Parte 2 DIFERENCIAL

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<p>Parte 2 - Aplicações de equações diferenciais de primeira ordem</p><p>✰ Decaimento radioativo</p><p>1. O isótopo radioativo tório 234 se desintegra à uma taxa proporcional à sua massa presente. Se</p><p>100mg desta substância se reduzem à 82.04mg em uma semana, encontre uma expressão para</p><p>a quantidade deste isótopo em qualquer momento e calcule a meia-vida τ deste material.</p><p>2. O decaimento do isótopo radioativo plutônio 241 satisfaz à equação diferencial</p><p>Q</p><p>′ = −0, 0525Q .</p><p>(a) Determine a meia-vida desta substância.</p><p>(b) Se hoje dispusermos de 50mg desta substância, quanto restará dela depois de decorridos</p><p>10 anos?</p><p>3. O elemento einsteinio 253 decai à uma taxa proporcional à sua massa presente. Determine a</p><p>meia-vida τ deste material, sabendo que o mesmo perde um terço de sua massa em 11.7 dias.</p><p>4. A meia-vida do elemento rádio 226 é de 1620 anos. Determine o tempo necessário para que</p><p>uma amostra deste elemento tenha sua massa reduzida a 3/4 do original.</p><p>5. O carbono-14 é um isótopo radioativo natural do elemento carbono presente em todos os organismos vivos. Enquanto um organismo permanece vivo a relação quantitativa entre o carbono14 e o carbono-12 permanece constante. O químico norte-americano Willard Libbs descobriu</p><p>nos anos 50 que, a partir da morte de organismo, o carbono-14 se transforma em carbono-12 a</p><p>uma taxa proporcional à quantidade de carbono-14 existente. O carbono-14 é, dentre os isótopos estáveis do carbono, aquele que possui a maior meia-vida: 5730 anos.</p><p>(a) Em 1988, cientistas do Museu Britânico tiveram acesso ao corte de tecido de linho chamado de Santo Sudário e constataram que o tecido conservava ainda 92% de sua quantidade original de carbono-14. Determine, a partir destes dados, a data em que o tecido foi</p><p>confeccionado.∗</p><p>(b) Em 2008, cientistas ingleses constataram que o material orgânico em torno do Stonehenge,</p><p>o misterioso monumento erigido no sul da Inglaterra, continha 59% de sua quantidade</p><p>original de carbono-14. Determine uma data provável para a sua construção.</p><p>∗O resultado do teste, motivo de intensa controvérsia, é debatido até hoje.</p><p>6</p><p>✰ Aplicações financeiras</p><p>6. Suponha que um determinado investidor que dispõe de um capital inicial C0 > 0 deseja investílo à uma taxa anual de juros de α% ao ano.</p><p>(a) Mostre que se a aplicação tiver rendimento uma única vez ao ano, então o capitalC(t) após</p><p>t anos será dado por C(t) = C0(1+α)</p><p>t</p><p>.</p><p>(b) Mostre que se a aplicação tiver k composições de rendimento α/k% por ano, então o capital após t anos será C(t) = C0</p><p>(</p><p>1+</p><p>α</p><p>k</p><p>)k t</p><p>. Estude o que ocorre para valores grandes de</p><p>k.</p><p>(c) Muitas aplicações financeiras atualmente tem composição contínua de rendimentos, sendo</p><p>assim, o capital investido cresce continuamente à razão α em relação ao capital investido.</p><p>Encontre uma expressão para o capital C(t) após t anos.</p><p>(d) Compare as três aplicações descritas acima e decida qual delas é mais rentável.</p><p>7. Um determinado investidor deposita um capital inicial C0 no banco A, que paga juros de 5% ao</p><p>ano compostos continuamente.</p><p>(a) Determine quanto tempo será necessário para que o valor investido dobre.</p><p>(b) O banco B dispõe de uma linha de crédito que paga juros de 5, 5% compostos anualmente.</p><p>Qual das aplicações financeiras é mais rentável?</p><p>8. Suponha que você receba as duas propostas abaixo para trabalhar por um mês:</p><p>A. Você recebe 1 milhão de reais no final do mês.</p><p>B. Você recebe 1 centavo no primeiro dia, 2 centavos no segundo dia, 4 centavos no terceiro</p><p>dia, e, em geral, 2n−1</p><p>centavos no n-ésimo dia.</p><p>Qual delas é mais lucrativa?</p><p>9. Um cidadão precavido, com o intuito de programar sua aposentadoria aos 65 anos, pretende</p><p>investir certa quantia C0 reais em um fundo de investimentos que paga juros de 4% ao ano,</p><p>compostos diariamente. Sabendo que o cidadão tem atualmente 30 anos, determine quanto</p><p>deve ser o capital investido para que ele disponha de 200.000 reais ao se aposentar.</p><p>10. Um determinado bem sofre depreciação contínua de seu valor inicial à taxa de 5% ao ano. Determine quanto tempo será necessário para que o valor do bem atinja 1/3 do seu valor inicial.</p><p>11. Um investidor deposita um certo capital em fundo de investimento que rende juros de 7% ao</p><p>ano, compostos continuamente. O governo retém 30% do rendimento obtido, sob forma de</p><p>impostos e o investidor deseja sacar suas economias quando o montante investido ultrapassar</p><p>o dobro do montante inicial.</p><p>Quanto tempo o investidor deve esperar para retirar seu dinheiro do fundo?</p><p>7</p><p>12. Devido à má administração, o patrimônio de uma empresa decresce continuamente à uma taxa</p><p>de 1% ao mês e seu lucro mensal equivale à quinta parte de seu patrimônio. O estatuto financeiro da empresa obriga os diretores a decretarem falência quando a soma entre patrimônio</p><p>e lucro mensal for inferior à 60% do patrimônio inicial. Qual é o prazo máximo para que os</p><p>diretores da empresa decretem falência?</p><p>✰ Diluição de soluções</p><p>13. Consideremos um reservatório contendo V litros de água pura que começa a receber, a uma vazão constante de a litros por segundo, uma solução salina com concentração de c kg de sal por</p><p>litro de solução. O reservatório disponha de um mecanismo que mantém a solução homogênea</p><p>à medida que o reservatório enche. Suponhamos que, concomitantemente com a injeção de</p><p>água salgada no reservatório, começa a ser retirada do reservatório a solução formada, à razão</p><p>constante de a litros por segundo.</p><p>(a) Denotando por x(t) a quantidade de sal, em kg , presente no reservatório em um instante</p><p>t, mostre que x satisfaz a equação diferencial</p><p>d x</p><p>d t</p><p>= ac −</p><p>ax</p><p>V</p><p>.</p><p>(b) Determine a solução geral do problema acima.</p><p>(c) Verifique o que acontece com a concentração de sal no reservatório quando t → ∞</p>