Dinâmica de Colisões e Impactos

Prévia do material em texto

<p>13.134 Dois nadadores A e B, de massas 75 kg e 50 kg, respectivamente, mergulham da extremidade de um bote de</p><p>250 kg. Cada nadador mergulha de tal modo que sua velocidade horizontal relativa ao barco é 4 m/s. Se o bote está</p><p>inicialmente em repouso, determinar sua velocidade final, supondo-se que (a) ambos nadadores saltam</p><p>simultaneamente, (b) o nadador A salta primeiro e (c) o nadador B é o primeiro a saltar.</p><p>(a) Nadadores mergulham simultaneamente</p><p>𝑚𝐴 = 75 𝑘𝑔 , 𝑚𝐵 = 50 𝑘𝑔, 𝑚𝐶 = 250 𝑘𝑔</p><p>+ → 0 = 𝑚𝐶𝑣𝐶 + (𝑚𝐴 + 𝑚𝐵)𝑣2</p><p>(1)</p><p>A velocidade dos nadadores com relação ao barco é 4 m/s</p><p>𝑣2−𝑣𝐶= 4 Τ𝑚 𝑠 → 𝑣2= 𝑣𝐶 + 4</p><p>Substituindo em (1)</p><p>0 = 𝑚𝐶𝑣𝐶 + (𝑚𝐴 + 𝑚𝐵) (𝑣𝐶+4)</p><p>𝑣𝐶 =</p><p>−4(𝑚𝐴 + 𝑚𝐵)</p><p>(𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 + 𝑚𝐶)</p><p>=</p><p>−4(75 + 50)</p><p>(75 + 50 + 250) 𝑣𝐶 = 1,333 Τ𝑚 𝑠 ←</p><p>𝑣𝐶 = −1,333 Τ𝑚 𝑠</p><p>Da conservação da quantidade de movimento</p><p>(b) Se A mergulha primeiro e depois B</p><p>+→ 0 = (𝑚𝐶+𝑚𝐵)𝑣𝐶2 + (𝑚𝐴)𝑣2 (2)</p><p>A velocidade dos nadadores com relação ao barco é 4 m/s</p><p>𝑣2−𝑣𝐶2= 4 Τ𝑚 𝑠 → 𝑣2= 𝑣𝐶2 + 4</p><p>Substituindo em (2)</p><p>0 = (𝑚𝐶 + 𝑚𝐵) 𝑣𝐶2 + 𝑚𝐴(𝑣𝐶2+4)</p><p>𝑣𝐶2 =</p><p>−4𝑚𝐴</p><p>(𝑚𝐴+𝑚𝐵+𝑚𝐶)</p><p>(3)</p><p>Barco C e nadador B</p><p>+→ (𝑚𝐶+𝑚𝐵)𝑣𝐶2 = 𝑚𝑐𝑣𝑐3 + 𝑚𝐵𝑣3 (4)</p><p>A velocidade dos nadadores com relação ao barco é 4 m/s</p><p>𝑣3−𝑣𝐶3= 4 Τ𝑚 𝑠 → 𝑣3= 𝑣𝐶3 + 4</p><p>Substituindo em (4)</p><p>(𝑚𝐶+ 𝑚𝐵) 𝑣𝐶2 = 𝑚𝑐𝑣𝐶3 + 𝑚𝐵(𝑣𝐶3 + 4)</p><p>Substituindo 𝑣𝐶2 𝑑𝑒 (3)</p><p>(𝑚𝐶+ 𝑚𝐵)</p><p>−4𝑚𝐴</p><p>(𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 + 𝑚𝐶)</p><p>= 𝑚𝑐𝑣𝐶3 + 𝑚𝐵(𝑣𝐶3 + 4)</p><p>−4𝑚𝐴 (𝑚𝐶+ 𝑚𝐵)</p><p>(𝑚𝐴+𝑚𝐵+𝑚𝐶)</p><p>− 4𝑚𝐵 = (𝑚𝑐+𝑚𝐵)𝑣𝐶3 → 𝑣𝐶3=</p><p>−4𝑚𝐴</p><p>𝑚𝐴+𝑚𝐵+𝑚𝐶</p><p>−</p><p>4𝑚𝐵</p><p>(𝑚𝑐+𝑚𝐵)</p><p>(5)</p><p>𝑣𝐶3= −1,467 𝑚/𝑠 = 1,467 m/s ←</p><p>(c) Nadador B mergulha primeiro e depois o nadador A mergulha</p><p>𝑣𝐶3=</p><p>−4𝑚𝐵</p><p>𝑚𝐴+𝑚𝐵+𝑚𝐶</p><p>−</p><p>4𝑚𝐴</p><p>(𝑚𝑐+𝑚𝐴)</p><p>(6)</p><p>𝑣𝐶3= −1,456 𝑚/𝑠 = 1,456m/s ←</p><p>Solução semelhante à (b) trocando 𝑚𝐴 por 𝑚𝐵</p><p>𝑣𝐶3=</p><p>−4(50)</p><p>75 + 50 + 250</p><p>−</p><p>4(75)</p><p>(250 + 75)</p><p>13.169 Deseja-se introduzir no solo uma estaca de 200 kg até que a sua resistência à sua penetração seja de 100 kN.</p><p>Cada pancada do cilindro do bate-estacas decorre de uma queda livre de 1,2 m. Determine quanto a estaca penetrará</p><p>no solo, devido a uma única pancada, supondo-se que com essa única pancada se atinja a resistência de 100 kN.</p><p>Considere que a massa do cilindro é 750 kg e que cada pancada é perfeitamente plástica</p><p>𝑇 + 𝑉 = cte ⇒ 0 + mg 1,2 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣𝑚</p><p>2</p><p>Fase- I Martelo cai de 1,2 m</p><p>𝑣𝑚</p><p>2 =</p><p>2mg 1,2</p><p>𝑚</p><p>⇒ 𝑣𝑚 = 2,4𝑔</p><p>𝑣𝑚 = 4,852 𝑚/𝑠</p><p>𝑚𝑚𝑣𝑚 +𝑚𝑒 𝑣𝑒 = (𝑚𝑚+𝑚𝑒)𝑣′</p><p>Fase- II Choque (e=0)</p><p>750𝑥4,852 + 200𝑥0 = (750 + 200)𝑣′</p><p>𝑣′ = 3,831 𝑚/𝑠</p><p>(𝑚𝑚+𝑚𝑒)𝑣′</p><p>𝑚𝑚𝑣𝑚</p><p>Do princípio da conservação de energia</p><p>Fase- III Martelo e estaca se movem contra a resistência do solo</p><p>𝑷𝒎 = 𝒎𝒎𝒈</p><p>𝑷𝑒 = 𝑚𝑒g</p><p>𝑹 = 𝟏𝟎𝟎 𝒌𝑵</p><p>𝑋 distância que a estaca se move por batida</p><p>𝑇1 + 𝑈1 = 𝑇2</p><p>1</p><p>2</p><p>(950)3,8312 + 950𝑔 − 100000 X=0</p><p>1</p><p>2</p><p>(𝑚𝑚 + 𝑚𝑒)𝑣′2</p><p>+ 𝑚𝑚 + 𝑚𝑒 𝑔 − 𝑅 X=0</p><p>𝑋 = 0,0769 𝑚</p><p>𝑋 = 76,9 𝑚𝑚</p><p>Do princípio do trabalho e energia</p><p>113.165 Uma esfera A de 2 kg parte do repouso na posição 𝜃𝐴 = 600 e colide com um bloco B de 2,5 kg que está em</p><p>repouso. Após o impacto A se imobiliza e B se desloca de 1,5 m atingir o repouso. Determine (a) o coeficiente de</p><p>restituição entre a esfera e o bloco e (b) o coeficiente de atrito cinemático entre o bloco e o solo.</p><p>Fase I T+V=cte</p><p>600</p><p>𝑇1 + 𝑉1 = 𝑇2 + 𝑉2</p><p>T = energia cinética</p><p>V= energia potencial</p><p>0−𝑚𝐴𝑔 1,2 𝑐𝑜𝑠60 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝐴𝑣𝐴</p><p>2 − 𝑚𝐴𝑔 1,2</p><p>𝑣𝐴</p><p>2 = 2 1,2 𝑔(1 − 𝑐𝑜𝑠600)= 11,772</p><p>𝑣𝐴 = 3,431 𝑚/𝑠</p><p>𝐴</p><p>𝐴</p><p>𝑚𝐵𝑣𝐵</p><p>′</p><p>𝑚𝐵𝑣𝐵 = 0 𝑚𝐴𝑣𝐴</p><p>′ = 0</p><p>=</p><p>𝑚𝐴𝑣𝐴</p><p>+</p><p>Fase II Impacto</p><p>0 + 𝑚𝐴𝑣𝐴 = 𝑚𝐵𝑣𝐵</p><p>′</p><p>𝑣𝐵</p><p>′ =</p><p>𝑚𝐴</p><p>𝑚𝐵</p><p>𝑣𝐴 =</p><p>2</p><p>2,5</p><p>(3,431)</p><p>𝑣𝐵</p><p>′ = 2,745 𝑚/𝑠</p><p>𝑒 =</p><p>𝑣𝐵</p><p>′ − 𝑣𝐴</p><p>′</p><p>𝑣𝐴 − 𝑣𝐵</p><p>=</p><p>2,745</p><p>3,431</p><p>𝑒 = 0,80</p><p>Fase III Bloco desliza na superfície horizontal</p><p>B</p><p>𝑃𝐵</p><p>𝑁F</p><p>𝐹 = 𝜇𝑁 = 𝜇𝑚𝐵𝑔</p><p>B</p><p>𝑁</p><p>F</p><p>B</p><p>𝑁</p><p>F</p><p>𝑑</p><p>12</p><p>Do principio do trabalho e energia</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝐵𝑣𝐵′</p><p>2 − 𝐹𝑑 = 0</p><p>𝑇1 + 𝑈1−2 = 𝑇2</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝐵2,752 − 𝜇𝑚𝐵𝑔(1,5) = 0</p><p>𝜇 =</p><p>1</p><p>2𝑔(1,5)</p><p>2,752 = 0,26 𝜇 = 0,26</p><p>Dois carros idênticos A e B estão em repouso em um pátio portuário de carga com os freios livres. Um carro C, de</p><p>estilo um pouco diferente, mas de mesma massa, foi empurrado por estivadores e bate no carro B com uma</p><p>velocidade de 1,5 m/s. Sabendo que o coeficiente de restituição é de 0,8 entre B e C e de 0,5 entre A e B, determine a</p><p>velocidade de cada carro após a ocorrência de todas colisões.</p><p>𝑚𝐴 = 𝑚𝐵 = 𝑚𝐶</p><p>COLISÃO ENTRE O CARRO C E B</p><p>A quantidade de movimento é conservada</p><p>𝑚𝑣𝐵 + 𝑚𝑣𝐶 = 𝑚𝑣𝐵</p><p>′ + 𝑚𝑣𝐶</p><p>′ ⟹ 𝑣𝐵</p><p>′ +𝑣𝐶</p><p>′ = 1,5 (1)</p><p>𝑣𝐵</p><p>′ − 𝑣𝐶</p><p>′ = 𝑒 𝑣𝐶 − 𝑣𝐵 = 0,8 1,5 ⟹ 𝑣𝐵</p><p>′ −𝑣𝐶</p><p>′ = 1,2 (2)</p><p>De 1 𝑒 2 𝑣𝐵</p><p>′ = 1,35 Τ𝑚 𝑠 𝑒 𝑣𝐶</p><p>′ = 0,15 𝑚/𝑠</p><p>𝑣𝐵</p><p>′ = 1,35 Τ𝑚 𝑠 ←</p><p>𝑣𝐶</p><p>′ = 0,15 Τ𝑚 𝑠 ←</p><p>Como 𝑣𝐵</p><p>′ > 𝑣𝐶</p><p>′ , 𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 𝐵 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚 𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 𝐴</p><p>COLISÃO ENTRE O CARRO A E B</p><p>A quantidade de movimento é conservada</p><p>𝑚𝑣𝐵</p><p>′ + 𝑚𝑣𝐴 = 𝑚𝑣𝐴</p><p>′ + 𝑚𝑣𝐵</p><p>" ⟹ 𝑣𝐴</p><p>′ +𝑣𝐵</p><p>" = 1,35 (3)</p><p>𝑣𝐴</p><p>′ − 𝑣𝐵</p><p>" = 𝑒 𝑣𝐵</p><p>′ − 𝑣𝐴 = 0,5 1,35 ⟹ 𝑣𝐴</p><p>′ −𝑣𝐵</p><p>" = 0,675 (4)</p><p>De 3 𝑒 4 𝑣𝐴</p><p>′ = 1,0125 Τ𝑚 𝑠 𝑒 𝑣𝐵</p><p>" = 0,3375 𝑚/𝑠</p><p>𝑣𝐵</p><p>" = 0,3375 Τ𝑚 𝑠 ←</p><p>𝑣𝐴</p><p>′ = 1,0125 Τ𝑚 𝑠 ←</p><p>Como 𝑣𝐶</p><p>′ < 𝑣𝐵</p><p>" < 𝑣𝐴, não há mais colisões.</p><p>Slide 1</p><p>Slide 2</p><p>Slide 3</p><p>Slide 4</p><p>Slide 5</p><p>Slide 6</p><p>Slide 7</p><p>Slide 8</p><p>Slide 9</p><p>Slide 10</p><p>Slide 11</p><p>Slide 12</p><p>Slide 13</p><p>Slide 14</p>