constante é colocada em evidência:</p><p>Resolvendo o somatório, tem-se:</p><p>Nesse caso, nenhum harmônico par é excitado pelo deslocamento.</p><p>Se desejarmos conhecer a posição do cabo em determinado ponto e</p><p>instante de tempo, basta substituir a coordenada em e o instante em</p><p>. Lembrando que , sendo a força de tração no cabo e sua</p><p>densidade linear (massa por unidade de comprimento).</p><p>Vibrações longitudinais em barras e</p><p>hastes</p><p>Neste vídeo, conheca os conceitos básicos de vibracões longitudinais</p><p>em barras considerando, também, as situações: em balanço,</p><p>extremidades livres e bi engastada.</p><p>Agora veremos que o caso de vibrações longitudinais em barras e</p><p>hastes segue o mesmo equacionamento. Aqui a vibração é longitudinal,</p><p>ou seja, na direção do eixo da barra, imagem a seguir – a força  traciona</p><p>a barra.</p><p>w(x, t) =</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=1</p><p>8h</p><p>π2n2</p><p>(−1)</p><p>n−1</p><p>2 sen</p><p>nπx</p><p>L</p><p>cos</p><p>ncπ</p><p>L</p><p>t</p><p>w(x, t) =</p><p>8h</p><p>π2</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=1</p><p>(−1)</p><p>n−1</p><p>2</p><p>n2</p><p>sen</p><p>nπx</p><p>L</p><p>cos</p><p>ncπ</p><p>L</p><p>t</p><p>w(x, t) =</p><p>8h</p><p>π2</p><p>{(sen πx</p><p>L</p><p>cos</p><p>cπ</p><p>L</p><p>t) − ( 1</p><p>9</p><p>sen</p><p>3πx</p><p>L</p><p>cos</p><p>3cπ</p><p>L</p><p>t) + ( 1</p><p>25</p><p>sen</p><p>5πx</p><p>L</p><p>cos</p><p>5cπ</p><p>L</p><p>t) +⋯</p><p>x t</p><p>c = √P/ρ P ρ</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 68/93</p><p>Barra submetida a um esforço longitudinal.</p><p>A equação que representa a vibração longitudinal desenvolvida na barra</p><p>é:</p><p>A velocidade de propagação é:</p><p>A solução dos modos de vibrar da barra é dada pela equação:</p><p>Veja nas imagens as situações comuns em vigas e hastes:</p><p>Em balanço (a)</p><p>c2</p><p>∂ 2u(x, t)</p><p>∂x2</p><p>=</p><p>∂ 2u(x, t)</p><p>∂t2</p><p>c =√ E</p><p>ρ</p><p>u(x, t) = U(x)T (t) = (A1 cos</p><p>ωx</p><p>c</p><p>+A2 sen</p><p>ωx</p><p>c</p><p>) (B1 cosωt+B2 senωt)</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 69/93</p><p>Extremidades livres (b)</p><p>Bi engastada (c)</p><p>E cada situação apresenta uma condição de contorno, conforme</p><p>descrito na tabela:</p><p>Situação</p><p>Condições de</p><p>contorno</p><p>Equação</p><p>característica</p><p>Em balanço (a)</p><p>Extremidades livres</p><p>(b)</p><p>u(0, t) = 0</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>(L, t) = 0</p><p>cos</p><p>ωL</p><p>c</p><p>= 0</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>(0, t) = 0</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>(L, t) = 0</p><p>sen</p><p>ωL</p><p>c</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 70/93</p><p>Situação</p><p>Condições de</p><p>contorno</p><p>Equação</p><p>característica</p><p>Bi engastada (c)</p><p>Tabela 01 – Condições de contorno mais comuns em vibrações longitudinais.</p><p>Ricardo Teixeira da Costa Neto</p><p>As constantes e são calculadas pelas expressões já</p><p>apresentadas anteriormente, a diferença fica por conta da função dentro</p><p>da integral, que agora é :</p><p>Considere que a barra é agora tracionada por uma força . Essa força</p><p>age por um certo tempo, produzindo uma elongação na barra igual a ,</p><p>e depois deixa de atuar. Ou seja, a barra é tracionada e depois</p><p>subitamente liberada - inicia-se assim a fase oscilatória. Confira!</p><p>Barra sujeita à ação de uma força axial .</p><p>A tensão induzida na barra pela força é igual a:</p><p>u(0, t) = 0</p><p>u(L, t) = 0</p><p>sen</p><p>ωL</p><p>c</p><p>B1n B2n</p><p>u0(x)</p><p>B1n =</p><p>2</p><p>L</p><p>∫</p><p>L</p><p>0</p><p>u0(x) sen</p><p>nπx</p><p>L</p><p>dx</p><p>B2n =</p><p>2</p><p>ncπ</p><p>∫</p><p>L</p><p>0</p><p>u̇0(x) sen</p><p>nπx</p><p>L</p><p>dx</p><p>F0</p><p>δ0</p><p>F0</p><p>F0</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 71/93</p><p>Sendo:</p><p>o módulo de elasticidade.</p><p>a área de seção reta.</p><p>Então, o deslocamento da barra imediatamente antes da força ser</p><p>removida (deslocamento inicial) é igual a (observe o gráfico à direita na</p><p>imagem anterior):</p><p>Como a velocidade inicial é zero – a barra é liberada – tem-se que:</p><p>A solução geral de uma barra fixa em uma extremidade e a outra livre é:</p><p>Uma vez que , então . Da tabela 01 anterior, tem-se que:</p><p>E substituindo a condição , chega-se a:</p><p>Resolvendo a integral, tem-se:</p><p>A solução completa é:</p><p>ε =</p><p>F0</p><p>EA</p><p>E</p><p>A</p><p>F0</p><p>u0 = u(x, 0) = εx =</p><p>F0x</p><p>EA</p><p>, 0 ≤ x ≤ L</p><p>u̇0 =</p><p>∂u</p><p>∂t</p><p>(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ L</p><p>u(x, t) =</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>sen</p><p>(2n+ 1)πx</p><p>2L</p><p>[B1n cos</p><p>(2n+ 1)πct</p><p>2L</p><p>+B2n sen</p><p>(2n+ 1)πct</p><p>2L</p><p>]</p><p>u̇0 = 0 B2n = 0</p><p>B1n =</p><p>2</p><p>L</p><p>∫</p><p>L</p><p>0</p><p>u0(x) sen</p><p>(2n+ 1)πx</p><p>2L</p><p>dx</p><p>u(x, 0)</p><p>B1n =</p><p>2</p><p>L</p><p>∫</p><p>L</p><p>0</p><p>F0x</p><p>EA</p><p>sen</p><p>(2n+ 1)πx</p><p>2L</p><p>dx</p><p>B1n =</p><p>8F0L</p><p>EAπ2 [</p><p>(−1)n</p><p>(2n+ 1)2</p><p>]</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 72/93</p><p>O movimento de um ponto qualquer da barra, por exemplo em , é</p><p>composto pelas amplitudes:</p><p>Correspondentes às frequências:</p><p>Lembrando que .</p><p>Suponha que a barra tenha os seguintes parâmetros:</p><p>Suponha, ainda, que o objetivo seja escrever os três primeiros modos de</p><p>vibração, ou seja, , em função de . A equação é:</p><p>Substituindo os valores, tem-se:</p><p>Para :</p><p>u(x, t) =</p><p>8F0L</p><p>EAπ2</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>(−1)n</p><p>(2n+ 1)2</p><p>sen</p><p>(2n+ 1)πx</p><p>2L</p><p>cos</p><p>(2n+ 1)πct</p><p>2L</p><p>x = x0</p><p>B1n sen</p><p>(2n+ 1)πx0</p><p>2L</p><p>(2n+ 1)πc</p><p>2L</p><p>c = √E/ρ</p><p>E = 200GPa</p><p>A = 2, 6 × 10−3m2</p><p>L = 1, 0m</p><p>ρ = 7.800kg/m3</p><p>I = 4, 7 × 10−6m4</p><p>n ≤ 2 F0</p><p>u(x, t) =</p><p>8F0L</p><p>EAπ2</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=0</p><p>(−1)n</p><p>(2n+ 1)2</p><p>sen</p><p>(2n+ 1)πx</p><p>2L</p><p>cos</p><p>(2n+ 1)πct</p><p>2L</p><p>8F0L</p><p>EAπ2</p><p>=</p><p>8(1, 0)</p><p>(200 × 109) (2, 6 × 10−3)π2</p><p>F0 = (1, 56 × 10−9F0)m</p><p>c = √E/ρ = √(200 × 109)/7.800 = 5, 06 × 103m/s</p><p>n = 0</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 73/93</p><p>Para :</p><p>Para :</p><p>A expressão total é:</p><p>As três primeiras frequências naturais são:</p><p>Se agora há uma mola helicoidal vinculada à extremidade livre da barra,</p><p>observe na imagem:</p><p>(−1)0</p><p>[2(0) + 1]2</p><p>sen</p><p>[2(0) + 1]πx</p><p>2(1, 0)</p><p>cos</p><p>[2(0) + 1]πct</p><p>2(1, 0)</p><p>= sen</p><p>πx</p><p>2</p><p>cos</p><p>πct</p><p>2</p><p>n = 1</p><p>(−1)1</p><p>[2(1) + 1]2</p><p>sen</p><p>[2(1) + 1]πx</p><p>2(1, 0)</p><p>cos</p><p>[2(1) + 1]πct</p><p>2(1, 0)</p><p>= −</p><p>1</p><p>9</p><p>sen</p><p>3πx</p><p>2</p><p>cos</p><p>3πct</p><p>2</p><p>n = 2</p><p>(−1)2</p><p>[2(2) + 1]2</p><p>sen</p><p>[2(2) + 1]πx</p><p>2(1, 0)</p><p>cos</p><p>[2(2) + 1]πct</p><p>2(1, 0)</p><p>=</p><p>1</p><p>25</p><p>sen</p><p>5πx</p><p>2</p><p>cos</p><p>5πct</p><p>2</p><p>u(x, t) = F0 (1, 56 × 10−9) {sen</p><p>πx</p><p>2</p><p>cos</p><p>πct</p><p>2</p><p>−</p><p>1</p><p>9</p><p>sen</p><p>3πx</p><p>2</p><p>cos</p><p>3πct</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>25</p><p>sen</p><p>5πx</p><p>2</p><p>cos</p><p>5πct</p><p>2</p><p>}</p><p>c = 5, 06 × 103m/s</p><p>ω0 =</p><p>[2(0) + 1]πc</p><p>2(1, 0)</p><p>= (5, 06 × 103)</p><p>π</p><p>2</p><p>= 7, 95 × 103rad/s(= 1.265Hz)</p><p>ω1 =</p><p>[2(1) + 1]πc</p><p>2(1, 0)</p><p>= (5, 06 × 103)</p><p>3π</p><p>2</p><p>= 23, 85 × 103rad/s(= 3.795Hz)</p><p>ω2 =</p><p>[2(2) + 1]πc</p><p>2(1, 0)</p><p>= (5, 06 × 103)</p><p>5π</p><p>2</p><p>= 39, 74 × 103rad/s(= 6.325Hz)</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 74/93</p><p>Barra em balanço sujeita à ação de uma força axial produzida por uma mola helicoidal de rigidez</p><p>.</p><p>A equação diferencial que representa o movimento axial de cada seção</p><p>transversal da barra é:</p><p>Uma vez que a extremidade em é fixa, tem-se a condição de</p><p>contorno: . Usando a equação,</p><p>E substituindo a condição de contorno para a extremidade engastada,</p><p>lembrando a separação de variáveis:</p><p>A tensão normal na extremidade livre deve ser igual à força</p><p>desenvolvida pela mola a cada instante:</p><p>Sendo,</p><p>Fk</p><p>km</p><p>E</p><p>ρ</p><p>=</p><p>∂ 2u</p><p>∂x2 =</p><p>∂ 2u</p><p>∂t2</p><p>x = 0</p><p>u(0, t) = 0</p><p>u(x, t) = U(x)T (t) = (A1 cos</p><p>ωx</p><p>c</p><p>+A2 sen</p><p>ωx</p><p>c</p><p>) (B1 cosωt+B2 senωt)</p><p>U(0) = (A1 cos</p><p>ω(0)</p><p>c</p><p>+A2 sen</p><p>ω(0)</p><p>c</p><p>) = 0 ⇒ A1 cos</p><p>ω(0)</p><p>c</p><p>= 0 ⇒ A1 = 0</p><p>EA</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>(L, t) = −kmu(L, t)</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 75/93</p><p>Então,</p><p>Daí, tem-se que:</p><p>Os termos que dependem do tempo são os mesmos, então, pode-se</p><p>afirmar que:</p><p>Resolvendo, tem-se:</p><p>Ou,</p><p>Fazendo . Tem-se que:</p><p>Assumindo:</p><p>∂u(x, t)</p><p>∂x</p><p>=</p><p>∂</p><p>∂x</p><p>[(A2 sen</p><p>ωx</p><p>c</p><p>) (B1 cosωt+B2 senωt)]</p><p>∂u(x, t)</p><p>∂x</p><p>= (A2</p><p>ω</p><p>c</p><p>cos</p><p>ωx</p><p>c</p><p>) (B1 cosωt+B2 senωt)</p><p>EA(A2</p><p>ω</p><p>c</p><p>cos</p><p>ωL</p><p>c</p><p>) (B1 cosωt+B2 senωt) = −km (A2 sen</p><p>ωL</p><p>c</p><p>) (B1 cosωt+B2 senωt)</p><p>EA(A2</p><p>ω</p><p>c</p><p>cos</p><p>ωL</p><p>c</p><p>) = −km (A2 sen</p><p>ωL</p><p>c</p><p>)</p><p>EA</p><p>ω</p><p>c</p><p>(cos</p><p>ωL</p><p>c</p><p>) = −km (sen</p><p>ωL</p><p>c</p><p>) ⇒ EA</p><p>ω</p><p>c</p><p>= −km (tg</p><p>ωL</p><p>c</p><p>)</p><p>EA</p><p>L</p><p>( ωL</p><p>c</p><p>) = −km (tg</p><p>ωL</p><p>c</p><p>)</p><p>ψ = ωL/c</p><p>EA</p><p>Lkm</p><p>ψ = −tgψ</p><p>E = 200GPa</p><p>A = 3, 0 × 10−6m2</p><p>L = 2, 0m</p><p>ρ = 7.800kg/m3</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 76/93</p><p>Tem-se:</p><p>A equação é uma equação transcendental, e a solução</p><p>não trivial mais próxima é: (resolva numericamente!). A</p><p>frequência fundamental é:</p><p>Essa é a frequência mais baixa em que a barra irá vibrar nessas</p><p>condições.</p><p>Vibração transversal em vigas</p><p>Neste vídeo, entenda os conceitos de vibrações transversais em vigas e</p><p>conheça a teoria de vigas estreitas, ou de Euler-Bernoulli.</p><p>Vimos como são os modos de axiais de vibrar de uma viga ou barra,</p><p>quando a oscilação se dá ao longo do eixo longitudinal da viga. Agora,</p><p>passamos ao caso em que a viga oscila em um eixo transversal –</p><p>também é chamada de vibração lateral, observe a imagem!</p><p>Exemplo de viga submetida à vibração transversal, sendo que o eixo w pode ser tanto um eixo</p><p>vertical quanto lateral.</p><p>km = 2, 0 × 105N/m</p><p>(200 × 109) (3, 0 × 10−6)</p><p>(2, 0) (2, 0 × 105)</p><p>ψ = −tgψ ⇒ 1, 5ψ = −tgψ</p><p>1, 5ψ = −tgψ</p><p>ψ = 1, 907rad</p><p>ωfund  =</p><p>ψ</p><p>L</p><p>√ E</p><p>ρ</p><p>=</p><p>(1, 907)</p><p>2, 0</p><p>√ 200 × 109</p><p>7.800</p><p>= 4, 83 × 103rad/s(≈ 786Hz)</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 77/93</p><p>A viga é submetida a momento fletor e a esforço cortante, e da teoria de</p><p>vigas estreitas, ou de Euler-Bernoulli, a relação entre momento fletor e</p><p>esforço cortante é:</p><p>Sendo o módulo de elasticidade (módulo de Young), e é o</p><p>momento de inércia da seção reta da viga em relação ao eixo</p><p>perpendicular ao plano da imagem vista anteriormente.</p><p>A equação de movimento para vibrações forçadas (  é a força por</p><p>unidade de comprimento) de uma viga não uniforme é:</p><p>Imagem</p><p>Massa da viga distribuída por sete massas individuais conectadas por</p><p>molas.</p><p>Se a viga é uniforme, a área e o momento de inércia não variam ao</p><p>longo do eixo , então e ambos são constantes -</p><p>e a expressão se torna:</p><p>E se o problema for de vibrações livres, :</p><p>E nesse caso,</p><p>M(x, t) = EI(x)</p><p>∂ 2w</p><p>∂x2</p><p>(x, t)</p><p>E I(x)</p><p>f(x, t)</p><p>∂ 2</p><p>∂x2</p><p>[EI(x) ∂</p><p>2w</p><p>∂x2</p><p>(x, t)] + ρA(x)</p><p>∂ 2w</p><p>∂x2</p><p>(x, t) = f(x, t)</p><p>x A(x) = A I(x) = I−</p><p>EI</p><p>∂ 4w</p><p>∂x4</p><p>(x, t) + ρA</p><p>∂ 2w</p><p>∂x2</p><p>(x, t) = f(x, t)</p><p>f(x, t) = 0</p><p>EI</p><p>∂ 4w</p><p>∂x4</p><p>(x, t) + ρA</p><p>∂ 2w</p><p>∂x2</p><p>(x, t) = 0 ⇒ ( EI</p><p>ρA</p><p>) ∂ 4w</p><p>∂x4</p><p>(x, t) +</p><p>∂ 2w</p><p>∂x2</p><p>(x, t) = 0</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 78/93</p><p>Observe que a equação é de 4ª ordem, e por isso precisamos de quatro</p><p>condições de contorno para encontrar uma solução única para o</p><p>problema. Geralmente, os valores de deslocamento e velocidade são</p><p>definidos como e em . Daí,</p><p>E, para vibrações livres, usando separação de variáveis, tem-se:</p><p>Reescrevendo,</p><p>As equações agora estão separadas:</p><p>Fazendo , tem-se:</p><p>c =√</p><p>EI</p><p>ρA</p><p>w0(x) ẇ0(x) t = 0</p><p>w(x, t = 0) = w0(x)</p><p>∂w</p><p>∂x</p><p>(x, t = 0) = ẇ0(x)</p><p>w(x, t) = W(x)T (t)</p><p>c2</p><p>W(x)</p><p>d4W(x)</p><p>dx4</p><p>= −</p><p>1</p><p>T (t)</p><p>d2T (t)</p><p>∂t2</p><p>= α = ω2,α > 0, c2 =</p><p>EI</p><p>ρA</p><p>d4W(x)</p><p>dx4</p><p>−</p><p>ω2</p><p>c2</p><p>W(x) = 0</p><p>d2T (t)</p><p>∂t2</p><p>+ ω2T (t) = 0</p><p>β4 = ω2/c2 = ω2(ρA/EI)</p><p>d4W(x)</p><p>dx4</p><p>− β4W(x) = 0</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 79/93</p><p>A solução geral agora inclui outras funções trigonométricas – seno</p><p>hiperbólico, , e cosseno hiperbólico, .</p><p>A frequência natural é dada por:</p><p>A função é a função característica da viga, e representa os</p><p>modos normais de vibrar. Para uma viga, há infinitos modos normais,</p><p>cada um deles associado a uma frequência natural. As constantes</p><p>e , e o valor de advêm das condições de contorno.</p><p>Vejamos o que acontece quando a viga é engastada em uma</p><p>extremidade: , e também</p><p>Sabe-se que e que , então:</p><p>Para , sabe-se que derivada de (não há</p><p>troca de sinal!), e que a derivada de . Então:</p><p>Em</p><p>d2T (t)</p><p>∂t2</p><p>+ ω2T (t) = 0</p><p>senh cosh</p><p>W(x) = A1 cosβx+A2 senβx+A3 coshβx+A4 senhβx</p><p>T (t) = B1 cosωt+B2 senωt</p><p>ω = β2√ EI</p><p>ρA</p><p>W(x)</p><p>A1,A2,A3 A4 β</p><p>W(0) = 0 ∂w/∂x = 0</p><p>W(x) = A1 cosβx+A2 senβx+A3 coshβx+A4 senhβx</p><p>cosh 0 = 1 senh 0 = 0</p><p>W(0) = A1 cosβ(0) +A2 senβ(0) +A3 coshβ(0) +A4 senhβ(0) = A1 +A3 = 0</p><p>∂w/∂x = 0 coshx = senhx</p><p>senhx = coshx</p><p>dW</p><p>dx</p><p>= β [−A1 senβx+A2 cosβx+A3 senhβx+A4 coshβx]</p><p>(x = 0) :</p><p>dW(0)</p><p>dx</p><p>= β [−A1 senβ(0) +A2 cosβ(0) +A3 senhβ(0) +A4 coshβ(0)] = (A2 +A4)β = 0</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 80/93</p><p>Se a extremidade é livre, tanto o momento fletor quanto a força cortante</p><p>são nulos, então, respectivamente:</p><p>Então, para o momento fletor, em :</p><p>E para o esforço cortante, em :</p><p>São então quatro equações para as condições de contorno de uma viga</p><p>com uma extremidade engastada e outra livre:</p><p>Agora admita que na extremidade livre da viga é colocada uma massa</p><p>, observe a imagem.</p><p>Viga em balanço com uma massa na extremidade livre.</p><p>Nesse caso, o esforço cortante não é mais nulo, e sim deve ser igual à</p><p>inércia da massa :</p><p>EI</p><p>∂ 2w</p><p>∂x2</p><p>= 0,  e</p><p>∂</p><p>∂x</p><p>(EI</p><p>∂ 2w</p><p>∂x2</p><p>) = 0</p><p>x = L</p><p>d2W</p><p>dx2</p><p>= β2 (−A1 cosβx−A2 senβx+A3 coshβx+A4 senhβx)</p><p>d2W(L)</p><p>dx2</p><p>= β2 (−A1 cosβL−A2 senβL+A3 coshβL+A4 senhβL) = 0</p><p>x = L</p><p>∂</p><p>∂x</p><p>[</p><p>d2W(L)</p><p>dx2 ] = β3 (A1 senβL−A2 cosβL+A3 senhβL+A4 coshβL) = 0</p><p>A1 +A3 = 0</p><p>(A2 +A4)β = 0</p><p>β2 (−A1 cosβL−A2 senβL+A3 coshβL+A4 senhβL) = 0</p><p>β3 (A1 senβL−A2 cosβL+A3 senhβL+A4 coshβL) = 0</p><p>m</p><p>m</p><p>m</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 81/93</p><p>O primeiro membro da equação é:</p><p>O segundo membro é:</p><p>Substituindo , tem-se:</p><p>Igualando primeiro e segundo membros, obtém-se:</p><p>Admitindo, apenas para facilitar o desenvolvimento:</p><p>EI</p><p>d3W(L)</p><p>dx3</p><p>= −mω2W(L)</p><p>EIβ3 (A1 senβL−A2 cosβL+A3 senhβL+A4 coshβL)</p><p>W(L) = −mω2 (A1 cosβL+A2 senβL+A3 coshβL+A4 senhβL)</p><p>ω = β2√EI/ρA</p><p>W(L) = −mβ4 ( EI</p><p>ρA</p><p>) (A1 cosβL+A2 senβL+A3 coshβL+A4 senhβL)</p><p>( ρA</p><p>m</p><p>senβL+ β cosβL)A1 + (−</p><p>ρA</p><p>m</p><p>cosβL+ β senβL)A2</p><p>+ ( ρA</p><p>m</p><p>senhβL+ β coshβL)A3 + ( ρA</p><p>m</p><p>coshβL+ β senhβL)A4 = 0</p><p>γ1 =</p><p>ρA</p><p>m</p><p>senβL+ β cosβL</p><p>γ2 = −</p><p>ρA</p><p>m</p><p>cosβL+ β senβL</p><p>γ3 =</p><p>ρA</p><p>m</p><p>senhβL+ β coshβL</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 82/93</p><p>É preciso resolver um sistema de quatro equações para resolver as</p><p>quatro incógnitas, , e . Para isso, escreve-se as quatro</p><p>equações em forma matricial, isolando as variáveis.</p><p>E para que a equação tenha solução não trivial, é preciso que o</p><p>determinante da matriz seja nulo.</p><p>Para que isso ocorra, é preciso satisfazer a equação, tendo o produto</p><p>como incógnita (resolver numericamente):</p><p>Considerando:</p><p>,</p><p>Tem-se:</p><p>γ4 =</p><p>ρA</p><p>m</p><p>coshβL+ β senhβL</p><p>A1,A2 A3 A4</p><p>= 0</p><p>⎡⎢⎣ 1 0 1 0</p><p>0 β 0 β</p><p>−β2 cosβL −β2 senβL β2 coshβL β2 senhβL</p><p>γ1 γ2 γ3 γ4</p><p>⎤⎥⎦⎡⎢⎣A1</p><p>A2</p><p>A3</p><p>A4</p><p>⎤⎥⎦= 0∣ 1 0 1 0</p><p>0 β 0 β</p><p>−β2 cosβL −β2 senβL β2 coshβL β2 senhβL</p><p>γ1 γ2 γ3 γ4 ∣βL</p><p>[1 + cos(βL) cosh(βL)] + (βL)</p><p>m</p><p>ρAL</p><p>[cos(βL) sinh(βL) − cosh(βL) sin(βL)] = 0</p><p>m = 10kg</p><p>A = 2, 6 × 10−3m2</p><p>L = 1, 0m</p><p>E = 200GPa</p><p>ρ = 7.800kg/m3</p><p>I = 4, 7 × 10−6m4</p><p>m</p><p>ρAL</p><p>=</p><p>10</p><p>(7.800) (2, 6 × 10−3)(1,</p><p>0)</p><p>= 0, 493</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 83/93</p><p>A menor solução para a equação é e como</p><p>. A frequência fundamental é:</p><p>Observe que essa solução é para viga engastada em uma extremidade e</p><p>livre na outra. Para outros tipos de apoio, as condições de contorno</p><p>mudam.</p><p>Barras e vigas sujeitas à vibração</p><p>torcional</p><p>Neste vídeo, conheça os conceitos sobre vibrações torcionais em vigas</p><p>relacionados, por exemplo, aos movimentos de um veículo em função</p><p>do perfl da estrada.</p><p>Na imagem a seguir, são mostradas a barra engastada e sua seção reta</p><p>em destaque.</p><p>Barra circular engastada e em balanço, com sua seção reta sujeita a um momento , na</p><p>imagem acima à direita, e apresentando deflexão angular , na imagem abaixo e à direita.</p><p>Se é o ângulo de torção da seção reta, a relação entre deflexão</p><p>angular e o momento de torção é dada por:</p><p>βL = 1, 423</p><p>L = 1, 0m,β = 1, 423</p><p>ωf = β2√ EI</p><p>ρA</p><p>= (1, 4232)</p><p>(200 × 109) (4, 7 × 10−6)</p><p>(7.800) (2, 6 × 10−3)</p><p>= (1, 4232)(215, 3) = 435, 95rad/s</p><p>⎷</p><p>Mt(x, t)</p><p>θ(x, t)</p><p>θ(x, t)</p><p>Mt(x, t)</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 84/93</p><p>O termo é o momento polar de inércia da seção reta , enquanto</p><p>é o módulo de cisalhamento. Considerando que seja o momento</p><p>polar de inércia de massa do eixo por unidade de comprimento, o</p><p>torque de inércia agindo no elemento de seção e espessura será:</p><p>Para não haver confusão:</p><p>Momento polar de</p><p>inércia de uma seção</p><p>transversal</p><p>Descreve a resistência à</p><p>deformação por torção</p><p>de um eixo, sem ocorrer</p><p>empenamento da seção</p><p>considerada.</p><p>Momento polar de</p><p>inércia de massa do eixo</p><p>por unidade de</p><p>comprimento</p><p>Descreve a resistência à</p><p>deformação por torção</p><p>de um eixo, a cada</p><p>unidade de</p><p>comprimento; se a</p><p>seção transversal do</p><p>eixo é uniforme, então</p><p>, sendo a</p><p>densidade de massa do</p><p>eixo.</p><p>Observe a imagem anterior. Caso um torque externo  aja sobre o</p><p>eixo em cada unidade de comprimento, tem-se a equação de</p><p>movimento:</p><p>Falta determinar a expressão da parcela . Ela pode ser</p><p>expressa como:</p><p>Mt(x, t) = GI(x)</p><p>∂θ</p><p>∂x</p><p>(x, t)</p><p>I(x) S</p><p>G J0</p><p>S dx</p><p>J0dx</p><p>∂ 2θ</p><p>∂t2</p><p></p><p>J0 = ρI ρ</p><p>f(x, t)</p><p>[Mt(x, t) + dMt(x, t)] + f(x, t) −Mt(x, t) = J0dx</p><p>∂ 2θ</p><p>∂t2</p><p>dMt(x, t)</p><p>dMt(x, t) =</p><p>∂Mt(x, t)</p><p>∂x</p><p>dx</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 85/93</p><p>E aí a equação de movimento passa a ser (as parcelas se</p><p>cancelam):</p><p>Ou ainda, sabendo que:</p><p>Chega-se a:</p><p>Se o eixo é uniforme, é constante; o parâmetro depende do</p><p>material, então:</p><p>No caso de vibrações livres, , resultando em:</p><p>A equação é do tipo diferencial parcial, e deve ser resolvida pelo método</p><p>de separação de variáveis, aplicável a esse tipo de problema.</p><p>Veja nas imagens a seguir, as situações comuns em vigas e hastes</p><p>sujeitas à torção:</p><p>Mt(x, t)</p><p>∂Mt(x, t)</p><p>∂x</p><p>dx+ f(x, t) = J0dx</p><p>∂ 2θ</p><p>∂t2</p><p>Mt(x, t) = GI(x)</p><p>∂θ</p><p>∂x</p><p>(x, t)</p><p>∂</p><p>∂x</p><p>[GI(x)</p><p>∂θ</p><p>∂x</p><p>(x, t)] + f(x, t) = J0dx</p><p>∂ 2θ</p><p>∂t2</p><p>I(x) G</p><p>GI</p><p>∂ 2θ</p><p>∂x2</p><p>(x, t) + f(x, t) = J0</p><p>∂ 2θ</p><p>∂t2</p><p>f(x, t) = 0</p><p>( GI</p><p>J0</p><p>) ∂ 2θ</p><p>∂x2</p><p>(x, t) =</p><p>∂ 2θ</p><p>∂t2</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 86/93</p><p>Em balanço (a)</p><p>Extremidades livres (b)</p><p>Bi engastada (c)</p><p>As condições de contorno estão listadas na Tabela 02:</p><p>Situação</p><p>Condições de</p><p>contorno</p><p>Equação</p><p>característica</p><p>Em balanço (a)</p><p>Extremidades livres</p><p>(b)</p><p>θ(0, t) = 0</p><p>∂θ</p><p>∂x</p><p>(L, t) = 0</p><p>cos</p><p>ωL</p><p>c</p><p>= 0</p><p>∂θ</p><p>∂x</p><p>(0, t) = 0</p><p>∂θ</p><p>∂x</p><p>(L, t) = 0</p><p>sen</p><p>ωL</p><p>c</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 87/93</p><p>Situação</p><p>Condições de</p><p>contorno</p><p>Equação</p><p>característica</p><p>Bi engastada (c)</p><p>Tabela 02 – Condições de contorno mais comuns em vibrações torcionais.</p><p>Ricardo Teixeira da Costa Neto.</p><p>A equação que representa as oscilações torcionais de uma viga é:</p><p>Uma aplicação do equacionamento apresentado anteriormente é em</p><p>uma fresadora paralela. O objetivo é determinar as frequências naturais</p><p>da fresa plana mostrada na próxima imagem, quando uma extremidade,</p><p>no caso a haste de comprimento , é fixa. Quanto à haste, o módulo de</p><p>cisalhamento é , o momento polar de inércia da seção transversal é .</p><p>O momento polar de inércia de massa da fresa é .</p><p>Fresadora paralela.</p><p>A condição de contorno em é:</p><p>θ(0, t) = 0</p><p>θ(L, t) = 0</p><p>sen</p><p>ωL</p><p>c</p><p>θ(x, t) = Θ(x)T (t) = (A1 cos</p><p>ωx</p><p>c</p><p>+A2 sen</p><p>ωx</p><p>c</p><p>) (B1 cosωt+B2 senωt)</p><p>L</p><p>G J</p><p>I0</p><p>x = L</p><p>GI</p><p>∂θ</p><p>∂x</p><p>(L, t) = −J0</p><p>∂ 2θ</p><p>∂t2</p><p>(L, t)</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 88/93</p><p>Isto é,</p><p>Manipulando a equação obtém-se:</p><p>Essa é uma equação transcendental, do tipo , e deve ser</p><p>resolvida numericamente. Para cada valor de , encontra-se o valor da</p><p>frequência natural:</p><p>Na prática, a fresa é movida pela extremidade aqui considerada fixa,</p><p>onde lhe é imposto um torque. A extremidade de corte enfrenta a</p><p>resistência do material fresado enquanto gira – quando a aresta de</p><p>corte encosta no material, tem seu movimento momentaneamente</p><p>interrompido, até que consiga vencer a resistência ao corte e voltar a</p><p>girar. Só que a outra extremidade está presa à fresadora, e continua</p><p>girando movida pelo motor da máquina. A ferramenta, então, passa por</p><p>sucessivos e curtos ciclos de torção cada vez que uma das arestas de</p><p>corte encosta no material que está sendo fresado – esse é o seu</p><p>movimento oscilatório.</p><p>Falta pouco para atingir seus objetivos.</p><p>Vamos praticar alguns conceitos?</p><p>Questão 1</p><p>Uma barra tem equação característica e expressão</p><p>de velocidade de propagação de onda . Esse é o caso de</p><p>barra</p><p>A2(GI)</p><p>ω</p><p>c</p><p>cos</p><p>ωL</p><p>c</p><p>= A2J0ω</p><p>2 sen</p><p>ωL</p><p>c</p><p>( ωL</p><p>c</p><p>) tg( ωL</p><p>c</p><p>) =</p><p>IρL</p><p>J0</p><p>ψ tgψ = χ</p><p>ψ</p><p>ω =</p><p>c</p><p>L</p><p>ψ</p><p>cos(ωL/c) = 0</p><p>c = √E/ρ</p><p>A bi engastada e sujeita à torção.</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 89/93</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta.</p><p>Esse é o caso da barra engastada em uma extremidade e livre em</p><p>outra, e sujeita à tração.</p><p>Questão 2</p><p>Calcule a velocidade das ondas torcionais no eixo sólido em que</p><p>, e diâmetro igual a .</p><p>Parabéns! A alternativa A está correta.</p><p>A expressão da velocidade para uma barra submetida à torção é:</p><p>B</p><p>engastada em uma extremidade e livre em outra,</p><p>sujeita à torção.</p><p>C</p><p>engastada em uma extremidade e livre em outra,</p><p>sujeita à tração.</p><p>D bi engastada e sujeita à tração.</p><p>E bi apoiada e sujeita à flexão.</p><p>G = 25, 5GPa ρ = 2.700kg/m3 20mm</p><p>A 3, 01 × 103</p><p>B 5, 21 × 103</p><p>C 6, 47 × 103</p><p>D 7, 25 × 103</p><p>E 8, 47 × 103</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 90/93</p><p>Considerações �nais</p><p>Sistemas com vários graus de liberdade podem ser abordados de três</p><p>maneiras diferentes. A primeira é a que considera sistemas discretos,</p><p>em que há clara definição de cada um de seus elementos – massas,</p><p>molas e amortecedores. Chega-se às equações de movimento por meio</p><p>dos diagramas de corpo livre e das equações constitutivas dos</p><p>elementos elásticos. Esse é o caso dos osciladores harmônicos de três</p><p>graus de liberdade, sejam de translação, sejam de rotação. Daí escreve-</p><p>se o sistema de equações de movimento em forma matricial e os</p><p>valores de suas frequências naturais são calculados a partir dos</p><p>autovalores da matriz dinâmica.</p><p>A outra abordagem é empregada nos sistemas contínuos, como vigas,</p><p>barras e eixos, em que a massa está distribuída em seu volume. Abrem-</p><p>se agora duas vertentes. Uma é a que substitui a viga (ou barra, ou</p><p>haste, ou eixo, ou cabo) por uma mola com rigidez equivalente. Isso</p><p>permite investigar o efeito que suas propriedades produzem em uma</p><p>massa ou em um sistema, mas não se consegue avaliar os modos de</p><p>vibrar do próprio elemento. Já a outra vertente é a que trata o elemento</p><p>como se fosse composto por várias massas interconectadas por</p><p>elementos elásticos, de rigidez e de amortecimento, discretizando o</p><p>sistema em parâmetros concentrados. E aí, reduz-se o esforço</p><p>computacional e consegue-se avaliar os modos de vibrar do elemento</p><p>de uma forma mais aproximada da completa – quanto maior for o</p><p>número de graus de liberdade, mais próximo será o resultado.</p><p>Por fim, vimos a abordagem completa, por meio da equação de onda.</p><p>Nesse caso, consegue-se calcular as várias frequências naturais de um</p><p>elemento contínuo e seus (vários) correspondentes modos de vibrar.</p><p>Essa forma é adotada quando se quer avaliar o comportamento do</p><p>elemento.</p><p>A escolha de cada abordagem deve ser criteriosa e atender aos</p><p>requisitos do projeto.</p><p>c =√ G</p><p>ρ</p><p>=√ 25, 5 × 109</p><p>2.700</p><p>= 3, 01 × 103m/s</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 91/93</p><p>Podcast</p><p>Ouça um resumo dos principais tópicos abordados, como: sistemas</p><p>com mais de dois graus de liberdade; vibrações em vigas e barras</p><p>considerando rigidez equivalente e vibrações em meio contínuo.</p><p></p><p>Explore +</p><p>Saiba mais sobre como a engenharia civil no Japão projeta edifícios</p><p>capazes de resistir a terremotos no site Constru360.</p><p>Referências</p><p>INMAN, D. J. Engineering Vibration. 3. ed. São Paulo: Pearson</p><p>Education, 2007.</p><p>KELLY, S. G. Mechanical Vibrations: Theory and Applications. Boston,</p><p>MA: Cengage Learning, 2012.</p><p>RAO, S. S. Vibrações Mecânicas. 4. ed. São Paulo: São Paulo: Pearson</p><p>Universidades, 2008.</p><p>Material para download</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 92/93</p><p>Clique no botão abaixo para fazer o download do</p><p>conteúdo completo em formato PDF.</p><p>Download material</p><p>O que você achou do conteúdo?</p><p>Relatar problema</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 93/93</p><p>javascript:CriaPDF()</p><p>têm rigidezes</p><p>e , e estão engastados nas extremidades e nos discos.</p><p>Veja!</p><p>Sistema com três graus de liberdade de rotação sem amortecimento.</p><p>As matrizes de inércia, , e de rigidez, , são similares às do caso de</p><p>translação:</p><p>Matriz de inércia,</p><p>Matriz de rigidez,</p><p>A equação característica é a mesma nesse caso, sendo os coeficientes</p><p>calculados em função dos parâmetros e :</p><p>Sendo:</p><p>J1,J2 J3</p><p>kt1, kt2, kt3 kt4</p><p>Ξ K</p><p>Ξ</p><p>Ξ =</p><p>⎡⎢⎣J1 0 0</p><p>0 J2 0</p><p>0 0 J3</p><p>⎤⎥⎦K</p><p>K =</p><p>⎡⎢⎣(kt1 + kt2) −kt2 0</p><p>−kt2 (kt2 + kt3) −kt3</p><p>0 −kt3 (kt3 + kt4)</p><p>⎤⎥⎦J1,J2,J3, kt1, kt2, kt3 kt4</p><p>λ3 + αtλ</p><p>2 + βtλ+ γt = 0</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 9/93</p><p>Esse sistema pode ser usado para avaliar vibrações em sistemas</p><p>torcionais, nos quais há equipamentos vinculados por um único eixo.</p><p>Seja, por exemplo, o gerador elétrico movido por uma turbina a gás. O</p><p>sistema compreende um compressor axial, uma turbina axial e um</p><p>gerador elétrico montados em série. Acompanhe na imagem.</p><p>Gerador movido por uma turbina a gás. Sistema torcional, composto por compressor axial, turbina</p><p>axial e gerador elétrico.</p><p>Entenda o funcionamento:</p><p>αt = − [( kt1 + kt2</p><p>J1</p><p>) + ( kt2 + kt3</p><p>J2</p><p>) + ( kt3 + kt4</p><p>J3</p><p>)]</p><p>γt = − [ kt1kt2kt3 + kt1kt2kt4 + kt1kt3kt4 + kt2kt3kt4</p><p>J1J2J3</p><p>]</p><p>βt = (</p><p>kt1kt2 + kt1kt3 + kt2kt3</p><p>J1J2</p><p>) + (</p><p>kt1kt3 + kt1kt4 + kt2kt3 + kt2kt4</p><p>J1J3</p><p>)</p><p>+( kt2kt3 + kt2kt4 + kt3kt4</p><p>J2J3</p><p>)</p><p>1</p><p>O compressor admite ar,</p><p>aumenta sua pressão e sua</p><p>temperatura.</p><p>2</p><p>O compressor envia o ar para</p><p>uma câmara de combustão (não</p><p>t d ) l</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 10/93</p><p>No modelo matemático, considera-se que:</p><p>Compressor</p><p>Representado pela inércia</p><p>Turbina</p><p>Representada pela inércia</p><p>Gerador</p><p>Representado pela inércia</p><p>E que as rigidezes dos eixos são:</p><p>Rigidez 1</p><p>Representado por</p><p>Rigidez 2</p><p>Representado por</p><p>representada), na qual o</p><p>combustível é queimado.</p><p>3</p><p>Os gases resultantes da queima</p><p>são direcionados para a turbina,</p><p>movendo suas pás e fazendo-a</p><p>girar.</p><p>4</p><p>O eixo de saída da turbina move</p><p>tanto o compressor quanto o</p><p>gerador elétrico, que produz</p><p>energia elétrica.</p><p>J1</p><p>J2</p><p>J3</p><p>kt1</p><p>kt1</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 11/93</p><p>Os graus de liberdade são os deslocamentos angulares:</p><p>Do impulsor do compressor</p><p>Representado por</p><p>Da roda de pás da turbina</p><p>Representado por</p><p>Do rotor do gerador</p><p>Representado por</p><p>As matrizes de inércia, , e de rigidez, , são:</p><p>Matriz de inércia,</p><p>Matriz de rigidez,</p><p>A equação característica é:</p><p>Uma das raízes é nula, mostrando que o sistema apresenta movimento</p><p>de corpo rígido – o impulsor do compressor, a roda das pás da turbina e</p><p>o rotor do gerador oscilam em fase com a mesma amplitude.</p><p>Para exemplificar o caso, considere os seguintes parâmetros:</p><p>θ1</p><p>θ2</p><p>θ3</p><p>Ξ K</p><p>Ξ</p><p>Ξ =</p><p>⎡⎢⎣J1 0 0</p><p>0 J2 0</p><p>0 0 J3</p><p>⎤⎥⎦K</p><p>K =</p><p>⎡⎢⎣ kt1 −kt1 0</p><p>−kt1 (kt1 + kt2) −kt2</p><p>0 −kt2 kt2</p><p>⎤⎥⎦λ{λ2 − [( 1</p><p>J1</p><p>+</p><p>1</p><p>J2</p><p>)kt1 + ( 1</p><p>J2</p><p>+</p><p>1</p><p>J3</p><p>)kt2]λ+ kt1kt2 ( 1</p><p>J1</p><p>+</p><p>1</p><p>J2</p><p>+</p><p>1</p><p>J3</p><p>)} = 0</p><p>J1 = 500kgm2</p><p>J2 = 600kgm2</p><p>J3 = 350kgm2</p><p>kt1 = 5, 89 × 106N/rad</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 12/93</p><p>As frequências naturais desse sistema são:</p><p>A matriz modal é:</p><p>Assim:</p><p>kt2 = 1, 03 × 107N/rad</p><p>ω1 = 0rad/s</p><p>ω2 = 126, 8rad/s</p><p>ω3 = 228, 35rad/s</p><p>U =</p><p>⎡⎢⎣1 1 0, 225</p><p>1 −0, 365 −0, 771</p><p>1 −0, 803 1</p><p>⎤⎥⎦ Na frequência fundamental</p><p>O movimento é de corpo rígido (sistema</p><p>degenerado).</p><p> Na segunda frequência</p><p>O movimento oscilatório preponderante é o do</p><p>impulsor do compressor, enquanto os demais</p><p>oscilam em oposição de fase com ele.</p><p> Na terceira frequência</p><p>É t d d d lib d d</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 13/93</p><p>Então:</p><p>Suponha que o sistema é submetido a uma excitação de base, que por</p><p>hipótese é harmônica, sen , atuando no rotor do gerador.</p><p>Sua causa pode ser, por exemplo, a força contra eletromotriz advinda da</p><p>carga dos equipamentos que precisa suprir.</p><p>Tem-se, então, o comportamento oscilatório dos equipamentos</p><p>representado no diagrama do fator de amplificação, em função da</p><p>frequência de excitação:</p><p>Gráfico: Comportamento oscilatório dos equipamentos em função da frequência de excitação</p><p>harmônica aplicada no eixo do gerador.</p><p>Observe que, nesse caso, há duas frequências de excitação em que a</p><p>oscilação do rotor do gerador é nula, e , e uma em que a</p><p>oscilação da roda das pás da turbina é nula, . Quanto ao compressor,</p><p>É o rotor do gerador o grau de liberdade que</p><p>apresenta oscilações observáveis quando</p><p>comparada com as dos demais, e oscila em</p><p>oposição de fase com a roda das pás da turbina, e</p><p>em fase com o compressor.</p><p>ω2{</p><p>X2</p><p>X1</p><p>= 0, 365</p><p>X3</p><p>X1</p><p>= 0, 803∣ ∣∣ ∣ω3{</p><p>X1</p><p>X3</p><p>= 0, 225</p><p>X2</p><p>X3</p><p>= 0, 771∣ ∣∣ ∣θ0(t) = Θ0 ωt</p><p>ωA ωC</p><p>ωB</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 14/93</p><p>a oscilação do impulsor nunca é nula. Nesse exemplo, é preciso fazer</p><p>com que o sistema passe rapidamente por todas as frequências</p><p>naturais e que a rotação mínima da faixa de rotações de operação do</p><p>equipamento seja mais alta do que a frequência natural , região na</p><p>qual a amplitude de oscilação de cada um dos graus de liberdade é mais</p><p>baixa.</p><p>Vibrações não amortecidas: três</p><p>graus de liberdade ‒ acoplamento</p><p>Neste vídeo, conheça o comportamento de um sistema com três graus</p><p>de liberdade, sendo que dois estão acoplados.</p><p>Um dos casos de sistema com mais de dois graus de liberdade, em que</p><p>há acoplamento entre pelo menos dois deles é o do veículo e seus</p><p>passageiros. Para melhor ilustrar esse caso, observe a imagem a seguir.</p><p>É um trator agrícola e seu operador. Em tratores agrícolas, o assento do</p><p>operador possui um sistema de suspensão, que, em alguns casos,</p><p>dispõe até de ajuste automático.</p><p>Trator agrícola e seu operador, e o sistema equivalente.</p><p>Vamos avaliar as frequências naturais desse sistema. Esse é o caso de</p><p>vibrações livres de um sistema sem amortecimento. É um sistema com</p><p>três graus de liberdade, dois do trator e um do operador.</p><p>1. Do trator: deslocamento vertical .</p><p>ω3</p><p>y1</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 15/93</p><p>2. Do trator: deslocamento angular - pode ser interpretado como</p><p>uma plataforma sobre duas molas.</p><p>3. Do operador: deslocamento vertical .</p><p>Considere que:</p><p>e : representam, cada um, as rigidezes combinadas de dois</p><p>conjuntos suspensões + pneus – são rigidezes equivalentes.</p><p>: é a mola que representa a suspensão do assento do operador.</p><p>Por hipótese, todas essas molas equivalentes são lineares, ou seja,</p><p>as relações constitutivas são .</p><p>: é a massa do trator.</p><p>: é o momento de inércia em torno do eixo transversal que passa</p><p>por seu centro de gravidade .</p><p>: é a massa do operador.</p><p>As equações de movimento na forma matricial são:</p><p>Cada acoplamento entre os graus de liberdade é representado pelos</p><p>elementos fora da diagonal principal da matriz de rigidez. A equação</p><p>característica é:</p><p>E os coeficientes e são:</p><p>A fim de avaliar o comportamento desse sistema, assume-se que:</p><p>θ</p><p>y2</p><p>k1 k2</p><p>k3</p><p>F = kx</p><p>M</p><p>J</p><p>CM</p><p>m</p><p>+ =</p><p>⎡⎢⎣M 0 0</p><p>0 J 0</p><p>0 0 m</p><p>⎤⎥⎦⎡⎢⎣ÿ1θ̈ÿ2⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣ (k1 + k2 + k3) (a1k1 − a2k2 − a3k3) −k3</p><p>(a1k1 − a2k2 − a3k3) (a21k1 + a22k2 + a23k3) −a3k3</p><p>−k3 −a3k3 k3</p><p>⎤⎥⎦⎡⎢⎣y1θy2⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣000⎤⎥⎦λ3 + αλ2 + βλ+ γ = 0</p><p>α,β γ</p><p>α = −[(</p><p>a21k1 + a22k2 + a23k3</p><p>J</p><p>)+ ( k1 + k2 + k3</p><p>M</p><p>) +</p><p>k3</p><p>m</p><p>]</p><p>β = ( k1 + k2</p><p>mM</p><p>) +(</p><p>a21k1 + a22k2</p><p>mJ</p><p>)k3 + [</p><p>k1k2L</p><p>2 + k1k3(a1 + a3)</p><p>2 + k2k3(a2 − a3)</p><p>2</p><p>MJ</p><p>]</p><p>γ = −[</p><p>k1k2k3L</p><p>2 + 4a3k23 (a1k1 + a2k2 − a3k3)</p><p>mMJ</p><p>]</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 16/93</p><p>As frequências naturais do sistema (calculadas numericamente) são:</p><p>As frequências 1,23, 1,47 e 1,59</p><p>Hz, respectivamente, estão muito</p><p>próximas, mostrando que o sistema passa rapidamente pelos três</p><p>modos de operação.</p><p>E a matriz modal é:</p><p>Observe que o terceiro componente de cada autovetor é o de maior valor</p><p>absoluto.</p><p>Nas três frequências naturais, o operador oscila com</p><p>amplitude bem maior do que as amplitudes dos dois</p><p>M = 11.500kg</p><p>J = 30.000kgm2</p><p>m = 78kg</p><p>k1 = 500kN/m</p><p>k2 = 560kN/m</p><p>k3 = 6, 5kN/m</p><p>a1 = 1, 30m</p><p>a2 = 1, 57m</p><p>a3 = 0, 95m</p><p>ω1 = 8, 10rad/s</p><p>ω2 = 9, 21rad/s</p><p>ω3 = 10, 02rad/s</p><p>U =</p><p>⎡⎢⎣0, 11 0, 01 −0, 28</p><p>0, 12 −0, 03 0, 08</p><p>1 1 1</p><p>⎤⎥⎦27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 17/93</p><p>graus de liberdade do trator.</p><p>Isso se deve ao fato de que a rigidez equivalente do assento é muito</p><p>menor do que a de cada rigidez equivalente das suspensões</p><p>.</p><p>Quando uma excitação de base se dá na frequência , os três graus de</p><p>liberdade estão em fase, sendo que as magnitudes de oscilação dos</p><p>graus de liberdade do trator são cerca de um décimo da magnitude de</p><p>oscilação do operador:</p><p>Caso a frequência de excitação de base coincida com a segunda</p><p>frequência natural, os movimentos do trator entram em oposição de</p><p>fase, mas dessa vez é seu movimento vertical que está em fase com o</p><p>do operador. A frequência é aquela na qual há predominância do</p><p>movimento oscilatório do operador, uma vez que as razões entre as</p><p>amplitudes são as menores:</p><p>Se agora a frequência de excitação de base é igual a , a amplitude de</p><p>oscilação do movimento vertical do trator aumenta e se dá em oposição</p><p>de fase ao movimento vertical do operador, enquanto o deslocamento</p><p>angular está em fase.</p><p>(6.500N/m× 500.000, 560.000N/m)</p><p>ω1</p><p>Y1</p><p>Y2</p><p>= 0, 11∣ ∣Θ</p><p>Y2</p><p>= 0, 12∣ ∣ω2</p><p>Y1</p><p>Y2</p><p>= 0, 01∣ ∣O</p><p>Y2</p><p>= 0, 03∣ ∣ ω3</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 18/93</p><p>Em relação aos movimentos dos graus de liberdade do trator, no</p><p>primeiro modo normal as amplitudes de oscilação são bem próximas:</p><p>No segundo modo, novamente, estão em oposição de fase, mas com</p><p>menor razão entre as amplitudes:</p><p>E no terceiro modo, o movimento vertical é o preponderante, e está em</p><p>oposição de fase com o movimento angular:</p><p>Se o trator for analisado separadamente, vê-se que na frequência mais</p><p>alta o movimento oscilatório vertical é o preponderante.</p><p>Vibrações livres não amortecidas:</p><p>quatro graus de liberdade</p><p>Neste vídeo, veja o exemplo de um prédio de quatro pavimentos</p><p>representado por um sistema de quatro graus de liberdade de</p><p>translação.</p><p>Y1</p><p>Y2</p><p>= 0, 28∣ ∣Θ</p><p>Y2</p><p>= 0, 08∣ ∣Y1</p><p>Θ</p><p>=</p><p>0, 11</p><p>0, 12</p><p>= 0, 92∣ ∣ ∣ ∣Y1</p><p>Θ</p><p>= −</p><p>0, 01</p><p>0, 03</p><p>= 0, 33∣ ∣ ∣ ∣Y1</p><p>Θ</p><p>= −</p><p>0, 28</p><p>0, 08</p><p>= 3, 5∣ ∣ ∣ ∣27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 19/93</p><p>Edificações são compostas por pavimentos e colunas de sustentação e</p><p>precisam apresentar certa flexibilidade, uma vez que estão sujeitas a</p><p>excitações de base em suas fundações (abalos sísmicos) ou nos</p><p>andares mais altos (efeito do vento). Uma forma simplificada de</p><p>representar um edifício é por meio de sistemas de massas e molas</p><p>estruturados, conforme apresentado na imagem a seguir, que representa</p><p>uma edificação de quatro pavimentos.</p><p>Edifício com quatro pavimentos. À esquerda, em equilíbrio estático, e à direita, todos os pavimentos</p><p>deslocados.</p><p>São quatro graus de liberdade, um para cada pavimento, que pode se</p><p>deslocar lateralmente, e . Cada coluna de sustentação</p><p>apresenta rigidez igual a . O deslocamento lateral de cada</p><p>pavimento produz efeito sobre os que estão imediatamente acima e</p><p>abaixo, então tem-se que:</p><p>Disso resulta que a força resultante em cada pavimento é:</p><p>x1,x2,x3 x4 j</p><p>kj/2</p><p>δ1 = x1 − x0</p><p>δ2 = x2 − x1</p><p>δ3 = x3 − x2</p><p>δ4 = x4 − x3</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 20/93</p><p>Por meio da 2ª Lei de Newton, tem-se o sistema com quatro equações</p><p>de movimento:</p><p>Arrumadas na forma matricial, e considerando que , todos os</p><p>pavimentos têm massas iguais e que</p><p>todas as rigidezes são iguais ):</p><p>A equação característica desse sistema é:</p><p>Particularmente, uma das raízes dessa equação é .</p><p>∑F1 = k2 (x2 − x1) − k1 (x1 − x0)</p><p>∑F2 = k3 (x3 − x2) − k2 (x2 − x1)</p><p>∑F3 = k4 (x4 − x3) − k3 (x3 − x2)</p><p>∑F4 = −k4 (x4 − x3)</p><p>m1ẍ1 = k2 (x2 − x1) − k1 (x1 − x0)</p><p>m2ẍ2 = k3 (x3 − x2) − k2 (x2 − x1)</p><p>m3ẍ3 = k4 (x4 − x3) − k3 (x3 − x2)</p><p>m4ẍ4 = −k4 (x4 − x3)</p><p>x0 = 0</p><p>(m1 = m2 = m3 = m4 = M)</p><p>(k1 = k2 = k3 = k4 = k</p><p>Ξ = =</p><p>K = =</p><p>+ = 0</p><p>⎡⎢⎣m1 0 0 0</p><p>0 m2 0 0</p><p>0 0 m3 0</p><p>0 0 0 m4</p><p>⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣M 0 0 0</p><p>0 M 0 0</p><p>0 0 M 0</p><p>0 0 0 M</p><p>⎤⎥⎦⎡⎢⎣(k1 + k2) −k2 0 0</p><p>−k2 (k2 + k3) −k3 0</p><p>0 −k3 (k3 + k4) −k4</p><p>0 0 −k4 k4</p><p>⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣ 2k −k 0 0</p><p>−k 2k −k 0</p><p>0 −k 2k −k</p><p>0 0 −k k</p><p>⎤⎥⎦⎡⎢⎣M 0 0 0</p><p>0 M 0 0</p><p>0 0 M 0</p><p>0 0 0 M</p><p>⎤⎥⎦⎡⎢⎣ẍ1</p><p>ẍ2</p><p>ẍ3</p><p>ẍ4</p><p>⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣2k −k 0 0</p><p>−k 2k −k 0</p><p>0 −k 2k −k</p><p>0 0 −k k</p><p>⎤⎥⎦⎡⎢⎣x1</p><p>x2</p><p>x3</p><p>x4</p><p>⎤⎥⎦λ4 − 7( k</p><p>M</p><p>)λ3 + 15( k</p><p>M</p><p>)</p><p>2</p><p>λ2 − 10( k</p><p>M</p><p>)</p><p>3</p><p>λ+ ( k</p><p>M</p><p>)</p><p>4</p><p>= 0</p><p>λ = k/M</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 21/93</p><p>Por hipótese, vamos adotar e . As</p><p>frequências naturais são</p><p>e Tem-se a matriz modal do</p><p>sistema:</p><p>Esses modos de vibração podem ser representados graficamente na</p><p>imagem. Confira!</p><p>Representação gráfica dos quatro modos de vibrar do edifício de quatro pavimentos. Os retângulos</p><p>representam as amplitudes de oscilação.</p><p>E podemos entender que:</p><p>M = 4.000kg k = 5.000N/m</p><p>ω1 = 0, 388rad/s, ω2 = 1, 118rad/s,</p><p>ω3 = 1, 7129rad/s ω4 = 2, 101rad/s.</p><p>U =</p><p>⎡⎢⎣0, 347 1 1 −0, 653</p><p>0, 653 1 −0, 347 1</p><p>0, 879 0 −0, 879 −0, 879</p><p>1 −1 0, 653 0, 347</p><p>⎤⎥⎦ Modo fundamental</p><p>Nesse modo, as amplitudes de oscilação são</p><p>crescentes ), com o 4º</p><p>pavimento oscilando mais, e todos estão em fase.</p><p>(X1 < X2 < X3 <X4</p><p> Segundo modo</p><p>Corresponde à frequência natural</p><p>, e é tal que o terceiro pavimento</p><p>não oscila, enquanto o quarto oscila em oposição</p><p>de fase em relação ao primeiro e ao segundo. Os</p><p>pavimentos 1, 2 e 4 oscilam com a mesma</p><p>amplitude.</p><p>ω2 = 1, 118rad/s</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 22/93</p><p>Quando submetido a uma excitação de base harmônica do tipo</p><p>sen aplicada na base do edifício, a resposta do sistema</p><p>é representada pelo gráfico do fator de amplificação em função</p><p>da frequência de excitação de base . Confira a imagem!</p><p>Gráfico: Fator de amplificação do sistema de quatro graus de liberdade em função da frequência de</p><p>excitação de base.</p><p>Observe que o gráfico do terceiro pavimento não apresenta pico na</p><p>segunda frequência natural, e que há pontos em que os gráficos do 1º e</p><p>do 2º pavimentos tocam a ordenada zero, mostrando que há</p><p>frequências em que não oscilam. Já os pavimentos 3 e 4 sempre</p><p>oscilam.</p><p> Terceiro modo</p><p>É o 1º pavimento que oscila mais que os demais, e</p><p>em fase com somente o 4º andar.</p><p> Quarto modo</p><p>Os pavimentos pares estão em fase, os ímpares em</p><p>fase, mas andares pares e ímpares oscilam em</p><p>oposição de fase.</p><p>x0(t) = X0 ωt</p><p>|X/X0|</p><p>ω</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 23/93</p><p>Esse exemplo simplificado pode ser usado para avaliar o</p><p>comportamento de uma estrutura com pavimentos, para que se tenha</p><p>uma noção do comportamento oscilatório de cada um dos patamares.</p><p>Comentário</p><p>De modo algum, os cálculos apresentados substituem o cálculo</p><p>estrutural realizado pelo departamento de engenharia de uma</p><p>empreiteira, que considera os diversos materiais empregados na</p><p>construção de um edifício. Mas serve para avaliar a influência do peso</p><p>de cada pavimento e da rigidez das paredes que os sustentam nos</p><p>modos de vibrar da estrutura.</p><p>Vibrações: com quatro graus de</p><p>liberdade com acoplamento</p><p>Neste vídeo, acompanhe o caso de um modelo de um automóvel de</p><p>passeio com quatro graus de liberdade.</p><p>Você já viu o caso do automóvel que era considerado um sistema com</p><p>dois graus de liberdade,</p><p>usando o modelo da plataforma sobre molas.</p><p>Nesse caso, cada uma das molas tem rigidez equivalente a uma</p><p>associação de mola e de pneu.</p><p>O modelo da imagem a seguir representa uma boa aproximação de um</p><p>automóvel de passeio, e tem quatro graus de liberdade. A carroceria tem</p><p>os mesmos dois graus de liberdade, o de translação vertical e o de</p><p>rotação, e , e os outros graus de liberdade são os de movimento</p><p>vertical das rodas, e .</p><p>Veículo de passeio e modelo matemático linear equivalente, de quatro graus de liberdade.</p><p>As matrizes de inércia, de amortecimento e de rigidez são:</p><p>zch θ</p><p>z1 z2</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 24/93</p><p>A rigidez representa a associação das molas das suspensões</p><p>dianteiras do lado direito e do lado esquerdo, trabalhando em paralelo.</p><p>Analogamente, representa a associação das molas das suspensões</p><p>traseiras. A rigidez representa a rigidez de dois pneus de mesmo</p><p>eixo. Em automóveis de passeio, considera-se que todos os quatro</p><p>pneus têm a mesma rigidez.</p><p>Esse sistema tem quatro frequências naturais e quatro modos normais</p><p>de vibrar. Adotando:</p><p>Obtém-se as seguintes frequências naturais:</p><p>Ξ =</p><p>B =</p><p>K =</p><p>⎡⎢⎣M 0 0 0</p><p>0 J 0 0</p><p>0 0 m1 0</p><p>0 0 0 m2</p><p>⎤⎥⎦⎡⎢⎣ (b1 + kb2) (a2b2 − a1b1) −b1 −b2</p><p>(a2b2 − a1b1) (a21b1 + a22b2) a1b1 −a2b2</p><p>−k1 a1k1 b1 0</p><p>−k2 −a2k2 0 b2</p><p>⎤⎥⎦⎡⎢⎣ (k1 + k2) (a2k2 − a1k1) −k1 −k2</p><p>(a2k2 − a1k1) (a21k1 + a22k2) a1k1 −a2k2</p><p>−k1 a1k1 (k1 + kp) 0</p><p>−k2 −a2k2 0 (k1 + kp)</p><p>⎤⎥⎦k1</p><p>k2</p><p>kp</p><p>M = 840kg</p><p>J = 1.100kgm2</p><p>m1 = 106kg</p><p>m2 = 152kg</p><p>k1 = 20kN/m</p><p>k2 = 26kN/m</p><p>kp = 400kN/m</p><p>a1 = 1, 40m</p><p>a2 = 1, 47m</p><p>ω1 = 6, 14rad/s(0, 98Hz)</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 25/93</p><p>As frequências e correspondem aos modos em que os</p><p>movimentos dos graus de liberdade da carroceria são preponderantes. A</p><p>justificativa é porque as rigidezes das molas são menores do que as dos</p><p>pneus. As outras duas frequências, mais altas, correspondem aos</p><p>modos em que os movimentos verticais das rodas são preponderantes.</p><p>É preciso recorrer aos autovetores para distinguir qual das frequências</p><p>está associada a cada grau de liberdade. A matriz modal é:</p><p>0 primeiro modo de vibrar corresponde à frequência natural</p><p>, em que o movimento em da carroceria é</p><p>preponderante, e os demais deslocamentos são menores. Somente a</p><p>roda traseira oscila em fase :</p><p>ω2 = 7, 41rad/s(1, 18Hz)</p><p>ω3 = 52, 97rad/s(8, 43Hz)</p><p>ω4 = 62, 96rad/s(10, 02Hz)</p><p>ω1 ω2</p><p>U =</p><p>⎡⎢⎣−0, 78 1 −1, 13 × 10−2 −6, 08 × 10−3</p><p>1 0, 30 −6, 31 × 10−3 3, 24 × 10−3</p><p>−0, 11 0, 03 −3, 98 × 10−4 1</p><p>0, 04 0, 09 1 1, 95 × 10−4</p><p>⎤⎥⎦f1 = 0, 98Hz θ</p><p>com θ</p><p>ZC</p><p>Θ</p><p>= −0, 78</p><p>Z1</p><p>Θ</p><p>= −0, 11</p><p>Z2</p><p>Θ</p><p>= 0, 04</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 26/93</p><p>No segundo modo de vibrar, que corresponde à frequência natural</p><p>movimento vertical da carroceria apresenta oscilações</p><p>preponderantes sobre os demais, e todos oscilam em fase:</p><p>No terceiro modo de vibrar, que corresponde à frequência natural</p><p>, é a roda traseira que apresenta oscilações</p><p>preponderantes. Todos os demais oscilam em oposição de fase, e</p><p>percebe-se que a amplitude é baixa. Isso ocorre porque as suspensões</p><p>"filtram" as frequências mais altas, e assim quase não se consegue</p><p>observar as oscilações da carroceira do veículo.</p><p>Por último, no quarto modo de vibrar, que corresponde à frequência</p><p>natural , é a roda dianteira que apresenta oscilações</p><p>f2 = 1, 18Hz, o</p><p>Θ</p><p>zC</p><p>= 0, 30</p><p>Z1</p><p>ZC</p><p>= 0, 03</p><p>Z2</p><p>ZC</p><p>= 0, 09</p><p>f3 = 8, 43Hz</p><p>ZC</p><p>Z2</p><p>= −1, 13 × 10−2</p><p>Θ</p><p>Z2</p><p>= −6, 31 × 10−3</p><p>Z1</p><p>Z2</p><p>= −3, 98 × 10−4</p><p>f4 = 10, 02Hz</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 27/93</p><p>preponderantes. Somente a oscilação vertical da carroceria está em</p><p>oposição de fase. As amplitudes também são baixas:</p><p>Na prática, se um automóvel se move em uma estrada ondulada, à</p><p>medida que sua velocidade aumenta, ele passará por todos os modos</p><p>normais de vibrar sempre que a frequência de excitação de base</p><p>coincidir com uma das quatro frequências naturais. A primeira</p><p>ressonância ocorrerá quando , e o movimento observável será a</p><p>oscilação da carroceria; em seguida, as oscilações verticais serão as</p><p>mais notáveis, quando .</p><p>A proximidade dos valores se deve ao fato de que o momento de inércia</p><p>da carroceria está relacionado com sua massa por meio do quadrado do</p><p>raio de giração, :</p><p>Em automóveis de passeio, . Esse valor é consequência da</p><p>distribuição de massas ao longo do eixo longitudinal da carroceria -</p><p>massas do motor, da caixa de transmissão, dos elementos internos</p><p>(painel, bancos, acabamentos), do tanque de combustível etc. Neste</p><p>exemplo,</p><p>À medida que o veículo continua acelerando, será a roda traseira a que</p><p>apresentará a maior oscilação quando e, finalmente, a roda</p><p>dianteira será a última a entrar em ressonância, quando . Se a</p><p>frequência de excitação de base difere das frequências naturais, as</p><p>oscilações dos graus de liberdade são combinações dos quatro modos</p><p>normais.</p><p>ZC</p><p>Z1</p><p>= −6, 08 × 10−3</p><p>Θ</p><p>Z1</p><p>= 3, 24 × 10−3</p><p>Z2</p><p>Z1</p><p>= 1, 95 × 10−4</p><p>ω = ω1</p><p>θ</p><p>ω = ω2</p><p>rG</p><p>J = Mr2G</p><p>rG ≈ 1, 2</p><p>rG = √J/M = √1.100/840 = 1, 14.</p><p>ω = ω3</p><p>ω = ω4</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 28/93</p><p>Falta pouco para atingir seus objetivos.</p><p>Vamos praticar alguns conceitos?</p><p>Questão 1</p><p>Uma matriz modal de um sistema harmônico apresenta a seguinte</p><p>configuração ( são constantes):</p><p>A primeira coluna da matriz modal é o autovetor que corresponde à</p><p>frequência natural fundamental. A segunda coluna é o autovetor</p><p>que corresponde à segunda frequência natural do sistema. A</p><p>terceira coluna corresponde à frequência natural mais alta. Sobre os</p><p>modos de vibrar, é correto afirmar que</p><p>Ψij</p><p>U =</p><p>⎡⎢⎣ 1 Ψ12 1</p><p>Ψ21 0 1</p><p>−Ψ31 1 1</p><p>⎤⎥⎦A</p><p>no modo associado à frequência fundamental,</p><p>todos os corpos oscilam em fase.</p><p>B</p><p>no modo associado à frequência fundamental, há</p><p>um nó, indicando que um dos elementos do sistema</p><p>não oscila nessa frequência.</p><p>C</p><p>um dos modos indica que todos os elementos do</p><p>sistema oscilam no modo de corpo rígido.</p><p>D</p><p>no segundo modo de vibrar, um elemento apresenta</p><p>movimento de corpo rígido.</p><p>E</p><p>no segundo modo de vibrar, o primeiro e o último</p><p>elementos estão oscilando em oposição de fase.</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 29/93</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta.</p><p>O terceiro modo de vibrar é o modo de corpo rígido do sistema,</p><p>todos os corpos oscilam em fase com a mesma amplitude. No</p><p>modo correspondente à frequência fundamental, os elementos 1 e</p><p>3 oscilam em oposição de fase e, no segundo modo, ocorre o nó.</p><p>Apenas o terceiro modo apresenta modo de corpo rígido e os</p><p>elementos 1 e 3 estão em fase.</p><p>Questão 2</p><p>Um automóvel é modelado como um sistema de quatro graus de</p><p>liberdade e o sistema é equacionado considerando que tais graus</p><p>estão arrumados na seguinte ordem:</p><p>carro trafega em uma estrada ondulada, de perfil senoidal de</p><p>comprimento de onda constante, e sua velocidade aumenta</p><p>progressivamente à medida que avança. Sua matriz modal é:</p><p>sendo:</p><p>Sobre os modos de vibrar, é correto afirmar que</p><p>Z =</p><p>⎡⎢⎣zchθz1z2 ⎤⎥⎦O</p><p>U =</p><p>⎡⎢⎣−Ψ1,1 1 −Ψ3,1 −Ψ4,1</p><p>1 −Ψ2,2 −Ψ3,2 Ψ4,2</p><p>−Ψ1,3 −Ψ2,3 1 Ψ4,3</p><p>−Ψ1,4 −Ψ2,4 −Ψ3,4 1</p><p>⎤⎥⎦|Ψ1,4| < |Ψ1,3| < |Ψ1,1| < 1</p><p>|Ψ2,3| < |Ψ2,4| < |Ψ2,2| < 1</p><p>|Ψ3,4| < |Ψ3,1| < |Ψ3,2| < 1</p><p>|Ψ4,3| < |Ψ4,2| < |Ψ4,1| < 1</p><p>A</p><p>no terceiro modo, a roda traseira é a que apresenta</p><p>ressonância.</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 30/93</p><p>Parabéns! A alternativa E está correta.</p><p>Observando os modos de vibrar, vê-se que, à medida que a</p><p>velocidade aumenta, a ressonância ocorre primeiro para , depois</p><p>para , seguindo para e por último . Então, à medida que a</p><p>velocidade aumenta,</p><p>a roda dianteira entra em ressonância antes da</p><p>roda traseira.</p><p>2 - Vibrações em vigas e barras considerando rigidez</p><p>equivalente</p><p>Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer o comportamento de elementos</p><p>contínuos quando tratados como elementos elásticos com rigidez equivalente.</p><p>B a ressonância do grau de liberdade ocorre no</p><p>modo fundamental.</p><p>zch</p><p>C</p><p>a ressonância do grau de liberdade ocorre no</p><p>terceiro modo de vibrar.</p><p>θ</p><p>D</p><p>à medida que a velocidade aumenta, a roda traseira</p><p>entra em ressonância antes da roda dianteira.</p><p>E</p><p>à medida que a velocidade aumenta, a roda dianteira</p><p>entra em ressonância antes da roda traseira.</p><p>θ</p><p>zch z1 z2</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 31/93</p><p>Rigidez equivalente de elementos</p><p>contínuos</p><p>Neste vídeo, conheça os conceitos relacionados ao comportamento de</p><p>elementos contínuos quando tratados como elementos elásticos com</p><p>rigidez equivalente.</p><p>A rigidez equivalente nas vibrações</p><p>transversais em vigas</p><p>Neste vídeo, conheça o conceito de rigidez equivalente em vibrações</p><p>transversais.</p><p>Você já deve ter visitado algumas cidades que possuem postes de</p><p>iluminação com alturas consideráveis, e talvez não tenha imaginado a</p><p>importância do efeito de uma ventania em suas estruturas.</p><p>Na cidade do Rio de Janeiro, cada um dos 88 postes localizados no</p><p>Aterro do Flamengo tem 45m de altura. Já o mastro da Praça dos Três</p><p>Poderes, em Brasília, tem 105m de altura, e sustenta uma bandeira do</p><p>Brasil que pesa cerca de 40kgf – se o vento no local atingir 100km/h, a</p><p>bandeira de 286m2 exerce uma força de cerca de 24.000kgf sobre o</p><p>mastro.</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 32/93</p><p>Postes localizados no Aterro do Flamengo, no Rio de Janeiro.</p><p>Mastro da Praça dos Três Poderes, em Brasília.</p><p>A bandeira, assim como os lampadários dos postes, está sujeita à ação</p><p>do vento, que produz um movimento oscilatório no mastro. Vamos</p><p>abordar esse problema – vibração não amortecida em sistema de um</p><p>grau de liberdade sujeito a esforços.</p><p>Como sempre, são adotadas algumas hipóteses simplificadoras:</p><p>O mastro da bandeira é visto como uma coluna em que sua</p><p>extremidade livre é a superior, engastada no piso.</p><p>Vamos concentrar a massa da bandeira em um único ponto, para</p><p>verificar qual seria a deflexão do mastro quando sujeito a ventos</p><p>fortes.</p><p>O efeito do vento é representado por uma força externa, que será</p><p>aplicada na extremidade livre do mastro, por sua vez considerado uma</p><p>viga engastada flexível – mas nem tanto, porque não pode envergar a</p><p>ponto de permanecer empenado!</p><p>Acompanhe a abordagem do problema na imagem a seguir.</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 33/93</p><p>Mastro com bandeira, cuja massa é considerada concentrada no topo, como hipótese</p><p>simplificadora.</p><p>Admite-se, e é uma boa aproximação, que o mastro seja considerado</p><p>uma coluna de seção reta circular engastada no piso e submetida a</p><p>uma força horizontal aplicada em sua extremidade livre. A rigidez</p><p>equivalente da coluna é calculada por meio da expressão:</p><p>Sendo:</p><p>: o módulo de elasticidade (depende do material)</p><p>:o momento de inércia de área do módulo de</p><p>elasticidade</p><p>: o diâmetro da coluna de seção reta circular</p><p>: a altura</p><p>mb</p><p>kM =</p><p>3EI</p><p>H 3</p><p>E</p><p>I = πD4/32</p><p>D</p><p>H</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 34/93</p><p>Agora trataremos da questão que envolve o vento que produz o efeito de</p><p>deflexão do mastro. Essas equações podem mudar de acordo com a</p><p>abordagem adotada, assim, esse caso é adequado para resolver a</p><p>questão apresentada.</p><p>A frequência de excitação produzida pela velocidade do vento é dada</p><p>por:</p><p>Esse é um caso em que a força depende do quadrado da frequência, e é</p><p>calculada pela expressão:</p><p>Sendo que é a densidade do ar atmosférico. O fator de amplificação</p><p>é calculado por:</p><p>Vamos supor que:</p><p>Suponha que a velocidade do vento seja de . A frequência</p><p>natural é:</p><p>A frequência devida à ação da velocidade do vento é dada por:</p><p>ω =</p><p>0, 4π</p><p>D</p><p>v</p><p>F = Φω2 = (0, 317ρArHD3)ω2</p><p>ρAr</p><p>mX</p><p>Φ</p><p>=</p><p>(ω/ωn)</p><p>2</p><p>√[1 − (ω/ωn)</p><p>2]</p><p>2</p><p>+ 4ζ 2(ω/ωn)</p><p>2</p><p>D = 1, 20m</p><p>H = 40m</p><p>E = 80 × 109N/m2</p><p>ρAr = 1, 2kg/m3</p><p>mb = 50kg</p><p>ζ = 0</p><p>25km/h</p><p>ωn =√ kM</p><p>mb</p><p>=√( 3EI</p><p>H 3</p><p>) ( 1</p><p>mb</p><p>) = [</p><p>3 (80 × 109)(π/32) (1, 204)</p><p>403</p><p>]( 1</p><p>50</p><p>) ≅124rad/s</p><p>⎷27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 35/93</p><p>A constante é igual a:</p><p>Substituindo na expressão do fator de amplificação, e lembrando que</p><p>, tem-se:</p><p>Isso significa que a amplitude de oscilação do mastro é de cerca de</p><p>devido ao efeito do vento sobre a bandeira nele desfraldada.</p><p>Lembre-se de que esse estudo de caso é uma aproximação, e projetos</p><p>de mastros para bandeiras, para velas de navios, para sustentar</p><p>equipamentos, como antenas de transmissão de sinais de telefonia</p><p>móvel, consideram outras hipóteses. Por exemplo, os postes citados</p><p>anteriormente apresentam seção reta circular, mas também conicidade</p><p>– o diâmetro diminui com a altura – e são estruturados em concreto</p><p>armado.</p><p>A seção reta adotada também influencia o cálculo. Geralmente, mastros</p><p>para bandeiras têm seção reta circular, mas se houver um caso de uma</p><p>seção reta retangular medindo , por exemplo, a expressão do</p><p>cálculo do momento de inércia de área muda: .</p><p>Comentário</p><p>O que é importante ressaltar com esse estudo de caso é que estruturas</p><p>altas estão sujeitas aos efeitos do vento, e que por isso podem</p><p>apresentar oscilações de amplitude exagerada se tal efeito não for</p><p>considerado nos cálculos. A deflexão pode ser grande o bastante para</p><p>comprometer a estrutura e resultar em danos permanentes – e talvez</p><p>com vítimas.</p><p>Rigidez equivalente de vigas sujeitas</p><p>à excitação de base</p><p>ω =</p><p>0, 4π</p><p>D</p><p>v =</p><p>0, 4π</p><p>1, 20</p><p>( 25</p><p>3, 6</p><p>) = 7, 27rad/s</p><p>Φ</p><p>Φ = 0, 317ρArHD3 = 0, 317(1, 2)(40) (1, 203) = 26, 3kgm</p><p>ζ = 0</p><p>X = ( Φ</p><p>mb</p><p>)[</p><p>(ω/ωn)</p><p>2</p><p>1 − (ω/ωn)</p><p>2</p><p>] = ( 26, 3</p><p>50</p><p>) [</p><p>(7, 27/124)2</p><p>1 − (7, 27/124)2</p><p>] = 1, 81 × 10−3m</p><p>2mm</p><p>a× b</p><p>I = ab3/12</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 36/93</p><p>Neste vídeo, conheça os modos de oscilar de uma viga sujeita à</p><p>excitação de base transversal usando o conceito de rigidez equivalente.</p><p>Outro tipo de vibração é a do motor desbalanceado montado sobre uma</p><p>viga bi engastada. Esse arranjo é comum em instalações nas quais</p><p>motores são usados para içar cargas.</p><p>Veremos o caso de um motor elétrico desbalanceado montado sobre</p><p>uma viga bi engastada, de comprimento , altura , de seção reta</p><p>retangular medindo , representado na imagem a seguir. Essa viga</p><p>trabalha no regime elástico, ou seja, sem apresentar deformações</p><p>permanentes. A preocupação aqui é com sua oscilação, que pode</p><p>produzir vibrações indesejadas, que venham a fragilizar seus pontos de</p><p>fixação nas paredes.</p><p>Motor elétrico montado sobre uma viga flexível de comprimento e de seção reta retangular .</p><p>Considere que a massa da viga foi incorporada à do motor elétrico,</p><p>assim:</p><p>Portanto, a viga pode ser aproximada por uma mola linear de rigidez</p><p>igual a:</p><p>O módulo de elasticidade depende do material, e o momento de</p><p>inércia de área de uma seção reta retangular é dado por .</p><p>L h</p><p>b× h</p><p>L b× h</p><p>M = mviga  +mmotor</p><p>kV</p><p>kV =</p><p>3EIL3</p><p>L3</p><p>1L</p><p>3</p><p>2</p><p>E</p><p>I = (bh3)/12</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 37/93</p><p>Esse caso é similar ao do motor montado sobre uma base com molas</p><p>na imagem a seguir:</p><p>Equivalência entre as soluções.</p><p>Admita que o motor elétrico esteja localizado em seu centro; assim,</p><p>. Disso tem-se que:</p><p>A frequência natural é então calculada por:</p><p>A força desbalanceadora é dada pela expressão ,</p><p>sendo que .</p><p>O fator de amplificação é:</p><p>Agora vamos assumir uma visão mais prática do problema. Para isso,</p><p>é</p><p>preciso estabelecer algumas hipóteses:</p><p>Como a preocupação é com a oscilação da viga, o valor de é um</p><p>dado de projeto, o que nos leva a calcular a rigidez da viga.</p><p>De sua expressão, pode-se escolher como parâmetro a ser</p><p>calculado seu módulo de elasticidade, , ou seu momento de</p><p>inércia de área, .</p><p>O comprimento possivelmente não poderá ser alterado, porque é</p><p>bem provável que a distância entre as paredes já esteja definida,</p><p>sendo um dado para a solução do problema.</p><p>L1 = L2 = L/2</p><p>kV =</p><p>3EIL3</p><p>( L</p><p>2 )</p><p>3</p><p>( L</p><p>2 )</p><p>3 =</p><p>3EIL3</p><p>L6</p><p>64</p><p>=</p><p>192EI</p><p>L3</p><p>ωn = √ kv</p><p>M</p><p>F(t) = F0 senωt</p><p>F0 = mrω2</p><p>M</p><p>m</p><p>X</p><p>r</p><p>=</p><p>(ω/ωn)</p><p>2</p><p>1 − (ω/ωn)</p><p>2</p><p>X</p><p>E</p><p>I</p><p>L</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 38/93</p><p>O motor já está definido, então, tanto quanto já são</p><p>conhecidos. Falta avaliar a frequência de excitação, . Esta pode</p><p>variar, dependendo da operação do motor.</p><p>Vamos deixar como incógnita a variável da viga, porque a outra</p><p>dimensão, , deverá ser larga o bastante para acomodar a base do</p><p>motor.</p><p>Assim, vamos construir um enunciado para esse problema:</p><p>Determinar a altura da seção reta retangular de</p><p>uma viga cujo módulo de elasticidade é igual a , que</p><p>terá que suportar um motor elétrico de peso , que</p><p>por sua vez trabalha desbalanceado por uma pequena</p><p>massa localizada a uma distância do centro de</p><p>seu eixo de rotação. A viga deve estar posicionada</p><p>horizontalmente entre duas paredes distando uma</p><p>da outra. O motor gira a uma velocidade angular</p><p>rotações por minuto, e a amplitude de oscilação da</p><p>viga não deve ultrapassar .</p><p>Os parâmetros são:</p><p>A condição que deve ser obedecida é .</p><p>Em primeiro lugar, calcula-se o valor da velocidade angular do motor em</p><p>radianos por segundo:</p><p>Calcula-se agora a frequência natural:</p><p>m r</p><p>ω</p><p>h</p><p>b</p><p>h b× h</p><p>E</p><p>M</p><p>m r</p><p>L</p><p>N</p><p>X</p><p>E = 200GPa</p><p>b = 0, 60m</p><p>M = 8, 1kg</p><p>m = 27 × 10−3kg</p><p>r = 5, 0 × 10−2m</p><p>L = 4, 8m</p><p>N = 3.600rpm</p><p>X < 4, 0mm</p><p>fm =</p><p>N</p><p>60</p><p>Hz =</p><p>ω</p><p>2π</p><p>⇒ ω = 2π</p><p>N</p><p>60</p><p>= 120πrad/s</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 39/93</p><p>Substituindo os valores, tem-se:</p><p>Com a frequência natural, calcula-se a rigidez da viga:</p><p>Desse valor extrai-se o momento de inércia de área:</p><p>Por fim, consegue-se extrair o valor de :</p><p>Ou seja, a altura da viga deve ser de no mínimo . Entretanto,</p><p>alguns elementos em engenharia são padronizados, geralmente em</p><p>múltiplos da polegada ou mesmo em milímetros. Assim, é preciso</p><p>buscar uma peça com medidas comerciais - ou aproxima-se o valor de</p><p>para , ou para polegadas ; em seguida,</p><p>refazem-se os cálculos.</p><p>Supondo :</p><p>M</p><p>m</p><p>X</p><p>r</p><p>=</p><p>(ω/ωn)</p><p>2</p><p>1 − (ω/ωn)</p><p>2</p><p>⇒ ωn = ω</p><p>1 + ( M</p><p>m</p><p>X</p><p>r</p><p>)</p><p>( M</p><p>m</p><p>X</p><p>r</p><p>)</p><p>⎷ωn = (120π)</p><p>1 + ( 8,1</p><p>27×10−3 ) ( 4×10−3</p><p>5×10−2 )</p><p>( 8,1</p><p>27×10−3 ) ( 4×10−3</p><p>5×10−2 )</p><p>= 50π√6rad/s</p><p>⎷ωn = √ kv</p><p>M</p><p>⇒ kv = Mω2</p><p>n = (8, 1)(50π√6)2 = 121.500π2N/m</p><p>kV =</p><p>192EI</p><p>L3</p><p>⇒ I =</p><p>L3</p><p>192E</p><p>kV =</p><p>(4, 8)3</p><p>192 (200 × 109)</p><p>(121.500π2) ≅350π2 × 10−9m4</p><p>h</p><p>I = (bh3)/12 ⇒ h = 3√ 12I</p><p>b</p><p>=</p><p>3√ 12 (350π2 × 10−9)</p><p>0, 60</p><p>= 3√7, 0π2 × 10−6 = 0, 041m</p><p>41mm</p><p>h</p><p>45mm 13/4 (44, 45mm)</p><p>h = 44, 45mm</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 40/93</p><p>Ou seja, uma amplitude de oscilação menor do que .</p><p>Rigidez e amortecimento</p><p>equivalentes: vigas - excitação de</p><p>base</p><p>Neste vídeo, conheça o conceito de equivalência de rigidez e</p><p>amortecimento em exemplos de vigas sujeitas à excitação de base.</p><p>Estudo de caso 1</p><p>Vamos ver o caso de um rotor de cauda de um helicóptero. Sua função é</p><p>impedir que a fuselagem do helicóptero gire sobre o eixo do rotor</p><p>principal enquanto ele gira.</p><p>I = (bh3)/12 =</p><p>(0, 60) (0, 044453)</p><p>12</p><p>= 4, 40 × 10−6m4</p><p>kV =</p><p>192EI</p><p>L3</p><p>=</p><p>192 (200 × 109) (4, 40 × 10−6)</p><p>4, 83</p><p>= 1, 53 × 106N/m</p><p>ωn = √ kv</p><p>M</p><p>=√ 1, 53 × 106</p><p>8, 1</p><p>≅434rad/s</p><p>M</p><p>m</p><p>X</p><p>r</p><p>=</p><p>(ω/ωn)</p><p>2</p><p>1 − (ω/ωn)</p><p>2</p><p>=</p><p>(120π/434)2</p><p>1 − (120π/434)2</p><p>= 3, 10</p><p>M</p><p>m</p><p>X</p><p>r</p><p>= 3, 10 ⇒ X = 3, 10</p><p>mr</p><p>M</p><p>= 3, 10</p><p>(27 × 10−3) (5, 0 × 10−2)</p><p>8, 1</p><p>= 5, 14 × 10−4m</p><p>1mm</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 41/93</p><p>Além dos efeitos produzidos pelo fluxo de ar que desloca, existem os</p><p>que são causados por vibrações dos conjuntos mecânicos que o</p><p>acionam. Além disso, todo o conjunto tem que estar muito bem</p><p>balanceado para não resultar em perda de controle dessa complexa e</p><p>versátil aeronave.</p><p>Observe a imagem, na qual é representada parte da cauda de um</p><p>helicóptero com seu rotor de quatro pás iguais e de mesmo peso, em</p><p>forma de cruz – defasagem angular de 90° entre elas.</p><p>Parte da cauda de um helicóptero e conjunto de redutor e rotor de cauda.</p><p>Nesse estudo de caso, considere que:</p><p>A massa de cada pá é igual a .</p><p>O centro de massa de cada uma dista do eixo de giro do</p><p>rotor.</p><p>O conjunto redutor tem massa igual a .</p><p>A cauda apresenta propriedades de elasticidade e um pequeno</p><p>amortecimento tal que .</p><p>A frequência natural do conjunto é igual a .</p><p>Durante a fase de preparação da decolagem, quando o rotor de cauda</p><p>girava a , uma das pás se soltou, e imediatamente o sistema</p><p>2, 3kg</p><p>170mm</p><p>28, 5kg</p><p>ζ = 0, 05</p><p>135rad/s</p><p>900rpm</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 42/93</p><p>passou a vibrar mais, por causa do súbito desbalanceamento. O</p><p>problema aqui é calcular a amplitude de oscilação da cauda do</p><p>helicóptero nessas condições.</p><p>Em primeiro lugar, é preciso calcular a rigidez equivalente da seção da</p><p>cauda:</p><p>Quando uma das pás se desprende, o rotor fica desbalanceado, e disso</p><p>resulta em excitação harmônica. A magnitude do desbalanceamento é:</p><p>A frequência natural sem a pá é igual a:</p><p>Nessas condições, a razão entre a frequência de operação e a natural é:</p><p>Substituindo na expressão do fator de amplificação:</p><p>Tem-se:</p><p>Isso significa que a seção da cauda onde está o rotor oscila</p><p>para cima e para baixo 15 vezes por segundo.</p><p>Estudo de caso 2</p><p>keq = mCJω</p><p>2</p><p>n = (mcj−red + 4 ×mpaj)ω2</p><p>n = (28, 5 + 4 × 2, 3) (1352) = 6, 87 × 105N/m</p><p>mparCM = (2, 3)(0, 170) = 3, 91kgm</p><p>ωn =√</p><p>keq</p><p>mCJ −mpa</p><p>=√ 6, 87 × 105</p><p>37, 7 − 2, 3</p><p>= 139, 3rad/s</p><p>ω</p><p>ωn</p><p>=</p><p>(900)(2π)/60</p><p>139, 3</p><p>= 0, 677</p><p>X = [</p><p>mpȧrCM</p><p>(mCJ −mpa)</p><p>]</p><p>(ω/ωn)</p><p>2</p><p>√[1 − (ω/ωn)</p><p>2]</p><p>2</p><p>+ [2ζ (ω/ωn)]</p><p>2</p><p>X = [</p><p>(2, 3)(0, 170)</p><p>(37, 7 − 2, 3)</p><p>]</p><p>(0, 677)2</p><p>√[1 − (0, 677)2]2 + [2(0, 05)(0, 677)]2</p><p>= 9, 27mm</p><p>9, 27mm</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 43/93</p><p>Vamos entender o caso do ventilador preso à extremidade livre de uma</p><p>haste cujo suporte é aparafusado em uma parede e que pode ser</p><p>abordado da mesma maneira.</p><p>Esses ventiladores são muito comuns em lugares públicos, como</p><p>estações de trem. É um equipamento barulhento por natureza, porque o</p><p>ruído que produz quando desloca o ar é alto. Se ainda o equipamento</p><p>vibra, por algum desbalanceamento, o ruído causado pela trepidação se</p><p>junta ao som produzido (e inevitável) pela passagem do ar por suas pás.</p><p>Observe a imagem:</p><p>Ventilador montado em haste.</p><p>Nesse estudo de caso, considere que:</p><p>A massa do ventilador é igual a e há um desbalanceamento</p><p>rotativo de .</p><p>A haste, cujo comprimento mede , apresenta amortecimento</p><p>que se aproxima do comportamento viscoso.</p><p>À medida que a rotação do ventilador varia, percebeu-se que a</p><p>amplitude máxima atingida foi de , e quer-se calcular a</p><p>amplitude que apresentará quando a rotação for igual a .</p><p>40kg</p><p>0, 1kgm</p><p>1, 20m</p><p>20, 3mm</p><p>1.000rpm</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 44/93</p><p>A haste tem módulo de elasticidade .</p><p>O momento de inércia de área da haste é .</p><p>Começamos calculando o fator de amplificação:</p><p>Em seguida, o fator de amortecimento:</p><p>A rigidez da haste é igual a:</p><p>Agora consegue-se calcular sua frequência natural:</p><p>Para calcular a amplitude de oscilação a , é preciso</p><p>obter a razão entre as frequências de operação e natural:</p><p>Observe que está</p><p>bem próxima da frequência natural. A amplitude em</p><p>regime permanente será de:</p><p>E = 200GPa</p><p>I = 1, 4 × 10−6m4</p><p>H =</p><p>mX</p><p>m0e</p><p>=</p><p>(40)(0, 0203)</p><p>0, 1</p><p>= 8, 12</p><p>H =</p><p>1</p><p>2ζ√1 − ζ 2</p><p>⇒ 8, 12 =</p><p>1</p><p>2ζ√1 − ζ 2</p><p>⇒ ζ = 0, 0617</p><p>k =</p><p>3EI</p><p>L3</p><p>=</p><p>3 (200 × 109) (1, 4 × 10−6)</p><p>1, 23</p><p>= 4, 86 × 105N/m</p><p>ωn = √ k</p><p>m</p><p>=√ 4, 86 × 105</p><p>40</p><p>= 110, 2rad/s</p><p>N = 1.000rpm</p><p>ϕ =</p><p>ω</p><p>ωn</p><p>=</p><p>(1.000)(2π)/60</p><p>110, 2</p><p>= 0, 95</p><p>X = ( m0e</p><p>m</p><p>)</p><p>(ω/ωn)</p><p>2</p><p>√[1 − (ω/ωn)</p><p>2]</p><p>2</p><p>+ [2ζ (ω/ωn)]</p><p>2</p><p>X = (</p><p>0, 10</p><p>40</p><p>)</p><p>(0, 95)2</p><p>√[1 − (0, 95)2]2 + [2(0, 0617)(0, 95)]2</p><p>= 14, 8mm</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 45/93</p><p>Ou seja, a cada segundo o ventilador oscila aproximadamente</p><p>para cima e para baixo cerca de 17 vezes. Isso é percebido como uma</p><p>trepidação.</p><p>Rigidez torcional equivalente de vigas</p><p>Neste vídeo, acompanhe o caso de uma viga sujeita à torção</p><p>considerando a rigidez torcional equivalente.</p><p>Quando a peça tem um desenho simples, pode-se calcular</p><p>analiticamente seu momento de inércia, mas quando o desenho é</p><p>complexo, e não se conhece esse parâmetro, é preciso medi-lo.</p><p>E mais: se a peça que não se conhece o momento de</p><p>inércia for montada em um eixo, como devemos proceder?</p><p>Suponha o arranjo da imagem a seguir. Uma roda com diversas pás está</p><p>rigidamente montada em um eixo de seção reta circular, e não se</p><p>consegue calcular analiticamente seu momento de inércia porque o</p><p>desenho de cada pá é complexo.</p><p>15mm</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 46/93</p><p>Roda montada rigidamente em um eixo de seção reta circular.</p><p>Nesse caso, o sistema pode ser interpretado como um pêndulo de</p><p>torção. Vamos supor que os valores dos parâmetros do eixo são</p><p>conhecidos: .</p><p>A equação diferencial que representa o movimento oscilatório da roda</p><p>em torno de sua posição de equilíbrio, quando não há forçamento</p><p>(vibração livre não amortecida) é:</p><p>Desta, obtém-se a expressão da frequência natural:</p><p>A frequência natural é também associada ao período de oscilação, que é</p><p>cronometrado com instrumento de precisão adequada:</p><p>Então, das duas expressões:</p><p>Manipulando a equação, calcula-se o momento de inércia em função</p><p>dos parâmetros conhecidos e do período de oscilação:</p><p>Tem-se que:</p><p>Se a roda é deslocada de um ângulo e deixada livre para oscilar,</p><p>e o período medido é de \(2,3 s, tem-se:</p><p>G = 83GPa, d = 16mm,L = 1, 5m</p><p>Jθ̈+</p><p>IG</p><p>L</p><p>θ = 0</p><p>ωn = √ IG</p><p>JL</p><p>ωn =</p><p>2π</p><p>τ</p><p>τ = 2π√ JL</p><p>GI</p><p>J =</p><p>GI</p><p>L</p><p>( τ</p><p>2π</p><p>)</p><p>2</p><p>I =</p><p>π</p><p>2</p><p>r4 =</p><p>π</p><p>2</p><p>( 16 × 10−3</p><p>2</p><p>)</p><p>4</p><p>= 2.048π× 10−12m4</p><p>θ = 5∘</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 47/93</p><p>Tem-se, assim, um valor aproximado do momento de inércia da roda</p><p>com pás.</p><p>Esses exemplos mostram sistemas em que há massas vinculadas a</p><p>vigas, barras ou eixos, que podem apresentar ou não amortecimento. As</p><p>propriedades desses corpos são usadas para determinar suas rigidezes</p><p>equivalentes, ou seja, é como se cada um deles fosse substituído por</p><p>uma mola, ou linear, no caso das vigas e hastes em balanço, ou de</p><p>torção, como no último exemplo.</p><p>Entretanto, esses elementos também apresentam frequências naturais</p><p>e consequentemente modos de vibrar. E como são elementos</p><p>contínuos, há infinitas frequências naturais e infinitos modos de vibrar.</p><p>Comentário</p><p>Na prática, devemos nos concentrar nas frequências naturais e nos</p><p>modos de vibrar que são mais relevantes para o sistema analisado, pois</p><p>pode ser que muitos desses modos não sejam alcançados no regime de</p><p>trabalho, porque estão associados a frequências naturais muito altas.</p><p>Digamos que, das infinitas frequências naturais de um sistema, somente</p><p>as dez primeiras sejam relevantes, porque pertencem ao intervalo de</p><p>funcionamento. Assim, a análise ficará restrita a esses dez modos de</p><p>vibrar que são associados a essas dez primeiras frequências naturais.</p><p>Vejamos o caso do piso de um galpão de uma estamparia, que usa</p><p>prensas para conformar chapas de aço:</p><p>Piso não afetado</p><p>A cada golpe de uma</p><p>prensa na chapa, a</p><p>vibração é transmitida</p><p>ao piso – problema de</p><p>excitação de base</p><p>oriunda da prensa.</p><p>Considerando o piso um</p><p>sólido contínuo e</p><p>homogêneo, se a maior</p><p>frequência de excitação</p><p>Piso em oscilacão</p><p>Mas várias prensas</p><p>trabalhando juntas</p><p>podem criar uma onda</p><p>de pressão conjunta</p><p>sobre o piso, que pode</p><p>resultar em uma</p><p>frequência de excitação</p><p>próxima à fundamental,</p><p>e o piso oscilará em</p><p>amplitude indesejada.</p><p>J =</p><p>(83 × 109) (2.048π× 10−12)</p><p>1, 5</p><p>( 2, 3</p><p>2π</p><p>)</p><p>2</p><p>= 47, 7kgm2</p><p></p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 48/93</p><p>produzida pelo golpe da</p><p>prensa na chapa for</p><p>menor do que a</p><p>frequência fundamental</p><p>do piso, ele não será</p><p>afetado.</p><p>É preciso ressaltar que todos os objetos sólidos são feitos de materiais</p><p>deformáveis, e que dependendo da frequência de excitação de base</p><p>poderá ser considerado um corpo rígido. Assim, devemos considerar as</p><p>abordagens:</p><p>Sistema discreto</p><p>Se um sistema é</p><p>interpretado como um</p><p>sistema discreto –</p><p>massa, mola e</p><p>amortecedor bem</p><p>definidos – as</p><p>equações usadas para</p><p>representar seu</p><p>comportamento são</p><p>Equações Diferenciais</p><p>Ordinárias (EDO).</p><p>Sistema contínuo</p><p>Se a abordagem exige</p><p>que o sistema seja</p><p>modelado</p><p>matematicamente</p><p>como um sistema</p><p>contínuo, as equações</p><p>que o representam são</p><p>Equações Diferenciais</p><p>Parciais.</p><p>A escolha entre as duas abordagens tem que ser criteriosa, porque</p><p>depende do que se quer investigar, e também dos meios disponíveis</p><p>para os cálculos necessários – há casos em que a solução deve ser</p><p>obtida numericamente, por meio de algoritmos de integração de</p><p>sistemas de equações.</p><p>Mas há ainda outra forma de tratar vigas, cabos e barras, que é</p><p>considerá-los como uma associação de massas, molas e</p><p>amortecedores vinculados em série. Essa terceira abordagem é</p><p>conhecida como parâmetros concentrados.</p><p>Sistemas de parâmetros</p><p>concentrados sem amortecimento</p><p></p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 49/93</p><p>Neste vídeo, conheça o conceito de parâmetros concentrados em</p><p>sistemas contínuos.</p><p>Quando um problema de vibrações envolve vigas, colunas, barras ou</p><p>hastes, submetidas à ciclos de tração/compressão, flexão ou torção, há</p><p>uma terceira abordagem, o método dos parâmetros concentrados.</p><p>Observe a viga engastada em uma extremidade e livre em outra, na</p><p>ilustração à esquerda na imagem a seguir. Pode-se interpretá-la como</p><p>se fosse composta por várias massas pontuais, vinculadas umas às</p><p>outras por meio de molas, como mostrado na ilustração à direita.</p><p>Massa da viga distribuída por sete massas individuais conectadas por molas.</p><p>A viga passa a ser interpretada por um sistema de massas e molas</p><p>interconectadas, como se fosse o sistema mostrado na imagem a</p><p>seguir:</p><p>Modelo de 7 GDL equivalente à viga engastada em uma extremidade.</p><p>Aqui escolheu-se arbitrariamente sete massas. Se esse problema é</p><p>equacionado, poderíamos calcular as sete primeiras frequências</p><p>naturais da viga e seus sete primeiros modos de vibrar. Dependendo do</p><p>problema, poderiam ser 3, 4, 12, 20 massas interconectadas. Essa</p><p>escolha depende das hipóteses adotadas na formulação.</p><p>Cada uma das molas tem uma rigidez equivalente ao</p><p>trecho correspondente da viga entre duas massas, e é</p><p>calculada em função do módulo de elasticidade, do</p><p>comprimento do trecho, e da área da seção transversal</p><p>da viga.</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 50/93</p><p>Mas por enquanto, ficaremos com três graus de liberdade. E para ilustrar</p><p>o que significa essa equivalência, veja a aeronave bimotor:</p><p>Modelo oscilatório simplificado de vibrações das asas de uma aeronave bimotor; na ilustração</p><p>inferior, abordagem por parâmetros concentrados, e na ilustração superior à direita, modelo com três</p><p>massas e duas molas.</p><p>Nessa abordagem, as massas representam</p><p>asas e motores, a massa</p><p>representa a fuselagem, e as molas representam a rigidez de cada</p><p>asa. Tal rigidez depende do módulo da asa. A equação de movimento</p><p>é:</p><p>Chega-se à equação característica a partir do determinante da matriz</p><p>:</p><p>São três raízes, sendo que uma delas é nula, o que caracteriza o</p><p>movimento de corpo rígido, quando o avião se desloca para cima e para</p><p>baixo como um todo, resultando em . As outras duas frequências</p><p>naturais são:</p><p>m</p><p>M</p><p>E</p><p>+ =</p><p>⎡⎢⎣m 0 0</p><p>0 M 0</p><p>0 0 m</p><p>⎤⎥⎦⎡⎢⎣ẍ1</p><p>ẍ2</p><p>ẍ3</p><p>⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣ keq −keq 0</p><p>−keq (keq + keq) −keq</p><p>0 −keq keq</p><p>⎤⎥⎦⎡⎢⎣x1</p><p>x2</p><p>x3</p><p>⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣000⎤⎥⎦Ξ−1K − λI</p><p>= 0</p><p>−λ (keq −mλ) [(M + 2m)keq −Mmλ] = 0∣ keq</p><p>m</p><p>− λ − keq</p><p>m</p><p>0</p><p>− keq</p><p>M</p><p>2keq</p><p>M</p><p>− λ − keq</p><p>M</p><p>0 − keq</p><p>m</p><p>keq</p><p>m</p><p>− λ∣ω1 = 0</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 51/93</p><p>Sendo , e considerando</p><p>e</p><p>, tem-se que:</p><p>Consequentemente, as frequências naturais não nulas são:</p><p>Tem-se a matriz modal:</p><p>A interpretação física dos modos que não são de corpo rígido é a</p><p>seguinte:</p><p>No segundo modo,</p><p>As asas oscilam em oposição de fase (sentidos opostos) com a mesma</p><p>amplitude, enquanto a fuselagem se mantém imóvel (nó).</p><p>No terceiro modo,</p><p>Enquanto as asas oscilam em fase (no mesmo sentido), a fuselagem</p><p>oscila em oposição de fase (oscilações em sentido oposto ao das</p><p>asas), com amplitude igual a 48% da magnitude.</p><p>Em outro caso, suponha que se queira avaliar a vibração do pavimento</p><p>onde há três motores elétricos instalados, por meio da frequência</p><p>ω2 = √ keq</p><p>m</p><p>ω3 =√keq (</p><p>M + 2m</p><p>mM</p><p>)</p><p>keq = 3EI/L3</p><p>m = 3.000kg,M = 12.500kg,L = 2, 0m,E = 6, 9GPa</p><p>I = 5, 2 × 10−6</p><p>keq =</p><p>3 (6, 9 × 109) (5, 2 × 10−6)</p><p>2, 03</p><p>= 13.455N/m</p><p>ω2 = √ keq</p><p>m</p><p>= √ 13.455</p><p>3.000</p><p>= 2, 12rad/s</p><p>ω3 =√keq ( M + 2m</p><p>mM</p><p>) =√(13.455) [</p><p>12.500 + 2(3.000)</p><p>(3.000)(12.500)</p><p>] = 2, 58rad/s</p><p>U =</p><p>⎡⎢⎣1 −1 1</p><p>1 0 −0, 48</p><p>1 1 1</p><p>⎤⎥⎦u2</p><p>u3</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 52/93</p><p>natural do sistema motores + piso; assim, quando começarem a operar,</p><p>sabe-se de antemão qual a frequência natural de tal sistema, para evitar</p><p>que os esforços produzidos por eles resultem em ressonância. Os</p><p>motores elétricos têm a mesma massa e estão igualmente espaçados.</p><p>O sistema de equações de movimento em forma matricial é:</p><p>Acompanhe na imagem a seguir:</p><p>Três motores elétricos montados em um pavimento.</p><p>Fazendo , as frequências naturais são a raiz quadrada</p><p>dos autovalores, , da matriz:</p><p>Assumindo que:</p><p>As frequências naturais são:</p><p>+</p><p>EI</p><p>mL3 =</p><p>⎡⎢⎣ẍ1</p><p>ẍ2</p><p>ẍ3</p><p>⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣ 9</p><p>64</p><p>1</p><p>6</p><p>13</p><p>192</p><p>1</p><p>6</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>6</p><p>13</p><p>192</p><p>1</p><p>6</p><p>9</p><p>64</p><p>⎤⎥⎦⎡⎢⎣x1</p><p>x2</p><p>x3</p><p>⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣000⎤⎥⎦Υ = EI/ (mL3)</p><p>ωi =√λi</p><p>⎡⎢⎣( 9</p><p>64 Υ− λ) 1</p><p>6 Υ</p><p>13</p><p>192 Υ</p><p>1</p><p>6 Υ ( 1</p><p>3 Υ− λ) 1</p><p>6 Υ</p><p>13</p><p>192 Υ</p><p>1</p><p>6 Υ ( 9</p><p>64 Υ− λ)</p><p>⎤⎥⎦E = 0, 6GPa</p><p>I = 4, 17 × 10−5m4</p><p>L = 2m</p><p>m = 200kg</p><p>ω1 = 4, 5 × 10−2rad/s</p><p>ω2 = 7, 6 × 10−2rad/s</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 53/93</p><p>A matriz modal do sistema é:</p><p>Isso significa que com excitação de base:</p><p>Os motores 1 e 3 oscilam menos, em fase um com outro, mas em</p><p>oposição de fase com o motor 2.</p><p>Os motores 1 e 3 oscilam em oposição de fase com a mesma</p><p>amplitude, enquanto o motor 2 não oscila (nó).</p><p>Os motores 1 e 3 oscilam menos que 2, e todos estão em fase.</p><p>Falta pouco para atingir seus objetivos.</p><p>Vamos praticar alguns conceitos?</p><p>Questão 1</p><p>A turbina de 12 pás da imagem a seguir tem massa e dimensões</p><p>conhecidas. A peça foi vinculada ao eixo z que passa pelo seu</p><p>centro, ponto C, cuja rigidez é conhecida. Em seguida, a turbina foi</p><p>deslocada, permanecendo no plano xy, de um pequeno ângulo y, e</p><p>então liberada. Em virtude da elasticidade do eixo que passa por</p><p>seu centro, passou a oscilar, ocasião em que seu período foi</p><p>cronometrado. Esse procedimento visa obter o valor do</p><p>ω3 = 20, 1 × 10−2rad/s</p><p>U =</p><p>⎡⎢⎣−0, 92 −1 0, 54</p><p>1 0 1</p><p>−0, 92 1 0, 54</p><p>⎤⎥⎦ω = ω1</p><p>ω = ω2</p><p>ω = ω3</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 54/93</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta.</p><p>Os momentos de inércia e não podem ser obtidos dessa</p><p>maneira, seria necessário que a turbina girasse em torno de um</p><p>desses eixos. Os produtos de inércia também não podem ser</p><p>obtidos dessa maneira, então as alternativas A, B, D e E estão</p><p>erradas. Esse procedimento é semelhante àquele adotado para</p><p>medir o momento de inércia da biela, mas sem precisar usar o</p><p>teorema dos eixos paralelos.</p><p>Questão 2</p><p>A momento de inércia Jxx</p><p>B momento de inércia Jyy</p><p>C momento de inércia Jzz</p><p>D momento de inércia Jxy</p><p>E momento de inércia Jxz</p><p>Jxx Jxx</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 55/93</p><p>Na tentativa de fazer com que o ventilador da imagem a seguir vibre</p><p>menos em sua frequência de trabalho, decidiu-se acrescentar uma</p><p>pequena massa , na extremidade da haste onde está a base do</p><p>ventilador. A adaptação deu certo e a amplitude de oscilação do</p><p>ventilador diminuiu. A justificativa do êxito dessa solução é que o</p><p>aumento da massa</p><p>Parabéns! A alternativa D está correta.</p><p>A frequência natural do sistema diminui, porque a massa aumentou:</p><p>me</p><p>A</p><p>aumenta o módulo de elasticidade da haste,</p><p>deixando-a mais rígida, acarretando redução das</p><p>amplitudes de oscilação.</p><p>B</p><p>diminui o módulo de elasticidade da haste,</p><p>deixando-a mais rígida, acarretando redução das</p><p>amplitudes de oscilação.</p><p>C</p><p>altera o efeito do desbalanceamento das pás do</p><p>ventilador, tornando o conjunto mais amortecido.</p><p>D</p><p>diminui a frequência natural do sistema, resultando</p><p>em aumento da razão entre as frequências em cada</p><p>velocidade de operação, acarretando redução das</p><p>amplitudes de oscilação.</p><p>E</p><p>aumentou o número de graus de liberdade do</p><p>sistema, e agora o amortecimento é maior, por isso</p><p>as amplitudes de oscilação diminuem.</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 56/93</p><p>Essa redução de frequência natural implica em aumento da razão</p><p>entre as frequências:</p><p>Quando a razão aumenta, provavelmente será maior do que 1,</p><p>situação em que as oscilações diminuem.</p><p>3 - Vibrações em meio contínuo</p><p>Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer as frequências naturais e os modos de</p><p>vibração de meios contínuos.</p><p>Vibrações em vigas, barras e eixos</p><p>Neste vídeo, conheça os conceitos relacionados ao comportamento</p><p>oscilatório dos sistemas contínuos - vibrações em vigas, barras e eixos.</p><p>ωn = √ k</p><p>m</p><p>⇒ ω′</p><p>n =√ k</p><p>m+me</p><p>, ω′</p><p>n < ωn</p><p>ϕ =</p><p>ω</p><p>ωn</p><p>⇒ ϕ′ =</p><p>ω</p><p>ω′</p><p>n</p><p>, ϕ′ > ϕ</p><p>ϕ</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 57/93</p><p>Vibrações em um cabo tensionado,</p><p>equação de onda</p><p>Neste vídeo, conheça a equação de onda em cabos tensionados cuja</p><p>principal utilização é avaliar vibrações em um cabo.</p><p>Até agora, apresentamos exemplos em que vigas foram tratadas como</p><p>meios discretos, buscando-se uma rigidez equivalente, que represente</p><p>suas propriedades. Mas essa abordagem pode não ser adequada</p><p>quando o motivo de análise for a própria viga. E nem sempre se</p><p>consegue identificar, em um meio contínuo, e ainda discretizar massas,</p><p>as rigidezes e efeitos de amortecimento.</p><p>Vigas, barras, eixos e cabos são sistemas em que a</p><p>distribuição de massa, de rigidez e de amortecimento é</p><p>contínua, e daí há infinitos pontos que vibram – ou</p><p>seja, um sistema possuindo infinitos graus de</p><p>liberdade.</p><p>A equação para calcular frequências de um sistema contínuo é uma</p><p>equação transcendental, cuja solução resulta em infinitas frequências</p><p>naturais e modos normais. Além disso, é preciso aplicar as chamadas</p><p>condições de contorno para determinar tais frequências naturais. As</p><p>condições de contorno são as restrições físicas impostas a um</p><p>sistema.</p><p>Exemplo</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 58/93</p><p>Para</p><p>uma viga engastada em uma parede, com a outra extremidade</p><p>livre, uma condição de contorno é a que o deslocamento, a velocidade e</p><p>a aceleração na extremidade engastada são nulos.</p><p>Vamos acompanhar na imagem a seguir o exemplo de um cabo elástico,</p><p>mas firmemente esticado - corda de violão, cabo de aço sustentando</p><p>carga suspensa etc. Tal cabo tem comprimento igual a , e é sujeito a</p><p>uma força transversal por unidade de comprimento, . Admita que</p><p>o deslocamento transversal da corda, , é muito pequeno.</p><p>Cabo vibratório esticado entre dois pontos.</p><p>Vamos destacar o trecho AB da corda e apresentar o equilíbrio de forças</p><p>na direção vertical z:</p><p>Trecho AB do cabo vibratório esticado entre dois pontos.</p><p>E a equação a seguir:</p><p>Essa é a equação diferencial parcial – a força líquida que age sobre um</p><p>trecho, ou elemento do cabo, de comprimento , é igual à força de</p><p>inércia que age sobre o elemento. Nessa equação:</p><p>é a massa por unidade de comprimento.</p><p>é a tensão no cabo.</p><p>é o ângulo que o cabo defletido faz com o eixo .</p><p>L</p><p>f(x, t)</p><p>w(x, t)</p><p>(P + dP) sen(θ+ dθ) + fdx− P sen θ = ρdx</p><p>∂ 2w</p><p>∂t</p><p>dx</p><p>ρ</p><p>P</p><p>θ x</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 59/93</p><p>Como foi adotada a hipótese de pequenos deslocamentos, para o trecho</p><p>tem-se a variação da tensão na direção :</p><p>Além disso, pode-se linearizar o ângulo, sendo a diferença entre as</p><p>alturas dos pontos A e B:</p><p>Do outro lado,</p><p>A segunda parcela do segundo membro é a derivada do ângulo em</p><p>função de . Substituindo na equação, e considerando que o cabo é</p><p>uniforme e a tensão é constante, tem-se que:</p><p>Para o caso de vibrações livres, e, então, tem-se:</p><p>Fazendo , obtém-se:</p><p>Essa é a equação de onda, e o parâmetro é a velocidade de propagação</p><p>de uma onda ao longo do cabo. Ela é resolvida pelo método de</p><p>separação de variáveis, no qual a solução é escrita como o produto de</p><p>uma função que depende somente de  por outra que depende somente</p><p>do tempo :</p><p>AB x</p><p>dP =</p><p>∂P</p><p>∂x</p><p>dx</p><p>∂w</p><p>sen θ ≈ tg θ =</p><p>∂w</p><p>∂x</p><p>sen(θ+ dθ) ≈ tg(θ+ dθ) =</p><p>∂w</p><p>∂x</p><p>+</p><p>∂ 2w</p><p>∂x2</p><p>dx</p><p>θ</p><p>x</p><p>P</p><p>∂ 2w(x, t)</p><p>∂x2</p><p>+ f(x, t) = ρ</p><p>∂ 2w(x, t)</p><p>∂t2</p><p>f(x, t) = 0</p><p>P</p><p>∂ 2w(x, t)</p><p>∂x2</p><p>= ρ</p><p>∂ 2w(x, t)</p><p>∂t2</p><p>c2 = P/ρ</p><p>c2</p><p>∂ 2w(x, t)</p><p>∂x2 =</p><p>∂ 2w(x, t)</p><p>∂t2</p><p>x</p><p>t</p><p>w(x, t) = W(x)T (t)</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 60/93</p><p>Substituindo na equação de onda, obtém-se:</p><p>Uma vez que cada lado da equação depende de somente uma variável, e</p><p>há o sinal de igualdade, então, pode-se assumir que:</p><p>Disso, resultam duas equações diferenciais ordinárias (EDO):</p><p>Essa constante geralmente é negativa, e assim considera-se que:</p><p>Recai-se, então, em duas equações de soluções conhecidas:</p><p>Tem-se, portanto,</p><p>c2</p><p>W</p><p>d2W</p><p>dx2</p><p>=</p><p>1</p><p>T</p><p>d2T</p><p>dt2</p><p>c2</p><p>W</p><p>d2W</p><p>dx2</p><p>=</p><p>1</p><p>T</p><p>d2T</p><p>dt2</p><p>= α</p><p>d2W</p><p>dx2</p><p>−</p><p>α</p><p>c2</p><p>W = 0</p><p>d2T</p><p>dt2</p><p>− αT = 0</p><p>α</p><p>α = −ω2</p><p>d2W</p><p>dx2</p><p>+</p><p>ω2</p><p>c2</p><p>W = 0</p><p>d2T</p><p>dt2</p><p>+ ω2T = 0</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 61/93</p><p>Sendo a frequência de vibração e as constantes e são</p><p>calculadas a partir das condições de contorno e das condições iniciais.</p><p>Analogamente, estende-se esse raciocínio para barras, e agora a</p><p>vibração é longitudinal, na direção , sendo o módulo de</p><p>elasticidade e a densidade de massa da barra:</p><p>O mesmo procedimento é adotado para vigas – a vibração é</p><p>transversal:</p><p>E para torção em eixos, sendo  o ângulo de torção:</p><p>Nesse caso,</p><p>Os parâmetros são:</p><p>, módulo de elasticidade transversal.</p><p>, momento de inércia polar da seção transversal (no caso, uma</p><p>seção circular).</p><p>, momento polar de inércia de massa do eixo por unidade de</p><p>comprimento.</p><p>W(x) = A1 cos</p><p>ωx</p><p>c</p><p>+A2 sen</p><p>ωx</p><p>c</p><p>T (t) = B1 cosωt+B2 senωt</p><p>ω A1,A2,B1 B2</p><p>u; c2 = E/ρ E</p><p>ρ</p><p>c2</p><p>∂ 2u(x, t)</p><p>∂x2</p><p>=</p><p>∂ 2u(x, t)</p><p>∂t2</p><p>EI</p><p>∂ 4w(x, t)</p><p>∂x4</p><p>= ρA</p><p>∂ 2w(x, t)</p><p>∂t2</p><p>ϕ</p><p>c2</p><p>∂ 2ϕ(x, t)</p><p>∂x2</p><p>=</p><p>∂ 2ϕ(x, t)</p><p>∂t2</p><p>c =√ GJ</p><p>I0</p><p>G</p><p>J</p><p>I0</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 62/93</p><p>Vibrações em um cabo preso nas</p><p>extremidades</p><p>Neste vídeo, conheça os modos de vibrar de um cabo esticado, preso</p><p>em ambas as extremidades.</p><p>Cabos e cordas são meios de propagação de ondas, tanto longitudinais</p><p>quanto transversais.</p><p>Em um violão, as cordas vibram quando deslocadas, e o resultado é</p><p>uma onda que se propaga em uma frequência audível. O maior dano que</p><p>esse fenômeno pode produzir é um som desagradável, caso o</p><p>instrumento esteja desafinado.</p><p>Mas imagine um guincho daqueles montados em para-choques de</p><p>picapes, sendo usado para puxar outro veículo que atolou:</p><p>Movimento harmônico</p><p>no cabo</p><p>O cabo de aço é puxado</p><p>por um motor elétrico, e</p><p>na outra ponta está</p><p>Falhas na estrutura do</p><p>cabo</p><p>Se esse movimento</p><p>(excitação de base)</p><p>coincidir com uma das</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 63/93</p><p>outro carro que requer</p><p>esforço para ser</p><p>removido do atoleiro;</p><p>ele praticamente não se</p><p>move, e por isso o cabo</p><p>está muito tensionado.</p><p>A resistência que impõe</p><p>ao motor elétrico pode</p><p>fazê-lo “patinar”,</p><p>tornando-o uma “fonte”</p><p>que induz movimento</p><p>harmônico no cabo.</p><p>frequências naturais do</p><p>cabo, ele começará a</p><p>vibrar demasiadamente.</p><p>Esse movimento</p><p>induzido de flexão</p><p>oscilatória combinado</p><p>com a tensão pode</p><p>causar falhas em sua</p><p>estrutura. Não queira</p><p>estar ao lado do cabo,</p><p>se ele se partir.</p><p>Seja o cabo de comprimento preso nas duas pontas. As condições de</p><p>contorno são , para qualquer valor de .</p><p>Substituindo em , obtém-se duas novas condições:</p><p>.</p><p>Uma vez que , então . E como ,</p><p>A constante não pode ser zero (solução trivial), o que impõe:</p><p>Esta é a equação característica, e é satisfeita para diversos valores de</p><p>:</p><p>A solução completa é dada pelo produto das duas funções:</p><p>Sendo que e são constantes arbitrárias. A solução é</p><p>denominada n-ésimo modo de vibração, ou normal, do cabo. Nesse</p><p>modo, cada ponto do cabo vibra com amplitude proporcional ao valor de</p><p>em um ponto determinado com frequência .</p><p></p><p>L</p><p>w(0, t) = w(L, t) = 0 t ≥ 0</p><p>w(x, t) = W(x)T (t)</p><p>W(0) = W(L) = 0</p><p>W(0) = 0 A1 = 0 W(L) = 0</p><p>A2 sen</p><p>ωL</p><p>c</p><p>= 0</p><p>A2</p><p>sen</p><p>ωL</p><p>c</p><p>= 0</p><p>ω</p><p>ωn = n</p><p>cπ</p><p>L</p><p>, n ∈ N</p><p>wn(x, t) = Wn(x)Tn(t) = sen</p><p>nπx</p><p>L</p><p>(B1n cos</p><p>ncπ</p><p>L</p><p>t+B2n sen</p><p>ncπ</p><p>L</p><p>t)</p><p>B1n B2n wn(x, t)</p><p>Wn ωn = (ncπ)/L</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 64/93</p><p>Os modos de vibrar do cabo são apresentados na próxima imagem. O</p><p>primeiro dos três modos de vibrar, correspondente a , é</p><p>denominado modo fundamental, e a frequência natural  é denominada</p><p>frequência fundamental. A ela corresponde o período fundamental:</p><p>Todo ponto em que , qualquer que seja , é chamado de nó.</p><p>Assim, o modo fundamental tem dois nós, um em e outro em</p><p>. O segundo modo tem três nós, a saber e</p><p>. Já o terceiro modo tem quatro nós: e</p><p>, e assim por diante.</p><p>Os três primeiros modos de vibrar de um cabo esticado e com as duas extremidades presas.</p><p>E a forma geral que representa o comportamento do cabo é dada pela</p><p>equação:</p><p>Isto é, a soma de todos os possíveis modos de vibrar. As constantes</p><p>e  são calculadas a partir das condições iniciais, e requerem</p><p>um processo de integração para calculá-las:</p><p>n = 1</p><p>τ1 =</p><p>2π</p><p>ω1</p><p>=</p><p>2L</p><p>c</p><p>wn = 0 t</p><p>x = 0</p><p>x = L x = 0,x = L/2 x = L</p><p>x = 0,x = L/3,x = 2L/3</p><p>x = L</p><p>w(x, t) =</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=1</p><p>wn(x, t) =</p><p>∞</p><p>∑</p><p>n=1</p><p>sen</p><p>nπx</p><p>L</p><p>(B1n cos</p><p>ncπ</p><p>L</p><p>t+B2n sen</p><p>ncπ</p><p>L</p><p>t)</p><p>B1n B2n</p><p>27/08/24, 14:14 Tipos de vibração</p><p>https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/07141/index.html?brand=estacio# 65/93</p><p>Por exemplo, vamos supor que esse cabo seja pinçado e depois solto da</p><p>imagem a seguir. Quer-se determinar seus movimentos subsequentes:</p><p>Cabo tensionado e pinçado até a altura – condições iniciais.</p><p>A solução desse problema é dada pela equação:</p><p>Como o cabo é pinçado e depois liberado, a velocidade inicial é nula,</p><p>, então, tem-se que . A equação passa a ser:</p>