Sequencias e Serie1

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<p>Sequencias e Series</p><p>Autor: Dr. Cristian Novoa</p><p>MAF- PUC- Go</p><p>cristiancalculoii@gmail.com</p><p>Este texto tem como objetivo principal, introduzir alguns conceitos de Sequencias e Series,para os</p><p>cursos de Engenharia, este texto, também não pretende substituir material sobre Sequencias e Series.</p><p>Definição 1. Uma sequencia é uma ordenação de números reais dada pela função (dos Números</p><p>Naturais incluindo o zero, ate os Números Reais), que denotaremos por</p><p>, onde o</p><p>índice n , denota a posição onde o numero real se encontra na ordenação.</p><p>Vejamos alguns exemplos:</p><p>Exemplo 1: Seja</p><p>tal que</p><p>. Veja que os dez primeiros termos estão dados por:</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,...,</p><p>, ou seja que temos a</p><p>seguinte sequencia:</p><p>de maneira análoga podemos calcular os dez primeiros termos das sequencias dadas por:</p><p>;</p><p>;</p><p>Estamos interessados em saber, se para certo n muito grande, Será que o termo fica próximo</p><p>de algum numero real . Esta é a noção de limite de uma sequencia que damos a seguir.</p><p>Definição. Uma sequencia admite limite L se, , temos que</p><p>, que denotaremos por :</p><p>Veja que se o limite não existir, então a sequencia não admite limite. E diremos que uma sequencia</p><p>converge se o limite existir, caso contrario diremos que a sequencia diverge. Com a definição anterior</p><p>vejamos os seguintes exemplos.</p><p>Exemplo 2: Seja</p><p>uma sequencia, e seja L=1 na definição anterior. Logo</p><p>Agora, se considerarmos um n, muito grande temos que a expressão dada por</p><p>, tende a zero</p><p>como se queria, logo, podemos concluir que o limite da sequencia</p><p>, é igual a 1, isto é ,</p><p>Um critério para decidir quando uma sequencia admite limite ou não, é dado pelo seguinte</p><p>resultado.</p><p>Teorema 1 :</p><p>i) se .</p><p>ii) se .</p><p>Dm. Queremos mostrar que existe um N>0, grande de tal maneira que para n>N , temos que</p><p>=0, isto é, temos que que aplicando o logaritmo natural em esta desigualdade</p><p>seque que</p><p>Como 00, tal</p><p>que a sequencia se aproxime de alguém. ●</p><p>Exemplo 2: Ache os primeiros quatro termos da sequencia e calcule o limite:</p><p>i)</p><p>, logo os primeiros quatro termos são 1,</p><p>,</p><p>, e pelo teorema 1, anterior temos que</p><p>pois</p><p>.</p><p>ii) , veja que pelo teorema 1, anterior, temos que , já que</p><p>>1.</p><p>O seguinte resultado estabelece as propriedades dos limites de sequencias, que são</p><p>fundamentalmente as mesmas propriedades dos limites em uma variável do calculo I.</p><p>Teorema 2: Sejam duas sequencias tais que , então são validas as</p><p>seguintes propriedades:</p><p>i)</p><p>ii)</p><p>iii)</p><p>desde que .</p><p>Usemos estas propriedades para calcular alguns exemplos de limites de sequencias.</p><p>Exemplo 3: Calculemos o</p><p>.</p><p>Exemplo 4: Calculemos o</p><p>, pelo teorema anterior, e podemos aplicar a</p><p>Regra de L´Hôpital a sequencia anterior e, temos que,</p><p>.</p><p>Definição 2 : Seja uma sequencia. Chamaremos de Serie, associada a sequencia a expressão:</p><p>.</p><p>Vejamos alguns exemplos.</p><p>Exemplo 5: Seja a sequencia , então a Serie associada a esta sequencia é dada por:</p><p>Exemplo 6: Seja a sequencia</p><p>, então a Serie associada a esta sequencia é dada por:</p><p>Veja, que a partir da Serie anterior podemos definir uma nova sequencia, dada pelas somas parciais</p><p>da serie da seguinte forma: Seja e consideremos a soma parcial dada por</p><p>que é a</p><p>soma ate o n-ésimo termo da sequencia , desta forma temos uma nova sequencia das somas</p><p>parciais . Então, estamos interessados agora em saber quando esta nova sequencia converge ou</p><p>não, ou seja, quando o seguinte limite existe . Vejamos o seguinte exemplo:</p><p>Exemplo 7: Consideremos a seguinte sequencia</p><p>, então mostremos que a Serie</p><p>associada a esta sequencia converge, ou seja que</p><p>Primeiro observemos que o termo geral da sequencia</p><p>, então</p><p>Calculando limite, temos</p><p>Exemplo 8: Consideremos a seguinte serie Geométrica:</p><p>i) Esta serie Geométrica</p><p>converge para</p><p>se ,</p><p>ii) E diverge se</p><p>Para verificar isto, basta observar que</p><p>-</p><p>Então,</p><p>Calculando o limite temos,</p><p>Se, e somente se , , como mostrado no teorema 1.</p><p>Um dos problemas a serem abordados agora, é de encontrar critérios mais diretos para</p><p>decidir se uma serie é convergente ou não. Na literatura existem muitos critérios para resolver este</p><p>problema, poderíamos estudar todos eles, mas decidi mostrar somente o critério, conhecido como critério</p><p>da Razão, que enunciamos a seguir.</p><p>Teorema 3: Consideremos a seguinte serie</p><p>, então é valido:</p><p>i) Se</p><p>, então a Serie é absolutamente convergente.</p><p>ii) Se</p><p>, então a Serie é absolutamente divergente.</p><p>iii) Se</p><p>, então a Serie pode ser convergente ou divergente.</p><p>Vejamos alguns exemplos:</p><p>Exemplo 9: Verifiquemos a convergência ou divergência das seguintes series.</p><p>i)</p><p>, veja que</p><p>,</p><p>, então</p><p>Calculando o limite , temos</p><p>, logo a serie é convergente.</p><p>ii)</p><p>, veja que</p><p>, e</p><p>, então</p><p>Calculando o limite, temos</p><p>.</p><p>Definição 3: Chamaremos de Serie de Potencia, na variável x, a expressão:</p><p>Onde os coeficientes .</p><p>Vejamos alguns exemplos.</p><p>Exemplo 10: Consideremos a Serie de Potencia</p><p>Veja que o termo geral é dado por</p><p>e o termo</p><p>, então usando o</p><p>critério da Razão, temos</p><p>Que calculando o limite, segue que</p><p>. Portanto, esta serie de Potencia será</p><p>convergente, se</p>