EP6-gabarito

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<p>Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>EP6 – Gabarito – Métodos Determińısticos I</p><p>Neste EP vamos trabalhar o conteúdo estudado na Aula 8 do Caderno Didático.</p><p>Exerćıcio 1 Coloque em ordem crescente os números reais:</p><p>a)</p><p>3</p><p>4</p><p>,</p><p>3</p><p>5</p><p>, −5</p><p>3</p><p>, −4</p><p>3</p><p>b) −1, −2, −5, −9</p><p>4</p><p>b)</p><p>2</p><p>8</p><p>,</p><p>2</p><p>4</p><p>,</p><p>3</p><p>4</p><p>, −4</p><p>4</p><p>Solução:</p><p>a) −5</p><p>3</p><p>7 b) −x 7 ⇐⇒ x > 7− 10 ⇐⇒ x > −3.</p><p>Resposta: (−3,∞).</p><p>b) −x −34</p><p>4</p><p>⇐⇒ x > −17</p><p>2</p><p>.</p><p>Resposta:</p><p>(</p><p>−17</p><p>2</p><p>,∞</p><p>)</p><p>.</p><p>c) 7x+ 12 ≤ 0 ⇐⇒ 7x ≤ −12 ⇐⇒ x ≤ −12</p><p>7</p><p>.</p><p>Resposta:</p><p>(</p><p>−∞,−12</p><p>7</p><p>]</p><p>d) 4x+ 3 ≥ 5x+ 2 ⇐⇒ 4x− 5x ≥ 2− 3 ⇐⇒ − x ≥ −1 ⇐⇒ x ≤ 1.</p><p>Resposta: (−∞, 1]</p><p>e) −0, 2 x ≥ 0, 6 ⇐⇒ − 2</p><p>10</p><p>x ≥ 6</p><p>10</p><p>⇐⇒ − x</p><p>5</p><p>≥ 3</p><p>5</p><p>⇐⇒ x ≤ −3</p><p>Resposta: (−∞,−3]</p><p>f)</p><p>x+ 1</p><p>3</p><p>≥ 4 ⇐⇒ x+ 1 ≥ 12 ⇐⇒ x ≥ 12− 1 ⇐⇒ x ≥ 11</p><p>Resposta: [11,∞)</p><p>g)</p><p>2− x</p><p>5</p><p>≤ 4x+ 1</p><p>3</p><p>⇐⇒ 3(2− x) ≤ 5(4x+ 1) ⇐⇒ 6− 3x ≤ 20x+ 5 ⇐⇒ − 3x− 20x ≤ 5− 6</p><p>⇐⇒ − 23x ≤ −1 ⇐⇒ x ≥ 1</p><p>23</p><p>Resposta:</p><p>[</p><p>1</p><p>23</p><p>,∞</p><p>)</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP6 4</p><p>h) −1</p><p>3</p><p>x+</p><p>1</p><p>7</p><p>≥ −x+5 ⇐⇒ − x</p><p>3</p><p>+x ≥ 5− 1</p><p>7</p><p>⇐⇒ − x</p><p>3</p><p>+</p><p>3x</p><p>3</p><p>≥ 35</p><p>7</p><p>− 1</p><p>7</p><p>⇐⇒ 2x</p><p>3</p><p>≥ 34</p><p>7</p><p>⇐⇒ x ≥ 34</p><p>7</p><p>· 3</p><p>2</p><p>⇐⇒ x ≥ 61</p><p>7</p><p>.</p><p>Resposta:</p><p>[</p><p>61</p><p>7</p><p>,∞</p><p>)</p><p>Exerćıcio 5 Determine, na forma de intervalo ou de uma união finita de intervalos, os números reais</p><p>que tornam verdadeira a desigualdade abaixo.</p><p>2</p><p>(</p><p>x+</p><p>1</p><p>2</p><p>)2</p><p>− 3x</p><p>2</p><p>3</p><p>.</p><p>Conclusão: Os valores de x que satisfazem a desigualdade 2</p><p>(</p><p>x+</p><p>1</p><p>2</p><p>)2</p><p>− 3x (2x− 1)(2x+ 1)</p><p>Solução:</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP6 5</p><p>2(x− 1)2 + (x− 2)</p><p>(</p><p>2x− 1</p><p>2</p><p>)</p><p>> (2x− 1)(2x+ 1) ⇔ 2(x2 − 2x+ 1) +</p><p>(</p><p>2x2 − x</p><p>2</p><p>− 4x+ 1</p><p>)</p><p>> (2x)2 − 1</p><p>⇔ 2x2 − 4x+ 2 + 2x2 − x</p><p>2</p><p>− 4x+ 1 > 4x2 − 1</p><p>⇔ 2x2 − 4x+ 2 + 2x2 − x</p><p>2</p><p>− 4x+ 1− 4x2 + 1 > 0</p><p>⇔ −8x− x</p><p>2</p><p>+ 4 > 0</p><p>⇔ −16x− x</p><p>2</p><p>+ 4 > 0</p><p>⇔ −17x</p><p>2</p><p>+ 4 > 0</p><p>⇔ −17x</p><p>2</p><p>> −4</p><p>⇔ 17x</p><p>2</p><p>deste produto é igual a 5 vezes a quantidade produzida,</p><p>temos</p><p>R = 5q.</p><p>Como o lucro L é dado pela diferença entre a receita e o custo, temos</p><p>L = R− C = 5q − (2q + 16) = 3q − 16.</p><p>Assim, a inequação que representa uma produção com lucro superior a R$ 50,00 é escrito por</p><p>L > 50 =⇒ 3q − 16 > 50 .</p><p>Resolvendo essa inequação, vem que:</p><p>3q − 16 > 50</p><p>⇐⇒ 3q − 16 + 16 > 50 + 16</p><p>⇐⇒ 3q > 66</p><p>⇐⇒ 1</p><p>3</p><p>· 3q > 1</p><p>3</p><p>· 66</p><p>⇐⇒ q > 22</p><p>Isto significa, que neste contexto, a quantidade ḿınima de bombons a ser produzida deverá ser de</p><p>23 bombons.</p><p>Exerćıcio 9 Racionalize, desenvolva e decida se a desigualdade A</p><p>√</p><p>4 = 2, temos</p><p>b =</p><p>√</p><p>5− 1 > 2− 1 = 1 ∴ b > c.</p><p>Com isso, temos</p><p>a b, podemos dizer que a desigualdade a ·c > b ·c é verdadeira para todo c ∈ R?</p><p>Solução: Sendo a > b, a desigualdade a · c > b · c será falsa se c ≤ 0.</p><p>Se a = 1, b = 2 e c = −1, teremos a = 1 b · c (pois −1 > −2).</p><p>Se c = 0, teremos também ac = 0 = bc, sendo então falso que ac > bc</p><p>Exerćıcio 12 Se a > b, podemos dizer que a desigualdade a2 > b2 é verdadeira?</p><p>Solução: Falso! Se, por exemplo, a = 1 e b = −2, teremos a > b, porém a2 = 1 e b2 = (−2)2 = 4,</p><p>logo b2 > a2.</p><p>Outro exemplo posśıvel de que a afirmação nem sempre vale é a = 1 e b = −1, que nos dá a > b,</p><p>porém a2 = b2.</p><p>Exerćıcio 13 Se a > b > 0, podemos dizer que a desigualdade a2 > b2 é verdadeira?</p><p>Solução: Sim. Suponhamos a > b > 0. Multiplicando os dois lados da desigualdade a > b por a,</p><p>como a > 0 temos a2 > a · b (sendo a positivo, multiplicar por a não muda o sinal da desigualdade).</p><p>Assim, a2 > ab. Por outro lado, como a > b, multiplicando a desigualdade por b temos ab > b2</p><p>(multiplicar por b > 0 não altera o sinal). Assim temos a2 > ab > b2.</p><p>Exerćıcio 14 É sempre verdade que a2 > a?</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP6 9</p><p>Solução: Falso! Se a =</p><p>1</p><p>2</p><p>, por exemplo, temos</p><p>a2 =</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>)2</p><p>=</p><p>1</p><p>4</p><p>b.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p>