MECÂNICA GERAL

Prévia do material em texto

<p>Conceitos Básicos</p><p>[Ano]</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>2</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Conceitos Básicos</p><p>Unidade: Conceitos Básicos</p><p>MATERIAL TEÓRICO</p><p>Responsável pelo Conteúdo:</p><p>Prof. Dr. Victo dos Santos Filho</p><p>Revisão Textual:</p><p>Profa. Ms. Alessandra Cavalcante</p><p>Mecânica Geral</p><p>Unidade I: Conceitos básicos</p><p>1 Introdução</p><p>Mecânica é a parte da F́ısica que estuda o estado de movimento de um</p><p>corpo.</p><p>Por se tratar de uma área extremamente ampla, a Mecânica se divide em</p><p>três sub-áreas:</p><p>1. Cinemática: É a parte da Mecânica que estuda o movimento dos</p><p>corpos, sem considerar suas causas.</p><p>2. Mecânica: É a parte da Mecânica que estuda o movimento dos corpos,</p><p>considerando suas causas.</p><p>3. Estática: É a parte da Mecânica que estuda o estado de repouso ou</p><p>equiĺıbrio dos corpos.</p><p>Denominamos corpo uma porção limitada de matéria ou, em outras</p><p>palavras, um corpo é qualquer objeto que possua massa.</p><p>Os corpos podem ser classificados em dois tipos, de acordo com as suas</p><p>dimensões:</p><p>1. Corpos extensos: São os corpos em que não se pode desprezar todas</p><p>as suas dimensões no problema em consideração.</p><p>Ex.: Uma barra de ferro em um andar, um paraleleṕıpedo na calçada,</p><p>um fio de varal, etc.</p><p>2. Corpos puntiformes ou part́ıculas: São aqueles em que se pode</p><p>desprezar todas as suas dimensões no problema em estudo.</p><p>Ex.: Uma bolinha de gude em um gramado, um átomo isolado em um</p><p>gás ou em um ĺıquido, etc.</p><p>1</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Conceitos Básicos</p><p>Essa classificação é meramente didática, pois na verdade existem apenas</p><p>corpos extensos na Natureza. Entretanto, dependendo das condições do pro-</p><p>blema em estudo, podemos simplificar um cálculo, considerando os corpos</p><p>como part́ıculas.</p><p>No contexto da Engenharia, consideramos, em geral, corpos extensos, em-</p><p>bora existam casos em que se analisam forças sobre corpos com dimensões</p><p>despreźıveis no problema em consideração.</p><p>Exerćıcio 1: Classifique em puntiforme ou extenso:</p><p>(a) A Terra, movendo-se em relação à Lua:</p><p>(b) A Terra, em relação à Via-Láctea.</p><p>(c) Um carro, movendo-se sozinho na Via Dutra.</p><p>(d) Um carro, manobrando na garagem.</p><p>(e) Uma formiga, caminhando em uma mesa.</p><p>Neste curso, consideraremos o estudo da Estática, ou seja, analisaremos</p><p>as grandezas f́ısicas relevantes no estudo do estado de equiĺıbrio dos corpos</p><p>e as condições f́ısicas em que ocorre o repouso dos mesmos.</p><p>2 Estática</p><p>A Estática é a parte da Mecânica que estuda as condições para que os</p><p>corpos permaneçam em equiĺıbrio.</p><p>Definimos equiĺıbrio como o estado f́ısico em que um corpo se encontra</p><p>com:</p><p>• Velocidade nula, em relação a um dado referencial inercial, ou seja, em</p><p>estado de repouso, ou</p><p>• Velocidade constante, em relação a um dado referencial inercial, ou seja,</p><p>caracterizando o estado de movimento que se denomina Movimento</p><p>Retiĺıneo Uniforme (MRU).</p><p>2</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Conceitos Básicos</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Na Engenharia, são utilizados muitos cálculos, envolvendo principalmente</p><p>corpos extensos, como vigas, barras, pontes ou estruturas como treliças, em</p><p>que se conectam muitas barras através de junções ou nós. Entretanto, alguns</p><p>corpos podem ter dimensões despreźıveis e os consideramos como part́ıculas</p><p>para facilitar os cálculos. É também usual trabalhar com nós em estruturas</p><p>mecânicas, que formalmente corresponderiam a pequenos corpos em que se</p><p>aplicam as condições matemáticas de equiĺıbrio para se analisar o estado de</p><p>repouso ou movimento da estrutura global.</p><p>Ex.: Uma haste é um corpo extenso, enquanto que um pino pode ser</p><p>considerado como uma part́ıcula nos cálculos.</p><p>3 Grandezas F́ısicas</p><p>Denominamos grandeza f́ısica qualquer quantidade, qualidade ou pro-</p><p>priedade observável da Natureza que possamos medir. Podemos dizer que</p><p>uma grandeza f́ısica descreve qualitativa e quantitativamente propriedades</p><p>e/ou suas relações associadas a corpos, observadas no estudo de um fenômeno</p><p>da Natureza.</p><p>Uma grandeza f́ısica descreve quantitativamente as propriedades naturais</p><p>na forma de um número e uma unidade, ou seja, atribuindo-se grandezas</p><p>f́ısicas às propriedades da Natureza podemos quantificá-las ou medi-las.</p><p>Medir significa comparar quantitativamente uma grandeza f́ısica com uma</p><p>unidade de mesma natureza previamente definida. No processo de medição,</p><p>atribúımos um valor unitário a uma porção previamente adotada da grandeza</p><p>que se deseja medir para servir de padrão ou referência. Esta referência é</p><p>denominada unidade f́ısica. Nas medições, as grandezas sempre devem vir</p><p>acompanhadas de suas unidades respectivas.</p><p>Exemplos de grandezas: comprimento, massa, temperatura, veloci-</p><p>dade, etc.</p><p>Exemplos de unidades f́ısicas: cent́ımetro, que é uma unidade de</p><p>distância; hora, que é uma unidade de tempo e metro por segundo (m/s),</p><p>que é uma unidade de velocidade.</p><p>As unidades ou grandezas f́ısicas podem ser classificadas em dois tipos:</p><p>3</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Conceitos Básicos</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>• Fundamentais: São aquelas que representam as mais básicas e essen-</p><p>ciais propriedades ou conceitos da Natureza, a partir das quais se cons-</p><p>troem as demais grandezas ou unidades;</p><p>• Derivadas: São aquelas que dependem das fundamentais e/ou aquelas</p><p>cujas definições derivam das fundamentais.</p><p>Como exemplo, tempo e espaço são conceitos primitivos que consideramos</p><p>fundamentais. Já a velocidade e a pressão são grandezas derivadas, pois de-</p><p>pendem de outras grandezas em suas definições.</p><p>Exemplo 1: A velocidade é definida como:</p><p>v =</p><p>∆s</p><p>∆t</p><p>. (1)</p><p>Do ponto de vista das relações entre as grandezas, o śımbolo ∆ significa ape-</p><p>nas uma variação da grandeza dada. A relação que define a grandeza f́ısica</p><p>velocidade é a divisão entre a grandeza espaço ou comprimento e a grandeza</p><p>tempo, ou seja, a velocidade é uma grandeza f́ısica derivada que depende de</p><p>duas grandezas f́ısicas fundamentais em sua definição.</p><p>Exemplo 2: No caso da pressão, essa grandeza é definida como a divisão</p><p>entre duas grandezas (ambas também derivadas), a força F e a área A:</p><p>P =</p><p>F</p><p>A</p><p>, (2)</p><p>que podem ser desdobradas em três fundamentais: massa, comprimento e</p><p>tempo.</p><p>O mesmo ocorre para as demais grandezas f́ısicas derivadas da mecânica.</p><p>Exerćıcio 2: Caracterize em grandeza (G) ou grandeza f́ısica (GF) e, no</p><p>segundo caso, classifique em grandeza f́ısica fundamental (GFF) ou grandeza</p><p>f́ısica derivada (GFD):</p><p>(a) Velocidade (b) Utilidade</p><p>(c) Odor (d) Beleza</p><p>(e) Força (f) Pressão</p><p>(g) Comprimento (h) Trabalho</p><p>(i) Estado de agitação de moléculas (j) Tempo</p><p>4</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Conceitos Básicos</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>4 Sistemas de Unidades F́ısicas</p><p>Denominamos sistema de unidades f́ısicas um conjunto de unidades ado-</p><p>tado para que se possa medir qualquer grandeza em quaisquer fenômenos</p><p>existentes na Natureza.</p><p>Há muitos sistemas de unidades, mas os mais famosos são:</p><p>1. Sistema Internacional de Unidades (SI) ou Sistema MKS:</p><p>O Sistema Internacional de Unidades foi aquele adotado em uma con-</p><p>ferência internacional de f́ısica, sendo utilizado atualmente por quase todos</p><p>os páıses no mundo, com exceção, talvez, dos Estados Unidos e da Grã-</p><p>Bretanha. Entretanto, nos últimos anos, mesmo ambos têm adotado o sis-</p><p>tema, tendo em vista sua grande utilidade e a conveniência de que todos</p><p>adotem unidades universais.</p><p>O Sistema Internacional de Unidades possui as seguintes grandezas e</p><p>unidades fundamentais constituintes, dadas na tabela 1:</p><p>Grandeza Unidade Śımbolo</p><p>Comprimento metro m</p><p>Tempo segundo s</p><p>Massa quilograma kg</p><p>Temperatura</p><p>de uma Força</p><p>O módulo para a força resultante é dado por:</p><p>Podemos determinar a direção da força resultante a partir das equações abaixo:</p><p>ou</p><p>Exemplo 1: Dada um conjunto de forças aplicadas ao ponto P, como mostra a</p><p>figura abaixo. Determinar a força resultante e sua direção.</p><p>Figura 2: Três forças coplanares com suas respectivas intensidades e direções.</p><p>Solução: O primeiro procedimento em problemas deste tipo é fazer a</p><p>decomposição das forças que estão agindo no corpo, que na figura é denotado</p><p>por P. Dessa forma, teremos que:</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 6 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força</p><p>Fazendo-se a adição de cada componente em separado, teremos que a força</p><p>resultante é dada por:</p><p>e a direção é dada pelo ângulo</p><p>Logo temos que o ângulo</p><p>Teorema de Lamy</p><p>Para um sistema de forças em equilíbrio, se no caso termos somente três forças</p><p>que atuam sobre um ponto P, pode-se expressar o seguinte teorema (conhecido</p><p>como teorema de Lamy):</p><p>Se um ponto material sujeito a ação de três forças está em equilíbrio, os</p><p>módulos das forças serão proporcionais aos senos dos ângulos determinados</p><p>pelas outras duas forças:</p><p>Figura 3: Esquematização de três forças coplanares para o Teorema de Lamy.</p><p>Exemplo 2 - (aplicação do teorema de Lamy) Seja um sistema de forças</p><p>conforme descrito pela figura abaixo, Fig. 4. O peso do corpo é de 60 N. Ache o</p><p>valor da tensão nos fios sabendo que o sistema está em equilíbrio.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 7 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força</p><p>Figura 4: Um corpo é mantido suspenso por duas forças de tração. Os respectivos ângulos são</p><p>mostrados.</p><p>Solução: Note que o valor do ângulo não foi fornecido. Este é encontrado</p><p>facilmente, sabendo-se que a soma dos ângulos internos de um triângulo plano é</p><p>igual a 180°. Logo, .</p><p>Agora, o isolamento do ponto P a fim de podermos aplicar o teorema de Lamy</p><p>será mostrado na figura a seguir:</p><p>Figura 5: O mesmo problema da figura anterior com os valores dos ângulos dados.</p><p>Os ângulos e são iguais, uma vez que na figura original. Como a</p><p>soma dos ângulos do círculo completo é igual a 360°, resultam os valores para</p><p>e . Consequentemente, pelo</p><p>Teorema de Lamy, agora podemos escrever:</p><p>Da equação abaixo:</p><p>resulta que</p><p>Também temos que:</p><p>Sabendo-se que e que obtemos:</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 8 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força</p><p>Logo, é necessário que para manter o sistema em equilíbrio</p><p>estático.</p><p>Note que poderíamos ter resolvido este exemplo pelo método da decomposição</p><p>das forças no plano cartesiano (x, y) com as resultantes da soma das forças</p><p>sendo igualadas a zero, a saber:</p><p>Plano Cartesiano</p><p>Ao trabalhar no plano estamos na verdade trabalhando no plano</p><p>cartesiano. Este foi o caso dos dois exemplos resolvidos anteriormente. Por</p><p>conseguinte, no plano de forças coplanares, temos que:</p><p>Para que este conjunto de equações vetoriais seja verdadeiro, temos a seguir um</p><p>sistema de equações:</p><p>Daremos um exemplo de como utilizar este conjunto de equações de equilíbrio</p><p>de forças na resolução de problemas de pontos materiais estáticos.</p><p>Exemplo 3: Seja uma situação conforme a apresentada na figura abaixo, em</p><p>que uma máquina de 500 kg (representada por um bloco na figura) está em</p><p>equilíbrio estático. Ache a tensão nos respectivos cabos necessária para a</p><p>sustentação da máquina em equilíbrio.</p><p>Figura 6: Uma massa é suspensa por dois fios presos a duas paaredes.</p><p>Solução: Podemos resolver este problema de dois modos: Aplicando-se o</p><p>teorema de Lamy ou utilizando as equações para forças coplanares conforme</p><p>exposto anteriormente.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 9 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força</p><p>Primeiro método - A máquina pesa</p><p>.</p><p>Decompondo as forças que atuam no equilíbrio da máquina, teremos que:</p><p>e</p><p>Para , obtemos o valor de :</p><p>Com o valor de em mãos, pode ser calculado:</p><p>Segundo Método - Teorema de Lamy: Isolando-se o ponto onde todas as</p><p>forças em questão são aplicadas, temos a situação representada na figura a</p><p>seguir:</p><p>Figura 7: Esquema de forças e seus respectivos para aplicação do Teorema de Lamy.</p><p>A soma dos ângulos é . Logo, pelo teorema de Lamy, temos:</p><p>Resolvendo esse sistema, resulta em:</p><p>Assim, com o Teorema de Lamy, chegamos ao mesmo resultado.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 10 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força</p><p>Exemplo 4: Um corpo de peso de é mantido em equilíbrio por</p><p>intermédio de um fio e pela aplicação de uma força horizontal. A distância</p><p>AB é de e a distância entre a parede e o corpo AC é de . Calcule o</p><p>valor da força e a tensão na corda. Note que não são dados os ângulos e .</p><p>Figura 8: Problema semelhante ao anterior, mas sem fornecer diretamente os ângulos.</p><p>Solução: O ângulo pode ser determinado calculando-se sua tangente a partir</p><p>da figura com respeito ao triângulo retângulo ABC. Para tanto, utilizamos o</p><p>teorema de Pitágoras para calcular o comprimento do cateto oposto:</p><p>logo Assim, podemos encontrar o valor do ângulo</p><p>Agora, a partir das componentes horizontal e vertical da força de tensão</p><p>juntamente com a força (balanço de forças), temos as seguintes equações</p><p>para o equilíbrio de forças estáticas:</p><p>Isolando a tensão nas duas equações e dividindo a de baixo pela de cima, a</p><p>tensão é eliminada, recaindo na equação:</p><p>Da segunda equação é possível fazer a determinação do valor da tensão na</p><p>corda:</p><p>Fica como sugestão para o leitor resolver este problema aplicando o teorema de</p><p>Lamy.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 11 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força</p><p>Momento de uma Força</p><p>Quando aplicamos uma força a certo corpo, o qual tem um eixo fixo, pode-se</p><p>provocar um movimento de rotação no corpo em questão. De um modo geral, o</p><p>sentido do movimento de rotação que é produzido pela</p><p>força aplicada ao corpo</p><p>depende do sentido da força e também da posição a qual é aplicada a força em</p><p>relação ao eixo fixo do corpo. A intensidade do momento de uma força é dada</p><p>pelo produto do módulo da força pela distância do eixo de rotação à linha de</p><p>ação da mesma, ou seja,</p><p>Algumas vezes, o d na equação acima é denominado de braço de alavanca,</p><p>apesar de este conceito poder ser aplicado a pontos materiais que estão em um</p><p>movimento em torno da origem de um sistema de referência como, por</p><p>exemplo, o movimento de planetas em torno do Sol. Para pontos materiais, não</p><p>há qualquer alavanca, mas a terminologia se refere ao uso do momento de uma</p><p>força em máquinas simples, como as alavancas. O braço de alavanca é</p><p>caracterizado como sendo a distância do ponto O (ponto este em torno do qual o</p><p>corpo pode girar quando a força é aplicada) ao ponto de aplicação da força. A</p><p>distância d é sempre medida na perpendicular a partir do ponto O à linha de</p><p>ação da força. Note que o produto acima pode ser positivo ou negativo; no caso</p><p>de ser positivo, temos o movimento de rotação no sentido anti-horário, e</p><p>negativo no sentido oposto, o horário. No entanto, o momento de uma força não</p><p>é somente caracterizado pela sua intensidade; devemos também dar a sua</p><p>direção e sentido. Deste modo, para tanto, utilizamos a regra da mão direita:</p><p>Os dedos da mão direita devem ser curvados para acompanhar o sentido de</p><p>rotação da força aplicada. O dedo polegar da mão direita dará o sentido e a</p><p>direção do momento da força.</p><p>A figura a seguir serve para dar uma ideia do que foi discutido, onde uma força</p><p>é aplicada em um corpo qualquer e o braço de alavanca d, perpendicular à</p><p>direção de aplicação da força:</p><p>Figura 9: Força aplicada para girar o objeto em torno do ponto P. Observe o braço de alavanca d.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 12 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força</p><p>O momento de uma força também é conhecido com torque ou binário de forças</p><p>(este último é aplicado em corpos rígidos).</p><p>Podemos perceber que o momento de uma força é proporcional à intensidade da</p><p>força e à distância que essa força é aplicada do eixo de rotação. Além disso, ela é</p><p>máxima sempre que essa distância e a força formem um ângulo reto entre si.</p><p>A fórmula para o momento de uma força pode ser generalizada para situações</p><p>em que a força não se encontra em uma direção perpendicular à distância do</p><p>eixo de rotação, mas formando um ângulo qualquer entre os vetores,</p><p>conforme a figura a seguir:</p><p>Figura 10: Várias formas de decompor os vetores para o cálculo do momento.</p><p>Se os vetores força e a posição da força, , esta com módulo igual a d, podemos</p><p>escrever o vetor momento como:</p><p>Na figura anterior, todas as três possibilidades de decomposição resultam no</p><p>mesmo valor do momento. Podemos notar que o momento aponta para fora do</p><p>plano definido pelos dois vetores,</p><p>O vetor momento em três dimensões é dado pelo produto vetorial abaixo</p><p>(percebemos que a componente z é o valor do momento para a força e o braço</p><p>de alavanca, situados no plano Oxy):</p><p>Uma forma prática de calcular o momento , já que ele constitui um produto</p><p>vetorial, é pelo determinante:</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 13 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força</p><p>Resultando no mesmo vetor da expressão anterior.</p><p>Exemplo 1: (Momento em torno de um eixo) Dada uma força:</p><p>atuando em um ponto P cuja posição é dada por , qual é o</p><p>momento em torno de um eixo passando através da origem O com direção</p><p>?</p><p>Solução: A componente do momento na direção do vetor é dada pelo produto</p><p>escalar:</p><p>O vetor é dado por:</p><p>Assim,</p><p>O momento procurado é dado por:</p><p>Formas Especiais de Denotar o Vetor Momento</p><p>Nenhuma das notações especiais para rotações é necessária porque o momento</p><p>é um vetor como outro qualquer. Todavia, é muito comum encontrar em livros</p><p>ou em outros textos uma notação que sugere a natureza rotacional dessas</p><p>quantidades. A Figura 11 apresenta formas de representar o momento em duas</p><p>dimensões (a) e três dimensões (b e c).</p><p>Exemplo 2: (Momento de uma força) A força atua em um ponto A</p><p>de um objeto que possui um eixo de rotação passando por O, conforme</p><p>mostrado na Figura 12. A distância OA mede 2 m. Determine o momento da</p><p>força em torno do eixo no ponto O.</p><p>Solução: O momento é dado por (o símbolo entre dois vetores indica um</p><p>produto vetorial):</p><p>41</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 14 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força</p><p>Figura 11: Formas de se representar o momento em 2D (a) e 3D (b e c).</p><p>Lembrando que</p><p>e</p><p>, podemos escrever:</p><p>Figura 12: Corpo capaz de girar em torno do ponto O com uma força aplicada em A.</p><p>Exemplo 3: Uma placa quadrada de 2m x 2m é pendurada por um de seus</p><p>vértices. No vértice diagonalmente oposto, uma força de 50 N é aplicada por</p><p>uma corda AB que o está puxando. Determine o momento da força aplicada em</p><p>torno do centro C utilizando:</p><p>a) A componente da força perpendicular a</p><p>b) O braço de alavanca (a distância a partir de C perpendicular à força);</p><p>c) Os vetores</p><p>Figura 13: Uma placa quadrada pendurada pelo vértice O e puxada por uma corda presa ao vértice A.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 15 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força</p><p>Solução: a) Para encontrar o momento em torno do ponto C, precisamos</p><p>encontrar a componente de perpendicular a AC. Pela figura, vemos que a</p><p>componente desejada é , com Daí,</p><p>A direção e o sentido do momento são dados pela regra da mão direita, girando</p><p>os dedos de na direção de , o que dará isto é, o vetor está entrando na</p><p>página. Assim,</p><p>b) O braço de alavanca é a distância perpendicular a linha de ação da força a</p><p>partir do ponto C. Esta distância perpendicular é dada por</p><p>Veja a figura para uma melhor orientação:</p><p>Figura 14: Diagrama esquemático dos vetores, ângulo e braço de alavanca d.</p><p>Portanto, o momento de em torno de C é</p><p>c) O vetor 2</p><p>, pois a diagonal de um quadrado é igual ao</p><p>comprimento do lado multiplicado por</p><p>o vetor é dado por</p><p>Perceba que o vetor momento poderia ser calculado pelo produto vetorial:</p><p>Portanto, há várias formas equivalentes de se calcular o momento de uma força.</p><p>Exemplo 4: (Só para ir preparando o caminho para a próxima</p><p>unidade!) Um peso de 445 N é pendurado por duas cordas, conforme a Figura</p><p>15. Determine as forças , as respectivas tensões nas cordas.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 16 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força</p><p>Figura 15: Um corpo de peso W está preso por duas cordas no ponto P. As forças de tensão aparecem</p><p>no diagrama de baixo.</p><p>Solução: Método 1: Fazendo a decomposição das forças nas componentes</p><p>horizontal e vertical, temos:</p><p>Isto significa que cada um dos somatórios deve se anular:</p><p>Logo,</p><p>e</p><p>A solução do sistema é</p><p>Método 2: Construindo o vetor e fazendo o produto vetorial</p><p>com o vetor</p><p>, temos:</p><p>O resultado é</p><p>Percebe-se que nos dois parênteses aparecem somas, o que poderia sugerir a</p><p>existência de um somatório. Podemos notar também que cada termo da soma</p><p>possui unidade de momento (N.m), o que nos leva a concluir que o somatório é</p><p>para cada momento das duas forças que são escritas como A e B. E se o valores</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 17 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força</p><p>somatório dos momentos for nulo para situações estáticas (tal qual para as</p><p>forças), recaímos no mesmo par de equações para e , resultando nos</p><p>mesmos valores</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 18 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força</p><p>Material Complementar</p><p>Existem muitos sites excelentes na web sobre o assunto Equilíbrio do</p><p>Ponto Material e Momento de uma Força. A seguir, listaremos alguns que</p><p>julgamos interessantes:</p><p>http://www.estudefisica.com.br/etrb/1_ano/problemas_proposto</p><p>s/TP_V1_CAP_18.pdf</p><p>http://www.infoescola.com/fisica/equilibrio-estatico/</p><p>E para complementar seus conhecimentos, visite também:</p><p>http://www.brasilescola.com/fisica/equilibrio-um-ponto-material.htm</p><p>http://www.mecanicavetorial.com/menu_estrela.swf</p><p>http://rived.mec.gov.br/atividades/concurso2006/pontos/inde</p><p>x.html</p><p>Depois de ler o material e se informar</p><p>sobre o assunto, vamos pôr em prática</p><p>esses conhecimentos nas atividades!</p><p>Bom trabalho!</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 19 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força</p><p>Anotações</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 20 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força</p><p>Referências</p><p>BEER, F.P. & JOHNSTON JUNIOR, E.R. Mecânica Vetorial para</p><p>Engenheiros: Estática. 5ª Edição; São Paulo, Makron Books do</p><p>Brasil, 2005.</p><p>HIBBELER, R.C. Estática: Mecânica para Engenharia. 10ª</p><p>edição; São Paulo, Pearson Prentice Hall , 2006 (e-book).</p><p>MERIAM, J.L. Mecânica: Estática. 4ª Edição; Rio de Janeiro,</p><p>LTC – Livros Técnicos e Científicos, 1997.</p><p>GIACAGLIA, G.E.O. Mecânica Geral. 7ª Edição; São Paulo,</p><p>Nobel, 1977.</p><p>www.cruzeirodosul.edu.br</p><p>Campus Liberdade</p><p>Rua Galvão Bueno, 868</p><p>01506-000</p><p>São Paulo SP Brasil</p><p>Tel: (55 11) 3385-3000</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Mecânica Geral</p><p>M A T E R I A L T E Ó R I C O</p><p>Unidade IV:</p><p>Equilíbrio de Corpos Rígidos</p><p>Responsável pelo Conteúdo:</p><p>Prof. Dr. Jaime Sandro da Veiga</p><p>Revisão Textual:</p><p>Prof. Dr. Jaime Sandro da Veiga</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 1 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>zzzzzzzzzzzzzzz</p><p>Orientação de Estudos</p><p>Olá caros alunos,</p><p>Sejam bem-vindos a mais uma unidade de ensino e de aprendizagem da</p><p>disciplina de Mecânica Geral. Espero que tenham um excelente estudo e um bom</p><p>aproveitamento.</p><p>Há nesta unidade atividades que contemplam exercícios de sistematização</p><p>e aprofundamento do conteúdo em que aplicamos o que aprendemos sobre o</p><p>Equilíbrio de Corpos Rígidos.</p><p>A T E NÇ Ã O: Para um bom aproveitamento do curso, leia o</p><p>material teórico atentamente antes de realizar as atividades. É</p><p>importante também respeitar os prazos estabelecidos no</p><p>cronograma.</p><p>Olá, Caros Alunos:</p><p>Nesta unidade, abordaremos o Equilíbrio de Corpos</p><p>Rígidos, a fim de introduzir as duas condições para ocorrência de</p><p>um equilíbrio estático: o equilíbrio</p><p>de forças externas e o</p><p>equilíbrio de momentos. A resolução de problemas passa por um</p><p>importante método para simplificar a aplicação das condições de</p><p>equilíbrio: a construção de diagramas de corpos livres. Eles</p><p>constituem uma maneira de se apresentar em um diagrama</p><p>apenas as forças e momentos que participarão explicitamente do</p><p>balanço de forças e momentos.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 2 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos</p><p>Contextualização</p><p>Nesta unidade IV, iremos estudar o equilíbrio estático em corpos rígidos,</p><p>objetos que são idealizações de objetos reais, pois os corpos rígidos não</p><p>possuem flexibilidade, não se deformam, de forma que dois pontos quaisquer</p><p>pertencentes a ele mantêm a mesma distância entre si.</p><p>Os pontos fundamentais para o equilíbrio estático de corpos rígidos são: i) o</p><p>equilíbrio entre as forças agindo no corpo, em que estas forças devem resultar</p><p>em uma força total – a força resultante – nula; ii) o equilíbrio de momentos, em</p><p>que a soma de todos os momentos externos – o momento total resultante – deve</p><p>se anular. O que faz um corpo alterar seu estado de movimento translacional é</p><p>uma força externa resultante e o que faz o mesmo corpo alterar seu estado de</p><p>movimento rotacional é um momento (ou torque externo) ser nulo também.</p><p>Assim, a condição (i) estabelece um equilíbrio translacional e a condição (ii) é a</p><p>responsável pelo equilíbrio rotacional.</p><p>Estabelecidas as condições de equilíbrio, parece, à primeira vista, que será</p><p>muito fácil resolver os problemas de Estática que ocorrem em Engenharias: a</p><p>parte envolvendo os cálculos se reduzirá a um sistema de equações com o</p><p>mesmo número de incógnitas que, portanto, terá solução única - e direta - pelos</p><p>métodos comuns de resolução de sistemas. Mas, em geral, nos deparamos com o</p><p>problema de aplicar as condições de equilíbrio, pois às vezes ficamos confusos</p><p>em como representar as forças e momentos, em onde e como devemos localizar</p><p>o sistema de coordenadas. Em razão disto, a introdução de uma forma</p><p>sistemática de descrever as forças e momentos importantes para a resolução dos</p><p>problemas é introduzida. Tal método é conhecido como Diagramas de Corpos</p><p>Livres. Não é muito trivial seu aprendizado e tampouco a se acostumar com</p><p>suas regras de construção, habilidade que se consegue fazendo o maior número</p><p>de exercícios que for possível. Todavia, uma longa exposição foi feita a fim de</p><p>prover material de apoio suficiente para a resolução dos exercícios.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 3 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos</p><p>Equilíbrio de Corpos Rígidos</p><p>Introdução: O que é um corpo rígido?</p><p>Dizer que uma partícula permanece em equilíbrio é equivalente a dizer que ela</p><p>se encontra em repouso ou em um estado de movimento retilíneo e uniforme.</p><p>No entanto, em uma situação de equilíbrio estático, ela tem de necessariamente</p><p>estar parada. Isto acontece – o repouso ou o movimento retilíneo e uniforme –</p><p>sempre que a resultante de todas as forças que atuam sobre ela for igual a zero.</p><p>Essa é a 1ª lei de Newton, estudada na Unidade III. Essa condição de equilíbrio</p><p>pode ser estendida para corpos maiores do que uma partícula sempre que</p><p>tenhamos um corpo com dimensões desprezíveis quando comparadas às outras</p><p>dimensões envolvidas no sistema (neste caso, o corpo é conhecido por ponto</p><p>material). Damos como exemplo o sistema Terra-Sol, em que ambos podem ser</p><p>tratados como pontos materiais se compararmos suas dimensões com a</p><p>distância que os separa. Além disso, isso é válido também quando tratamos</p><p>todas as forças externas como se estivessem concentradas em um único ponto</p><p>do corpo extenso: o centro de massa. Recordando a declaração da 1ª Lei de</p><p>Newton, temos:</p><p>Uma partícula (ou ponto material) permanece no seu estado de</p><p>repouso ou de movimento retilíneo e uniforme a menos que uma</p><p>força resultante externa altere seu estad0 de movimento.</p><p>Resumindo, a condição de equilíbrio de forças pode ser estendida para corpos</p><p>maiores do que uma partícula sob uma de duas possíveis condições:</p><p> se as forças atuando sobre o corpo forem concorrentes (caso em que elas</p><p>são dirigidas para um único ponto);</p><p> se o corpo se move com movimento translacional uniforme, isto é, em</p><p>uma mesma direção fixa com velocidade constante, sem rotações.</p><p>Muitos dos problemas do equilíbrio de corpos extensos não preenchem estas</p><p>condições. As forças atuando sobre o corpo não passam através de um único</p><p>ponto, isto é, não são concorrentes, e o movimento do corpo não é um</p><p>movimento puramente translacional, mas pode incluir rotações também. O</p><p>movimento de um corpo extenso é, em geral, complicado, como é o caso de uma</p><p>raquete de tênis jogada para cima. A raquete é quase sempre lançada de modo a</p><p>girar em torno de um de seus eixos, mas, além disso, o próprio eixo de rotação</p><p>pode girar e o movimento consequente é uma superposição de uma translação</p><p>com uma rotação.</p><p>Devemos manter nossa atenção no estudo do equilíbrio de um corpo em relação</p><p>à rotação em torno de um eixo fixo. Embora todos os corpos materiais se</p><p>deformem de alguma forma sob a ação de forças aplicadas, é conveniente pensar</p><p>neles como corpos não deformáveis, isto é, rígidos. Assim, podemos definir um</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 4 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos</p><p>corpo rígido como aquele em que todas as dimensões permanecem as mesmas –</p><p>constantes -, não importando a natureza das forças aplicadas. No fundo, é o</p><p>mesmo que dizer que, escolhendo dois pontos quaisquer no corpo, eles</p><p>permanecerão sempre com a mesma distância, não importando o estado de</p><p>movimento. Com este conceito, a Estática de Corpos Materiais pode ser bastante</p><p>simplificada, pois ao invés de se ter de estudar o corpo como se ele fosse uma</p><p>vasta coleção de partículas para as quais as condições de equilíbrio devam ser</p><p>aplicadas para somente uma única partícula de cada vez, o corpo inteiro pode</p><p>ser tratado como um objeto único e seu equilíbrio pode ser estudado por</p><p>intermédio da introdução de um novo conceito chamado momento de uma</p><p>força (que também recebe o nome de torque), que é uma quantidade relativa a</p><p>rotações de corpos ou a movimentos de partículas em torno de eixos.</p><p>Momento de uma Força (Torque)</p><p>O efeito de uma força, ao produzir uma rotação, é determinado por dois fatores:</p><p>1. a força em si;</p><p>2. a distância da linha de ação da força, a partir de alguma reta considerada</p><p>como eixo de rotação.</p><p>Suponha que a força atue sobre um corpo rígido, como é mostrado na Figura</p><p>1; sua linha de ação é colinear ao vetor :</p><p>Figura 1: Uma força sendo aplicada em um corpo rígido a uma distância de um</p><p>ponto por por onde passa um eixo de rotação.</p><p>Imagine um eixo passando através de um ponto perpendicular ao plano da</p><p>tela do computador ou do papel, no caso do texto impresso, tal que a distância a</p><p>partir de à linha de ação da força seja igual a : O efeito da força na</p><p>produção da rotação em torno do eixo que passa por O, chamado momento da</p><p>força ou torque, é definido como o produto da força pela distância</p><p>perpendicular à linha de ação da força. Se representa o módulo do momento,</p><p>então:</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 5 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos</p><p>Como se pode ver na Figura 1, o momento tenderá a produzir uma rotação do</p><p>corpo em um sentido anti-horário em torno de um eixo passando por O; o</p><p>momento é dito estar</p><p>no sentido anti-horário. A Figura 2 apresenta um corpo</p><p>rígido sujeito a duas forças,</p><p>e</p><p>, a distâncias e , respectivamente, a partir</p><p>de um eixo passando por perpendicular ao plano da tela ou do papel, o que for</p><p>utilizado. O momento produzido por</p><p>em torno de é no sentido anti-</p><p>horário e o momento produzido por</p><p>em torno de é no sentido horário.</p><p>Por convenção, um momento no sentido anti-horário é costumeiramente</p><p>definido positivo e o no sentido horário oposto é definido negativo. Assim, o</p><p>momento total produzido por estas forças em torno do eixo passando por é:</p><p>Figura 2: Duas forças são aplicadas em pontos diferentes em relação ao eixo de</p><p>rotação</p><p>Sempre que o momento produzido por uma força em torno de um eixo</p><p>particular precisa ser determinado, é essencial descobrir a distância</p><p>perpendicular à linha de ação da força. Na Figura 3, a força é aplicada no</p><p>ponto E na borda de um disco. Para encontrar o momento em torno de um eixo</p><p>perpendicular ao plano da tela (ou papel) que passa pelo ponto no centro do</p><p>disco, é necessário estender o raio de ação da força mostrada pela linha</p><p>pontilhada e então descer uma perpendicular a partir de sobre este raio para</p><p>obter a distância perpendicular . O momento de em torno do eixo que passa</p><p>por é ; o sinal de menos indica que ele aponta no sentido horário.</p><p>As unidades usadas para expressar o momento devem ser coerentes com o</p><p>produto de uma força por uma distância. Assim, libra-força vezes pé</p><p>é costumeiramente utilizada no sistema britânico, newton vezes metro ( )</p><p>no sistema internacional ou dina vezes centímetro no sistema CGS,</p><p>pois todas elas são unidades apropriadas para o momento.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 6 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos</p><p>Figura 3: Uma força aplicada em um disco a uma distância do centro.</p><p>Representação Vetorial do Momento</p><p>Somente forças coplanares foram consideradas na discussão precedente. O eixo</p><p>em torno do qual os momentos das forças foram determinados estavam sempre</p><p>formando ângulos retos com os planos que continham as forças. Neste caso mais</p><p>simples, o sentido de rotação e, por conseguinte, o sentido do momento foi</p><p>especificado como sendo horário ou anti-horário. No caso mais geral, em que as</p><p>forças são não coplanares e o eixo de rotação pode estar em qualquer direção</p><p>arbitrária, é necessário que se tenha um método mais geral, consistindo em</p><p>representar o momento por um vetor.</p><p>Sistemas de coordenadas retangulares são ditos sistemas de mão direita quando</p><p>eles têm a disposição representada pelo conjunto de vetores , e que</p><p>aparecem na Figura 4.</p><p>Figura 4: Indicação da regra da mão direita.</p><p>Pela figura, se os dedos da mão direita estão apontando no sentido positivo do</p><p>eixo (representados na figura pelo vetor ) e as partes dos dedos que estão</p><p>dobradas de forma a apontar no sentido positivo do eixo (representados pelo</p><p>vetor ), o polegar que está esticado apontará no sentido positivo do eixo</p><p>(representado pelo vetor ). A disposição dos dedos e do polegar da mão direita</p><p>é comumente usada para representar quantidades vetoriais envolvendo</p><p>rotações. Se os dedos da mão direita fossem usados para girar o disco</p><p>representado na Figura 5, com os dedos apontando no sentido da rotação que a</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 7 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos</p><p>força aplicada em A pode produzir, o polegar estendido deve apontar na direção</p><p>do eixo de rotação. Para representar o momento produzido pela força em A</p><p>por um vetor, temos de desenhar um vetor de módulo dado por ,</p><p>apontando ao longo da linha do eixo de rotação no sentido da esquerda da</p><p>figura.</p><p>Figura 5: Ilustração da regra da mão direita mostrando o sentido do momento pelo</p><p>polegar.</p><p>Equilíbrio de um Corpo Rígido</p><p>Quando um corpo rígido permanece em repouso sob a ação de um sistema de</p><p>forças, diz-se que o corpo está em equilíbrio estático. Porém, sob condições</p><p>especiais, um corpo pode estar em equilíbrio até mesmo quando ele está em</p><p>movimento e, neste caso, diz-se que este corpo está em equilíbrio dinâmico. Por</p><p>exemplo, um corpo rígido está em equilíbrio se ele se move de tal forma que</p><p>cada partícula no corpo se move com velocidade uniforme em uma reta. Outro</p><p>tipo de equilíbrio dinâmico é aquele de uma roda girando em torno de seu eixo</p><p>com velocidade angular uniforme. Para um corpo rígido permanecer em</p><p>equilíbrio estático, quando um conjunto de forças atua sobre ele, duas</p><p>condições devem ser satisfeitas:</p><p>1. A soma vetorial de todas as forças agindo sobre o corpo deve ser nula.</p><p>Esta condição assegura que não haverá variação no estado do movimento</p><p>translacional. Escrevendo a condição na forma de uma equação, temos:</p><p>em que a soma vetorial engloba todas as forças atuando sobre o ponto</p><p>material em questão. Notemos que esta é a mesma condição para o</p><p>equilíbrio de uma partícula. Esta equação é conhecida como balanço de</p><p>forças.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 8 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos</p><p>2. A soma vetorial de todos os momentos agindo sobre um corpo em torno</p><p>de qualquer eixo é nula. Em se tratando de problemas bidimensionais,</p><p>isto é equivalente a dizer que a soma dos momentos no sentido horário</p><p>em torno de qualquer eixo deve ser igual a soma dos momentos no</p><p>sentido anti-horário em torno do mesmo eixo. Escrevendo esta condição,</p><p>na forma de uma equação, temos:</p><p>Esta condição sobre os momentos, a saber, que a soma dos momentos deve se</p><p>anular, é uma nova condição para o equilíbrio aplicável a um corpo rígido que</p><p>não era pertinente ao equilíbrio de uma partícula, já que todas as forças agindo</p><p>sobre a partícula tinham de se cruzar sobre a mesma. As forças agindo sobre um</p><p>corpo rígido, não atuam, em geral, sobre um único ponto no corpo e,</p><p>consequentemente, darão surgimento a um movimento rotacional, a menos que</p><p>a condição sobre os momentos seja satisfeita. Esta equação é conhecida como</p><p>balanço de momentos (ou balanço de torques).</p><p>Diagramas de Corpo Livre (DCL)</p><p>Um diagrama de corpo livre consiste em primeiramente fazer um esboço do</p><p>corpo em questão e colocar as flechas representando as forças aplicadas a ele. A</p><p>seleção do corpo para o esboço pode ser a primeira decisão importante no</p><p>processo de resolução de um problema. Por exemplo, para descobrir as forças</p><p>sobre a junta-pivô de um simples par de tenazes, como em uma pinça de</p><p>cadinho siderúrgico (ou químico) ou mesmo em um alicate, é útil que se faça um</p><p>esboço do DCL de uma das tenazes, não do sistema inteiro, substituindo a</p><p>segunda metade pelas forças que deveriam ser aplicadas à primeira.</p><p>O que deve ser incluído</p><p>O desenho de um DCL precisa incluir tão somente os detalhes necessários e</p><p>importantes. Em geral, um simples esboço é suficiente. Dependendo da análise a</p><p>ser feita e do modelo que está sendo empregado, até mesmo um único ponto</p><p>pode ser o mais adequado a ser representado por intermédio de um desenho. Se</p><p>a rotação do corpo e o momento estão sendo levados em consideração, o melhor</p><p>a fazer é desenhar o formato do corpo. Diagramas de corpo livre são chamados</p><p>assim porque o diagrama isola o corpo - daí o "livre”- de todos os outros corpos</p><p>interagentes, de forma que o diagrama focaliza apenas o corpo específico.</p><p>Desenhos de corpos em volta dos DCL podem ser necessários a fim</p><p>de</p><p>considerar os outros corpos interagentes do sistema.</p><p>Todos os contatos externos, vínculos e forças entre corpos são indicados por</p><p>flechas com descrições apropriadas. As flechas mostram a direção, sentido e</p><p>módulo das várias forças existentes no sistema em questão. Sempre que</p><p>possível, para propósitos práticos, as flechas devem indicar o ponto de aplicação</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 9 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos</p><p>das forças que elas representam. Apenas as forças que atuam sobre um objeto</p><p>são incluídas. Estes podem incluir forças tais como: a de atrito, a gravitacional, a</p><p>força normal, a de arrasto, tensões em cordas ou outras tensões, ou uma força</p><p>humana que irá empurrar ou puxar. Quando tratamos de um sistema que está</p><p>em um sistema de referência não inercial, forças fictícias tais como a</p><p>pseudoforça centrífuga, podem ser apropriadas. Um sistema de coordenadas é</p><p>usualmente incluído, de acordo com a conveniência. Isto pode tornar a definição</p><p>dos vetores mais simples no momento de escrever as equações de movimento.</p><p>Por exemplo, a direção pode ser escolhida de forma a apontar para baixo em</p><p>uma rampa no problema do plano inclinado. No caso da força de atrito, se tiver</p><p>apenas a componente a força normal só terá componente . A força de</p><p>gravidade terá ainda componentes em ambas as direções e : na</p><p>direção ( é o seno do ângulo ) e na direção , em que é o</p><p>ângulo que a rampa faz com a horizontal (veja a Figura 6).</p><p>Figura 6: Figura mostrando um bloco de massa m sujeito à aceleração da</p><p>gravidade g em um plano inclinado de um ângulo com coeficiente de atrito</p><p>O que não deve ser incluído</p><p>Todas as forças externas de contato e de vínculo escritas a partir dos objetos</p><p>externos são deixadas de fora e substituídas por flechas de força sobre o corpo</p><p>livre. As forças oriundas da aplicação do corpo livre sobre outros objetos não são</p><p>incluídas. Por exemplo, se uma bola repousa sobre uma mesa, a bola aplica uma</p><p>força sobre a mesa e a mesa aplica uma força sobre a bola igual e oposta. O DCL</p><p>da bola inclui apenas a força que a mesa faz sobre a bola. Forças internas, isto é,</p><p>as forças entre as várias partes que compõem um sistema que está sendo tratado</p><p>como um corpo simples são omitidas. Por exemplo, se um andaime inteiro está</p><p>sendo analisado para se descobrir as forças de reação no suporte, as forças entre</p><p>as diversas partes individuais do andaime não são incluídas. Qualquer</p><p>velocidade ou aceleração deve ser deixada de fora. Estas podem ser indicadas</p><p>em um diagrama parecido, chamado de "diagrama cinemático", "diagrama de</p><p>resposta inercial" ou algum termo equivalente, dependendo do autor.</p><p>Suposições</p><p>Um DCL reflete as suposições e as simplificações feitas a fim de analisar o</p><p>sistema. Se o corpo em questão é um satélite em órbita, por exemplo, e tudo o</p><p>que se quer é encontrar sua velocidade, então um simples ponto pode ser a</p><p>melhor representação. Por outro lado, a empinada traseira de uma moto,</p><p>quando ela é brecada fazendo com que o motociclista seja jogado um pouco para</p><p>a frente sobre o garfo dianteiro, não pode ser descrita a partir de um único</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 10 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos</p><p>ponto, e um esboço mais detalhado deve ser utilizado. Os vetores de força devem</p><p>ser cuidadosamente localizados para evitar suposições que pressupõem um</p><p>resultado. Por exemplo, em um diagrama de um bloco sobre uma rampa, a</p><p>localização exata da força normal, resultante da rampa sobre o bloco, pode</p><p>somente ser encontrada após a análise do movimento ou assumindo-se o</p><p>equilíbrio do sistema.</p><p>Exemplos</p><p>Dois exemplos bastante simples serão apresentados a seguir. Um deles, o de</p><p>uma bicicleta sendo brecada, cujo foco será a roda dianteira. O DCL deverá</p><p>apresentar o sistema de eixos (pode-se utilizar um sistema de mão direita com o</p><p>eixo orientado para baixo e o eixo orientado para a direita ou um sistema de</p><p>mão esquerda, com o eixo orientado para a direita e o eixo orientado para</p><p>baixo), a força de atrito do breque sobre a roda, a força de atrito do chão sobre a</p><p>roda e a força normal do chão sobre a roda. Dá para notar que as duas forças de</p><p>atrito estão com suas maiores componentes dirigidas ao mesmo sentido. Outro</p><p>exemplo é o de uma pessoa de pernas ligeiramente abertas mantendo-se em pé.</p><p>Há o peso da pessoa para baixo, as duas normais atuando uma em cada pé e as</p><p>duas forças de atrito recebidas no pé e aplicadas pelo chão em sentidos opostos,</p><p>ambas do sentido externo para o interno ao eixo de simetria bilateral (aquele</p><p>eixo imaginário que corta longitudinalmente uma pessoa ao meio, passando</p><p>pelo nariz e boca e pelo umbigo). Este par de forças de atrito, atuando nos pés,</p><p>permite que a pessoa se mantenha em pé; sem atrito, os pés escorregariam</p><p>fazendo com que as pernas se abrissem e a pessoa caísse.</p><p>Na Figura 7 há um esboço de cada sistema e o DCL de cada um dos sistemas em</p><p>questão.</p><p>Figura 7: Dois exemplos de diagramas de corpo livre: uma bicicleta sendo brecada</p><p>e uma pessoa em pé de pernas abertas.</p><p>O que mostrar e o que não mostrar em um diagrama de corpo livre?</p><p>Vamos falar um pouco mais acerca dos elementos de um bom DCL. Alguns</p><p>destes têm mais a ver com estilo, mas achamos que mesmo assim eles ajudarão</p><p>na resolução de problemas.</p><p> O sistema: Um DCL é um desenho do sistema para o qual você gostaria</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 11 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos</p><p>de aplicar os balanços de forças e de momentos ou o balanço de energia.</p><p>Ele apresenta o sistema isolado (livre) de seu meio ambiente, ou seja, o</p><p>DCL não apresenta objetos que estão próximos ou tocando o sistema de</p><p>interesse;</p><p> A palavra corpo significa sistema: Um DCL pode mostrar uma ou</p><p>mais partículas, objetos rígidos, objetos deformáveis ou partes</p><p>componentes de tal máquina. Você pode desenhar um DCL de qualquer</p><p>coleção de materiais que você identificar. A palavra corpo tem a</p><p>conotação de um objeto padrão nas mentes das pessoas. O corpo em um</p><p>DCL pode ser um subsistema de um sistema global de interesse. Para um</p><p>sistema de partes, há coleções de partes. Para os alicates</p><p>apresentados na Figura 11 há 4 partes e 15 DCL possíveis (6 deles foram</p><p>apresentados);</p><p> As forças que enganam em um sistema: O DCL de um sistema</p><p>apresenta as forças e momentos que o meio ambiente impõe ao sistema.</p><p>Isto é, já que o único método de interação mecânica que a Natureza</p><p>"inventou" é a força (e, por conseguinte, o momento para um corpo</p><p>extenso), um DCL apresenta o que deveria ser feito para "enganar" um</p><p>sistema, se fôssemos literalmente isolar tal sistema. Assim, o movimento</p><p>do sistema seria totalmente o mesmo se fôssemos isolá-lo e as forças</p><p>mostradas em um diagrama de corpo livre fossem aplicadas em</p><p>substituição a todas as interações externas;</p><p> Cada força possui uma fonte e um alvo: Toda força mostrada em</p><p>um DCL atua sobre o sistema (o corpo) e a partir de outro objeto de</p><p>acordo com alguma regra. Para cada força você deve ser capaz de</p><p>denominar um alvo (o corpo "livre"), a fonte (isto é, o corpo que está em</p><p>contato) e a regra (isto é, lei da gravidade, uma equação de mola, a força</p><p>suficiente para evitar interpenetração). Alguns índices podem ajudar, tais</p><p>como que indica a força que atua a partir de E sobre D;</p><p> Coloque forças em cortes: As forças e os momentos são localizados</p><p>em um DCL nos pontos aonde eles são aplicados. Estes lugares estão</p><p>onde você fizer os "cortes" para liberar o corpo;</p><p> O movimento é causado ou evitado por</p><p>forças: Em lugares aonde</p><p>o meio externo causa ou restringe a translação do sistema isolado, uma</p><p>força de contato é desenhada sobre o DCL;</p><p> A rotação é causada ou evitada por momentos: Em conexões com</p><p>o mundo exterior que causa ou restringe a rotação do sistema, um</p><p>momento de contato (ou um binário) é desenhado. Desenhe este</p><p>momento para fora do sistema para maior clareza;</p><p> Desenhe forças de contato para fora do corpo: Desenhe a força de</p><p>contato saindo do esboço do sistema para uma maior clareza. Um bloco</p><p>preso por uma dobradiça como na Figura 8 ilustra como a força de reação</p><p>sobre o bloco devido à dobradiça é melhor apresentada saindo do bloco.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 12 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos</p><p>Figura 8: A figura apresenta um bloco de massa m sendo mantido por uma</p><p>dobradiça com atrito. Estão desenhados os DCL correto e o errado.</p><p> Desenhe as forças sobre o corpo (por exemplo, a força da</p><p>gravidade) para dentro do corpo: O DCL apresenta o corte do</p><p>sistema livre da fonte de quaisquer forças de corpos aplicadas ao sistema.</p><p>Forças de corpos são forças que atuam sobre o interior de um corpo a</p><p>partir de objetos fora do corpo. É melhor desenhar as forças de corpos</p><p>sobre o interior do corpo exatamente no centro de massa, se isto</p><p>representar corretamente o efeito total dessas forças. A Figura 8 mostra a</p><p>forma mais limpa de representar a força de gravidade sobre o bloco</p><p>uniforme, atuando exatamente no centro de massa;</p><p> As forças internas não são desenhadas: O DCL mostra todas as</p><p>forças externas atuando sobre o sistema, mas nenhuma força interna, isto</p><p>é, forças entre os objetos dentro de um corpo não são mostradas;</p><p>Figura 9: DCL desenhado de forma errada, pois apresenta forças internas.</p><p> Não desenhe velocidades e acelerações: O DCL não apresenta nada</p><p>acerca do movimento. Ele não mostra "forças centrífugas", "forças</p><p>inerciais" etc.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 13 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos</p><p>Como desenhar as forças em um diagrama de corpo livre</p><p>Isto irá depender:</p><p> de quanto você sabe acerca da força antes de fazer sua análise.</p><p>Você conhece sua direção e sentido? Seu módulo?</p><p> da sua escolha de notação (que pode variar de vetor para vetor em</p><p>um DCL).</p><p>Algumas das possibilidades são:</p><p>1. Qualquer é possível;</p><p>2. A direção e o sentido de são conhecidos; e</p><p>3. Tudo a respeito de é sabido.</p><p>Observe na Figura 10 o processo de construção de um diagrama de corpo livre.</p><p>Figura 10: A figura apresenta o corte e o isolamento de DCL de um sistema</p><p>envolvendo a roda de um ônibus espacial.</p><p>A Figura 11 apresenta o processo correto de introdução das forças no DCL para</p><p>um alicate que prende um lápis com a mão apertando esse alicate.</p><p>Número de Equações e Número de Incógnitas</p><p>Em duas dimensões, as equações de equilíbrio perfazem três equações escalares</p><p>independentes. Podemos ter:</p><p> duas componentes do balanço de forças e uma componente não trivial do</p><p>balanço de momentos; ou</p><p> balanço de momentos em torno de dois pontos quaisquer (exceto na</p><p>direção ortogonal à linha que liga estes dois pontos);</p><p> balanço de momentos em torno de três pontos (três pontos quaisquer que</p><p>não estejam alinhados são suficientes).</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 14 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos</p><p>Figura 11: Mão apertando um lápis com o alicate. De (a) até (f), representação</p><p>correta dos DCL’s. Em (g), o detalhe do lápis e o alicate.</p><p>Note que o balanço de momentos necessariamente é parte das equações de</p><p>equilíbrio, mas o balanço de forças pode ser mais sutil. Com um diagrama 2D do</p><p>corpo livre, as equações de equilíbrio podem ser resolvidas de forma a encontrar</p><p>três incógnitas escalares; por exemplo:</p><p> os módulos das três forças cujas direções são conhecidas a priori; ou</p><p> um vetor força incógnita (as duas componentes, ou ângulo e módulo) e</p><p>um módulo desconhecido; ou</p><p> uma outra lista de três escalares associados às forças em um DCL. Além</p><p>disso, componentes de força e módulos podem incluir um ângulo da</p><p>força, ; um coeficiente de atrito, ; ou o local de aplicação da força.</p><p>Uma vez que temos três equações independentes, quaisquer equações adicionais</p><p>que venhamos a escrever, digamos o momento em torno de qualquer ponto</p><p>imóvel, esta não conterá qualquer informação extra. Uma quarta equação de</p><p>equilíbrio pode aparentemente parecer diferente de qualquer outra equação que</p><p>já foi escrita, mas certamente ela pode ser deduzida de combinações lineares das</p><p>outras equações. Em alguns problemas, as forças apresentadas em um diagrama</p><p>de corpo livre satisfazem automaticamente uma ou mais das equações de</p><p>equilíbrio; ao fazer o desenho, poderemos ter de implicitamente resolver</p><p>algumas equações de equilíbrio. As equações de equilíbrio então oferecem</p><p>menos (e até em algumas situações, nenhuma) informação nova.</p><p>Em 3D, as equações de equilíbrio produzem 6 equações escalares</p><p>independentes: 3 são para as componentes da força e 3 para as componentes do</p><p>momento. Mas há muitas combinações diferentes de equações de equilíbrio que</p><p>produzem 6 equações escalares independentes.</p><p>Resolução de alguns problemas simples</p><p>Exemplo 1: Vamos analisar as forças associadas com a operação de uma</p><p>alavanca. Essencialmente, uma alavanca consiste em uma barra rígida AB, como</p><p>na Figura 12, capaz de rodar em torno de um ponto de apoio , chamado de</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 15 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos</p><p>Figura 12: Figura mostrando uma alavanca com um peso, W, posto em A com uma</p><p>força F aplicada em B. Observe o fulcro sustentando a alavanca em O e aplicando-</p><p>lhe uma reação, P.</p><p>fulcro ou sustentáculo, que define o eixo de rotação. Suponha que um peso</p><p>seja colocado na extremidade A e que uma força seja aplicada para baixo na</p><p>extremidade B para manter a alavanca em equilíbrio na posição horizontal.</p><p>Aplicando a equação do equilíbrio de forças da barra AB, uma vez que as forças</p><p>e estão ambas na direção , a única outra força possível, a força exercida</p><p>pelo apoio em , deve estar também na direção</p><p>Chamando esta força de , a equação vetorial para essas forças deve ser:</p><p>.</p><p>Reescrevendo a equação com os símbolos W, P e F representando o módulo das</p><p>três forças, seus respectivos sentidos são tomados a partir dos sentidos das</p><p>flechas na figura, de forma que:</p><p>Logo,</p><p>.</p><p>Para aplicar a segunda condição para o equilíbrio, vamos determinar os</p><p>momentos das forças em torno do ponto em relação a um eixo que aponta</p><p>para fora da tela (ou do papel, caso seja uma cópia de impressão em papel). Se</p><p>considerarmos como a origem de um sistema de coordenadas com o eixo</p><p>positivo apontando à direita do ponto B, a direção positiva como a direção</p><p>dada pelo vetor , então o sentido positivo de aponta na direção normal para</p><p>fora da tela ou do papel, como dada pela convenção de sistemas de eixos de mão</p><p>direita. O momento de em torno de é , já que a rotação que seria</p><p>gerada por estaria no sentido anti-horário, e o vetor momento apontaria na</p><p>direção positiva de O momento de em torno de é , já que este</p><p>está no sentido horário; o momento de em torno de é zero. Todos os</p><p>momentos estão no sentido de positivo, de forma que aplicaremos as</p><p>condições para o equilíbrio de momentos:</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul</p><p>| 16 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos</p><p>ou, usando apenas as componentes, temos:</p><p>,</p><p>de modo que, finalmente, temos:</p><p>As distâncias e são chamadas de braços de alavanca das respectivas</p><p>forças e . Assim, no caso de uma alavanca, e estão na razão inversa de</p><p>seus braços de alavanca. Colocando-se o fulcro mais próximo a , deveremos</p><p>precisar de uma força menor para erguer . O fulcro pode ser colocado em</p><p>qualquer ponto ao longo da barra e as posições de e podem ser movidas de</p><p>forma a obter quase que qualquer resultado desejado consistente com a</p><p>aproximação que a barra permanece um corpo rígido. Muitas ferramentas</p><p>comuns são aplicações do princípio da alavanca, como pode ser visto a partir da</p><p>análise do uso da tesoura, do alicate, do cortador de unhas e do quebra-nozes.</p><p>Exemplo 2: Uma barra de aço de 5 ft (pés) de comprimento é suportada em</p><p>suas duas terminações, conforme mostrada na Figura 13. Um peso de 160 lbf</p><p>(libras-força) é colocado a 2 ft (pés) da extremidade A. Desprezando o peso da</p><p>barra, determine as forças exercidas pelos suportes.</p><p>Solução: As forças atuando sobre a barra de aço são mostradas na Figura 13.</p><p>Figura 13: Figura mostrando uma barra de aço e um peso sobre ela e as forças</p><p>atuando em suas extremidades.</p><p>As forças exercidas pelos suportes são apresentadas como e</p><p>. A partir da</p><p>condição de equilíbrio, obtemos:</p><p>Aplicando a segunda condição para o equilíbrio, ficamos com a liberdade de</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 17 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos</p><p>escolher qualquer eixo de rotação. Vamos escolher um eixo que passa através do</p><p>ponto A dirigido para a normal que sai da tela (ou do papel, caso se faça uma</p><p>cópia impressa). Seguindo o exemplo prévio, definimos esta como a direção</p><p>positiva. A soma dos momentos de todas as forças em torno de A é zero,</p><p>produzindo:</p><p>a partir da qual:</p><p>Substituindo esta na primeira equação resulta:</p><p>Este exemplo realmente representa a solução de uma classe de muitos</p><p>problemas em Estática. Se a linha AB representa uma simples ponte, então FA e</p><p>FB representam as forças exercidas pelos piers da ponte, e resolvemos o</p><p>problema da carga suportada pelos piers sob uma distribuição particular de</p><p>cargas. Se a linha AB representa o chassi de um caminhão, como bem poderia</p><p>ser com a substituição de números um pouco diferentes para a distância e peso,</p><p>então poderia representar o peso do motor e as duas forças poderiam</p><p>representar a carga suportada pelos pneus da frente e de trás.</p><p>Exemplo 3: Um bastão de 8 ft de comprimento e que pode ser considerado</p><p>sem peso, é preso a uma parede em uma ponta, como é mostrado na Figura 14a.</p><p>Para suportar o bastão horizontalmente, uma corda de 10 ft de comprimento é</p><p>esticada, puxando a ponta de fora do bastão para cima até chegar à parede a</p><p>uma distância de 6 ft acima do pino em que o bastão está preso. Encontre a</p><p>tensão na corda e a força exercida pelo pino sobre o bastão.</p><p>Figura 14: Uma barra suportando um peso é presa por uma corda em (a); em (b),</p><p>está representado o DCL deste sistema.</p><p>Observemos que estamos tratando do equilíbrio de um corpo rígido, isto é, de</p><p>um bastão. A partir das dimensões dadas, trata-se de um triângulo retângulo 3-</p><p>4-5, e o ângulo ACD é de 37°. Vamos isolar o bastão AC e rotular todas as forças</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 18 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos</p><p>atuando sobre ele, assim como é apresentado na Figura 14b. Uma vez que não</p><p>sabemos nem o módulo nem a direção da força exercida pelo pino em A, iremos</p><p>rotular também as componentes dessa força como e e desenhá-las nos</p><p>sentidos em que esperamos que essas forças atuem. Embora conheçamos a</p><p>direção da tensão na corda, é mais conveniente trabalhar em termos das</p><p>componentes da tensão e . As forças sobre o bastão são , , , e ,</p><p>cujos símbolos sem as flechas representam os módulos das forças, as direções</p><p>sendo dadas no diagrama. Seguindo tal procedimento, se uma das forças se</p><p>mostra negativa para a solução do problema, a direção da força particular será</p><p>oposta àquela mostrada na figura.</p><p>Nós aplicaremos na forma de componentes a equação para o balanço de forças</p><p>para o equilíbrio translacional de um corpo rígido:</p><p>Já que e são componentes de uma força podemos escrever:</p><p>Neste estágio, temos três equações e quatro incógnitas, , , e . Desta</p><p>forma, necessitamos de uma relação adicional entre essas quantidades para</p><p>obter a solução do problema. A segunda condição de equilíbrio, a condição dos</p><p>momentos, fornece a relação necessária. Mais uma vez, a direção positiva é</p><p>mantida, apontando para fora da tela (ou do papel). O eixo de rotação será</p><p>tomado na direção e a localização do eixo de rotação será escolhida passando</p><p>pelo pino A. As linhas de ação de todas as forças , e passam pelo ponto</p><p>A; consequentemente, essas forças não produzem torque em torno do eixo que</p><p>passa por A. Foi por essa razão que o ponto A foi escolhido para a localização do</p><p>eixo de rotação e não porque o pino estava localizado em A. O ponto C teria sido</p><p>igualmente uma boa escolha para a localização do eixo de rotação.</p><p>Substituindo na dos momentos em torno do eixo que passa por A, obtemos:</p><p>Logo,</p><p>Com este resultado, o problema inteiro é reduzido a manipulações algébricas.</p><p>Da relação entre as tangentes, obtemos:</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 19 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos</p><p>Usando as equações para o equilíbrio de forças e de momentos no eixo ,</p><p>encontramos:</p><p>ou</p><p>E das mesmas equações para , encontramos:</p><p>Por conseguinte, a tensão na corda T possui o módulo:</p><p>A direção e sentido de são conhecidos a partir da declaração do problema. O</p><p>módulo da força no pino A é dado por:</p><p>a direção da força pode ser definida em termos do ângulo que ela faz com a</p><p>barra considerada como eixo e, assim,</p><p>Interações</p><p>A forma com que os objetos interagem mecanicamente é pela transmissão de</p><p>uma força ou um conjunto de forças. Se quisermos apresentar o efeito que um</p><p>corpo B exerce sobre outro corpo A, no caso mais geral, podemos esperar que</p><p>uma força, ou um momento, será equivalente a um sistema complexo inteiro de</p><p>forças e momentos. A interação mais geral entre dois corpos requer o</p><p>conhecimento de:</p><p> três números em duas dimensões (duas componentes da força e uma</p><p>componente do momento); ou</p><p> seis números em três dimensões (três componentes da força e três</p><p>componentes do momento).</p><p>É comum que os objetos não interajam da forma a mais geral possível e, com</p><p>isto, menos números serão necessários. Algumas das formas mais comuns em</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 20 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos</p><p>que os objetos mecânicos interagem, pelo menos</p><p>de forma idealizada, serão</p><p>descritas a seguir.</p><p>Movimento Vinculado e Movimento Livre</p><p>Um princípio geral das forças de interação e dos momentos diz respeito aos</p><p>vínculos "geométricos". Onde quer que um movimento A seja causado ou</p><p>evitado por B há uma força correspondente mostrada no ponto de interação</p><p>sobre o DCL de A. Similarmente, se B causa ou evita rotação há um momento</p><p>mostrado sobre o DCL de A no ponto da interação. O inverso também é</p><p>verdadeiro. Muitos tipos de artefatos de acoplamentos mecânicos são, na</p><p>realidade, projetados para permitir o movimento. Se um acoplamento permite</p><p>movimento livre em dada certa direção (diz-se que possui um grau de</p><p>liberdade), então o DCL não apresenta força naquela direção. Se um</p><p>acoplamento permite rotação livre em torno de um eixo, então o DCL não</p><p>apresenta momento em torno daquele eixo. Poderíamos pensar em cada ponto</p><p>do acoplamento como tendo uma variedade de tarefas a fazer. Para cada</p><p>possível grau de liberdade de translação, ou rotação, o acoplamento ou tem de</p><p>permitir movimento livre ou restringir o movimento. De qualquer forma, o</p><p>movimento é restringido (ou causado) pela conexão com uma força ou com um</p><p>momento. O movimento de um corpo A é causado e restringido por forças e</p><p>momentos que atuam em A. O movimento é livremente permitido pela ausência</p><p>de tais forças ou momentos. Assim, demonstrando as ideias acima, estão</p><p>algumas das conexões ou acoplamentos mais comuns.</p><p>Cortes em Conexões "Rígidas"</p><p>Algumas vezes o corpo que você irá desenhar em um DCL está preso firmemente</p><p>a outro corpo. A Figura 15 mostra uma estrutura de alavanca presa em um</p><p>edifício.</p><p>Figura 15: DCL para o corte de uma alavanca presa a um edifício.</p><p>O DCL da alavanca tem de mostrar todas as possíveis forças e componentes de</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 21 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos</p><p>carga. Já que temos usado a notação vetorial para a força e para o momento da</p><p>força</p><p>, pode haver ambiguidade acerca de estarmos fazendo uma análise bi ou</p><p>tridimensional. A gravidade está apontando para baixo, então por que</p><p>mostramos uma força de reação horizontal em C? Esta é uma questão razoável</p><p>porque uma análise rápida da Estática mostra que, para um edifício e alavanca</p><p>estacionários,</p><p>deve ser vertical. Há duas razões para apresentar a força</p><p>horizontalmente:</p><p>1. A Mecânica inclui tanto Estática quanto a Dinâmica. Em Dinâmica, as</p><p>forças sobre um corpo não têm resultante zero. De fato, o edifício</p><p>mostrado na Figura 15 poderia estar sofrendo uma rápida aceleração para</p><p>a direita, devido a movimentos de um violento terremoto que estaria</p><p>acontecendo no instante em que foi desenhada a figura;</p><p>2. Seja ou não um terremoto, o acoplamento da alavanca ao edifício em C na</p><p>Figura 16 é seguramente feito para ser rígido e evitar que a alavanca se</p><p>mova para cima ou para baixo (queda) ou mover-se para os lados e girar</p><p>em torno do ponto C. Na maior parte da vida dos edifícios, a reação</p><p>horizontal em C é pequena. Mas, uma vez que a conexão em C evita</p><p>claramente o movimento horizontal relativo, é, em geral, melhor</p><p>desenhar uma força de reação horizontal no DCL. Desse modo, o mesmo</p><p>DCL fica adequado tanto durante os terremotos quanto nos dias normais.</p><p>Quando sabemos que uma força está caindo a zero, como as forças</p><p>laterais neste exemplo se tratadas como um problema de Estática, é uma</p><p>questão de gosto mostrar ou não as forças laterais no DCL. Nosso</p><p>conselho é “melhor prevenir do que remediar”; se não soubermos que</p><p>uma força, ou momento, está caindo a zero, mantenha-o no DCL. A</p><p>situação com conexões rígidas, como a já comentada alavanca, é</p><p>mostrada de forma mais abstrata em 3D e 2D na Figura 16.</p><p>Figura 16: DCL para cortes em 2D e 3D de uma conexão rígida presa a um corpo</p><p>rígido.</p><p>Cortes em Dobradiças</p><p>Uma dobradiça, mostrada na Figura 17, permite que se faça rotação e não deixa</p><p>que se faça translação. Assim, o DCL de um corte de objeto em uma dobradiça</p><p>não apresenta momento em torno do eixo da dobradiça, mas mostra a força ou</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 22 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos</p><p>suas componentes que evitam que se faça translação.</p><p>Figura 17: Representação de um DCL para uma junta com pino.</p><p>Há alguma ambiguidade acerca de como modelar as juntas com pinos</p><p>(dobradiças) em três dimensões. A ambiguidade é mostrada em relação à porta</p><p>com a dobradiça (Figura 18) e discutida a seguir.</p><p>Figura 18: Representação do DCL para uma dobradiça de porta.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 23 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos</p><p>Claramente, uma dobradiça, se é o único acoplamento, evita a rotação da porta</p><p>em torno do eixos e apresentados. Assim, é natural mostrar um momento na</p><p>direção , , e um momento na direção , . Mas, a dobradiça não evita</p><p>resistências muito firmes a rotações nessas direções comparadas à resistência da</p><p>outra dobradiça. Ou seja, até se ambas as dobradiças são modeladas com juntas</p><p>de bola e soquete (veja a seguir), que não oferecem nenhuma resistência à</p><p>rotação, a porta ainda não poderá rodar em torno dos eixos e .</p><p>Quando o vínculo opositor vence</p><p>Se uma conexão entre objetos evita a translação relativa ou rotação que já é</p><p>evitada por outra conexão opositora, então a reação da conexão mais vinculativa</p><p>é sempre desprezada. Até mesmo sem vínculos rotacionais, os vínculos</p><p>translacionais nas dobradiças A e B restringem a rotação da porta mostrada na</p><p>Figura 18. Assim, cada uma das duas dobradiças ficam bem modeladas, ou seja,</p><p>elas nos conduzirão a cálculos razoavelmente acurados de forças e movimentos -</p><p>por juntas de bola e soquete em A e B.</p><p>Em 2D, uma junta de bola e soquete é equivalente a uma dobradiça ou junta de</p><p>pino (com o eixo da dobradiça ortogonal à tela ou à pagina impressa).</p><p>Fazendo o alinhamento</p><p>Se duas conexões fazem a mesma tarefa, por exemplo, as duas dobradiças de</p><p>porta apresentadas na Figura 18, elas podem não fazer a tarefa exatamente da</p><p>mesma forma. Assim, por exemplo, dobradiças de porta precisam ser bem</p><p>alinhadas a fim de que a porta se abra de forma livre e evite que se faça grandes</p><p>forças e momentos em uma batalha entre as fechaduras.</p><p>Junta de Bola e Soquete</p><p>Algumas vezes se deseja prender dois objetos de forma a não permitir</p><p>movimento translacional relativo, porém que seja livre para fazer rotações. O</p><p>aparelho que é usado para este propósito é chamado de "junta de bola e soquete"</p><p>(confira a Figura 19). Ele é construído ligando-se rigidamente uma esfera (a</p><p>bola) a um dos objetos e prendendo rigidamente uma cavidade esférica parcial</p><p>(o soquete) ao outro objeto.</p><p>Figura 19: DCL em 2D e 3D para a junta de soquete e bola.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 24 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos</p><p>A junta do quadril humano é uma junta de bola e soquete (veja Figura 20).</p><p>Figura 20: Prótese de junta de bola e soquete.</p><p>Na extremidade superior do osso chamado "fêmur" está a cabeça femural, uma</p><p>esfera perfeita dentro de uma tolerância de vários centésimos de milímetro. O</p><p>osso do quadril possui uma capa esférica que de forma muito acurada se ajusta à</p><p>cabeça femural. A junta do quadril humano não é muito diferente de juntas</p><p>usinadas de bola e soquete. Suspensões de carros são construídas a partir de um</p><p>mecanismo tipo “suporte tridimensional”. Algumas das partes necessitam de</p><p>uma rotação relativa livre em três dimensões e, assim,</p><p>deve-se usar uma junta</p><p>chamada "junta de bola", ou "ponta de haste", que é uma junta de bola e</p><p>soquete. Já que esse tipo de junta permite todas as rotações, nenhum momento</p><p>é mostrado em um corte de junta de bola e soquete. Uma vez que ela evita</p><p>translação relativa em todas as direções, a possibilidade de forças em qualquer</p><p>direção é mostrada.</p><p>Barbantes, Cordas, Fios Metálicos e Correntes Leves</p><p>Uma maneira de manter uma torre de rádio para não cair é prendê-la com fios,</p><p>como mostrado na Figura 21. Se o peso dos fios é pequeno e a resistência do ar é</p><p>desprezível, é uma prática comum assumir que eles possam transmitir forças</p><p>somente ao longo da linha que ligam suas pontas. Os momentos não são</p><p>mostrados porque cordas, barbantes e fios metálicos, em geral, são tão flexíveis</p><p>que os momentos de enverga são desprezíveis. Para fios metálicos, a tensão é a</p><p>força puxando para fora em um corte no DCL.</p><p>Figura 21: Antena de rádio presa por fios de sustentação.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 25 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos</p><p>Material Complementar</p><p>Existem muitos sites excelentes na web sobre o assunto Equilíbrio de</p><p>Corpos Rígidos. A seguir, listaremos alguns que julgamos interessantes:</p><p>http://www.ctec.ufal.br/professor/enl/aurb006/9%20-</p><p>%20Equilibrio%20dos%20Corpos%20Rigidos.pdf</p><p>http://www.eletrica.ufpr.br/ufpr2/professor/49/TE224/Aula%205%2</p><p>0Equil%C3%ADbrio%20de%20um%20corpo%20r%C3%ADgido.pdf</p><p>E para complementar seus conhecimentos, visite também:</p><p>http://pt.wikibooks.org/wiki/Introdução_à_Física/Equilíbrio_dos_c</p><p>orpos_rígidos</p><p>http://www.mecanicavetorial.com/equilibrio/</p><p>http://rived.mec.gov.br/atividades/fisica/EXTERNOS/equiilibriun/a</p><p>equilibrium.html</p><p>Depois de ler o material e se informar</p><p>sobre o assunto, vamos pôr em prática</p><p>esses conhecimentos nas atividades!</p><p>Bom trabalho!</p><p>http://www.ctec.ufal.br/professor/enl/aurb006/9%20-%20Equilibrio%20dos%20Corpos%20Rigidos.pdf</p><p>http://www.ctec.ufal.br/professor/enl/aurb006/9%20-%20Equilibrio%20dos%20Corpos%20Rigidos.pdf</p><p>http://www.eletrica.ufpr.br/ufpr2/professor/49/TE224/Aula%205%20Equil%C3%ADbrio%20de%20um%20corpo%20r%C3%ADgido.pdf</p><p>http://www.eletrica.ufpr.br/ufpr2/professor/49/TE224/Aula%205%20Equil%C3%ADbrio%20de%20um%20corpo%20r%C3%ADgido.pdf</p><p>http://pt.wikibooks.org/wiki/Introdu%C3%A7%C3%A3o_%C3%A0_F%C3%ADsica/Equil%C3%ADbrio_dos_corpos_r%C3%ADgidos</p><p>http://pt.wikibooks.org/wiki/Introdu%C3%A7%C3%A3o_%C3%A0_F%C3%ADsica/Equil%C3%ADbrio_dos_corpos_r%C3%ADgidos</p><p>http://www.mecanicavetorial.com/equilibrio/</p><p>http://rived.mec.gov.br/atividades/fisica/EXTERNOS/equiilibriun/aequilibrium.html</p><p>http://rived.mec.gov.br/atividades/fisica/EXTERNOS/equiilibriun/aequilibrium.html</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 26 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos</p><p>Anotações</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 27 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade IV: Equilíbrio de Corpos Rígidos</p><p>Referências</p><p>BEER, F.P. & JOHNSTON JUNIOR, E.R. Mecânica Vetorial para</p><p>Engenheiros: Estática. 5ª Edição; São Paulo, Makron Books do</p><p>Brasil, 2005.</p><p>HIBBELER, R.C. Estática: Mecânica para Engenharia. 10ª</p><p>edição; São Paulo, Pearson Prentice Hall , 2006 (e-book).</p><p>MERIAM, J.L. Mecânica: Estática. 4ª Edição; Rio de Janeiro,</p><p>LTC – Livros Técnicos e Científicos, 1997.</p><p>GIACAGLIA, G.E.O. Mecânica Geral. 7ª Edição; São Paulo,</p><p>Nobel, 1977.</p><p>www.cruzeirodosul.edu.br</p><p>Campus Liberdade</p><p>Rua Galvão Bueno, 868</p><p>01506-000</p><p>São Paulo SP Brasil</p><p>Tel: (55 11) 3385-3000</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Mecânica Geral</p><p>Unidade V:</p><p>Baricentro e Centro de Massa</p><p>Responsável pelo Conteúdo:</p><p>Prof. Dr. Sergio Turano de Souza</p><p>Revisão Textual:</p><p>Prof. Dr. Jaime Sandro da Veiga</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 1 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>zzzzzzzzzzzzzzz</p><p>Orientação de Estudos</p><p>Olá caros alunos,</p><p>Sejam bem-vindos a mais uma unidade de ensino e de aprendizagem da</p><p>disciplina de Mecânica Geral. Espero que tenham um excelente estudo e um bom</p><p>aproveitamento.</p><p>Há nesta unidade atividades que contemplam exercícios de sistematização e</p><p>aprofundamento do conteúdo em que aplicamos o que aprendemos sobre o</p><p>Baricentro e Centro de Massa.</p><p>A T E NÇ Ã O: Para um bom aproveitamento do curso, leia o</p><p>material teórico atentamente antes de realizar as atividades. É</p><p>importante também</p><p>Kelvin K</p><p>Corrente elétrica Ampère A</p><p>Quantidade de matéria mol mol</p><p>Intensidade luminosa candela cd</p><p>Tabela 1: Grandezas f́ısicas fundamentais e suas</p><p>respectivas unidades f́ısicas no sistema internacional.</p><p>Com essas grandezas f́ısicas fundamentais, podem ser constrúıdas quais-</p><p>quer outras grandezas f́ısicas derivadas, de modo que qualquer propriedade</p><p>ou quantidade natural de qualquer fenômeno pode ser medida.</p><p>Obviamente, como anteriormente mencionado nos exemplos, na Mecânica</p><p>são necessárias as três primeiras grandezas f́ısicas - o comprimento, a massa</p><p>e o tempo - para construir as demais grandezas f́ısicas derivadas.</p><p>5</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Conceitos Básicos</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>2. Sistema Gaussiano ou CGS:</p><p>O sistema CGS também é muito utilizado, principalmente em Eletromag-</p><p>netismo. Suas principais grandezas e unidades fundamentais na Mecânica são</p><p>dadas na tabela 2 abaixo:</p><p>Grandeza Unidade</p><p>Comprimento cent́ımetro (cm)</p><p>Tempo segundo (s)</p><p>Massa grama (g)</p><p>Tabela 2: Grandezas f́ısicas fundamentais</p><p>da Mecânica no sistema CGS.</p><p>Há também outros sistemas de unidades. Alguns, inclusive, usam não a</p><p>massa e sim a força como grandeza fundamental. É o caso do sistema técnico,</p><p>em que a unidade de força é o quilograma-força ou kgf.</p><p>Dentre os sistemas de unidades mais usados, além dos dois já citados, ou</p><p>seja, o principal adotado no mundo, chamado Sistema Internacional (SI) ou</p><p>sistema MKS (devido às iniciais das unidades das três principais grandezas</p><p>fundamentais) e também o sistema CGS (nome dado devido às iniciais das</p><p>unidades da Mecânica que o compõem), destacamos os sistemas americano</p><p>e britânico, muito encontrados em documentos técnicos de empresas e em</p><p>livros americanos.</p><p>Adotaremos aqui o sistema internacional, mas na Engenharia é também</p><p>muito comum trabalharmos com unidades dos sistemas americanos.</p><p>Resumindo, medir uma grandeza f́ısica é compará-la com outra grandeza</p><p>de mesma espécie, que é a unidade de medida. Verifica-se, então, quantas</p><p>vezes a unidade está contida na grandeza que está sendo medida.</p><p>Unidades f́ısicas são, como vimos, valores padronizados como unitários</p><p>de uma dada grandeza f́ısica que têm por finalidade medir a magnitude das</p><p>mesmas.</p><p>Na F́ısica, podem ser feitas medidas de grandezas muito pequenas a</p><p>grandezas extremamente grandes, assim é necessário adotar técnicas que fa-</p><p>cilitem a escrita desses números, como a utilização da notação cient́ıfica, a</p><p>conversão de unidades e/ou o uso de prefixos para as unidades, baseados em</p><p>potências de dez.</p><p>6</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Conceitos Básicos</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>5 Notação Cient́ıfica</p><p>Existem muitas formas de se representar números com notação cient́ıfica.</p><p>Entretanto, a mais usada é a chamada notação cient́ıfica padrão ou padro-</p><p>nizada. Definimos notação cient́ıfica padronizada aquela em que se tem a</p><p>mantissa (coeficiente ou número com os algarismos significativos) com valor</p><p>maior ou igual a 1 e menor que 10, multiplicado por fatores de 10.</p><p>Desse modo, cada número é representado de um modo único, na forma:</p><p>N = M.10e, (3)</p><p>onde N é o número a ser representado, M é a mantissa e e o expoente.</p><p>Como exemplos, temos:</p><p>1. A dimensão média de um núcleo atômico é um número da ordem de</p><p>r=0,0000000000000010 m.</p><p>Em notação cient́ıfica, esse número deve ser escrito como:</p><p>r = 1,0 x 10−15 m</p><p>2. O raio da Terra é da ordem de 6400 km ou 6400000 m. Em notação</p><p>cient́ıfica, temos:</p><p>R = 6,400 x 107 m.</p><p>Exerćıcio 3: Escrever em notação cient́ıfica:</p><p>1. x = 64538,38 kg</p><p>2. y = 0,00000538 m</p><p>3. z = 6000000000 J</p><p>4. w = 0,0000000001 m</p><p>5. v = 168000000000000 N</p><p>7</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Conceitos Básicos</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>6 Prefixos</p><p>Outro recurso para se representar números muito grandes ou muito pe-</p><p>quenos é o de utilizar prefixos. Denominamos prefixos os śımbolos antepostos</p><p>às unidades f́ısicas, significando um fator de 10 multiplicativo à unidade.</p><p>Os prefixos mais usados são dados na tabela 3, a seguir.</p><p>Prefixo Prefixo Fator</p><p>Nome Śımbolo</p><p>Atto a 10−18</p><p>Femto f 10−15</p><p>Pico p 10−12</p><p>Nano n 10−9</p><p>Micro µ 10−6</p><p>Mili m 10−3</p><p>Quilo k 103</p><p>Mega M 106</p><p>Giga G 109</p><p>Tera T 1012</p><p>Peta P 1015</p><p>Exa E 1018</p><p>Tabela 3: Prefixos e seus respectivos valores</p><p>em potências de dez</p><p>Como exemplos, temos:</p><p>1. x = 0,000005 J = 5 µJ</p><p>2. y = 5830000000 g = 5,83 Gg</p><p>Exerćıcio 4: Escrever os números abaixo, usando prefixos:</p><p>1. x = 64538,38 kg</p><p>2. y = 0,00000538 m</p><p>3. z = 6000000000 J</p><p>4. w = 0,0000000001 m</p><p>5. v = 168000000000000 N</p><p>8</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Conceitos Básicos</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>7 Conversão de Unidades</p><p>Muitas vezes, é necessário saber passar um número de uma unidade para</p><p>outra, ou seja, devemos fazer a conversão de unidades.</p><p>Algumas conversões muito úteis são:</p><p>1. Conversão de unidades de distância:</p><p>Há muitas unidades de distância, sendo as unidades mais comuns, inclu-</p><p>sive sendo usadas no dia-a-dia, aquelas dadas na tabela 4:</p><p>km hm dam m dm cm mm</p><p>103 m 102 m 101 m 1 m 10−1 m 10−2 m 10−3 m</p><p>Tabela 4: Tabela de conversão com múltiplos e submúltiplos do metro.</p><p>2. Conversão de unidades de tempo:</p><p>Neste caso, muito comum no quotidiano, tem-se como unidades principais</p><p>as dadas na tabela 5, em que estão também indicadas as conversões entre as</p><p>principais unidades: dia, hora e segundo:</p><p>ano semana dia hora (h) minuto (min) segundo (s) ms</p><p>365 dias 7 dias 24 h 3600 s 60 s 1 s 10−3 s</p><p>Tabela 5: Tabela de conversão com múltiplos e submúltiplos do segundo.</p><p>2. Conversão de unidades de massa:</p><p>Neste caso, usamos os mesmos prefixos adotados no caso das conversões</p><p>de distância, como indicado na tabela 6:</p><p>kg hg dag g dg cg mg</p><p>103 g 102 g 101 g 1 g 10−1 g 10−2 g 10−3 g</p><p>Tabela 6: Tabela de conversão com múltiplos e submúltiplos do grama.</p><p>9</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Conceitos Básicos</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>3. Conversão entre o sistema internacional e o americano:</p><p>No caso das grandezas anteriores e de outras grandezas escritas no sis-</p><p>tema americano usual, torna-se muitas vezes necessário convertê-las para o</p><p>sistema internacional. No sistema americano usual, as unidades básicas são:</p><p>pé, libra e segundo, para as grandezas f́ısicas distância, força e tempo, res-</p><p>pectivamente. Neste caso, algumas destas conversões são dadas na tabela 7.</p><p>Grandeza Unidade Fator de conversão para o SI</p><p>Força 1 lb 4,4482 N</p><p>Massa 1 slug = (lb × s2)/pé 14,5938 kg</p><p>Comprimento pé 0,3048 m</p><p>Tempo s s</p><p>Tabela 7: Exemplos de conversão entre unidades do sistema americano e o SI.</p><p>Para se verificar relações de conversão entre diversas unidades, pode-se</p><p>consultar páginas espećıficas com esse tipo de função de cálculo, como:</p><p>http://www.webcalc.com.br/</p><p>Exemplo 1: Converter 80 km / h para pé / s:</p><p>Sabemos que:</p><p>1 km = 1000 m = 1000 x [ (100/2,54)/12 ] pé e</p><p>1 h = 3600 s.</p><p>Logo: 80 km / h = 80 x 1000 x 1 / ( 0,0254 * 12 * 3600 ) pé / s, de modo</p><p>que:</p><p>80 km/h ∼= 72,908 pé/s.</p><p>Exemplo 2: Converter 100 slug / pé2 para o SI:</p><p>Sabemos que:</p><p>10</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Conceitos Básicos</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>1 slug = 14,5938 kg e</p><p>1 pé = 0,3048 m .</p><p>Logo:</p><p>100 slug / pé2 = 100 x 14,5938 kg / (0,3048)2 m2,</p><p>de modo que:</p><p>100 slug / pé2 ∼= 1,57 x 104 kg / m2.</p><p>Exerćıcio 5: Executar os cálculos e conversões abaixo, expressando a</p><p>quantidade em unidades do SI (pesquise as unidades que desconhecer):</p><p>(a) 50 pés x 60 µlb</p><p>(b) 50 kN x 60 nm</p><p>(c) 100 kgf x 200 pés</p><p>(d) 500 lb / pés2</p><p>(e) 10 dyn x 20 ns</p><p>8 Dimensões</p><p>Denominamos dimensão de uma grandeza f́ısica a unidade</p><p>respeitar os prazos estabelecidos no</p><p>cronograma.</p><p>Olá, Caros Alunos:</p><p>Nesta unidade, abordaremos o tema Baricentro e Centro de</p><p>Massa, a fim de introduzir os métodos de determinação do ponto que</p><p>irá representar um conjunto de partículas ou um corpo rígido. Tal</p><p>ponto pode ser um centro de forças atuantes em um conjunto de</p><p>massas imersas em um campo gravitacional, o Baricentro, ou, no</p><p>caso do um ponto representante das massas, que é independente de</p><p>qualquer campo, o Centro de Massa. Quando o campo gravitacional</p><p>é uniforme, o baricentro coincide com o centro de massa. Há uma</p><p>distinção entre um sistema de partículas que estão separadas daquele</p><p>cujas partículas estão unidas dentro de um corpo. É o que veremos</p><p>no momento em que executaremos os cálculos para a localização de</p><p>tal ponto.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 2 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade V: Baricentro e Centro de Massa</p><p>Contextualização</p><p>Na Física e na Engenharia, em muitos casos, tratamos os objetos como se</p><p>fossem partículas, isto é, consideramos os objetos possuindo massa, mas não</p><p>dimensões.</p><p>Consideramos um corpo qualquer como sendo um conjunto de partículas e</p><p>determinamos a localização exata do ponto de aplicação da resultante das forças</p><p>peso que atuam sobre as partículas. Este ponto é chamado de baricentro.</p><p>Quando o campo gravitacional é uniforme, o baricentro (ou centro de gravidade)</p><p>coincide com o centro de massa do corpo em questão, mas em campos</p><p>gravitacionais não uniformes (por exemplo, em um aglomerado de asteroides),</p><p>essa coincidência não ocorrerá. O centro de massa se desloca da mesma maneira</p><p>que se deslocaria uma única partícula, sujeita ao mesmo conjunto de forças</p><p>externas. No vídeo a seguir vemos a trajetória de centros de massa.</p><p>http://www.youtube.com/watch?v=DY3LYQv22qY</p><p>http://www.youtube.com/watch?v=DY3LYQv22qY</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 3 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade V: Baricentro e Centro de Massa</p><p>Baricentro e Centro de Massa</p><p>Introdução: O que é um centro de massa?</p><p>Na Física e na Engenharia, em muitos casos, tratamos os objetos como se</p><p>fossem partículas, isto é, consideramos os objetos possuindo massa, mas não</p><p>dimensões.</p><p>Quando um corpo se desloca, há um ponto no corpo, chamado centro de</p><p>massa, que se desloca da mesma maneira que se deslocaria uma única partícula,</p><p>sujeita ao mesmo conjunto de forças externas. Isto continua sendo verdade se o</p><p>corpo estiver rodando ou vibrando durante o deslocamento, como mostra a Figura</p><p>1. O centro de massa fica situado no mesmo ponto conhecido como baricentro</p><p>(bari=peso), ou centro de gravidade, na situação de corpos ou de um único</p><p>corpo em um campo gravitacional uniforme, mas isso não é verdadeiro para</p><p>campos gravitacionais não uniformes.</p><p>Figura 1 - Uma raquete é jogada de um ponto a outro. Embora a raquete gire e dê volta</p><p>entorno de um eixo, existe um ponto deste eixo, que é o centro de massa, que percorre</p><p>uma trajetória parabólica simples.</p><p>Centro de massa de um sistema de partículas</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 4 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade V: Baricentro e Centro de Massa</p><p>Consideremos, primeiramente, o caso simples de um sistema de duas</p><p>partículas 1m e 2m , localizadas a distâncias 1x e 2x da origem O no eixo x , como</p><p>mostra a Figura 2.</p><p>Figura 2 - Sistema de duas partículas.</p><p>O centro de massa do sistema formado por estas duas partículas é um ponto</p><p>C à distância CMx da origem, definido como:</p><p>21</p><p>2211</p><p>mm</p><p>xmxm</p><p>xCM</p><p></p><p></p><p> (1)</p><p>Figura 3 - Sistema de duas partículas e seu centro de massa.</p><p>O centro de massa então pode ser definido como uma média ponderada</p><p>das coordenadas das partículas, em que o peso estatístico para cada partícula é a</p><p>fração da massa total que a massa de cada partícula representa.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 5 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade V: Baricentro e Centro de Massa</p><p>Podemos reescrever esta fórmula como sendo o produto da distância do</p><p>ponto C à origem pela massa total do sistema, chamada de 21 mmM  , que é</p><p>igual à soma dos produtos de cada uma das massas multiplicada pela sua</p><p>respectiva distância da origem, ou seja:</p><p>  221121 xmxmxMxmm CMCM  (2)</p><p>Se tivermos n partículas, nmmm ,...,, 21 , ao longo de uma linha reta, por</p><p>definição, o centro de massa destas partículas, em relação a uma origem, é:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>i</p><p>ii</p><p>n</p><p>nn</p><p>CM</p><p>m</p><p>xm</p><p>mmm</p><p>xmxmxm</p><p>x</p><p>...</p><p>...</p><p>21</p><p>2211</p><p>O símbolo  representa uma soma, que neste caso, é a operação de</p><p>adição aplicada a todas as n partículas. O somatório Mmi  é a massa total do</p><p>sistema. Assim, podemos reescrever a equação como:</p><p> iiCM xmxM</p><p>E se três partículas não estiverem em linha reta?</p><p>Considere agora três partículas localizadas em um plano, como mostra</p><p>a Figura 4.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 6 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade V: Baricentro e Centro de Massa</p><p>Figura 4 - O centro de massa das três massas, m1, m2 e m3, encontra-se no ponto C,</p><p>que tem coordenadas xcm e ycm e está no mesmo plano das três massas.</p><p>O centro de massa deste sistema é definido e localizado por:</p><p>321</p><p>332211</p><p>321</p><p>332211</p><p>mmm</p><p>ymymym</p><p>y</p><p>mmm</p><p>xmxmxm</p><p>x</p><p>CM</p><p>CM</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>com todas as medidas de x e y feitas no mesmo referencial cuja localização é</p><p>arbitrária.</p><p>Para um grande número de partículas coplanares (no mesmo plano),</p><p>o centro de massa é definido e localizado por:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>ii</p><p>i</p><p>ii</p><p>CM</p><p>ii</p><p>i</p><p>ii</p><p>CM</p><p>ym</p><p>Mm</p><p>ym</p><p>y</p><p>xm</p><p>Mm</p><p>xm</p><p>x</p><p>1</p><p>1</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 7 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade V: Baricentro e Centro de Massa</p><p>Para várias partículas, não necessariamente no mesmo plano, mas</p><p>distribuídas no espaço, o centro de massa é dado pelas coordenadas CMx , CMy</p><p>e CMz definidas como:</p><p> iiCM xm</p><p>M</p><p>x</p><p>1</p><p>;  iiCM ym</p><p>M</p><p>y</p><p>1</p><p>;  iiCM zm</p><p>M</p><p>z</p><p>1</p><p>Notação Vetorial</p><p>Podemos ter a posição de cada partícula, assim como a posição do centro</p><p>de massa, descrita pela notação vetorial por um vetor posição r</p><p></p><p>em um sistema de</p><p>referência particular. Assim,</p><p>kzjyixr iiii</p><p>ˆˆˆ </p><p></p><p>e</p><p>kzjyixr CMCMCMCM</p><p>ˆˆˆ </p><p></p><p>E a equação de CMr</p><p></p><p>pode ser reescrita como</p><p> iiCM rm</p><p>M</p><p>r</p><p> 1</p><p>DICA: Demonstre que esta equação é verdadeira.</p><p>Conclusão: O centro de massa de um sistema de partículas depende</p><p>apenas das massas das partículas e de suas posições espaciais em relação ao</p><p>sistema de referência. Em outras palavras, depende apenas da distribuição</p><p>espacial de massas.</p><p>Centro de Massa de Corpos Rígidos</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 8 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade V: Baricentro e Centro de Massa</p><p>Um corpo rígido, ou uma distribuição contínua de massa, como uma régua,</p><p>por exemplo, pode ser considerado como um sistema de partículas que estão muito</p><p>próximas. Portanto, um corpo rígido também tem um centro de massa.</p><p>Com frequência lidamos com objetos homogêneos que apresentam um</p><p>ponto, uma linha ou um plano de simetria. Então, seu centro de massa cairá no</p><p>ponto, linha ou no plano de simetria. Por exemplo, o centro de massa de uma</p><p>esfera homogênea estará no centro da esfera; o centro</p><p>de massa de um cone estará</p><p>sobre o seu eixo etc.</p><p>Em muitos casos, uma placa pode ser dividida em retângulos ou outras</p><p>formas usuais mostradas na Tabela 1.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 9 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade V: Baricentro e Centro de Massa</p><p>Tabela 1 - Centróides de formas comuns de superfícies.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 10 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade V: Baricentro e Centro de Massa</p><p>Se a placa é homogênea e de espessura constante, o baricentro, ou centro</p><p>de massa, C, é definido pelas coordenadas CMX e CMY . A abscissa CMX do centro</p><p>de massa da superfície pode ser determinada notando que o momento (ou torque)</p><p>de primeira ordem yM em relação ao eixo y da superfície composta pode ser</p><p>expresso como o produto CMX pela área total, ou como a soma dos momentos</p><p>(torques) de primeira ordem em relação ao eixo y das áreas elementares.</p><p>A ordenada CMY do centro de massa é determinada de maneira análoga, a</p><p>partir do momento de primeira ordem xM da superfície composta:</p><p> </p><p>  nCMnCMCMnCMx</p><p>nCMnCMCMnCMy</p><p>AyAyAyAAAYM</p><p>AxAxAxAAAXM</p><p></p><p></p><p>......</p><p>......</p><p>221121</p><p>221121</p><p>Ou, de forma compacta:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>iCMiCMx</p><p>iCMiCMy</p><p>AyAYM</p><p>AxAXM</p><p>i</p><p>i</p><p>Assim, utilizamos as equações que determinam os momentos de primeira</p><p>ordem da superfície composta para calcular as coordenadas CMX e CMY do centro</p><p>de massa:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>i</p><p>iCM</p><p>CM</p><p>i</p><p>iCM</p><p>CM</p><p>A</p><p>Ay</p><p>Y</p><p>A</p><p>Ax</p><p>X</p><p>i</p><p>i</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 11 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade V: Baricentro e Centro de Massa</p><p>Exemplos</p><p>Exemplo 1</p><p>Determine o centro de massa do sistema constituído por três partículas m1 = 1,0</p><p>kg, m2 = 2,0 kg e m3 = 3,0 kg. As partículas estão localizadas nos vértices de um</p><p>triângulo equilátero de lado 1,0 m.</p><p>Figura 5: Disposição de três massas diferentes nos vértices de um triângulo equilátero.</p><p>Resolução: Escolhemos o eixo como mostra a figura:</p><p>Figura 6: Apresentação das localizações de cada vértice no plano cartesiano.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 12 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade V: Baricentro e Centro de Massa</p><p>E calculamos</p><p>       </p><p>     </p><p>      </p><p>     </p><p>m</p><p>kgkgkg</p><p>mkgkgkg</p><p>m</p><p>ym</p><p>y</p><p>m</p><p>kgkgkg</p><p>mkgmkgkg</p><p>m</p><p>xm</p><p>x</p><p>i</p><p>ii</p><p>CM</p><p>i</p><p>ii</p><p>CM</p><p>433,0</p><p>0,30,20,1</p><p>866,0.0,30.0,20.0,1</p><p>583,0</p><p>0,30,20,1</p><p>5,0.0,30,1.0,20.0,1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>OBS: Note que o centro de massa não está no centro geométrico do triângulo. Por</p><p>quê?</p><p>Figura 7: Localização do centro de massa C. Ele está mais próximo da massa maior ou</p><p>da menor?</p><p>Exemplo 2</p><p>Achar o centro de massa da chapa triangular abaixo.</p><p>Figura 8: Chapa triangular para a qual se pretende encontrar a localização do centro de massa.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 13 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade V: Baricentro e Centro de Massa</p><p>Resolução: A chapa triangular pode ser dividida em faixas estreitas paralelas a</p><p>cada um dos lados. O centro de massa de cada faixa estará sobre a linha que une a</p><p>meia distância deste lado ao vértice oposto, como mostra a figura abaixo:</p><p>Figura 9: Divisão em tiras paralelas aos lados para encontrar o centro de massa da</p><p>chapa.</p><p>O centro de massa está na intersecção das três linhas.</p><p>Figura 10: Localização do centro de massa no encontro das três mediatrizes do</p><p>triângulo.</p><p>Exemplo 3</p><p>Determine a posição do centro de massa. Todas as medidas estão em metros.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 14 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade V: Baricentro e Centro de Massa</p><p>Figura 11: Cotas para a chapa que se pretende encontrar a localização do centro de</p><p>massa.</p><p>Resolução: Primeiro escolhemos um sistema de coordenadas (x,y) e dividimos a</p><p>peça em componentes.</p><p>Figura 12: Divisão da chapa em três figuras geométricas de centros de massa</p><p>conhecidos.</p><p>Analisamos a peça toda como uma soma de superfícies de forma comum.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 15 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade V: Baricentro e Centro de Massa</p><p>Figura 13: Decomposição da chapa em três figuras planas conhecidas.</p><p>Com o auxílio da Tabela 1, determinamos o centro de massa de cada superfície:</p><p>Figura 14: Localização dos respectivos centros de massa para proceder ao cálculo do</p><p>CM da chapa.</p><p>Como a peça é simétrica, é simples notarmos que o centro de massa, em relação</p><p>ao eixo x, está no meio na peça, ou seja, mXCM 0,6 . Mesmo assim, vamos</p><p>calcular para treinar.</p><p>Comecemos calculando as áreas:</p><p>222</p><p>3</p><p>2</p><p>22</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>24,50414,3</p><p>52,56</p><p>2</p><p>614,3</p><p>2</p><p>96812</p><p>mrA</p><p>m</p><p>r</p><p>A</p><p>mbhA</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 16 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade V: Baricentro e Centro de Massa</p><p>m</p><p>AAA</p><p>AyAyAy</p><p>A</p><p>Ay</p><p>Y</p><p>m</p><p>AAA</p><p>AxAxAx</p><p>A</p><p>Ax</p><p>X</p><p>CMCMCM</p><p>i</p><p>iCM</p><p>CM</p><p>CMCMCM</p><p>i</p><p>iCM</p><p>CM</p><p>i</p><p>i</p><p>6,5</p><p>2,505,5696</p><p>)2,508()5,56</p><p>3</p><p>64</p><p>8()964(</p><p>)(</p><p>)()()(</p><p>0,6</p><p>2,505,5696</p><p>)2,506()5,566()966(</p><p>)(</p><p>)()()(</p><p>321</p><p>332211</p><p>321</p><p>332211</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Assim, temos:</p><p>mY</p><p>mX</p><p>CM</p><p>CM</p><p>6,5</p><p>0,6</p><p></p><p></p><p>Exercícios</p><p>Exercício 1</p><p>Considere as partículas da Figura 15 abaixo. Determine as coordenadas do centro</p><p>de massa.</p><p>Figura 15: Localização das massas no plano cartesiano do problema referente ao</p><p>exercício 1.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 17 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade V: Baricentro e Centro de Massa</p><p>Resposta:</p><p>my</p><p>mx</p><p>CM</p><p>CM</p><p>25,0</p><p>75,1</p><p></p><p></p><p>Exercício 2</p><p>Determine a posição do centro de massa.</p><p>Figura 16: Chapa trapezoidal em que se fará a determinação do centro de massa,</p><p>referente ao exercício 2.</p><p>Resposta:</p><p>cmY</p><p>cmX</p><p>CM</p><p>CM</p><p>05,7</p><p>18,8</p><p></p><p></p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 18 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade V: Baricentro e Centro de Massa</p><p>Material Complementar</p><p>Existem muitos sites excelentes na web sobre o assunto Baricentro e Centro</p><p>de Massa. A seguir, listaremos alguns que julgamos interessantes:</p><p>http://www.fsc.ufsc.br/~canzian/bau/tcckarla/tcckarla.pdf</p><p>http://www.ceset.unicamp.br/~hiroshiy/ST511/CENTRO%20DE%20GRAVI</p><p>DADE%20DE%20FIGURAS%20PLANAS.pdf</p><p>http://www.ctec.ufal.br/professor/enl/mecsol1/7%20-</p><p>%20Forcas%20Distribuidas%20-%20CG,%20CM%20e%20C.pdf</p><p>E para complementar seus conhecimentos, visite também:</p><p>http://pt.wikibooks.org/wiki/Introdução_à_Física/Equilíbrio_dos_corpos_rí</p><p>gidos</p><p>http://www.planetseed.com/pt-br/node/41108</p><p>http://www.youtube.com/watch?v=u7RbExOgxjEl</p><p>Depois de ler o material e se informar</p><p>sobre o assunto, vamos pôr em prática</p><p>esses conhecimentos nas atividades!</p><p>Bom trabalho!</p><p>http://www.fsc.ufsc.br/~canzian/bau/tcckarla/tcckarla.pdf</p><p>http://www.ceset.unicamp.br/~hiroshiy/ST511/CENTRO%20DE%20GRAVIDADE%20DE%20FIGURAS%20PLANAS.pdf</p><p>http://www.ceset.unicamp.br/~hiroshiy/ST511/CENTRO%20DE%20GRAVIDADE%20DE%20FIGURAS%20PLANAS.pdf</p><p>http://www.ctec.ufal.br/professor/enl/mecsol1/7%20-%20Forcas%20Distribuidas%20-%20CG,%20CM%20e%20C.pdf</p><p>http://www.ctec.ufal.br/professor/enl/mecsol1/7%20-%20Forcas%20Distribuidas%20-%20CG,%20CM%20e%20C.pdf</p><p>http://pt.wikibooks.org/wiki/Introdu%C3%A7%C3%A3o_%C3%A0_F%C3%ADsica/Equil%C3%ADbrio_dos_corpos_r%C3%ADgidos</p><p>http://pt.wikibooks.org/wiki/Introdu%C3%A7%C3%A3o_%C3%A0_F%C3%ADsica/Equil%C3%ADbrio_dos_corpos_r%C3%ADgidos</p><p>http://www.planetseed.com/pt-br/node/41108</p><p>http://www.youtube.com/watch?v=u7RbExOgxjE</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 19 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade V: Baricentro e Centro de Massa</p><p>Leitura Complementar</p><p>CENTRO DE GRAVIDADE</p><p>Em um corpo extenso, seu peso é resultante de um grande número de</p><p>forças, pois cada partícula do corpo está sob o efeito de uma força gravitacional.</p><p>Imagine um corpo de massa M dividido em um grande número de</p><p>partículas. A atração gravitacional exercida pela Terra sobre uma partícula i , de</p><p>massa im será dada por gmi</p><p></p><p>. , apontando para o centro da Terra. Se a aceleração</p><p>da gravidade g</p><p></p><p>for uniforme e apontando na mesma direção em toda a região,</p><p>cada partícula do corpo sofre a atração da força peso que é paralelo à das demais</p><p>partículas. E as força-peso individuais podem ser substituídas por uma única força</p><p>gM</p><p></p><p>. aplicada no centro de massa do corpo e apontando para baixo.</p><p>O ponto de aplicação da força gravitacional resultante equivalente é</p><p>denominado centro de gravidade.</p><p>A coincidência do centro de gravidade com o centro de massa ocorre</p><p>porque supomos que o campo gravitacional terrestre é uniforme. Mas isto não é</p><p>inteiramente verdade, por dois motivos: o módulo de g</p><p></p><p>varia com a distância ao</p><p>centro da Terra; e g</p><p></p><p>tem a direção do raio terrestre e está orientada para o centro</p><p>da terra.</p><p>Imagine uma barra uniforme com comprimento de muitos quilômetros,</p><p>inclinada em relação à vertical e sob o efeito do campo gravitacional terrestre,</p><p>como mostra a Ilustração 1.</p><p>Ilustração 1 - Barra uniforme inclinada em relação à vertical sob o efeito do campo gravitacional</p><p>terrestre.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 20 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade V: Baricentro e Centro de Massa</p><p>O centro de gravidade G é o ponto em que deveria ser aplicada uma única</p><p>força para manter o ponto em equilíbrio, como o campo não é uniforme, o valor</p><p>de g em 1m é menor que seu valor em 2m .</p><p>Além disso, se mudarmos a orientação do corpo, a posição de G mudará</p><p>também.</p><p>Uma vez que praticamente todos os problemas de mecânica envolvem</p><p>objetos com dimensões pequenas, comparadas às distâncias onde há variação</p><p>apreciável de g</p><p></p><p>, supomos g</p><p></p><p>uniforme em todo o corpo e o centro de massa e o</p><p>centro de gravidade são considerados um só ponto.</p><p>Podemos utilizar esta coincidência entre C e G para determinarmos</p><p>experimentalmente o centro de massa de um objeto de forma irregular. Por</p><p>exemplo, considere uma final lâmina de forma irregular, mostrada na Ilustração 2.</p><p>Ilustração 2 - Fina lâmina de forma irregular.</p><p>Para se determinas experimentalmente o centro de massa do objeto,</p><p>suspende-se o corpo por um fio, por um ponto qualquer A do objeto. Com o corpo</p><p>em repouso, o centro de gravidade encontra-se diretamente abaixo do ponto de</p><p>suspensão. Em seguida, suspende-se o objeto por outro ponto B (se achar</p><p>necessário, faça para mais pontos). O centro de gravidade coincide com o centro</p><p>de massa, estando localizado no único ponto comum às linhas.</p><p>Ilustração 3 - Obtenção do centro de massa C.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 21 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade V: Baricentro e Centro de Massa</p><p>Anotações</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 22 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade V: Baricentro e Centro de Massa</p><p>Referências</p><p>BEER, F.P. & JOHNSTON JUNIOR, E.R. Mecânica Vetorial para</p><p>Engenheiros: Estática. 5ª Edição; São Paulo, Makron Books do</p><p>Brasil , 2005.</p><p>HIBBELER, R.C. Estática: Mecânica para Engenharia. 10ª</p><p>edição; São Paulo, Pearson Prentice Hall , 2006 (e-book).</p><p>MERIAM, J.L. Mecânica: Estática. 4ª Edição; Rio de Janeiro, LTC</p><p>– Livros Técnicos e Científicos, 1997.</p><p>GIACAGLIA, G.E.O. Mecânica Geral. 7ª Edição; São Paulo, Nobel,</p><p>1977.</p><p>www.cruzeirodosul.edu.br</p><p>Campus Liberdade</p><p>Rua Galvão Bueno, 868</p><p>01506-000</p><p>São Paulo SP Brasil</p><p>Tel: (55 11) 3385-3000</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Mecânica Geral</p><p>Material teórico</p><p>Responsável</p><p>pelo Conteúdo:</p><p>Prof. Dr. Antonio Carlos Bragança</p><p>Revisão Textual:</p><p>Profa. Ms. Rosemary Toffoli</p><p>Forças Distribuídas</p><p>5</p><p>Nesta unidade VI, temos por objetivo estudar as forças distribuídas com grandezas vetoriais,</p><p>saber caracterizá-las e determinar suas resultantes, através do conceito de sistemas dinamicamente</p><p>equivalentes. Além disso, deseja-se classificar os tipos de força, apresentar as características de um</p><p>sistema de forças, com isso estudar sua aplicação no equilíbrio de um corpo sujeito a ação de forças</p><p>distribuídas paralelas, assunto essencial da Estática, uma das subáreas da Mecânica.</p><p>Favor baixar a apostila da unidade, estudá-la e resolver os exercícios de aprofundamento e de</p><p>sistematização para nota, a fim de verificar o aprendizado do conteúdo da teoria.</p><p>O estudo dos textos e materiais disponíveis na bibliografia também é muito importante para</p><p>que se possa consolidar a compreensão dos conceitos.</p><p>Aconselhamos aos alunos que completem seus estudos por meio dos materiais complementares</p><p>e os exercícios propostos para a realização da unidade.</p><p>Forças Distribuídas</p><p>Ob</p><p>jet</p><p>iv</p><p>o</p><p>de</p><p>Ap</p><p>re</p><p>nd</p><p>iza</p><p>do</p><p>• Teoria Geral de Forças Paralelas</p><p>• Características de um Sistema de Forças</p><p>• Tipos de Forças</p><p>• Introdução</p><p>A unidade VI aborda o tema Forças Distribuídas, que é um assunto muito</p><p>importante para a modelagem matemática de alguns fenômenos físicos</p><p>envolvendo forças, que são intervenientes nos protótipos realizados pelas</p><p>engenharias, e que faz parte da área de Mecânica Geral. Esta unidade já está</p><p>disponível para o acesso. A data para a entrega de exercícios seguirá o mesmo</p><p>tempo costumeiramente dado à resolução dos outros exercícios.</p><p>O estudo das Forças Distribuídas divide-se em: propriedades das forças,</p><p>seus tipos, as características de um sistema de forças, a teoria geral de forças</p><p>paralelas e as resultantes de forças paralelas distribuídas. Esta unidade tem por</p><p>objetivo apresentar os conceitos elementares referentes ás Forças Distribuídas que</p><p>se baseia, principalmente, no princípio da transmissibilidade de forças e na</p><p>resultante de forças paralelas distribuídas, os quais oferecem, de forma prática,</p><p>procedimentos para a determinação de sistemas de força dinamicamente</p><p>equivalentes, simplificando a modelagem matemática dos fenômenos físicos</p><p>envolvidos na resolução de diversos problemas associados a forças distribuídas.</p><p>• Resultante de Forças Paralelas Distribuídas</p><p>6</p><p>U n i d a d e : F o r ç a s D i s t r i b u í d a s</p><p>Nesta unidade, estudaremos as forças distribuídas e aprenderemos a diferenciá-las das</p><p>chamadas forças concentradas. Veremos também as características de um sistema de forças e</p><p>a determinação da resultante de forças paralelas distribuídas e seu ponto de aplicação.</p><p>Inicialmente, estudaremos as propriedades das forças; em seguida, analisaremos os</p><p>tipos de forças e as características de um sistema de forças, o princípio da transmissibilidade e</p><p>a resultante de forças paralelas.</p><p>O estudo das Forças Distribuídas nos permitirá resolver problemas de Mecânica</p><p>envolvendo o conceito de forças de contato e forças de volume, pois os projetos de estruturas</p><p>utilizam amplamente esses conceitos. De fato, podemos citar como exemplo de aplicações de</p><p>vetores e forças na Engenharia o caso de quaisquer sistemas e mecanismos, em que é</p><p>necessário dimensionar quais os carregamentos que os sistemas suportarão, de modo que eles</p><p>se mantenham estáveis. Podemos também citar como aplicação na Estática o cálculo da força</p><p>máxima em barras, a fim de suportar as forças provenientes do peso próprio dos elementos</p><p>estruturais constituintes e as forças provenientes de sua utilização.</p><p>Com os tópicos estudados nesta unidade, os alunos poderão dominar os</p><p>conceitos básicos das forças distribuídas, para compreender e solucionar</p><p>problemas de estática.</p><p>Contextualização</p><p>7</p><p>Como visto nas unidades anteriores, uma força é criada pela interação entre dois</p><p>corpos. Quando dois corpos interagem, supõe-se que um dos corpos exerce a força e o outro</p><p>resiste a ela. Por exemplo, a força do campo gravitacional atua sobre os corpos e a Terra, A</p><p>hipótese adotada é de que a Terra exerce a força sobre o corpo e que este exerce a mesma</p><p>força sobre a Terra.</p><p>A terceira lei de Newton afirma que para toda força (ação), há uma força oposta de</p><p>mesma magnitude (reação). Considerar uma força sendo uma ação ou uma reação depende</p><p>do ponto de vista.</p><p>Assim, toda força (ação) é acompanhada por uma força de mesma intensidade e</p><p>oposta (reação).</p><p>A força de campo gravitacional geralmente é expressa em termos de uma característica,</p><p>que é o peso do corpo.</p><p>Exemplo resolvido 1 – Força Peso</p><p>Qual o peso de um corpo (P) de massa (m) igual a 1 kg?</p><p>Dado: aceleração da gravidade g = 9,8 m/s2.</p><p>Solução:</p><p>P = m g = 1 x 9,8 = 9,8 N (1)</p><p>Entretanto, como já visto, uma força tem como propriedades essenciais sua magnitude,</p><p>linha de direção, sentido e em algumas situações o ponto de aplicação.</p><p>Como visto, as forças podem ser representadas por vetores, que são segmentos de reta</p><p>orientados para representar forças. Assim, os vetores são abstrações matemáticas, criadas pelo</p><p>matemático e inventor Simon Stevin (1548-1620), cujas grandezas que se somam como forças</p><p>foram chamadas de vetores.</p><p>As forças da natureza são representadas matematicamente como sendo vetores, que</p><p>são abstrações matemáticas representadas graficamente por hastes com setas em uma das</p><p>extremidades.</p><p>1. Introdução</p><p>2. Tipos de Forças</p><p>8</p><p>U n i d a d e : F o r ç a s D i s t r i b u í d a s</p><p>• Força Concentrada (força pontual) – são as forças que atuam sobre pontos</p><p>específicos dos corpos. Essas forças são idealizadas, não existindo no mundo real.</p><p>Sempre a força está distribuída sobre uma superfície de contato. As forças</p><p>concentradas, ou pontuais, são aproximações das forças reais. Graficamente as forças</p><p>concentradas são representadas por vetores unitários (figura 1).</p><p>P = 40 kN</p><p>Figura 1 – Exemplo de força concentrada.</p><p>• Força Distribuída – são as forças reais que são causadas por contato de superfícies</p><p>ou por causa de fenômenos físicos atuando no volume de corpos. Graficamente as</p><p>forças distribuídas são representadas por uma série de vetores unitários, simbolizando a</p><p>distribuição da carga pelo comprimento, pela superfície ou pelo volume (figuras 2a, 2b</p><p>e 2c).</p><p>q = 40 kN/m</p><p>L = 5,00m</p><p>Figura 2a – Exemplo de força distribuída pelo comprimento.</p><p>q = 40 kN/m2</p><p>Figura 2b – Exemplo de força distribuída pela superfície.</p><p>9</p><p>q = 40 kN/m3</p><p>L = 8,00 m</p><p>D = 6,00 m</p><p>Figura 2c – Exemplo de força distribuída pelo volume.</p><p>• Força de Contato – são as forças que resultam de contato físico direto entre os</p><p>corpos, como no caso de uma barra apoiada sobre uma parede.</p><p>• Força de Volume – são as forças que estão distribuídas pelo volume do corpo sobre o</p><p>qual atuam, como no caso da força gravitacional do Sol exercida sobre a Terra. Em</p><p>geral as forças de volume são provenientes da ação gravitacional de corpos ou por</p><p>causa de fenômenos físicos como os efeitos eletromagnéticos ou inerciais.</p><p>• Forças Concorrentes – são duas ou mais forças que atuam sobre o mesmo ponto,</p><p>podendo ter direções e sentidos diferentes (figura 3).</p><p>F1</p><p>F2</p><p>F3</p><p>Figura 3 – Exemplo de um sistema de forças concorrentes.</p><p>• Forças Colineares – são as forças que possuem a mesma direção e estão na mesma</p><p>linha de ação, podendo ser concorrentes ou não. Elas não são concorrentes, quando</p><p>têm diferentes pontos de aplicação ao longo da mesma linha de ação (figura 4).</p><p>3. Características de um Sistema de Forças</p><p>10</p><p>U n i d a d e : F o r ç a s D i s t r i b u í d a s</p><p>F1</p><p>F2</p><p>F3</p><p>Figura 4 – Exemplo de um sistema de forças colineares.</p><p>• Forças Coplanares – são duas ou mais forças que estão no mesmo plano,</p><p>representando sistemas de força planos. Duas forças concorrentes sempre são</p><p>coplanares, pois sempre estão em um plano comum. Três ou mais forças concorrentes</p><p>não são necessariamente coplanares. Todos os sistemas de forças colineares são</p><p>coplanares. Também, forças coplanares não são necessariamente concorrentes (figuras</p><p>5a e 5b). As forças não-coplanares representam sistemas de forças tridimensionais</p><p>(figura 5c).</p><p>F1</p><p>F2</p><p>F3</p><p>X</p><p>Y</p><p>Figura 5a – Exemplo de sistema de forças coplanares concorrentes ou sistema de forças plano concorrentes.</p><p>F1</p><p>F2</p><p>F3</p><p>X</p><p>Y</p><p>Figura 5b – Exemplo de sistema de forças coplanares não concorrentes ou sistema de forças plano não</p><p>concorrentes.</p><p>11</p><p>F1</p><p>F2</p><p>F3</p><p>X</p><p>Y</p><p>Z</p><p>Figura 5c – Exemplo de sistema de forças não-coplanares ou sistema de forças tridimensionais.</p><p>Como visto nas outras unidades, corpo rígido é um corpo que não se deforma sob a</p><p>ação de forças, isto é ele não muda de tamanho ou de forma quando forças são nele</p><p>aplicadas. Um corpo rígido é uma idealização de um corpo real. Portanto, um corpo rígido</p><p>não existe, pois todos os corpos deformam sob a ação de forças, mas seu conceito é útil para</p><p>estudos físicos.</p><p>O Princípio da Transmissibilidade enuncia que o equilíbrio, ou o movimento, de</p><p>um corpo rígido não é alterado se o ponto de aplicação de qualquer força que age no corpo</p><p>for deslocado ao longo da linha de ação da força (figura 6).</p><p>P</p><p>F</p><p>- F</p><p>P</p><p>F</p><p>QF</p><p>P</p><p>QF= =</p><p>Figura 6 – Exemplo do princípio da transmissibilidade.</p><p>Observação: o princípio da transmissibilidade não se aplica a um corpo para o qual as</p><p>forças internas ou as deformações devem ser determinadas (figura 7).</p><p>4. Teoria Geral de Forças Paralelas</p><p>12</p><p>U n i d a d e : F o r ç a s D i s t r i b u í d a s</p><p>F F - F- F</p><p>Corpo Deformado</p><p>Figura 7 – A transmissão de forças altera as deformações do corpo.</p><p>• Deslocamento Lateral de uma Força - Supondo um corpo rígido submetido a uma</p><p>força F paralela ao eixo z, agindo em um ponto P (x, y) no plano xy. Seja um ponto</p><p>Q(x, 0), tal que a reta PQ é perpendicular ao eixo x. Faz-se a introdução no ponto Q</p><p>das forças autoequilibrantes F e –F. O novo sistema de forças, com as três forças</p><p>aplicadas em P e Q, é equivalente ao sistema de forças original com a única força</p><p>aplicada em P. O novo sistema de forças é dinamicamente equivalente à força F</p><p>aplicada em Q e um conjugado das forças F aplicada em P com a força –F aplicada</p><p>em Q gerando o momento Mx = y F, que atua em um plano vertical paralelo ao plano</p><p>yz (figura 8).</p><p>FF</p><p>- F</p><p>Y</p><p>Z</p><p>X</p><p>O</p><p>y</p><p>x</p><p>P (x, y)</p><p>Q (x, 0)</p><p>Figura 8 - Exemplo do deslocamento lateral de uma força para o ponto Q.</p><p>Se introduzir as forças autoequilibrantes F e –F no ponto O (origem do sistema</p><p>cartesiano), é possível transferir a carga F do ponto Q para o ponto O. Neste caso o</p><p>conjugado compensador para esta transmissão está no plano xz e valerá My = - x F. Assim,</p><p>para deslocar uma força F do ponto P para o ponto O irão surgir dois momentos</p><p>compensadores Mx e My (figura 9).</p><p>13</p><p>FF</p><p>- F</p><p>Y</p><p>Z</p><p>X</p><p>O</p><p>y</p><p>x</p><p>P (x, y)</p><p>Q (x, 0)</p><p>- F</p><p>F</p><p>Figura 9 - Exemplo do deslocamento lateral de uma força para o ponto O.</p><p>• Composição de Forças Paralelas - Sendo corpo rígido submetido à ação de várias</p><p>forças paralelas, as quais podem ser transferidas para um ponto qualquer, através da</p><p>adição de conjugados compensadores. Assim, as forças podem ser combinadas em</p><p>uma única força resultante R, e como todas as forças têm a mesma direção, sua soma</p><p>vetorial se reduz a uma soma algébrica.</p><p>R = ∑ Fi (2)</p><p>Se o ponto de transferência for o ponto O, origem do sistema cartesiano e as forças</p><p>forem paralelas ao eixo z, além da força F na origem O, surgem dois momentos</p><p>compensatórios Mx e My, que estão nos plano yz e xz respectivamente. Os momentos</p><p>compensatórios são a somatória de todos os momentos de todas as forças originais em relação</p><p>aos eixos x e y.</p><p>Mx = + ∑ yi Fi e My = - ∑ xi Fi (3)</p><p>• Eixo Resultante de um Sistema de Forças Paralelas - Como visto anteriormente,</p><p>várias forças paralelas podem ser compostas em um sistema dinamicamente</p><p>equivalente com uma única força resultante na origem e dois momentos</p><p>compensatórios. Como visto podemos, também, deslocar esta força resultante da</p><p>origem para um ponto qualquer (a, b) no plano xy. Se a resultante não for nula</p><p>podemos escolher o ponto (a, b) de forma que os momentos compensatórios Mx e My</p><p>sejam cancelados. Este ponto é o local onde a resultante das forças R exerce os</p><p>mesmos momentos em relação aos eixos x e y que as forças originais. A linha de ação</p><p>da resultante neste ponto é denominada de “eixo resultante do sistema de forças”.</p><p>14</p><p>U n i d a d e : F o r ç a s D i s t r i b u í d a s</p><p>Assim, se várias forças paralelas que atuam sobre um corpo rígido são paralelas ao eixo</p><p>z, e se sua soma vetorial não é nula, as forças dadas são dinamicamente equivalentes a uma</p><p>única força, desde que esta resultante esteja localizada de maneira que produza os mesmos</p><p>momentos em relação aos eixos x e y que todas as forças originais. Desta maneira, esta força</p><p>resultante estará sobre o eixo resultante do sistema de forças.</p><p>Exemplo resolvido 2</p><p>Para a placa rígida plana carregada com as forças paralelas não-coplanares,</p><p>perpendiculares à superfície da placa (figura 10), determinar:</p><p>a) A força resultante equivalente no ponto O da origem do sistema cartesiano e os dois</p><p>momentos compensatórios.</p><p>b) A posição da linha de ação da resultante que é dinamicamente equivalente às forças</p><p>que agem sobre a placa dada.</p><p>Solução:</p><p>Para os momentos utilizar a regra da mão direita (positivo quando o produto vetorial, “o</p><p>dedão da mão direita”, coincidir com o sentido crescente positivo dos eixos X ou Y).</p><p>F3 = 10 kNF2 = 30 kN</p><p>Y (m)</p><p>Z</p><p>X (m)</p><p>O</p><p>10 20 30</p><p>10</p><p>20</p><p>30</p><p>40</p><p>F4 = 20 kN</p><p>F1 = 50 kN</p><p>Figura 10 - Placa rígida plana carregada com as forças paralelas não-coplanares.</p><p>15</p><p>Força FZ (kN) X (m) Y (m) MX (kNm) MY (kNm)</p><p>F1 50 10 10 500 - 500</p><p>F2 30 20 0 0 - 600</p><p>F3 - 10 20 20 - 200 200</p><p>F4 - 20 30 10 - 200 600</p><p>Total 50 ------------ ------------ 100 - 300</p><p>a) RZ = 50 kN (positiva, significa no sentido crescente positivo do eixo Z) (4)</p><p>Mx = 100 kNm (positivo, significa o produto vetorial no sentido crescente positivo do eixo X).</p><p>(5)</p><p>My = - 300 kNm (negativo, significa o produto vetorial no sentido crescente negativo do eixo y)</p><p>(6)</p><p>MX = 100 kNm</p><p>Y (m)</p><p>Z</p><p>X (m)</p><p>O</p><p>10 20 30</p><p>10</p><p>20</p><p>30</p><p>40</p><p>R = 50 kN</p><p>MY = 300 kNm</p><p>Figura 11 – Resultante e momentos compensatórios na placa rígida plana.</p><p>b)</p><p>Para a determinação da linha de ação da força resultante determina-se o ponto P (a, b)</p><p>de tal forma que a força resultante nele aplicada produza os momentos Mx e My:</p><p>MX = b ∑ FZ ; b = 100/50 = 2,00 m (7)</p><p>16</p><p>U n i d a d e : F o r ç a s D i s t r i b u í d a s</p><p>MY = - a ∑ FZ; a = - (-300/50) = 6,00 m (8)</p><p>Portanto, o eixo resultante é perpendicular ao plano da chapa e passa pelo ponto P (6, 2).</p><p>• Equilíbrio do Corpo Rígido sob a Ação de Forças Paralelas - um corpo rígido</p><p>submetido a forças paralelas está em equilíbrio somente se a soma algébrica das forças</p><p>for nula e as somas dos momentos das forças em relação a um dos eixos quaisquer que</p><p>se interceptem e são perpendiculares às forças forem nulos.</p><p>Para um corpo rígido</p><p>submetido a forças que agem paralelamente ao eixo Z, elas</p><p>podem ser expressas unicamente em termos de seu sentido e de sua magnitude. As equações</p><p>para equilíbrio do corpo são:</p><p>∑ FZ = 0 (9)</p><p>∑MX =∑(+ yi Fi) = 0 (10)</p><p>∑MY = ∑(-yi Fi) = 0 (11)</p><p>A resultante e a linha de ação de uma força distribuída em uma linha podem ser</p><p>encontradas por analogia no centroide de uma área plana. O mesmo acontece para a</p><p>resultante e a linha de ação de uma força distribuída sobre uma área plana, que podem ser</p><p>encontradas por analogia no centroide de um volume.</p><p>Em algumas situações os efeitos de uma força distribuída podem ser determinados pela</p><p>substituição desta pela sua resultante. No caso dos corpos rígidos, a resultante tem o mesmo</p><p>efeito no equilíbrio que a força distribuída. No caso de corpos deformáveis, a força distribuída</p><p>produz deformações diferentes daqueles que seriam produzidos pela força resultante.</p><p>• Forças distribuídas em um segmento de reta - um segmento de reta pode</p><p>representar uma barra de um sistema. A resultante de forças paralelas pode ser</p><p>determinada pela teoria geral de forças paralelas vista na seção anterior.</p><p>Seja uma força distribuída q(x) agindo na barra retilínea AB. Considerando um</p><p>elemento infinitesimal de comprimento dx da carga a uma distância x de A. A resultante da</p><p>força distribuída é dada por:</p><p>∫=</p><p>L</p><p>dxxqR</p><p>0</p><p>)(</p><p>(12)</p><p>5. Resultante de Forças Paralelas Distribuídas</p><p>17</p><p>Para determinar a linha de ação da força resultante R faz-se o momento da força</p><p>distribuída em relação ao ponto A:</p><p>∫=</p><p>L</p><p>dxxqxM</p><p>0</p><p>)(</p><p>(13)</p><p>O momento M é dinamicamente equivalente ao momento da resultante R em relação</p><p>ao ponto A. Portanto, a linha de ação de R, localizada em X, é determinada pela expressão:</p><p>R</p><p>MX CG =</p><p>(14)</p><p>Y</p><p>XA B</p><p>q(x)</p><p>q(x) dx</p><p>A B</p><p>XCG</p><p>R</p><p>X dX</p><p>Figura 12 – Forças distribuídas em um segmento de reta.</p><p>A resultante R, também, é chamada de carga concentrada equivalente. Assim, o</p><p>módulo da resultante do carregamento é igual à área sob a curva da força distribuída, e a</p><p>linha de ação da resultante passa pelo centroide da referida área. Exemplos:</p><p>• Força uniformemente distribuída (carregamento retangular)</p><p>Força equivalente: R = área do retângulo = q L (15)</p><p>Distância da linha de ação da força equivalente até o ponto A: X = L/2 (16)</p><p>18</p><p>U n i d a d e : F o r ç a s D i s t r i b u í d a s</p><p>q</p><p>L</p><p>A B</p><p>R = q L</p><p>L /2</p><p>A B</p><p>L /2</p><p>Sistema de Forças Original Sistema de Forças</p><p>Dinamicamente Equivalente</p><p>Figura 13 – Sistemas de força dinamicamente equivalentes – carga retangular.</p><p>• Força uniformemente variável (carregamento triangular)</p><p>Força equivalente: R = área do triângulo = q L/2 (17)</p><p>Distância da linha de ação da força equivalente até o ponto A: X = 2L/3 (18)</p><p>A</p><p>R = q L/2</p><p>2L /3</p><p>B</p><p>L /3</p><p>Sistema de Forças Original Sistema de Forças</p><p>Dinamicamente Equivalente</p><p>q</p><p>L</p><p>A B</p><p>Figura 14 – Sistemas de força dinamicamente equivalentes – carga triangular.</p><p>Exemplo resolvido 3</p><p>A viga reta AB é submetida a uma força uniformemente distribuída na forma de um</p><p>trapézio com a menor força no ponto A de valor 20 kN/m e a maior força em B de valor 80</p><p>kN/m. Determinar:</p><p>a) A magnitude e a linha de ação da resultante da carga distribuída.</p><p>b) As reações de apoio da viga.</p><p>19</p><p>Solução:</p><p>Através do princípio da superposição de esforços o sistema de forças original é</p><p>substituído por um sistema de forças com uma força uniformemente distribuída na forma de</p><p>um triângulo, com a maior força no ponto B de valor 60 kN/m, superposta a uma força</p><p>uniformemente distribuída na forma de um retângulo de valor 20 kN/m.</p><p>Sistema de Forças Original</p><p>20 kN/m</p><p>6,00 m</p><p>A B</p><p>60 kN/m</p><p>=20 kN/m</p><p>6,00 m</p><p>A B</p><p>80 kN/m</p><p>Sistema de Forças</p><p>Dinamicamente Equivalente</p><p>Figura 15 – Sistemas de força dinamicamente equivalentes por superposição.</p><p>O sistema de forças dinamicamente equivalente pode ser analisado separadamente e</p><p>ser recomposto posteriormente.</p><p>20 kN/m</p><p>6,00 m</p><p>A B</p><p>60 kN/m</p><p>=</p><p>Sistema de Forças</p><p>Dinamicamente Equivalente</p><p>20 kN/m</p><p>6,00 m</p><p>A B</p><p>60 kN/m</p><p>6,00m</p><p>A B</p><p>+</p><p>Figura 16 – Sistemas de força dinamicamente equivalentes.</p><p>Fazendo a análise da força uniforme retangular:</p><p>120 kN</p><p>3,00m</p><p>A B</p><p>3,00m</p><p>20 kN/m</p><p>6,00 m</p><p>A B</p><p>Sistema de Forças Original Sistema de Forças</p><p>Dinamicamente Equivalente</p><p>=</p><p>Figura 17 – Sistemas de força dinamicamente equivalentes – força distribuída retangular.</p><p>20</p><p>U n i d a d e : F o r ç a s D i s t r i b u í d a s</p><p>Fazendo a análise da força uniforme triangular:</p><p>180 kN</p><p>4,00m</p><p>B</p><p>2,00m</p><p>A</p><p>Sistema de Forças Original Sistema de Forças</p><p>Dinamicamente Equivalente</p><p>60 kN/m</p><p>6,00m</p><p>A B =</p><p>Figura 18 – Sistemas de força dinamicamente equivalentes – força distribuída triangular.</p><p>Assim, o sistema de forças dinamicamente equivalente composto é:</p><p>120 kN</p><p>180 kN</p><p>4,00m</p><p>B</p><p>2,00m</p><p>A</p><p>3,00m</p><p>6,00m</p><p>3,00m</p><p>Figura 19 – Forças dinamicamente equivalentes ao sistema de força original.</p><p>a)</p><p>A magnitude da resultante é: R = 120 + 180 = 300 kN (19)</p><p>A linha de ação da resultante é:</p><p>mxx</p><p>R</p><p>MX CG 60,3</p><p>300</p><p>00,418000,3120</p><p>=</p><p>+</p><p>==</p><p>(20)</p><p>21</p><p>b)</p><p>Para determinar as reações de apoio, desenha-se o diagrama de corpo livre da viga,</p><p>substituindo-se a carga distribuída por sua resultante.</p><p>300 kN</p><p>3,60m</p><p>B</p><p>2,40m</p><p>A</p><p>6,00m</p><p>RVA RVB</p><p>X</p><p>Y</p><p>Figura 20 – Força Resultante e sua linha de ação.</p><p>Portanto, as equações de equilíbrio são:</p><p>)24(120:)21()23(</p><p>)23(180</p><p>)22(060,330000,6</p><p>)21(0300</p><p>↑=</p><p>↑=</p><p>=−=</p><p>=−+=</p><p>∑</p><p>∑</p><p>kNRemCom</p><p>kNR</p><p>xxRM</p><p>RRF</p><p>VA</p><p>VB</p><p>VBA</p><p>VBVAy</p><p>• Forças distribuídas em uma área plana - no caso da força distribuída q(x, y) que</p><p>atua em uma área plana A, a força infinitesimal df que atua sobre uma área</p><p>infinitesimal dA = dx dy, é definida como sendo o produto da força distribuída pela</p><p>área infinitesimal df = q (x, y)dA, pode ser considerada uma força pontual.</p><p>22</p><p>U n i d a d e : F o r ç a s D i s t r i b u í d a s</p><p>Y</p><p>Z</p><p>X</p><p>q (x, y)</p><p>dy</p><p>dx</p><p>q(x, y) dxdy</p><p>Figura 21 – Força distribuída em uma superfície plana.</p><p>Assim, a resultante R da carga distribuída é a somatória de todas as forças pontuais</p><p>agindo na área A:</p><p>∫∫=</p><p>A</p><p>dydxyxqR ),(</p><p>(25)</p><p>Os momentos MX e MY da carga distribuída q(x, y) em relação aos eixos X e Y</p><p>respectivamente são:</p><p>)27(),(</p><p>)26(),(</p><p>dydxyxqxM</p><p>dydxyxqyM</p><p>AY</p><p>AX</p><p>∫∫</p><p>∫∫</p><p>=</p><p>=</p><p>A linha de ação da força resultante R é determinada pelo fato de que os momentos de</p><p>R em relação aos eixos X e Y são dinamicamente equivalentes aos momentos MX e MY, da</p><p>carga distribuída q(x, y). O ponto de intersecção (XCG, YCG) da linha de ação de R com a área</p><p>A é:</p><p>XCG = MY/R (28)</p><p>YCG = MX/R (29)</p><p>23</p><p>Y</p><p>Z</p><p>X</p><p>R</p><p>(xCG, yCG)</p><p>Figura 22 – Resultante da carga distribuída na superfície e sua linha de ação.</p><p>Exemplo resolvido 4</p><p>A superfície plana retangular está submetida à força uniformemente distribuída q = 60</p><p>kN/m. Determinar a magnitude da reação R e a linha de ação da resultante da carga</p><p>distribuída.</p><p>q = 60 kN/m2</p><p>Z Y</p><p>X</p><p>Figura 24 – Carga distribuída na superfície plana.</p><p>24</p><p>U n i d a d e : F o r ç a s D i s t r i b u í d a s</p><p>Solução:</p><p>a)</p><p>A magnitude da resultante é: R = 60 x (8,00 x 6,00) = 2.880 kN</p><p>A linha de ação da resultante é:</p><p>m</p><p>y</p><p>X</p><p>dydyx</p><p>xdxdy</p><p>R</p><p>xdxdyq</p><p>R</p><p>M</p><p>X</p><p>CG</p><p>Ay</p><p>CG</p><p>00,4</p><p>880.2</p><p>520.11</p><p>880.2</p><p>3260</p><p>880.2</p><p>3260</p><p>880.2</p><p>2</p><p>60</p><p>880.2</p><p>60</p><p>6</p><p>0</p><p>8</p><p>0</p><p>6</p><p>0</p><p>8</p><p>0</p><p>2</p><p>6</p><p>0</p><p>8</p><p>0</p><p>===</p><p>===== ∫∫∫ ∫∫∫</p><p>(30)</p><p>)31(00,3</p><p>880.2</p><p>640.8</p><p>880.2</p><p>1860</p><p>880.2</p><p>1860</p><p>880.2</p><p>2</p><p>60</p><p>880.2</p><p>60</p><p>8</p><p>0</p><p>8</p><p>0</p><p>8</p><p>0</p><p>6</p><p>0</p><p>2</p><p>8</p><p>0</p><p>6</p><p>0</p><p>m</p><p>x</p><p>Y</p><p>dxdxy</p><p>ydxdy</p><p>R</p><p>ydxdyq</p><p>R</p><p>MY</p><p>CG</p><p>AX</p><p>CG</p><p>===</p><p>===== ∫∫∫ ∫∫∫</p><p>R</p><p>Z</p><p>Y</p><p>X</p><p>(XCG, YCG)</p><p>YCG</p><p>XCG</p><p>Figura 25 – Resultante e sua linha de ação na superfície plana.</p><p>Portanto, a linha de ação da resultante é: ( 4,00, 3,00)</p><p>25</p><p>Você também pode explorar os livros disponibilizados na biblioteca virtual Pearson.</p><p>http://sites.cruzeirodosulvirtual.com.br/biblioteca/</p><p>Material Complementar</p><p>http://sites.cruzeirodosulvirtual.com.br/biblioteca/</p><p>26</p><p>U n i d a d e : F o r ç a s D i s t r i b u í d a s</p><p>BEER, F. P.; JOHNSTON Jr, E.R., EISENBERG, E.R.; CLAUSEN, W. E. Mecânica vetorial</p><p>para engenheiros - estática. 7ª ed. São Paulo: Bookman - Artmed, 2006. 670p.</p><p>BORESI, Arthur P.; SCHIMIDT, Richard J. Estática – São Paulo: Pioneira Thomson</p><p>Learning, 2003.</p><p>HIBBELER, R. C. Estática. 8ª. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999. 528 p.</p><p>Referências</p><p>27</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>Anotações</p><p>Untitled</p><p>Untitled</p><p>genérica que</p><p>a caracteriza, independentemente do sistema de unidades que se use para</p><p>determiná-la.</p><p>A dimensão de uma grandeza permite que se estabeleçam as relações en-</p><p>tre as unidades fundamentais que a constituem. A notação para representar</p><p>a dimensão de uma grandeza f́ısica é dada por:</p><p>[ A ]: Lê-se ”dimensão da grandeza f́ısica A”.</p><p>As dimensões das grandezas fundamentais são dadas na tabela 8:</p><p>11</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Conceitos Básicos</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Grandeza Dimensão</p><p>Comprimento L</p><p>Tempo T</p><p>Massa M</p><p>Temperatura Θ</p><p>Corrente elétrica I</p><p>Quantidade de matéria N</p><p>Intensidade luminosa J</p><p>Tabela 8: Grandezas f́ısicas fundamentais</p><p>e suas respectivas dimensões f́ısicas.</p><p>Exemplo 1: A velocidade tem dimensão de espaço por tempo, logo:</p><p>[ v ] = [ s ] / [ t ]</p><p>[ v ] = L / T ou</p><p>[ v ] = LT−1.</p><p>Exemplo 2: A aceleração tem dimensão de velocidade por tempo, logo:</p><p>[ a ] = [ v ] / [ t ]</p><p>[ a ] = ( LT−1 ) / T ou</p><p>[ a ] = LT−2.</p><p>Exemplo 3: A força tem dimensão de massa vezes aceleração, logo:</p><p>[ F ] = [ m ] [ a ]</p><p>[ F ] = M .( LT−2 ) ou</p><p>[ F ] = MLT−2.</p><p>Exemplo 4: Determine a dimensão da energia cinética.</p><p>Exemplo 5: Determine a dimensão do trabalho de uma força.</p><p>12</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Conceitos Básicos</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>9 Revisão de Trigonometria</p><p>Trigonometria é um ramo da matemática que estuda as relações entre os</p><p>comprimentos dos lados e dos ângulos em um triângulo retângulo.</p><p>Na geometria euclidiana plana, definimos um triângulo retângulo como</p><p>um triângulo que possui um ângulo reto. Consequentemente, os outros dois</p><p>ângulos são agudos, tendo em vista que a soma dos ângulos internos de</p><p>qualquer triângulo é igual a 180o. Matematicamente:</p><p>Â+ B̂ + Ĉ = 180o (4)</p><p>A trigonometria é fundamental em várias áreas, tendo aplicações impor-</p><p>tantes nas ciências e na Engenharia.</p><p>Em um triângulo retângulo, se soubermos as medidas de dois lados ou a</p><p>medida de um lado e de um ângulo agudo, então podemos calcular a medida</p><p>dos demais lados e ângulos.</p><p>A relação entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo é a base</p><p>da trigonometria. Na figura 1, podemos visualizar a forma de um triângulo</p><p>retângulo e suas principais medidas.</p><p>Figura 1: Esquema de um triângulo retângulo, mostrando seus elementos:</p><p>lados, ângulos, altura e projeções.</p><p>Em um triângulo retângulo, os dois lados menores - que são cada um</p><p>oposto a um dos ângulos agudos - são chamados catetos, enquanto que o</p><p>maior lado, oposto ao ângulo reto, é chamado hipotenusa.</p><p>13</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Conceitos Básicos</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Na figura 1, os catetos têm medidas c e b, a hipotenusa tem medida a</p><p>e os ângulos são denotados com os respectivos nomes de seus vértices com</p><p>circunflexo (Â, B̂ e Ĉ). Além disso, identificamos na figura outras medidas</p><p>importantes, como as projeções dos catetos sobre a hipotenusa (m e n) e a</p><p>medida da altura (h) do triângulo em relação à hipotenusa.</p><p>10 Relações métricas em um triângulo retângulo</p><p>Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido do outro pela</p><p>multiplicação da medida de seus lados por um fator constante. Este é o caso</p><p>se, e somente se, seus ângulos correspondentes são iguais.</p><p>Em outras palavras, em triângulos semelhantes os comprimentos de seus</p><p>lados correspondentes são proporcionais, ou seja:</p><p>a1</p><p>b1</p><p>=</p><p>a2</p><p>b2</p><p>=</p><p>a3</p><p>b3</p><p>= k. (5)</p><p>Assim, se o maior triângulo tem seu maior lado três vezes maior que o do</p><p>segundo, então o mesmo ocorre entre as proporções dos demais lados corres-</p><p>pondentes.</p><p>Em um triângulo retângulo, podemos estabelecer relações métricas entre</p><p>seus elementos, aplicando as propriedades básicas da geometria euclidiana.</p><p>Usando como base o triângulo da figura 1, temos que o triângulo menor à</p><p>esquerda é semelhante ao triângulo ABC, pois possuem ao menos dois ângulos</p><p>iguais, logo os lados correspondentes são proporcionais:</p><p>a</p><p>c</p><p>=</p><p>c</p><p>n</p><p>, (6)</p><p>de modo que:</p><p>c2 = a.n. (7)</p><p>Analogamente, usando o mesmo racioćınio e montando as posśıveis pro-</p><p>porções, obtemos:</p><p>b2 = a.m (8)</p><p>e</p><p>bc = a.h. (9)</p><p>Com as relações acima, podemos provar o famoso Teorema de Pitágoras:</p><p>c2 + b2 = a.n+ a.m = a(m+ n) = a.a, (10)</p><p>14</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Conceitos Básicos</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>logo:</p><p>a2 = c2 + b2, (11)</p><p>cujo resultado nos fornece o enunciado:</p><p>”O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma das medidas dos</p><p>quadrados dos catetos.”</p><p>11 Propriedades trigonométricas em um</p><p>triângulo retângulo</p><p>Com as propriedades de semelhança, podemos definir as funções trigo-</p><p>nométricas em triângulos retângulos. Dois triângulos retângulos que têm</p><p>ângulos B correspondentes iguais são obviamente semelhantes, pois sabemos</p><p>da geometria que triângulos com dois ângulos iguais são semelhantes. A razão</p><p>entre o comprimento do lado oposto a B e o comprimento da hipotenusa será,</p><p>portanto, a mesma nos dois triângulos, sendo um valor entre 0 e 1 e que de-</p><p>pende somente de B.</p><p>Esta razão ou relação trigonométrica é denominada seno de B, sendo</p><p>denotada e definida matematicamente como:</p><p>sin B̂ =</p><p>cateto oposto ao ângulo</p><p>hipotenusa</p><p>. (12)</p><p>Assim, no triângulo da figura 1, temos:</p><p>sin B̂ =</p><p>b</p><p>a</p><p>. (13)</p><p>Outras funções que são posśıveis de definir em um triângulo retângulo são:</p><p>2. Cosseno:</p><p>cos B̂ =</p><p>cateto adjacente ao ângulo</p><p>hipotenusa</p><p>, (14)</p><p>de modo que, seguindo a figura 1, temos:</p><p>cos B̂ =</p><p>c</p><p>a</p><p>. (15)</p><p>15</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Conceitos Básicos</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>3. Tangente:</p><p>tan B̂ =</p><p>cateto oposto ao ângulo</p><p>cateto adjacente ao ângulo</p><p>. (16)</p><p>Matematicamente:</p><p>tan B̂ =</p><p>b</p><p>c</p><p>. (17)</p><p>4. Cotangente:</p><p>cot B̂ =</p><p>cateto adjacente ao ângulo</p><p>cateto oposto ao ângulo</p><p>. (18)</p><p>Matematicamente:</p><p>cot B̂ =</p><p>c</p><p>b</p><p>. (19)</p><p>5. Secante:</p><p>sec B̂ =</p><p>hipotenusa</p><p>cateto adjacente ao ângulo</p><p>. (20)</p><p>Matematicamente:</p><p>sec B̂ =</p><p>a</p><p>c</p><p>. (21)</p><p>6. Cossecante:</p><p>csc B̂ =</p><p>hipotenusa</p><p>cateto oposto ao ângulo</p><p>. (22)</p><p>Matematicamente:</p><p>csc B̂ =</p><p>a</p><p>b</p><p>. (23)</p><p>As razões trigonométricas definidas acima também podem ser definidas</p><p>para o outro ângulo agudo do triângulo retângulo, ou seja, em nossa figura,</p><p>o ângulo Ĉ. Como os ângulos são complementares, ou seja:</p><p>B̂ + Ĉ = 90o, (24)</p><p>então podemos concluir algumas propriedades interessantes, como:</p><p>sin x = cos (90o − x). (25)</p><p>16</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Conceitos Básicos</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>12 Ângulos notáveis</p><p>Denominamos ângulos notáveis alguns ângulos em que se pode determi-</p><p>nar de forma exata os valores de suas razões trigonométricas. Dentre os</p><p>ângulos agudos, são eles os ângulos de 30o, 45o e 60o.</p><p>A tabela a seguir mostra esses ângulos notáveis e os valores de suas razões</p><p>trigonométricas principais.</p><p>Ângulo Seno Cosseno Tangente</p><p>30o 1 / 2</p><p>√</p><p>3/2</p><p>√</p><p>3/3</p><p>45o</p><p>√</p><p>2/2</p><p>√</p><p>2/2 1</p><p>60o</p><p>√</p><p>3/2 1 / 2</p><p>√</p><p>3</p><p>Tabela 9: Ângulos notáveis e suas razões trigonométricas.</p><p>Esses valores podem ser demonstrados com propriedades da geometria</p><p>plana. Por exemplo, pode-se obter um triângulo retângulo a partir da divisão</p><p>de um retângulo por sua diagonal. Supondo um quadrado (figura 2), pode-se</p><p>mostrar os valores das razões para o ângulo de 45o:</p><p>Figura 2: Esquema de um quadrado, subdividido em dois</p><p>triângulos retângulos, com ângulos agudos de 45o.</p><p>De fato, neste triângulo, os catetos têm medidas iguais ao lado do quadrado</p><p>(a); logo, para qualquer um dos ângulos agudos, que são iguais a 45o, para</p><p>17</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Conceitos Básicos</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>que a soma forneça 90o, tem-se, por Pitágoras:</p><p>h2 = a2 + a2 ⇒ h2 = 2a2, (26)</p><p>de modo que:</p><p>h = a</p><p>√</p><p>2. (27)</p><p>Assim, as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente dadas na tabela 9</p><p>podem ser facilmente verificadas:</p><p>sin 45o =</p><p>a</p><p>a</p><p>√</p><p>a</p><p>⇒ sin 45o =</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>; (28)</p><p>cos 45o =</p><p>a</p><p>a</p><p>√</p><p>a</p><p>⇒ cos 45o =</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>(29)</p><p>e</p><p>tan 45o =</p><p>a</p><p>a</p><p>⇒ tan 45o = 1. (30)</p><p>Exemplos resolvidos:</p><p>1. Obter os valores das medidas dos catetos b e c abaixo, sabendo-se que</p><p>a hipotenusa mede 5 cm e o ângulo B̂ vale 30o.</p><p>Figura 3: Esquema do triângulo retângulo do exemplo 1.</p><p>Resolução:</p><p>Com os conceitos dados anteriormente, podemos escrever:</p><p>sin B̂ =</p><p>b</p><p>a</p><p>⇒ (31)</p><p>18</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Conceitos Básicos</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>sin 30o =</p><p>b</p><p>5</p><p>. (32)</p><p>Como da tabela de ângulos notáveis, sabemos que sin 30o = 1/2, então pode-</p><p>mos escrever:</p><p>1</p><p>2</p><p>=</p><p>b</p><p>5</p><p>, (33)</p><p>de modo que temos 2 b = 5 ou b = 2,5 cm.</p><p>Analogamente, podemos usar a razão cosseno para obter o outro cateto:</p><p>cos B̂ =</p><p>c</p><p>a</p><p>⇒ (34)</p><p>cos 30o =</p><p>c</p><p>5</p><p>. (35)</p><p>Como da tabela de ângulos notáveis, sabemos que cos 30o =</p><p>√</p><p>3/2, então</p><p>podemos escrever: √</p><p>3</p><p>2</p><p>=</p><p>b</p><p>5</p><p>, (36)</p><p>de modo que temos 2 b = 5</p><p>√</p><p>3 ou</p><p>b =</p><p>5</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>(37)</p><p>ou, aproximadamente, b=4,33 cm.</p><p>2. Obter os valores das medidas do cateto b e dos ângulos, sabendo-se</p><p>que a hipotenusa vale 12 m e o cateto c vale 6 cm.</p><p>Resolução:</p><p>Com os conceitos dados anteriormente, podemos escrever:</p><p>sin Ĉ =</p><p>c</p><p>a</p><p>⇒ (38)</p><p>sin Ĉ =</p><p>6</p><p>12</p><p>= 0, 5. (39)</p><p>Com a tabela de ângulos notáveis, conclúımos que Ĉ = 30o.</p><p>Como B̂ + Ĉ = 90o, obtemos:</p><p>B̂ = 60o.</p><p>19</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Conceitos Básicos</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Então, temos:</p><p>sin B̂ =</p><p>b</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Conceitos Básicos</p><p>a</p><p>⇒ (40)</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>=</p><p>b</p><p>12</p><p>⇒ (41)</p><p>b = 12</p><p>√</p><p>3</p><p>2</p><p>. (42)</p><p>Desse cálculo, obtemos: b = 6</p><p>√</p><p>3 ou, aproximadamente:</p><p>b = 10,39 cm.</p><p>Respostas dos exerćıcios propostos:</p><p>Ex.: 1)</p><p>(a) Corpo extenso.</p><p>(b) Part́ıcula.</p><p>(c) Part́ıcula.</p><p>(d) Corpo extenso.</p><p>(e) Part́ıcula ou corpo extenso, o que vai depender de seu tamanho e se</p><p>consideramos seu movimento em relação a um objeto na mesa como uma</p><p>colher ou em relação a um cubo de açúcar, por exemplo.</p><p>Ex.: 2)</p><p>(a) GFD (b) G</p><p>(c) G (d) G</p><p>(e) GFD (f) GFD</p><p>(g) GFF (h) GFD</p><p>(i) GFF (j) GFF</p><p>Ex.: 3)</p><p>1. x = 6,453838 x 104 kg</p><p>20</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>2. y = 5,38 x 10−6 m</p><p>3. z = 6 x 109 J</p><p>4. w = 1,0 x 10−10 m</p><p>5. v = 1,68 x 1014 N</p><p>Ex.: 4)</p><p>1. x = 64,53838 Mg</p><p>2. y = 5,38 µm</p><p>3. z = 6 GJ</p><p>4. w = 0,1 nm</p><p>5. v = 16,8 TN</p><p>Ex.: 5)</p><p>(a) 50 pés x 60 µlb = 0,0041 N.m</p><p>(b) 50 kN x 60 nm = 0,003 N.m</p><p>(c) 100 kgf x 200 pés = 5,98 x 104 N.m</p><p>(d) 5000 lb / pés2 = 2,39 x 105 N / m2</p><p>(e) 10 dyn x 20 ms = 2 x 10−6 N.s</p><p>21</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Conceitos Básicos</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Conceitos Básicos</p><p>Anotações</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Conceitos Básicos</p><p>Referências</p><p>HIBBELER, R. C. Estática - Mecânica Para Engenharia, Cap. 1, 10ª ed.</p><p>Pearson Prentice Hall, 2005.</p><p>IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar, Vol. 3: Trigonometria,</p><p>8ª ed. São Paulo: Editora Atual, 2004.</p><p>SHAMES, IRVING H. Estática - Mecânica Para Engenharia - Volume I, Cap. 1,</p><p>4ª ed. Pearson Prentice Hall, 1996.</p><p>www.cruzeirodosul.edu.br</p><p>Campus Liberdade</p><p>Rua Galvão Bueno, 868</p><p>01506-000</p><p>São Paulo SP Brasil</p><p>Tel: (55 11) 3385-3000</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Mecânica Geral</p><p>[Ano]</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Vetores e Forças</p><p>Vetores e Forças</p><p>MATERIAL TEÓRICO</p><p>Responsável pelo Conteúdo:</p><p>Prof. Dr. Victo dos Santos Filho</p><p>Revisão Textual:</p><p>Profa. Ms. Alessandra Cavalcante</p><p>Mecânica Geral</p><p>Unidade II: Vetores e Forças</p><p>1 Introdução</p><p>Como visto na Unidade I, a Mecânica estuda o estado de repouso e movi-</p><p>mento de um corpo.</p><p>No estudo do estado de equiĺıbrio ou movimento de um ou mais corpos,</p><p>necessitamos definir suas posições. Para tal, devemos adotar o que se chama</p><p>na Matemática ou na F́ısica um referencial ou sistema de coordenadas</p><p>de referência, em relação ao qual cada ponto correspondente à posição do</p><p>corpo será determinado,</p><p>formando então sua trajetória.</p><p>Um exemplo clássico desse conceito é o chamado sistema cartesiano de</p><p>coordenadas, que passamos a descrever por ser o mais simples e o mais usado</p><p>em Engenharia.</p><p>Um referencial é um corpo em relação ao qual se considera a localização</p><p>ou o estado de movimento dos objetos em estudo. Pode-se adotar qualquer</p><p>corpo como referencial, como part́ıculas ou corpos extensos (placas, postes,</p><p>etc.); entretanto, para que não haja ambiguidades e sim uma maior precisão</p><p>no processo de medida ou localização dos corpos em estudo, adota-se o que</p><p>se chama de sistema de referência.</p><p>Um sistema de coordenadas de referência é um sistema ou conjunto</p><p>formado por um ponto como referencial (chamado origem) e retas ou eixos</p><p>de coordenadas que nos permitem localizar os corpos em estudo.</p><p>Em uma dimensão (1D), temos como coordenada apenas a abscissa x,</p><p>como indicado na figura 1. Nesta figura, u representa a unidade de medida</p><p>de comprimento em que se mede a posição ou localização do corpo.</p><p>Em duas dimensões (2D), temos a abscissa x e a ordenada y como coor-</p><p>denadas. Assim, um móvel se localiza no ponto P(x,y), como vemos na figura</p><p>2 a seguir.</p><p>1</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Vetores e Forças</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>x</p><p>O +−</p><p>u</p><p>u : unidade de medida</p><p>Figura 1: Esquema de um sistema de referência 1D</p><p>P (x, y)</p><p>x</p><p>O +−</p><p>u</p><p>y</p><p>+</p><p>−</p><p>Figura 2: Esquema de um sistema de referência 2D.</p><p>Já em três dimensões (3D), para localizar o móvel, devemos atribuir-lhe</p><p>três coordenadas, de modo que o ponto fica determinado com o terno orde-</p><p>nado (x,y,z). Assim, por exemplo, um corpo que saiu da origem e atingiu 3m</p><p>em Ox, 2m em Oy e -1m em Oz, terá como localização P(3,2,-1).</p><p>Definimos trajetória o conjunto dos pontos ocupados por um corpo ou</p><p>o caminho por ele percorrido. Para estabelecermos em que posição ele se</p><p>encontra na trajetória e se ele está em repouso ou em movimento, devemos</p><p>associar um sistema de coordenadas de referência ou um referencial ao espaço,</p><p>de modo a poder definir quantitativamente em que ponto ele se encontra em</p><p>relação à origem adotada.</p><p>2</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Vetores e Forças</p><p>2 Grandezas Escalares e Vetoriais</p><p>Há, na F́ısica, dois tipos de grandezas f́ısicas: grandezas que se carac-</p><p>terizam apenas por sua magnitude e outras que se caracterizam por sua</p><p>magnitude, sua direção e seu sentido.</p><p>Chamamos grandezas escalares ou simplesmente escalares aquelas</p><p>que são determinadas apenas por suas intensidades. Por exemplo, se disser-</p><p>mos que um corpo possui massa de 80 kg, então essa propriedade f́ısica está</p><p>completamente determinada, possuindo uma medida em uma dada unidade</p><p>f́ısica.</p><p>Como exemplo de grandezas escalares, podemos citar:</p><p>1. A massa de um corpo;</p><p>2. A temperatura de um corpo;</p><p>3. O tempo;</p><p>4. O trabalho para mover um corpo;</p><p>5. A energia cinética de um corpo em movimento;</p><p>6. A energia potencial de um corpo a uma dada altura do solo.</p><p>Obviamente, quando dizemos grandezas escalares, estamos nos referindo</p><p>a grandezas f́ısicas do tipo escalar, de modo que devemos sempre representá-</p><p>las por um número e uma unidade, com exceção de grandezas que caracteri-</p><p>zam ou medem quantidades enumeráveis ou adimensionais, que não possuem</p><p>unidades f́ısicas, como o número de esferas em uma caixa, o número de mols</p><p>de uma substância ou a razão de duas grandezas de mesma natureza.</p><p>Chamamos grandezas vetoriais ou vetores as grandezas que são de-</p><p>terminadas somente se forem dadas três caracteŕısticas fundamentais:</p><p>• Magnitude, intensidade ou módulo;</p><p>• Direção (ângulo da reta suporte do vetor em relação ao sistema de</p><p>referência adotado);</p><p>• Sentido.</p><p>3</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Vetores e Forças</p><p>Por exemplo, se você viaja com velocidade de 30 km/h entre o Rio de</p><p>Janeiro e São Paulo, sua grandeza f́ısica velocidade não está completamente</p><p>determinada, a não ser que você especifique a direção (a estrada em que</p><p>trafega, como a Via Dutra ou a Carvalho Pinto) e o sentido (indo ou vindo</p><p>para São Paulo).</p><p>A notação para um vetor é dada pela medida da grandeza em negrito ou</p><p>com uma seta, podendo também se colocar uma seta sobre o segmento da</p><p>reta suporte que fornece a direção do vetor, como mostrado na figura 3 e</p><p>expresso matematicamente como:</p><p>a = ~a =</p><p>−→</p><p>AB . (1)</p><p>A notação para o módulo de um vetor é dada por:</p><p>a = |~a|. (2)</p><p>Definimos um versor como um vetor com magnitude unitária, que deno-</p><p>tamos por û. Dado um vetor, podemos obter seu vetor unitário ou versor</p><p>correspondente, dividindo-o por seu módulo, ou seja:</p><p>û =</p><p>~u</p><p>|~u| . (3)</p><p>Figura 3: Representação gráfica de grandezas vetoriais ou vetores.</p><p>Podemos citar, como exemplos de grandezas vetoriais:</p><p>4</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Vetores e Forças</p><p>1. A aceleração da gravidade, cujo módulo é aproximadamente igual a</p><p>g=9,81 m/s2, direção radial e sentido para o centro da Terra;</p><p>2. Um carro viajando ao longo de uma estrada, no sentido da quilome-</p><p>tragem crescente;</p><p>3. A força do motor de um automóvel, fazendo um ângulo de 0o com a</p><p>horizontal e no sentido contrário ao do movimento do corpo, visando</p><p>reduzir sua velocidade;</p><p>4. Um mı́ssil disparado da superf́ıcie da Terra, apresentando uma veloci-</p><p>dade com duas componentes: uma ao longo de Ox (horizontal à su-</p><p>perf́ıcie da Terra) e outra ao longo de Oy (vertical à superf́ıcie da Terra),</p><p>com sentido de crescimento para a direita e para cima, respectivamente;</p><p>5. A força de resistência exercida sobre nós pelo solo, que é perpendicular</p><p>ao solo e tem sentido para cima, contrário ao da força peso.</p><p>3 Forças</p><p>3.1 Introdução</p><p>Forças são grandezas f́ısicas que caracterizam a interação entre dois corpos</p><p>e que podem provocar dois tipos de efeitos f́ısicos:</p><p>• Deformação: Representa o efeito estático da força. O corpo sofre</p><p>uma modificação em sua forma, sob a ação da mesma.</p><p>• Aceleração: Representa o efeito dinâmico da força. Neste caso, o</p><p>corpo altera a sua velocidade vetorial, isto é, varia pelo menos umas</p><p>das caracteŕısticas da velocidade (direção, sentido e módulo), quando</p><p>sujeito à ação da força.</p><p>No estudo da mecânica, um dos questionamentos mais antigos do Homem</p><p>era como se relacionam forças e movimento.</p><p>No século IV a.C., o famoso filósofo da Grécia Antiga Aristóteles forneceu</p><p>uma resposta que perdurou por muitos séculos. Basicamente, ele afirmava</p><p>5</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Vetores e Forças</p><p>que é imposśıvel para um corpo se deslocar na ausência de forças.</p><p>À primeira vista, essa ideia parece resumir de forma simples um fato bem</p><p>trivial e óbvio. Como exemplo, podemos puxar uma mesa: enquanto você a</p><p>puxa, ela anda; ao você parar de puxá-la, ela para.</p><p>Entretanto, se nos deixarmos levar por análises simples desse tipo sem</p><p>considerar o problema de forma completa, chegaremos erroneamente à con-</p><p>clusão de que Aristóteles estaria certo em sua afirmação, o que não é ver-</p><p>dadeiro, pois ela é apenas parcialmente correta. Mesmo assim, sabemos que</p><p>esse racioćınio foi aceito por aproximadamente 2000 anos.</p><p>De fato, apenas no fim do século XVI, com Galileu Galilei, e no século</p><p>XVII, com Isaac Newton, é que foram constestados e derrubados os postula-</p><p>dos aristotélicos do movimento.</p><p>Entretanto, o conceito intuitivo de força é praticamente o mesmo que</p><p>permanece até os dias de hoje. Com o conceito de força, pode-se analisar se</p><p>um dado corpo extenso se encontra ou não em repouso.</p><p>3.2 Unidades de Força</p><p>Como</p><p>o conceito de força é o de uma grandeza f́ısica, devemos associar a</p><p>esta um número e uma unidade f́ısica.</p><p>No conhecido Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade de força</p><p>é o Newton, definida como:</p><p>”Um Newton é a intensidade da força que, aplicada a um corpo de massa</p><p>1 kg, transmite ao mesmo uma aceleração de 1 m/s2.”</p><p>Em outras palavras:</p><p>1 N = 1</p><p>kg.m</p><p>s2</p><p>. (4)</p><p>Outro sistema importante é o sistema CGS.</p><p>Neste, a unidade de força é a dyna (dyn or d). A relação de conversão</p><p>entre essas unidades é:</p><p>1 N = 105 d . (5)</p><p>6</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Vetores e Forças</p><p>No sistema americano, a unidade de força é a libra ou libra-força, definida</p><p>por:</p><p>1 lb = 1</p><p>slug.pé</p><p>s2</p><p>. (6)</p><p>3.3 Exemplos de Forças Mecânicas da Natureza</p><p>Na Natureza, há alguns tipos de interação que regem o movimento dos</p><p>corpos, principalmente de natureza mecânica. Dentre elas, destacam-se a</p><p>força da gravidade ou peso, a força de tração, o atrito e forças normais de</p><p>reação. Na Engenharia, esta última é muito importante, originando inclusive</p><p>um tipo espećıfico da Engenharia, que é o de forças de articulação em estru-</p><p>turas ou máquinas (vide figura 4). Vejamos uma definição resumida destas</p><p>principais forças mecânicas que são importantes na Engenharia.</p><p>1. Peso de um corpo: Denominamos força peso ou força gravitacional</p><p>à força com que a Terra atrai corpos em suas vizinhanças devido à</p><p>interação entre suas massas. Qualquer corpo próximo à superf́ıcie da</p><p>Terra é atráıdo por ela por meio de uma força, chamada força gravi-</p><p>tacional ou peso e, portanto, adquire uma aceleração, denominada</p><p>aceleração da gravidade g. O valor de g independe da massa do corpo</p><p>considerado e tem módulo de aproximadamente g = 10 m/s2. A força</p><p>com que o corpo é atráıdo pela Terra tem como módulo:</p><p>P = m.g . (7)</p><p>2. Força de reação normal: É a força de contato entre um corpo e a</p><p>superf́ıcie na qual o corpo se apoia. A força normal tem direção sempre</p><p>normal ou perpendicular à superf́ıcie de apoio e sentido oposto ao da</p><p>força de ação.</p><p>Assim, por exemplo, se estamos parados sobre um terreno, a força de</p><p>ação sobre o solo é a força peso de nosso corpo, enquanto que a normal</p><p>é uma força de mesmo módulo e direção que a força peso, mas com</p><p>sentido oposto ao da mesma.</p><p>3. Reação em articulações mecânicas: Articulações como pinos em</p><p>estruturas, máquinas e treliças apresentam forças de reação que não</p><p>possuem uma direção bem definida, dependendo das forças ou cargas</p><p>de ação qua atuam no sistema em consideração.</p><p>7</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Vetores e Forças</p><p>Por exemplo, uma barra presa por um pino e com uma inclinação em</p><p>relação ao solo apresenta uma força de reação inclinada que não possui</p><p>necessariamente a direção do comprimento da barra. Já no caso de</p><p>uma barra horizontal, apoiada em dois suportes em suas extremidades,</p><p>verifica-se que surgem forças de reação verticais, apontando para cima,</p><p>como reação ao peso da barra e de outras forças ou cargas colocadas</p><p>sobre ela.</p><p>4. Força de tração ou tensão: É a força de contato que surge em corpos</p><p>conectados por fios (cordas, fios ou cabos). No caso de fios ideais, ou</p><p>seja, fios que possuem massa despreźıvel e são inextenśıveis, a força de</p><p>tração tem sempre a mesma direção do fio e atua no sentido em que se</p><p>traciona o fio. Para o fio ideal, essa força de tração terá o mesmo valor</p><p>em todos os pontos do fio.</p><p>5. Força de atrito: Dado um corpo inicialmente em repouso sobre um</p><p>plano, se aplicamos sobre ele uma força F, verificamos que, para um</p><p>infinito conjunto de valores dessa força, esse corpo não se moverá.</p><p>Conclui-se que sobre o dado corpo estará agindo outra força, de mesmo</p><p>módulo e em sentido oposto a F, que denominamos força de atrito (Fat).</p><p>Após aumentarmos seu valor além de um dado limite, sabe-se que o</p><p>corpo passa a se deslocar no sentido da força F. Assim, conclui-se que</p><p>a intensidade da força de atrito pode aumentar à medida que aumen-</p><p>tamos a intensidade da força de ação F e esse fenômeno perdura até</p><p>que a força de atrito atinja um determinado valor máximo, a partir do</p><p>qual há a tendência do corpo sair do repouso.</p><p>Empiricamente, verifica-se que há significativa diferença na magnitude</p><p>da força de atrito quando se tenta mover um corpo parado ou um</p><p>em movimento. Assim, temos dois posśıveis coeficientes de atrito: o</p><p>estático e o dinâmico, que definem a magnitude da força de atrito.</p><p>Matematicamente, o atrito estático é definido como:</p><p>Fat = µeN, (8)</p><p>em que a constante de proporcionalidade µe é chamada de coeficiente de</p><p>atrito estático. No caso do atrito de corpos em movimento, a única mu-</p><p>dança é a constante de proporcionalidade, que passa a ser denominada</p><p>coeficiente de atrito cinético, com valor menor que o do coeficiente de</p><p>8</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Vetores e Forças</p><p>atrito do caso estático.</p><p>Figura 4: Exemplos de forças mecânicas da Natureza, que são comuns na En-</p><p>genharia. À esquerda, no desenho superior, uma força de reação em articulação;</p><p>abaixo, a força normal N e a força de atrito Fat que surgem em um corpo devido</p><p>à força de ação F; à direita, a força de tração T no fio que prende o corpo, que</p><p>possui força peso P.</p><p>Exemplo resolvido 1:</p><p>Calcule o peso de um corpo que possui massa 70 kg em libras.</p><p>Do exposto até aqui, sabemos que a força peso é definida como:</p><p>P = m.g . (9)</p><p>Logo, no sistema SI, temos:</p><p>P = 70× 9, 81 , (10)</p><p>logo, temos: P = 686,7 N</p><p>No sistema americano, a massa em slugs vale:</p><p>m = 70kg × 1 slug</p><p>14, 594kg</p><p>, (11)</p><p>9</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Vetores e Forças</p><p>de modo que m = 4,796 slug.</p><p>A aceleração g no novo sistema vale:</p><p>g = 9, 81.</p><p>(</p><p>1</p><p>0, 3048</p><p>)</p><p>pé/s2 = 32, 19 pé/s2. (12)</p><p>Assim, a força é dada por:</p><p>P = m.g = 4, 796× 32, 19 , (13)</p><p>ou seja, obtemos:</p><p>P = 154,4 lb.</p><p>4 Representação anaĺıtica de vetores</p><p>Para caracterizar um vetor, necessitamos quantificar seu módulo em uma</p><p>dada unidade, bem como determinar sua direção e sentido. Em um determi-</p><p>nado sistema de referência, a direção e o sentido são dados pelo ângulo que</p><p>o vetor forma com o eixo Ox. Por convenção, tal ângulo deve ser dado em</p><p>relação ao primeiro quadrante, adotando-se o sentido anti-horário.</p><p>Para representar analiticamente um vetor, devemos indicar a magnitude</p><p>de suas projeções ao longo dos eixos do sistema de referência adotado.</p><p>No caso 2D, temos as componentes ax e ay, que podem ser determinadas</p><p>com o aux́ılio da trigonometria. Observando a figura 5, conclui-se que as</p><p>projeções ax e ay tem módulos dados por:</p><p>ax = a cos θ (14)</p><p>e</p><p>ay = a sin θ. (15)</p><p>Assim, decompondo os vetores em suas projeções sobre os eixos do sis-</p><p>tema de referência, podemos escrevê-lo em sua forma anaĺıtica, por meio dos</p><p>versores do sistema de referência adotado.</p><p>No sistema cartesiano de coordenadas, temos como convenção os seguintes</p><p>versores, correspondentes a cada um dos eixos de coordenadas Ox, Oy e Oz,</p><p>respectivamente:</p><p>î = (1, 0, 0); (16)</p><p>10</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Vetores e Forças</p><p>Figura 5: Esquema das projeções de um vetor em um sistema cartesiano</p><p>retangular de coordenadas.</p><p>ĵ = (0, 1, 0); (17)</p><p>k̂ = (0, 0, 1), (18)</p><p>em que adotamos notação de terno ordenado das componentes dos versores.</p><p>Assim, qualquer vetor dado nesse sistema pode ser expresso analitica-</p><p>mente por:</p><p>~a = axî+ ay ĵ + azk̂. (19)</p><p>Em duas</p><p>dimensões, muito usadas na Engenharia, temos a representação:</p><p>~a = axî+ ay ĵ. (20)</p><p>Uma outra forma de se representar os vetores é por meio de N-uplas</p><p>ordenadas. Na forma de pares ou ternos ordenados, podemos escrever, res-</p><p>pectivamente:</p><p>~a = (ax, ay) (21)</p><p>e</p><p>~a = (ax, ay, az). (22)</p><p>No caso 2D, o módulo |~a| é obtido aplicando-se ao triângulo retângulo</p><p>formado pelo vetor e suas projeções na figura 5 o Teorema de Pitágoras:</p><p>a2 = a2x + a2y. (23)</p><p>11</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Vetores e Forças</p><p>Já a direção é dada pelo ângulo θ formado com Ox, em relação ao primeiro</p><p>quadrante; logo, usando a trigonometria:</p><p>tan θ =</p><p>ay</p><p>ax</p><p>, (24)</p><p>de modo que:</p><p>θ = arctan</p><p>ay</p><p>ax</p><p>. (25)</p><p>Assim, adotando-se como θ o ângulo do vetor no primeiro quadrante, o</p><p>correspondente ângulo congruente a este no segundo quadrante é dado por:</p><p>α = 180o − θ; (26)</p><p>no terceiro quadrante, por:</p><p>α = 180o + θ (27)</p><p>e no quarto quadrante por:</p><p>α = 360o − θ. (28)</p><p>Desse modo, por exemplo, se um vetor aponta na direção do terceiro qua-</p><p>drante, terá a componente em Ox negativa e a componente em Oy também</p><p>negativa e sua direção será dada, então, por uma ângulo entre 180o e 270o.</p><p>Exemplo resolvido 2:</p><p>Escreva um vetor na forma anaĺıtica, sabendo-se que seu módulo vale 3</p><p>√</p><p>2</p><p>cm e ele aponta na direção noroeste.</p><p>Resolução:</p><p>Neste caso, temos |~a| = 3</p><p>√</p><p>2 cm. Além disso, a noroeste, a direção do</p><p>vetor vale exatamente θ = 135o, de modo que as projeções são:</p><p>ax = a cos θ = 3</p><p>√</p><p>2 cos 135o = −3cm (29)</p><p>e</p><p>ay = a sin θ = 3</p><p>√</p><p>2 sin 135o = 3cm. (30)</p><p>Logo, a representação anaĺıtica do vetor é dada por:</p><p>~a = −3̂i+ 3ĵ (31)</p><p>ou</p><p>~a = (−3, 3). (32)</p><p>12</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Vetores e Forças</p><p>Exemplo resolvido 3:</p><p>Determine o módulo e a direção do vetor ~F = (</p><p>√</p><p>3̂i− 1ĵ) N.</p><p>Resolução:</p><p>Usando Pitágoras, temos:</p><p>F 2 = (</p><p>√</p><p>3)2 + (−1)2 ⇒ F =</p><p>√</p><p>3 + 1 (33)</p><p>ou F = 2 N. Já a direção do vetor côngruo do primeiro quadrante é dada</p><p>por:</p><p>θ = arctan</p><p>Fy</p><p>Fx</p><p>= arctan</p><p>1√</p><p>3</p><p>= arctan</p><p>√</p><p>3</p><p>3</p><p>, (34)</p><p>de modo que: θ = 30o.</p><p>Como Fx > 0 e Fy</p><p>corpo desliza em MRU quase sem parar ou</p><p>até que encontre um obstáculo.</p><p>6.2 Segunda Lei de Newton</p><p>A 2a Lei de Newton (Prinćıpio Fundamental da Dinâmica) tem o seguinte</p><p>enunciado:</p><p>17</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Vetores e Forças</p><p>”A resultante das forças ~R que atuam em um corpo de massa constante</p><p>m fornece a esse corpo uma aceleração resultante ~a, na mesma direção e</p><p>sentido de ~R.”</p><p>Como vimos anteriormente, uma força, ao atuar em um corpo, altera sua</p><p>velocidade, seja em direção e sentido, seja em sua magnitude. Como a força</p><p>modifica a velocidade do corpo, então a força está transmitindo a este uma</p><p>determinada aceleração (vide figura 8).</p><p>~a</p><p>~R</p><p>m</p><p>Figura 8: Esquema representativo da segunda lei de Newton.</p><p>Com sua primeira lei, Newton conseguiu estabelecer qualitativamente a</p><p>relação entre causa e efeito na Mecânica, ou seja, entre forças e movimentos</p><p>de um corpo. Entretanto, para descrever o movimento do corpo, falta de-</p><p>terminar quantitativamente como se poderia relacionar matematicamente as</p><p>grandezas envolvidas, o que é feito na 2a Lei de Newton.</p><p>Nessa segunda lei, denominada Prinćıpio ou Lei Fundamental da Dinâmica,</p><p>pode-se formalizar que as forças resultantes são diretamente proporcionais</p><p>às inércias e às acelerações adquiridas pelos corpos em movimento, ou seja,</p><p>matematicamente, temos:</p><p>~R = m~a. (49)</p><p>Exemplo resolvido 5:</p><p>Resolução:</p><p>Determine a massa de um corpo que se move ao longo de Ox, sabendo-se</p><p>que sobre ele atua uma força de 100 N, provocando uma aceleração de 2 m/s2.</p><p>Pela segunda Lei de Newton, temos: Fx = max.</p><p>Logo, temos:</p><p>100 = m . 2</p><p>18</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Vetores e Forças</p><p>ou</p><p>m =</p><p>100</p><p>2</p><p>,</p><p>de modo que m = 50 kg.</p><p>Exemplo resolvido 6:</p><p>Resolução:</p><p>Sobre um corpo de massa 20 kg, atua uma força horizontal de intensi-</p><p>dade 30 N e outra vertical de intensidade 40 N. Determine a aceleração que</p><p>adquire o corpo, seu módulo e sua direção.</p><p>Neste caso, temos um cálculo em duas dimensões, em que a força resul-</p><p>tante é dada por:</p><p>~R = 30̂i+ 40ĵ. (50)</p><p>Então:</p><p>R2 = 302 + 402, (51)</p><p>ou seja: R = 50 N.</p><p>Logo, conclúımos que</p><p>R = m.a ⇒ 50 = 20.a (52)</p><p>ou seja, a = 2,5 m/s2.</p><p>Assim, a aceleração é dada por:</p><p>~a =</p><p>30̂i+ 40ĵ</p><p>20</p><p>⇒ (53)</p><p>~a = 1, 5 î+ 2ĵ. (54)</p><p>O módulo de a vale 2,5 m/s2 e sua direção:</p><p>tan θ =</p><p>ay</p><p>ax</p><p>=</p><p>40</p><p>30</p><p>, (55)</p><p>de modo que θ ∼= 53,13o.</p><p>19</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Vetores e Forças</p><p>6.3 Terceira Lei de Newton</p><p>A Terceira Lei de Newton (Prinćıpio da Ação-Reação) pode ser enunciada</p><p>como segue:</p><p>”Dados dois corpos A e B que interagem, se A aplica sobre B uma força,</p><p>então o corpo B aplicará sobre A uma força de reação de mesma intensidade,</p><p>mesma direção e sentido contrário.”</p><p>Matematicamente, temos:</p><p>~FAB = −~FBA. (56)</p><p>Uma observação importante é a de que forças de ação e de reação nunca</p><p>se anulam, pois atuam sempre em corpos diferentes. Vejamos exemplos de</p><p>alguns casos analisados a partir dessa 3a Lei de Newton.</p><p>Exemplo 1: Um indiv́ıduo dá um soco numa parede e a deforma, mas a</p><p>parede exerce uma força de reação na mão do indiv́ıduo, provocando dor.</p><p>Exemplo 2: Se você empurra alguém, este também te empurra como</p><p>reação. Isso não é percept́ıvel porque o atrito também atua. Mas, se você</p><p>fizer isso numa pista de gelo, ao empurrar uma pessoa para a direita, você fa-</p><p>talmente será empurrado para a esquerda, pois o atrito no gelo é despreźıvel.</p><p>Exemplo 3: Uma pessoa A de patins empurra um colega B. Então, B se</p><p>movimenta devido ao empurrão, mas A também se movimenta no sentido</p><p>contrário, devido à força de reação de B em A. Devido aos patins, o atrito é</p><p>bem reduzido, permitindo-nos ver o efeito de ação-reação.</p><p>Exemplo 4: Um astronauta que se encontra fora da nave no espaço sideral</p><p>e deseja se mover em uma dada direção e sentido, adota como procedimento</p><p>liberar gases de escape de seu traje na mesma direção, mas com sentido</p><p>oposto.</p><p>Exemplo 5: Um foguete expele gases provenientes da combustão no mo-</p><p>tor, aplicando-lhes uma força para baixo. Pela Lei da Ação-Reação, os gases</p><p>aplicam no foguete uma força contrária, na mesma direção e sentido oposto,</p><p>ou seja, uma força aplicada para cima que impulsiona o motor em direção ao</p><p>espaço sideral.</p><p>20</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Vetores e Forças</p><p>Exerćıcios propostos:</p><p>1. Dada as forças na figura abaixo, com módulos F1 = 40 N, com direção</p><p>α1 = 45o, e F2 = 30 N, com direção α2 = 330o, calcule sua resultante.</p><p>2. Determine o módulo e a direção da resultante das forças dadas na</p><p>figura abaixo, de módulos F1 = 10 N e F2 = 8 N, sendo seus ângulos em</p><p>relação a Ox iguais a 45o e 120o, respectivamente.</p><p>21</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Vetores e Forças</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Vetores e Forças</p><p>Anotações</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>_________________________________________________________________________________</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Unidade: Colocar o nome da unidade aqui</p><p>Unidade: Vetores e Forças</p><p>Referências</p><p>HIBBELER, R. C., Estática - Mecânica Para Engenharia, Cap. 2, 10ª Edição,</p><p>Pearson Prentice Hall, 2005.</p><p>SHAMES, IRVING H., Estática - Mecânica Para Engenharia - Volume I, Cap.</p><p>2, 4ª Edição, Pearson Prentice Hall, 1996.</p><p>BEER, F. P., JOHNSTON E. R., EISENBERG, E. R., Mecânica Vetorial para</p><p>Engenheiros – Estática, Cap. 2, 7ª Edição, Mc Graw-Hill, 2005.</p><p>www.cruzeirodosul.edu.br</p><p>Campus Liberdade</p><p>Rua Galvão Bueno, 868</p><p>01506-000</p><p>São Paulo SP Brasil</p><p>Tel: (55 11) 3385-3000</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br</p><p>Mecânica Geral</p><p>M A T E R I A L T E Ó R I C O</p><p>Unidade III:</p><p>Equilíbrio do Ponto Material</p><p>e Momento de uma Força</p><p>Responsável pelo Conteúdo:</p><p>Prof. Dr. João Pacheco B. C. de Melo</p><p>Prof. Dr. Jaime Sandro da Veiga</p><p>Revisão Técnica:</p><p>Prof. Ms. Victor Barbosa Felix</p><p>Revisão Textual:</p><p>Prof. Dr. Jaime Sandro da Veiga</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 1 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>zzzzzzzzzzzzzzz</p><p>Orientação de Estudos</p><p>Olá caros alunos,</p><p>Sejam bem-vindos a mais uma unidade de ensino e de aprendizagem da</p><p>disciplina de Mecânica Geral. Espero que tenham um excelente estudo e um bom</p><p>aproveitamento.</p><p>Há nesta unidade atividades que contemplam exercícios de sistematização</p><p>e aprofundamento do conteúdo em que aplicamos o que aprendemos sobre o</p><p>Equilíbrio do Ponto Material e Momento de uma Força.</p><p>A T E NÇ Ã O: Para um bom aproveitamento do curso, leia o</p><p>material teórico atentamente antes de realizar as atividades. É</p><p>importante também respeitar os prazos estabelecidos no</p><p>cronograma.</p><p>Olá, Caros Alunos:</p><p>Nesta unidade, abordaremos o Equilíbrio do Ponto</p><p>Material, a fim de introduzir o primeiro tipo de condição para</p><p>ocorrência de um equilíbrio estático: o equilíbrio de forças</p><p>externas. Além disso, para estabelecer o equilíbrio estático de</p><p>corpos extensos, além do equilíbrio de forças, é necessário haver</p><p>um equilíbrio de momentos. A segunda parte desta unidade visa</p><p>apenas a introduzir o conceito de momento e como determiná-lo</p><p>em alguns casos. Nesta unidade, não será estabelecida a condição</p><p>de equilíbrio rotacional para corpos extensos, pois um tratamento</p><p>mais detalhado será feito na próxima unidade.</p><p>A Estrutura do Parágrafo , conhecendo mais os</p><p>tópicos frasais, seu desenvolvimento e os tipos existentes, e</p><p>Os Tipos de Desenvolvimento de Parágrafos, que</p><p>mostrará como melhorar sua redação.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 2 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força</p><p>Contextualização</p><p>Nesta unidade III, iremos estudar o equilíbrio estático em pontos materiais,</p><p>objetos que podem ser considerados, dentro de certa aproximação, com</p><p>dimensões desprezíveis.</p><p>O ponto fundamental para o equilíbrio entre as forças agindo em um corpo é</p><p>que estas forças devem resultar em uma força total – a força resultante – nula.</p><p>Em outras palavras, para que um corpo fique parado, a soma total de todas as</p><p>forças agindo sobre o corpo deve ser zero.</p><p>Devemos ficar atentos para a utilização, neste capítulo, de várias ferramentas</p><p>matemáticas vistas na unidade I e II, principalmente, vetores e suas operações,</p><p>somatórios de forças etc., uma vez que forças que são adicionadas para se</p><p>alcançar a condição de equilíbrio são grandezas vetoriais.</p><p>Mais do que isto, para o cálculo do momento de uma força, na segunda parte</p><p>desta unidade, há a utilização do produto vetorial na definição do momento,</p><p>assim como do produto escalar, para a decomposição desse momento em uma</p><p>componente na direção de um eixo de rotação.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 3 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força</p><p>Equilíbrio do Ponto Material e Momento de uma Força</p><p>Introdução: Condição de Equilíbrio</p><p>Nesta parte do curso, tratamos do equilíbrio de uma partícula ou ponto</p><p>material. Temos de descrever quais são as condições necessárias e suficientes</p><p>para manter um ponto material na situação de equilíbrio sob a ação de um</p><p>conjunto de forças. Entende-se aqui por força como sendo o agente capaz de</p><p>levar a modificações no estado de movimento do ponto material ou ainda a</p><p>deformações em um corpo semirrígido. Notamos que estes efeitos, tem uma</p><p>grande dependência não somente da intensidade da força aplicada, mas</p><p>também em relação à direção e sentido, o que caracteriza uma força como uma</p><p>grandeza vetorial.</p><p>Um ponto material é um corpo cujas dimensões são desprezíveis quando</p><p>comparadas às outras dimensões envolvidas. Um corpo material (doravante</p><p>ponto material) se encontra em equilíbrio, se está em repouso ou tenha uma</p><p>velocidade constante, o que implica uma aceleração igual a zero. Os fatos acima</p><p>estão baseados na 1ª Lei de Newton:</p><p>Uma partícula (ou ponto material) permanece no seu estado de</p><p>repouso ou de movimento retilíneo e uniforme a menos que uma</p><p>força resultante externa altere seu estad0 de movimento.</p><p>Estas condições também podem ser expressas pela equação abaixo:</p><p>em que a soma vetorial engloba todas as forças atuando sobre o ponto material</p><p>em questão.</p><p>Notamos que a 1ª Lei de Newton é decorrência da 2ª Lei de Newton, que pode</p><p>ser escrita, para massa constante, conforme é apresentada a seguir:</p><p>o que equivale a ter uma aceleração resultante igual a zero.</p><p>Logo, o ponto material ou está em repouso ou tem uma velocidade constante. A</p><p>fim de isolar as forças que atuam sobre um corpo ou sobre um ponto material,</p><p>utilizamos a noção de diagrama de corpo livre, que consiste em isolar o corpo</p><p>material que queremos estudar, livre de todos os outros corpos materiais e</p><p>apenas com as forças que agem neste.</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 4 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força</p><p>Sistema de Forças</p><p>Dados um sistema de forças atuando em um ponto material P, a</p><p>resultante do sistema de forças é a força , dada pela soma vetorial:</p><p>Podemos escrever essa equação como:</p><p>Figura 1: Vetores de forças concorrentes e coplanares.</p><p>Se conhecermos as expressões cartesianas para as forças, teremos que:</p><p>Fazendo-se a soma de cada componente na equação acima, obtemos:</p><p>Assim, podemos escrever a força resultante como:</p><p>Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 5 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br</p><p>Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento</p>