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<p>TRANSFORMADAS TEMPO</p><p>CONTÍNUO E DISCRETO</p><p>AULA 1</p><p>Prof.ª Dayane Perez Bravo</p><p>2</p><p>CONVERSA INICIAL</p><p>Olá, aluno(a)!</p><p>Estamos dando início aos estudos desta disciplina. Iremos apresentar</p><p>ferramentas matemáticas capazes de resolver problemas complexos da</p><p>Engenharia. Por meio de modelos que descrevem problemas reais, seremos</p><p>capazes de identificar soluções importantes nos mais variados campos de</p><p>estudo.</p><p>Iniciaremos com o tema de sequências e séries, que são ferramentas</p><p>matemáticas muito utilizadas na modelagem de problemas que se repetem ao</p><p>longo do tempo. Veremos algumas propriedades capazes de simplificar cálculos</p><p>complexos e, assim, obter uma solução para esses problemas.</p><p>Em seguida, falaremos sobre algumas séries muito famosas, como as</p><p>Séries de Taylor, Maclaurin e de Fourier. A partir desse ponto, falaremos sobre</p><p>algumas propriedades das funções pares e ímpares e das Séries de Fourier dos</p><p>Senos e Cossenos que são extremamente úteis para a simplificação de cálculos.</p><p>TEMA 1 – SEQUÊNCIAS E SÉRIES</p><p>Foi Newton quem percebeu que era possível escrever funções como</p><p>somas de séries infinitas. Uma série é a soma dos termos de uma sequência</p><p>infinita. Portanto, antes de estudarmos as séries, precisamos falar sobre</p><p>sequências.</p><p>1.1 Sequências</p><p>Uma sequência é uma lista de números ordenada, ou seja, sabemos qual</p><p>é o seu primeiro termo e seus sucessores. A notação de uma sequência</p><p>{𝑎1, 𝑎2, … } pode ser dada por {𝑎𝑛} ou então {𝑎𝑛}𝑛=1</p><p>∞ , em que o termo 𝑎𝑛</p><p>representa o termo da posição n (n-ésimo termo) ou então, o termo geral da</p><p>sequência. Portanto, se soubermos a fórmula do termo geral, podemos calcular</p><p>qualquer outro termo da sequência. É importante ressaltar que os valores dos</p><p>índices de n são inteiros positivos, ou seja, não existe o termo 𝑎−9 ou 𝑎0,3, por</p><p>exemplo.</p><p>Suponha que 𝑎𝒏 =</p><p>3𝒏</p><p>2−𝒏</p><p>e queremos calcular os termos 𝑎1, 𝑎5, 𝑎20. Para</p><p>isso, basta substituir no lugar de n os valores 1, 5 e 20, respectivamente. Veja:</p><p>3</p><p>𝑎𝟏 =</p><p>3 ∗ 𝟏</p><p>2 − 𝟏</p><p>= 3</p><p>𝑎𝟓 =</p><p>3 ∗ 𝟓</p><p>2 − 𝟓</p><p>=</p><p>15</p><p>−3</p><p>= −5</p><p>𝑎𝟐𝟎 =</p><p>3 ∗ 𝟐𝟎</p><p>2 − 𝟐𝟎</p><p>=</p><p>60</p><p>−18</p><p>= −</p><p>10</p><p>3</p><p>Utilizando a notação apresentada, podemos escrever:</p><p>{</p><p>3𝑛</p><p>2 − 𝑛</p><p>}</p><p>𝑛=1</p><p>∞</p><p>= {3,… ,−5,… ,−</p><p>10</p><p>3</p><p>,… ,</p><p>3𝑛</p><p>2 − 𝑛</p><p>, … }</p><p>Agora que vimos o que é uma sequência, podemos estudar as séries.</p><p>1.2 Séries</p><p>Sabemos que uma série é a soma dos termos de uma sequência infinita.</p><p>A notação de uma série 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛 +⋯ pode ser dada por ∑ 𝑎𝑛</p><p>∞</p><p>𝑛=1 .</p><p>Realizar uma soma infinita parece ser algo impossível. Porém, podemos</p><p>utilizar uma estratégia conhecida como somas parciais, denotada da seguinte</p><p>forma:</p><p>𝑠1 = 𝑎1</p><p>𝑠2 = 𝑎1 + 𝑎2</p><p>𝑠3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3</p><p>…</p><p>𝑠𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 =∑𝑎𝑖</p><p>𝑛</p><p>𝑖=1</p><p>Veja que quando 𝑛 → ∞ em 𝑠𝑛 obtemos a soma da série infinita. Ou seja,</p><p>𝑙𝑖𝑚</p><p>𝑛→∞</p><p>∑𝑎𝑖</p><p>𝑛</p><p>𝑖=1</p><p>= ∑𝑎𝑛</p><p>∞</p><p>𝑛=1</p><p>Se esse limite existir e a sequência 𝑠𝑛 for convergente, então a série é</p><p>convergente e escrevemos</p><p>∑𝑎𝑛</p><p>∞</p><p>𝑛=1</p><p>= S</p><p>4</p><p>em que lim</p><p>𝑛→∞</p><p>∑ 𝑎𝑖</p><p>𝑛</p><p>𝑖=1 = 𝑆.</p><p>Vejamos essa definição no seguinte exemplo. Seja a dízima periódica</p><p>dada por 0,1111̅ =</p><p>1</p><p>10</p><p>+</p><p>1</p><p>102</p><p>+</p><p>1</p><p>103</p><p>+⋯+</p><p>1</p><p>10𝑛</p><p>, podemos escrevê-la como a série</p><p>dada pela soma infinita abaixo:</p><p>𝑆 =</p><p>1</p><p>10</p><p>+</p><p>1</p><p>102</p><p>+</p><p>1</p><p>103</p><p>+⋯ =∑</p><p>1</p><p>10𝑘</p><p>∞</p><p>𝑘=1</p><p>Utilizando a estratégia das somas parciais, temos:</p><p>𝑆 = ∑</p><p>1</p><p>10𝑘</p><p>∞</p><p>𝑘=1</p><p>= lim</p><p>𝑛→∞</p><p>𝑠𝑛</p><p>em que</p><p>𝑠𝑛 =</p><p>1</p><p>10</p><p>+</p><p>1</p><p>102</p><p>+</p><p>1</p><p>103</p><p>+⋯+</p><p>1</p><p>10𝑛</p><p>Precisamos eliminar as reticências de 𝑠𝑛 para que ela se torne uma soma</p><p>fechada e assim seja possível tomarmos seu limite. Para isso, multiplicamos</p><p>ambos os lados dessa equação de 𝑠𝑛 por</p><p>1</p><p>10</p><p>:</p><p>1</p><p>10</p><p>𝑠𝑛 =</p><p>1</p><p>102</p><p>+</p><p>1</p><p>103</p><p>+⋯+</p><p>1</p><p>10𝑛</p><p>+</p><p>1</p><p>10𝑛+1</p><p>Subtraindo esse resultado de 𝑠𝑛, temos:</p><p>Fazendo algumas simplificações no resultado dessa subtração, temos:</p><p>𝑠𝑛 −</p><p>1</p><p>10</p><p>𝑠𝑛 =</p><p>1</p><p>10</p><p>−</p><p>1</p><p>10𝑛+1</p><p>9</p><p>10</p><p>𝑠𝑛 =</p><p>1</p><p>10</p><p>−</p><p>1</p><p>10𝑛+1</p><p>𝑠𝑛 =</p><p>10</p><p>9</p><p>(</p><p>1</p><p>10</p><p>−</p><p>1</p><p>10𝑛+1</p><p>)</p><p>𝑠𝑛 =</p><p>1</p><p>9</p><p>−</p><p>1</p><p>9 ∗ 10𝑛</p><p>=</p><p>1</p><p>9</p><p>(1 −</p><p>1</p><p>10𝑛</p><p>)</p><p>5</p><p>Veja que agora 𝑠𝑛 não possui mais as reticências em sua fórmula, portanto</p><p>podemos tomar seu limite:</p><p>lim</p><p>𝑛→∞</p><p>1</p><p>9</p><p>(1 −</p><p>1</p><p>10𝑛</p><p>) =</p><p>1</p><p>9</p><p>(1 − 0) =</p><p>1</p><p>9</p><p>Retornando ao que definimos da série</p><p>𝑆 = ∑</p><p>1</p><p>10𝑘</p><p>∞</p><p>𝑘=1</p><p>= lim</p><p>𝑛→∞</p><p>𝑠𝑛 =</p><p>1</p><p>9</p><p>que, de fato, é igual a dízima 0,1111̅, ou seja:</p><p>0,1111̅ = 𝑆 =</p><p>1</p><p>9</p><p>Vamos analisar o caso de uma série telescópica, ou seja, uma série que</p><p>possui termos que se cancelam. Seja ela dada por</p><p>𝑆 = ∑</p><p>2</p><p>𝑘2 − 1</p><p>∞</p><p>𝑘=2</p><p>Decompondo seu termo geral em frações parciais, temos</p><p>𝑆 = ∑</p><p>1</p><p>𝑘 − 1</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑘 + 1</p><p>∞</p><p>𝑘=2</p><p>Utilizando a estratégia das somas parciais, temos:</p><p>𝑆 = lim</p><p>𝑛→∞</p><p>𝑠𝑛</p><p>𝑠𝑛 = (1 −</p><p>1</p><p>3</p><p>) + (</p><p>1</p><p>2</p><p>−</p><p>1</p><p>4</p><p>) + (</p><p>1</p><p>3</p><p>−</p><p>1</p><p>5</p><p>) + (</p><p>1</p><p>4</p><p>−</p><p>1</p><p>6</p><p>) + ⋯+</p><p>+(</p><p>1</p><p>𝑛 − 2</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑛</p><p>) + (</p><p>1</p><p>𝑛 − 1</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑛 + 1</p><p>) + (</p><p>1</p><p>𝑛</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑛 + 2</p><p>)</p><p>É importante lembrar que, se o somatório inicia em 𝑘 = 2, seu último termo</p><p>é 𝑘 = 𝑛 + 1. Veja que podemos cancelar alguns termos:</p><p>6</p><p>𝑠𝑛 = 1 +</p><p>1</p><p>2</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑛 + 1</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑛 + 2</p><p>Perceba que agora 𝑠𝑛 não possui mais as reticências em sua fórmula,</p><p>portanto podemos tomar seu limite:</p><p>lim</p><p>𝑛→∞</p><p>(1 +</p><p>1</p><p>2</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑛 + 1</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑛 + 2</p><p>) = 1 +</p><p>1</p><p>2</p><p>=</p><p>3</p><p>2</p><p>Retornando ao que definimos da série</p><p>𝑆 = ∑</p><p>2</p><p>𝑘2 − 1</p><p>∞</p><p>𝑘=2</p><p>= lim</p><p>𝑛→∞</p><p>𝑠𝑛 =</p><p>3</p><p>2</p><p>TEMA 2 – CONVERGÊNCIA</p><p>A escrita de uma função como somas de séries infinitas só pode ser</p><p>utilizada quando a série convergir. Portanto precisamos verificar a convergência</p><p>dessa série com os chamados testes de convergência que veremos neste tema.</p><p>2.1 Séries geométricas</p><p>Para |𝑟| 1, essa soma é convergente. Caso contrário, se 𝑝 ≤ 1, a série é</p><p>divergente. Vejamos um exemplo. Seja a série</p><p>∑</p><p>1</p><p>𝑛5</p><p>∞</p><p>𝑛=1</p><p>=</p><p>1</p><p>15</p><p>+</p><p>1</p><p>25</p><p>+</p><p>1</p><p>35</p><p>+⋯</p><p>Podemos dizer que é uma série convergente pois 𝑝 = 5 > 1</p><p>2.3 Teste da razão</p><p>Seja 𝐿 = lim</p><p>𝑛→∞</p><p>|</p><p>𝑎𝑛+1</p><p>𝑎𝑛</p><p>|, o teste da razão nos diz que:</p><p>i. Se 𝐿 1, então a série é divergente</p><p>iii. Se 𝐿 = 1, nada podemos afirmar.</p><p>Esse teste é muito utilizado para o cálculo do raio de convergência de</p><p>uma série. Ele nos permite encontrar o intervalo em que a série converge.</p><p>Vamos verificar isso calculando o raio e o intervalo de convergência da</p><p>série dada abaixo:</p><p>∑</p><p>(−3)𝑛𝑥𝑛</p><p>√𝑛 + 1</p><p>∞</p><p>𝑛=1</p><p>Primeiro vamos encontrar |</p><p>𝑎𝑛+1</p><p>𝑎𝑛</p><p>| para depois encontrarmos o limite.</p><p>|</p><p>𝑎𝑛+1</p><p>𝑎𝑛</p><p>| = ||</p><p>(−3)𝑛+1𝑥𝑛+1</p><p>√𝑛 + 2</p><p>(−3)𝑛𝑥𝑛</p><p>√𝑛 + 1</p><p>|| = |</p><p>(−3)𝑛+1𝑥𝑛+1</p><p>√𝑛 + 2</p><p>∗</p><p>√𝑛 + 1</p><p>(−3)𝑛𝑥𝑛</p><p>| =</p><p>8</p><p>= |−3𝑥√</p><p>𝑛 + 1</p><p>𝑛 + 2</p><p>| = 3|𝑥|√</p><p>𝑛 + 1</p><p>𝑛 + 2</p><p>Verifique as simplificações realizadas acima! Agora tomaremos o limite</p><p>lim</p><p>𝑛→∞</p><p>|</p><p>𝑎𝑛+1</p><p>𝑎𝑛</p><p>| = lim</p><p>𝑛→∞</p><p>3|𝑥|√</p><p>𝑛 + 1</p><p>𝑛 + 2</p><p>= lim</p><p>𝑛→∞</p><p>3|𝑥|√</p><p>1 + 1/𝑛</p><p>1 + 2/𝑛</p><p>= 3|𝑥|</p><p>Se 3|𝑥| 1 a série diverge. Ou seja,</p><p>|𝑥| ></p><p>1</p><p>3</p><p>Portanto o raio de convergência é 𝑅 =</p><p>1</p><p>3</p><p>.</p><p>Para obtermos o seu intervalo 𝐼 de convergência,</p><p>fazemos:</p><p>|𝑥|</p><p>por exemplo:</p><p>𝝎𝟏 = 𝟏 ∗ 𝝎𝟎; 𝝎𝟐 = 𝟐 ∗ 𝝎𝟎; 𝝎𝟑 = 𝟑 ∗ 𝝎𝟎; …</p><p>Vamos ver um exemplo da representação em Série de Fourier da função</p><p>Onda Quadrada descrita abaixo:</p><p>𝑓(𝑥) = {</p><p>−1, −1</p><p>Notamos que as Séries de Taylor e Maclaurin são similares e são</p><p>utilizadas em pontos específicos de interesse de estudo.</p><p>22</p><p>Utilizamos uma Série Binomial na modelagem de um problema para o</p><p>cálculo de um campo elétrico.</p><p>Apresentamos a Série de Fourier, as Séries de Fourier dos Senos e</p><p>Cossenos obtidas de simplificações características das funções pares e ímpares.</p><p>Com os assuntos vistos nesta aula, daremos aprofundamento e</p><p>continuidade aos estudos da disciplina. Lembre-se de assistir às aulas práticas</p><p>e de enviar suas dúvidas no canal da tutoria.</p><p>Até mais!</p><p>23</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>STEWART, J. Cálculo: volume 2. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016.</p>