Cálculo II

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como x = a tg (t)⇒ x
a
= tg (t)⇒ arctg (x
a
) = t. Substituindo temos,∫
dx√
a2 + x2
= ln | sec( arctg (
x
a
)) +
x
a
|+ C = ln
∣∣∣√a2 + x2
a
+
x
a
∣∣∣+ C =
ln
∣∣∣x+
√
a2 + x2
∣∣∣− ln(a) + C = ln
∣∣∣x+
√
a2 + x2
∣∣∣+ C
Exemplo 131. Calcule
∫
dx
x2
√
a2+x2
.
Solução. Fazendo x = a tg (t)⇒ dx = a sec2(t)dt, temos∫
dx
x2
√
a2 + x2
=
∫
1
a2 tg 2(t)
√
a2 + a2 tg 2(t)
a sec2(t)dt =
∫
1
a3 tg 2(t) sec(t)
a sec2(t)dt =
=
1
a2
∫
1
tg 2(t)
sec(t)dt =
1
a2
∫
cotg2(t) sec(t)dt =
1
a2
∫
cos(t)
sen 2(t)
dt
vamos usar outra substituição, fazendo u = sen (t)⇒ du = cos(t)dt, logo
1
a2
∫
cos(t)
sen 2(t)
dt =
1
a2
−1
sen (t)
+ C
como x = a tg (t)⇒ x
a
= tg (t)⇒ arctg (x
a
) = t, portanto temos∫
dx
x2
√
a2 + x2
= − 1
a2
1
sen ( arctg (x
a
))
= − 1
a2
cossec( arctg (
x
a
)) = − 1
a2
√
1 + cotg2( arctg (
x
a
)) =
= − 1
a2
√
1 +
a2
x2
= − 1
a2
√
x2 + a2
x
+ C
concluindo assim o cálculo.
As variações de
√
a2 − x2, análogas aos exemplos anteriores são∫
dx√
a2 − x2
= arcsen (
x
a
) + C,
veja que isso segue imediatamente de ( arcsen (x
a
))′ = 1√
a2−x2 . E∫
1
x2
√
a2 − x2
dx = − 1
a2x
√
a2 − x2 + C
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22 Aula 19
Sumário:
1. Substituição trigonométrica
Vamos agora a última situação, onde queremos integrar
√
x2 − a2. Temos
a identidade 1 + tg 2(t) = sec2(t) ⇒ tg 2(t) = sec2(t) − 1, logo tomando
x = a sec(t), temos
√
x2 − a2 =
√
a2 sec2(t)− a2 = a
√
sec2(t)− 1 =
a
√
tg 2(t) = a| tg (t)|.
Para ter tg (t) > 0, vamos pegar o intervalo 0 ≤ θ < π
2
ou π ≤ θ < 3π
2
.
Além de ter tg (t) > 0, observe que sec(t) é injetiva. Sendo assim, vamos em
busca da primitiva de
√
x2 − a2.
Exemplo 132. Calcule
∫ √
x2 − a2dx.
Solução. Faça x = a sec(t) ⇒ dx = a sec(t) tg (t)dt. Sendo assim, temos
que ∫ √
x2 − a2dx =
∫ √
a2 sec2(t)− a2a sec(t) tg (t)dt =
= a2
√
sec2(t)− 1 sec(t) tg (t)dt = a2
∫
tg (t) sec(t) tg (t)dt =
= a2
∫
tg 2(t) sec(t)dt = a2
∫
(sec2(t)− 1) sec(t)dt =
= a2
∫
(sec3(t)−sec(t))dt = a2
(1
2
sec(t) tg (t)+
1
2
ln | sec(t)+ tg (t)|−ln | sec(t)+ tg (t)|
)
=
= a2
(1
2
sec(t) tg (t)− 1
2
ln | sec(t) + tg (t)|
)
,
vamos trocar a variavél t por x.
Como x = a sec(t)⇒ x
a
= sec(t)⇒ arcsec(x
a
) = t. Portanto,
a2
(1
2
sec(t) tg (t)− 1
2
ln | sec(t) + tg (t)|
)
=
= a2
(1
2
· x
a
tg (arcsec(
x
a
))− 1
2
ln |x
a
+ tg (arcsec(
x
a
))|
)
,
58
temos que tg (y) =
√
sec2(y)− 1, logo fazendo y = arcsec(x
a
) ⇒ sec2(y) =
x2
a2
, de onde segue que tg (y) =
√
x2
a2
− 1 =
√
x2
a2
− a2
a2
= 1
a
√
x2 − a2. Então,
= a2
(1
2
· x
a
tg (arcsec(
x
a
))− 1
2
ln |x
a
+ tg (arcsec(
x
a
))|
)
=
= a2
(x
2
1
a2
√
x2 − a2−1
2
ln |x
a
+
1
a
√
x2 − a2|
)
=
(x
2
√
x2 − a2−a
2
2
ln |x+
√
x2 − a2
a
|
)
=
=
x
2
√
x2 − a2−a
2
2
ln |x+
√
x2 − a2|−ln |a|+C =
x
2
√
x2 − a2−a
2
2
ln |x+
√
x2 − a2|+C
Exemplo 133. Calcule
∫
dx√
x2−a2 .
Solução. Faça x = a sec(t)⇒ dx = a sec(t) tg (t)dt, logo∫
dx√
x2 − a2
=
∫
a sec(t) tg (t)√
a2 sec2(t)− a2
dt =
∫
a sec(t) tg (t)
a tg (t)
dt =
∫
sec(t)dt =
= ln | sec(t) + tg (t)|+ C,
desfazendo a substituição temos x = a sec(t)⇒ x
a
= sec(t)⇒ arcsec(x
a
) = t,
logo
= ln | sec(t) + tg (t)|+ C = ln |x
a
+ tg (arcsec(
x
a
))|+ C,
como no caso do problema anterior tg (arcsec(x
a
)) = 1
a
√
x2 − a2. Então,
ln |x
a
+ tg (arcsec(
x
a
))|+C = ln |x
a
+
1
a
√
x2 − a2|+C = ln |x+
√
x2 − a2|−ln |a|+C =
= ln |x+
√
x2 − a2|+ C
Algumas variações da função
√
x2 − a2 também ser resolvida usando a
substituição x = a sec(t), vejamos algumas variações e sua primitiva:∫ √
x2 − a2
x
dx =
√
x2 − a2 − a arccos
a
|x|
+ C,∫ √
x2 − a2
x2
dx = −
√
x2 − a2
x
+ ln |x+
√
x2 − a2|+ C,∫
dx
x2
√
x2 − a2
=
√
x2 − a2
a2x
+ C.
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Essa não são todas as variações posśıveis, mas são todas que iremos tra-
balhar. Mas para uma relação completa, consulte uma tabela de integração.
Caso tenha um integrando que aparece
√
x2 − a2 usar essa substituição é
útil, talvez seja necessário somar a outra técnica para integrar.
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