Modelagem no Domínio do Tempo

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<p>DESCRIÇÃO</p><p>Principais conceitos norteadores das especificações de sistemas pneumáticos, com foco nas características dos compressores;</p><p>atuadores pneumáticos e seus princípios de funcionamento; definições e princípios relacionados aos sistemas de controle de</p><p>circuitos pneumáticos, seguidos da descrição de seu funcionamento.</p><p>PROPÓSITO</p><p>Na execução do trabalho de um engenheiro, ferramentas são fundamentais. Diante disso, compreender a essência de seu</p><p>funcionamento é indispensável. Vamos aqui reconhecer os sistemas pneumáticos, especialmente os compressores, pois diversas</p><p>ferramentas e projetos de engenharia são compostos por tais sistemas.</p><p>PREPARAÇÃO</p><p>Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora ou use a calculadora de seu</p><p>smartphone/computador.</p><p>OBJETIVOS</p><p>MÓDULO 1</p><p>Descrever o processo de conversão de funções de transferência para o espaço de estados</p><p>MÓDULO 2</p><p>Descrever o processo de conversão do espaço de estados para a função de transferência</p><p>A REPRESENTAÇÃO DE UM SISTEMA NO DOMÍNIO DO</p><p>TEMPO</p><p>AVISO: orientações sobre unidades de medida.</p><p>AVISO</p><p>Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por questões de tecnologia e didáticas. No</p><p>entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um espaço entre o número e a unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos e</p><p>demais materiais escritos por você devem seguir o padrão internacional de separação dos números e das unidades.</p><p>MÓDULO 1</p><p> Descrever o processo de conversão de funções de transferência para o espaço de estados</p><p>javascript:void(0)</p><p>A IMPORTÂNCIA DA REPRESENTAÇÃO DOS SISTEMAS</p><p>FÍSICOS NO ESPAÇO DE ESTADOS</p><p>INTRODUÇÃO À REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE</p><p>ESTADOS</p><p>A representação no espaço de estados é fundamental para o desenvolvimento de sistemas de automação e controle de processos</p><p>físicos. Para esse tipo de representação se torna necessário selecionar um subconjunto específico definido a partir de todas as</p><p>variáveis do sistema físico, para a formação de um conjunto específico denominado variáveis de estado.</p><p>Por meio da representação no espaço de estados, é possível descrever um sistema de ordem n, por meio de n equações de primeira</p><p>ordem simultâneas em termos de variáveis de estado.</p><p>Vale ressaltar aqui a importância das condições iniciais. Conhecendo os valores das variáveis de estado para a condição inicial t(0) e</p><p>para os instantes t > t(0), é possível calcular os valores para todos os outros instantes de tempo t1 > t 0 .</p><p>Por meio da representação no espaço de estados, pode-se definir a saída do sistema por meio de uma combinação algébrica entre</p><p>as variáveis de estado e as de entrada. De maneira geral, essa representação é definida pelas equações de estado em conjunto com</p><p>as equações de saída.</p><p>A representação geral no espaço de estados pode ser descrita por meio do seguinte sistema:</p><p>( )</p><p>Ẋ(T) = AX(T) + BU(T)</p><p>Y(T) = CX(T) + DU(T)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Onde:</p><p>x(t) é o vetor das variáveis de estado.</p><p>y(t) são as saídas do sistema.</p><p>ẋ(t) é o vetor da derivada das variáveis de estado.</p><p>u(t) é (são) a(s) entrada(s) do sistema.</p><p>A é a matriz de estado.</p><p>B é a matriz de entrada.</p><p>C é a matriz de saída.</p><p>D é a matriz de alimentação direta.</p><p>Fazendo um paralelo entre a representação no espaço de estados e o circuito elétrico da imagem a seguir, é possível identificar cada</p><p>um dos vetores e matrizes que compõem a representação geral de espaço de estados. Considere que a tensão no capacitor vc t</p><p>seja a saída do sistema e a tensão da fonte (v(t)), a entrada.</p><p> Circuito elétrico</p><p>( ( ))</p><p>∂DI ( T )</p><p>∂T</p><p>∂VC ( T )</p><p>∂T</p><p>=</p><p>−R /L −1/L</p><p>1/C 0</p><p>I(T)</p><p>VC(T) +</p><p>1/L</p><p>0 V(T)</p><p>Y(T) = 0 1</p><p>I(T)</p><p>VC(T)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Nesse exemplo, a matriz de alimentação direta (D) é nula, tendo em vista que não há uma relação direta entre a entrada e a saída.</p><p>Algumas definições são importantes para a representação adequada de um sistema no espaço de estados:</p><p>Combinação</p><p>linear</p><p>deve ser possível escrever o sistema como uma combinação linear das variáveis de estado que o</p><p>compõem.</p><p>Independência</p><p>linear</p><p>ao menos um conjunto de variáveis que compõem o sistema deve ser linearmente independente, ou</p><p>seja, nenhuma das variáveis desse conjunto pode ser escrita como uma combinação linear das outras.</p><p>Variáveis do</p><p>sistema</p><p>denominação de qualquer variável que responda a uma entrada ou as condições iniciais do sistema.</p><p>Variáveis de</p><p>estado</p><p>corresponde ao menor conjunto linearmente independente de variáveis do sistema.</p><p>Vetor de estado vetor cujos elementos são variáveis de estado.</p><p>Espaço de</p><p>estados</p><p>espaço com dimensão n cujos eixos são as variáveis de estado.</p><p>Equação de</p><p>estado</p><p>conjunto de n equações diferenciais de primeira ordem, simultâneas, com n variáveis, em que essas</p><p>n variáveis a serem resolvidas são as variáveis de estado.</p><p>Equação de equação algébrica que exprime as variáveis de saída do sistema como uma combinação linear das</p><p>[ ] [ ][ ] [ ]</p><p>[ ][ ]</p><p>saída variáveis de estado e das entradas do sistema.</p><p> VOCÊ SABIA</p><p>A independência linear é tão importante que é vista como uma das regras para a escolha das variáveis de estado. Nenhuma variável</p><p>de estado pode ser representada como uma combinação linear das outras variáveis de estado.</p><p>TRANSFORMAÇÃO DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA</p><p>PARA REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE ESTADOS</p><p>Uma função de transferência estabelece uma relação matemática entre a entrada e a saída de um sistema físico.</p><p>Não há uma regra única ou um conjunto de regras definido para se transformar, em equações de estado, sistemas descritos por meio</p><p>de funções de transferência.</p><p>Por exemplo, suponha o sistema de ordem três definido pela equação diferencial:</p><p>Y + 12Ÿ + 20Ẏ = 80U</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A função de transferência do mesmo é definida por:</p><p>G(S) =</p><p>80</p><p>S(S + 2)(S + 10)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>É possível definir ao menos três formulações (metodologias) diferentes em equações de estado desse sistema.</p><p>PRIMEIRA METODOLOGIA</p><p>A primeira metodologia envolve a aplicação da transformada inversa de Laplace.</p><p>Em um primeiro momento, deve-se observar a função de transferência na forma abaixo:</p><p>G(S) =</p><p>80</p><p>S3 + 12S2 + 20S</p><p>=</p><p>C(S)</p><p>R(S)</p><p>S3 + 12S2 + 20S C(S) = 80R(S)</p><p>S3C(S) + 12S2C(S) + 20SC(S) = 80R(S)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Aplica-se a transformada de Laplace inversa. Vale destacar que as condições iniciais devem ser consideradas nulas:</p><p>C + 12C̈ + 20Ċ = 80R</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em seguida, deve-se selecionar um conjunto de variáveis de estado (vetor de variáveis de estado):</p><p>C̈ + 12C̈ + 20Ċ = 80R</p><p>VARIÁVEIS DE FASE</p><p>X1 = C</p><p>X2 = Ċ</p><p>X3 = C̈</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>( )</p><p>{</p><p> ATENÇÃO</p><p>As variáveis de fase definem que cada variável de estado subsequente é a derivada da variável de estado anterior, ou seja, x2 é a</p><p>derivada de x1.</p><p>Agora é preciso derivar as variáveis de fase para chegar à ordem da equação diferencial:</p><p>VARIÁVEIS DE FASE</p><p>X1 = C</p><p>X2 = Ċ</p><p>X3 = C̈</p><p>DERIVADAS DAS VARIÁVEIS DE FASE</p><p>Ẋ1 = Ċ</p><p>Ẋ2 = C̈</p><p>Ẋ3 = C</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Assim, pode-se comparar a equação diferencial da função de transferência com as derivadas das variáveis de fase:</p><p>C + 12C̈ + 20Ċ = 80R</p><p>C = − 12C̈ − 20Ċ + 80R</p><p>{</p><p>{</p><p>DERIVADAS DAS VARIÁVEIS DE FASE</p><p>Ẋ1 = Ċ = X2</p><p>Ẋ2 = C̈ = X3</p><p>Ẋ3 = C̈ = − 12C̈ − 20Ċ + 80R</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A saída, por sua vez, será definida como a primeira variável de fase:</p><p>Y = C = X1</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Por fim, montam-se as equações do espaço de estados com</p><p>a seguinte estrutura:</p><p>Ẋ1</p><p>Ẋ2</p><p>Ẋ3</p><p>=</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>C̈ Ċ C</p><p>X1</p><p>X2</p><p>X3</p><p>+</p><p>0</p><p>0</p><p>K</p><p>V(T)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Considerando que x1 = c e c(t) é a saída da função de transferência, pode-se definir a saída das equações de estado como:</p><p>Y(T) = C(T) = 1 0 0</p><p>X1</p><p>X2</p><p>X3</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Assim, montam-se as matrizes com a equação diferencial encontrada:</p><p>{</p><p>[ ] [ ][ ] [ ]</p><p>[ ][ ]</p><p>Ẋ3 = C = − 12C̈ − 20Ċ + 80R</p><p>Ẋ1</p><p>Ẋ2</p><p>Ẋ3</p><p>=</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>0 −20 −12</p><p>X1</p><p>X2</p><p>X3</p><p>+</p><p>0</p><p>0</p><p>80</p><p>R</p><p>Y(T) = 1 0 0</p><p>X1</p><p>X2</p><p>X3</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>As matrizes de estado, então, são as seguintes:</p><p>A =</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>0 −20 −12</p><p>B =</p><p>0</p><p>0</p><p>80</p><p>[ ] [ ][ ] [ ]</p><p>[ ][ ]</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>C = 1 0 0</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p> VOCÊ SABIA</p><p>A matriz A está na forma canônica companheira (inferior), também chamada de matriz companheira da equação característica.</p><p>SEGUNDA METODOLOGIA</p><p>A segunda metodologia leva em consideração a divisão da função de transferência que representa o modelo matemático do sistema</p><p>em um produto de frações que compõem a função.</p><p>Como exemplo, considere a mesma função de transferência do sistema representado na metodologia anterior:</p><p>G(S) =</p><p>80</p><p>S(S + 2)(S + 10)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em um primeiro momento, faz-se a separação da função de transferência em frações:</p><p>G(S) =</p><p>80</p><p>S(S + 2)(S + 10) =</p><p>5</p><p>S</p><p>⋅</p><p>4</p><p>(S + 2) ⋅</p><p>4</p><p>(S + 10) =</p><p>Y(S)</p><p>U(S)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em seguida, agrupam-se as funções em variáveis de estado da seguinte maneira:</p><p>X1(S)</p><p>U(S) =</p><p>5</p><p>S</p><p>[ ]</p><p>X2(S)</p><p>U(S) =</p><p>5</p><p>S</p><p>⋅</p><p>4</p><p>(S + 2)</p><p>X3(S)</p><p>U(S) =</p><p>5</p><p>S ⋅</p><p>4</p><p>(S + 2) ⋅</p><p>4</p><p>(S + 10)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Assim, então, ficam definidas as variáveis de estado:</p><p>X1(S) =</p><p>5U ( S )</p><p>S</p><p>X2(S) =</p><p>20U ( S )</p><p>S ( S + 2 )</p><p>X3(S) = G(S) ⋅ U(S) = Y(S) =</p><p>80U ( S )</p><p>S ( S + 2 ) ( S + 10 )</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A partir daí, é possível definir as derivadas das variáveis de fase da seguinte forma:</p><p>SX1(S) = 5U(S)</p><p>(S + 2)X2(S) = 4 ⋅</p><p>5U ( S )</p><p>S = 4 ⋅ X1(S)</p><p>(S + 10)X3(S) = 4 ⋅</p><p>20U ( S )</p><p>S ( S + 2 ) = 4 ⋅ X2(S)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>{</p><p>{</p><p>Aplicando-se a transformada inversa de Laplace, pode-se escrever a relação entre as variáveis de estado e as derivadas das</p><p>variáveis de fase:</p><p>SX1(S) = 5U(S)</p><p>(S + 2)X2(S) = 4 ·</p><p>5U ( S )</p><p>S = 4 · X1(S)</p><p>S + 10 X3(S) = 4 ·</p><p>20U ( S )</p><p>S ( S + 2 ) = 4 · X2(S)</p><p>=</p><p>Ẋ1 = 5U</p><p>Ẋ2 = 4X1 - 2X2</p><p>Ẋ3 = 4X2 - 10X3</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A partir das equações de estado definidas pelo desenvolvimento superior, é possível elaborar outra formulação em equações de</p><p>estado desse sistema, como pode ser observado a seguir:</p><p>Ẋ1</p><p>Ẋ2</p><p>Ẋ3</p><p>= A</p><p>X1</p><p>X2</p><p>X3</p><p>+ BU(T)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como definido anteriormente:</p><p>X3(S) = G(S) ⋅ U(S) = Y(S) =</p><p>80U(S)</p><p>S(S + 2)(S + 10)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Onde se observa que:</p><p>X3(S) = Y(S)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>{ ( ) {</p><p>[ ] [ ]</p><p>Aplicando-se a transformada inversa de Laplace:</p><p>X3(T) = Y(T)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Assim, a matriz de saída do espaço de estados é definida por:</p><p>Y(T) = 0 0 1</p><p>X1</p><p>X2</p><p>X3</p><p>+ 0. U(T)</p><p>Y(T) = 0 0 1</p><p>X1</p><p>X2</p><p>X3</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Onde a matriz de realimentação direta (D) é definida como nula.</p><p>Como a variável de estado ẋ1 é definida apenas pela entrada 5u(t), pode ser escrita como:</p><p>Ẋ1</p><p>Ẋ2</p><p>Ẋ3</p><p>=</p><p>0 0 0</p><p>X2</p><p>X3</p><p>X1</p><p>X2</p><p>X3</p><p>+</p><p>5</p><p>0</p><p>0</p><p>U(T)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>[ ][ ]</p><p>[ ][ ]</p><p>[ ] [ ][ ] [ ]</p><p>A variável de estado ẋ2 é definida pela equação diferencial 4x1 - 2x2 e pode ser escrita como:</p><p>Ẋ1</p><p>Ẋ2</p><p>Ẋ3</p><p>=</p><p>X1</p><p>4 −2 0</p><p>X3</p><p>X1</p><p>X2</p><p>X3</p><p>+</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>U(T)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Já a variável de estado ẋ3 é definida pela equação diferencial 4x2 - 10x3 e pode ser escrita como:</p><p>Ẋ1</p><p>Ẋ2</p><p>Ẋ3</p><p>=</p><p>X1</p><p>X2</p><p>0 4 −10</p><p>X1</p><p>X2</p><p>X3</p><p>+</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>U(T)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Por fim, o sistema de equações de estado completo pode ser definido por:</p><p>Ẋ1</p><p>Ẋ2</p><p>Ẋ3</p><p>=</p><p>0 0 0</p><p>4 −2 0</p><p>0 4 −10</p><p>X1</p><p>X2</p><p>X3</p><p>+</p><p>5</p><p>0</p><p>0</p><p>U(T)</p><p>Y(T) = 0 0 1</p><p>X1</p><p>X2</p><p>X3</p><p>[ ] [ ][ ] [ ]</p><p>[ ] [ ][ ] [ ]</p><p>[ ] [ ][ ] [ ]</p><p>[ ][ ]</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>É possível observar que as equações de estado do sistema definido na primeira metodologia são diferentes das equações de estado</p><p>definidas pela segunda metodologia, embora o sistema representado e as equações diferenciais sejam os mesmos.</p><p>TERCEIRA METODOLOGIA</p><p>Uma terceira metodologia pode ser implementada para a conversão das funções de transferência nas equações de estado do</p><p>sistema. Ela possibilita essa conversão por meio do uso do conceito das frações parciais, que você verá a seguir.</p><p>Considere a fração racional:</p><p>F(T) =</p><p>F(T)</p><p>G(T)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Onde f(t) e g(t) são polinômios com coeficientes reais e o grau de f(t) é menor que o grau de g(t), ou seja, qualquer simplificação</p><p>não é mais possível.</p><p>Se o polinômio g(t) pode ser decomposto como:</p><p>G(T) = T − A1</p><p>N1… T − AK</p><p>NK T2 + B1T + C1</p><p>M1 … T2 + BLT + CL</p><p>ML</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Pode-se supor que g(t) tem somente raízes reais simples:</p><p>G(T) = T − A1 … T − AK</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Com ai ∈ ℝ distintos, para i = 1, …, k.</p><p>Assim, é possível determinar os valores escalares que permitem escrever a função de transferência como:</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>F(T) =</p><p>F(T)</p><p>G(T) =</p><p>K</p><p>∑</p><p>I = 1</p><p>ΑI</p><p>T − AI</p><p>=</p><p>Α1</p><p>T − A1</p><p>+ ⋯ +</p><p>ΑK</p><p>T − AK</p><p>(EQUAÇÃO 1)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Reescrevendo-se a fração parcial definida por:</p><p>F(T) =</p><p>F(T)</p><p>G(T) → F(T) = F(T) ⋅ G(T)</p><p>(EQUAÇÃO 2)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Substitui-se a Equação 1 na Equação 2, obtendo-se:</p><p>F(T) =</p><p>K</p><p>∑</p><p>I = 1</p><p>ΑIPI(T) = Α1P1(T) + ⋯ + ΑKPK(T)</p><p>(EQUAÇÃO 3)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Para aplicar a terceira metodologia de conversão, em um primeiro momento, faz-se a separação da função de transferência em</p><p>frações parciais, como pode ser visto a seguir:</p><p>G(S) =</p><p>80</p><p>S(S + 2)(S + 10) =</p><p>A</p><p>S</p><p>+</p><p>B</p><p>(S + 2) +</p><p>C</p><p>(S + 10) =</p><p>Y(S)</p><p>U(S)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Aplicando o conceito de frações parciais, define-se o denominador comum entre elas, ou seja:</p><p>80</p><p>S(S + 2)(S + 10) =</p><p>A</p><p>S / (S + 2) ⋅ (S + 10) +</p><p>B</p><p>(S + 2) /S ⋅ (S + 10) +</p><p>C</p><p>(S + 10) /S ⋅ (S + 2)</p><p>80</p><p>S(S + 2)(S + 10) =</p><p>A ⋅ (S + 2) ⋅ (S + 10)</p><p>S(S + 2)(S + 10) +</p><p>B ⋅ (S) ⋅ (S + 10)</p><p>S(S + 2)(S + 10) +</p><p>C ⋅ (S + 2) ⋅ (S)</p><p>S(S + 2)(S + 10)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Dessa maneira, resolvendo as equações, tem-se:</p><p>80 = A ⋅ (S + 2) ⋅ (S + 10) + B ⋅ (S) ⋅ (S + 10) + C ⋅ (S + 2) ⋅ (S)</p><p>80 = A ⋅ S2 + 12S + 20 + B ⋅ S2 + 10S + C ⋅ S2 + 2S</p><p>80 = AS2 + BS2 + CS2 + 12AS + 10BS + 2CS + 20A</p><p>(A + B + C)S2 = 0</p><p>(12A + 10B + 2C)S = 0</p><p>20A = 80</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>{</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>E se 20A = 80, então A = 4</p><p>Agora, substitui-se o valor de A nas outras equações do sistema:</p><p>(4 +</p><p>B + C)S2 = 0</p><p>(48 + 10B + 2C)S = 0</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>E simplifica-se a segunda equação do sistema, dividindo seus termos por 2:</p><p>(4 + B + C)S2 = 0</p><p>(24 + 5B + C)S = 0</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Resolvendo a primeira equação desse sistema:</p><p>4 + B + C = 0</p><p>C = − 4 − B</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Substituindo-se na outra equação, tem-se:</p><p>24 + 5B − 4 − B = 0</p><p>{</p><p>{</p><p>4B = − 20</p><p>B = − 5</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Retornando à equação anterior:</p><p>C = − 4 − ( − 5)</p><p>C = 1</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Agora, substitui-se na função de transferência inicial:</p><p>G(S) =</p><p>80</p><p>S(S + 2)(S + 10) =</p><p>4</p><p>S</p><p>+</p><p>−5</p><p>(S + 2) +</p><p>1</p><p>(S + 10) =</p><p>Y(S)</p><p>U(S)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>E agrupam-se as funções em variáveis de estado da seguinte maneira:</p><p>X1(S)</p><p>U(S) =</p><p>4</p><p>S</p><p>X2(S)</p><p>U(S) =</p><p>−5</p><p>(S + 2)</p><p>X3(S)</p><p>U(S) =</p><p>1</p><p>(S + 10)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A saída pode ser definida como o somatório das funções:</p><p>Y(S)</p><p>U(S) =</p><p>X1(S)</p><p>U(S) +</p><p>X2(S)</p><p>U(S) +</p><p>X3(S)</p><p>U(S)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Onde as variáveis de estado podem ser escritas da seguinte maneira:</p><p>X1(S) =</p><p>4U ( S )</p><p>S</p><p>X2(S) =</p><p>− 5U ( S )</p><p>( S + 2 )</p><p>X3(S) =</p><p>U ( S )</p><p>( S + 10 )</p><p>Y(S) =</p><p>X1 ( S )</p><p>U ( S ) +</p><p>X2 ( S )</p><p>U ( S ) +</p><p>X3 ( S )</p><p>U ( S ) U(S)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Simplificando-se as equações, tem-se:</p><p>[ ]</p><p>{ [ ]</p><p>SX1(S) = 4U(S)</p><p>(S + 2)X2(S) = − 5U(S)</p><p>(S + 10)X3(S) = U(S)</p><p>Y(S) = X1(S) + X2(S) + X3(S)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>E agora resolve-se o sistema:</p><p>SX1(S) = 4U(S)</p><p>SX2(S) = − 2X2(S) − 5U(S)</p><p>SX3(S) = − 10X3(S) + U(S)</p><p>Y(S) = X1(S) + X2(S) + X3(S)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>As equações de estado podem ser definidas por meio da transformada inversa de Laplace como:</p><p>SX1(S) = 4U(S)</p><p>SX2(S) = − 2X2(S) − 5U(S)</p><p>SX3(S) = − 10X3(S) + U(S)</p><p>Y(S) = X1(S) + X2(S) + X3(S)</p><p>=</p><p>Ẋ1 = 4U</p><p>Ẋ2 = − 2X2 − 5U</p><p>Ẋ3 = − 10X3 + U</p><p>Y = X1 + X2 + X3</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A partir das equações de estado definidas pelo desenvolvimento acima, é possível elaborar outra formulação em equações de estado</p><p>desse sistema, como pode ser observado a seguir:</p><p>{</p><p>{</p><p>{ {</p><p>Ẋ1</p><p>Ẋ2</p><p>Ẋ3</p><p>= A</p><p>X1</p><p>X2</p><p>X3</p><p>+ BU(T)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Tomando por base a quarta equação do sistema y = x1 + x2 + x3 , é possível definir a matriz de saída do espaço de estados como:</p><p>Y(T) = 1 1 1</p><p>X1</p><p>X2</p><p>X3</p><p>+ 0. U(T)</p><p>Y(T) = 1 1 1</p><p>X1</p><p>X2</p><p>X3</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Onde a matriz de realimentação direta (D) é definida como nula.</p><p>Como a variável de estado ẋ1 é definida apenas pela entrada 4u(t), ela pode ser escrita como:</p><p>Ẋ1</p><p>Ẋ2</p><p>Ẋ3</p><p>=</p><p>0 0 0</p><p>X2</p><p>X3</p><p>X1</p><p>X2</p><p>X3</p><p>+</p><p>4</p><p>0</p><p>0</p><p>U(T)</p><p>[ ] [ ]</p><p>( )</p><p>[ ][ ]</p><p>[ ][ ]</p><p>[ ] [ ][ ] [ ]</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Já a variável de estado ẋ2, definida pela equação diferencial -2x2 - 5u, pode ser escrita como:</p><p>Ẋ1</p><p>Ẋ2</p><p>Ẋ3</p><p>=</p><p>X1</p><p>0 −2 0</p><p>X3</p><p>X1</p><p>X2</p><p>X3</p><p>+</p><p>0</p><p>−5</p><p>0</p><p>U(T)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Por sua vez, a variável de estado ẋ3 é definida pela equação diferencial -10x3 + u, sendo escrita como:</p><p>Ẋ1</p><p>Ẋ2</p><p>Ẋ3</p><p>=</p><p>X1</p><p>X2</p><p>0 0 −10</p><p>X1</p><p>X2</p><p>X3</p><p>+</p><p>0</p><p>0</p><p>1</p><p>U(T)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Por fim, o sistema de equações de estado completo pode ser definido por:</p><p>Ẋ1</p><p>Ẋ2</p><p>Ẋ3</p><p>=</p><p>0 0 0</p><p>0 −2 0</p><p>0 0 −10</p><p>X1</p><p>X2</p><p>X3</p><p>+</p><p>4</p><p>−5</p><p>1</p><p>U(T)</p><p>[ ] [ ][ ] [ ]</p><p>[ ] [ ][ ] [ ]</p><p>[ ] [ ][ ] [ ]</p><p>Y(T) = 1 1 1</p><p>X1</p><p>X2</p><p>X3</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>É possível perceber que essa terceira metodologia obtida para a representação em equações de estado é diferente das duas</p><p>anteriores. Nesta a representação da matriz A está na forma diagonal. Os polos do sistema podem ser definidos pelos elementos da</p><p>diagonal da matriz, sendo s = 0, s = - 2 e s = - 10.</p><p> ATENÇÃO</p><p>Isso acontece porque, como a matriz é diagonal, os próprios elementos dela são os autovalores do sistema (os polos de um sistema</p><p>na forma do espaço de estados são os autovalores da matriz A).</p><p>VEM QUE EU TE EXPLICO!</p><p>MODELAGEM DE SISTEMAS NO DOMÍNIO DO TEMPO</p><p>FERRAMENTAS UTILIZADAS NA MODELAGEM DE SISTEMAS</p><p>VERIFICANDO O APRENDIZADO</p><p>[ ][ ]</p><p>MÓDULO 2</p><p> Descrever o processo de conversão do espaço de estados para a função de transferência</p><p>A IMPORTÂNCIA DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DOS</p><p>SISTEMAS FÍSICOS</p><p>CONVERSÃO DAS EQUAÇÕES DE ESPAÇO DE ESTADOS EM</p><p>FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA</p><p>Como já aprendemos, a representação dos sistemas em equações de espaço de estados pode ser assim registrada:</p><p>Ẋ(T) = AX(T) + BU(T)</p><p>Y(T) = CX(T) + DU(T)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Contudo, como também foi visto na conversão de funções de transferência em equações de espaço de estados, a representação em</p><p>espaço de estados não é única, dependendo do modelo utilizado na sua determinação.</p><p>Como exemplo, a aplicação de matrizes inversíveis permite a determinação de matrizes equivalentes. Supondo uma matriz inversível</p><p>P, pode-se determinar uma nova variável de estado como:</p><p>X̄ = PX</p><p>MATRIZ INVERSA</p><p>Também chamada de inversível, trata-se de um tipo específico de matriz caracterizada pelo padrão:</p><p>A ⋅ X = B</p><p>Para cada matriz, é possível encontrar uma única inversa.</p><p>Ao realizar esse cálculo, com a multiplicação dos números correspondentes dentro da mariz inversa de qualquer tipo, o resultado</p><p>será uma inversa de mesma ordem – uma matriz quadrada com o mesmo número de linhas e de colunas que a original.</p><p> VOCÊ SABIA</p><p>Nem todas as matrizes podem ser invertidas, ou seja, ter uma correspondente inversa. Essa determinação somente é possível após</p><p>a identificação do seu determinante. A matriz identidade é aquela em que todos os componentes da diagonal principal são</p><p>iguais ao número um e todos os outros elementos são equivalentes a zero, independentemente da posição que ocupem dentro</p><p>da matriz.</p><p>Para determinar se uma matriz é inversível, ou seja, se é possível calcular a sua matriz inversa equivalente, é necessário primeiro</p><p>identificar o seu determinante. Caso esse seja diferente de zero, a matriz é inversível. Em situações em que o determinante é</p><p>nulo, a matriz não pode ser considerada inversível. Então, sua inversa é inexistente.</p><p>Portanto, apenas as matrizes quadradas podem ter uma inversa, visto que o cálculo do determinante somente é possível nesse</p><p>tipo de matriz. Como já sabemos, uma matriz quadrada é especificamente aquela em que o número de linhas é igual ao número de</p><p>colunas.</p><p>A determinação de uma matriz inversa é realizada pelas etapas a seguir.</p><p>Observa-se se a matriz é quadrada:</p><p>A =</p><p>A B</p><p>C D</p><p>Calcula-se o determinante da matriz:</p><p>Δ = B ⋅ C − A ⋅ D</p><p>Faz-se a inversão dos termos da diagonal principal:</p><p>D B</p><p>C A</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Troca-se o sinal dos elementos da diagonal secundária:</p><p>D -B</p><p>-C A</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Dividem-se os elementos da matriz pelo valor do determinante:</p><p>A − 1 =</p><p>D</p><p>Δ</p><p>− B</p><p>Δ</p><p>− C</p><p>Δ</p><p>A</p><p>Δ</p><p>Assim, obtém-se um sistema de equações de estado equivalentes:</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>Ẋ(T) = ĀX(T) + B̄U(T)</p><p>Y(T) =</p><p>¯</p><p>CX(T) +</p><p>¯</p><p>DU(T)</p><p>Ā = PAP − 1</p><p>B̄ = PB</p><p>C̄ = CP − 1</p><p>D̄ = D</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Essas equações permitem outra representação do sistema</p><p>de equações em espaço de estados do sistema.</p><p>Alguns casos particulares podem acontecer. Por exemplo, se A for diagonalizável e a matriz P escolhida for uma matriz de mudança</p><p>de base do tipo: P = M - 1, então:</p><p>M = v1 v2 … vn</p><p>onde vi é o autovetor associado com os autovalores do sistema λi.</p><p>Então, na transformação A = PAP - 1, a matriz A ficará na forma diagonal, com os seus autovalores λ1, λ2, . . . , λn presentes na</p><p>diagonal principal.</p><p>CONVERSÃO PARA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA</p><p>Diferentemente do que ocorre no caso das equações de espaço de estados, as representações em funções de transferência são</p><p>únicas.</p><p>Por exemplo, considere a estrutura básica da função de transferência do tipo:</p><p>H(S) =</p><p>Y(S)</p><p>U(S)</p><p>{</p><p>[ ]</p><p>Onde U(s) é a entrada u(t) e Y(s) é a saída y(t).</p><p>A função de transferência é única. A possível exceção por meio da multiplicação de constantes aos numeradores e denominadores,</p><p>como pode ser visto no exemplo a seguir:</p><p>Y(S)</p><p>U(S) =</p><p>4(S + 1)</p><p>2S2 + 11S + 15</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Essa função de transferência também pode ser escrita da seguinte maneira:</p><p>Y(S)</p><p>U(S) =</p><p>2(S + 1)</p><p>S2 + 11/2S + 15/2</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>É possível observar que, embora escritas de maneiras diferentes, as funções são as mesmas. É fácil notar que a diferença entre elas</p><p>ocorre simplesmente pela multiplicação ou divisão por um termo constante.</p><p>Nota-se, também, que ambas as funções possuem dois polos, localizados em p1 = - 3 e p2 = - 1,5, e um zero, localizado em</p><p>z1 = - 1.</p><p>Veja agora como realizar a conversão de um sistema representado pelas equações de estado, simbolizado pelo diagrama de blocos</p><p>na imagem a seguir:</p><p> Representação do sistema em diagrama em blocos.</p><p>A entrada u(t) e a saída y(t) relacionadas ao sistema S podem ser representadas, de maneira geral, por equações de estado, como:</p><p>Ẋ = AX + BU, X(0) = X0</p><p>Y = CX + DU</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Utilizando-se Laplace, é possível representar esse sistema como:</p><p>SX = AX + BU</p><p>Y = CX + DU</p><p>Reescrevendo a equação desse sistema, tem-se:</p><p>SX - AX = BU</p><p>(S - A)X = BU → IMPOSSÍVEL DE SER REALIZADA</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p> ATENÇÃO</p><p>A subtração – assim como a adição – de um termo único (s) por uma matriz não é possível, tendo em vista que operações de adição</p><p>e subtração de matrizes só podem ser realizadas entre matrizes de mesma ordem, ou seja, ambas devem possuir o mesmo número</p><p>de linhas e o mesmo número de colunas. Isso porque essa operação deverá ser realizada termo a termo.</p><p>Sendo assim, para que a operação (s - A) seja possível, tendo em vista que A é a matriz de estado, é necessária a utilização da</p><p>matriz identidade.</p><p>MATRIZ IDENTIDADE</p><p>A matriz identidade é utilizada para auxiliar os cálculos que envolvam equações matriciais. Também chamada de unidade, essa</p><p>matriz, vale reforçar, é uma espécie de tabela formada pelo mesmo número de linhas e colunas, e onde os elementos da diagonal</p><p>principal são todos iguais a um e os elementos restantes são iguais a zero:</p><p>I =</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Sendo assim, a operação de subtração, para ser realizada, depende da utilização da matriz identidade de maneira a fazer com que o</p><p>operador s seja visto como uma matriz com a mesma ordem de A.</p><p>A operação pode então ser realizada como visto a seguir:</p><p>(SI − A)X = BU</p><p>Y = CX + DU</p><p>Desenvolvendo as equações acima:</p><p>(SI − A)X = BU</p><p>X = (SI − A) − 1BU</p><p>Substituindo-as na equação da saída, tem-se:</p><p>Y = C(SI − A) − 1BU + DU</p><p>[ ]</p><p>Y = C(SI − A) − 1B + D U</p><p>Y</p><p>U = C(SI − A) − 1B + D</p><p>(EQUAÇÃO 1)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A equação 1 representa a fórmula geral para conversão das equações de estado na função de transferência.</p><p>PRIMEIRO EXEMPLO</p><p>Considere o seguinte sistema de segunda ordem descrito pelas equações de estado:</p><p>Ẋ =</p><p>0 1</p><p>−2 −2 X +</p><p>0</p><p>1 U</p><p>Y = 1 0 X</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Observando as equações de espaço de estados do sistema, é possível notar que a matriz de alimentação direta não está presente.</p><p>Isso indica que não existe uma relação direta entre a saída y e a entrada u.</p><p>Importante notar que não foi especificado o sistema físico descrito pelas equações de estado. Isso reflete que os métodos utilizados</p><p>para as conversões são genéricos, ou seja, não variam de um sistema físico para outro.</p><p>Em um primeiro momento, deve-se identificar as matrizes que compõem o sistema:</p><p>A matriz de estado:</p><p>[ ]</p><p>[ ] [ ]</p><p>[ ]</p><p>A =</p><p>0 1</p><p>−2 −2</p><p>A matriz de entrada:</p><p>B =</p><p>0</p><p>1</p><p>A matriz de saída:</p><p>C = 1 0</p><p> ATENÇÃO</p><p>A matriz de alimentação direta D é nula.</p><p>Para obter a função de transferência, primeiramente deve-se encontrar o resultado da operação:</p><p>SI − A</p><p>Para tal, identifica-se a ordem da matriz A de maneira a ser possível escrever uma matriz identidade I de mesma ordem:</p><p>A =</p><p>0 1</p><p>−2 −2</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como a matriz de estado possui duas linhas e duas colunas, a matriz identidade deverá apresentar a mesma ordem:</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>S</p><p>1 0</p><p>0 1 −</p><p>0 1</p><p>−2 −2</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O produto entre o operador s e a matriz identidade é feito multiplicando por s todos os termos da matriz identidade:</p><p>S 0</p><p>0 S −</p><p>0 1</p><p>−2 −2</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A subtração deverá ser realizada termo a termo:</p><p>SI − A =</p><p>S −1</p><p>2 S + 2</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em seguida, determina-se a matriz inversa de (sI - A), de acordo com os passos já apresentados:</p><p>(SI − A) − 1</p><p>SI − A =</p><p>S −1</p><p>2 S + 2</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Então, realiza-se o cálculo do determinante. Para tal, multiplicam-se os termos da diagonal principal (s(s + 2)) e da diagonal</p><p>secundária ( - 1)(2).</p><p>[ ] [ ]</p><p>[ ] [ ]</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>Depois, faz-se a subtração entre o resultado do produto dos elementos da matriz principal e o resultado do produto dos elementos da</p><p>matriz secundária:</p><p>Δ = S(S + 2) − ( − 2)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A equação resultante define o termo determinante:</p><p>Δ = S2 + 2S + 2</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>É alterada a posição dos termos que compõem a diagonal principal e inverte o sinal dos termos que formam a diagonal secundária:</p><p>S -1</p><p>2 S + 2</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Resultando na seguinte matriz:</p><p>S + 2 1</p><p>-2 S</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Por fim, divide-se cada termo da matriz pelo determinante:</p><p>SI - A) - 1 =</p><p>S + 2</p><p>Δ</p><p>1</p><p>Δ</p><p>- 2</p><p>Δ</p><p>S</p><p>Δ</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>( [ ]</p><p>Como D é nulo, pode-se simplificar a expressão geral para:</p><p>Y</p><p>U = C(SI − A) − 1B</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Substituindo as matrizes de saída (C) e de entrada (B), tem-se:</p><p>Y</p><p>U = 1 0 (SI − A) − 1 0</p><p>1</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Primeiramente, é resolvida a multiplicação entre a matriz de saída e a matriz inversa.</p><p> VOCÊ SABIA</p><p>A multiplicação entre matrizes é uma operação matemática que demanda bastante atenção. É fundamental que o número de colunas</p><p>da matriz A, ou da primeira matriz do produto, seja igual ao número de linhas da matriz B, ou da segunda matriz do produto.</p><p>Considerando a matriz de saída C, é possível observar que essa matriz possui uma linha e duas colunas:</p><p>C = 1 0</p><p>A matriz inversa (sI - A) - 1 possui duas linhas e duas colunas, como pode ser visto a</p><p>seguir:</p><p>(SI − A) − 1 =</p><p>S + 2</p><p>Δ</p><p>1</p><p>Δ</p><p>− 2</p><p>Δ</p><p>S</p><p>Δ</p><p>[ ] [ ]</p><p>[ ]</p><p>( )</p><p>[ ]</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como o número de colunas da matriz C é igual ao número de linhas da matriz inversa, o produto é possível.</p><p>O resultado da multiplicação entre matrizes é uma matriz que tem o mesmo número de linhas da primeira matriz e o mesmo</p><p>número de colunas da segunda matriz: [1 0].</p><p>S + 2</p><p>Δ</p><p>1</p><p>Δ</p><p>− 2</p><p>Δ</p><p>S</p><p>Δ</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Assim, o produto entre a matriz de saída e a matriz inversa deverá apresentar uma linha e duas colunas. Multiplica-se primeiro a</p><p>matriz C pela primeira coluna da matriz inversa:</p><p>(1)</p><p>S + 2</p><p>Δ + (0)</p><p>−2</p><p>Δ …</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>E depois, multiplica-se a matriz C pela segunda coluna da matriz inversa:</p><p>1</p><p>S + 2</p><p>∆ + 0</p><p>- 2</p><p>∆ 1</p><p>1</p><p>∆ + 0</p><p>S</p><p>∆</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em seguida, realizam-se as operações:</p><p>S + 2</p><p>Δ (0) +</p><p>1</p><p>Δ(1)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>[( ) ( ) ( ) ( ) ]</p><p>A matriz resultante possui uma linha e duas colunas, como esperado.</p><p>Depois, multiplica-se a matriz resultante desse produto pela matriz de entrada B:</p><p>S + 2</p><p>Δ</p><p>1</p><p>Δ ⋅</p><p>0</p><p>1</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz, o produto é possível; a matriz</p><p>resultante do produto terá uma linha e uma coluna, ou seja, será de ordem 1 por 1:</p><p>S + 2</p><p>Δ ⋅ 0 +</p><p>1</p><p>Δ ⋅ 1</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O resultado será igual a:</p><p>1</p><p>Δ =</p><p>1</p><p>S2 + 2S + 2</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Logo, a função de transferência do sistema de segunda ordem apresentado no exemplo é igual a:</p><p>Y(S)</p><p>U(S) =</p><p>1</p><p>S2 + 2S + 2</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A partir dessa noção de multiplicação entre matrizes, é possível compreender a importância da matriz identidade e o motivo de ser</p><p>conhecida como o elemento neutro da multiplicação de matrizes.</p><p>[ ] [ ]</p><p> VOCÊ SABIA</p><p>O produto de uma matriz pelo seu inverso (A · A - 1) é igual à matriz identidade.</p><p>Vale destacar que, diferente do que acontece com a soma e a subtração, o produto entre uma matriz e um número é possível,</p><p>bastando, para isso, realizar o produto do número por todos os termos da matriz.</p><p>SEGUNDO EXEMPLO</p><p>Repetiremos o desenvolvimento anterior para o sistema de segunda ordem descrito pelas equações seguintes:</p><p>Ẋ =</p><p>0 1</p><p>−4 −5 X +</p><p>0</p><p>1 U</p><p>Y = 2 1 X</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Mais uma vez é possível notar que a matriz de alimentação direta não está presente, indicando a ausência de uma relação direta</p><p>entre a saída y e a entrada u.</p><p>Em um primeiro momento, deve-se identificar as matrizes que compõem o sistema:</p><p>A matriz de estado:</p><p>A =</p><p>0 1</p><p>−4 −5</p><p>A matriz de entrada:</p><p>B =</p><p>0</p><p>1</p><p>[ ] [ ]</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>A matriz de saída:</p><p>C = 2 1</p><p> ATENÇÃO</p><p>A matriz de alimentação direta D é nula.</p><p>Verifica-se a ordem da matriz A de maneira a ser possível escrever uma matriz identidade I de mesma ordem:</p><p>A =</p><p>0 1</p><p>−4 −5</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como a matriz de estado tem duas linhas e duas colunas, a matriz identidade deverá apresentar a mesma ordem:</p><p>S</p><p>1 0</p><p>0 1 −</p><p>0 1</p><p>−4 −5</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O produto entre o operador s e a matriz identidade é feito multiplicando por s todos os termos da matriz identidade:</p><p>S 0</p><p>0 S −</p><p>0 1</p><p>−4 −5</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Por fim, a subtração deverá ser realizada termo a termo:</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>[ ] [ ]</p><p>[ ] [ ]</p><p>SI − A =</p><p>S −1</p><p>4 S + 5</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em seguida, determina-se a matriz inversa de (sI - A), de acordo com os passos já explicados:</p><p>(SI − A) − 1</p><p>SI − A =</p><p>S −1</p><p>4 S + 5</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>E realiza-se o cálculo do determinante. Para tal, multiplicam-se os termos da diagonal principal (s(s + 5)) e da diagonal secundária</p><p>( - 1)(4).</p><p>Depois, é feita a subtração entre o resultado do produto dos elementos da matriz principal e o resultado do produto dos elementos da</p><p>matriz secundária:</p><p>Δ = S(S + 5) − ( − 4)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A equação resultante define o termo determinante:</p><p>Δ = S2 + 5S + 4</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Após a inversão dos elementos e a troca dos sinais, divide-se cada termo da matriz pelo determinante:</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>(SI − A) − 1 =</p><p>S + 5</p><p>Δ</p><p>1</p><p>Δ</p><p>− 4</p><p>Δ</p><p>S</p><p>Δ</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como D é nulo, pode-se simplificar a expressão geral para:</p><p>Y</p><p>U</p><p>= C(SI − A) − 1B</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Substituindo-se as matrizes de saída (C) e de entrada (B), tem-se:</p><p>Y</p><p>U</p><p>= 2 1 (SI − A) − 1</p><p>0</p><p>1</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>E agora resolve-se a multiplicação entre a matriz de saída e a matriz inversa.</p><p>A matriz de saída C tem uma linha e duas colunas:</p><p>C = 2 1</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>E a matriz inversa (sI - A) - 1 tem duas linhas e duas colunas:</p><p>[ ]</p><p>[ ] [ ]</p><p>[ ]</p><p>( )</p><p>(SI − A) − 1 =</p><p>S + 5</p><p>Δ</p><p>1</p><p>Δ</p><p>− 4</p><p>Δ</p><p>S</p><p>Δ</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como o número de colunas da matriz C é igual ao número de linhas da matriz inversa, o produto é possível e deverá ter uma linha e</p><p>duas colunas:</p><p>2 1 ⋅</p><p>S + 5</p><p>Δ</p><p>1</p><p>Δ</p><p>− 4</p><p>Δ</p><p>S</p><p>Δ</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Multiplica-se primeiro a matriz C pelas colunas da matriz inversa, somando-se os termos do produto:</p><p>2</p><p>S + 5</p><p>∆ + 1</p><p>- 4</p><p>∆ 2</p><p>1</p><p>∆ + 1</p><p>S</p><p>∆</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em seguida, realizam-se as operações:</p><p>2S + 10 − 4</p><p>Δ</p><p>2 + S</p><p>Δ</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Simplificando:</p><p>[ ]</p><p>[ ] [ ]</p><p>[( ) ( ) ( ) ( ) ]</p><p>[ ]</p><p>2S + 6</p><p>Δ (0) +</p><p>S + 2</p><p>Δ (1)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A matriz resultante tem uma linha e duas colunas, como esperado.</p><p>Depois, multiplica-se a matriz resultante desse produto pela matriz de entrada B:</p><p>2S + 6</p><p>Δ</p><p>S + 2</p><p>Δ ⋅</p><p>0</p><p>1</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Neste caso a operação também é possível, pois o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda</p><p>matriz, e a matriz resultante do produto terá uma linha e uma coluna, ou seja, será de ordem 1 por 1:</p><p>2S + 6</p><p>Δ ⋅ 0 +</p><p>S + 2</p><p>Δ ⋅ 1</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O resultado, então, será:</p><p>1</p><p>Δ =</p><p>S + 2</p><p>S2 + 5S + 4</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>E a função de transferência do sistema de segunda ordem apresentado no exemplo é igual a:</p><p>Y(S)</p><p>U(S) =</p><p>S + 2</p><p>S2 + 5S + 4</p><p>[ ] [ ]</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>TERCEIRO EXEMPLO</p><p>Dessa vez, vamos aplicar o desenvolvimento para um sistema de terceira ordem dado pelo sistema de equações de estado a seguir:</p><p>Ẋ =</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>0 −20 −12</p><p>X +</p><p>0</p><p>0</p><p>80</p><p>U</p><p>Y = 1 0 0 X</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Mais uma vez, é possível notar que a matriz de alimentação direta não está presente, indicando a ausência de uma relação direta</p><p>entre a saída y e a entrada</p><p>u.</p><p>Primeiramente, é preciso identificar as matrizes que compõem o sistema:</p><p>A matriz de estado:</p><p>A =</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>0 −20 −12</p><p>A matriz de entrada:</p><p>B =</p><p>0</p><p>0</p><p>80</p><p>[ ] [ ]</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>A matriz de saída:</p><p>C = 1 0 0</p><p> ATENÇÃO</p><p>A matriz de alimentação direta D é nula.</p><p>Identifica-se a ordem da matriz A de maneira a ser possível escrever uma matriz identidade I de mesma ordem:</p><p>A =</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>0 −20 −12</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como a matriz de estado tem três linhas e três colunas, a matriz identidade deverá apresentar a mesma ordem:</p><p>S</p><p>1 0 1</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>−</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>0 −20 −12</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O produto entre o operador s e a matriz identidade é calculado multiplicando por s todos os termos da matriz identidade:</p><p>S 0 1</p><p>0 S 0</p><p>0 0 S</p><p>−</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>0 −20 −12</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>[ ] [ ]</p><p>[ ] [ ]</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em seguida a subtração é realizada termo a termo:</p><p>SI − A =</p><p>S −1 0</p><p>0 S −1</p><p>0 20 S + 12</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A determinação da inversa de uma matriz de ordem 3 é um pouco mais complicada do que a inversão de uma matriz de ordem 2. É</p><p>preciso lembrar que o produto de uma matriz pelo seu inverso A. A - 1 é igual à matriz identidade. Suponha então a matriz de</p><p>ordem 3 a seguir:</p><p>A =</p><p>1 0 0</p><p>1 3 1</p><p>1 2 0</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como se deseja determinar a inversa de A, supõe-se o produto entre a matriz A e sua inversa hipotética sendo igual à matriz</p><p>identidade:</p><p>1 0 0</p><p>1 3 1</p><p>1 2 0</p><p>⋅</p><p>A B C</p><p>D E F</p><p>G H I</p><p>=</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Calcula-se o produto entre as matrizes multiplicando-se cada termo da primeira linha da primeira matriz por cada coluna da segunda</p><p>matriz. Esses termos formarão a primeira linha da matriz resultante:</p><p>[ ]</p><p>( )</p><p>[ ]</p><p>[ ] [ ] [ ]</p><p>1 ⋅ A + 0 ⋅ D + 0 ⋅ G 1 ⋅ B + 0 ⋅ E + 0 ⋅ H 1 ⋅ C + 0 ⋅ F + 0 ⋅ I</p><p>… … …</p><p>… … …</p><p>=</p><p>=</p><p>A B C</p><p>… … …</p><p>… … …</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>De maneira similar, calcula-se o produto com as demais linhas da primeira matriz:</p><p>1 ⋅ A + 0 ⋅ D + 0 ⋅ G 1 ⋅ B + 0 ⋅ E + 0 ⋅ H 1 ⋅ C + 0 ⋅ F + 0 ⋅ I</p><p>1 ⋅ A + 3 ⋅ D + 1 ⋅ G 1 ⋅ B + 3 ⋅ E + 1 ⋅ H 1 ⋅ C + 3 ⋅ F + 1 ⋅ I</p><p>1 ⋅ A + 2 ⋅ D + 0 ⋅ G 1 ⋅ B + 2 ⋅ E + 0 ⋅ H 1 ⋅ C + 2 ⋅ F + 0 ⋅ I</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Simplificando a matriz, é possível determinar a estrutura da matriz inversa A - 1:</p><p>A − 1 =</p><p>A B C</p><p>A + 3D + G B + 3E + H C + 3F + I</p><p>A + 2D B + 2E C + 2F</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Agora, igualando-se a matriz identidade, é possível calcular cada termo da matriz inversa:</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>A B C</p><p>A + 3D + G B + 3E + H C + 3F + I</p><p>A + 2D B + 2E C + 2F</p><p>=</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Os termos imediatos são:</p><p>A = 1</p><p>B = 0</p><p>C = 0</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>E os termos da terceira linha da matriz inversa são determinados por:</p><p>A + 2D = 0</p><p>1 + 2D = 0</p><p>2D = − 1</p><p>[ ] [ ]</p><p>D =</p><p>−1</p><p>2</p><p>B + 2E = 0</p><p>0 + 2E = 0</p><p>E = 0</p><p>C + 2F = 1</p><p>0 + 2F = 1</p><p>F =</p><p>1</p><p>2</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Por fim, estes são os termos da segunda linha:</p><p>A + 3D + G = 0</p><p>1 + 3</p><p>−1</p><p>2 + G = 0</p><p>1 +</p><p>−3</p><p>2 + G = 0</p><p>2 − 3 + 2G</p><p>2 = 0</p><p>2 − 3 + 2G = 0</p><p>2G = 1</p><p>G =</p><p>1</p><p>2</p><p>B + 3E + H = 1</p><p>0 + 3.0 + H = 1</p><p>H = 1</p><p>C + 3F + I = 0</p><p>0 + 3 ⋅</p><p>1</p><p>2 + I = 0</p><p>3</p><p>2 + I = 0</p><p>I =</p><p>−3</p><p>2</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Assim, a matriz inversa de A A - 1 é dada por:( )</p><p>A − 1 =</p><p>1 0 0</p><p>−1/2 0 1/2</p><p>1/2 1 −3/2</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Já para a determinação da matriz inversa de</p><p>s - 1 0</p><p>0 s - 1</p><p>0 20 s + 12</p><p>, procedimento idêntico</p><p>ao citado acima deverá ser adotado. Sendo assim:</p><p>S −1 0</p><p>0 S −1</p><p>0 20 S + 12</p><p>⋅</p><p>A B C</p><p>D E F</p><p>G H I</p><p>=</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>De maneira similar, calcula-se o produto com as demais linhas da primeira matriz:</p><p>S ⋅ A − 1 ⋅ D + 0 ⋅ G S ⋅ B − 1 ⋅ E + 0 ⋅ H S ⋅ C − 1 ⋅ F + 0 ⋅ I</p><p>0 ⋅ A + S ⋅ D − 1 ⋅ G 0 ⋅ B + S ⋅ E − 1 ⋅ H 0 ⋅ C + S ⋅ F − 1 ⋅ I</p><p>0 ⋅ A + 20 ⋅ D + (S + 12) ⋅ G 0 ⋅ B + 20 ⋅ E + (S + 12) ⋅ H 0 ⋅ C + 20 ⋅ F + (S + 12) ⋅ I</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Simplificando, é possível determinar a estrutura da matriz inversa A - 1:</p><p>SA − D SB − E SC − F</p><p>SD − G SE − H SF − I</p><p>20D + (S + 12)G 20E + (S + 12)H 20F + (S + 12)I</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>[ ] [ ] [ ]</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>E igualando à matriz identidade, é possível calcular cada termo da matriz inversa:</p><p>SA − D SB − E SC − F</p><p>SD − G SE − H SF − I</p><p>20D + (S + 12)G 20E + (S + 12)H 20F + (S + 12)I</p><p>=</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Desenvolvendo o sistema acima, tem-se:</p><p>S2 + 12S + 20 S + 12 1</p><p>0 S(S + 12) S</p><p>0 20S S2</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Assim, a matriz inversa de A A - 1 é dada por:</p><p>A − 1 =</p><p>1 0 0</p><p>−1/2 0 1/2</p><p>1/2 1 −3/2</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O cálculo do determinante para matrizes de ordem superior a 2 é um pouco mais completo.</p><p>Para tal, deve-se realizar a seguinte operação, ilustrada na imagem a seguir:</p><p>[ ] [ ]</p><p>[ ]</p><p>( )</p><p>[ ]</p><p> Determinação do determinante de uma matriz de ordem 3.</p><p>A operação consiste em repetir-se os elementos das duas primeiras colunas à direita da matriz, como pode ser visto na imagem a</p><p>seguir:</p><p> Determinação do determinante de uma matriz de ordem 3 - passo 1</p><p>Em seguida, multiplicam-se os elementos de cada uma das três diagonais principais da matriz (em verde) e realiza-se seu somatório:</p><p>(1 ⋅ 5 ⋅ 3) + (3 ⋅ 1 ⋅ 2) + (0 ⋅ 2 ⋅ 1) = 15 + 6 + 0 = 21</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em um passo seguinte, multiplicam-se os elementos das diagonais secundárias.</p><p>Os sinais dos resultantes dos produtos devem ser invertidos (positivos viram negativos e vice-versa). De maneira resumida, cada</p><p>resultado do produto deve ser multiplicado por -1:</p><p>- (0 · 5 · 2) - (1 · 1 · 1) - (3 · 2 · 3) = - 0 - 1 - 18 = - 19</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Por fim, somam-se os dois resultados:</p><p>Δ = 21 − 19 = 2</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Generalizando, considere a matriz A na imagem a seguir:</p><p> Matriz de ordem 3.</p><p>O desenvolvimento do cálculo do determinante da matriz A pode ser visto nas imagens a seguir:</p><p> Cálculo do determinante de matriz de ordem 3: repetição das duas primeiras colunas.</p><p> Cálculo do determinante da matriz de ordem 3: multiplicação dos termos.</p><p>O determinante é dado por:</p><p>Δ = A11 ⋅ A22 ⋅ A33 + A12 ⋅ A23 ⋅ A31 + A13 ⋅ A21 ⋅ A32 − A13 ⋅ A22 ⋅ A31</p><p>− A11 ⋅ A23 ⋅ A32 − A12 ⋅ A21 ⋅ A33</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Com base no desenvolvimento acima, tem-se o produto dos elementos da matriz principal:</p><p>(S ⋅ S ⋅ (S + 12)) + ( − 1 ⋅ ( − 1) ⋅ 0) + (0 ⋅ 0 ⋅ 20) = S3 + 12S2</p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>E o produto dos elementos da matriz secundária é igual a:</p><p>(0 ⋅ S ⋅ 0)) + (S ⋅ ( − 1) ⋅ 20) + ( − 1 ⋅ 0 ⋅ S + 12) = − 20S</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Em seguida, é feita a subtração entre o produto dos elementos da matriz principal e o produto</p><p>dos elementos da matriz secundária:</p><p>Δ = S3 + 12S2 − ( − 20S)</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>A equação resultante define o termo determinante:</p><p>Δ = S3 + 12S2 + 20S</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Após a determinação da estrutura da matriz inversa, divide-se cada termo da matriz pelo determinante. Assim:</p><p>(SI − A) − 1 =</p><p>S2 + 12S + 20</p><p>Δ</p><p>S + 12</p><p>Δ</p><p>1</p><p>Δ</p><p>0</p><p>S ( S + 12 )</p><p>Δ</p><p>S</p><p>Δ</p><p>0</p><p>20S</p><p>Δ</p><p>S2</p><p>Δ</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como D é nulo, pode-se simplificar a expressão geral para:</p><p>( )</p><p>[ ]</p><p>Y</p><p>U</p><p>= C(SI − A) − 1B</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Substituindo as matrizes de saída (C) e de entrada (B), tem-se:</p><p>Y</p><p>U = 1 0 0 (SI − A) − 1</p><p>0</p><p>0</p><p>80</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Então efetua-se a multiplicação entre a matriz de saída e a matriz inversa. Observe que a matriz de saída C tem uma linha e três</p><p>colunas:</p><p>C = 1 0 0</p><p>E a matriz inversa (sI - A) - 1 tem três linhas e três colunas:</p><p>(SI − A) − 1 =</p><p>S2 + 12S + 20</p><p>Δ</p><p>S + 12</p><p>Δ</p><p>1</p><p>Δ</p><p>0</p><p>S ( S + 12 )</p><p>Δ</p><p>S</p><p>Δ</p><p>0</p><p>20S</p><p>Δ</p><p>S2</p><p>Δ</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>[ ] [ ]</p><p>[ ]</p><p>( )</p><p>[ ]</p><p> ATENÇÃO</p><p>Como o número de colunas da matriz C é igual ao número de linhas da matriz inversa, o produto é possível.</p><p>Assim, o produto entre a matriz de saída e a matriz inversa deverá apresentar uma linha (número de linhas da matriz C) e três</p><p>colunas (número de colunas da matriz A):</p><p>1 0 0 .</p><p>S2 + 12S + 20</p><p>Δ</p><p>S + 12</p><p>Δ</p><p>1</p><p>Δ</p><p>0</p><p>S ( S + 12 )</p><p>Δ</p><p>S</p><p>Δ</p><p>0</p><p>20S</p><p>Δ</p><p>S2</p><p>Δ</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Multiplica-se primeiro a matriz C pelas colunas da matriz inversa, somando-se os termos do produto:</p><p>S2 + 12S + 20</p><p>Δ</p><p>S + 12</p><p>Δ</p><p>1</p><p>Δ</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Como o primeiro elemento da matriz C é diferente de zero, apenas os primeiros elementos de cada coluna da matriz inversa</p><p>formarão a matriz resultante do produto. A matriz resultante apresenta uma linha e três colunas, como esperado.</p><p>Por fim, calcula-se o produto entre a matriz resultante desse produto e a matriz de entrada B:</p><p>S2 + 12S + 20</p><p>Δ</p><p>S + 12</p><p>Δ</p><p>1</p><p>Δ ⋅</p><p>0</p><p>0</p><p>80</p><p>[ ] [ ]</p><p>[ ]</p><p>[ ] [ ]</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>O número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz, o que possibilita o cálculo do produto. A</p><p>matriz resultante terá uma linha e uma coluna, ou seja, será de ordem 1 por 1.</p><p>Como apenas o último elemento da matriz B é diferente de zero (não nulo), apenas este fará parte do “resultado final” da</p><p>multiplicação. Sendo assim:</p><p>1</p><p>Δ ⋅ 80</p><p>O resultado, então, será:</p><p>80</p><p>Δ =</p><p>80</p><p>S3 + 12S2 + 20S</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>Logo, a função de transferência do sistema de segunda ordem apresentado no exemplo é igual a:</p><p>Y(S)</p><p>U(S) =</p><p>80</p><p>S3 + 12S2 + 20S</p><p> Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal</p><p>VEM QUE EU TE EXPLICO!</p><p>A importância da Função de Transferência</p><p>A conversão das equações de estado em função de transferência</p><p>VERIFICANDO O APRENDIZADO</p><p>CONCLUSÃO</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS</p><p>Neste estudo, foram discutidos assuntos fundamentais para a teoria de controle e representação de sistemas físicos no domínio do</p><p>tempo. Apresentamos uma revisão detalhada de representação no espaço de estados, com o intuito de proporcionar uma nova</p><p>percepção representativa referente aos sistemas físicos a partir de equações diferenciais.</p><p>Abordamos os conceitos de variáveis de estado e de variáveis de fase, junto com sua relevância na representação dos sistemas no</p><p>espaço de estados. Também analisamos diferentes metodologias utilizadas na conversão das funções de transferência em equações</p><p>de espaço de estados.</p><p>Além disso, estudamos a conversão de equações no espaço de estados em funções de transferência e discutimos as ferramentas</p><p>necessárias para essa conversão, incluindo o conceito de matriz identidade e a inversão de matrizes.</p><p>Por fim, analisamos, por meio de exemplos, a determinação das funções de transferência do sistema representado no espaço de</p><p>estados.</p><p> PODCAST</p><p>Ouça, agora, o especialista Raphael de Souza dos Santos encerrar nosso estudo falando sobre os principais tópicos abordados.</p><p>AVALIAÇÃO DO TEMA:</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>D’AZZO, J. J.; HOUPIS, C. H. Análise e projeto de sistemas de controle lineares. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1984.</p><p>DORF, R. C.; BISHOP, R. H. Sistemas de controle moderno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001.</p><p>FRANKLIN, G. F.; POWELL, J. D.; EMAMI-NAEINI, A. Sistemas de controle para engenharia. Porto Alegre: Bookman, 2013.</p><p>GOLNARAGHI, F.; KUO, B. C. Automatic control systems. McGraw-Hill Education, 2017.</p><p>NISE, N. S.; DA SILVA, F. R. Engenharia de sistemas de controle. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.</p><p>OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.</p><p>EXPLORE+</p><p>O estudo da conversão das equações de espaço de estados em funções de transferência e das funções de transferência para o</p><p>espaço de estados pode ser aprofundado nos livros Engenharia de controle moderno, de Katsuhiko Ogata, e Engenharia de</p><p>sistemas de controle, de Norman S. Nise (veja mais informações nas Referências).</p><p>Mais detalhes sobre operações com matrizes, matriz identidade e inversão de matrizes podem ser encontrados nos livros</p><p>Álgebra linear, de José L. Boldrini e colaboradores, publicado pela Editora Habra, e Um curso de álgebra linear v. 34, de Flávio</p><p>Ulhoa Coelho e Mary Lilian Lourenço, publicado pela Edusp.</p><p>CONTEUDISTA</p><p>Raphael de Souza dos Santos</p>