unidade 2 - oscilações

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<p>Oscilações</p><p>Prof. Fabiano Wolf</p><p>Por que estudar oscilações?</p><p>www.youtube.com/watch?v=xqELmBNyWfU</p><p>http://www.youtube.com/watch?v=xqELmBNyWfU</p><p>Movimento oscilatório</p><p>É todo movimento repetitivo de um lado para outro, em torno de uma</p><p>posição de equilíbrio. Oscilatório é também periódico!</p><p>Se o sistema mecânico é movido por uma força restauradora</p><p>proporcional ao deslocamento: movimento harmônico simples</p><p>(MHS)</p><p>3</p><p>4</p><p>𝐹𝑥 = −𝑘∆𝑥Lei de Hooke</p><p>5</p><p>Cinemática do MHS</p><p>Qual seria a aceleração desse movimento?</p><p>6</p><p>Cinemática do MHS</p><p>Percebemos que o movimento lembra uma função cosseno. Será que</p><p>conseguimos mostrar?</p><p>𝑎𝑥 = −</p><p>𝑘</p><p>𝑚</p><p>𝑥</p><p>7</p><p>Cinemática do MHS</p><p>𝑥 𝑡 = 𝐴 cos 𝑤𝑡 + 𝜑</p><p>𝐴 ⇒ amplitude do movimento – xmax [m]</p><p>𝑤 ⇒ frequência angular [rad/s] – “velocidade das oscilações”</p><p>𝜑 ⇒ ângulo de fase inicial [rad]</p><p>8</p><p>Período e frequência</p><p>Período (T) é o intervalo de tempo necessário</p><p>para o corpo completar um ciclo completo.</p><p>Como determiná-lo?</p><p>Frequência (f) é o inverso do período:</p><p>𝑇 =</p><p>2 𝜋</p><p>𝑤</p><p>= [s]𝑥(𝑡1) = 𝑥(𝑡2)</p><p>𝑓 =</p><p>1</p><p>𝑇</p><p>= [1 Hz = 1 ciclo por segundo = 1 s-1]</p><p>Frequência angular (w):</p><p>𝑤 = 2 𝜋𝑓 = [rad/s]</p><p>9</p><p>FREQUÊNCIA, FREQUÊNCIA ANGULAR E PERÍODO NO MHS: A extremidade esquerda</p><p>de uma mola horizontal é mantida fixa. Ligamos um dinamômetro na extremidade livre da</p><p>mola e puxamos para a direita; verificamos que a força que estica a mola é proporcional ao</p><p>deslocamento e que uma força de 6,0 N produz um deslocamento igual a 0,030 m. A</p><p>seguir, removemos o dinamômetro e amarramos a extremidade livre a um corpo de 0,50</p><p>kg, o puxamos até uma distância de 0,020 m para a direita ao longo de um percurso sem</p><p>atrito e o liberamos do repouso. (a) Calcule a constante k da mola.</p><p>10</p><p>FREQUÊNCIA, FREQUÊNCIA ANGULAR E PERÍODO NO MHS: A extremidade esquerda</p><p>de uma mola horizontal é mantida fixa. Ligamos um dinamômetro na extremidade livre da</p><p>mola e puxamos para a direita; verificamos que a força que estica a mola é proporcional ao</p><p>deslocamento e que uma força de 6,0 N produz um deslocamento igual a 0,030 m. A</p><p>seguir, removemos o dinamômetro e amarramos a extremidade livre a um corpo de 0,50</p><p>kg, o puxamos até uma distância de 0,020 m para a direita ao longo de um percurso sem</p><p>atrito e o liberamos do repouso. (a) Calcule a constante k da mola. (b) Calcule a frequência</p><p>angular w, a frequência f e o período T da oscilação resultante.</p><p>11</p><p>Cuidado com os buracos! Um carro com massa de 1.300 kg é construído, de modo que</p><p>sua estrutura seja suportada por quatro molas. Cada mola tem constante de força de</p><p>20.000 N/m. Duas pessoas no carro têm massa combinada de 160 kg. Encontre a</p><p>frequência de vibração do carro depois que ele passa sobre um buraco na estrada.</p><p>Resposta: f = 1,18 Hz</p><p>12</p><p>Velocidade e aceleração do MHS</p><p>Quais seriam os valores máximos</p><p>para velocidade e aceleração?</p><p>𝑥 𝑡 = 𝐴 cos 𝑤𝑡 + 𝜑0</p><p>13</p><p>Determinação das constantes do</p><p>movimento w, A e 𝜑0</p><p>E se você acionar o</p><p>cronômetro neste momento?</p><p>Para entender melhor a influência dos parâmetros na dinâmica do</p><p>movimento é muito útil entender a conexão entre MHS e o movimento</p><p>circular!</p><p>14</p><p>Comparação entre MHS e MCU</p><p>O MCU projetado em uma</p><p>dimensão é um MHS!</p><p>15</p><p>Comparação entre MHS e MCU</p><p>16</p><p>Constante de fase 𝜑0</p><p>Para t = 0:</p><p>Valores diferentes da 𝜑0 correspondem a diferentes</p><p>pontos de partida no círculo e, portanto, a diferentes</p><p>condições iniciais!</p><p>17</p><p>18</p><p>19</p><p>20</p><p>Cálculo da constante de fase do MHS: Em t = 0, o deslocamento x(0) do bloco de um</p><p>oscilador linear como é -8,50 cm. [Leia x(0) como “x no instante zero”.] A velocidade v(0) do</p><p>bloco nesse instante é -0,920 m/s e a aceleração a(0) é +47,0 m/s2. (a) Determine a</p><p>frequência angular ω do sistema. (b) Determine a constante de fase φ0 e a amplitude A das</p><p>oscilações.</p><p>Resposta: φ0 = 155° A = 9,4 cm</p><p>21</p><p>Energia do oscilador (MHS)</p><p>Sistema massa-mola é um</p><p>sistema isolado</p><p>Energia cinética</p><p>Energia potencial</p><p>K =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑚𝑣2</p><p>Energia mecânica total se</p><p>conserva!</p><p>U =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑘𝑥2</p><p>E =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑘𝐴2</p><p>23</p><p>Energia do MHS: Um carrinho de 0,500 kg conectado a uma mola leve com constante de</p><p>força 20,0 N/m oscila em um trilho de ar horizontal, sem atrito. Ele é liberado em x = 3 cm</p><p>com velocidade inicial de v = -0,100 m/s. Qual é a amplitude e a velocidade máxima do</p><p>carrinho?</p><p>v = ±𝜔 𝐴2 − 𝑥2Pode-se mostrar que em qualquer posição arbitrária:</p><p>Pêndulo simples</p><p>24</p><p>https://phet.colorado.edu/sims/html/pendulum-lab/latest/pendulum-lab_all.html?locale=pt_BR</p><p>https://phet.colorado.edu/sims/html/pendulum-lab/latest/pendulum-lab_all.html?locale=pt_BR</p><p>Pêndulo simples</p><p>25</p><p>sen𝜃 ≅ 𝜃 (𝜃≤10°) Independem da massa!</p><p>Pêndulo simples</p><p>26</p><p>Pêndulo simples => Bom para marcar tempo e medições de g!</p><p>27</p><p>Ângulo máximo de um pêndulo: Uma massa de 300 g, pendurada por um barbante, scila</p><p>como um pêndulo. Ela tem velocidade de 0,25 m/s ao passar pelo ponto mais baixo da</p><p>oscilação. Que posição angular máxima o pêndulo atinge?</p><p>Resposta: 0,145 rad = 8,3°</p><p>Pêndulo Físico</p><p>28</p><p>Para distribuições de massa mais complicadas</p><p>chamamos de pêndulo físico</p><p>É possível mostrar que Segunda Lei de Newton</p><p>(σ 𝐹𝑡 = 𝑚𝑎𝑡) para o movimento rotacional</p><p>assume a forma (Mostre!):</p><p>෍ 𝝉 = 𝑰𝜶</p><p>Pêndulo Físico</p><p>29</p><p>𝜏 = −𝑚𝑔ℎ sen 𝜃</p><p>𝜏 = −𝑚𝑔ℎ𝜃</p><p>𝐼𝛼 = 𝐼</p><p>𝑑2𝜃</p><p>𝑑𝑡2</p><p>𝑑2𝜃</p><p>𝑑𝑡2</p><p>= −</p><p>𝑚𝑔ℎ𝜃</p><p>𝐼</p><p>෍ 𝝉 = 𝑰𝜶</p><p>Torque restaurador</p><p>Pêndulo Físico</p><p>30</p><p>Mesma solução que o</p><p>pêndulo simples!</p><p>Note que não há</p><p>oscilação se h = 0!</p><p>𝑑2𝜃</p><p>𝑑𝑡2</p><p>= −</p><p>𝑚𝑔ℎ𝜃</p><p>𝐼</p><p>𝜔 = 2𝜋𝑓 =</p><p>𝑚𝑔ℎ</p><p>𝐼</p><p>31</p><p>Pêndulo físico: Uma régua de um metro oscila, suspensa por uma das extremidades, que</p><p>fica a uma distância h do centro de massa da régua. (a) Qual é o período T das oscilações?</p><p>(b) Qual seria o pêndulo simples análogo de comprimento L0 (veja a figura abaixo)? Em</p><p>função dessa analogia, o ponto P da régua é chamado de centro de oscilação.</p><p>Oscilações amortecidas</p><p>32</p><p>Na prática, todas as oscilações são freadas por atrito (conversão de</p><p>energia mecânica em interna) => movimento é amortecido</p><p>Modelo de força de arrasto</p><p>𝑭𝒂 = −𝑏𝒗</p><p>Coeficiente de</p><p>amortecimento</p><p>(Para ar b ≤ 0,1 kg/s)</p><p>Oscilações amortecidas</p><p>33</p><p>Oscilações amortecidas</p><p>34</p><p>Energia de sistemas amortecidos</p><p>35</p><p>É útil definir a constante de tempo 𝜏 =</p><p>𝑚</p><p>𝑏</p><p>=</p><p>𝑘𝑔</p><p>𝑘𝑔/𝑠</p><p>= 𝑠</p><p>𝜏 é um tempo característico no qual a</p><p>energia da oscilação é dissipada</p><p>“tempo de vida”</p><p>36</p><p>Oscilações forçadas e ressonância</p><p>37</p><p>Frequência natural f0 => sistema oscilatório deixado livre</p><p>Oscilador fica sujeito a força externa e periódica: oscilação forçada</p><p>𝑓0 =</p><p>1</p><p>𝑇</p><p>=</p><p>1</p><p>2𝜋</p><p>𝑔</p><p>𝐿</p><p>Curva de ressonância</p><p>38</p><p>Note que f0 e fext são</p><p>independentes!</p><p>força externa periódica</p><p>de frequência fext</p><p>Frequência de</p><p>oscilação forçada</p><p>A resposta de grande</p><p>amplitude é conhecida como</p><p>ressonância, dada pela</p><p>condição fext = f0</p><p>39</p><p>Ressonância</p><p>Influência do amortecimento</p><p>40</p><p>Cristal tem b menor que vidro comum!</p><p>Referências bibliográficas</p><p>41</p><p>o HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl.</p><p>Fundamentos da Física 2: Gravitação, Ondas e Termodinâmica. 4.</p><p>ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1993.</p><p>o KNIGHT, Randall D. Física: Uma abordagem estratégica: Mecânica</p><p>Newtoniana, Gravitação, Oscilações e Ondas. 2. ed. Porto Alegre:</p><p>Bookman, 2009.</p><p>o SERWAY, Raymond A. Física 2: Movimento Ondulatório e</p><p>Termodinâmica. 3. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos,</p><p>1996.</p><p>Slide 1: Oscilações</p><p>Slide 2: Por que estudar oscilações?</p><p>Slide 3: Movimento oscilatório</p><p>Slide 4</p><p>Slide 5: Cinemática do MHS</p><p>Slide 6: Cinemática do MHS</p><p>Slide 7: Cinemática do MHS</p><p>Slide 8: Período e frequência</p><p>Slide 9</p><p>Slide 10</p><p>Slide 11</p><p>Slide 12: Velocidade e aceleração do MHS</p><p>Slide 13: Determinação das constantes do movimento w, A e 𝜑0</p><p>Slide 14: Comparação entre MHS e MCU</p><p>Slide 15: Comparação entre MHS e MCU</p><p>Slide 16: Constante de fase 𝜑0</p><p>Slide 17</p><p>Slide 18</p><p>Slide 19</p><p>Slide 20</p><p>Slide 21: Energia do oscilador (MHS)</p><p>Slide 22</p><p>Slide</p><p>23</p><p>Slide 24: Pêndulo simples</p><p>Slide 25: Pêndulo simples</p><p>Slide 26: Pêndulo simples</p><p>Slide 27</p><p>Slide 28: Pêndulo Físico</p><p>Slide 29: Pêndulo Físico</p><p>Slide 30: Pêndulo Físico</p><p>Slide 31</p><p>Slide 32: Oscilações amortecidas</p><p>Slide 33: Oscilações amortecidas</p><p>Slide 34: Oscilações amortecidas</p><p>Slide 35: Energia de sistemas amortecidos</p><p>Slide 36</p><p>Slide 37: Oscilações forçadas e ressonância</p><p>Slide 38: Curva de ressonância</p><p>Slide 39</p><p>Slide 40: Influência do amortecimento</p><p>Slide 41: Referências bibliográficas</p>