EB_Part2_Magnetortatica

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Novembro de 2012
Magnetostática e o Campo Eletromagnético Estático
Abstract
Magnetismo; força entre correntes; produção do campo magnético por cargas; lei de Biot-Savart; dipolo
magnético; movimento de uma carga no campo magnético; lei de Ampère, lei de Gauss.
Dirceu Portes
Centro Federal de Educação Tecnológica -CEFET/RJ
Contents
1 Interação magnética 1
1.1 Força entre correntes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 O Campo Magnético 4
2.1 Campo produzido por corrente: Biot-Sarvat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Força induzida pelo campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Dipolo Magnético 8
3.1 Torque sobre dipolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Lei de Ampère 12
5 Lei de Gauss 14
6 O campo eletromagnético estático 16
7 Problemas 16
7.1 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8 Apêndice A: Fluxo de um campo vetorial 21
9 Apêncidice B: Integral de linha 22
1 Interação magnética
A interação magnética pode ser observada nos corpos magnetizados, como nos imãs. Em um corpo
magnetizado sempre haverá dois pólos, os quais se convencionou chamar de pólo norte (N) e de
pólo sul (S). A interação entre tais pólos obedece a uma regra simples: pólos de mesma natureza se
repelem e pólos de natureza diferente se atraem. Nos imãs naturais a magnetização é espontânea
e permanente, mas não é só neles que se observa o fenômeno. Diversos outros minérios, como o
ferro, …cam magnetizados na presença de um imã e são atraídos pelo mesmo (é justamente isso que
acontece no imã de geladeira). Esse fenômeno já era conhecido por civilizações antigas, tanto que o
nome magnetismo vem de Magnésia, cidade antiga da Ásia Menor, onde o fenômeno foi observado
pelos gregos. O campo magnético da Terra é outra manifestação do magnetismo conhecida desde
a antiguidade. Acredita-se que os chineses tenham inventado a bússola há 4000 anos. Nos dias
de hoje, a interação magnética está presente em um número in…ndável de aplicações tecnológicas,
quase todos os aparelhos elétricos que usamos no dia a dia necessitam da interação magnética
para funcionar. Entendé-la, controlá-la e manipulá-la é uma conquista da humanidade.
Quando se inicia o estudo do magnetismo, o primeiro fato que intriga é a impossibilidade de
se isolar um dos pólos magnéticos. Não foram poucas as tentativas de se produzir ou descobrir
o monopolo magnético — uma espécie de imã com apenas com um dos pólos presente — , mas
nenhuma destas tentativas logrou êxito. Por conseguinte, as perguntas naturais são: O que produz
a interação magnética? Por que os corpos magnetizados apresentam sempre o dipolo N e S? Ainda
nesta seção iremos responder a essas perguntas.
1.1 Força entre correntes
A manifestação do magnetismo é uma conseqüência do movimento das cargas elétricas. Note
que a mesma carga elétrica que produz o campo elétrico também é responsável pelos fenômenos
magnéticos, porém o fenômeno magnético só ocorre com a carga em movimento. Ora, a corrente
elétrica é constituída pelo movimento de portadores de cargas, não é de se surpreender que exista
uma importante relação entre a corrente elétrica e a interação magnética.
1
Suponha dois …os condutores retilíneos e paralelos, de mesmo comprimento l, separados de
uma distância r, percorridos por correntes elétricas i1 e i2. O campo magnético gerado pelas
correntes resultara em uma força entres os condutores, dada por
~F1!2 = ��0i1i2
2�
l
r
r^1!2; (1)
sendo que �0 é a permissividade magnética no vácuo,
�0 = 4� � 10�7 m kg C�2:
Na eq.(1) adotamos a mesma notação já utilizada no estudo da eletrostática: ~F1!2 representa a
força que o …o de corrente i1 exerce sobre o …o de corrente i2, e o unitário r^1!2; que é perpendicular
aos …os, está orientado no sentido de i1 para i2. O sinal negativo na eq.(1) indica que a força será
atrativa quando as correntes tiverem o mesmo sentido, e repulsiva no caso contrário.
A interação entre as correntes elétricas, que pode ser comprovada experimentalmente em um
laboratório, é fundamental tanto do ponto de vista teórico quanto em aplicações práticas de
Engenharia. De forma esquematizada teremos:
corrente) força magnética) movimento mecânico
Tal esquema está presente em aparelhos que transformam energia elétrica em energia mecânica:
motor elétrico, ventilador, etc..
Contudo, aparentemente em uma primeira abordagem, a interação entre correntes elétricas
não possui nenhuma relação com a interação magnética entre os pólos N e S de um corpo magne-
tizado. De fato, existe uma relação entre os dois fenômenos, mais precisamente, são duas maneiras
diferentes de observar o mesmo fenômeno. A de…nição de pólos magnéticos surge de um circuito
fechado contido em um plano (espira). Qualquer espira divide o espaço em duas partes, os quais
vão corresponder aos dois pólos. Ou seja, a cada lado da espira associamos um dos pólos. A regra
da mão direita fornece a orientação S ! N do dipolo, o que permite determinar qual lado é N e
qual lado e S, veja …gura (1).
Estabelecida a noção de pólo magnético, vemos na …gura (2a) que aproximar espiras com
correntes de mesmo sentido equivale a aproximar os pólos de diferentes natureza, o que resulta
2
Figure 1: De…nição dos polos magnéticos
Figure 2: Interação entre espiras
em uma força atrativa. Em contrário, vemos na …gura (2b) que aproximar espiras com correntes
de sentidos opostos equivale a aproximar pólos de mesma natureza, o que resulta em uma força
repulsiva.
Agora deve ter …cado claro porque nunca se pode isolar um pólo magnético. A noção de pólos
magnéticos é abstrata, eles não correspondem a uma partícula ou a um ponto de…nido, pois não
"existe carga magnética".
Uma pergunta que poderia surgir é: onde está a corrente fechada em um imã? Resposta: na
órbita dos elétrons em torno do núcleo atômico. O movimento orbital dos elétrons não deixa de ser
uma corrente fechada. Por conseguinte, cada átomo pode ser visto como um minúsculo imã. Na
maioria dos materiais, a orientação do dipolo S ! N em cada átomo é aleatória produzindo uma
resultante global nula. Em um corpo magnetizado, ao contrário, existe um sentido privilegiado
e o efeito de cada átomo se soma produzindo uma resultante global diferente de zero, o corpo
torna-se, então, um gigantesco dipolo, perceptível macroscopicamente.
3
O fato de o campo magnético estar associado ao movimento da carga elétrica provoca di…cul-
dades conceituais, pois a noção de velocidade é relativa. Uma carga pode estar em repouso no
laboratório, mas estará em movimento em relação a outros referenciais. Essa discussão nos levaria
longe e não vamos fazer, porque fugiria aos objetivos do curso.
2 O Campo Magnético
2.1 Campo produzido por corrente: Biot-Sarvat
A interação magnética entre correntes elétricas é mediada pelo campo magnético, da mesma
forma que a interação eletrostática entre as cargas é mediada pelo campo elétrico. Desse modo,
um condutor elétrico atravessado por uma corrente elétrica produz um campo magnético em torno
de si. A lei de Biot-Savart — Jean-Baptiste Biot (1774 a 1862) e Félix Savart (1791 a 1841) —
determina que a relação entre uma corrente elétrica i estacionária e o campo magnético ~B(~r) por
ela gerado é dada por
~B(~r) =
�0i
4�
Z
C
d~l � r^
j~r � ~r0j2 ; (2)
na qual C é o caminho percorrido pela corrente i; ~r0 é a posição do elemento in…nitesimal d~l, e o
unitário r^ mantém a de…nição usual,
r^ =
~r � ~r0
j~r � ~r0j :
Como está se supondo que a corrente i não varia no tempo, o campo magnético também será
estacionário — magnetostática. A lei de Biot-Savart está para a magnetostática assim como a lei
de Coulomb está para a eletrostática.
A presença de um produto vetorial no integrando pode torna a eq.(2) trabalhosa de se resolver
para um circuito arbitrário, porém ela pode ser resolvida com relativa facilidade em alguns casosparticulares. Por exemplo, em um anel de raio a percorrido por uma corrente i, o campo magnético
para um ponto no eixo de simetria, distante z do centro do anel, é dado por
~B =
�0i
2
a2
�
z2 + a2
��3=2
k^; (3)
4
Figure 3: Campo magnético produzido por uma corrente retilínea
na qual k^ é o vetor unitário na direção do eixo de simetria, perpendicular ao plano que contém o
anel. Também se pode determinar o campo magnético produzido por uma corrente i em um …o
retilíneo muito longo de comprimento l. Para um ponto distante r do …o (r << l)), tem-se que
~B =
�0i
2�r
�^; (4)
onde �^ representa o vetor unitário axial ao condutor retilíneo — a direção é dita axial a um eixo
quando é tangente a uma circunferência centrada no referido eixo, veja …gura (??a). Vemos pela
…gura (3) que as linhas de campo magnético são circulares. Mesmo para sistemas mais complexos,
as linhas de campo magnético sempre irão descrever caminhos fechados, não necessáriamente
circunfêrencias. Essa é uma propriedade geral do campo magnético que decorre da inexistência de
cargas magnéticas para fazerem o papel de fontes e sorvedouros, como ocorre no campo elétrico.
Para se determinar o sentido de �^; que é o mesmo de ~B, usa-se a regra da mão direita: o polegar
da mão direita indicando o sentido da corrente, e os outros dedos dão o sentido das linhas de
campo magnético.
O fato da corrente elétrica produzir campo magnético é bastante signi…cativo. Não …camos lim-
itados a aplicações decorrentes do efeito Joule: chuveiro, ferro de passar roupa, lâmpada elétrica,
etc.. A interação magnética entre condutores percorridos por correntes abre possibilidades para
diversas outras aplicações.
5
2.2 Força induzida pelo campo magnético
O campo magnético induz uma força que atua exclusivamente sobre cargas em movimento. Por-
tanto, uma carga em repouso na presença de um campo magnético não sofre ação de força alguma
de origem magnética, porém, se a carga se movimentar, uma força induzida pelo campo magnético
atuará sobre a mesma. Tal força é dada por
~F = q~v � ~B; (5)
na qual ~B é o campo magnético atuando sobre uma carga q que se move com velocidade ~v.
Se, além do campo magnético, a carga também estiver na presença de um campo elétrico ela
irá sentir o efeito dos dois campos. Tem-se a força
~F = q
�
~E + ~v � ~B
�
; (6)
chamada de força de Lorentz para um campo eletromagnético.
O produto vetorial em (5) resulta em um vetor ortogonal, portanto a força magnética sempre
será perpendicular à ~v: Sabemos, pelo nosso conhecimento de Mecânica (pelo menos deveríamos
saber), que uma força normal à velocidade tem o efeito de mudar a sua direção sem mudar o seu
módulo, produz uma curva. A força centrípeta é a resultante de todas as forças normais e obedece
a relação
~Fcentr�{peta = m
v2
R
; : (7)
onde R é o raio da curvatura. Por conseguinte, uma partícula carregada sujeita apenas a ação do
campo magnético irá descrever trajetórias circulares sem alterar o módulo de sua velocidade. A
trajetória circular …ca restrita ao plano perpendicular ao campo magnético, enquanto que na di-
reção do campo a velocidade …ca inalterada. Esse movimento resulta em uma trajetória helicoidal,
…gura (??).
Em particular, quando ~v não tiver componente na direção ~B,
F = qvB:
Se ~B for uniforme, F também será e o movimento será circular uniforme com a força magnética
6
Figure 4: Trajetória helicoidal
correspondendo à força centrípeta. Por eq.(7),
qvB = m
v2
R
:
donde
R =
mv
qB
:
O campo magnético também induz força sobre os portadores de carga em uma corrente elétrica,
o que resulta em uma força sobre o …o condutor. Para um elemento in…nitesimal do condutor d~l
percorrido por uma corrente i, vale igualdade
i d~l = dq ~v; (8)
pois
i d~l =
dq
dt
d~l = dq
d~l
dt
= dq ~v:
Note que, na última equação, dq é carga em movimento contida no elemente d~l; e dt é o tempo
que essa carga leva para percorrer d~l. Note também que d~l está orientado na mesma direção e
sentido da corrente Substituindo eq.(8) em eq.(5), obtém-se a força atuando sobre o elemento d~l
d ~F = i d~l � ~B:
7
Sobre uma corrente que descreve um caminho C; a força resultante será obtida pela soma
(integral) de todas as contribuções d~F ;
~F = i
Z
C
d~l � ~B: (9)
Em particular, para um …o retilíneo de comprimento l sobre ação de um campo ~B uniforme ao
longo do …o; a integral simpli…ca-se para
~F = i ~l � ~B: (10)
Já foi visto que duas correntes retilíneas vão interagir com a força dada pela eq.(1). Essa força
também deve ser obtida por
~F1!2 = i2 ~l � ~B1;
onde ~B1 é o campo gerado por i1: Enfatizamos que uma corrente não interage com o campo
magnético que ela mesma gerou, interage com o campo magnético exterior a ela, gerado pela
outra corrente. Da eq.(4) resulta que
~F1!2 =
�0i1i2
2�r
~l � �^:
Como ~l � �^ = �r^1!2; recupera-se de imediato a eq.(1).
3 Dipolo Magnético
O dipolo magnético é constituído por um circuito fechado contido em um plano (espira), percorrido
por uma corrente. É um elemento fundamental no estudo do magnetismo que está presente em
diversos fenômenos da natureza e em diversos equipamentos: motores elétricos, eletroímãs, etc. Em
um simples átomo existe dipolo magnético, devido ao movimento dos elétrons em torno do núcleo.
A própria Terra também funciona como um gigantesco dipolo magnético, devido à existência de
correntes elétricas em seu núcleo.
A …gura (5) ilustra as linhas de força do campo magnético formado por um dipolo magnético.
Observe que no dipolo magnético não existem dois polos formados por cargas, como ocorre no
dipolo elétrico.
8
Figure 5: Dipolo Magnético
Para um dipolo magnético de…nimos o vetor momento de dipolo magnético ~� da seguinte
forma:
� módulo igual ao produto da corrente i pela área S delimitada pelo circuito, j~�j = iS;
� direção perpendicular ao plano que contém o circuito fechado;
� sentido determinado pela regra da mão direita.
Considere um circuito circular de raio a e corrente i no plano xy; teremos
~� = i�a2k^:
Substituindo a relação acima na equação (3), obteremos
~B =
�0
2�
�
r2 + a2
��3=2
~�
aplicando o limite a << r; teremos
~B =
�0
2�
~�
r3
: (11)
De forma mais geral, pode-se provar que, para os pontos distantes do centro do dipolo (r >> a),
o campo magnético será dado por
~B =
�0 cos �
2�
�
r3
r^ +
�0 sin �
4�
�
r3
�^; (12)
9
Lembramos que para o dipolo elétrico tinhamos
~E =
cos �
2�"0
p
r3
r^ +
sin �
4�"0
p
r3
�^ (13)
Compare as equação (12) e (13); vemos que são análogas com as substituição 1="0 ! �0 e
p! �: Isto signi…ca que, para pontos mais afastados, o campo produzido pelo dipolo magnético é
semelhante ao campo produzido pelo dipolo elétrico. Essa analogia não está restrita a equação (12);
em muitos aspectos, o dipolo magnético assemelha-se ao dipolo elétrico, veja quadro comparativo
ao …nal da próxima seção.
Interessante notar que o norte geográ…co da Terra é na realidade o sul magnético e vice-versa,
…gura (6). Na visão exterior de um dipolo magnético, norte é de onde partem as linhas de força,
assemelhando-se ao comportamento de uma carga elétrica positiva.
Figure 6: Campo Magnético da Terra
3.1 Torque sobre dipolos
Considere um dipolo elétrico ~p na presença de um campo elétrico uniforme ~E. Devido à interação
do campo com as cargas, duas forças de sentidos contrários irão atuar sobre o sistema, corre-
spondentes às duas cargas de sinal opostos. Estas forças de mesmo módulo e sentidos contrário
formarão um binário, o que tenderá a produzir uma rotação no dipolo. A grandeza mecânica que
10
produz rotação é o torque, ~� : Pode-se provar que
~� = ~p� ~E: (14)
O produto vetorial será nulo quando os vetores ~p e ~E estiverem na mesma direção, portanto um
dipolo elétrico tende a alinhar-se com o campo elétrico externo.
Resultado semelhante é obtido para o dipolo magnético
~� = ~�� ~B: (15)
De forma análoga o dipolo magnético tende a alinhar-se com o campo magnético externo.
A equação(15) possui diversas aplicações práticas: por exemplo no funcionamento de um
amperímetro, …gura (7).
As equações (14) e (15) novamente apresentam um paralelismo entre o dipolo elétrico e o dipolo
magnético. Para resumir e facilitar o entendimento deste paralelismo, veja a tabela a seguir.
Dipolo elétrico Dipolo magnético
momento de dipolo ~p momento de dipolo ~�
j~pj = 2aq j~�j = iS
carga positiva e carga negativa polo norte e polo sul
sentido de ~p : negativo para o positivo sentido de ~� : sul para o norte
~E = cos �2�"0
p
r3 r^ +
sin �
4�"0
p
r3 �^
~B = �0 cos �2�
�
r3 r^ +
�0 sin �
4�
�
r3 �^
~� = ~p� ~E ~� = ~�� ~B
11
Figure 7: Amperímetro
4 Lei de Ampère
No estudo da eletrostática vimos que a integral de linha do campo elétrico estava associada ao po-
tencial elétrico. Tal associação só foi possível de ser feita porque o campo elétrico era conservativo,
isto é, I
C
~E � d~l = 0:
O campo magnético não é conservativo, portanto não podemos associar a ele um potencial, daí
não falarmos aqui em “potencial magnético”. Tem-se que
I
C
~B � d~l 6= 0:
A lei de Ampère está justamente associada ao integral de linha do campo magnético em um
caminho fechado e fornecerá o valor da integral acima.
Imagine uma superfície aberta S. Para esta superfície podemos associar uma corrente elétrica,
correspondente ao ‡uxo de cargas através desta superfície,
i =
Z
S
�!
j � d�!S :
Podemos, também, associar a esta superfície uma curva fechada C, correspondente ao contorno
desta superfície. A lei de Ampère a…rma que a integral de linha do campo magnético ao longo
12
deste caminho fechado C será diretamente proporcional à corrente que atravessa S. Em linguagem
matemática, I
C
�!
B � d�!l = �0i ; (16)
ou I
c
�!
B � d�!l = �0
Z
S
�!
j � d�!S :
Para aplicarmos corretamente a lei de Ampère, deve …car bem claro a relação entre a corrente i
(lado direito da equação (16)) e o caminho fechado C (lado esquerdo da equação (16)).
Figure 8: Solenóide
A lei de Ampère é bastante geral, se aplica para qualquer superfície aberta que imaginarmos.
No entanto, na prática, para a resolução de problemas, a lei de Ampère é aplicada diretamente
quando a a integral de linha puder ser calculada com facilidade. Justamente, este é o caso no
cálculo do campo magnético produzido por um …o retilíneo longo percorrido por uma corrente i.
O fato de o …o ser longo garante a simetria cilíndrica, o que permite facilmente obter a integral
de linha para um caminho circular a uma distância r do centro do …o. Neste caso, temos queI
c
�!
B � d�!l = Bl = B2�r:
Substituindo a resultado acima na equação (16), teremos
B =
�0i
2�r
:
13
Figure 9: Corte de um solenóide
Outro exemplo clássico de aplicação da lei de Ampère é o cálculo do campo magnético no interior
de um solenóide, veja …gura (8). Desprezando-se os efeitos da borda, o campo pode ser considero
uniforme no interior do solenóide e aproximadamente zero na região exterior. Considerando um
caminho retangular, mostrado na …gura (9), com facilidade obtemos
I
c
�!
B � d�!l = Bl:
Como a corrente que atravessa a área delimitada pela superfície é Ni; aplicando a lei de Ampère,
teremos
B = �0i
N
l
= �0in ;
onde n = N=l é a densidade de espiras no solenóide:
5 Lei de Gauss
A lei de Ampère determina como uma corrente elétrica produz um campo magnético. De modo
análogo, existe uma lei que determina como uma carga elétrica produz um campo elétrico: lei de
Gauss.
A lei de Gauss a…rma que para qualquer superfície fechado o ‡uxo do campo elétrico será dire-
tamente proporcional à carga total contida na região do espaço delimitada pela referida superfície;
14
isto é, I
S
�!
E � d�!S = q
"0
: (17)
A lei de Gauss é bastante geral, se aplica para qualquer superfície fechada que imaginarmos
(superfície gaussiana). No entanto, na prática, para a resolução de problemas, a lei de Gauss
é aplicada quando a integral de superfície puder ser calculada com facilidade. Justamente, este
é o caso no cálculo do campo elétrico produzido por um monopolo de carga q. Tomando como
superfície gaussiana uma esfera de raio r com o seu centro na posição da carga q, por simetria
esférica, teremos I
S
�!
E � d�!S = E S = E 4�r2
Aplicando a Lei de Gauss (17), obteremos
E4�r2 =
q
"0
o que é equivalente a
E =
1
4�"0
q
r2
;
um resultado já conhecido.
A lei de Gauss para o campo magnético a…rma que para qualquer superfície fechada o ‡uxo
do campo magnético será zero; isto é,
I
S
�!
B � d�!S = 0 :
Este lei retrata o fato das linhas de campo magnético serem sempre fechadas.
15
6 O campo eletromagnético estático
Podemos fazer um resumo das equações fundamentais do eletromagnetismo vista até o momento,
a saber: I
~E � d~S = q
"0
;I
~E � d~l = 0;I
~B � d~S = 0;I
~B � d~l = �0i:
A primeira equação da lista acima é a lei de Gauss para o campo elétrico; a segunda exprime o
fato de o campo elétrico ser conservativo e permitir a existência do potencial elétrico; a terceira é
a lei da Gauss para campo magnético; e a última é a lei de Ampère. Todas as equações vistas até
o momento relativas ao campo eletromagnético podem ser deduzidas dessas quatro equações, elas
são fundamentais. Contudo, só …cam dessa forma para o campo eletromagnético estático, o caso
dos campos variando no tempo será visto na terceira parte de nosso curso.
7 Problemas
2.1) Na …gura abaixo o …o é portador de uma corrente i = 7; 5 A: A deformação do semicírculo
tem raio igual a 6; 0 cm: Calcule o campo no centro do semicírculo (ponto que …xa o compasso).
2.2) Usando Bio-Savart, deduza as equações (3) e (4).
2.3) Uma pedra de granizo de 2g, com carga �7 � 10�12C cai verticalmente com velocidade
de 80m=s. Na região há campos gravitacionais, elétrico e magnético de módulos g = 9; 8m=s2,
16
E = 120 N=C e B = 40 �T , respectivamente. Os campos ~g e ~E são dirigidos verticalmente para
baixo enquanto a direção de ~B é para o norte. Determine o módulo e a direção da força exercida
por cada um desses campos sobre a pedra de granizo.
2.4) Suponha que dois …os longos, retilíneos, estejam separados por 15 mm e que a força
atrativa por unidade de comprimento seja de 7; 11� 10�6N=m quando existe uma corrente i em
ambos os …os.
a) Determine i
b) As correntes estão no mesmo sentido, ou sentidos contrários?
2.5) Uma bobina de 1200 voltas tem seção transversal quadrada de lado 12mm e transporta
uma corrente de 150mA em um campo magnético uniforme e de módulo 1; 2T . Determine o
módulo máximo do torque magnético sobre essa bobina.
2.6) Considere uma partícula com massa m, carga q e velocidade v, na presença de um campo
magnético B, uniforme, e perpendicular à v. Supondo que não haja nenhuma outra força at-
uando sobre a partícula, além da magnética e, portanto, que ela descreva um movimento circular
uniforme; calcule a velocidade angular do movimento.
2.7) Um dipolo magnético é constituído por uma espira quadrada de lado igual a 10 cm,
portadora de uma corrente de 30A no sentido horário. A espira está contida no plano cartesiano
xy, com seu centro no ponto (0; 0; 0).
a) calcule o vetor momento de dipolo.
A espira é imersa em um campo magnético uniforme ~B = (0; 8 T ) {^
b) Calcule a força resultante em cada lado da espira.
c) Calcule o torque na espira.
2.8) Em um cabo circular de raio R, a densidade de corrente ~j é perpendicular à seção reta do
…o. Calcule o campo magnético no interior do cabo.
a) Considere que o módulo de j é uniforme;
17
b) Considere que o módulo de j não é uniforme e varia de acordo com a expressão j = Cr
(r � R).
2.9) Dois longos …os paralelos, de raios desprezíveis, encontram-se separados pela distância
d = 50cm . Existe uma corrente i = 3A em cada um deles, em sentidos opostos. Calcule o módulo
da força entre os …os e especi…que se ela é atrativa ou repulsiva.
2.10) O toróide é uma bobina em forma de câmara de ar com N voltas de …o enrolado em
torno dela. Para um toróide ideal, o campo magnético só existe dentro do toro, mas ocampo não
é uniforme sobre a seção transversal. Calcule o campo magnético no interior do toróide com uma
corrente i, para um ponto a uma distância radial r do eixo central:
2.11) A …gura abaixo mostra um corte transversal de um condutor longo de um tipo denom-
inado cabo co-axial. Seus raios a; b; c são mostrados na …gura. Correntes i iguais, mas opostas,
existem nos dois condutores. Calcule o campo magnético para
a) (r � c);
b) (c � r � b);
c) (b � r � a);
d) (a � r).
2.12) Considere uma esfera de raio igual a 10 cm uniformemente carregada com uma carga
total igual a 10�10 C: Obtenha o módulo do campo elétrico para um ponto distante: a) 5 cm do
centro da esfera; b) 10 cm do centro da esfera; c) 15 cm do centro da esfera. d) Faça um esboço
do grá…co do campo elétrico versus distância ao centro da esfera.
2.13) Para um …o muito longo (despreze os efeitos das extremidades) com uma densidade linear
de carga igual a �; calcule o módulo do campo elétrico em função da distância ao centro do …o.
18
2.14) Uma esfera condutora oca, de raio externo R2, e raio interno R1, tem uma carga q em
seu centro. Calcule o módulo do campo elétrico para um ponto: a) fora da esfera oca; b) na esfera
ôca; c) no interior da esfera ôca.
2.15) Um cubo de aresta igual a 1; 0 cm é colocado em uma região onde existe um campo
elétrico uniforme de módulo igual a 102 N=C, perpendicular a uma das faces do cubo. Adicionado
a este campo existe um outro campo produzido por uma carga elétrica de 6 � 10�11 C colocada
no centro do cubo. Calcule o ‡uxo do campo elétrico em cada uma das seis faces do cubo.
2.16) Uma esfera oca, de raio externo R2, e raio interno R1, tem uma carga q uniformemente
distribuída em seu volume. Calcule o módulo do campo elétrico a uma distância r do centro da
esfera. a) r < R1. b) R1 < r < R2. c) r > R2.
2.17) Uma chapa metálica quadrada de lado 50 cm está uniformemente carregada com carga
total igual a 10�9C. a) Calcule o módulo do campo elétrico para um ponto muito próximo da
chapa. b) Considere uma segunda chapa idêntica, porém carregada com cargas negativas, colocada
paralela à primeira sem encostar (capacitor). Qual a campo elétrico na região entre as duas chapas.
7.1 Respostas
2:1) B = 7; 9� 10�5 T
2:3) Fg = 0; 02N ; FE = 8� 10�10N ; FB = 2� 10�14N:
2:4 a) i = 0:53 A; b) Mesmo sentido
2:5) � = 0; 031Nm
2:6) ! =
q
m
B
2:7a) � = � �0; 3 Am2� k^
2:7b) (2; 4 N) k^; 0;� (2; 4 N) k^; 0 (A contar do ponto (5 cm, 5 cm) no sentido horário)
19
2:7c) ~� = (0:24 Nm) |^
2:8 a) B =
1
2
�0 j r; b) B =
1
3
�0Cr
2
2:9)
F
l
= 3: 6� 10�6N=m (repulsiva)
2:10) B =
�0Ni
2�r
2:11 a) B =
�0i
2�c2
r; b) B =
�0i
2�r
; c) B =
�0i
2�r
�
a2 � r2
a2 � b2
�
; d) B = 0
2:12 a)zero; b)90 N=C; c)40 N=C
2:13) E =
1
2�"0
�
r
2:14 a) E =
1
4�"0
q
r2
; b) zero; 3; c) E =
1
4�"0
q
r2
2.15) Tomando como orientação o sentido do campo, teremos: 0; 13 Nm2=C na face dianteira,
2; 13 Nm2=C na face posterior e 1; 13 Nm2=C nas demais quatro faces.
2:16 a) zero; b) E =
1
4�"0
q
r2
r3 �R31
R32 �R31
; c) E =
1
4�"0
q
r2
2:17 a)14 N=C; b)28 N=C
20
8 Apêndice A: Fluxo de um campo vetorial
Um conceito importante, que aparece em vários campos da Física e da Matemática, é o de ‡uxo de
um campo vetorial em uma superfície. Para de…nirmos o que é o ‡uxo, primeiramente, precisamos
lembrar que uma superfície plana pode ser representada por um vetor
�!
S , com seu módulo igual a
área da superfície e na direção perpendicular a da referida superfície. Neste caso, o ‡uxo para uma
superfície plana contida em um campo vetorial �!v ; que tem o mesmo valor em todos os pontos
da superfície, é obtido facilmente como
�v =
�!v � �!S (superfície plana).
No caso geral, quando a superfície não for plana ou o vetor �!v variar a cada ponto, dividimos
a superfície em partes muitas pequenas e planas (in…nitesimais) e podemos associar a cada uma
delas um vetor d
�!
S , perpendicular à superfície naquele ponto. A partir destas de…nições, o ‡uxo
em uma superfície S qualquer é de…nido por
�v =
Z
S
�!v � d�!S :
Por convenção, em superfícies fechadas, o sentido do vetor d
�!
S é sempre para fora da superfície e
o ‡uxo em superfícies fechadas denotamos como
�v =
I
S
�!v � d�!S :
A integral de superfície que aparece nas equações acima raramente precisa ser resolvida nos
problemas de Física. Na prática, esta integral é enormemente simpli…cada quando há simetria (o
valor de �!v � d�!S é o mesmo sobre uma superfície). Para uma superfície que apresente simetria,
‡uxo poderá ser facilmente calculado como
�v = v S cos � ;
onde v é o valor é o módulo do campo ao longo da superfície, S é a área da superfície e � é o
angulo entre os vetores �!v e d�!S .
Por exemplo, se desejarmos calcular o ‡uxo do campo gravitacional �!g em um tonel fechado
perfeitamente cilíndrico apoiado no chão, com a sua parte superior de área A perfeitamente per-
21
pendicular ao vetor �!g ; teremos: o ‡uxo na tampa superior é igual a �gA; pois o ângulo entre
�!v e d�!S é de 1800 nesta superfície; o ‡uxo no fundo é igual a gA; pois o ângulo entre �!v e d�!S
é de 00 nesta superfície; e zero no envoltório lateral, pois o ângulo entre �!v e d�!S é de 900 nesta
superfície. Portanto ‡uxo na superfície fechada do tonel será zero (a soma do resultado obtido em
cada uma das três partes).
9 Apêncidice B: Integral de linha
Duas importantes leis do eletromagnetismo — a lei de Ampère e a lei de Faraday — são escritas
em termos de integrais de linha.
Considere uma curva c qualquer, contida em um campo vetorial�!v . Podemos dividir a curva em
partes muitas pequenas, de modo que cada parte pode ser considerada um segmento in…nitesimal
retilíneo de comprimento d
�!
l : Observe que d
�!
l é sempre tangente à curva. A integral de linha é
obtida pela soma do produto escalar �!v � d�!l ao longo da curva.
Na prática, a integral de linha é enormemente simpli…cada quando há simetria, ou seja, o valor
de �!v � d�!l é o mesmo ao longo de uma curva. Neste caso,
Z
c
~v � d~l = v l cos � ;
onde v é o módulo do campo (o mesmo ao longo de todo o caminho), l é o comprimento da linha
e � é o angulo entre os vetores �!v e d�!l .
22