Conjuntos_NumericosExercicios-Resolvidos

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PET Matemática - UFMG
Lista de Exerćıcios Resolvidos:
Conjuntos Numéricos
1. Determine se as seguintes proposições são verdadeiras ou falsas:
a) −3 ∈ N;
b)
−1000
−200
∈ Z;
c) 0, 2 ∈ I;
d)
√
28 ∈ Q.
Resolução:
a) −3 ∈ N
Lembre-se que o conjunto dos números naturais são aqueles que
podemos contar com os dedos (N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}). Portanto,
o número negativo −3 não pertence aos Naturais, a afirmação é
falsa.
b)
−1000
−200
∈ Z
Podemos simplificar a fração
−1000
−200
realizando a divisão entre
os dois números e nos atentando que a divisão de dois números
negativos tem como resultado um número positivo, obtemos que
−1000
−200
= 5.
Lembrando que o conjunto dos Inteiros é o conjunto dos Natu-
rais agregando seus simétricos (Z = {...,−2,−1, 0, 1, 2, ...}), con-
cluimos que 5 pertence aos inteiros, a afirmação é verdadeira.
c) 0, 2 ∈ I;
Lembre-se que a notação 0, 2 tem o mesmo significado que 0, 222....
Vemos, então, que este número é o que chamamos de uma d́ızima
1
periódica, isto é, apresenta um padrão de repetição em sua parte
decimal. Lembrando do texto de apoio, veremos que 0, 2 =
2
9
, e
portanto é um número racional (0, 2 ∈ Q).
Por fim, lembre-se que I é o conjunto dos números Irracionais, jus-
tamente aqueles que não podem ser escritos como divisão de dois
inteiros, ou seja, os que não são racionais. Portanto, a afirmação
é falsa.
d)
√
28 ∈ Q
Primeiro, simplificamos o número
√
28, fazendo a fatoração em
primos, obtemos 28 = 7.22, tirando a raiz temos
√
28 = 2.
√
7.
Lembre-se agora do texto de apoio que a raiz quadrada de qualquer
número primo, neste caso o 7, não pode ser escrita como a razão
entre dois inteiros. Portanto, o número
√
28 é um irracional, logo
a afirmação é falsa.
2. Classifique cada número a seguir em racional ou irracional:
a)
3 3
√
125
15
;
b)
√
11 + 2;
c)
√
3 + 2√
3− 2
+
√
3− 2√
3 + 2
.
Resolução:
a)
3 3
√
125
15
Sabemos que 3
√
125 = 5, com isso
3 3
√
125
15
=
3× 5
15
= 1.
Lembre-se agora que os Inteiros (Z) são um subconjunto dos Racioais
(Q), portanto 1 é um racional.
b)
√
11 + 2
Para este item é preciso se lembrar que a raiz quadrada de qual-
quer número primo é um irracional (como visto na letra ”d” da
questão 1). Então, mesmo que o número 2 seja um racional, ao
adicionarmos
√
11 temos como resultado que o número
√
11 + 2 é
irracional.
2
c)
√
3 + 2√
3− 2
+
√
3− 2√
3 + 2
Neste caso, é preciso simplificar a expressão para que possamos
visualizar melhor qual é este número.
Começamos colocando a expressão em um único termo, para isto
calculamos o m.m.c (mı́nimo múltiplo comum) entre os elementos
dos denominadores, para isto basta multiplicá-los, obteremos:
√
3 + 2√
3− 2
+
√
3− 2√
3 + 2
=
(
√
3 + 2)2 + (
√
3− 2)2
(
√
3− 2)(
√
3 + 2)
.
Agora, vamos recordas dos seguintes produtos notáveis para de-
senvolver a expressão, essas relações aparecem em diversas ocasiões,
portanto vale a pena tê-las em mente. Aqui, a e b são números
reais quaisquer:
� Quadrado da Soma:
(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2.
� Quadrado da Diferença:
(a− b)2 = a2 − 2ab+ b2.
� Diferença entre Quadrados:
a2 − b2 = (a+ b) · (a− b).
Voltando a nossa questão, utilizando os produtos notáveis temos:
(
√
3 + 2)2 = (
√
3)2 + 2.
√
3.2 + 22 = 7 + 4.
√
3;
(
√
3− 2)2 = (
√
3)2 − 2.
√
3.2 + 22 = 7− 4.
√
3;
(
√
3− 2).(
√
3 + 2) = (
√
3)2 − 22 = 3− 4 = −1.
Substintuindo na nossa expressão, temos:
(
√
3 + 2)2 + (
√
3− 2)2
(
√
3− 2)(
√
3 + 2)
=
7 + 4.
√
3 + 7− 4.
√
3
(−1)
=
14
(−1)
= −14.
Portanto, como na letra (a), este número é um racional.
3. Encontre as frações geratrizes das seguintes d́ızimas periódicas:
a) 0, 313131..... = 0, 31;
3
b) 0, 190190190... = 0, 190;
c) 0, 9999999... = 0, 9.
Resolução: Nesta questão, utilizaremos o método bem explicado no
texto de apoio.
a) 0, 313131..... = 0, 31
Seja α = 0, 31 e 100α = 31, 31 subtraindo as equações:
100α = 31, 3131...
−α = −0, 3131...
99α = 31⇒ α = 31
99
.
b) 0, 190190190... = 0, 190
Seja α = 0, 190 e 1000α = 190, 190 subtraindo as equações:
1000α = 190, 190190...
−α = −0, 190190...
999α = 190⇒ α = 190
999
.
c) 0, 9999999... = 0, 9
Seja α = 0, 99 e 10α = 9, 99 subtraindo as equações:
10α = 9, 999....
−α = −0, 999...
9α = 9⇒ α = 1.
Esse é um resultado interessante e intuitivo.
4. Calcule o valor da expressão:√√√√(1
3
)(− 1
3
)−1
−
(
1
2
)(− 1
2
)−1
+
(
1
4
)−( 1
4
)
1
2
.
4
Resolução:
Começamos simplificando os expoentes de cada termo:
(
−1
3
)−1
= −3;
(
−1
2
)−1
= −2; −
(
1
4
) 1
2
= −
√
1
4
= −1
2
.
Utilizamos as propriedades de potências:
(
a
b
)−c
=
(
b
a
)c
e a
p
q = q
√
ap.
Passando às parcelas:
√(
1
3
)−3
−
(
1
2
)−2
+
(
1
4
)− 1
2
=
√
33 − 22 +
√
4 =
√
27− 4 + 2 =
√
25 = 5.
Em expressões envolvendo muitas parcelas e operações é fundamental
resolvermos por etapas, obedecendo as ordens das operações.
5. Resolva a equação:
x+ 1
x− 3
− 1 = 3
x+ 2
onde x 6= −2 e x 6= 3.
Resolução:
Começamos tirando o m.m.c
(x+ 2)(x+ 1)− (x+ 3)(x+ 2) = 3(x− 3)
(x− 3)(x+ 2)
.
uma vez que tem os um denominador comum podemos desconsiderá-
lo e nos resta:
x2 + 3x+ 2− (x2 − x− 6) = 3x− 9
⇒ 4x+ 8 = 3x− 9
⇒ x = −17.
5
Note que a condição de existência de x, isso se deve ao fato de não
ser definida a divisão por zero. Assim, podemos proceder nos cálculos
sem nos preocuparmos com o denominador. O processo de encontrar o
m.m.c de denominadores numéricos, e o cálculo em si, é o mesmo para
denominadores algébricos, como podemos ver.
6. Determine o conjunto obtido com as operações entre conjuntos:
a) [−2, 0) ∪ {x ∈ R | 0 ≤ x < 4};
b) {x ∈ R | x ≥ 5} ∩ (−∞, 7);
c) [−5, 10] \ (−2, 4).
Resolução:
a) [−2, 0) ∪ {x ∈ R | 0 ≤ x < 4}
Esclarecemos, primeiro, quais são os conjuntos em questão:
� [−2, 0) denota o cojunto de todos os números reais que estão
entre o −2 e o 0. O colchete ”[” ao lado do −2 siginifica que o
−2 faz parte do conjunto e o parênteses ao lado do 0 siginifica
que o 0 não faz parte do conjunto.
� {x ∈ R | 0 ≤ x < 4} denota o conjunto de reais maiores ou
iguais a 0 e menores do que 4, o que representa o intervalo
[0, 4).
Queremos a UNIÃO entre estes dois conjuntos, isto é, o con-
junto resultante terá como elementos todos os elementos de ambos
os conjuntos da operação. Então, apesar de 0 não pertencer no
primeiro conjunto, ele pertence ao segundo, portanto pertencerá
à união entre eles.
Além disso, o 4 não pertence a nenhum dos dois conjuntos, então
não pertencerá à união. Teremos:
[−2, 0) ∪ {x ∈ R | 0 ≤ x < 4} = [−2, 0) ∪ [0, 4) = [−2, 4).
b) {x ∈ R | x ≥ 5} ∩ (−∞, 7)
O conjunto {x ∈ R | x ≥ 5} representa todos os reais maiores ou
iguais a 5, e o conjunto (−∞, 7) representa todos os reais menores
que 7.
Queremos determinar a INTERSEÇÃO entre estes conjuntos, isto
é, o conjunto resultante terá como elementos apenas aqueles ele-
mentos que pertencem a AMBOS os conjuntos da operação. Quer-
emos, portanto, todos os números reais que são, simultaneamente,
6
maiores ou iguais a 5 e menores que 7. Teremos:
{x ∈ R | x ≥ 5} ∩ (−∞, 7) = {x ∈ R | 5 ≤ x < 7} = [5, 7).
c) [−5, 10] \ (−2, 4)
Lembramos que a operação representada pelo śımbolo ”\” é a
Diferença entre dois conjuntos. Nesta operação, temos como re-
sultado um conjunto com todos os elementos que pertencem APE-
NAS ao primeiro conjunto.
No nosso caso, queremos os elementos que pertencem APENAS ao
conjunto [−5, 10], e portanto, não pertencem ao conjunto (−2, 4).
Atente-se que −2 e 4 não pertencem a (−2, 4) e portanto, per-
tencerão ao conjunto resultante. Teremos:
[−5, 10] \ (−2, 4) = [−5,−2] ∪ [4, 10].
7