ANÁLISE DE CIRCUITOS EM CORRENTE CONTÍNUA

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<p>1</p><p>FACULDADE DE TECNOLOGIA DE SÃO PAULO</p><p>FATEC-SP</p><p>Tecnologia em Processos de Produção e Tecnologia em</p><p>Projetos Mecânicos</p><p>ELETRICIDADE BÁSICA</p><p>Oswaldo Tadami Arimura</p><p>Disponível em:</p><p>https://sites.google.com/a/fatecsp.br/prof-arimura/home/eletricidade</p><p>2018</p><p>2</p><p>A cópia desta apostila é autorizada semestralmente para ser</p><p>utilizada nos campus da Faculdade de Tecnologia de São</p><p>Paulo – FATEC-SP, Faculdade de Tecnologia Adib Moisés</p><p>Dib – FATEC-SB e Universidade São Judas Tadeu</p><p>O autor.</p><p>3</p><p>Sumário</p><p>1. Eletrodinâmica 4</p><p>1.1 Definições gerais 4</p><p>1.2 Múltiplos e submultiplos 4</p><p>1.3 Àtomo 4</p><p>1.4 Materiais 4</p><p>1.5 Grandezas elétricas 4</p><p>1.5.1 Potencial elétrico 4</p><p>1.5.2 Tensão elétrica 5</p><p>1.5.3 Corrente elétrica 6</p><p>1.5.4 Resistência elétrica 6</p><p>1.5.5 Resistividade 6</p><p>1.5.6 Condutividade 7</p><p>1.5.7 Variação da resistência com a temperatura 7</p><p>2 Circuito elétrico 7</p><p>3 Lei de Ohm 8</p><p>4 Potencia elétrica 8</p><p>5 Energia elétrica 9</p><p>6 Rendimento 10</p><p>7 Analise das leis de Kirchhoff – Circuitos em corrente</p><p>contínua</p><p>10</p><p>8 Associação de bipolos 11</p><p>9 Transformação trianguklo-estrela 12</p><p>10 Transformação estrela-triangulo 13</p><p>11 Analise de malhas 13</p><p>12 Gerador de corrente alternada 13</p><p>13 Analise do sinal do gerador 16</p><p>14 Análise de circuito em corrente alternada 18</p><p>14.1 Carga resistiva 18</p><p>14.2 Carga capacitiva 19</p><p>14.3 Carga indutiva 20</p><p>15 Exercícios propostos 21</p><p>Bibliografia 26</p><p>4</p><p>I - ANÁLISE DE CIRCUITOS EM CORRENTE CONTÍNUA</p><p>1. Eletrodinâmica</p><p>Inicialmente faremos um panorama dos conceitos básicos que envolvem a eletricidade. Também, serão retratados conceitos</p><p>matemáticos de apoio às representações numéricas de suas grandezas físicas.</p><p>1.1 Definições iniciais</p><p>Energia: capacidade de um sistema em realizar um trabalho;</p><p>Trabalho: energia convertida;</p><p>Eletricidade: forma de energia.</p><p>1.2 Múltiplos e Submúltiplos</p><p>As grandezas elétricas como corrente elétrica, tensão elétrica, resistência elétrica, entre outras, podem ter valores alto na ordem de</p><p>milhão, bilhão, trilhão, quando utilizados em cálculos ou impressos em equipamentos e componentes eletroeletrônicos. Também podem</p><p>ser precedidos de valores extremamente pequenos.</p><p>Para facilitar a representação e os cálculos são utilizados a simplificação através dos múltiplos e submúltiplos, conforme mostra o</p><p>quadro abaixo.</p><p>Fator Prefixo Símbolo</p><p>1012 Téra T</p><p>109 Giga G</p><p>106 Mega M</p><p>103 Quilo K</p><p>10-3 míli m</p><p>10-6 micro µ</p><p>10-9 nano n</p><p>10-12 pico p</p><p>1.3 Átomo</p><p>Constitui a menor partícula de um elemento químico, sendo composto de um núcleo central contendo prótons e nêutrons.</p><p>Também faz parte a eletrosfera onde são encontrados os elétrons de massa insignificante em diferentes trajetórias imaginárias.</p><p>O próton é 1836 vezes mais massivo que o elétron.</p><p>Todas as substâncias são formadas de átomos. Para se ter uma idéia, eles são tão pequenos que uma cabeça de alfinete pode</p><p>conter 60 milhões deles</p><p>Se o núcleo de um átomo tivesse o tamanho de uma esfera com um raio de 3cm, os elétrons mais afastados estariam cerca de 3</p><p>km de distância.</p><p>Modelo de Bohr</p><p>Órbitas k l m n o p q</p><p>Elétrons 2 8 18 32 32 18 8</p><p>1.4 Materiais</p><p>▪ Condutor: são materiais que possuem grande quantidade de elétrons livres na última camada orbital fracamente ligados ao</p><p>núcleo. Quando submetidos a uma diferença de potencia ou agito térmico esses elétrons se desprendem facilmente.</p><p>o Possuem cerca de 1023 elétrons livres/ cm3 , resistividade de 10-6 a 10-4 ohm.cm e condutividade maior que 104/Ω.m.</p><p>▪ Isolantes: são materiais que possuem baixa quantidade de elétrons livres na última camada orbital fortemente ligados ao núcleo.</p><p>Esses elétrons não se desprendem facilmente quando submetidos a um agito térmico ou diferença de potencial.</p><p>o Possuem cerca de 1023 elétrons livres/ cm3 ,resistividade de 109 a 1025 ohm.cm e condutividade menor que 10-10/Ω.m.</p><p>▪ Semicondutores: são materiais que possuem cerca de 109 a 1025 elétrons livres/ cm3, condutividade entre 10-10/Ω.m e 104/Ω.m e são</p><p>utilizados na fabricação de componentes eletrônicos como diodo, transistores, etc.</p><p>1.5 Grandezas elétricas</p><p>1.5.1 Potencial elétrico</p><p>Núcleo: protons → cargas positivas</p><p>neutrons → neutras(sem carga)</p><p>Eletrosfera: elétrons → cargas negativa</p><p>Cobre: 29 elétrons na última camada</p><p>Alumínio: 13 elétrons na última camada</p><p>Fonte: Infoescola.com</p><p>5</p><p>É a capacidade que um corpo energizado tem de realizar trabalho ou seja, atrair ou repelir outras cargas eletricas. Para medir essa</p><p>capacidade, utiliza-se a grandeza potencial elétrico. Para obter o potencial elétrico de um ponto, coloca-se nele uma carga de prova q e</p><p>mede-se a energia potencial adquirida por ela. Essa energia potencial é proporcional ao valor de q, definida por:</p><p>q</p><p>Ep</p><p>V = , onde</p><p>• V é o potencial elétrico</p><p>• Ep a energia potencial e A unidade no S.I. é J/C = V (Volt)</p><p>• q a carga.</p><p>Um corpo está submetido a um potencial elétrico quando há excesso de cargas positivas ou negativas.</p><p>ddp</p><p>corpo com potencial positivo corpo com potencial negativo</p><p>Para calcular o potencial elétrico devido a uma carga puntiforme Q em ponto P qualquer usa-se a fórmula:</p><p>d</p><p>KQ</p><p>V = , onde</p><p>• d distancia em metros da carga até o ponto,</p><p>• K é a constante dielétrica do meio (K = 9. 109</p><p>Vm/C no vácuo)</p><p>• Q a carga geradora.</p><p>Como o potencial é uma quantidade linear, o potencial gerado por várias cargas é a soma algébrica (usa-se o sinal) dos potenciais</p><p>gerados por cada uma delas como se estivessem sozinhas:</p><p>1.5.2 Tensão Elétrica ou Diferença de Potencial (U)</p><p>É a diferença de potencial elétrico entre dois pontos, ou seja, seria a "força" responsável pela movimentação de elétrons ou o</p><p>impluso que uma carga tem de ir de um ponto para o outro. Normalmente toma-se um ponto que se considera de tensão zero e mede-se a</p><p>tensão do resto dos pontos desejados.</p><p>Unidade: Volt (V)</p><p>▪ Forma Contínua : caracteriza-se pelo fato de seu valor não se alterar, ou seja, tem sempre o mesmo sentido e intensidade.</p><p>Conforme mostra a figura abaixo.</p><p>Representação da fonte de tensão</p><p>▪ Forma Alternada: caracteriza-se pelo fato de seu valor variar com o tempo apresentando um valor máximo e um valor mínimo.</p><p>Seu valor de utilização chama-se Tensão Eficaz.</p><p>6</p><p>representação da fonte de tensão</p><p>A freqüência no Brasil é de 60 ciclo por segundo ou 60 Hz para a geração da energia em tensão alternada.</p><p>1.5.3 Corrente Elétrica (I)</p><p>O movimento orientado de elétrons num condutor quando submetido a uma ddp ou tensão é denominado de corrente elétrica. A</p><p>intensidade I da corrente elétrica é definida como a razão entre o módulo da quantidade de carga ΔQ que atravessa certa secção</p><p>transversal (corte feito ao longo da menor dimensão de um corpo) do condutor em um intervalo de tempo Δt.</p><p>Δt</p><p>ΔQ</p><p>I =</p><p>Considerando uma secção no nosso fio condutor, onde podemos contar a quantidade de elétrons que passam por ela. Cada elétron</p><p>possui uma quantidade de carga elétrica conhecida como carga elétrica elementar( -1,609 x 10-19 Coulomb). Se multiplicarmos o valor</p><p>da carga elétrica elementar pelo número de elétrons (n) que passa pela secção transversal teremos a Quantidade total de carga elétrica</p><p>(Q).</p><p>Q = n</p><p>e</p><p>A intensidade da corrente elétrica será maior quanto mais elétrons passarem pela secção, ou seja, quanto mais cargas passarem no</p><p>menor intervalo de tempo. Por isso, define-se corrente elétrica como sendo a quantidade de carga elétrica dividida pelo tempo. A unidade</p><p>de corrente elétrica no sistema internacional é o Couloub por segundo, que é conhecido por Ampère (A).</p><p>1.5.3.1 Efeitos da corrente elétrica</p><p>▪ Efeito Joule: a corrente elétrica ao atravessar um condutor provoca seu aquecimento em razão da energia liberada pela agitação</p><p>das partículas internas. Quanto maior a corrente, maior é o calor liberado.</p><p>Ex.: aquecedor, estufa, ferro elétrico, chuveiro, etc.</p><p>▪ Efeito Magnético: a corrente elétrica ao atravessar um condutor gera um campo magnético ao seu redor. Esse campo é</p><p>concentrado através das bobinas ou indutores.</p><p>Ex.: motores, reatores, transformadores, relés, etc.</p><p>▪ Efeito Luminoso: a corrente elétrica ao atravessar o tubo da lâmpada fluorescente choca-se com os átomos de mercúrio</p><p>provocando uma radiação. Essa radiação ao atravessar a parede pintada com material fluorescente, provoca a o efeito luminoso</p><p>visível.</p><p>Ex.: lâmpadas de descargas.</p><p>▪ Efeito Fisiológico: a corrente elétrica ao atravessar o corpo humano provoca tetanização, fibrilação muscular, parada</p><p>cardiorespiratoria, dores e queimaduras.</p><p>1.5.4 Resistência Elétrica (R)</p><p>É a maior ou menor oposição que uma peça de um material condutor oferece ao fluxo de elétrons. Seu valor depende do tipo de</p><p>material e de sua geometria.</p><p>Unidade: Ohm (Ω) R = ρ</p><p>S</p><p>L</p><p>Onde: R = resistência em Ω;</p><p>ρ = resistividade em Ω.m</p><p>S = seção em mm2</p><p>Simbologia Elétrica:</p><p>Resistor: dispositivo elétrico tem como função oferecer resistência à passagem da corrente elétrica e provocar queda de tensão.</p><p>1.5.5 Resistividade (ρ )</p><p>É a resistência medida entre os terminais de um corpo de prova cúbico com dimensões unitárias. Seu valor varia de acordo com o</p><p>tipo de material e sua geometria(comprimento e área).</p><p>Unidade: Ω.m ou</p><p>m</p><p>mm</p><p>2</p><p>Comparação</p><p>7</p><p>1mm2 = 10-6 m2 →</p><p>m</p><p>mm</p><p>2</p><p></p><p>=</p><p>m</p><p>2</p><p>10</p><p>6</p><p>m</p><p>−</p><p></p><p>= 10-6Ω.m Ω.m = 106</p><p>m</p><p>mm</p><p>2</p><p>Algumas resistividades:</p><p>▪ ρ Cu = 1,72 10-8 Ω.m</p><p>▪ ρ Au = 2,82 10-8 Ω.m</p><p>▪ ρ Ag = 1,6 10-8 Ω.m</p><p>▪ ρAu = 2,4 10-8 Ω.m</p><p>1.5.6 A condutividade elétrica (σ)</p><p>É simplesmente o inverso da resistividade. Ou seja, quanto maior a resistividade, menor será a condutividade.</p><p>σ = 1/ρ</p><p>Os metais geralmente possuem ótima condutividade, na faixa de 107/Ω.m. Estes são os mais utilizados para as linhas de</p><p>transmissão de energia elétrica, pois propiciam um menor desperdício. Devido a sua alta condutividade, há menos perdas por</p><p>aquecimento da rede elétrica.</p><p>O fenômeno da supercondutividade é observado em alguns materiais e algumas ligas. Neste caso, a resistividade é nula, e a</p><p>condutividade é infinita. Mas isto só é possível quando a substância encontra-se a baixíssimas temperaturas.</p><p>1.5.7 Variação da resistência e da resistividade com a temperatura</p><p>A variação da resistividade com a temperatura é análoga ao da dilatação dos metais:</p><p>αm =</p><p></p><p></p><p>L</p><p>L</p><p>→ αR =</p><p></p><p></p><p>R</p><p>R</p><p>=</p><p>)( 0</p><p>0</p><p> −</p><p>−</p><p>R</p><p>RR</p><p>No entanto a variação da temperatura altera o estado de agitação das partículas internas, em conseqüência, facilita ou dificulta a</p><p>movimentação dos elétrons. Assim, a resistividade do material varia da seguinte maneira com a temperatura:</p><p>ρ = ρo [ 1 + α ( 0 − )]</p><p>ρ – resistividade do material na temperatura </p><p>ρo - resistividade do material na temperatura  o</p><p>0 − - temperatura do material em oC</p><p>α – coeficiente de temperatura do material em</p><p>C</p><p>0</p><p>1</p><p>ou (oC)-1 (.tabelado)</p><p>Substância Resistividade a 0</p><p>o</p><p>C</p><p>Alumínio</p><p>32 10</p><p>-7 0,0036</p><p>Cobre</p><p>17. 10</p><p>-7 0,0040</p><p>Níquel</p><p>100. 10</p><p>-7 0,0050</p><p>Prata</p><p>16. 10</p><p>-7 0,0040</p><p>Constantan</p><p>500. 10</p><p>-7 0,00000</p><p>Manganina</p><p>420. 10</p><p>-7 0,00003</p><p>Niquelina</p><p>420. 10</p><p>-7 0,00023</p><p>Carbono</p><p>-60-000. 10</p><p>-7</p><p>Desta forma, a variação da resistência acompanha a variação da resistividade com a temperatura. No caso dos metais a resistência</p><p>aumenta quando a temperatura aumentar. Mas, há certas substâncias cuja resistência diminui à medida que a temperatura aumenta; as</p><p>principais são o carbono e o telúrio.</p><p>Fonte: e-fisica</p><p>R = Ro [ 1 + α ( 0 − )]</p><p>R –resistência do material na temperatura </p><p>Ro – resistência do material na temperatura  o</p><p>0 − - temperatura do material em oC</p><p>α – coeficiente de temperatura do material em</p><p>C</p><p>0</p><p>1</p><p>ou (oC)-1</p><p>2. Circuito Elétrico</p><p>8</p><p>É composto por um bloco gerador (bipólo ativo) e outro bloco receptor (bipólo passivo), interligados por condutores elétricos de</p><p>modo a permitir a existência da corrente elétrica.</p><p>▪ Gerador (fonte):</p><p>Transforma outra forma de energia em energia elétrica. Sua função é fornecer energia às cargas elétricas que o atravessam.</p><p>Industrialmente, os geradores mais comuns são os químicos e os mecânicos.</p><p>Como receptor</p><p>A representação elétrica o sentido da corrente elétrica é o mesmo do vetor da tensão. Esta indicação será muito importante</p><p>na analise de circuitos.</p><p>▪ Receptor (carga):</p><p>Transforma energia elétrica em outra forma de energia. O motor elétrico, que transforma energia elétrica em mecânica, além</p><p>da parcela de energia dissipada sob a forma de calor. Já o resistor é um dispositivo que transforma toda a energia elétrica</p><p>consumida integralmente em calor. Podemos citar os aquecedores, o ferro elétrico, o chuveiro elétrico, a lâmpada comum e os</p><p>fios condutores em geral.</p><p>Percebemos que nas cargas o sentido da corrente é sempre contrario ao do vetor tensão (queda de tensão).</p><p>3. Lei de Ohm</p><p>4. Potência Elétrica (P)</p><p>Imaginemos uma grande quantidade de cargas ΔQ movimentando-se no interior de um condutor de um potencial Ua para outro</p><p>Ub. A energia fornecida à ΔQ pela diferença de potencial ou o trabalho realizado sobre ΔQ é:</p><p>τ = ΔQ (Ua – Ub)</p><p>sendo:</p><p>Δt</p><p>ΔQ</p><p>I = e U = Ua - Ub, temos:</p><p>A tensão aplicada em um circuito é</p><p>proporcional a corrente que circula e a</p><p>resistência.</p><p>U = R.I</p><p>Observe o gráfico ao lado onde a Lei</p><p>de Ohm mostra que a tensão é</p><p>diretamente proporcional à corrente;</p><p>ou seja, para qualquer variação da</p><p>tensão a corrente varia</p><p>proporcionalmente para R = cte.</p><p>Ua Ub</p><p>9</p><p>τ = U I Δt</p><p>unidade: 1V.1A.1s = 1 Joule ( 1 J) - no sistema MKS</p><p>Assim, a potencia elétrica pode ser definida como sendo o trabalho realizado pela corrente elétrica em um determinado intervalo</p><p>de tempo ou como a razão entre a energia elétrica transformada e o intervalo de tempo dessa transformação.</p><p>ΔtΔt</p><p>P</p><p>τ E</p><p>== expressão fundamental</p><p>unidade: Watt1</p><p>segundo 1</p><p>Joule 1</p><p>P == -</p><p>desta forma, 1 Joule = 1 Watt.segundo (1 J = 1W.s) no sistema MKS</p><p>ou 1.KWh = 103 W . 3,6 . 103 s = 3,6 106 W.s = 3,6 , 106 J</p><p>Ainda podemos expressar a unidade de potencia em Cavalo Vapor (CV) e Horse Power (HP).</p><p>1 CV = 736 W e 1 HP = 746 W</p><p>Num sistema de corrente contínua em que I e U se mantenham invariantes durante um dado período, a potência</p><p>transmitida é também constante e igual ao produto dessas grandezas:</p><p>Sendo , τ = U I Δt e</p><p>ΔtΔt</p><p>P</p><p>τ E</p><p>==</p><p>Concluimos que:</p><p>Como: U = R I → P = RI2 → P =</p><p>R</p><p>2U</p><p>▪ Fonte</p><p>Potencia fornecida P = + U I Potência recebida P = - U I</p><p>Gerador Receptor</p><p>▪ Receptores</p><p>Potencia consumida P = + U I</p><p>Carga</p><p>Podemos concluir que potência elétrica é uma grandeza que mede a rapidez com que a energia elétrica é transformada em outra</p><p>forma de energia. Assim, ela está diretamente relacionada com a energia consumida e energia fornecida pelos bipólos ativos e passivos.</p><p>Uma das transformações da energia elétrica é em forma de calor (energia térmica), pela propriedade conhecida como efeito Joule.</p><p>A unidade de calor é caloria (cal) e sua equivalência com as grandezas mecânica ou elétrica, pode ser analisada:</p><p>1cal = 4,18 Joules</p><p>Assim se: 1.KWh = 3,6 , 106 J → X cal</p><p>4,18 J → 1 cal temos então que:</p><p>1 Kwh = 861,24 Kcal</p><p>5. Energia Elétrica (E)</p><p>É uma forma de energia baseada na geração de diferenças de potencial elétrico entre dois pontos, que permitem estabelecer uma</p><p>corrente elétrica entre ambos. Mediante a transformação adequada é possível obter que tal energia mostre-se em outras formas finais de</p><p>uso direto, em forma de luz, movimento ou calor, segundo os elementos da conservação da energia.</p><p>Atualmente, a energia elétrica uma das formas de energia mais utilizada pelo</p><p>homem, graças a sua facilidade de transporte, baixo índice de perda energética</p><p>durante conversões. Ela é obtida principalmente através de termoelétricas, usinas</p><p>hidrelétricas, usinas eólicas e usinas termonucleares. Sua utilização chegou a um</p><p>estado de seviço público de carater essencial, pois está diretamente ligada a</p><p>segurança, saúde, transporte, educação, industrialização, etc.</p><p>P = U I</p><p>10</p><p>A energia elétrica consumida por uma instalação ou circuito é em função da potência absorvida em um intervalo de tempo. Nos</p><p>medidores residenciais de energia do valor consumido é na ordem de kWh.</p><p>Δt = intervalo de tempo em horas</p><p>P = potência consumida pelo equipamentos em Watts</p><p>6. Rendimento (η)</p><p>A eficiência representa uma medida segundo a qual os recursos são convertidos em resultados de forma mais econômica. Na</p><p>física e engenharia, define-se eficiência como sendo a relação entre a energia fornecida a um sistema (seja em termos de calor ou de</p><p>trabalho) e a energia produzida pelo sistema (normalmente na forma de trabalho).</p><p>Assim, a eficiência de um sistema elétrico é dada pela relação entre a potência absorvida e a potência entregue ao sistema.</p><p>100.η</p><p>entrada</p><p>saída</p><p>P</p><p>P</p><p>=</p><p>Alguns equipamentos como motores apresentam dentro das características fornecidas pelos fabricantes o rendimento único.</p><p>Outros conforme mostra a tabela abaixo, o rendimento é analisado em proporção a potencia que está sendo utilizada.</p><p>Fonte: WEG</p><p>7. Análises das Leis de Kirchoff</p><p>Antes de analisarmos as leis de Kirchoff , identificaremos algumas definições no desenho do circuito abaixo;</p><p>▪ Ponto: local do circuito que possui um potencial (A,B,C,D,E,F,G,H);</p><p>▪ Nó: ponto que conecta três ou mais bipolos, permitindo a divisão de corrente (B,E);</p><p>▪ Ramo: percurso em dois Nó consecutivo (B,H,E)</p><p>▪ Malha: percurso fechado em um circuito</p><p>o Malha 1 (ABHEFG)</p><p>o Malha 2 (BCDEH)</p><p>E = P Δt</p><p>11</p><p>Leis de Kirchoff:</p><p>▪ NÓ: a soma das correntes que entram no Nó é igual a soma das correntes que saem.</p><p>▪ Malha: a somatória das tensões em uma malha do circuito é igual a zero.</p><p>8. Associação de Bipólos</p><p>▪ Associação Série :</p><p>A corrente elétrica é a mesma em todos os pontos de um circuito. A tensão varia de acordo com os valores dos</p><p>bipólos envolvidos. Para a analise do circuito, utilizaremos as regras da soma vetorial.</p><p>Resistor Equivalente:</p><p>É o resistor que substitui os resistores R1 , R2 e R3 , produzindo a mesma corrente.</p><p>Geradores:</p><p>Para os geradores segue também o mesmo procedimento da soma vetorial. Entretanto, observe sempre suas</p><p>polaridades para poder inserir os vetores das tensões.</p><p>Ut = U1 + U2 Ut = U1 – U2</p><p>▪ Associação Paralela: a tensão é a mesma em todos os bipólos interligados; pois estão ligados a dois pontos comuns (A e</p><p>B). As correntes dependem das especificações desses bipólos.</p><p>I1 + I2 – I3 = 0</p><p>I1 + I2 = I3</p><p>ƩUi = 0</p><p>U1 – U2 – U3 – U4 – U5 – U6 = 0</p><p>U1 = U2 + U3 + U4 + U5 + U6</p><p>Assim, temos:</p><p>Ut – U1 – U2 – U3 = 0</p><p>Ut = U1 + U2 + U3</p><p>Ut = R1I + R2I + R3I</p><p>Ut = ( R1 + R2 + R3 ) I</p><p>Req = R1 + R2 + R3</p><p>Ut = ( R1 + R2 + R3 ) I</p><p>Ut = Req I</p><p>Req</p><p>Ut</p><p>I =</p><p>12</p><p>U1 = U2 = U3 = U4 = Ut</p><p>IT = I1 + I2 + I3 + I4</p><p>)</p><p>4</p><p>R</p><p>1</p><p>3</p><p>R</p><p>1</p><p>2</p><p>R</p><p>1</p><p>1</p><p>R</p><p>1</p><p>(</p><p>t</p><p>U</p><p>4</p><p>R</p><p>t</p><p>U</p><p>3</p><p>R</p><p>t</p><p>U</p><p>2</p><p>R</p><p>t</p><p>U</p><p>1</p><p>R</p><p>t</p><p>U</p><p>I</p><p>T</p><p>+++=+++=</p><p>Resistor Equivalente: Substitui os resistores, produzindo a mesma corrente.</p><p>Para dois resistores diferentes:</p><p>eq</p><p>R</p><p>1</p><p>=</p><p>2</p><p>R</p><p>1</p><p>1</p><p>R</p><p>1</p><p>+</p><p>2</p><p>R</p><p>1</p><p>R</p><p>2</p><p>R</p><p>1</p><p>R</p><p>eqR</p><p>+</p><p>=</p><p>Para dois resistores iguais:</p><p>2</p><p>1</p><p>R</p><p>RR</p><p>RR</p><p>eqR</p><p>11</p><p>11</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>▪ Associação Mista: a configuração do circuito envolve as duas associações anteriores. E, sua análise deve respeitar a posição</p><p>individual de cada bipólo, respeitando sua condição de série ou paralelo.</p><p>9. Transformação de uma ligação triangulo de resistores em uma ligação estrela</p><p>Observe a ligação de resistores ligados em triangulo e seu circuito equivalente em estrela:</p><p>Conhecidas os valores dos resistores da ligação em triangulo, R1, R2 e R3, queremos determinar os valores dos resistores Rx, Ry e</p><p>Rz, então temos:</p><p>(3.7)</p><p>eq</p><p>R</p><p>1</p><p>=</p><p>4</p><p>R</p><p>1</p><p>3</p><p>R</p><p>1</p><p>2</p><p>R</p><p>1</p><p>1</p><p>R</p><p>1</p><p>+++</p><p>Ut = ( R1 + R2 + R3 ) IT</p><p>Ut = Req IT</p><p>Req</p><p>Ut</p><p>I</p><p>T</p><p>=</p><p>321</p><p>21</p><p>RRR</p><p>.RR</p><p>Rx</p><p>++</p><p>=</p><p>13</p><p>(3.8)</p><p>(3.9)</p><p>Para definição desses valores, imaginemos inicialmente uma fonte de FEM ligada entre os terminais B e C, com o terminal A</p><p>desligado. Assim, na ligação triangulo, os resistores R1 e R3 ficam em série e o posteriormente em paralelo com R2, enquanto que na</p><p>ligação em estrela o resistor Ry fica desligado e o resistor Rx fica em serie com Rz. A partir desses reultados, monta--se uma</p><p>equivalência entre os dois resultados.</p><p>Em seguida repete esse procedimento colocando a fonte de FEM entre os pontos A e C, obtendo uma nova equivalência e entre os</p><p>pontos A e B, obtendo a terceira equivalência. Finalmente, soma-se as duas primeiras equivalências, do resultado subtrai-se a terceira</p><p>equivalência, obtendo-se assim o valor de Rx.</p><p>Repete-se o mesmo procedimento para os cálculos de Ry e Rz.</p><p>10. Transformação de uma ligação estrela de resistores em uma ligação triangulo</p><p>Observe a ligação de resistores ligados em estrela e seu circuito equivalente em triangulo:</p><p>Conhecidas os valores dos resistores da ligação em triangulo, R1, R2 e R3, queremos determinar os valores dos resistores Rx, Ry e</p><p>Rz, então temos:</p><p>(3.10)</p><p>(3.11)</p><p>(3.12)</p><p>11. Análise de Malhas</p><p>▪ Simples</p><p>Passo a passo</p><p>o Adotar um sentido para a corrente (horário ou anti-</p><p>horario);</p><p>o Colocar os vetores das tensões nos geradores e nas</p><p>cargas;</p><p>o Aplicar ƩUi = 0, iniciando por qualquer bipolo em</p><p>qualquer sentido:</p><p>U1 – U2 – U3 – U4 – U5 – U6 = 0</p><p>U1 – R2 I – U3 – U4 – R5 I – R6 I = 0</p><p>U1 – U3 –U4 = (R2 + R5 + R6 ) I</p><p>o Resolver a equação e determinar a corrente. Caso o</p><p>valor seja negativo, o sentido adotado esta</p><p>invertido. Neste caso, desinverta o sentido da</p><p>corrente e das tensões nas cargas para futuras</p><p>analises.</p><p>321</p><p>32</p><p>RRR</p><p>.RR</p><p>Rz</p><p>++</p><p>=</p><p>321</p><p>31</p><p>RRR</p><p>.RR</p><p>Ry</p><p>++</p><p>=</p><p>2</p><p>31.3221</p><p>R</p><p>RRRR.RR</p><p>Rx</p><p>++</p><p>=</p><p>1</p><p>31.3221</p><p>R</p><p>RRRR.RR</p><p>Ry</p><p>++</p><p>=</p><p>3</p><p>31.3221</p><p>R</p><p>RRRR.RR</p><p>Rz</p><p>++</p><p>=</p><p>14</p><p>▪ Dupla</p><p>No caso de malha dupla, deve ser seguido o passo a passo anterior para cada malha isoladamente. Posteriormente, iguala-se as equações</p><p>finais para determinar as correntes em todos os ramos do circuito.</p><p>▪ Malha 1</p><p>➢ Adotar um sentido para a corrente (horário ou anti-horario);</p><p>➢ Colocar os vetores das tensões nos geradores e nas cargas;</p><p>➢ Aplicar ƩUi = 0, iniciando por qualquer bipolo em qualquer sentido:</p><p>U1 + U6 + U5 - U4 – U3 + U2 = 0</p><p>R1 I1 + U6 + U5 - R6 (I1 – I2) – U3 + R2 I1 = 0 (em R6 considera-se as duas correntes)</p><p>R1 I1 - R6 I1 + R2 I1 + R6 I2 = U3– U6 – U5</p><p>(R1 + R6 + R2) I1 – R2 I2 = U3– U6 – U5 → Equação 1</p><p>▪ Malha 2</p><p>➢ Adotar um sentido para a corrente (horário ou anti-horario);</p><p>➢ Colocar os vetores das tensões nos geradores e nas cargas;</p><p>➢ Aplicar ƩUi = 0, iniciando por qualquer bipolo em qualquer sentido:</p><p>U8 + U7 + U4 – U5 + U9 = 0</p><p>U8 + R4 I2 + R6 (I2 – I1) - U5 + R5 I2 = 0 (em R6 considera-se as duas correntes)</p><p>R4 I2 + R6 I2 – R6 I1 + R5 I2 = U5 – U8</p><p>- R6 I1 + (R4 + R6 + R5 ) I2 = U5 – U8 → Equação 2</p><p>▪ Para finalizar a analise e obter os valores das correntes, deve-se utilizar qualquer método matemático como o da igualdade das equações, matrizes</p><p>e determinantes.</p><p>15</p><p>▪ Analise de malhas – tripla</p><p>Esta analise é aplicada quando se tem três malhas alinhadas ou mistas. O procedimento para resolução é o mesmo dos métodos</p><p>anteriores, porém com o aumento de mais uma incógnita.</p><p>Malhas alinhadas</p><p>Malha mista</p><p>12. Gerador de corrente alternada - Alternador</p><p>12.1 Visão Global</p><p>O gerador elétrico em corrente alternada também chamado de alternador é um dispositivo que basicamente transforma a energia</p><p>mecânica em energia elétrica. Embora seja muito grande a variedade de geradores, verificamos que todos são muitos semelhantes,</p><p>pois usam a interação entre condutores em movimento e campos magnéticos (ou vice-versa). Esse tipo de gerador é responsável pela</p><p>produção de quase toda energia utilizada nas residências, comércios, indústrias, segurança, transporte, saúde, educação, enfim, no</p><p>mundo contemporâneo; mesmo com todas as dificuldades para encontrar fontes de energia para o seu acionamento.</p><p>As principais fontes de energia para o acionamento dos alternadores nas usinas são: a energia térmica produzida pela queima dos</p><p>combustíveis fósseis como petróleo, carvão mineral e gás natural; a energia eólica produzida pela ação dos ventos; a energia potencial</p><p>gravitacional produzida pela queda d’água, a energia retirada da biomassa e a energia nuclear produzida pelo enriquecimento do</p><p>urânio e plutônio. Todas fontes com o objetivo de acionar a turbina acoplada ao gerador, onde a etapa final é sempre a conversão da</p><p>energia mecânica de rotação em energia elétrica.</p><p>12.2 Produção da eletricidade por meio do magnetismo</p><p>16</p><p>A eletricidade pode ser produzida movimentando-se um condutor enrolado (cada volta é chamada de espira) dentro de campo</p><p>magnético. A tensão produzida nos terminais desse condutor é conhecida como tensão induzida ou força eletromotriz induzida</p><p>(f.e.m.) e esse processo para obtê-la, é chamado de indução.</p><p>O valor da tensão induzida no fio que corta o campo magnético</p><p>depende de vários fatores como a intensidade do campo magnético,</p><p>a velocidade de corte das linha de campo, o numero de espiras que</p><p>corta o campo. E, a polaridade da f.e.m. ilustra um princípio</p><p>conhecido como Lei de Lenz: “Quando existe indução</p><p>eletromagnética, o sentido da f.e.m. induzida é tal que o campo</p><p>magnético dela resultante se opõe ao movimento que produz a</p><p>f.e.m.”. Ou seja, o sentido da corrente gerada é determinada</p><p>pelo sentido do movimento relativo entre o campo magnético e o</p><p>condutor que corta.</p><p>A tensão induzida (E) em cada condutor é diretamente</p><p>proporcional á intensidade do campo magnético e a velocidade do</p><p>condutor no campo magnético:</p><p>E = Fluxo x Velocidade</p><p>12.3 Gerador elementar</p><p>Para facilitarmos o aprendizado, iniciaremos nosso estudo a partir de um gerador elementar que consiste de uma espira acoplada</p><p>de forma que pode ser girada dentro de um campo magnético uniforme, conforme mostra a Figura 3. Este movimento produz a</p><p>indução de uma corrente na espira. A espira é ligada a um circuito externo através de contatos deslizantes.</p><p>A espira que gira dentro do campo produzido pelos pólos norte e sul das peças polares é chamada de armadura. As extremidades</p><p>da espira são ligadas aos anéis coletores e, as escovas ligam o gerador com o circuito externo.</p><p>17</p><p>A medida que os lados da espira cortam as linhas do campo magnético, é produzida em seus terminais uma f.e.m. que induzirá</p><p>uma corrente elétrica para a carga ligada</p><p>ao gerador. O valor dessa f.e.m. depende</p><p>da posição instantânea da espira em</p><p>relação ao campo.</p><p>O valor da f.e.m. obtida nos</p><p>terminais do gerador elementar é dada</p><p>por:</p><p>v(t) = Vm. sen. ω.t</p><p>Onde o valor máximo da tensão de</p><p>pico (Vm) é proporcional ao campo</p><p>magnético (B), ao comprimento do</p><p>condutor, a velocidade tangencial do</p><p>condutor (V), e a velocidade angular da</p><p>espira ω (rd/s). E, v (t) também denominado de valor instantâneo.</p><p>13. Analise do sinal do gerador c.a.</p><p>13.1 Frequência (f) e Período (T)</p><p>O número de ciclos por segundo é chamado de freqüência (f) e sua unidade é hertz (Hz). Um ciclo por segundo é igual a um</p><p>hertz. Portanto, 60 ciclos por segundo é igual a 60 Hz.</p><p>O tempo para que o ciclo se complete é denominado de período (T) e expresso em segundos (s). Observando a Figura 6,</p><p>verificamos que o período representa o valor de 2π ou 360º e a frequência é um ciclo por segundo, ou seja, o período é inversamente</p><p>proporcional à freqüência:</p><p>13.2 Diagrama Fasorial ou</p><p>Diagrama de Fasores</p><p>Forma senoidal Diagrama fasorial</p><p>O ângulo de fase entre duas formas de onda de mesma freqüência é a diferença angular num dado instante. A figura acima mostra</p><p>que o ângulo de fase entre os sinais B e A é de 90º , onde o eixo horizontal representa a unidade de tempo em ângulos. Nessa</p><p>comparação entre ângulos de fase ou simplesmente fases de correntes e tensões alternardas é mais conveniente a utilização de</p><p>diagramas fasoriais correspondentes a esses sinais.</p><p>Os termos vetor e fasor são utilizados para representar quantidades que possuem sentido. Porém, o fasor varia com o tempo e o</p><p>comprimento da seta que o representa num diagrama indica o modulo da tensão ou corrente</p><p>alternada. E, o ângulo que a seta forma com o eixo horizontal indica o anglo de fase. No diagrama fasorial, verifica-se que o eixo</p><p>horizontal normalmente representa o ponto de referencia e o comprimento da seta (módulo) corresponde ao valor máximo do da</p><p>tensão senoidal.</p><p>13.3 Valores característicos da tensão e corrente</p><p>Um sinal senoidal de tensão ou corrente possui vários valores instantâneos ao longo do ciclo, assim, é fundamental especificar os</p><p>módulos para efeito de comparação de uma onda com outra. Podem ser especificados os valores de pico, médio e eficaz .</p><p>f = 1</p><p>T</p><p>18</p><p>O valor de pico ou valor máximo (Vm ou Im) é o máximo valor aplicado tanto ao pico positivo quanto ao pico negativo e o valor</p><p>de pico-a-pico também pode ser</p><p>especificado e corresponde ao dobro do valor de pico (Vp).</p><p>O valor médio(Vm) corresponde a média aritmética sobre todos os valores de uma onda senoidal para um meio ciclo, isto porque</p><p>sobre um ciclo completo a média seria zero.</p><p>Vm = 0,637 x Vp</p><p>O valor eficaz( Vef) ou rms de uma onda senoidal corresponde à mesma quantidade de corrente ou tensão contínua capaz de</p><p>produzir a mesma potencia de aquecimento (dissipada).</p><p>Vef = 0,707 Vp</p><p>Os valores de tensão 127V e 220V que conhecemos do nosso cotidiano são valores eficazes do sinal de tensão que chegam nas</p><p>tomadas. Esses valores podem ser medidos através do voltímetro c.a., pois eles fazem leituras de valores eficazes.</p><p>14. Analise de circuitos em C.A.</p><p>14.1 Carga Resistiva</p><p>São consideradas de cargas resistivas todos os tipos de resistores mencionados na Experiência 02. Em nosso dia a dia essas cargas</p><p>são encontradas nos chuveiros, ferro de passar, fornos, estufas, etc. A principal finalidade dessas cargas é transformar a energia</p><p>elétrica em energia térmica.</p><p>14.1.1 Circuito Resistivo em C.A.</p><p>Ao energizarmos uma carga resistiva, o aparecimento da tensão e corrente ocorrerão de forma simultânea. Assim, dizemos que</p><p>num circuito ca puramente resistivo, não existe defasagem entre a tensão e a corrente na carga, ou seja, as variações na corrente</p><p>ocorrem em fase com a tensão aplicada. Em outras palavras, este circuito pode ser analisado pelos mesmos métodos usados para os</p><p>circuitos cc.</p><p>14.1.2 Forma senoidal e diagrama fasorial</p><p>Os sinais das tensão e corrente na carga resistiva podem ser mostrados na Figura abaixo, através de suas formas senoidais e das</p><p>suas representações fasoriais.</p><p>19</p><p>Verifica-se através das formas senoidais que os dois sinais (V e I) iniciam e se completam sempre no mesmo instante ou ângulo</p><p>(segundos ou grau), de acordo com a escolha da grandeza. E, no diagrama fasorial, os dois fasores que representam os sinais estão no</p><p>mesmo sentido.</p><p>14.1.3 Impedância (Zr)</p><p>Para facilitarmos a resolução de qualquer circuito em ca, envolvendo resistores, indutores, capacitores, etc, é importante</p><p>utilizarmos uma grandeza comum a todas as cargas e geradores. Esta grandeza é denominadas de impedância (Z), que em termos</p><p>físico é a oposição à passagem de corrente, ou seja, a relação entre a tensão e corrente:</p><p>Z = V/I</p><p>Num resistor ao aplicarmos uma tensão vr(t) = Vm sen (ω t + α), obteremos uma corrente ir(t)= Im sen (ω t + α), e o valor da</p><p>impedância do resistor será definido conforme definições a seguir:</p><p>14.2 Carga Capacitiva</p><p>São consideradas de cargas capacitivas todos os tipos de capacitores (cerâmica, eletrolítico,,etc.). Basicamente o capacitor é</p><p>constituído por duas placas condutoras e paralelas entre si, separadas por um material isolante denominado de dielétrico( ar, mica,</p><p>óleo, poliéster), como mostra a Figura 12a. A finalidade do capacitor é armazenar cargas elétricas.</p><p>O capacitor desconectado de qualquer circuito possui encontra-se em equilíbrio elétrico, ou seja, a quantidade de prótons e</p><p>elétrons nas placas são iguais. Ao ligarmos o capacitor à uma bateria, a placa conectada no pólo positivo tornará carregada de cargas</p><p>positivas e a conectada ao pólo negativo tornará carregada de cargas negativa, até o potencial da dos pólos.</p><p>A capacitânica (C )é a capacidade de um capacitor de armazenar cargas elétricas, que depende da área das placas, da espessura</p><p>do dielétrico e do material de que é produzido o dielétrico.E, é definida pela relação entre a quantidade de cargas (Q) armazenadas e a</p><p>tensão (V) existente:</p><p>C = Q / V</p><p>Q em coulomb (C)</p><p>V em volts (V)</p><p>C em Farad (F)</p><p>14.2.1 Circuito Capacitivo em C.A.</p><p>Ao ligarmos uma fonte c.a. a um capacitor, inicialmente ocorrerá uma movimentação de cargas de uma placa para outra (na</p><p>realidade elétrons se deslocando). Com a chegada de cargas no capacitor, aumenta a sua tensão. Neste caso, notamos que a corrente</p><p>está adiantada em relação a tensão através da capacitância de 90º .</p><p>Utilizando as representações complexa da tensão e</p><p>corrente, temos:</p><p>Vr = Vef</p><p>senoidais a existência de uma defasagem de 90º entre as duas grandezas (V e I). Também nesse</p><p>circuito, caso a freqüência do sinal do gerador for igual a 60 Hz, o período (T) será de 1/60 s, ou seja, de 16,7 ms aproximadamente.</p><p>Assim, o atraso de 90º corresponderá a um período de 4,17 ms, conforme mostra a Figura 11a.</p><p>14.3.3 Impedância (ZL)</p><p>Numa bobina a oposição que ela oferece a passagem de corrente quando ligado a um circuito ca, é denominado de reatância</p><p>indutiva (XL), onde :</p><p>XL = 2 π f L (Ω)</p><p>Ao aplicarmos uma tensão vL(t) = Vm sen (ω t + α) nas extremidades do capacitor, obteremos uma corrente iL(t)= Im sen (ω t + α -</p><p>90º ), e o valor da impedância do capacitor será definido conforme definições a seguir:</p><p>15. Exercícios propostos</p><p>1. Qual a máxima tensão que podemos aplicar num resistor de 1000 Ω – 40W ?E, qual a máxima corrente que podemos obter?</p><p>2. Qual a tensão que deve ser aplicada a um resistor de 600W para que solicite uma corrente de 5A? Calcular a sua resistência e a</p><p>energia consumida em 3 horas?</p><p>3. A bobina de um rele telegráfico de 160 Ω funciona com uma tensão de 6,4 V. Calcule a corrente que passa pelo rele.</p><p>Utilizando as representações complexa da tensão e</p><p>corrente, temos:</p><p>VL= Vef</p><p>26- A figura abaixo representa o esquema de um chuveiro elétrico. De acordo com os dados apresentados, determine a potencia</p><p>dissipada pelo resistor de aquecimento.</p><p>R: 2790W</p><p>27- Um fio de 10 m de comprimento e seção de 1 mm2 tem resistência de 3 Ω à 8ºC. Este fio sob tensão de 100V é mantido</p><p>submerso em 10 litros de água, inicialmente a 8ºC, durante 20 minutos. Sabendo-se que a perda de calor para o meio exterior é de</p><p>10% e o custo do KWh é de R$ 0,30, calcular:</p><p>a. A temperatura final da água, considerando-se constante a resistividade do material;</p><p>b. A resistividade do material na temperatura final da água, admitindo que</p><p>α = 10-2ºC-1;</p><p>c. O custo da energia gasta no processo.</p><p>R: a) 94ºC b) 0,558 Ωmm2/m c) R$ 0,33</p><p>28- Escrever a expressão que fornece a ddp VAB do circuito esquematizado:</p><p>R: VAB=E1-E2+(R1+r1)I1 + (r3+R3+R4)I2</p><p>29- Determinar as correntes I1, I2 e I3 do circuito abaixo:</p><p>R:I1= -0,848 A; I2=0,424 A; I3= 1,27 A</p><p>30- Um gerador de FEM 6V e resistência interna 2Ω, é ligado a um resistor de resistência R. pede-se:</p><p>a. Máxima intensidade de corrente que se pode obter no gerador;</p><p>b. O rendimento elétrico do gerador, para R = 10Ω;</p><p>c. A energia elétrica dissipada pelo resistor do item anterior, durante meia hora, em kcal.</p><p>R: a) 3 A b) 83% c) 1,08 kcal</p><p>31- Um motor elétrico transforma 200W de potencia elétrica em mecânica quando percorrido por uma corrente de intensidade de 5 A.</p><p>Calcule:</p><p>a. A FCEM;</p><p>b. A energia elétrica transformada em térmica em 10s de funcionamento, sabendo-se que a resistência interna é 0,4Ω;</p><p>c. A ddp nos terminais do motor.</p><p>R: a) 40V b)100J c) 42V</p><p>25</p><p>32- Para o circuito esquematizado na figura, pede-se:</p><p>a. A intensidade da corrente no circuito;</p><p>b. A ddp nos terminais do motor;</p><p>c. A potencia dissipada no resistor de 2Ω.</p><p>R: a) 1 A b) 7V c) 2W</p><p>33- Calcular a corrente no ramo BC e a ddp entre os pontos A e B, no circuito:</p><p>R: a) zero b) -2V</p><p>34- Sabendo-se que para a chave aberta no circuito abaixo, o voltímetro indica 12V e com a chave fechada indica 10V, desta forma,</p><p>pede-se:</p><p>a. E e ri ;</p><p>b. A potência dissipada no resistor de 10Ω com a chave fechada.</p><p>R: a) 12V; 2Ω b) 10 W</p><p>35- Determinar as correntes indicadas no circuito abaixo:</p><p>R:1 A; 0,67 A; 0,33 A ; 0,5 A</p><p>36- Para o circuito apresentado, determine:</p><p>a. Resistencia equivalente vista pelo gerador;</p><p>b. As tensões e correntes indicadas.</p><p>c. Potencia fornecida pelo gerador e a dissipada no resistor de 12 Ω</p><p>R: a) 1,14Ω b) 87 A; 33,33 A; 6,25 A ;V1 = 0 V</p><p>26</p><p>Bibliográficas</p><p>EISBERG, Robert RESNICK, Robert. Física Quântica – Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos e Partículas. Tradução de Paulo Costa</p><p>Ribeiro, Ênio Costa da Silveira e Marta Feijó Barroso. Rio de Janeiro, 1979</p><p>HALLIDAY, David, RESNIK Robert, KRANE, Denneth S. Física 3, volume 2, 5 Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004.</p><p>KITOR, Glauber Luciano.Condutividade elétrica www.infoescola.com/fisica/condutividade-eletrica/ .25/01/2012.</p><p>BISQUOLO, Paulo Augusto. O movimento ordenado de elétrons em condutores. Pedagogia & Comunicação</p><p>http://educacao.uol.com.br/fisica/ult1700u35.jhtm&usg. 25/01/2012</p><p>E-fisica – ensino de física on line http://efisica.if.usp.br/eletricidade/basico/corrente/var_resist_temperatura/25/01/2012</p><p>Buritisro.Energia em assentamento http://www.google.com.br/imgres?imgurl. 03/02/2012</p><p>AES-Eletropaulo- Definições Básicas . Consumo de Energia Eletrica.</p><p>http://www.aeseletropaulo.com.br/clientes/PoderPublico/Informacoes/Paginas/DefinicoesBasicas.aspx. 03/02/2012</p><p>WEG - Motores eletricos Rendimento Plus) Sistemas de corrente alternada monofásica</p><p>http://www.coe.ufrj.br/~richard/Acionamentos/Catalogo%20de%20Motores.pdf. 03/02/2012</p><p>27</p>