Física do Movimento - 04 - 2024_02 - Cap 04 - Movimento em Duas e Três Dimensões

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<p>Ver. 2024/02</p><p>Prof. Marcelo Aiolfi Barone</p><p>Universidade Vila Velha – UVV</p><p>Prof. Marcelo Aiolfi Barone</p><p>Física do Movimento</p><p>Cap. 4 – Movimento em Duas e Três Dimensões</p><p>Slide 1</p><p>Ver. 2024/02</p><p>Prof. Marcelo Aiolfi Barone</p><p>Universidade Vila Velha – UVV</p><p>Sumário</p><p>• Posição e Deslocamento</p><p>• Velocidade Média</p><p>• Aceleração Média</p><p>• Movimento Balístico</p><p>• Movimento Circular Uniforme</p><p>• Movimento Relativo em Uma Dimensão</p><p>• Movimento Relativo em Duas Dimensões</p><p>Slide 2</p><p>Ver. 2024/02</p><p>Prof. Marcelo Aiolfi Barone</p><p>Universidade Vila Velha – UVV</p><p>Posição e Deslocamento</p><p>A localização de uma partícula pode ser</p><p>especificada, de forma geral, por meio do vetor</p><p>posição Ԧ𝑟 , um vetor que liga um ponto de</p><p>referência (a origem de um sistema de</p><p>coordenadas, na maioria dos casos) à partícula.</p><p>Na notação dos vetores unitários, Ԧ𝑟 pode ser</p><p>escrito na forma</p><p>Ԧ𝑟 = 𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑦 Ƹ𝑗 + 𝑧 ෠𝑘</p><p>Ԧ𝑟 = −3 Ƹ𝑖 + 2 Ƹ𝑗 + 5 ෠𝑘</p><p>Slide 3</p><p>Ver. 2024/02</p><p>Prof. Marcelo Aiolfi Barone</p><p>Universidade Vila Velha – UVV</p><p>Quando uma partícula se move, o vetor posição varia de tal forma que</p><p>sempre liga o ponto de referência (origem) à partícula.</p><p>Se o vetor posição varia de Ԧ𝑟1 para Ԧ𝑟2, durante um intervalo de tempo Δ𝑡, o</p><p>deslocamento da partícula, Δ Ԧ𝑟 durante o intervalo de tempo Δ𝑡 é dado por</p><p>Δ Ԧ𝑟 = Ԧ𝑟2 − Ԧ𝑟1</p><p>Δ Ԧ𝑟 = 𝑥2 Ƹ𝑖 + 𝑦2 Ƹ𝑗 + 𝑧2</p><p>෠𝑘 − (𝑥1 Ƹ𝑖 + 𝑦1 Ƹ𝑗 + 𝑧1</p><p>෠𝑘)</p><p>Δ Ԧ𝑟 = 𝑥2 − 𝑥1 Ƹ𝑖 + 𝑦2 − 𝑦1 Ԧ𝑗 + 𝑧2 − 𝑧1</p><p>෠𝑘</p><p>Δ Ԧ𝑟 = Δ𝑥 Ƹ𝑖 + Δ𝑦Ԧ𝑗 + Δ𝑧 ෠𝑘</p><p>Posição e Deslocamento</p><p>Slide 4</p><p>Ver. 2024/02</p><p>Prof. Marcelo Aiolfi Barone</p><p>Universidade Vila Velha – UVV</p><p>Velocidade Média</p><p>No caso de um movimento bidimensional ou tridimensional, devemos</p><p>considerar essas grandezas como vetores e usar a notação vetorial.</p><p>𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑀é𝑑𝑖𝑎 =</p><p>𝐷𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜</p><p>𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜</p><p>𝑉𝑚é𝑑 =</p><p>Δ Ԧ𝑟</p><p>Δ𝑡</p><p>𝑉𝑚é𝑑 =</p><p>Δ𝑥 Ƹ𝑖 + Δ𝑦 Ƹ𝑗 + Δ𝑧 ෠𝑘</p><p>Δ𝑡</p><p>=</p><p>Δ𝑥</p><p>Δ𝑡</p><p>Ƹ𝑖 +</p><p>Δ𝑦</p><p>Δ𝑡</p><p>Ƹ𝑗 +</p><p>Δ𝑧</p><p>Δ𝑡</p><p>෠𝑘</p><p>𝑉 = 𝑉𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑉𝑦 Ƹ𝑗 + 𝑉𝑧</p><p>෠𝑘</p><p>Slide 5</p><p>Ver. 2024/02</p><p>Prof. Marcelo Aiolfi Barone</p><p>Universidade Vila Velha – UVV</p><p>Aceleração Média</p><p>Se a velocidade de uma partícula varia de 𝑉1 para 𝑉2 em um intervalo de</p><p>tempo Δt, a aceleração média Ԧ𝑎𝑚é𝑑 durante o intervalo Δt é</p><p>𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑀é𝑑𝑖𝑎 =</p><p>𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒</p><p>𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜</p><p>Ԧ𝑎𝑚é𝑑 =</p><p>Δ𝑉</p><p>Δ𝑡</p><p>Ԧ𝑎𝑚é𝑑 =</p><p>Δ𝑉𝑥 Ƹ𝑖 + ΔV𝑦 Ƹ𝑗 + Δ𝑉𝑧 ෠𝑘</p><p>Δ𝑡</p><p>=</p><p>ΔV𝑥</p><p>Δ𝑡</p><p>Ƹ𝑖 +</p><p>ΔV𝑦</p><p>Δ𝑡</p><p>Ƹ𝑗 +</p><p>Δ𝑉𝑧</p><p>Δ𝑡</p><p>෠𝑘</p><p>Ԧ𝑎 = 𝑎𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑎𝑦 Ƹ𝑗 + 𝑎𝑧</p><p>෠𝑘</p><p>Slide 6</p><p>Ver. 2024/02</p><p>Prof. Marcelo Aiolfi Barone</p><p>Universidade Vila Velha – UVV</p><p>Exercício</p><p>Slide 7</p><p>Halliday_(10ed_4.2) Uma semente de melancia possui as seguintes</p><p>coordenadas: x=–5,0m, y=8,0m e z=0m. Determine o vetor posição da</p><p>semente (a) na notação dos vetores unitários e como (b) um módulo e (c)</p><p>um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x. (d) Desenhe o vetor</p><p>em um sistema de coordenadas dextrogiro.</p><p>Se a semente for transportada para as coordenadas (3,00 m, 0 m, 0 m),</p><p>determine o deslocamento (e) na notação dos vetores unitários e como (f)</p><p>um módulo e (g) um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x.</p><p>Halliday_(10ed_4.3) Um pósitron sofre um deslocamento Δ Ԧ𝑟 = 2,0 Ƹ𝑖 −</p><p>3,0𝑗 + 6,0෠𝑘 e termina com um vetor posição Ԧ𝑟 = 3,0𝑗 − 4,0෠𝑘, em metros.</p><p>Qual era o vetor posição inicial do pósitron?</p><p>Ver. 2024/02</p><p>Prof. Marcelo Aiolfi Barone</p><p>Universidade Vila Velha – UVV</p><p>Movimento Balístico</p><p>Uma partícula que se move em um plano vertical com velocidade inicial Ԧ𝑣0</p><p>e com uma aceleração constante, igual à aceleração de queda livre Ԧ𝑔,</p><p>dirigida para baixo.</p><p>O projétil pode ser uma</p><p>bola de tênis ou de golfe,</p><p>mas não um avião ou um</p><p>pato.</p><p>Uma partícula que se move dessa forma é chamada de projétil (o que</p><p>significa que é projetada ou lançada), e o movimento é chamado de</p><p>movimento balístico.</p><p>Slide 8</p><p>Ver. 2024/02</p><p>Prof. Marcelo Aiolfi Barone</p><p>Universidade Vila Velha – UVV</p><p>A figura mostra a trajetória de</p><p>um projétil quando o efeito do</p><p>ar pode ser ignorado. O projétil</p><p>é lançado com uma velocidade</p><p>inicial Ԧ𝑣0 que pode ser escrita</p><p>na forma:</p><p>𝑉0 = 𝑉0𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑉0𝑦 Ƹ𝑗</p><p>𝑉0𝑥 = 𝑉0 cos 𝜃0</p><p>𝑉0𝑦 = 𝑉0 𝑠𝑒𝑛 𝜃0</p><p>Movimento horizontal e</p><p>vertical são independentes.</p><p>Movimento Balístico</p><p>Slide 9</p><p>Ver. 2024/02</p><p>Prof. Marcelo Aiolfi Barone</p><p>Universidade Vila Velha – UVV</p><p>Movimento Horizontal</p><p>Como não existe aceleração na direção horizontal, a componente</p><p>horizontal vx da velocidade do projétil permanece inalterada e igual ao</p><p>valor inicial v0x durante toda a trajetória.</p><p>Em qualquer instante t, o</p><p>deslocamento horizontal do</p><p>projétil em relação à posição</p><p>inicial, x – x0, é fornecido pela</p><p>com a = 0, que podemos</p><p>escrever na forma</p><p>𝑥 − 𝑥0 = 𝑉0 cos 𝜃0 𝑡</p><p>𝑥 − 𝑥0 = 𝑉0𝑥𝑡</p><p>Slide 11</p><p>Ver. 2024/02</p><p>Prof. Marcelo Aiolfi Barone</p><p>Universidade Vila Velha – UVV</p><p>Movimento Vertical</p><p>O movimento vertical é o movimento de uma partícula em queda livre.</p><p>O mais importante é que a aceleração é constante. Assim, as equações</p><p>podem ser usadas desde que a seja substituído por −g e o eixo x seja</p><p>substituído pelo eixo y.</p><p>𝑉 = 𝑉0 + 𝑎𝑡</p><p>𝑥 = 𝑥0 + 𝑉0𝑡 +</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑎𝑡2</p><p>𝑉2 = 𝑉0</p><p>2 + 2𝑎 𝑥 − 𝑥0</p><p>𝑦 = 𝑦0 + 𝑉0𝑦𝑡 −</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑔𝑡2</p><p>𝑦 = 𝑦0 + 𝑉0 sen 𝜃0 𝑡 −</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑔𝑡2</p><p>𝑉𝑦 = 𝑉0𝑦 − 𝑔𝑡</p><p>𝑉𝑦 = 𝑉0 sen 𝜃0 − 𝑔𝑡</p><p>𝑉𝑦</p><p>2 = 𝑉0𝑦</p><p>2 − 2𝑔 𝑦 − 𝑦0</p><p>𝑉𝑦</p><p>2 = 𝑉0 sen 𝜃0</p><p>2 − 2𝑔 𝑦 − 𝑦0</p><p>Slide 12</p><p>Ver. 2024/02</p><p>Prof. Marcelo Aiolfi Barone</p><p>Universidade Vila Velha – UVV</p><p>Efeitos do Ar</p><p>Até agora, o ar não exerce efeito algum sobre o movimento de um projétil.</p><p>Em muitas situações, porém, a diferença entre a trajetória calculada dessa</p><p>forma e a trajetória real do projétil pode ser considerável, já que o ar</p><p>resiste ou favorece ao movimento.</p><p>Slide 14</p><p>Ver. 2024/02</p><p>Prof. Marcelo Aiolfi Barone</p><p>Universidade Vila Velha – UVV</p><p>Halliday_(10ed_ex4.05) Um dos vídeos mais</p><p>impressionantes da internet (na verdade, totalmente</p><p>falso) mostra um homem descendo um grande escorrega</p><p>aquático, sendo lançado no ar e mergulhando em uma</p><p>piscina. Vamos usar dados realistas para calcular com que</p><p>velocidade o homem chegaria à piscina. A figura (a)</p><p>mostra os pontos inicial e final da trajetória balística e um</p><p>sistema de coordenadas com a origem no ponto de</p><p>lançamento. Com base no que mostra o vídeo, usamos</p><p>uma distância horizontal entre os pontos inicial e final D</p><p>= 20,0 m, um tempo de percurso t=2,50 s e um ângulo de</p><p>lançamento θ0 = 40,0°. Nosso objetivo é calcular o módulo</p><p>da velocidade no instante em que o homem deixa o</p><p>escorrega e no instante em que ele mergulha na piscina.</p><p>Exercício</p><p>Slide 15</p><p>Ver. 2024/02</p><p>Prof. Marcelo Aiolfi Barone</p><p>Universidade Vila Velha – UVV</p><p>Halliday_(10ed_ex4.04) Na figura, um</p><p>avião de salvamento voa a 198 km/h, a</p><p>uma altura constante de 500 m, rumo a</p><p>um ponto diretamente acima da vítima de</p><p>um naufrágio, para deixar cair uma balsa.</p><p>(a) Qual deve ser o ângulo ϕ da linha de</p><p>visada do piloto para a vítima no instante</p><p>em que o piloto deixa cair a balsa?</p><p>(b) No momento em que a balsa atinge a</p><p>água, qual é a sua velocidade Ԧ𝑣 na notação</p><p>dos vetores unitários e na notação</p><p>módulo-ângulo?</p><p>Exercício</p><p>Slide 17</p><p>Ver. 2024/02</p><p>Prof. Marcelo Aiolfi Barone</p><p>Universidade Vila Velha – UVV</p><p>Prof. Marcelo Aiolfi Barone</p><p>Física do Movimento</p><p>Cap. 4 – Movimento em Duas e Três Dimensões</p><p>Slide 19</p><p>Ver. 2024/02</p><p>Prof. Marcelo Aiolfi Barone</p><p>Universidade Vila Velha – UVV</p><p>Movimento Circular Uniforme</p><p>Uma partícula em movimento</p><p>circular uniforme descreve uma</p><p>circunferência ou um arco de</p><p>circunferência com velocidade</p><p>escalar constante (uniforme).</p><p>Embora a velocidade escalar não</p><p>varie nesse tipo de movimento, a</p><p>partícula está acelerada porque a</p><p>direção da velocidade está</p><p>mudando.</p><p>Slide 20</p><p>Ver. 2024/02</p><p>Prof. Marcelo Aiolfi Barone</p><p>Universidade Vila Velha – UVV</p><p>O módulo dos dois vetores permanece constante</p><p>durante o movimento, mas a orientação varia</p><p>continuamente.</p><p>• A velocidade está sempre na direção tangente à</p><p>circunferência e tem o mesmo sentido que o movimento.</p><p>• A aceleração está sempre na direção radial e aponta</p><p>para o</p><p>centro da circunferência.</p><p>A aceleração associada ao movimento circular</p><p>uniforme é chamada de aceleração centrípeta (“que</p><p>busca o centro”).</p><p>O parâmetro T é chamado de período de revolução ou, período.</p><p>𝑎 =</p><p>𝑣2</p><p>𝑟</p><p>𝑇 =</p><p>2𝜋𝑟</p><p>𝑣</p><p>Movimento Circular Uniforme</p><p>Slide 21</p><p>Ver. 2024/02</p><p>Prof. Marcelo Aiolfi Barone</p><p>Universidade Vila Velha – UVV</p><p>Halliday_(10ed_ex4.06) Os pilotos de caça se preocupam quando têm que fazer curvas</p><p>muito fechadas. Como o corpo do piloto fica submetido à aceleração centrípeta, com a</p><p>cabeça mais próxima do centro de curvatura, a pressão sanguínea no cérebro diminui,</p><p>o que pode levar à perda das funções cerebrais.</p><p>Os sinais de perigo são vários. Quando a aceleração centrípeta é 2g ou 3g, o piloto se</p><p>sente pesado. Por volta de 4g, a visão do piloto passa para preto e branco e se reduz à</p><p>“visão de túnel”. Se a aceleração é mantida ou aumentada, o piloto deixa de enxergar e,</p><p>logo depois, ele perde a consciência, uma situação conhecida como g-LOC, da</p><p>expressão em inglês “g-induced loss of consciousness”, ou seja, “perda de consciência</p><p>induzida por g”.</p><p>Qual é o módulo da aceleração, em unidades de g, para um piloto cuja aeronave inicia</p><p>uma curva horizontal com uma velocidade Ԧ𝑣𝑖 = +400 Ƹ𝑖 + 500 Ƹ𝑗 𝑚/𝑠 e, 24,0 s mais</p><p>tarde, termina a curva com uma velocidade Ԧ𝑣𝑓 = −400 Ƹ𝑖 − 500 Ƹ𝑗 𝑚/𝑠?</p><p>Exercício</p><p>Slide 22</p><p>Ver. 2024/02</p><p>Prof. Marcelo Aiolfi Barone</p><p>Universidade Vila Velha – UVV</p><p>Movimento Relativo em uma Dimensão</p><p>Imagine um pato voando para o</p><p>norte a 30 km/h. Para outro</p><p>pato que esteja voando ao lado</p><p>do primeiro, o primeiro parece</p><p>estar parado.</p><p>Em outras palavras, a velocidade</p><p>de uma partícula depende do</p><p>referencial de quem está</p><p>observando ou medindo a</p><p>velocidade.</p><p>Slide 24</p><p>Ver. 2024/02</p><p>Prof. Marcelo Aiolfi Barone</p><p>Universidade Vila Velha – UVV</p><p>Então, um referencial é um objeto no qual</p><p>fixamos um sistema de coordenadas.</p><p>No dia a dia, esse objeto é</p><p>frequentemente o solo.</p><p>• Por exemplo, a velocidade que aparece em</p><p>uma multa de trânsito é a velocidade do carro</p><p>em relação ao solo.</p><p>• A velocidade em relação ao guarda de trânsito</p><p>será diferente se o guarda estiver se movendo</p><p>enquanto mede a velocidade.</p><p>Movimento Relativo em uma Dimensão</p><p>Slide 25</p><p>Ver. 2024/02</p><p>Prof. Marcelo Aiolfi Barone</p><p>Universidade Vila Velha – UVV</p><p>Suponha que Observador A esteja parado no</p><p>acostamento de uma rodovia, observando o</p><p>carro P (a “partícula”) passar. Observador B</p><p>está dirigindo um carro na rodovia com</p><p>velocidade constante e também observa o</p><p>carro P.</p><p>Suponha que os dois meçam a posição do</p><p>carro em um dado momento.</p><p>𝑥𝑃𝐴 = 𝑥𝑃𝐵 + 𝑥𝐵𝐴</p><p>“A coordenada xPA de P medida por A é igual à coordenada xPB de</p><p>P medida por B mais a coordenada xBA de B medida por A.”</p><p>Movimento Relativo em uma Dimensão</p><p>Slide 26</p><p>Ver. 2024/02</p><p>Prof. Marcelo Aiolfi Barone</p><p>Universidade Vila Velha – UVV</p><p>𝑣𝑃𝐴 = 𝑣𝑃𝐵 + 𝑣𝐵𝐴</p><p>“A velocidade vPA de P medida por A é igual à</p><p>velocidade vPB de P medida por B mais a</p><p>velocidade vBA de B medida por A.”</p><p>Estamos considerando apenas referenciais</p><p>que se movem com velocidade constante um</p><p>em relação ao outro.</p><p>Essa restrição não vale para o carro P, cuja</p><p>velocidade pode mudar de módulo e direção</p><p>(ou seja, a partícula pode sofrer aceleração).</p><p>𝑎𝑃𝐴 = 𝑎𝑃𝐵</p><p>Movimento Relativo em uma Dimensão</p><p>Slide 27</p><p>Ver. 2024/02</p><p>Prof. Marcelo Aiolfi Barone</p><p>Universidade Vila Velha – UVV</p><p>(Halliday_10ed_ex4.07) Na figura, suponha que a velocidade do observador B em</p><p>relação ao observador A seja vBA = 52 km/h (constante) e que o carro P está se</p><p>movendo no sentido negativo do eixo x.</p><p>(a) Se A mede uma velocidade constante vPA = –78 km/h para o carro P, qual é a</p><p>velocidade vPB medida por B?</p><p>(b) Se o carro P freia com aceleração constante até parar em relação a A (e, portanto,</p><p>em relação ao solo) no instante t=10 s, qual é a aceleração aPA em relação a A?</p><p>(c) Qual é a aceleração aPB do carro P em relação a B durante a frenagem?</p><p>Exercício</p><p>Slide 28</p><p>Ver. 2024/02</p><p>Prof. Marcelo Aiolfi Barone</p><p>Universidade Vila Velha – UVV</p><p>Para Praticar</p><p>Posição e Deslocamento</p><p>• Halliday_10ed: 4.3</p><p>Velocidade Média e Velocidade Instantânea</p><p>• Halliday _10ed: 4.5 | 4.6 | 4.7 | 4.8 | 4.9</p><p>• Young_14ed: 3.1 | 3.2</p><p>Aceleração Média e Aceleração Instantânea</p><p>• Halliday _10ed: 4.12 | 4.15 | 4.17 | 4.18 | 4.19</p><p>• Young_14ed: 3.5 | 3.6</p><p>Movimento Balístico</p><p>• Halliday _10ed: 4.21 | 4.22 | 4.23 | 4.26 | 4.27 | 4.28 | 4.32 | 4.33 | 4.37</p><p>• Young_14ed: 3.9 | 3.10 | 3.11 | 3.20</p><p>Movimento Circular Uniforme</p><p>• Halliday _10ed: 4.56 | 4.57 | 4.58 | 4.59 | 4.60 | 4.61 | 4.62 | 4.65 | 4.67</p><p>• Young_14ed: 3.23 | 3.25 | 3.27 | 3.28</p><p>Movimento Relativo em Uma Dimensão</p><p>• Halliday _10ed: 4.69 | 4.70 | 4.71</p><p>• Young_14ed: 3.30 | 3.32 | 3.33 | 3.38</p><p>Slide 33</p><p>Slide 1: Física do Movimento</p><p>Slide 2: Sumário</p><p>Slide 3: Posição e Deslocamento</p><p>Slide 4: Posição e Deslocamento</p><p>Slide 5: Velocidade Média</p><p>Slide 6: Aceleração Média</p><p>Slide 7: Exercício</p><p>Slide 8: Movimento Balístico</p><p>Slide 9: Movimento Balístico</p><p>Slide 11: Movimento Horizontal</p><p>Slide 12: Movimento Vertical</p><p>Slide 14: Efeitos do Ar</p><p>Slide 15: Exercício</p><p>Slide 17: Exercício</p><p>Slide 19: Física do Movimento</p><p>Slide 20: Movimento Circular Uniforme</p><p>Slide 21: Movimento Circular Uniforme</p><p>Slide 22: Exercício</p><p>Slide 24: Movimento Relativo em uma Dimensão</p><p>Slide 25: Movimento Relativo em uma Dimensão</p><p>Slide 26: Movimento Relativo em uma Dimensão</p><p>Slide 27: Movimento Relativo em uma Dimensão</p><p>Slide 28: Exercício</p><p>Slide 33: Para Praticar</p>