Teoria dos Números

Prévia do material em texto

<p>FACULDADE ÚNICA DE IPATINGA TEORIA DOS NÚMEROS Luiz Gonzaga Alves da Cunha</p><p>Luiz Gonzaga Alves da Cunha Mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais (PUC-Minas) - Especialista em Educação Matemática pela Universidade Vale do Rio Doce (chancela Unesp/Rio Claro) - Especialista em Qualidade em Educação pela Universi- dade Maringá - Especialista em Docência na Educação a Distância (Unis) e Licenciado em Matemática pela Universidade Federal de Viçosa (UFV). Atualmente é professor da Faculdade Única de Ipatinga (FUNIP). TEORIA DOS NÚMEROS edição Ipatinga - MG 2022 FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>FACULDADE ÚNICA EDITORIAL Diretor Geral: Valdir Henrique Valerio Diretor Executivo: William José Ferreira Ger. do Núcleo de Educação à Distância: Cristiane Lelis dos Santos Coord. Pedag. da Equipe Multidisciplinar: Gilvânia Barcelos Dias Teixeira Revisão Gramatical e Ortográfica: Izabel Cristina da Costa Bárbara Carla Amorim O. Silva Carla Jordânia G. de Souza Rubens Henrique L. de Oliveira Design: Brayan Lazarino Santos Élen Cristina Teixeira Oliveira Maria Luiza Filgueiras © 2020, Faculdade Única. Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem Autorização escrita do Editor. EAD NEaD - Núcleo de Educação as Distancia FACULDADE ÚNICA Rua Salermo, 299 Anexo 03 - Bairro Bethânia - CEP: 35164-779 - Ipatinga/MG Tel (31) 2109 -2300 - 0800 724 2300 www.faculdadeunica.com.br FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>Menu de Ícones Com intuito de facilitar seu estudo e uma melhor compreensão do conteúdo apli- cado ao longo do livro didático, você irá encontrar ícones ao lado dos textos. Eles são para chamar a sua atenção para determinado trecho do conteúdo, cada um com uma função específica, mostradas a São sugestões de links para vídeos, documentos Q BUSQUE POR MAIS fico (artigos, monografias, dissertações e teses), sites ou links das Bibliotecas Virtuais (Minha Biblioteca e Biblio- teca Pearson) relacionados com conteúdo abordado. Trata-se dos conceitos, definições ou afirmações impor- FIQUE ATENTO tantes nas quais você deve ter um maior grau de aten- ção! FIXANDO O São exercícios de fixação do conteúdo abordado em cada unidade do livro. GLOSSÁRIO São para esclarecimento do significado de determina- dos termos/palavras mostradas ao longo do livro. Este espaço é destinado para a reflexão sobre questões VAMOS PENSAR citadas em cada unidade, associando-o a suas ações, seja no ambiente profissional ou em seu cotidiano. FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>Apresentação "A questão primordial não é que sabemos, mas como sabemos" Aristóteles A criação deste livro levou em consideração a ideia de Aristóteles apresentada acima. maior objetivo é levar ao estudante os conhecimentos de Cálculo Diferencial e Integral de forma que tenham aplicabilidades no cotidiano e torne a aprendizagem significativa e efetiva. Buscou-se explorar fundamentos matemáticos de forma intuitiva deixando de lado formalismo sem esquecer, no entanto, rigor inerente a esta disciplina. Espera- se com esta obra, contribuir para a formação acadêmica do estudante tornando-o autônomo no seu processo de aprendizagem e consolidando, dessa forma, sua forma- ção. Para que você possa ter um melhor aproveitamento deste material, segue abaixo uma tabela com os ícones que aparecerão ao longo do texto. Tais ícones (com suas respectivas funções) chamarão sua atenção para determinado tópico do conte- údo e indicarão uma ação que deverá ser executada. FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA</p><p>GENERALIDADES SOBRE FUNÇÕES UNIDADE 1.1 MOTIVAÇÃO 01 No Egito antigo era comum registrar fenômenos naturais que aconteciam no cotidiano. Tais registros não tinham a finalidade de explicar tais fenômenos, mas ape- nas de registrá-los. Posteriormente, estimulando raciocínio lógico e analisando seus resultados, iniciou-se estudos acerca dos modelos presentes nos registros encontra- dos, levando estudiosos a avançar na compreensão dos mesmos. Atualmente, podemos observar vários fenômenos em nosso meio que são pas- síveis de explicações graças a utilização de ferramentas matemáticas tal como, a trajetória da bola de basquete. Nessa situação específica, em outras similares, as funções matemáticas são ferramentas amplamente utilizadas para desvendar as ca- racterísticas desses eventos. Outras ciências tais como a Física, Economia, Ecologia e Engenharia dentre outras, utilizam as funções como suporte para explicar diversas situações corriqueiras presentes em cada uma delas. Para citar um exemplo prático, temos a ponte Hercílio Luz, situada na cidade de Florianópolis, construída entre 1922 e 1926. As curvas presentes em sua estrutura, formadas pelos seus cabos, sustentam a ponte de forma que a forças exercidas sobre eles podem ser explicadas por equações algébricas que apresentam dependências entre as grandezas envolvidas gerando, dessa forma, gráficos que diversificam a re- presentação dos fenômenos favorecendo sua compreensão. Figura 1: Ponte Hercílio Luz Fonte: Wolffenbuttel (2020) FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 5</p><p>Enfim, estudo de funções é fundamental para a construção de conceitos e definições que levam à aprendizagem efetiva da Matemática e ciências Afins. 1.2 NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO Quando estamos interessados em relacionar duas grandezas que variam seus valores ao longo do tempo, devemos pensar em uma função matemática para fazê- lo. Vamos explorar alguns exemplos ilustrativos que promovem relacionamento en- tre grandezas e a dependência entre Tabela 1: Relação entre litros de gasolina em um abastecimento e preço a paga N° de litros de gasolina Preço R$ 4,80 2 R$ 9,60 3 R$ 14,40 30 R$ 144,00 Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) Nesta situação, dizemos que: Preço a pagar = R$ de litros Tabela 2: Relação entre lado de um quadrado e sua área Medida do lado (L) Área (A) 1 2 m 3 m 9 6 m Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) Nesta situação, dizemos que: A = Área do quadrado = lado FIQUE ATENTO Observe que as grandezas envolvidas nos exemplos acima, exerce um grau de depen- dência. Quantidade de litros (independente) / preço a pagar (dependente) Lado do quadrado (independente) / Área do quadrado (dependente) FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 6</p><p>1.3 EXPLORAÇÃO DE FUNÇÃO POR MEIO DE CONJUNTOS Podemos também, intuitivamente, explorar a relação entre dois conjuntos de forma a uma dependência entre os elementos destes conjuntos. Vamos considerar dois conjuntos A e B cujos elementos são números naturais. Os elementos destes conjuntos estarão associados da seguinte forma: Figura 2: Associação dos elementos de um conjunto Elementos de A Elementos de 1 2 0 0=(2x0) 1 2=(2x1) 2 4 2 4=(2x2) 3 6 3 6=(2x3) A Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) Na relação acima, podemos observar que para cada elemento do conjunto A tem um único elemento correspondente no conjunto B e esta correspondência se dá, neste caso pela multiplicação de cada elemento do conjunto A por 2, ou seja, cada elemento do conjunto A está relacionado com seu dobro. 1.4 NOTAÇÃO MATEMÁTICA DE CONJUNTO Levando em consideração os conjuntos A e B abordados na seção anterior, dizemos que uma função é uma relação que associa cada elemento do conjunto A a um único elemento do conjunto B. Assim, vamos elencar uma forma matemática de representar a relação existente entre conjunto A e B, da seguinte forma: Figura 3: Relação do Conjunto A e B X Y Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 7</p><p>FIQUE ATENTO f : A B (Onde se lê: fé uma função de A em B) 1.5 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO Levando em consideração os conjuntos A e B abordados na seção 1.3, iremos nomear cada um dos conjuntos explorados conforme a nomenclatura utilizada em conjuntos. Então, sendo dada uma função f que relaciona os elementos do conjunto A com os elementos do conjunto B, iremos chamar de domínio, conjunto de partida Ae de contradomínio conjunto de chegada B. Agora, cada elemento do conjunto B é denominado de imagem do elemento do conjunto A ao qual se relaciona. Veja na imagem abaixo: Figura 4: Domínio, Contradomínio e Imagem de uma função 0 0 Domínio 1 2 Contradomínio 2 4 3 6 Imagem de A Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) FIQUE ATENTO Emf : A B se todos os elementos de Brelaciona com algum elemento de A, então temos que contradomínio e a imagem serão conjuntos iguais. VAMOS PENSAR Se temos uma relação A B e existe algum elemento do conjunto A que não se relaciona com elemento de B, podemos considerar essa relação uma função? FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 8</p><p>1.6 FÓRMULAS MATEMÁTICAS PARA DEFINIR FUNÇÕES Uma forma bastante comum de representar uma função é utilizando regras, leis ou fórmulas matemática. Vamos nos reportar ao exemplo utilizado na seção 1.2 quando relacionamos a quantidade de litros em um abastecimento e valor a pa- gar. Naquela situação, dizemos que: Preço a pagar = de litros. Podemos representar a relação preço a pagar (y) com quantidade de litros (x) pela fórmula matemático a seguir: y=4,8x ou Então, como podemos ver, as fórmulas matemáticas nos auxiliam a represen- tar uma relação entre grandezas de forma simples. 1.7 DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO DE VARIÁVEIS REAIS Como vimos na seção 1.5, que em uma função está presente três componen- tes a saber: domínio, contradomínio e imagem. Ao representarmos uma função f de A em B devemos ter em mente que A é domínio da função e B é contradomínio da função. Logo: DOMÍNIO f: A B (1) CONTRADOMÍNIO FIQUE ATENTO Quando, ao citarmos uma função f e omitimos os conjuntos A e B, devemos considerar o contradomínio como sendo conjunto dos números reais (R) e domínio será maior subconjunto A de R. FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 9</p><p>1.8 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO Nos dias de hoje é muito comum encontrarmos gráficos como meio de comu- nicar alguns tipos de informações. Podemos ver está linguagem gráfica em livros, re- vistar e até mesmo na internet. No contexto das funções também iremos conviver com os gráficos. Toda função matemática pode ser representada por um gráfico que será construído em um plano denominado cartesiano. Para que tal gráfico seja construído podemos seguir alguns procedimentos que nos auxiliam nesta tarefa, a saber: Montar uma tabela com duas colunas onde na coluna serão colocados valores de "x" (a sua escolha) pertencentes ao domínio da função e na coluna preencher com as imagens de cada valor escolhido na 1° coluna. Uma vez formado par ordenado (x,f(x)) devemos associá-lo a um ponto do plano cartesiano. Neste último passo, devemos marcar no plano cartesiano uma quantidade su- ficiente de pontos até que seja possível esboçar gráfico da função em questão. 1.9 OBTENÇÃO DO DOMÍNIO E DA IMAGEM POR MEIO DO GRÁFICO De posse do gráfico e por meio de uma simples observação, é possível deter- minar domínio e a imagem de uma função. Para que seja possível essa análise, basta projetar gráfico nos eixos coordenados. Veja: Figura 5: Gráfico com domínio e imagem de uma função f(x) y f(a) Gráfico de f(x) Imagem de f(x) f(b) b Domínio f(x) Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) FIQUE ATENTO Domínio de Imagem de Im(f) = FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 10</p><p>VAMOS PENSAR Alguns gráficos não representam funções. gráfico abaixo é um desses gráficos. Você seria capaz de apontar uma característica desse gráfico para que ele não represente uma função? y 2 (1,1) 1 o 1 2 -1 (1, -1) 1.10 FUNÇÕES SOBREJETIVAS, INJETIVAS E BIJETIVAS Dada uma função é possível qualificá-la conforme algumas características que ela pode apresentar. Após analisar as tais caraterísticas, podemos classificar as funções em sobrejetora, injetora e bijetora. a) Função sobrejetora: Quando uma função apresenta conjunto imagem é igual ao contradomínio. Figura 6: Função sobrejetora 0 2 1 2 4 = 3 6 A Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) b) Função injetora: Quando para quaisquer dois valores diferentes do domínio, obtemos dois valores distintos na imagem. FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 11</p><p>Figura 7: Função injetora -1 0 Como - 1 # 1 então f(-1) # f(1), ou seja, 0 #2 1 2 Como então f(1) # f(3), ou seja, 2 # 4 3 4 6 Como - 1 # 3 então f(-1) # f(3), ou seja, 0 #4 A Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) c) Função bijetora: Quando uma função é, ao mesmo tempo, sobrejetora e injetora. Figura 8: Função Bijetora 0 1 2 2 4 3 6 A Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) ! FIQUE ATENTO Podemos ver no diagrama acima que a função (relação) em questão, apresenta carac- terística de função sobrejetora e de função injetora simultaneamente. 1.11 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE FUNÇÕES estudo do comportamento crescente ou decrescente de uma função nada mais é do que verificar que acontece com os valores da imagem quando variamos os valores do domínio. Em outras palavras, para analisar a variação de uma dada função, atribuímos a uma variável independente, os valores do domínio (em ordem crescente) e verifi- camos que ocorre com a variável dependente (imagem). Desta forma, é possível ocorrer três situações diferentes, a saber: FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 12</p><p>a) Função crescente: quando aumentamos os valores da variável indepen- dente e por consequência, os valores da variável dependente também au- mentam. ! FIQUE ATENTO < X2 então Figura 9: Função crescente y f(x)2 Aumenta f(x) X2 X Aumenta Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) b) Função decrescente: quando aumentamos os valores da variável indepen- dente e por consequência, os valores da variável dependente diminuem. FIQUE ATENTO < X2 Figura 10: Função decrescente y f(x)2 Diminui X2 X Aumenta Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 13</p><p>c) Função constante: quando aumentamos os valores da variável indepen- dente e por consequência, os valores da variável dependente permane- cem constantes. FIQUE ATENTO < X2 então Figura 11: Função constante y Constante X2 X Aumenta Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 1.12 FUNÇÃO COMPOSTA Para entender melhor conceito de função composta, vamos considerar a produção de automóveis cujo lucro de produção é obtido por meio da lei L=2V onde "L" representa lucro e "V" representa preço de venda para consumidor final. Já valor de "V" é obtido pela lei V=100 + P onde "P" é custo de produção. Observamos que lucro L depende do preço da venda "V" que por sua vez depende do custo de produção "P". Logo: L=2V L = L = V Agora, de forma geral, ao tomarmos as funções genéricas f: A B definida por f(x) = 3x e g: B C definida podemos notar que contradomínio da função f(x) é domínio da função g(x). Dessa forma, surge uma outra função h(x) que relaciona domínio da função f(x) com contradomínio de g(x), veja: FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 14</p><p>Figura 12: Função composta A B C f g y Z h h: A f(g(x)) Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) 1.13 FUNÇÃO INVERSA Quando abordamos uma função inversa, devemos nos reportar a uma bije- tiva, OU seja, para que uma função possua uma função inversa, primeiramente ela precisa ser uma função bijetora. Dessa forma, vamos definir uma função inversa da seguinte forma: Dada uma função f: A-B (bijetora), denomina-se função inversa g: B A tal que, se f(a) = b, então g(b) com Graficamente, a função inversa g(x) de f(x) será representada da seguinte forma: Figura 13: Função inversa f:A B g:B A 0 0 0 0 1 2 2 1 2 4 4 2 3 6 6 3 Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) FIQUE ATENTO A função inversa g(x) de f(x) será representada por: FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 15</p><p>Q BUSQUE POR MAIS Veja mais sobre o assunto no livro "Matématica" de Bonafini de (2012) em: Acesso em: 26 jan. 2020. Leia também o livro "Matemática para curso superiores" de Silva, Silva e Silva (2018). Disponível em: Acesso em: 26 jan. 2020. Por fim, de uma olhada na playlist "Funções - Conceitos Iniciais e Funda- mentais" do prof. Ferreto em seu canal no Youtube. Disponível em: https://bit.ly/2VSbmJC. Acesso em: 26 jan. 2020.</p><p>FIXANDO CONTEÚDO 1. Observe na tabela a medida do lado (em cm) de uma região quadrada e sua área (em LADO ] 3 4 5,5 10 ... L ÁREA ] 9 16 30,25 100 L2 ... De acordo com a tabela, podemos afirmar que a medida do lado da região qua- drada cuja área é de 144 é: a) 11 cm b) 12 cm c) 13 cm d) 14 cm e) 15 cm 2. Considere a função dada pela relação representada pela imagem abaixo: 3. 1 4. 5. .5 6. 7 Podemos afrimar que: a) A Imagem de f(x) é {1,3,5,7}. b) A imagem de f(x) é {1,3,7}. c) Domínio de f(x) é {1, 3,5,7}. d) domínio e a imagem de f(x) são iguais. e) O contradomínio e a imagem de f(x) são iguais. 3. Observe a função abaixo e marque a alternativa correta: 1 FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 17</p><p>a) o domínio de f(x) = b) o domínio de c) domínio de 6} d) domínio de e) domínio de 4. Observe a função abaixo e marque a alternativa correta: 1 a) o domínio de f(x) = b) domínio de 8} c) domínio de d) domínio de e) domínio de 5. Analise gráfico da função abaixo. y 3 2 1 -2 - 1 1 o 4 3 -2 Assinale a alternativa correta: a) gráfico é crescente para {x E b) gráfico é decrescente para {x E 1} c) gráfico é crescente d) o gráfico é decrescente e) gráfico é constante 6. Dados podemos afirmar que f(g(1)) é: a) 3 b) 4 FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 18</p><p>c) 5 d) 6 e) 7 7. Analise gráfico da função f(x) abaixo. y 3 2 2 4 5 6 -2 Podemos afirmar que: a) domínio b) a imagem c) a imagem d) o domínio e) domínio de 8. A função inversa por: - 3 b) c) d) e) f(x) não tem inversa FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 19</p><p>LIMITES UNIDADE 2.1 NOÇÕES INTUITIVA DE LIMITE 02 A melhor forma de trabalhar conceito de "limite" dentro do contexto mate- mático, é utilizar a intuição. Para isso vamos considerar um quadrado de lado 1 cm cuja área é veja: Área: 1 cm 1 1 cm Vamos começar a entender conceito de limite por meio dos seguintes pas- SOS: Iremos calcular a área da metade da figura original. 1 cm 0,5 cm ÁREA FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 20</p><p>Agora preencher metade da região restante e recalcular a 1 cm 0,5 cm 0,5 cm 0,5 cm ÁREA = (0,5 X 1) + = Novamente iremos preencher metade da região restante e recalcular a área. 0,5 cm 0,25 cm 1 cm 0,5 cm 0,5 cm 0,5 cm 0,5) + (0,5 0,25) = 0,875 Se continuarmos esse procedimento indefinidamente e de forma sucessiva, ire- mos preencher, em quase sua totalidade, quadrado inicial e, dessa forma, iremos perceber que a área que estamos calculamos de forma contínua irá se aproximar cada vez mais de 1 (um). Observe: 0,5; 0,75; 0,875; 0,9375; 0,96875; 0,984375; ... Dessa forma, dizemos que limite dessa soma será 1 (um) ou que a área desse quadrado tente a 1 (um). Então, limite no contexto matemático indica que resultado se aproxima de FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 21</p><p>determinado valor sem, no entanto, atingir esse valor. Vamos agora abordar tal defi- nição utilizando funções matemáticas com intuito de obter sua formalização. Con- sidere a função polinomial do 1° grau definida por f(x) = X + 3 cujo gráfico está representado abaixo. Figura 14: Gráfico da função y f(x) 7 0 4 X Aproximação pela esquerda Aproximação pela direita Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) Observe no gráfico que conforme os valores de X (no eixo das abscissas) vai se aproximando do valor 4 (pelo seu lado esquerdo ou pelo seu lado direito), os valores de sua imagem f(x) vai se aproximando do valor 7. Observe tal comportamento na tabela abaixo. X 3 3,3 3,7 3,999 4,001 4,2 4,4 4,6 f(x) 6 6,3 6,7 6,999 7,001 7,2 7,4 7,6 Aproximação pela esquerda Aproximação pela direita lim lim o limite da função f(x) é 7 quando os o limite da função f(x) é 7 quando os valores de X tende a 4 pela esquerda valores de tende a 4 pela direita FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 22</p><p>! FIQUE ATENTO Após a análise dos limites laterais acima podemos concluir que limite da função f(x) quando X tente a 4 é 7 e representamos por: ou limx +3=7 x-4 x-4 2.2 DEFINIÇÃO FORMAL DE LIMITE Dada uma determinada função f(x), se aproximarmos os valores de X indefini- damente de um número "a", seja pelo lado esquerdo ou pelo lado direito de X (o que denominamos de limites laterais), e valores de f(x) se aproximar de uma determi- nado valor "L", podemos afirmar que limite de f(x) quando X tente a "a" é igual a "L" e representamos por: FIQUE ATENTO y f(x) Quando calculamos o limite de f(x) quando X L tende para um determinadao número "a", não estamos preocupados com valor da função quando X = a, e sim no comportamento da função quando X se aproxima de "a". 0 a Exemplo: Considere uma função f: R R definida por: f(x) = (1 - 4 para para X X # = 2 2 Vamos analisar comportamento dessa função, ou seja, verificar o limite dessa função à medida que os valores de X se aproxima de 2. Observe gráfico da figura abaixo: FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 23</p><p>Figura 15: Gráfico da função y 3 2 1 1 3 0 2 3 1 -4 Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) Analisando o gráfico da função podemos observar que à medida que X se aproxima de 2 pela esquerda, a função se aproxima do valor 0 Analogamente, à medida que X se aproxima de 2 pela direita, a função tam- bém se aproxima do valor 0 (zero). lim x-2+ Então, podemos dizer que lim f(x) x-2 Observe também que o valor da função em ou seja, f(2) = 1. FIQUE ATENTO x-2+ FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 24</p><p>A afirmação acima reforça nosso interesse pelo comportamento da função para valores próximos de 2 e não quando X 2.3 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES Para termos um compreendimento efetivo acerca de continuidade de uma função, devemos recorrer à análise do seu gráfico. Se no gráfico for encontrado al- guma interrupção ou salto em um determinado ponto, dizemos que houve uma des- continuidade neste ponto. Para ilustrar e formalizar esse conceito, analisaremos os gráficos de algumas funções. Veja: Figura 16: Gráfico da função quadrática (esquerda)e hiperbólica (direita) 1 Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) Para a função f(x) = temos a parábola como gráfico e, para todo valor de X do seu domínio encontramos uma imagem para ele. Ou seja, o limite sempre existe quando X tende para "a" e seu valor é igual ao valor da função em "a". FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 25</p><p>Para a função se for calculado seu limite quando X tende a 0 (zero) pela esquerda encontraremos -00, e se for calculado seu limite quando X tende a 0 (zero) pela direita encontraremos +00. Ocorre daí uma descontinuidade no gráfico. lim e x-0- Concluímos então, pela análise do gráfico, que a primeira função é contínua e a segunda, por apresentar uma interrupção em seu gráfico, é A for- malização do conceito de função contínua se dá pela seguinte definição: FIQUE ATENTO Uma função f(x) é considerada contínua em um dado ponto "a" se as condições abaixo forem satisfeitas: i) existe f(a) ii) existe lim f(x) x-a Portanto se algumas das condições acima não for comtemplada a função será Exemplo: Seja função: a Observe, por meio do gráfico, que f(2) = 2 e desta forma a primeira condição foi contemplada. Mas, lim e lim x-2+ seja, temos limites laterais diferentes que nos permite constatar que não existe limite em que faz com que a segunda condição não seja comtemplada. Logo a função é FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 26</p><p>Figura 17: Gráfico da função 2 1 4 Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) BUSQUE POR MAIS Veja mais sobre assunto no livro de Thomas (2009). Disponível em em: Acesso em: 10 fev. 2020; Leia também livro "Cálculo" de Rogawski e Adams (2018). Disponível em: Acesso em: 10 fev. 2020; Por fim, de uma olhada na playlist "Curso Completo de Limites" do prof. Edson Bertosa em seu canal no Youtube. Disponível em: Acesso em Acesso em: 10 fev. 2020. FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 27</p><p>FIXANDO O CONTEÚDO 1. Analise comportamento do gráfico de uma determinada função f(x) matemá- tica e marque a alternativa correta. y 8 7 6 5 4 3 2 1 0 3 6 X limite de f(x) quando 8. a) Não existe limite de f(x) quando b) limite de f(x) quando X 6 pela direita é 7. c) limite de f(x) quando X 6 pela esquerda é 8. d) limite de f(x) quando X 6 é 7 2. Analise as afirmativas apresentadas acerca do gráfico abaixo. y f(x) C b f(x) 0 a X I. Existe limite de f(x) quando 2. II. limite de f(x) quando X - 1 é 2. III. limite de f(x) quando X 6 é 0. IV. limite de f(x) quando X 7 pela esquerda é 3. V. Existe limite de f(x) quando X 7 FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 28</p><p>As afirmativas corretas são: a) todas as afirmativas estão corretas. b) somente as afirmativas III e IV estão corretas. c) somente as afirmativas III e V estão corretas. d) somente as afirmativas IV e V estão corretas. e) todas as afirmativas estão erradas. 3. Analise as afirmativas apresentadas acerca do gráfico abaixo. y 5 3 2 1 -2 0 1 4 6 7 X -2 I. Existe limite de f(x) quando X - 2. II. limite de f(x) quando X - 1 é 2. III. limite de f(x) quando X 6 é 0. IV. limite de f(x) quando X 7 pela direita é 3. V. Existe limite de f(x) quando X 7. Assinale a alternativa correta. a) todas as afirmativas estão corretas. b) somente as afirmativas III e IV estão corretas. c) somente as afirmativas III e V estão corretas. d) somente as afirmativas IV e V corretas. e) todas as afirmativas estão erradas. FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 29</p><p>4. Analise as afirmativas apresentadas acerca do gráfico abaixo. y 3 f(x) -2 0 2 4 7 X -2 -4 -6 I. limite de f(x) quando II. limite de f(x) quando III. limite de f(x) IV. limite de f(x) quando 0. V. limite de f(x) Assinale a alternativa correta. a) todas as afirmativas estão corretas. b) somente as afirmativas II e VI estão corretas. c) somente as afirmativas III e V estão corretas. d) somente as afirmativas IV e VI estão corretas. e) todas as afirmativas estão erradas. 5. Analise as afirmativas acerca da função I. A função é descontínua II. A função é descontínua para III. A função é contínua para Assinale a alternativa correta: a) Todas as afirmativas estão corretas. b) Nenhuma afirmativa está correta. FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 30</p><p>c) Somente a afirmativa e estão corretas. d) Somente a afirmativa e III estão corretas. e) Somente a afirmativa e III estão corretas. 6. Analise as afirmativas acerca da função I. A função é contínua II. A função é descontínua para III. A função é descontínua para X = 2. IV. A função é contínua para X = 5. Assinale a alternativa correta: a) Somente as afirmativas e estão corretas. b) Somente as afirmativas e III estão corretas. c) Somente as afirmativas e IV estão corretas. d) Somente as afirmativas III e IV estão corretas. e) Todas as afirmativas são falsas. 7. Analise as afirmativas acerca da função 1 I. A função sempre será II. A função nunca será III. A função é contínua para 1. IV. A função é descontínua para 1. Assinale a alternativa correta: FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 31</p><p>a) Somente as afirmativas e estão corretas. b) Somente as afirmativas e III estão corretas. c) Somente as afirmativas I e IV estão corretas. d) Somente as afirmativas III e IV estão corretas. e) Todas as afirmativas são falsas. 8. Dada a função = -k,sex=1 valor de k para que essa função seja con- tínua em é: FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 32</p><p>PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS UNIDADE LIMITES 03 Para iniciarmos os estudos das propriedades dos limites, vamos considerar duas f(x) e g(x) tais que: C uma constante real (2) x-a x-a 3.1 LIMITE DE UMA FUNÇÃO CONSTANTE O limite de uma função constante (3) é a própria constante: = x-a (3) Exemplo: lim 10 x-1 3.2 LIMITE DA SOMA DE DUAS FUNÇÕES limite da soma (4) de duas funções é a soma dos seus limites: (4) Exemplo: x-1 x-1 x-1 FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 33</p><p>3.3 LIMITE DA DIFERENÇA DE DUAS FUNÇÕES O limite da diferença (5) de duas funções é a diferença dos seus limites: = = (5) Exemplo: lim 3x - 4 = lim 3x - lim 4 x-1 x-1 x-1 3.4 LIMITE DO PRODUTO DE DUAS FUNÇÕES O limite do produto de duas funções (6) é produto dos seus limites: (6) 3.5 LIMITE DO QUOCIENTE DE DUAS FUNÇÕES O limite do quociente de duas funções (7) é quociente dos seus limites: limf(x) (7) Exemplo: 2 lim x-0 = x-02x-3 3 x-0 3.6 LIMITE DA POTÊNCIA DE UMA FUNÇÃO limite da potência de uma função (8) é a potência do seu limite: = (8) x-a Exemplo: 3.7 LIMITE DA RAIZ DE UMA FUNÇÃO FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 34</p><p>O limite da raiz de uma função (9) é a raiz do seu limite: e n (9) Exemplo: lim = x-1 3.8 LIMITE DO LOGARITMO DE UMA FUNÇÃO O limite do logaritmo de uma função (10) é o logaritmo do seu limite: = # 1 (10) 3.9 LIMITE DA FUNÇÃO POLINOMIAL O limite do logaritmo de uma função é logaritmo do seu limite: (11) x-1 3.10 LIMITES INFINITOS E LIMITES NO INFINITO Nesta seção iremos explorar conceito de limites infinitos de funções quando X tende para infinito positivo ou negativo ou quando X tende a 0 (zero). 1) Limite de f(x) quando +00. Vamos tentar entender este caso por meio da função cujo gráfico está representado na próxima página. Figura 18: Gráfico do limite de f(x) quando FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 35</p><p>Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) Analisando gráfico, podemos observar que, quando X tende a +00, valor de f(x) se aproxima cada vez mais de 0 (zero). Dessa forma temos: 1 = 0 Por outro lado, analisando o gráfico, podemos observar que, quando X tende a valor de f(x) se aproxima cada vez mais de 0 (zero). Dessa forma temos: 1 2) Limite de f(x) quando Vamos tentar entender este caso por meio da função cujo gráfico está representado na próxima página. Figura 19: Gráfico do limite de f(x) quando Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) Analisando gráfico, podemos observar que, quando X tende a 0+ (tende a 0 FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 36</p><p>pela direita), valor de f(x) se aproxima cada vez mais de 0 (zero). Dessa forma te- mos: 1 Por outro lado, analisando gráfico, podemos observar que, quando X tende a 0 (tende a 0 pela esquerda), valor de f(x) se aproxima cada vez mais de 0 (zero). Dessa forma temos: 1 ! FIQUE ATENTO Resumo: ii) lim k = +00 k = -00 3.11 LIMITES DE FUNÇÕES POLINOMIAIS QUANDO +00. Seja dada uma função polinomial definida por Assim teremos que (12): (12) Ou seja: lim = lim Exemplos: a) lim - x3 FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 37</p><p>b) - - c) = = d) e) lim = lim ! FIQUE ATENTO Sejam dados dois polinômios a saber: Po + 90 1° caso) Grau P(x) ou seja, t>s 2° caso) Grau P(x) ou seja, 3° caso) Grau seja, Q BUSQUE POR MAIS Veja mais sobre o assunto no livro "`Cálculo" de Thomas (2009). Disponível em em: Acesso em: 12 fev. 2020; Leia também livro "Cálculo" de Rogawski e Adams (2018). Disponível em: Acesso em: 12 fev. 2020; Por fim, de uma olhada na playlist "Curso Completo de Limites" do prof. Edson Bertosa em seu canal no Youtube. Disponível em: https://bit.ly/2VSbmJC. Acesso em Acesso em: 12 fev. 2020. FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 38</p><p>FIXANDO O CONTEÚDO 1. Analise o limite abaixo. 7x3 lim 4x + 3x2 resultado desse limite é: a) 7/3 b) 0 c) +00 d) -00 e) 2. Analise o limite abaixo. lim 6x4 - resultado desse limite é: a) 6/4 b) 0 c) +00 d) -00 e) -6 3. Analise limite abaixo. lim - resultado desse limite é: a) 2 FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 39</p><p>b) 0 c) +00 d) -00 e) 4 4. Analise limite abaixo. lim resultado desse limite é: a) 1 b) 0 c) +00 d) -00 5. Analise limite abaixo. Então resultado lim f (x) é: x-3 a) 5 b) 0 c) +00 d) -00 e) 11 6. Analise limite abaixo. x-3 FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 40</p><p>Então resultado lim f (x) é: x-3 a) 0 b) 2 c) +00 d) -00 e) 3 7. Analise limite abaixo. x2-1 lim - resultado desse limite é: (sugestão: fatore numerador antes de calcular limite) a) 0 b) 2 c) +00 d) -00 e) 1 8. Analise limite abaixo. resultado desse limite é: (sugestão: fatore numerador antes de calcular limite) a) 0 b) 2 c) 5 d) -5 e) 1 FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 41</p><p>DERIVADAS UNIDADE 4.1 INTRODUÇÃO 04 Por volta dos séculos XVII e XVIII apareceu, por meio de problemas de Física acerca dos estudos dos movimentos, conceito do que conhecemos hoje por deri- vada de uma função. Dentre os estudiosos que mais se destacaram neste assunto foram Newton (1642-1727), Leibniz (1646-1716) e Lagrange (1736 - 1813). A primeiras conjecturas trabalhadas dentro da Física foram, de maneira lenta, introduzidas pos- teriormente em outras ciências. A ideia de taxa de variação que estudo das derivadas nos traz, auxilia na observação do comportamento de funções matemáticas assim como, a determina- ção de seus valores críticos (máximo, mínimos e inflexão). 4.2 TAXA DE VARIAÇÃO Iniciando nossos estudos de forma intuitiva, vamos fazer um tratamento gráfico do assunto. Tomemos uma função f(x) e e X1 dois valores pertencentes ao seu domínio. Dessa forma, segundo estudos anteriores, sabemos que e f(x1) são imagens dos valores considerados. Tal função está representada na figura abaixo. Figura 20: Taxa de variação média y f(x1) Af Taxa de variação média Ay Af = = Ax Ax Ax X X1 Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 42</p><p>A TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA mede a velocidade ou ritmo em que os valores da imagem variam em relação aos valores do domínio. Exemplo: Vamos considerar espaço percorrido (S em metros) de uma partícula em um determinado tempo (t em segundos). Sendo t a variável independente e S a variável dependente temos que espaço percorrido em função do tempo pode ser expresso por S(t) e iremos denominar de função horária. Tais informações estão representadas no gráfico abaixo. Figura 21: Gráfico da taxa de variação média S S(t1) AS S(to) At T to t1 Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) Observe que, entre os instantes de tempo partícula possui desloca- mento de e S(t1). Logo, a variação média (velocidade média) dentro do inter- valo de tempo é dada por: 4.3 VISÃO GRÁFICA DA DERIVADA Como já sabemos, a declividade de uma reta, ou seja, sua inclinação pode ser obtida da seguinte forma: FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 43</p><p>Dado dois pontos e de uma reta teremos a relação (9), mos- trada no gráfico a seguir: Ay = tg a = coeficiente angular (13) Ax Figura 22: Gráfico da reta y x 0 X1 X2 Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) Uma reta, ao tangenciar a curva de uma função em um determinado ponto possui uma dada inclinação cujo valor é valor da derivada da função no ponto X0 e representamos essa derivada por f' Figura 23: Gráfico da reta tangente y t f(xg) a 0 Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) Tal derivada pode ser obtida por meio da relação (14): (14) FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 44</p><p>Esse limite foi aplicado para podermos transformar uma reta secante à curva da função em uma reta tangente à mesma. Obtemos então: Figura 24: Gráfico da reta secante y f(x1) Af f(xo) Ax Fonte: Elaborado pelo Autor (2020) lim = lim = lim f(x1) Ax - ! FIQUE ATENTO Para encontrarmos a derivada em um ponto basta calcular: f(x) - Função Derivada lim Exemplos: 1) Determinar a derivada ponto de abscissa Aplicando a definição dada de derivada teremos: FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 45</p><p>3(x+2)(x-2) f'(2) = 12 x-2 número 12 é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função f(x) = 3x2 = no ponto de abscissa 2. 2) Determinar a derivada da função 2x no ponto de abscissa = = 36-12=24 Aplicando a definição dada de derivada teremos: 24 2x - x-6 x-6 X - 6 = X + 4 = 10 número 10 é coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função - 2x no ponto de abscissa 6. Q BUSQUE POR MAIS Veja mais sobre o assunto no livro de Thomas (2009). Disponível em em: Acesso em: 14 fev. 2020; Leia também o livro "Cálculo" de Rogawski e Adams (2018). Disponível em: Acesso em: 14 fev. 2020; Por fim, assista vídeo "Derivada - Definição e Cálculo" do Prof. Paulo Pereira para aprofundar ainda mais seus conhecimentos. Disponível em: https://bit.ly/33Rxk3T. Acesso em Acesso em: 14 fev. 2020. FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 46</p><p>FIXANDO O CONTEÚDO 1. Ao calcularmos a derivada da função (pela definição) en- contramos como resultado: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 2. Ao calcularmos a derivada da função (pela definição) encontramos como resultado: b) 5 c) 0 3. Ao calcularmos a derivada da função f(x) = (pela definição) para encon- tramos como resultado: a) 2 b) 0 c) d) 3 4. Ao calcularmos a derivada a função = (pela definição) en- contramos como resultado: a) 1 b) 5 FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 47</p><p>c) 4 d) -5 5. resultado de lim f(x+h)-f(x) para h-0 h a) 3 b) 0 c) +00 d) -00 6. resultado de lim f(x+h)-f(x) para f(x) = h-0 h d) 1 e) 0 7. A derivada da função (pela definição) = é: a) 1/x2 b) 1/x c) e) 0 8. A derivada da função (pela definição) a)x2 c) x/3 FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 48</p><p>d) 2 e) 0 FACULDADE FACULDADE Prominas UNICA 49</p>