ELETRICIDADE BÁSICA - CAPÍTULOS I; II 1; II 2; II 3; II 4; II 5; III; IV; V; VI e VII

Prévia do material em texto

<p>0</p><p>UNISUAM</p><p>ENGENHARIA ELÉTRICA</p><p>ELETRICIDADE BÁSICA</p><p>Prof. RAED</p><p>2014-2</p><p>1</p><p>CAPÍTULO I – ELETRODINÂMICA</p><p>1 - Corrente elétrica</p><p>É o movimento ou o fluxo de elétrons. Para se produzir a corrente, os elétrons devem se deslocar</p><p>pelo efeito de uma diferença de potencial - ddp.</p><p>A corrente é representada pela letra I. No sistema internacional – SI a unidade de corrente é o</p><p>ampère, cujo símbolo é A.</p><p>O condutor metálico da figura 1, submetido a uma ddp entre os seus extremos, possui uma</p><p>quantidade de elétrons que atravessa a seção reta transversal do condutor desde o instante t até o</p><p>instante t + t. Cada elétron apresenta uma carga elétrica elementar e de valor igual a C19106,1  .</p><p>Em um intervalo de tempo t, passa pela seção transversal uma carga elétrica de valor absoluto</p><p>igual a:</p><p>enq .</p><p>Onde: q  é a quantidade de carga elétrica em movimento, em coulomb (C).</p><p>n  é o número de elétrons.</p><p>e  é a carga elétrica elementar de um elétron, que é igual a 1,6x10</p><p>-19</p><p>C.</p><p>Fig. 1 – No intervalo de tempo Δt, “n” elétrons passam pela seção reta transversal do condutor.</p><p>Define-se intensidade média de corrente elétrica mi no intervalo de tempo t:</p><p>t</p><p>q</p><p>im</p><p></p><p></p><p></p><p>Denomina-se corrente contínua constante toda corrente de sentido e intensidade constantes com o</p><p>tempo. Neste caso, a intensidade média da corrente mi em qualquer intervalo de tempo t é a</p><p>mesma e, portanto, igual à intensidade i em qualquer instante t )( iim </p><p>.</p><p>2</p><p>A figura 2 mostra o gráfico dessa corrente em função do tempo. Esse é o caso mais simples de</p><p>corrente elétrica. A pilha mostrada ao lado do gráfico é um exemplo de fonte que fornece uma</p><p>corrente contínua constante.</p><p>Fig. 2 – A corrente contínua constante tem sentido e intensidade constantes com o tempo.</p><p>Quando a corrente varia com o tempo, define-se intensidade de corrente i em um instante t o limite</p><p>para o qual tende a intensidade média, quando o intervalo de tempo t tende a zero:</p><p>t</p><p>q</p><p>i</p><p>ot </p><p></p><p></p><p></p><p>lim</p><p>A figura 3 mostra um gráfico de uma corrente elétrica que muda, periodicamente, de intensidade e</p><p>sentido, esta é chamada de corrente alternada. Nos terminais das tomadas das residências,</p><p>escritórios, comércios e indústrias no Brasil há uma corrente alternada na frequência de 60 Hz, ou</p><p>seja, 60 ciclos/segundo.</p><p>Fig. 3 – A corrente alternada muda periodicamente no tempo.</p><p>Um ampère de corrente é definido como o deslocamento de um coulomb através de um ponto</p><p>qualquer de um condutor durante um intervalo de um segundo.</p><p>t</p><p>q</p><p>I</p><p></p><p></p><p></p><p>segundo</p><p>coulomb</p><p>ampère</p><p>1</p><p>1</p><p>1 </p><p>Onde: I  é a corrente elétrica, em ampères (A).</p><p>q  é a quantidade de carga elétrica em movimento, em coulomb (C).</p><p>t  é o intervalo de tempo, em segundos (s), que a carga elétrica está em movimento.</p><p>3</p><p>2 - Densidade de corrente</p><p>É a relação entre a corrente elétrica em ampères e a área da seção transversal do condutor em m</p><p>2</p><p>.</p><p>S</p><p>I</p><p>J </p><p>3 - Tensão elétrica</p><p>A tensão elétrica entre dois pontos, também chamada de diferença de potencial (ddp), é o trabalho</p><p>necessário em joules para mover um coulomb de carga de um ponto a outro.</p><p>A unidade no Sistema Internacional (SI) de tensão elétrica é o volt, cujo símbolo é V. O símbolo de</p><p>tensão elétrica é U.</p><p>q</p><p>W</p><p>U </p><p>Onde:</p><p>U  é a tensão elétrica, em volts (V).</p><p>W  é o trabalho, em joules (J).</p><p>q  é a carga elétrica, em coulomb (C).</p><p>4 - Resistores</p><p>O resistor é todo elemento cuja função em um circuito é oferecer uma resistência especificada.</p><p>A unidade no SI de resistência elétrica é o ohm, cujo símbolo é o . O símbolo de resistência</p><p>elétrica é R.</p><p>Para uma dada tensão elétrica, quanto maior a resistência menor será a corrente elétrica. Portanto, a</p><p>resistência é a oposição ao fluxo da corrente elétrica.</p><p>São exemplos de resistores: filamentos de tungstênio de lâmpadas incandescentes e fios de nicromo</p><p>enrolados em hélice em chuveiro elétrico.</p><p>Onde: J  é a densidade de corrente elétrica, em ampères/metro quadrado (A/m</p><p>2</p><p>).</p><p>I  é a intensidade da corrente elétrica, em ampères (A).</p><p>S  é a área da seção transversal do condutor, em metros quadrados (m</p><p>2</p><p>).</p><p>4</p><p>5 - Lei de Ohm</p><p>Considere o resistor da figura 4, mantido a uma temperatura constante, percorrido por uma corrente</p><p>elétrica i , quando entre seus terminais A e B for aplicada a ddp U.</p><p>Fig. 4 – A ddp é a causa da passagem da corrente “i”.</p><p>Mudando-se a ddp sucessivamente para U1, U2, U3, ..., o resistor passa a ser percorrido por corrente</p><p>de intensidade ...,,, 321 iii</p><p>Ohm verificou, experimentalmente, que mantida a temperatura constante, o quociente da ddp</p><p>aplicada pela respectiva intensidade de corrente era uma constante característica do resistor.</p><p> ...</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>i</p><p>U</p><p>i</p><p>U</p><p>i</p><p>U</p><p>i</p><p>U</p><p>constante = R</p><p>A grandeza R assim introduzida foi denominada resistência elétrica do resistor. A resistência</p><p>elétrica não depende da ddp aplicada ao resistor, nem da corrente elétrica que o percorre; ela</p><p>depende do condutor e de sua temperatura. A expressão que simboliza a lei de Ohm é:</p><p>I</p><p>U</p><p>R </p><p>Onde, conforme já definido:</p><p>R resistência elétrica, em ohms ().</p><p>U tensão elétrica, em volts (V).</p><p>I intensidade da corrente elétrica, em ampères (A).</p><p>5</p><p>6 - Resistores Ôhmicos e Não-Ôhmicos</p><p>Na figura 5, o gráfico de U em função de i é uma reta que passa pela origem, constituindo, assim, a</p><p>curva característica de um resistor ôhmico. O coeficiente angular da reta (tg ) é numericamente</p><p>igual a resistência elétrica do resistor, que é igual a uma constante não nula.</p><p>Fig. 5 – Curva característica de um resistor ôhmico.</p><p>Para condutores que não obedecem a Lei de Ohm, a curva característica passa pela origem, mas não</p><p>é uma reta, conforme mostra a figura 6. Esses condutores são denominados condutores não-lineares</p><p>ou não-ôhmicos. A resistência aparente (Rap) é definida em cada ponto da curva da seguinte</p><p>maneira:</p><p>'</p><p>'</p><p>'</p><p>i</p><p>U</p><p>R</p><p>i</p><p>U</p><p>R apap </p><p>Fig. 6 – Curva característica de um condutor não-ôhmico.</p><p>R</p><p>i</p><p>U</p><p>tg </p><p>6</p><p>7 - Efeito térmico ou efeito joule</p><p>Um resistor transforma exclusivamente em térmica a energia elétrica recebida de um circuito.</p><p>Portanto, é comum afirmar que um resistor dissipa energia elétrica que recebe do circuito.</p><p>Nos aquecedores elétricos em geral (chuveiros elétricos, torneiras elétricas, ferros elétricos,</p><p>secadores de cabelos), constituídos de resistores, ocorre a transformação de energia elétrica em</p><p>energia térmica.</p><p>O efeito da transformação de energia elétrica em térmica é denominado efeito térmico ou efeito</p><p>joule. Esse efeito pode ser entendido considerando o choque dos elétrons livres contra os átomos do</p><p>condutor.</p><p>A energia elétrica transformada em energia térmica ao fim de um intervalo de tempo t é dada por:</p><p>tIREel  2 . Esta expressão é conhecida como a Lei de Joule, podendo assim ser enunciada: A</p><p>energia elétrica dissipada em um resistor, durante um dado intervalo de tempo t, é diretamente</p><p>proporcional ao quadrado da intensidade de corrente que o percorre.</p><p>8 - Resistividade</p><p>A resistência elétrica de um resistor depende do material que o constitui, de suas dimensões e de sua</p><p>temperatura. Portanto, a resistência elétrica R de um resistor em dada temperatura é:</p><p> diretamente proporcional ao seu comprimento (  ), em metros (m);</p><p> inversamente proporcional à sua área de seção transversal (S), em m</p><p>2</p><p>;</p><p> dependente do material que o constitui (  ), em .m.</p><p>S</p><p>R</p><p>.</p><p></p><p>Onde  (letra grega rô) é uma grandeza que depende do material que constitui o resistor e da</p><p>temperatura, sendo denominada resistividade do material. A resistividade de um material varia com</p><p>a temperatura. Para variações não excessivas (até cerca de 400ºC),</p><p>situação costuma provocar acidentes perigosos.</p><p>5. Rigidez Dielétrica</p><p>Para cada dielétrico existe um valor de campo elétrico que, se aplicado ao dielétrico, quebrará</p><p>ligações moleculares internas, permitindo a passagem de corrente. A tensão por unidade de</p><p>comprimento (intensidade do campo elétrico) necessária para que haja uma condução em um</p><p>dielétrico é uma indicação de sua rigidez dielétrica e é denominada tensão de ruptura. Quando a</p><p>ruptura ocorre, o capacitor passa a ter características muito semelhantes às de um condutor. Um</p><p>exemplo típico de ruptura de dielétrico é o raio, que ocorre quando a diferença de potencial entre a</p><p>nuvem e a terra se torna tão grande que pode haver escoamento de carga de uma para outra pela</p><p>atmosfera, que se comporta como o dielétrico.</p><p>83</p><p>A permissividade é uma medida da facilidade com que o dielétrico “permite” o estabelecimento de</p><p>linhas de campo no seu interior. Quanto maior o valor da permissividade, maior a quantidade de</p><p>cargas depositadas nas placas.</p><p>Para o vácuo, o valor de  (representada 0) é de 8,85 x 10</p><p>-12</p><p>F/m. A razão entre a permissividade de</p><p>qualquer dielétrico e a do vácuo é chamada de permissividade relativa (r).</p><p>0</p><p></p><p> r</p><p>O valor de  para qualquer material é, assim, dado por: 0. r</p><p>O valor de r é uma grandeza adimensional. A Tabela 2 mostra os valores da permissividade</p><p>relativa para vários materiais isolantes.</p><p>Tabela 2 – Permissividade relativa (r) de várias substâncias.</p><p>Dielétrico r</p><p>Vácuo 1,0</p><p>Ar 1,0006</p><p>Teflon 2,0</p><p>Papel parafinado 2,5</p><p>Borracha 3,0</p><p>Ascarel 4,0</p><p>Mica 5,0</p><p>Porcelana 6,0</p><p>Baquelite 7,0</p><p>Vidro 7,5</p><p>Água destilada 80,0</p><p>Cerâmica 7500,0</p><p>84</p><p>6. Corrente de Fuga</p><p>O caso ideal é quando o fluxo de elétrons ocorre em um dielétrico apenas quando a tensão de</p><p>ruptura é alcançada. Na realidade, existem elétrons livres em todos os dielétricos devido a</p><p>elementos de impureza do material.</p><p>Quando é aplicada uma tensão entre as placas de um capacitor, uma corrente de fuga, devido aos</p><p>elétrons livres, flui de uma placa para outra. Entretanto, normalmente esta corrente é tão pequena</p><p>que pode ser ignorada para a maioria das aplicações práticas. Este efeito é representado por um</p><p>resistor em paralelo com o capacitor, como mostra a figura 6(a), cujo valor é, tipicamente, maior</p><p>que 100 M. No entanto, alguns capacitores, como os do tipo eletrolítico, têm correntes de fuga</p><p>relativamente altas. Quando carregados e depois desconectados do circuito, esses capacitores</p><p>perdem a carga num tempo na ordem de segundos devido ao fluxo de cargas (corrente de fuga) de</p><p>uma placa para a outra, conforme figura 6(b).</p><p>Fig. 6 – Demonstração do efeito da corrente de fuga.</p><p>7. Simbologia dos Capacitores</p><p>Assim como os resistores, todos os capacitores podem ser classificados em duas categorias: fixos e</p><p>variáveis. A linha curva representa a placa que é normalmente conectada no ponto de potencial mais</p><p>baixo.</p><p>Fig. 7 – Simbologia de capacitores.</p><p>Capacitor Fixo Capacitor Variável</p><p>85</p><p>8. Capacitores em Série e em Paralelo</p><p>Tanto os capacitores, como os resistores, podem ser conectados em série e em paralelo. Um</p><p>aumento nos valores de capacitância pode ser conseguido conectando os capacitores em paralelo,</p><p>enquanto uma diminuição é obtida conectando-os em série. No caso de capacitores em série, a carga</p><p>é a mesma em todos os capacitores.</p><p>Figura 8 – Capacitores em série</p><p>NT QQQQQ  321</p><p>Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões ao longo da malha, tem-se:</p><p>NUUUUU  ...321</p><p>C</p><p>Q</p><p>U </p><p>N</p><p>N</p><p>T</p><p>T</p><p>C</p><p>Q</p><p>C</p><p>Q</p><p>C</p><p>Q</p><p>C</p><p>Q</p><p>C</p><p>Q</p><p> ...</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>NT CCCCC</p><p>1</p><p>...</p><p>1111</p><p>321</p><p></p><p>A capacitância total  TC de dois capacitores em série é:</p><p>21</p><p>21 .</p><p>CC</p><p>CC</p><p>CT</p><p></p><p></p><p>A capacitância total  TC de “N” capacitores iguais a “C”em série é:</p><p>N</p><p>C</p><p>CT </p><p>86</p><p>No caso de capacitores em paralelo, a tensão é a mesma entre os terminais de todos os capacitores e</p><p>a carga total é a soma das cargas dos capacitores.</p><p>NT QQQQQ  ...321</p><p>UCQ .</p><p>Figura 9 – Capacitores em paralelo</p><p>NNT UCUCUCUCUC ........ 332211 </p><p>NUUUUE  ...321</p><p>NT CCCCC  ...321</p><p>Exemplos:</p><p>1 – Para o circuito abaixo, determine:</p><p>(a) A capacitância total.</p><p>(b) A carga elétrica em cada capacitor.</p><p>(c) A tensão entre os terminais de cada capacitor.</p><p>(a)</p><p>8</p><p>1</p><p>200</p><p>2041</p><p>10</p><p>1</p><p>50</p><p>1</p><p>200</p><p>11111</p><p>321</p><p></p><p></p><p></p><p>CCCCT</p><p>FCT 8</p><p>87</p><p>(b) CUCQ TT 48060108. 6  </p><p>CQQQQT 480321 </p><p>(c) V</p><p>C</p><p>Q</p><p>U 4,2</p><p>10200</p><p>10480</p><p>6</p><p>6</p><p>1</p><p>1</p><p>1 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>C</p><p>Q</p><p>U 6,9</p><p>1050</p><p>10480</p><p>6</p><p>6</p><p>2</p><p>2</p><p>2 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>C</p><p>Q</p><p>U 48</p><p>1010</p><p>10480</p><p>6</p><p>6</p><p>3</p><p>3</p><p>3 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2 - Para o circuito abaixo, determine:</p><p>(a) A capacitância total.</p><p>(b) A carga elétrica em cada capacitor.</p><p>(c) A carga total.</p><p>(a) FCCCCT 2060120060800321 </p><p>(b) CmUCQ 4,384810800. 6</p><p>11  </p><p>CmUCQ 88,2481060. 6</p><p>22  </p><p>CmUCQ 6,5748101200. 6</p><p>33  </p><p>(c) mCUCQ TT 88,9848102060. 6  </p><p>88</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>1. A capacitância C de um capacitor aumenta, diminui ou permanece a mesma quando (a) a carga</p><p>q sobre ele é dobrada e (b) a diferença de potencial V entre suas placas é triplicada?</p><p>2. Para capacitores carregados pela mesma bateria, a carga armazenada pelo capacitor aumenta,</p><p>diminui ou permanece a mesma em cada uma das seguintes situações?</p><p>(a) A separação entre as placas de um capacitor de placas paralelas é aumentada.</p><p>(b) O raio do cilindro interno de um capacitor cilíndrico é aumentado.</p><p>(c) O raio da casca esférica externa de um capacitor esférico é aumentado.</p><p>3. Uma bateria de potencial V armazena uma carga q sobre uma combinação de dois capacitores</p><p>idênticos. Qual a diferença de potencial entre as placas e a carga sobre qualquer um dos capacitores</p><p>se os capacitores estiverem (a) em paralelo e (b) em série?</p><p>4. O capacitor da figura abaixo possui uma capacitância de 25F e está inicialmente descarregado.</p><p>A bateria fornece uma diferença de potencial de 120V. Depois de a chave S ser fechada, quanta</p><p>carga passará por ela?</p><p>5. No circuito abaixo suponha que a tensão de entrada seja igual a 120V, C1 = 6F, C2 = 3F;</p><p>C3 = 4F. Determine:</p><p>(a) A capacitância equivalente da associação.</p><p>(b) A carga total armazenada.</p><p>(c) A tensão em cada capacitor.</p><p>(d) A carga em cada capacitor.</p><p>89</p><p>6. No circuito abaixo suponha que a tensão de entrada seja igual a 120V, C1 = 7F; C2 = 8F;</p><p>C3 = 10F. Determine:</p><p>(a) A capacitância equivalente da associação.</p><p>(b) A carga total armazenada.</p><p>(c) A tensão em cada capacitor.</p><p>(d) A carga em cada capacitor.</p><p>7. No circuito abaixo suponha que a tensão de entrada seja igual a 120V, C1 = 4F; C2 = 8F;</p><p>C3 = 6F. Determine:</p><p>(a) A capacitância equivalente da associação.</p><p>(b) A carga total armazenada.</p><p>(c) A tensão em cada capacitor.</p><p>(d) A carga em cada capacitor.</p><p>8. Na figura baixo, cada capacitor possui C = 4F e Uab = 28V. Calcule:</p><p>(a) A capacitância equivalente.</p><p>(b) A carga de cada capacitor.</p><p>(c) A diferença de potencial através de cada capacitor.</p><p>(d) A diferença de potencial entre os pontos a e d.</p><p>9. Um capacitor de placas paralelas possui placas circulares de 8,2cm de raio e 1,3mm de</p><p>separação.</p><p>(a) Calcule a capacitância. Dado: 0 = 8,85 x 10</p><p>-12</p><p>F / m</p><p>(b) Que carga aparecerá sobre as placas se for aplicada uma diferença de potencial de 120V?</p><p>10. Um capacitor esférico é constituído por duas cascas esféricas condutoras concêntricas</p><p>separadas pelo vácuo. A superfície esférica interna possui raio igual a 12,5cm e a superfície esférica</p><p>externa possui raio de 14,8cm. Uma diferença de potencial de 120V é aplicada ao capacitor.</p><p>Determine a capacitância do capacitor. Dado: 0 = 8,85 x 10</p><p>-12</p><p>F/m</p><p>90</p><p>11. Um capacitor cilíndrico possui um condutor interno com raio 1,5mm e um condutor externo</p><p>com raio igual a 3,5mm. Os dois condutores estão separados pelo vácuo e o comprimento total do</p><p>capacitor é de 2,8m. Determine a capacitância por unidade de comprimento.</p><p>Dado: 0 = 8,85 x 10</p><p>-12</p><p>F / m</p><p>12. Uma esfera isolada, cujo raio R é de 6,85cm, possui uma carga q = 1,25nC.</p><p>Dado: 0 = 8,85 x 10</p><p>-12</p><p>F/m. Determine:</p><p>(a) A capacitância da esfera isolada</p><p>(b) A tensão elétrica nos terminais do capacitor.</p><p>13. O capacitor 1, com C1 = 3,55F, é carregado para uma diferença de potencial U0 = 6,30V,</p><p>usando uma bateria de 6,30V. A bateria então é retirada e o capacitor é ligado, como na figura</p><p>abaixo, a um capacitor 2 descarregado, com C2 = 8,95F. Quando a chave S é fechada, a carga flui</p><p>entre os capacitores até que eles tenham a mesma diferença de potencial V. Determine V.</p><p>Respostas:</p><p>(1) (a) permanece a mesma; (b) permanece a mesma; (2) (a) diminui; (b) aumenta; (c) diminui;</p><p>(3) (a) V, q/2; (b) V/2, q; (4) 3mC; (5) (a) 6F; (b) 720C; (c) U1 = 40V; U2 = 80V; U3 = 120V;</p><p>(d) Q1 = Q2 = 240C; Q3 = 480C; (6) (a) 6F; (b) 720C; (c) U1 = U2 = 48V; U3 = 72V;</p><p>(d) Q1 = 336C; Q2 = 384C; Q3 = 720C; (7) (a) 4F; (b) 480C; (c) U1 = U2 = 40V; U3 = 80V;</p><p>(d) Q1 = 160C; Q2 = 320C; Q3 = 480C; (8) (a) 2,4F; (b) Q1 = Q2 = 22,4C, Q3 = 44,8C,</p><p>Q4 = 67,2C; (c) U1 = U2 =5,6V, U3 = 11,2V, U4 = 16,8V; (d) Uad = 11,2V; (9) (a) 143,81pF;</p><p>(b) 17,257nC; (10) 89,453pF; (11) 65,628pF/m; (12) (a) 7,6180pF; (b) 164,09V; (13) 1,7892V.</p><p>91</p><p>CAPÍTULO IV - REVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS</p><p>Números Imaginários</p><p>A raiz quadrada de um número real negativo é chamada um número imaginário puro.</p><p>Ex: 1 , 2 , 3 , 16 ,...</p><p>Se fizermos 1j</p><p>22.12 j</p><p>33.13 j</p><p>244.14 jj </p><p>55.15 j</p><p>1j</p><p>1)²1(.²  jjj</p><p>jjjj  ².³</p><p>1².²</p><p>4</p><p> jjj</p><p>1.</p><p>45</p><p> jjjj</p><p>Linha dos números imaginários</p><p>92</p><p>Números Complexos</p><p>jyxZ  ==========> Z é o número complexo.</p><p>x é a parte real.</p><p>jy é a parte imaginária.</p><p>Quando 0x => Z é um número imaginário puro.</p><p>Quando 0y => Z é um número real.</p><p>jdcjba  => ca </p><p>db </p><p>Exemplos:</p><p>61 Z 322 jZ </p><p>43 jZ  234 jZ </p><p>445 jZ  336 jZ </p><p>93</p><p>Outras formas de números complexos</p><p>cos.rx </p><p>senry .</p><p>)(cos  senjrjyxZ </p><p>²² yxr </p><p>x</p><p>y</p><p>tgarc</p><p>Fórmula de Euler: )(cos  senje j </p><p>   rersenjrZ j)(cos</p><p>Forma retangular => jyxZ </p><p>Forma polar =>  rZ</p><p>Forma exponencial => jerZ </p><p>Forma trigonométrica => )(cos  senjrZ </p><p>Conjugado de um número complexo (Z*)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>jyxZ</p><p>jyxZ</p><p>*</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>rZ</p><p>rZ</p><p>*</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>)(cos*</p><p>)(cos</p><p></p><p></p><p>senjrZ</p><p>senjrZ</p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>sensen )(</p><p>cos)(cos</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p>j</p><p>j</p><p>erZ</p><p>erZ</p><p>*</p><p>94</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>43*</p><p>43</p><p>1</p><p>1</p><p>jZ</p><p>jZ</p><p>º13,14352 Z</p><p>º13,1435*2 Z</p><p>Soma e diferença de números complexos</p><p>Só podem ser efetuados, convenientemente, quando ambos estão na forma retangular.</p><p>Exemplo:</p><p>251 jZ   102)28()35(21 jjZZ </p><p>832 jZ  68)28()53(12 jjZZ </p><p>Multiplicação de números complexos</p><p>Forma Exponencial</p><p>1</p><p>11</p><p>j</p><p>erZ  </p><p>)(</p><p>2121</p><p>21..</p><p> </p><p></p><p>j</p><p>errZZ</p><p>2</p><p>22</p><p>j</p><p>erZ </p><p>Forma Polar</p><p>111  rZ  212121 ..   rrZZ</p><p>222  rZ</p><p>95</p><p>Forma Retangular</p><p>111 jyxZ </p><p>222 jyxZ    )()(. 221121 jyxjyxZZ</p><p>2121212121 ².... yyjxjyyjxxxZZ </p><p>)()(. 1221212121 yxyxjyyxxZZ </p><p>Exemplos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 6</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>5</p><p></p><p></p><p>j</p><p>j</p><p>eZ</p><p>eZ</p><p></p><p>6</p><p>21 10. jeZZ </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>º455</p><p>º302</p><p>2</p><p>1</p><p>Z</p><p>Z</p><p> º1510. 21 ZZ</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>31</p><p>32</p><p>2</p><p>1</p><p>jZ</p><p>jZ</p><p> 97. 21 jZZ </p><p>Divisão de números complexos</p><p>Forma exponencial</p><p>)(</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1 21</p><p>2</p><p>1</p><p>.</p><p>. </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>j</p><p>j</p><p>j</p><p>e</p><p>r</p><p>r</p><p>er</p><p>er</p><p>Z</p><p>Z</p><p>Forma polar</p><p>21</p><p>2</p><p>1</p><p>22</p><p>11</p><p>2</p><p>1 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>r</p><p>r</p><p>r</p><p>r</p><p>Z</p><p>Z</p><p>Retangular</p><p>)( 111 yjxZ </p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>12212121</p><p>2222</p><p>2211</p><p>2</p><p>1 )()..(</p><p>)).((</p><p>)).((</p><p>Z</p><p>Z</p><p>yx</p><p>xyxyjyyxx</p><p>yjxyjx</p><p>yjyjx</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>)( 222 yjxZ </p><p>96</p><p>Exemplos</p><p>6</p><p>6</p><p>6</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>4</p><p>Z</p><p>Z</p><p>4</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>j</p><p>j</p><p>j</p><p>j</p><p>j</p><p>eZ</p><p>e</p><p>e</p><p>e</p><p>eZ</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>602</p><p>304</p><p>602</p><p>308</p><p>308</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>Z</p><p>Z</p><p>Z</p><p>Z</p><p>21</p><p>5</p><p>136</p><p>)21).(21(</p><p>)21).(54(</p><p>Z</p><p>Z</p><p>54</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>jZ</p><p>j</p><p>jj</p><p>jj</p><p>jZ</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Exemplos</p><p>Forma polar para forma retangular</p><p>1) 4030)8,06,0(50)13,5313,53(cos5013,5350 jjsenj </p><p>2)   6,8650)866,05,0(100)120()120(cos100120100 jjsenj </p><p>Forma retangular para polar</p><p>1)  87,365</p><p>4</p><p>3</p><p>3434 22 arctgj</p><p>2)  6010</p><p>5</p><p>66,8</p><p>66,8566,85 22 arctgj</p><p>3)  12010</p><p>5</p><p>66,8</p><p>18066,8566,85 22 arctgj</p><p>4)  24010</p><p>5</p><p>66,8</p><p>18066,8566,85 22 arctgj</p><p>5)  30010</p><p>5</p><p>66,8</p><p>36066,8566,85 22 arctgj</p><p>97</p><p>Exercícios:</p><p>1 – Converta os seguintes números complexos da forma polar para a forma retangular.</p><p>(a) 306 Resp: 31962,5 j</p><p>(b) 8040 Resp: 392,399459,6 j</p><p>(c) 707400 Resp: 7,953.69,530.2 j</p><p>(d)   8104 4 Resp: 44 1055669,0109611,3   j</p><p>(e)  8004,0 Resp: 039392,00069459,0 j</p><p>(f)  230093,0 Resp: 0036338,00085607,0 j</p><p>(g)  15065 Resp: 5,32292,56 j</p><p>(h)  1352,1 Resp: 84853,084853,0 j</p><p>(i)  200500 Resp: 01,17185,469 j</p><p>(j)  356320 Resp: 625.3177.5 j</p><p>(k)  12552,7 Resp: 1600,63133,4 j</p><p>(l)  310008,0 Resp: 0061284,00051423,0 j</p><p>(m)  303,12 Resp: 1500,6652,10 j</p><p>(n) 16053 Resp: 127,18804,49 j</p><p>(o)  4525 Resp: 678,17678,17 j</p><p>(p) 11586  Resp: 942,77345,36 j</p><p>(q)  2005,0 Resp: 017101,0046984,0 j</p><p>(r) 513 Resp: 1330,1951,12 j</p><p>(s) 87160 Resp: 78,1593738,8 j</p><p>(t)   2107 6 Resp: 66 1024430,0109957,6   j</p><p>(u) 1777,8 Resp: 45532,06881,8 j</p><p>(v)  476 Resp: 3015,5815,75 j</p><p>(w) 265396 Resp: 49,394514,34 j</p><p>98</p><p>2 – Converta os seguintes números complexos da forma retangular para a forma polar.</p><p>(a) 34 j Resp:  87,365</p><p>(b) 22 j Resp:  458284,2</p><p>(c) 165,3 j Resp:  66,77378,16</p><p>(d) 800100 j Resp:  87,8223,806</p><p>(e) 4001000 j Resp:  80,211077</p><p>(f) 0065,0001,0 j Resp:   25,81105765,6 3</p><p>(g) 96,7 j Resp:  82,49780,11</p><p>(h) 48 j Resp:  43,1539443,8</p><p>(i) 6015 j Resp:  96,255847,61</p><p>(j) 6578 j Resp:  81,3953,101</p><p>(k) 36002400 j Resp:  69,1237,326.4</p><p>(l) 33 1025105   j Resp:   69,7810495,25 3</p><p>(m) 1612 j Resp: 126,87°20 </p><p>(n) 42 j Resp: 63,43°- 4,4721 </p><p>(o) 2559 j Resp: 202,96° 64,078 </p><p>(p) 200700 j Resp: 15,95° 728,01</p><p>(q) 404,69 j Resp: 209,96° 80,102</p><p>(r) 51 j Resp:  69,780990,5</p><p>(s) 560 j Resp:  76,4208,60</p><p>(t) 3,001,0 j Resp:  09,8830017,0</p><p>(u) 2000100 j Resp:  14,875,002.2</p><p>(v) 866,5 j Resp:  73,93182,86</p><p>(w) 6,387,2 j Resp:  266694,38</p><p>99</p><p>3 – Determine a soma ou a diferença indicada.</p><p>(a) )24()º13,5310( j Resp: 1010 j</p><p>(b) )28()9010( j Resp: 88 j</p><p>(c) )42()64( jj  Resp: 22 j</p><p>(d) )82()458284,2( j Resp: 10j</p><p>(e) )135071,7()55(  j Resp: 0</p><p>4 – Faça a operação indicada, dando as respostas na forma polar.</p><p>(a) )2,06,7()8,62,4( jj</p><p> Resp:  68,30720,13</p><p>(b) )9,01,0()428,9()7142( jjj  Resp:  19,1889,159</p><p>(c) )5102,7()76104( 76 jj   Resp:  9071</p><p>(d) )6,46,4()2,68,9( jj  Resp:  10,174406,5</p><p>(e) )683,42()243167( jj  Resp:  06,5687,374</p><p>(f) )728.10()64()780,36( jjj  Resp:  49,150361,24</p><p>(g) º808º206  Resp:  71,54166,12</p><p>(h) º12070º6062º4542  Resp:  38,13370,98</p><p>5 – Ache o produto na forma polar.</p><p>(a) )86()32( jj  Resp:  44,109056,36</p><p>(b) )67()24()18,7( jjj  Resp:  48,7423,324</p><p>(c) )22()006,0002,0( jj  Resp:  57,206017888,0</p><p>(d) )31()5,001,0()200400( jjj  Resp:  71,35025,707</p><p>(e) )º224()º602(  Resp:  828</p><p>(f) )722,7()º89,6(  Resp:  6468,49</p><p>(g) )º6040()º2005,0()º120002,0(  Resp:  26004,0</p><p>(h) )º02,6()º1805()º20540(  Resp:  20740.16</p><p>(i) )3,485,0).(105,2( jj  Resp:  14,177182,45</p><p>(j) )3,26).(5,18,3( jj  Resp:  51,42251,26</p><p>(k) )8,43,1).(7272( jj  Resp:  85,2934,506</p><p>(l) )452).(203(  Resp:  256</p><p>(m) )2118).(62(  j Resp:  57,9284,113</p><p>100</p><p>6 – Faça as operações, dando as respostas na forma polar.</p><p>(a)</p><p>º607</p><p>º1042</p><p></p><p></p><p>Resp:  506</p><p>(b)</p><p>º12030</p><p>º120006,0</p><p></p><p></p><p>Resp:   240102 4</p><p>(c)</p><p>º21040</p><p>º20360.4</p><p></p><p></p><p>Resp:  230109</p><p>(d)</p><p>º3605,8</p><p>º80650</p><p></p><p></p><p>Resp:  80471,76</p><p>(e)</p><p>22</p><p>88</p><p>j</p><p>j</p><p></p><p></p><p>Resp:  04</p><p>(f)</p><p>606</p><p>428</p><p>j</p><p>j</p><p></p><p></p><p>Resp:  49,1670905,0</p><p>(g)</p><p>608</p><p>25,005,0</p><p>j</p><p>j</p><p></p><p></p><p>Resp:   10,161102119,4 3</p><p>(h) )4,01,0()65,4( jj  Resp:  17,1570923,3</p><p>7 – Calcular em cada caso:</p><p>21</p><p>21.</p><p>ZZ</p><p>ZZ</p><p></p><p>(a) 5101 jZ  Resp:  80,271740,7</p><p> 30202Z</p><p>(b)  4551Z Resp:  12,154969,5</p><p> 70102Z</p><p>(c) 261 jZ  Resp:  84,235308,5</p><p>812 jZ </p><p>101</p><p>(d) 201 Z Resp:  57,26889,17</p><p>402 jZ </p><p>8 – Efetue as operações a seguir, dando as respostas na forma polar.</p><p>(a)</p><p>)32()33(</p><p>)86()34(</p><p>jj</p><p>jj</p><p></p><p></p><p>Resp:  56,26180,11</p><p>(b)</p><p>)100100()º02(</p><p>º608</p><p>j</p><p></p><p>Resp:   57,1510007,56 3</p><p>(c)</p><p>º302</p><p>)43()º40120()º206(</p><p></p><p> j</p><p>Resp:  13,63800.1</p><p>(d)</p><p>93</p><p>)º40300()º604,0( 2</p><p>j</p><p></p><p>Resp:  43,880597,5</p><p>(e)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 9006</p><p>12</p><p>º1002,0</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>jj</p><p>Resp:  81,1195359,8</p><p>9 – Determine:</p><p>(a) “x” e “y” sabendo que:  0167)3()4( jjyxjx Resp: 4x ; 3y</p><p>(b) “x” sabendo que: 72,2564,30)º60()º2010( jx  Resp: 4x</p><p>(c) “x” e “y” sabendo que: 7090)2()105( jjyjx  Resp: 3'x ; 6'y</p><p>Resp: 6'' x ; 3'' y</p><p>(d) “θ” sabendo que: 2464,3</p><p>20</p><p>º080</p><p>j</p><p></p><p></p><p></p><p>Resp: º30</p><p>102</p><p>CAPÍTULO V - CORRENTES E TENSÕES ALTERNADAS SENOIDAIS</p><p>1 - Introdução</p><p>Até agora só foram analisados os circuitos de corrente contínua (costuma-se, mesmo em português,</p><p>utilizar a expressão “circuitos dc”, usando as iniciais das palavras direct current, corrente contínua),</p><p>nos quais as tensões e correntes não variam, exceto durante os transientes. Agora a atenção será</p><p>para a análise de circuitos na qual a intensidade da fonte de tensão ou corrente contínua varia de</p><p>forma regular. É particularmente importante estudar a tensão fornecida pelas companhias geradoras</p><p>de energia elétrica. Esta tensão varia no tempo e é denominada tensão alternada (também é comum</p><p>em português o uso da expressão tensão ac, usando as iniciais da expressão inglesa alternating</p><p>current, que significa corrente alternada). Em termos mais rigorosos, a terminologia tensão ac ou</p><p>corrente ac não é o suficiente para descrever o tipo de sinal presente no circuito. As três funções</p><p>)(tv cujos gráficos aparecem na figura 1 (costuma-se denominar estes gráficos formas de ondas,</p><p>embora não representem nenhum movimento ondulatório) podem ser produzidas por geradores de</p><p>sinais encontrados em oficinas e laboratório. O termo “alternada” indica apenas que o valor da</p><p>tensão ou da corrente alterna (oscila) regularmente entre dois níveis conforme os gráficos da figura</p><p>1.</p><p>Para ser preciso, devem-se usar os termos senoidal, quadrada e triangular quando se referir às</p><p>formas de onda ilustradas na figura 1. Na distribuição de energia elétrica, para uso domiciliar e</p><p>industrial, só é utilizada a tensão alternada senoidal; por isso, quando se fala em tensão alternada</p><p>ou corrente alternada sem nenhuma qualificação adicional, fica subentendido que a tensão e a</p><p>corrente variam senoidalmente no tempo. No caso dos outros tipos vistos na figura 1, o termo que</p><p>descreve a forma de onda é sempre usado, porém, a abreviação CA não é usada, resultando nas</p><p>expressões onda quadrada ou onda triangular.</p><p>Uma das principais razões para concentrar os estudos nas tensões alternadas senoidais é que este é o</p><p>tipo de tensão gerada nas usinas de energia elétrica em todo o mundo. Outras razões incluem seu</p><p>uso em um grande número de aparelhos elétricos e eletrônicos domiciliares, comercias e industriais.</p><p>Além disso, será estudado nos capítulos seguintes que esta forma de onda em particular possui</p><p>características que resultam em uma resposta especial quando é aplicada a elementos básicos dos</p><p>circuitos. Os teoremas e métodos introduzidos para circuitos de corrente contínua também serão</p><p>aplicados aos circuitos de corrente alternada senoidal. Embora a aplicação de sinais senoidais</p><p>aumente o nível de complexidade matemática para sua descrição, muitos dos conceitos introduzidos</p><p>103</p><p>nos capítulos sobre corrente contínua poderão ser aplicados a circuitos CA com um mínimo de</p><p>dificuldades adicionais.</p><p>Fig. 1 - Formas de ondas alternadas.</p><p>2 - Tensão Alternada Senoidal: Características e definições</p><p>2.1 - Geração</p><p>Existem várias técnicas para gerar tensões alternadas e senoidais. A mais comum é aquela que</p><p>produz eletricidade através das quedas-d’água, ou até mesmo a queima do gás, carvão ou óleo e a</p><p>fissão nuclear. Em todos os casos o componente mais importante é um gerador de corrente</p><p>alternada (também chamado de alternador), como o mostrado na figura 2(a).</p><p>A energia oriunda de uma das fontes citadas acima é utilizada para fazer girar um rotor (construído</p><p>com polos magnéticos alternados) envolvido pelos enrolamentos do estator (a parte estacionária do</p><p>gerador), induzindo assim uma tensão nos enrolamentos, como prevê a lei de Faraday:</p><p>dt</p><p>d</p><p>Ne</p><p></p><p></p><p>Utilizando um gerador projetado apropriadamente, obtêm-se nos terminais de saída uma tensão</p><p>alternada senoidal que, com o auxílio de transformadores, pode ter sua amplitude</p><p>consideravelmente aumentada para ser distribuída através das linhas de transmissão, até chegar ao</p><p>consumidor. No caso de regiões isoladas que não são servidas por linhas de transmissão, podem ser</p><p>usados geradores portáteis, que funcionam com gasolina ou óleo diesel. Também neste caso a</p><p>unidade tem que incluir um gerador de corrente alternada figura 2(b).</p><p>Devido à necessidade de conservar os recursos e reduzir a poluição, a energia eólica e a energia</p><p>solar vêm despertando interesses crescentes nas partes do mundo onde o vento e/ou a luz solar são</p><p>abundantes, tornando estes processos viáveis. As pás da turbina que aparecem na figura. 2(c) estão</p><p>diretamente conectadas ao eixo de um gerador CA. Já as células fotoelétricas no painel ilustrado na</p><p>figura 2(d) geram, ao absorver os fótons da luz incidente, uma tensão contínua que pode ser</p><p>104</p><p>convertida em alternada com o auxílio de um dispositivo eletrônico chamado inversor. Esta fonte de</p><p>energia elétrica já é utilizada atualmente para movimentar pequenas embarcações e modelos</p><p>experimentais de automóveis.</p><p>O gerador de sinais, apresentado em um modelo na figura 2(e), gera tensões alternadas senoidais</p><p>cujas características podem ser controladas</p><p>pelo usuário. Utilizando as várias chaves e botões que</p><p>existem no painel de controle, podem-se obter formas de onda com diferentes amplitudes e</p><p>frequências. O gerador de sinais é fundamental em qualquer estudo de circuitos de corrente</p><p>alternada e terá um papel importante nos próximos capítulos.</p><p>Fig. 2 - Fontes de corrente alternada: (a) usina geradora; (b) gerador portátil; (c) gerador eólico; (d)</p><p>painel solar; (e) gerador de sinais.</p><p>2.2 – Geração de uma Tensão Alternada Senoidal</p><p>Uma tensão CA é aquela cujo módulo varia continuamente e cuja polaridade é invertida</p><p>periodicamente (Fig. 3). O eixo zero é uma linha horizontal que passa pelo centro. As variações</p><p>verticais na onda de tensão mostram as variações do módulo. As tensões acima do eixo horizontal</p><p>têm polaridade positiva (+), enquanto as tensões abaixo do eixo horizontal têm polaridade negativa</p><p>(-).</p><p>Fig. 3 - Uma forma de onde de tensão CA.</p><p>105</p><p>Uma tensão CA pode ser produzida por um gerador, chamado de alternador (Fig. 4). No gerador</p><p>simplificado que aparece na figura 4, a espira condutora gira através do campo magnético e</p><p>interceptam as linhas de força para gerar uma tensão CA induzida através dos seus terminais. Uma</p><p>rotação completa da espira é chamada de ciclo. Analisando a posição da espira em cada volta</p><p>durante um ciclo completo (Fig. 5), na posição “A”, a espira gira paralelamente ao fluxo magnético</p><p>e, portanto, não intercepta nenhuma linha de força. A tensão produzida é igual à zero. Na posição</p><p>superior, “B”, a espira intercepta o campo num ângulo de 90º, produzindo uma tensão máxima.</p><p>Quando ela atinge “C”, o condutor está se deslocando novamente paralelamente ao campo e não</p><p>pode interceptar o fluxo. A onda CA de “A” a “C” constitui um meio ciclo de rotação, chamado de</p><p>alternação. Em “D”, a espira intercepta o fluxo novamente gerando uma tensão máxima, mas aqui</p><p>o fluxo é interceptado no sentido oposto (da esquerda para a direita) ao de “B” (da direita para a</p><p>esquerda). Assim, a polaridade em “D” é negativa. A espira completa um quarto de volta do ciclo</p><p>retornando à posição “A”, ponto de partida do ciclo. O ciclo de valores de tensão se repete nas</p><p>posições “ABCDA” à medida que a espira continua a girar (Fig. 5). Um ciclo inclui as variações</p><p>entre dois pontos sucessivos que apresentam o mesmo valor e variam no mesmo sentido. Por</p><p>exemplo, um ciclo pode ser evidenciado também entre “B” e “B’” (Fig. 5).</p><p>Fig. 4- Uma espira girando num campo magnético produz uma tensão CA.</p><p>106</p><p>Fig. 5 - Dois ciclos de tensão alternada pela rotação de uma espira.</p><p>Num gerador de dois polos (Fig. 4), a rotação da armadura ao longo de 360 graus geométricos (uma</p><p>rotação) gera sempre um ciclo (360º) de tensão CA. Mas num gerador de quatro polos, uma rotação</p><p>de armadura de somente 180 graus geométricos gera um ciclo CA ou 360 graus elétricos. Portanto, a</p><p>graduação que aparece ao longo do eixo horizontal de uma tensão CA ou de uma corrente CA se</p><p>refere aos graus elétricos e não aos graus geométricos.</p><p>2.3 - Definições</p><p>A forma de onda senoidal da figura 6 será agora utilizada como um modelo para a definição de</p><p>alguns termos básicos. Estes termos podem ser aplicados a qualquer forma de onda alternada. O</p><p>eixo vertical dos gráficos é usado para representar tensões e correntes, enquanto o eixo horizontal</p><p>pode representar o tempo.</p><p>Forma de onda: Gráfico de uma grandeza, como a tensão em função do tempo (conforme a figura</p><p>6), posição, temperatura ou outra variável qualquer.</p><p>Forma de onda periódica: Forma de onda que se repete após certo intervalo de tempo constante. A</p><p>função cujo gráfico é vista na figura 3 é periódica.</p><p>Período (T): Intervalo de tempo entre repetições sucessivas de uma forma de onda</p><p>periódica, 321 TTT  na figura 6.</p><p>107</p><p>Ciclo: parte de uma forma de onda contida em um intervalo de tempo igual a um período. Os ciclos</p><p>definidos por 321 TTT  na figura 6 podem parecer diferentes na figura 7, mas como estão todos</p><p>contidos em um período satisfazem à definição de ciclo.</p><p>Frequência (f): O número de ciclos contidos em 1s. A frequência da forma de onda da figura 8(a) é</p><p>2 ciclos por segundo, e a figura 8(b), 1 ciclo por segundo. No caso de uma forma de onda cujo</p><p>período é 0,4s, como na figura 8(c), a frequência é de 2,5 ciclos por segundo.</p><p>A unidade de frequência é o hertz (Hz) cuja definição é a seguinte: 1 hertz (Hz) = 1 ciclo por</p><p>segundo (c/s)</p><p>Fig. 6 - Parâmetros importantes de uma tensão senoidal.</p><p>Fig. 7 - Definição de ciclo e período de uma forma de onda senoidal.</p><p>(a) (b) (c)</p><p>Fig. 8 - Ilustração do efeito da mudança de frequência sobre o período de uma onda senoidal.</p><p>108</p><p>Exemplos:</p><p>1 - Calcule o período de uma forma de onda periódica cuja frequência é:</p><p>(a) 60 Hz</p><p>mss</p><p>f</p><p>T 667,16016667,0</p><p>60</p><p>11</p><p></p><p>(b) 1.000 Hz</p><p>mss</p><p>f</p><p>T 110</p><p>1000</p><p>11 3  </p><p>2 - Determine a frequência da forma de onda da figura abaixo.</p><p>Hz</p><p>T</p><p>f 50</p><p>1020</p><p>11</p><p>3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3 - Osciloscópio</p><p>O osciloscópio é um instrumento que pode exibir em uma tela formas de onda como as que foram</p><p>apresentadas até agora. A figura 9 mostra como uma forma de onda senoidal aparece na tela de um</p><p>osciloscópio; as sensibilidades vertical e horizontal estão indicadas abaixo da ilustração.</p><p>Praticamente todas as telas de osciloscópios apresentam, superpostas à imagem, uma figura,</p><p>chamada retícula, composta por quadrados com 1 cm de lado, que repartem a tela em certo número</p><p>de divisões verticais e horizontais. A sensibilidade vertical é usada para definir a variação de tensão</p><p>associada a uma divisão vertical; a sensibilidade horizontal define o intervalo de tempo associado a</p><p>uma divisão horizontal.</p><p>109</p><p>Fig. 9 – Exemplo de uma onda senoidal mostrada na tela de um osciloscópio.</p><p>Exemplo: Com base nos dados da figura 9, determine o período, a frequência e o valor de pico da</p><p>forma de onda.</p><p>s</p><p>div</p><p>s</p><p>divT </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p> 200</p><p>50</p><p>.4</p><p>kHz</p><p>T</p><p>f 5</p><p>10200</p><p>11</p><p>6</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>div</p><p>V</p><p>divVm 2,0</p><p>1,0</p><p>.2 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>4 - Definições de Polaridade e Sentido</p><p>Nas análises que se seguirão, há necessidade de definir uma polaridade para a tensão alternada</p><p>senoidal e um sentido para a corrente alternada senoidal. Serão tomados como positivos o sentido</p><p>da corrente e a polaridade da tensão correspondente ao semiciclo positivo das formas de onda</p><p>associadas. Esta convenção está indicada na figura 10, juntamente com os símbolos de fontes de</p><p>tensão e corrente senoidal. As duas grandezas são representadas por letras minúsculas para indicar</p><p>que variam com o tempo.</p><p>A necessidade de definir uma polaridade para a tensão e um sentido para a corrente se tornará óbvia</p><p>quando forem analisados circuitos de corrente alternada com mais de uma fonte. Na última frase a</p><p>110</p><p>ausência do termo senoidal após a expressão circuitos de corrente alternada, já pode ser observada.</p><p>Isso se tornará cada vez mais frequente nas páginas que se seguem; toda tensão ou corrente</p><p>alternada deve ser tomada como sendo senoidal, a menos que seja tipo explicitamente o contrário.</p><p>(a) (b)</p><p>Fig. 10 – (a) Fonte de corrente alternada senoidal; (b) fonte de tensão alternada senoidal.</p><p>5 - A Senóide</p><p>Os termos definidos anteriormente podem ser aplicados a qualquer função periódica, seja ela</p><p>contínua ou descontínua. A forma de onda senoidal é, no entanto, particularmente importante, pois</p><p>facilita imensamente a análise matemática dos circuitos elétricos.</p><p>A senóide é a única forma de onda que não se altera quando é aplicada a um circuito contendo</p><p>resistores, indutores e capacitores. Também, se aplica à forma de onda cossenoidal, já que as</p><p>funções seno e cosseno só diferem entre si por uma fase de 90º, como se pode ver na figura 12. Isto</p><p>não aconteceria se o sinal aplicado tivesse, por exemplo,</p><p>a forma de uma onda quadrada ou</p><p>triangular.</p><p>Fig. 11 - A senóide é a única forma de onda que não se altera quando é aplicada a um circuito</p><p>contendo resistores, indutores e capacitores.</p><p>111</p><p>A unidade escolhida para o eixo horizontal na figura 12 foi o grau. Outra unidade de medida para</p><p>ângulos muito utilizada é o radiano (rad). Ela é definida através de um arco como o da figura 13,</p><p>cujo comprimento é igual ao raio da circunferência.</p><p>Fig. 12 - Gráficos das funções seno e cosseno com o eixo horizontal em graus.</p><p>Se definir por x o número de intervalos de comprimento r (o raio) que podem ser acomodados em</p><p>toda a circunferência, tem-se:</p><p>rxrC  2</p><p> 2x</p><p>Portanto, 2 rad correspondem a 360º, como se pode ver na figura 14.</p><p>º3,57º296,57rad1 </p><p>Muitas fórmulas usadas no estudo dos circuitos elétricos contêm o fator  . Como se tornará</p><p>evidente nas páginas que se seguirão, esta é uma das razões pelas quais quase sempre é preferível</p><p>expressar os ângulos em radianos em lugar de graus.</p><p>O número  tem sido calculado com um grande número de casas decimais como forma de testar</p><p>novos computadores. Uma pequena amostra do resultado desses cálculos aparece a seguir:</p><p> = 3,14159 26535 89793 23846 26433...</p><p>112</p><p>Fig. 13 - Definição de radiano.</p><p>Fig. 14 - 360º equivalem a 2 radianos.</p><p>Embora a aproximação 14,3 seja frequentemente utilizada, nesta apostila será usado o valor de</p><p> fornecido pelas calculadoras científicas.</p><p>A relação entre duas unidades no caso de ângulos de 180º e 360º é ilustrada na figura 14.</p><p>As conversões de graus para radianos e vice–versa podem ser feitas com o auxílio das seguintes</p><p>expressões:</p><p>)(</p><p>180</p><p>grausradianos </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>)(</p><p>180</p><p>radianosGraus </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>113</p><p>Alguns casos particulares:</p><p>radrad</p><p>2</p><p>)90(</p><p>180</p><p>º90</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>radrad</p><p>6</p><p>)30(</p><p>180</p><p>º30</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>º60</p><p>3</p><p>180</p><p>3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>rad</p><p>º270</p><p>2</p><p>3180</p><p>2</p><p>3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>rad</p><p>Quando o radiano é usado como unidade do eixo das abscissas, a senóide assume a forma que</p><p>aparece na figura 15.</p><p>Fig. 15 - Gráfico da função seno com o eixo horizontal em radianos.</p><p>A forma de onda senoidal pode ser obtida a partir das projeções de um vetor girando com</p><p>movimento circular uniforme em torno de um ponto fixo. Se começar na posição ilustrada na figura</p><p>16(a) e plotar a amplitude da projeção do vetor no eixo das abscissas em função do ângulo de</p><p>rotação, tem-se um ciclo completo da senóide para cada volta completa do vetor.</p><p>114</p><p>Fig. 16 - Geração de uma forma de onda senoidal utilizando as projeções de um vetor girante.</p><p>A velocidade de rotação do vetor, ou velocidade angular, é definida pela equação:</p><p>)segundos(tempo</p><p>)radianosougraus(percorridoângulo</p><p>angularVelocidade </p><p>115</p><p>Usando os símbolos t,,  para representar, respectivamente, a velocidade angular, o ângulo e o</p><p>tempo, tem-se:</p><p>t</p><p></p><p> </p><p>t </p><p>Como  costuma ser especificada em radianos por segundo, o ângulo  obtido com o auxílio da</p><p>equação t  geralmente está expresso em radianos. Nesse caso, para obter o valor de  em</p><p>graus, basta usar a equação: )(</p><p>180</p><p>radianosgraus </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>.</p><p>O tempo necessário para o vetor efetuar uma volta completa na figura 16 é igual ao período (T) da</p><p>forma de onda senoidal da figura 16(i). O número de radianos que corresponde a este intervalo de</p><p>tempo é igual a 2 .</p><p>T</p><p></p><p></p><p>2</p><p></p><p>Portanto, quanto menor for o período da forma de onda senoidal, maior a velocidade angular do</p><p>vetor. Usando a definição de frequência, obtem-se:</p><p>T</p><p>f</p><p>1</p><p></p><p>f 2</p><p>Assim, quanto maior a frequência da forma de onda senoidal, maior a velocidade angular do vetor.</p><p>Fig. 17 - Ilustração da influência do valor de  sobre a frequência e o período.</p><p>116</p><p>Exemplos:</p><p>1 - Determine a velocidade angular associada a uma forma de onda senoidal cuja frequência é 60</p><p>Hz.</p><p>sradf /377)60)(2(2  </p><p>2 - Determine a frequência e o período da senóide da figura 17(b).</p><p>Hzf 577,79</p><p>2</p><p>500</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p>msT 566,12</p><p>500</p><p>2</p><p>500</p><p>22</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3 - Sabendo que  = 200 rad/s, determine o intervalo de tempo necessário para que a forma de</p><p>onda senoidal passe pelo ponto cuja abscissa é 90º.</p><p>Como  é dada em rad/s, deve ser utilizado o valor de  em radianos, ou seja,  /2:</p><p>ms</p><p>srad</p><p>rad</p><p>t 8540,7</p><p>/200</p><p>2/</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>4 - Ache o valor em graus da abscissa de uma forma de onda senoidal cuja frequência é 60 Hz para</p><p>mst 5 .</p><p>radtf 885,1)105(60)2(2 3  </p><p>º108)885,1(</p><p>º180</p><p>)º( </p><p></p><p> rad</p><p>rad</p><p>117</p><p>6 – Expressão geral para tensões ou correntes senoidais</p><p>A expressão matemática geral para uma forma de onda senoidal é senAm .</p><p>Fig. 18 - Forma de onda senoidal.</p><p>Onde: mA é o valor de pico da onda e  é um ângulo em graus ou radianos.</p><p>A relação entre a senóide e o vetor girante combinada com t  permite deduzir que, para uma</p><p>velocidade angular fixa, quanto maior for o intervalo de tempo maior será o número de ciclos no</p><p>gráfico da forma de onda. Por outro lado, mantendo fixo o intervalo de tempo, quanto maior for </p><p>maior será também o número de ciclos.</p><p>tsenAm </p><p>No caso das grandezas utilizadas no estudo de circuitos elétricos como a tensão e a corrente, as</p><p>expressões gerais são:</p><p> senItsenIi mm </p><p> senEtsenEe mm </p><p>Onde: as letras maiúsculas com o índice m representam amplitudes e as letras minúsculas “ i ” e</p><p>“ e ” representam os valores da corrente e da tensão, respectivamente, em um instante “t” qualquer.</p><p>Esta forma é particularmente importante porque expressa uma tensão ou corrente senoidal em</p><p>função do tempo, que é a escala horizontal dos osciloscópios. Lembre-se de que a sensibilidade</p><p>horizontal deste instrumento é dada em segundos por divisão, e não em graus por centímetro.</p><p>Exemplo: Sabendo que e = 5 sen , calcule “e” para  = 40º e  = 0,8  rad.</p><p>Para  = 40º Vsene 2139,3)64279,0(5º405 </p><p>Para  = 0,8  rad Vsene 9389,2)58779,0(5)8,0(5  </p><p>118</p><p>No caso das calculadoras científicas não é necessário converter radianos em graus, pois elas</p><p>trabalham diretamente com radianos: basta apenas colocar a calculadora no modo RAD e entrar</p><p>com o valor do ângulo em radianos, pressionando em seguida a tecla da função trigonométrica</p><p>desejada )tan,cos,,( etcsen .</p><p>O ângulo associado a um valor particular da tensão é obtido manipulando a equação:</p><p> senEe m</p><p>mE</p><p>e</p><p>sen </p><p>mE</p><p>e</p><p>sen 1</p><p>Da mesma forma, para um dado valor de corrente.</p><p>mI</p><p>i</p><p>sen 1</p><p>A função 1sen pode ser encontrada em todas as calculadoras científicas.</p><p>Exemplo: Determine:</p><p>a) O ângulo para o qual o valor da função Vtsenv 437710  .</p><p>b) O momento em que a função assume o valor dado no item (a).</p><p>Soluções:</p><p>a) º578,234,0</p><p>10</p><p>4 111</p><p>1   sensen</p><p>V</p><p>v</p><p>sen</p><p>m</p><p></p><p>119</p><p>A figura mostra, porém, que o valor de 4V (positivo) pode corresponder a dois ângulos entre 0º e</p><p>180º. O valor do segundo ângulo é denominado por:</p><p>º422,156º578,23º1802 </p><p>Embora as equações anteriores tenham um número infinito de soluções, pois as senóides têm um</p><p>número infinito de ciclos, as calculadoras fornecem apenas a solução compreendida entre 0º e 90º.</p><p>As outras, podem ou não serem importantes, dependendo do problema.</p><p>b) radrad 51411,0)º578,23(</p><p>º180</p><p>)( </p><p></p><p></p><p>ms</p><p>srad</p><p>rad</p><p>t 0915,1</p><p>/377</p><p>51411,0</p><p>1 </p><p></p><p></p><p>radrad 73,2)º422,156(</p><p>º180</p><p>)( </p><p></p><p></p><p>ms</p><p>srad</p><p>rad</p><p>t 1424,7</p><p>/377</p><p>73,2</p><p>2 </p><p></p><p></p><p>Exemplo: Plote o gráfico de tsente 31410)(  , tomando como unidade do eixo horizontal:</p><p>a) o ângulo  em graus.</p><p>b) o ângulo  em radianos.</p><p>c) o tempo (t) em segundos.</p><p>Soluções:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>120</p><p>c)</p><p>Exemplo: Sabendo que </p><p>Atsenti 1000106)( 3 , calcule a corrente i para mst 2 .</p><p>Solução:</p><p>radssradtt 2)102)(/1000(1000 3  </p><p>mAradseni 4558,59093,0106)2)(106( 33  </p><p>º59,114)2(</p><p>º180</p><p>)º( </p><p></p><p> rad</p><p>rad</p><p>mAseni 4558,59093,0106)º59,114)(106( 33  </p><p>121</p><p>7 – Relações de Fase</p><p>Até aqui só foram consideradas ondas senoidais com máximos e mínimos em 2/32/  e e zeros</p><p>em zero,  2e , como na figura 18. Se a forma de onda for deslocada para a esquerda ou para a</p><p>direita da origem, a expressão geral se tornará )(  tsenAm .</p><p>Onde:  é o valor do deslocamento em graus ou radianos.</p><p>Se a curva intercepta o eixo horizontal à esquerda da origem com inclinação positiva (função</p><p>crescente), como mostrada na figura 19, a equação correta é )(  tsenAm .</p><p>Fig. 19 - Definição do deslocamento de fase de uma função senoidal que corta o eixo horizontal à</p><p>esquerda da origem com inclinação positiva.</p><p>Se a curva intercepta o eixo horizontal à direita da origem com inclinação positiva (função</p><p>crescente), como mostrada na figura 20, a equação correta é )(  tsenAm . Nesse caso, em</p><p>º0 t o valor da função é )( senAm , que de acordo com uma identidade trigonométrica,</p><p>é equivalente a )( senAm .</p><p>Fig. 20 - Definição do deslocamento de fase de uma função senoidal que corta o eixo horizontal à</p><p>direita da origem com inclinação positiva.</p><p>122</p><p>Se a forma de onda corta o eixo horizontal com inclinação positiva e adiantada de 90º )2/( , como</p><p>na figura 21, o gráfico coincide com o da função cosseno, ou seja,</p><p>ttsentsen </p><p></p><p> cos</p><p>2</p><p>)º90( </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>cos)º90cos(</p><p></p><p> tttsen</p><p>Fig. 21 - Relação de fase entre o seno e o cosseno.</p><p>Os termos atrasado e adiantado são utilizados para indicar diferenças de fase entre duas formas de</p><p>ondas senoidais de mesma frequência plotadas no mesmo gráfico. Na figura 21 diz-se que a curva</p><p>que representa o cosseno está adiantada de 90º em relação à curva do seno, e que o gráfico da</p><p>função seno está atrasado de 90º em relação ao do cosseno. Diz-se também que a diferença de fase</p><p>entre as duas formas de onda é de 90º ou que elas estão defasadas de 90º. Observa-se que a</p><p>diferença de fase entre duas curvas é sempre medida entre dois pontos do eixo horizontal nos quais</p><p>as duas curvas têm a mesma inclinação. Se duas formas de ondas interceptam o eixo horizontal no</p><p>mesmo ponto e com a mesma inclinação, elas estão em fase.</p><p>As relações geométricas entre várias formas das funções seno e cosseno podem ser deduzidas a</p><p>partir da figura 22. Começando, por exemplo, na posição sen , observa-se que cos corresponde a</p><p>uma rotação de 90º no sentido anti-horário (positivo). Assim, )º90(cos  sen . Para obter</p><p>(–sen ) deve-se efetuar uma rotação de 180º no sentido horário ou anti-horário. Assim,</p><p>)]º180([   sensen , e assim por diante, como pode ser vista nas expressões a seguir.</p><p>)º90(cos  sen</p><p>)º90(cos sen</p><p>)º90(cos)º180(   sensen</p><p>)º180(cos)º90()º270(cos   sensen</p><p>123</p><p>Fig. 22 - Método gráfico para encontrar relações entre o seno e o cosseno.</p><p>Além disso, não se deve esquecer que:</p><p> sensen )(</p><p> cos)(cos</p><p>Se for encontrada uma expressão da forma tsenEe m  , o sinal negativo deve ser associado à</p><p>função trigonométrica, e não à amplitude mE . Em outras palavras, a expressão deve ser reescrita na</p><p>seguinte forma:</p><p>)( tsenEe m </p><p>Como: )º180(  tsentsen </p><p>Pode-se, também, escrever da seguinte forma:</p><p>)º180(  tsenEe m </p><p>O que mostra que um sinal negativo pode ser substituído por uma variação (positiva ou negativa) de</p><p>180º no ângulo de fase, isto é:</p><p>)º180()º180()º180(  tsenEtsenEtsenEe mmm </p><p>Um gráfico de cada uma dessas expressões mostrará claramente a sua equivalência. Assim, existem</p><p>duas representações matemáticas corretas para estas funções.</p><p>A relação de fase entre duas formas de onda indica qual delas está atrasada ou adiantada e de</p><p>quantos graus ou radianos.</p><p>124</p><p>Exemplo: Determine a relação de fase entre as formas de onda senoidais em cada um dos seguintes</p><p>pares.</p><p>(a) )º30(10  tsenv  (d) )º30(  tseni </p><p>)º70(5  tseni  )º10(2  tsenv </p><p>(b) )º60(15  tseni  (e) )º60(cos2  ti </p><p>)º20(10  tsenv  )º150(3  tsenv </p><p>(c) )º10(cos2  ti </p><p>)º10(3  tsenv </p><p>Soluções:</p><p>a) i está adiantada de 40º em relação à v ou v está atrasada de 40º em relação à i .</p><p>b) i está adiantada de 80º em relação à v ou v está atrasada de 80º em relação à i .</p><p>125</p><p>c) )º100(2)º90º10(2)º10(cos2  tsentsenti </p><p>i está adiantada de 110º em relação à v ou v está atrasada de 110º em relação à i .</p><p>d) )º150()º180º30()º30(  tsentsentseni   )º10(2  tsenv </p><p>v está adiantada de 160º em relação à i ou i está atrasada de 160º em relação à v .</p><p>Ou, como</p><p>)º210()º180º30()º30(  tsentsentseni   )º10(2  tsenv </p><p>i está adiantada de 200º em relação à v ou i está atrasada de 200º em relação à v .</p><p>e) )º240(cos2)º180º60(cos2)º60(cos2  ttti </p><p>)º90(cos  sen</p><p>)º150(2)º90º240(2)º240(cos2  tsentsenti   )º150(3  tsenv </p><p>v e i estão em fase.</p><p>126</p><p>8 - Medidas de Fase</p><p>A diferença de fase entre duas funções senoidais pode ser determinada a partir da imagem que</p><p>aparece na tela do osciloscópio. Tomando como exemplo as duas funções senoidais da figura 23,</p><p>observa-se que as duas ondas senoidais têm a mesma frequência e, portanto, o mesmo período.</p><p>Neste caso, cada período compreende 5 divisões, com 0,2ms/div. A diferença de fase entre as ondas</p><p>é igual a duas divisões. Como um período completo corresponde a uma variação de fase de 360º,</p><p>pode-se escrever:</p><p>.).º(.).º(</p><p>º360</p><p>divdenfasedetodeslocamendivdenT</p><p></p><p></p><p>º360</p><p>.).º(</p><p>.).º(</p><p></p><p>divdenT</p><p>divdenfasedetodeslocamen</p><p>Fig. 23 - Medida da diferença de fase entre duas ondas usando um osciloscópio de traço duplo.</p><p>Tem-se:</p><p>º144º360</p><p>.5</p><p>.2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>div</p><p>div</p><p></p><p>Logo, a tensão e está adiantada de 144° em relação a corrente i .</p><p>127</p><p>9 - Valor Médio</p><p>Muito embora o conceito de valor médio seja importante em todos os ramos de conhecimento, seu</p><p>significado é frequentemente mal compreendido. Na figura 24(a), por exemplo, pode ser necessário</p><p>conhecer a altura média do monte de areia para determinar o volume de areia disponível. A altura</p><p>média do monte de areia é a altura que será obtida se mantivesse constante a distância entre as</p><p>extremidades do monte e espalhasse a areia até que a altura fique uniforme, como na figura 24(b). A</p><p>área da seção reta do monte na figura 24(a) será então igual à área do monte da seção retangular na</p><p>figura 24(b), que é dada por A = b x h. É claro que a profundidade do monte (na direção</p><p>perpendicular à página) deve ser a mesma nos dois casos para que as conclusões sejam verdadeiras.</p><p>Na figura 24, a distância entre as extremidades do monte de areia foi mantida constante.</p><p>(a) (b)</p><p>Fig. 24 – Definição de valor médio.</p><p>Na figura 25 tem uma situação diferente, que poderia ocorrer, por exemplo, no caso de um pedreiro</p><p>que desejasse estimar a altura média da areia se ela fosse espalhada para cobrir a distância indicada</p><p>na figura 25(a). O resultado deste aumento na distância é visto na figura 25(b). Comparada com a</p><p>situação da figura 24, a altura média diminui. É fácil perceber que quanto a maior distância, menor</p><p>será a altura média.</p><p>Fig. 25 - Influência da largura sobre o valor médio.</p><p>128</p><p>Se existe uma depressão no terreno, como na figura 26(a), quando a areia for espalhada, uma certa</p><p>quantidade será usada para preenchê-la; o resultado será um valor ainda mais baixo para a altura</p><p>média, como ilustra a figura 26(b). No caso de uma forma de</p><p>onda senoidal, a depressão tem a</p><p>mesma forma que o monte de areia (em um ciclo completo), o que implica uma altura média nula</p><p>(ou zero volt para uma tensão senoidal quando se calcula a média para um período).</p><p>Fig. 26 - Influência de depressões (valores negativos) sobre o valor médio.</p><p>Alguns motoristas, depois de terem percorrido uma distância considerável, gostam de calcular a</p><p>velocidade média do veículo. Em geral isto é feito dividindo o número de quilômetros percorridos</p><p>pelo número de horas necessário para percorrer essa distância. Por exemplo: se uma pessoa viajou</p><p>180 km em 5 horas, a velocidade média foi de 36 km/h. Esta distância pode ter sido percorrida com</p><p>várias velocidades em diferentes intervalos de tempo, como mostrado na figura 27.</p><p>Fig. 27 - Gráfico de velocidade em função do tempo para uma viagem de automóvel.</p><p>Calculando a área total sob a curva v x t para 5 horas e dividindo o resultado pelo tempo total da</p><p>viagem, novamente, encontra-se 36 km/h, ou seja:</p><p>curvadaocompriment</p><p>curvaasobárea</p><p>médiavelocidade </p><p>129</p><p>hkmhkm</p><p>h</p><p>hhkmhhkm</p><p>h</p><p>AA</p><p>/36/</p><p>5</p><p>180</p><p>5</p><p>)2()/50()2()/40(</p><p>5</p><p>21 </p><p></p><p></p><p></p><p>A equação anterior, pode ser aplicada a qualquer variável, como por exemplo a corrente ou a</p><p>tensão. Se representar por G o valor médio, tem-se:</p><p> </p><p>curvadaocompriment</p><p>áreasdasébricaasoma</p><p>médiovalorG</p><p>lg</p><p></p><p>Para o cálculo da soma algébrica das áreas, algumas podem estar acima ou abaixo do eixo</p><p>horizontal. As áreas acima do eixo são tomadas com sinal positivo, e as áreas abaixo do eixo, com</p><p>sinal negativo. O valor médio, naturalmente, poderá ser positivo ou negativo.</p><p>O valor médio de qualquer corrente ou tensão é o valor indicado por um medidor de corrente</p><p>contínua. Em outras palavras, o valor médio de uma forma de onda periódica é o valor de corrente</p><p>contínua equivalente. Em alguns circuitos elétricos poderão conter fontes de tensão contínua e</p><p>alternada no mesmo circuito. As tensões e correntes nesses circuitos têm uma componente contínua</p><p>(que corresponde ao valor médio da forma de onda) e uma componente alternada (cujo valor médio</p><p>é zero).</p><p>Exemplos:</p><p>1 - Determine o valor médio das formas de onda das figuras abaixo.</p><p>(a) (b)</p><p>a) Observa-se, por inspeção, que a área acima do eixo dos t é igual à área abaixo do mesmo eixo e,</p><p>portanto, o valor médio é zero. Chega-se ao mesmo resultado usando a equação:</p><p>V</p><p>V</p><p>ms</p><p>msVmsV</p><p>G 0</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>)1()10()1()10(</p><p></p><p></p><p></p><p>130</p><p>b) V</p><p>V</p><p>ms</p><p>msVmsV</p><p>G 4</p><p>2</p><p>8</p><p>2</p><p>)1()6()1()14(</p><p></p><p></p><p></p><p>Na realidade, a forma de onda da figura do item (b) é a onda quadrada da figura (a) somada a uma</p><p>tensão contínua de 4 V:</p><p>Vvv 412 </p><p>c)</p><p>V</p><p>VV</p><p>ms</p><p>msVmsV</p><p>G 1</p><p>8</p><p>412</p><p>8</p><p>)4()1()4()3(</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Fig. 28 - Resposta de um medidor cc à forma de onda do exemplo (c)</p><p>d)</p><p>A</p><p>AAAA</p><p>ms</p><p>msAmsAmsA</p><p>G 6,1</p><p>10</p><p>16</p><p>10</p><p>4820</p><p>10</p><p>)2()2()2()4()2()10(</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>131</p><p>Fig. 29 - Resposta de um medidor cc à forma de onda do exemplo (d)</p><p>A área de um semiciclo positivo (ou negativo) de uma senóide é igual a 2 mA , que pode ser</p><p>constatada da seguinte forma:</p><p></p><p></p><p></p><p>0</p><p>dsenAÁrea m</p><p>Integrando a expressão acima, obtem-se:</p><p>mmmmm AAAAAÁrea 2)2()11()º0cos(cos]cos[ 0   </p><p>Uma vez calculada a área do semiciclo da senóide, determina-se o valor médio.</p><p>mm</p><p>m AA</p><p>A</p><p>G 637,063662,0</p><p>2</p><p></p><p></p><p>O valor médio da metade do semiciclo de uma senóide é igual a um semiciclo completo.</p><p>Fig. 30 - Determinação do valor médio da metade do semiciclo de uma senóide.</p><p>mm</p><p>mm AA</p><p>AA</p><p>G 637,063662,0</p><p>2</p><p>2/</p><p>)2/2(</p><p></p><p></p><p>132</p><p>Exemplo: Determine o valor médio da forma de onda de cada figura abaixo.</p><p>a)</p><p>Solução:</p><p>O valor médio de qualquer função senoidal para um período completo é sempre zero.</p><p>O mesmo resultado pede ser obtido usando a equação do valor médio.</p><p>V</p><p>AA</p><p>G mm 0</p><p>2</p><p>22</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>b)</p><p>Solução:</p><p>O valor pico a pico desta tensão é 16 mV + 2 mV = 18 mV. A amplitude desta onda é, portanto,</p><p>18mV/2 = 9 mV. Subtraindo 9 mV de 2 mV (ou somando 9 mV a -16 mV) obtem-se um valor</p><p>médio (ou nível dc) de – 7 mV, indicado pela linha tracejada da figura.</p><p>c)</p><p>Solução:</p><p>V</p><p>VA</p><p>G m 1831,3</p><p>2</p><p>)10(2</p><p>2</p><p>02</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>133</p><p>10 - Valor Eficaz</p><p>Nesta seção vai ser discutida a diferença entre correntes contínuas e alternadas no que diz respeito à</p><p>potência dissipada pela carga. Isto ajudará a determinar a amplitude de uma corrente alternada</p><p>senoidal necessária para fornecer a mesma potência que uma determinada corrente contínua. Uma</p><p>questão surge frequentemente: Como é possível que uma corrente alternada forneça potência ao</p><p>circuito, ao longo de um ciclo, se seu valor médio for zero? À primeira vista, poderia parecer que a</p><p>potência fornecida durante a parte positiva do ciclo seria absorvida durante a parte negativa do</p><p>ciclo; como as duas têm o mesmo valor absoluto, a potência total seria nula. É preciso lembrar,</p><p>porém, que a potência dissipada em um resistor é sempre positiva, independentemente do sentido da</p><p>corrente. É claro que essa potência depende do valor instantâneo da corrente, mas durante um ciclo</p><p>completo a potência total dissipada é a soma das potências dissipadas nos semiciclos positivo e</p><p>negativo, e não a diferença.</p><p>Utilizando o arranjo experimental ilustrado na figura 31, pode-se encontrar uma relação entre</p><p>correntes e tensões contínuas e alternadas. Um resistor em um recipiente com água é ligado por</p><p>chaves a duas fontes, uma de corrente contínua e outra de corrente alternada. Quando a chave 1 é</p><p>fechada, uma corrente contínua CCI , que depende da resistência R e da tensão E da bateria,</p><p>atravessa o resistor R. A temperatura atingida pela água é função da potência dissipada (convertida</p><p>em calor) pelo resistor.</p><p>Fig. 31 - Arranjo experimental para estabelecer uma relação entre correntes e tensões contínuas e</p><p>alternadas.</p><p>Quando a chave 2 é fechada e a chave 1 é deixada aberta, a corrente no resistor é uma corrente</p><p>alternada cuja amplitude de pico vai ser chamada de mI . A temperatura atingida pela água,</p><p>novamente é função da potência dissipada pelo resistor. Para determinar o valor de mI para o qual a</p><p>potência dissipada é a mesma que no caso contínuo, em que a corrente era de CCI , basta fazer variar</p><p>o valor da tensão alternada “ e ” até que a temperatura atingida pela água seja a mesma que no caso</p><p>anterior e medir a amplitude de pico da corrente nessas condições.</p><p>134</p><p>A potência instantânea fornecida pela fonte de corrente alternada é dada por:</p><p>)()()( 2222 tsenIRtsenIRiRP mmCACA  </p><p>)2cos1(</p><p>2</p><p>12 ttsen   (identidade trigonométrica)</p><p>t</p><p>IRIR</p><p>tIRP mm</p><p>mCA  2cos</p><p>22</p><p>)2cos1(</p><p>2</p><p>1</p><p>22</p><p>2 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>A potência média fornecida pela fonte alternada corresponde apenas ao primeiro termo, já que o</p><p>valor médio de um cosseno é zero, mesmo que a frequência da onda seja o dobro da frequência da</p><p>forma de onda da corrente de entrada. Igualando a potência média fornecida pela fonte de corrente</p><p>alternada à potência fornecida pela fonte de corrente contínua, tem-se:</p><p>CCCA PP </p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>CC</p><p>m IR</p><p>IR</p><p></p><p>2CCm II </p><p>m</p><p>m</p><p>CC I</p><p>I</p><p>I 707,0</p><p>2</p><p></p><p>Do ponto de vista da potência dissipada, uma corrente alternada equivale a uma corrente contínua</p><p>igual a</p><p>2</p><p>1</p><p>707,0  vezes a sua amplitude de pico.</p><p>O valor da corrente contínua equivalente, do ponto de vista de dissipação de potência, a uma</p><p>corrente alternada é chamado de valor eficaz. Para resumir:</p><p>mefCC III 707,0</p><p>efefm III 414,12 </p><p>mefCC EEV 707,0</p><p>efefm EEE 414,12 </p><p>135</p><p>Para dar um exemplo numérico simples, seria necessária uma corrente alternada de amplitude de</p><p>pico 1,414  10 = 14,14A para fornecer ao resistor da figura 31 a mesma potência que uma corrente</p><p>contínua de 10A. O valor eficaz de qualquer grandeza cuja variação com o tempo é conhecida pode</p><p>ser calculado</p><p>a partir da seguinte equação, deduzida a partir do experimento que acabou de ser</p><p>descrito:</p><p>T</p><p>dtti</p><p>I</p><p>T</p><p>ef</p><p>)(2</p><p>0</p><p>T</p><p>tiárea</p><p>I ef</p><p>))(( 2</p><p></p><p>Assim, para calcular o valor eficaz, deve-se elevar )(ti ao quadrado e então determinar a área sob a</p><p>função )(2 ti para um intervalo igual ao período T. Divide-se em seguida o resultado por T, obtendo</p><p>o valor médio de )(2 ti . Finalmente, é extraída a raiz quadrada do valor médio. O valor assim</p><p>obtido é o valor eficaz, também denominado valor médio quadrático ou valor rms (do inglês root-</p><p>mean-square).</p><p>Exemplo: Encontre os valores eficazes para as formas de ondas senoidais das figuras abaixo.</p><p>(a) (b) (c)</p><p>(a) mAIef 4853,81012707,0 3  </p><p>(b) mAIef 4853,8 (a mudança da frequência não alterou o valor eficaz).</p><p>(c) VVef 1207,169707,0 </p><p>136</p><p>Exemplo: A fonte de corrente contínua de 120 V da figura abaixo fornece 3,6W à carga. Determine</p><p>as amplitudes de pico da tensão ( mE ) e da corrente ( mI ) para que a fonte alternada forneça a</p><p>mesma potência a uma carga idêntica.</p><p>CCCCCC IVP </p><p>VEE efm 71,1692)120(2 </p><p>mA</p><p>V</p><p>P</p><p>I</p><p>CC</p><p>CC</p><p>CC 30</p><p>120</p><p>6,3</p><p></p><p>mAII CCm 426,422)1030(2 3  </p><p>Exemplo: Determine o valor eficaz da forma de onda de cada figura abaixo.</p><p>a)</p><p>Solução:</p><p>137</p><p>VVef 236,2</p><p>8</p><p>40</p><p>8</p><p>)4()1()4()3( 22</p><p></p><p></p><p></p><p>b)</p><p>Solução:</p><p>VVef 899,4</p><p>10</p><p>240</p><p>10</p><p>)2()2()2()4()2()10( 222</p><p></p><p></p><p></p><p>138</p><p>c)</p><p>Solução:</p><p>VVef 401600</p><p>1020</p><p>1032000</p><p>1020</p><p>)1010()40()1010()40(</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>3232</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>1 - Para a forma de onda periódica da figura abaixo, determine:</p><p>(a) O período T.</p><p>(b) O número de ciclos que aparecem na figura.</p><p>(c) A frequência.</p><p>139</p><p>2 - Repita o exercício nº 1 para a forma de onda periódica da figura abaixo.</p><p>3 - Determine o período e a frequência da onda dente de serra da figura abaixo.</p><p>4 - Calcule o período de uma onda cuja frequência é:</p><p>(a) 25Hz (b) 35MHz (c) 55 kHz (d) 1Hz</p><p>5 - Calcule a frequência de uma onda cujo período é:</p><p>(a)1/60s (b) 0,01s (c) 34ms (d) 25μs</p><p>6 - Calcule o período de uma onda senoidal que completam 80 ciclos em 24 ms.</p><p>7 - Se a frequência de uma onda é de 20Hz, qual o tempo necessário, em segundos, para que</p><p>complete 5 ciclos?</p><p>8 - Qual a frequência de uma onda periódica, que completam 42 ciclos, em 6 segundos?</p><p>140</p><p>9 - Para a forma de onda representada na tela do osciloscópio abaixo, determine:</p><p>(a) A amplitude.</p><p>(b) O período.</p><p>(c) A frequência.</p><p>10 - Converta os valores dos seguintes ângulos de graus para radianos:</p><p>(a) 45°</p><p>(b) 60°</p><p>(c) 120°</p><p>(d) 270º</p><p>(e) 178º</p><p>(f) 221º</p><p>11 - Converta para graus os seguintes valores em radianos:</p><p>(a) π/4</p><p>(b) π/6</p><p>(c) π/10</p><p>(d) 7π/6</p><p>(e) 3π</p><p>(f) 0,55π</p><p>12 - Determine a velocidade angular associada a uma onda cujo período é:</p><p>(a) 2s</p><p>(b) 0,3ms</p><p>(c) 4μs</p><p>(d) (1/25)s</p><p>141</p><p>13 - Determine a velocidade angular associada a uma onda cuja frequência é:</p><p>(a) 50Hz</p><p>(b) 600Hz</p><p>(c) 2kHz</p><p>(d) 0,004MHz</p><p>14 - Encontre a frequência e o período de ondas senoidais associadas a uma velocidade angular de:</p><p>(a) 754rad/s</p><p>(b) 8,4rad/s</p><p>(c) 6.000rad/s</p><p>(d) (1/16)rad/s</p><p>15 - Determine o intervalo de tempo necessário para uma onda senoidal com f = 60Hz sofrer uma</p><p>variação de fase de 45°.</p><p>16 - Se uma onda senoidal sofre uma variação de fase de 30° em 5ms, determine a velocidade</p><p>angular associada à onda.</p><p>17 - Encontre a amplitude e a frequência das seguintes funções:</p><p>(a) tsen37720</p><p>(b) tsen7545</p><p>(c) tsen10000106</p><p>(d) tsen942001,0</p><p>(e) tsen 6,436,7</p><p>(f) tsen 283,65,0</p><p>18 – Se a tensão é igual a tsene 57,1 , qual o tempo necessário, em segundos, para a onda</p><p>completar meio ciclo?</p><p>19 - Dada a corrente seni 5,0 , em ampères, calcule a corrente i para º72 .</p><p>20 - Dada a tensão senv 20 , em volts, calcule a tensão v para rad 2,1 .</p><p>21 - Dada a tensão senv 31030  , em volts, determine os ângulos para os quais mVv 6 .</p><p>142</p><p>22 - Determine a expressão matemática para uma tensão senoidal tal que Vv 40 para º30 e</p><p>mst 1 .</p><p>23 - Calcule a diferença de fase entre as formas de onda de cada par:</p><p>(a) )º50(4  tsenv </p><p>)º40(6  tseni </p><p>(b) )º80(25  tsenv </p><p>)º10(105 3   tseni </p><p>(c) )º60(2,0  tsenv </p><p>)º20(1,0  tseni </p><p>(d) )º210(200  tsenv </p><p>)º60(25  tseni </p><p>(e) )º30(cos2  tv </p><p>)º60(5  tseni </p><p>(f) )º20(  tsenv </p><p>)º70(10  tseni </p><p>(g) )º90(cos4  tv </p><p>)º10(2  tseni </p><p>143</p><p>24 - Escreva as expressões analíticas para cada forma de onda abaixo com o ângulo de fase em</p><p>graus.</p><p>(a)</p><p>(b)</p><p>(c)</p><p>144</p><p>(d)</p><p>25 - O gráfico da tensão senoidal )º6010002(200  tsenv  aparece na figura abaixo. Determine</p><p>o tempo 1t .</p><p>26 - O gráfico da corrente senoidal )º4050000(4  tseni aparece na figura. Determine o tempo</p><p>1t .</p><p>27 - Determine a diferença de fase em milissegundos entre as seguintes formas de onda:</p><p>)º201800(60  tsenv</p><p>)º201800(2,1  tseni</p><p>145</p><p>28 - Para a figura da tela de um osciloscópio representada abaixo, determine:</p><p>(a) Os períodos das duas ondas.</p><p>(b) As frequências das duas ondas.</p><p>(c) Os valores eficazes das duas ondas.</p><p>(d) A diferença de fase entre as duas ondas.</p><p>29 - Para a figura da tela de um osciloscópio representada abaixo, determine:</p><p>(a) O período</p><p>(b) A frequência.</p><p>(c) O valor médio.</p><p>30 - Calcule o valor médio de cada forma de onda periódica:</p><p>(a)</p><p>146</p><p>(b)</p><p>31 - Calcule o valor médio de cada forma de onda periódica.</p><p>(a)</p><p>(b)</p><p>147</p><p>32 - Para a figura da tela de um osciloscópio representada abaixo, determine:</p><p>(a) O período.</p><p>(b) A frequência.</p><p>(c) O valor médio.</p><p>33 - Ache os valores eficazes das seguintes formas de onda senoidais:</p><p>(a) Vtsenv )754(20</p><p>(b) Vtsenv )377(0711,7</p><p>(c) mAtseni )º20400(6 </p><p>(d) mAtseni )º10377(16 </p><p>34 - Escreva as expressões matemáticas para tensões senoidais com uma frequência de 60Hz, fase</p><p>zero e os seguintes valores eficazes:</p><p>(a) 1,4142 V</p><p>(b) 70,711 V</p><p>(c) 0,06 A</p><p>(d) 24 μA</p><p>35. Ache o valor eficaz da forma de onda periódica de cada figura:</p><p>(a)</p><p>148</p><p>(b)</p><p>36 - Quais são os valores médio e eficaz da forma de onda de cada figura.</p><p>(a)</p><p>(b)</p><p>(c)</p><p>149</p><p>37 - Determine o período, a frequência e o valor médio das formas de onda abaixo.</p><p>(a) (b)</p><p>38 - Faça o esboço do gráfico da função tsen7545 usando como unidade do eixo das abscissas:</p><p>(a) o ângulo em graus. (b) o ângulo em radianos. (c) o tempo em segundos.</p><p>39 - Esboce o gráfico da função tsen10000106 usando como unidade do eixo das abscissas:</p><p>(a) o ângulo em graus. (b) o ângulo em radianos. (c) o tempo em segundos.</p><p>40 - Esboce o gráfico em função tsen 6,436,7 , usando como unidade do eixo das abscissas:</p><p>(a) o ângulo em graus. (b) o ângulo em radianos. (c) o tempo em segundos.</p><p>41 - Esboce o gráfico de )º60377( tsen usando como unidade do eixo das abscissas:</p><p>(a) o ângulo em graus. (b) o ângulo em radianos. (c) o tempo em segundos.</p><p>42 - Esboce os gráficos das seguintes formas de onda:</p><p>(a) tsen50</p><p>(b) )º2(20  tsen </p><p>(c) )º60(5 tsen </p><p>(d) tcos4</p><p>(e) )º10(cos2 t</p><p>(f) )º20(cos5  t</p><p>150</p><p>Respostas:</p><p>(1) (a) 10ms; (b) 2 ciclos; (c) 100Hz; (2) (a) 15µs; (b) 7/3 ciclos; (c) 66,667kHz; (3) T = 10ms;</p><p>f = 100Hz; (4) (a) 40ms; (b) 28,571ns; (c) 18,182µs; (d) 1s; (5) (a) 60Hz; (b) 100Hz; (c) 29,412Hz;</p><p>(d) 40kHz; (6) 0,3ms; (7) 250ms; (8) 7Hz; (9) (a) 150mV; (b) 40µs; (c) 25kHz; (10) (a) /4 rad;</p><p>(b) /3 rad; (c) 2/3 rad; (d)</p><p>3/2 rad; (e) 3,1067 rad; (f) 3,8572 rad; (11) (a) 45º; (b) 30º; (c) 18º;</p><p>(d) 210º; (e) 540º; (f) 99º; (12) (a)  rad/s; (b) 20.944 rad/s; (c) 1.570.796,3 rad/s; (d) 50 rad/s;</p><p>(13) (a) 314,16 rad/s; (b) 3.769,9 rad/s; (c) 12.566,4 rad/s; (d) 25.132,7 rad/s; (14) (a) 120Hz;</p><p>8,3331ms; (b) 1,3369Hz; 748ms; (c) 954,93Hz; 1,0472ms; (d) 9,9472x10</p><p>-3</p><p>Hz; 100,53s;</p><p>(15) 2,0833ms; (16) 104,72 rad/s; (17) (a) 20; 60Hz; (b) 5; 120Hz; (c) 10</p><p>6</p><p>; 1.591,5Hz; (d) 0,001;</p><p>149,92Hz; (e) 7,6; 6,9392Hz; (f) 0,5; 1Hz; (18) 2,0010s; (19) 475,53mA; (20) -11,756V;</p><p>(21) 11,537º e 168,46º; (22) tsen )3/500(8040  ; (23) (a) a tensão“ v ” está adiantada de 10º em</p><p>relação a corrente “ i ”; (b) a corrente“ i ” está adiantada de 70º em relação à tensão “ v ”;</p><p>(c) a corrente“ i ” está adiantada de 40º em relação à tensão “ v ”; (d) a corrente“ i ” está adiantada de</p><p>150º em relação à tensão “ v ”; (e) a tensão “ v ” e a corrente “ i ” estão em fase; (f) a corrente“ i ” está</p><p>adiantada de 90º em relação à tensão “ v ”; (g) a tensão“ v ” está adiantada de 170º em relação a</p><p>corrente “ i ”; (24) (a) mAtseni )º602000(3   ; (b) Vtsenv )º30377(25  ;</p><p>(c) mAtseni )º13520000(2   ; (d) Vtsenv )º11050(01,0   ; (25) mst )3/1(1  ;</p><p>(26) st 963,131  ; (27) 0,38785ms; (28) (a) 8ms; (b) 125Hz; (c) E1 = 919,24mV; E2 = 530,33mV;</p><p>(d) a onda 1e está adiantada de 157,5º em relação à onda 2e ; (29) (a) 0,4ms; (b) 2500Hz;</p><p>(c) -25mV; (30) (a) 3mA; (b) 2V; (31) (a) -4,7746mA; (b) 1,875V; (32) (a) 40s; (b) 25kHz;</p><p>(c) 17,2mV; (33) (a) 14,142V; (b) 5V; (c) 4,2426mA; (d) 11,314mA; (34) (a) Vtsen )377(2 ;</p><p>(b) Vtsen )377(100 ; (c) ;)377(853,84 mAtsen (d) Atsen )377(941,33 ; (35) (a) 1,4289V;</p><p>(b) 2,1602V; (36) (a) G = 0V; Vef = 10V; (b) G = 0V; Vef = 8,1650V; (c) G = 10V; Vef = 11,547V;</p><p>(37) (a) T = 100s; f = 10kHz; G = -0,3V; (b) T = 40s; f = 25kHz; G = 20mV.</p><p>151</p><p>CAPÍTULO VI - OS ELEMENTOS BÁSICOS E OS FASORES</p><p>1 - Introdução</p><p>Neste capítulo será estudada a resposta dos elementos básicos: o resistor (R), o indutor (L) e o</p><p>capacitor (C), à aplicação de tensões e correntes senoidais, prestando especial atenção ao efeito da</p><p>frequência sobre as características de “oposição” de cada elemento. Após isto, será introduzida a</p><p>noção de fasor de modo a estabelecer um método de análise que possibilite uma correspondência</p><p>direta com vários dos métodos, teoremas e conceitos introduzidos nos capítulos em que foram</p><p>trabalhados com correntes contínuas.</p><p>2 - Resposta dos Elementos Básicos R, L e C a uma Tensão ou Corrente Senoidal</p><p>2.1 - Resistor</p><p>No caso das frequências utilizadas em linhas de transmissão e também para frequências até umas</p><p>poucas centenas de quilohertz, o efeito da frequência sobre o valor da resistência é praticamente</p><p>nulo. Nesta faixa de frequências, portanto, o resistor R da figura 1 pode ser considerado constante e</p><p>a definição de resistência pode ser aplicada como se segue. Para tsenVv m  , tem-se:</p><p>tsenItsen</p><p>R</p><p>V</p><p>R</p><p>tsenV</p><p>R</p><p>v</p><p>i m</p><p>mm </p><p></p><p></p><p>R</p><p>V</p><p>I m</p><p>m </p><p>Fig. 1 - Resposta de um elemento resistivo a uma corrente senoidal.</p><p>Para uma dada corrente “ i ”, tem-se:</p><p>tsenVtsenIRtsenIRiRv mmm   )(</p><p>mm IRV </p><p>152</p><p>O gráfico de v e i da figura 2 mostra que no caso de um elemento puramente resistivo, a tensão</p><p>entre seus terminais e a corrente que a atravessa estão em fase e a relação entre os valores de pico</p><p>das duas grandezas é dada pela equação anterior.</p><p>Fig. 2 - Em um elemento resistivo a tensão e a corrente estão em fase.</p><p>2.2 - Indutor</p><p>Para a configuração em série da figura 3, a tensão elementov do elemento no interior da caixa se opõe</p><p>à da fonte, reduzindo assim a corrente i. O valor da tensão entre os terminais deste elemento é</p><p>determinado por sua posição ao escoamento de carga, ou seja, à corrente i.</p><p>No caso de um elemento resistivo, observa-se que a oposição se deve à resistência e que elementov e i</p><p>estão relacionados por iRvelemento . .</p><p>A tensão entre os terminais de um indutor é diretamente proporcional à taxa de variação da corrente</p><p>que o atravessa. Assim, quanto mais alta for a frequência maior será a taxa de variação da corrente</p><p>que percorre o indutor e maior o valor da tensão induzida. A indutância afeta a taxa de variação do</p><p>fluxo magnético no indutor para uma dada variação da corrente. Quanto maior a indutância, maior a</p><p>taxa de variação do fluxo, e maior a tensão entre os terminais do indutor.</p><p>A tensão do indutor é, portanto, diretamente proporcional à frequência (ou, mais especificamente, à</p><p>frequência angular da corrente alternada senoidal que o atravessa) e à indutância do elemento. De</p><p>acordo com o que foi escrito acima, quando f e L da figura 4 aumentam, a tensão Lv também</p><p>aumenta.</p><p>153</p><p>Comparando as figuras 3 e 4, observam-se que os valores maiores de Lv correspondem maiores</p><p>valores de oposição na figura 3. Como Lv aumenta com f 2 e com L, a oposição de um</p><p>elemento indutivo tem a forma definida na figura 4.</p><p>Fig. 3 - Ilustração de como um elemento se opõe à passagem de corrente.</p><p>Fig. 4 - Ilustração dos parâmetros que determinam á oposição de um indutor à passagem de corrente.</p><p>dt</p><p>di</p><p>Lv L</p><p>L </p><p>tItsenI</p><p>dt</p><p>d</p><p>dt</p><p>di</p><p>mm</p><p>L  cos)( </p><p>tILtIL</p><p>dt</p><p>di</p><p>Lv mm</p><p>L</p><p>L  cos)cos( </p><p>)º90(  tsenVv mL </p><p>mm ILV </p><p>Fig. 5 - Resposta de um elemento indutivo a uma corrente senoidal.</p><p>154</p><p>Fig. 6 - Para um indutor puro a tensão está adiantada de 90º em relação à corrente.</p><p>Observa-se que o valor de pico de Lv é diretamente proporcional a f 2 e a L, como foi</p><p>mostrado anteriormente.</p><p>O gráfico de Lv e Li na figura 6 mostra que para um indutor, Lv está adiantada de 90º em relação à</p><p>Li .</p><p>Se incluir uma fase inicial na expressão de Li , fazendo, por exemplo:</p><p>)(   tsenIi mL</p><p>)º90(   tsenILv mL</p><p>A oposição causada por um indutor em um circuito de corrente alternada senoidal pode agora ser</p><p>calculada a partir de:</p><p>oposição</p><p>causa</p><p>Efeito </p><p>efeito</p><p>causa</p><p>Oposição </p><p>Substituindo os valores, obtem-se:</p><p>155</p><p>L</p><p>I</p><p>IL</p><p>I</p><p>V</p><p>Oposição</p><p>m</p><p>m</p><p>m</p><p>m </p><p></p><p></p><p>A grandeza L , denominada reatância indutiva, é simbolizada por LX e medida em ohms:</p><p>LX L </p><p>Em termos de tensão e corrente, a reatância indutiva é dada por uma equação análoga à definição de</p><p>resistência:</p><p>m</p><p>m</p><p>L</p><p>I</p><p>V</p><p>X </p><p>A reatância indutiva é uma oposição à corrente que resulta em uma troca de energia entre a fonte e</p><p>o campo magnético do indutor. Em outras palavras, a reatância indutiva, ao contrário da resistência</p><p>(que dissipa energia na forma de calor), não dissipa energia (ignorando os efeitos da resistência</p><p>parasita do indutor).</p><p>2.3 - Capacitor</p><p>Retornando à configuração em série da figura 3, usando agora o capacitor como objeto de estudo.</p><p>No caso do capacitor, no entanto, determina-se a corrente i para uma dada tensão entre seus</p><p>terminais. Quando for concluída a análise, a relação entre tensão e corrente será conhecida e a</p><p>tensão de oposição ( elementov ) poderá ser determinada para qualquer corrente senoidal i.</p><p>A tensão induzida em um indutor se opõe à variação instantânea da corrente no indutor. No caso de</p><p>circuitos capacitivos, a tensão entre os terminais do capacitor é limitada pela taxa com que a carga é</p><p>depositada ou retirada das placas do capacitor durante as fases de variação instantânea da tensão</p><p>entre os terminais de um capacitor sofre uma oposição devido ao fato de que é necessário um tempo</p><p>finito para alterar (depositar ou retirar) a carga em suas placas e V = Q/C.</p><p>Como a capacitância é uma medida da rapidez com que um capacitor armazena carga em suas</p><p>placas, para uma dada variação da tensão entre os</p><p>terminais de um capacitor, quanto maior o valor</p><p>da capacitância, maior será a corrente capacitiva resultante. Além disso, a equação fundamental que</p><p>156</p><p>relaciona a tensão entre os terminais de um capacitor à corrente que atravessa )]/([ dtdvCi </p><p>mostra que para uma dada capacitância, quanto maior a taxa de variação da tensão entre os</p><p>terminais de um capacitor, maior a corrente capacitiva.</p><p>É claro que um aumento da frequência corresponde a um aumento da taxa de variação da tensão</p><p>entre os terminais do capacitor e, portanto, há um aumento da corrente no capacitor.</p><p>A corrente em um capacitor é diretamente proporcional à frequência, ou, mais especificamente, à</p><p>frequência angular, e a capacitância do elemento. A corrente no capacitor aumentará se aumentar</p><p>qualquer das duas grandezas. Na figura 7, um aumento da corrente implica uma menor oposição e</p><p>Ci é proporcional a  e C, a oposição exercida por um capacitor é inversamente proporcional à</p><p>velocidade angular,  , e a capacitância (C).</p><p>Fig. 7 - Ilustração dos parâmetros que determinam a oposição de um elemento capacitivo à passagem de</p><p>corrente.</p><p>Fig. 8 - Resposta de um elemento capacitivo a uma corrente senoidal.</p><p>dt</p><p>dv</p><p>Ci C</p><p>C </p><p>tVtsenV</p><p>dt</p><p>d</p><p>dt</p><p>dv</p><p>mm</p><p>C  cos)( </p><p>157</p><p>tVCtVC</p><p>dt</p><p>dv</p><p>Ci mm</p><p>C</p><p>C  cos)cos( </p><p>)º90(  tsenIi mC</p><p>mm VCI </p><p>O valor de pico de Ci é diretamente proporcional a  e C, como apresentado anteriormente.</p><p>O gráfico de Cv e Ci na figura 9 mostra que para um capacitor, Ci está adiantada de 90º em relação</p><p>à Cv .</p><p>Fig. 9 - A corrente em um elemento puramente capacitivo está adiantada de 90º em relação à tensão.</p><p>Considerando: )(   tsenVv mC</p><p>)º90(   tsenVCi mC</p><p>efeito</p><p>causa</p><p>Oposição </p><p>Substituindo os valores, tem-se:</p><p>CVC</p><p>V</p><p>I</p><p>V</p><p>Oposição</p><p>m</p><p>m</p><p>m</p><p>m</p><p></p><p>1</p><p></p><p>158</p><p>A grandeza C/1 , denominada reatância capacitiva, é simbolizada por CX e medida em ohms.</p><p>C</p><p>X C</p><p></p><p>1</p><p></p><p>Em termos de tensão e corrente, a reatância capacitiva é dada por uma equação análoga à definição</p><p>de resistência:</p><p>m</p><p>m</p><p>C</p><p>I</p><p>V</p><p>X </p><p>A reatância capacitiva é uma oposição à corrente que resulta em uma troca contínua de energia</p><p>entre a fonte e o campo elétrico no capacitor. Do mesmo modo que um indutor, um capacitor não</p><p>dissipa energia (se forem ignorados os efeitos da resistência de fuga).</p><p>É possível determinar se um circuito com um ou mais elementos é capacitivo, indutivo ou resistivo</p><p>observando a relação de fase entre a tensão e a corrente de entrada.</p><p>Se a corrente está adiantada em relação à tensão aplicada, o circuito é capacitivo; se a corrente está</p><p>atrasada em relação à tensão, o circuito é indutivo; se a corrente e a tensão estão em fase, o circuito</p><p>é resistivo.</p><p>Exemplo 1 - Para as tensões aplicadas a um resistor dadas nos itens (a) e (b) a seguir, encontre as</p><p>expressões para a corrente, sabendo que a resistência é 10 . Esboce os gráficos de v e i.</p><p>a) Vtsenv )377(100</p><p>b) Vtsenv )º60377(25 </p><p>Soluções:</p><p>a) Atsen</p><p>tsen</p><p>R</p><p>v</p><p>i )377(10</p><p>10</p><p>377100</p><p></p><p>159</p><p>b) Atsen</p><p>tsen</p><p>R</p><p>v</p><p>i )º60377(5,2</p><p>10</p><p>)º60377(25</p><p></p><p></p><p></p><p>Exemplo 2 - A corrente em um resistor de 5 é dada por i = 40 sen (377t + 30º). Determine a</p><p>tensão entre os terminais do resistor.</p><p>Solução:</p><p>VtsentseniRv )º30377(200)º30377(40)5( </p><p>Exemplo 3 - A corrente em um indutor de 0,1H é dada nos itens (a) e (b) a seguir. Encontre em cada</p><p>caso a expressão para a tensão entre os terminais do indutor. Esboce as curvas de v e i.</p><p>a) Atseni )377(10</p><p>b) Atseni )º70377(7 </p><p>Soluções:</p><p>a) VILIXV mmLm 377101,0377  </p><p>Sabendo-se que no caso de um indutor v está adiantada de 90º em relação à i . Logo:</p><p>Vtsenv )º90377(377 </p><p>160</p><p>b) O valor de LX ainda é 37,7  ; assim,</p><p>VIXV mLm 9,263)7)(7,37( </p><p>E, como para um indutor v está adiantada em relação a i de 90º.</p><p>Vtsentsenv )º20377(9,263)º90º70377(9,263 </p><p>Exemplo 4 – É dada a expressão para a tensão, tsenv 20100 , em volts, entre os terminais de</p><p>uma bobina de 0,5H. Qual é a expressão para a corrente na bobina?</p><p>Solução:</p><p> 10)5,0)(20(LX L </p><p>A</p><p>X</p><p>V</p><p>I</p><p>L</p><p>m</p><p>m 10</p><p>10</p><p>100</p><p></p><p>Como i está atrasada de 90º em relação à v , tem-se: Atseni )º9020(10 </p><p>161</p><p>Exemplo 5 – É dada a expressão para a tensão, tsenv 40030 , em volts, entre os terminais de um</p><p>capacitor de 1F. Qual a expressão para a corrente? Faça um esboço das curvas de v e i.</p><p>Solução:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2500</p><p>400</p><p>10</p><p>)101(400(</p><p>11 6</p><p>6C</p><p>X C</p><p></p><p>mAA</p><p>X</p><p>V</p><p>I</p><p>C</p><p>m</p><p>m 12012,0</p><p>2500</p><p>30</p><p></p><p>Como nos capacitores i está adiantada de 90º em relação à v , tem-se: mAtseni )º90400(12 </p><p>Exemplo 6 – É dada a expressão para a corrente, )º60500(40  tseni , em ampères, de um</p><p>capacitor de 100F. Encontre a expressão para a tensão entre os terminais do capacitor.</p><p>Solução:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>20</p><p>5</p><p>10</p><p>105</p><p>10</p><p>)10100)(500(</p><p>11 2</p><p>4</p><p>6</p><p>6C</p><p>X C</p><p></p><p>VIXV mCm 800)40)(20( </p><p>Como nos capacitores v está atrasada de 90º em relação à i , tem-se:</p><p>Vtsentsenv )º30500(800)º90º60500(800 </p><p>162</p><p>Exemplo 7 - Dados os pares de expressões para as tensões e correntes a seguir, verifique se o</p><p>elemento envolvido é um capacitor, um indutor ou um resistor e determine os valores de C, L e R,</p><p>se houver dados suficientes para isso:</p><p>a) )º40(100  tsenv </p><p>)º40(20  tseni </p><p>b) )º10377(1000  tsenv</p><p>)º80377(5  tseni</p><p>c) )º30157(500  tsenv</p><p>)º120157(1  tseni</p><p>d) )º20(cos50  tv </p><p>)º110(5  tseni </p><p>Soluções:</p><p>a) Como v e i está em fase, o elemento é um resistor.</p><p> 5</p><p>20</p><p>100</p><p>m</p><p>m</p><p>I</p><p>V</p><p>R</p><p>b) Como v está adiantada de 90º em relação à i , o elemento é um indutor.</p><p> 200</p><p>5</p><p>1000</p><p>m</p><p>m</p><p>L</p><p>I</p><p>V</p><p>X</p><p> 200LX L </p><p>HL 5305,0</p><p>377</p><p>200200</p><p></p><p></p><p>163</p><p>c) Como i está adiantada de 90º em relação à v , o elemento é um capacitor.</p><p> 500</p><p>1</p><p>500</p><p>m</p><p>m</p><p>C</p><p>I</p><p>V</p><p>X</p><p> 500</p><p>1</p><p>C</p><p>X C</p><p></p><p>F</p><p>X</p><p>C</p><p>C</p><p></p><p></p><p>739,12</p><p>)500)(157(</p><p>11</p><p></p><p>d) )º110(50)º90º20(50)º20(cos50  tsentsentv </p><p>Como v e i estão em fase, o elemento é um resistor.</p><p> 10</p><p>5</p><p>50</p><p>m</p><p>m</p><p>I</p><p>V</p><p>R</p><p>3 - Potência Média e Fator de Potência</p><p>Para qualquer carga em um circuito de corrente alternada senoidal, a tensão entre os terminais da</p><p>carga e a corrente que a atravessa também variam senoidalmente com o tempo. Surgem então as</p><p>perguntas: como varia com o tempo a potência fornecida à carga, dada pelo produto ( iv . ) e qual o</p><p>valor constante que pode ser associado à potência, já que ela varia com o tempo?</p><p>Se tomar o caso geral ilustrado na figura 10 e usar para v e i as expressões a seguir:</p><p>)( vm tsenVv  </p><p>)( im tsenIi  </p><p>A potência será dada por:</p><p>)()()()( ivmmimvm tsentsenIVtsenItsenVivp  </p><p>Utilizando a identidade trigonométrica:</p><p>2</p><p>)(cos)(cos BABA</p><p>BsenAsen</p><p></p><p></p><p>164</p><p>A função )()( iv tsentsen   , torna-se</p><p>   </p><p>2</p><p>)()(cos)()(cos</p><p>)()( iviv tttt</p><p>tsentsen</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>)2(cos)(cos</p><p>)()( iviv t</p><p>tsentsen</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>De forma que:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>     )(var</p><p>)2(cos</p><p>2</p><p>)(cos</p><p>2</p><p>idefunçãotempooiando</p><p>iv</p><p>mm</p><p>fixovalor</p><p>iv</p><p>mm t</p><p>IVIV</p><p>p </p><p>Fig. 10 - Determinação da potência dissipada em um circuito de corrente alternada senoidal.</p><p>A figura 11 mostra os gráficos de peiv, em função do tempo. Observe que o segundo termo na</p><p>equação anterior representa uma cossenoide de amplitude m mV I 2 e frequência duas vezes maior</p><p>que a da tensão e corrente. O valor médio deste termo é zero e, portanto, ele não tem nenhuma</p><p>influência no processo de dissipação de energia.</p><p>O primeiro termo da equação, porém, é constante (não depende do tempo) e representa</p><p>pode-se admitir como linear a</p><p>variação da resistência com a temperatura. Nestas condições, a resistividade  a uma temperatura</p><p>T é dada por:</p><p>)](1[ 00 tT  </p><p>7</p><p>Onde:   resistividade na temperatura final (T), em .m.</p><p>0  resistividade na temperatura inicial (t0), em .m.</p><p>  coeficiente de temperatura do material, em ºC</p><p>-1</p><p>.</p><p>T  temperatura final, em ºC.</p><p>t0  temperatura inicial, emºC.</p><p>Tabela 1 - Resistividade de alguns materiais à temperatura ambiente (20ºC).</p><p>MATERIAL RESISTIVIDADE (.m)</p><p>Prata 1,47x10</p><p>-8</p><p>Cobre 1,72x10</p><p>-8</p><p>Ouro 2,44x10</p><p>-8</p><p>Alumínio 2,75x10</p><p>-8</p><p>Tungstênio 5,25x10</p><p>-8</p><p>Ferro 9,68x10</p><p>-8</p><p>Todos os condutores metálicos apresentam um aumento de resistência elétrica com a elevação de</p><p>temperatura. Se uma determinada corrente elétrica aquecer um condutor, haverá uma diminuição</p><p>desta corrente devido o aumento da resistência elétrica do condutor, provocado pelo aumento da</p><p>temperatura.</p><p>)](1[ 00 tTRR  </p><p>Onde: R  resistência na temperatura final (T), em .</p><p>0R  resistência na temperatura inicial (t0), em .</p><p>  coeficiente de temperatura do material, em ºC</p><p>-1</p><p>.</p><p>T  temperatura final, em ºC.</p><p>t0  temperatura inicial, em ºC.</p><p>8</p><p>Tabela 2 - Coeficiente de temperatura ( ) de alguns materiais.</p><p>MATERIAL  (ºC</p><p>-1</p><p>)</p><p>Prata 0,0038</p><p>Cobre 0,00393</p><p>Alumínio 0,0039</p><p>Tungstênio 0,0045</p><p>Ferro 0,0050</p><p>9 - Condutividade</p><p>A condutividade de um material ( ) é o inverso da resistividade. A unidade no SI de condutividade</p><p>é o mho/metro (ʊ/m) ou siemens/metro (S/m).</p><p></p><p></p><p>1</p><p></p><p>10 - Potência Elétrica</p><p>A potência elétrica é a capacidade de produzir trabalho expressa em watts (W).</p><p>A potência elétrica (P) em um resistor é o produto da tensão elétrica aplicada (U) pela intensidade</p><p>da corrente elétrica resultante (I).</p><p>IUP .</p><p>Pela Lei de Ohm, IRU  2.. IRIIRIUP </p><p>Sendo</p><p>R</p><p>U</p><p>I </p><p>A potência elétrica dissipada pode, também, ser dada por:</p><p>R</p><p>U</p><p>P</p><p>2</p><p></p><p>9</p><p>11 - Energia elétrica</p><p>A energia elétrica )( ELE consumida por um aparelho, num intervalo de tempo t , é dada por:</p><p>tPEEL  .</p><p>A unidade de energia elétrica usual na eletrotécnica é o Wh.</p><p>1Ws = 1 J</p><p>JjoulesWssWhkWkWh 6106,3000.600.3000.600.33600.10001.11 </p><p>12 - Múltiplos e submúltiplos</p><p>Os prefixos das unidades são utilizados para facilitar a escrita das mesmas quando elas estão</p><p>expressas ou em valores muito grandes ou muito pequenos. A Tabela 3 mostra os prefixos, seus</p><p>multiplicadores e seus símbolos.</p><p>Tabela 3 – Múltiplos e Submúltiplos.</p><p>PREFIXO SÍMBOLO POTÊNCIA MULTIPLICADOR</p><p>M</p><p>Ú</p><p>L</p><p>T</p><p>IP</p><p>L</p><p>O</p><p>S</p><p>DECA da 10 10</p><p>HECTO h 10² 100</p><p>QUILO k 103 1.000</p><p>MEGA M 106 1.000.000</p><p>GIGA G 109 1.000.000.000</p><p>TERA T 1012 1.000.000.000.000</p><p>PETA P 1015 1.000.000.000.000.000</p><p>EXA E 1018 1.000.000.000.000.000.000</p><p>ZETA Z 1021 1.000.000.000.000.000.000.000</p><p>IOTA Y 1024 1.000.000.000.000.000.000.000.000</p><p>PREFIXO SÍMBOLO POTÊNCIA MULTIPLICADOR</p><p>S</p><p>U</p><p>B</p><p>M</p><p>Ú</p><p>L</p><p>T</p><p>IP</p><p>L</p><p>O</p><p>S</p><p>DECI d 10-1 0,1</p><p>CENTI c 10-2 0,01</p><p>MILI m 10-3 0,001</p><p>MICRO µ 10-6 0,000.001</p><p>NANO n 10-9 0,000.000.001</p><p>PICO p 10-12 0,000.000.000.001</p><p>FEMTO f 10-15 0,000.000.000.000.001</p><p>ATO a 10-18 0,000.000.000.000.000.001</p><p>ZEPTO z 10-21 0,000.000.000.000.000.000.001</p><p>IOCTO y 10-24 0,000.000.000.000.000.000.000.001</p><p>10</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>1. O gráfico abaixo representa a intensidade de corrente em um fio condutor, em função do tempo.</p><p>Calcule para o intervalo de tempo de 0 a 20 segundos:</p><p>(a) A quantidade de carga que passa por uma seção reta do condutor.</p><p>(b) O número de elétrons que atravessa a seção reta do condutor.</p><p>2. O gráfico a seguir representa a intensidade de corrente em um fio condutor, em função do</p><p>tempo. Calcule para o intervalo de 0 a 6s:</p><p>(a) A quantidade de carga que passa por uma seção reta do condutor.</p><p>(b) O número de elétrons que atravessa a seção reta do condutor.</p><p>3. Um condutor é percorrido por uma corrente elétrica de intensidade de 1A. Determine o número</p><p>de elétrons que passam por uma seção transversal do condutor em um segundo, sabendo que a carga</p><p>elétrica elementar de um elétron vale 1,6 x 10</p><p>-19</p><p>C.</p><p>4. Relacione quatro efeitos principais produzidos pela corrente elétrica.</p><p>5. Um resistor de 20 é percorrido por uma corrente elétrica de intensidade de 3A. Determine:</p><p>(a) A ddp nos terminais do resistor.</p><p>(b) A potência elétrica consumida pelo resistor.</p><p>(c) A energia elétrica consumida no intervalo de tempo de 20s, expressa em joules.</p><p>11</p><p>6. Sabendo-se que 20 lâmpadas de 100 watts e 10 lâmpadas de 150 watts permanecem acesas 5</p><p>horas por dia, pergunta-se: Qual o consumo de energia elétrica, em kWh, no período de 30 dias?</p><p>7. Um chuveiro elétrico alimentado sob ddp de 127V, consome uma potência de 4,4kW. Calcule:</p><p>(a) A resistência elétrica do aparelho.</p><p>(b) A intensidade de corrente que percorre o aparelho.</p><p>(c) A energia elétrica consumida pelo chuveiro, em kWh, quando ligado durante 72 segundos.</p><p>(d) A energia elétrica consumida pelo chuveiro, em joules, quando ligado durante 72 segundos.</p><p>(e) O gasto de 30 dias, em reais, se o chuveiro é utilizado durante 90 minutos por dia. Suponha que</p><p>o preço do kWh seja de R$0,52.</p><p>8. Um chuveiro alimentado sob ddp de 220V, consome uma potência de 4,4kW. Calcule para esta</p><p>condição:</p><p>(a) A resistência elétrica do aparelho.</p><p>(b) A energia elétrica consumida pelo chuveiro, quando ligado durante 24 minutos, expressa em</p><p>kWh.</p><p>(c) A energia elétrica consumida pelo chuveiro, quando ligado durante 5 minutos, expressa em</p><p>joules.</p><p>9. Um fio com 200m de comprimento e seção circular de 6mm</p><p>2</p><p>, produz uma queda de tensão de</p><p>6V, com uma intensidade de corrente elétrica de 10A. Calcule a resistividade do material que</p><p>constitui o fio, em .m.</p><p>10. Um ser humano pode ser eletrocutado se uma pequena corrente elétrica de 50mA passar perto</p><p>do seu coração. Um eletricista trabalhando com as mãos suadas faz bom contato com os dois</p><p>condutores que ele está segurando, um em cada mão. Se a sua resistência for de 2000, qual</p><p>poderia ser a tensão fatal?</p><p>12</p><p>11. Um fio condutor possui 1,0mm de diâmetro, um comprimento de 2,0m e uma resistência de</p><p>50m. Qual a resistividade do material?</p><p>12. Um resistor é ôhmico até 100V, tendo resistência de 6. Aplica-se no mesmo uma ddp de</p><p>30V e, depois, de 60V. A variação ocorrida na resistência do resistor é: (Justifique).</p><p>13. O gráfico abaixo representa a tensão elétrica em função da intensidade de corrente elétrica em</p><p>um resistor. Se o resistor for submetido a uma tensão elétrica de 6V, qual será a sua potência</p><p>elétrica dissipada?</p><p>14. O gráfico abaixo representa a tensão elétrica em função da intensidade de corrente elétrica</p><p>em um resistor. Determine a potência elétrica dissipada no resistor, quando for percorrido por uma</p><p>corrente de 50mA.</p><p>15. Quando 115V são aplicados entre as extremidades de um fio que possui 10m de</p><p>comprimento e 0,30mm de raio, a densidade de corrente é igual a 1,4x10</p><p>4</p><p>A/m</p><p>2</p><p>. Determine a</p><p>resistividade do fio.</p><p>16. Um fusível em um circuito elétrico é um fio que é projetado para derreter,</p><p>uma</p><p>transferência líquida de energia. Este termo é chamado de potência média ou potência real, como às</p><p>vezes é chamada. Esta potência é a fornecida à carga e dissipada por esta. Ela corresponde à</p><p>potência total dos circuitos de corrente alternada. O ângulo  =  v i  é o ângulo de fase entre v</p><p>e i .</p><p>165</p><p>Como  cos cos   :</p><p>O valor da potência média não depende do fato de a tensão estar atrasada ou adiantada em relação à</p><p>corrente. Se o ângulo for positivo, diz-se que o fator de potência está atrasado e se for negativo, diz-</p><p>se que o fator de potência está adiantado.</p><p>cos</p><p>2</p><p>mm IV</p><p>P  em watts (W)</p><p>Onde P é a potência média em watts. Esta equação pode ser escrita na forma:</p><p>cos</p><p>22</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> mm IV</p><p>P</p><p>2</p><p>m</p><p>ef</p><p>V</p><p>V </p><p>2</p><p>m</p><p>ef</p><p>I</p><p>I </p><p>cosefef IVP </p><p>Fig.11 - Determinação da potência média de um circuito de corrente alternada senoidal.</p><p>166</p><p>3.1 – Circuito Puramente Resistivo</p><p>Em um circuito puramente resistivo, v e i estão em fase.</p><p>  º0  iv , de modo que 1cos  .</p><p>m m</p><p>ef ef</p><p>V I</p><p>P V I</p><p>2</p><p>  (W)</p><p>R</p><p>V</p><p>I</p><p>ef</p><p>ef </p><p>2</p><p>2</p><p>ef</p><p>ef</p><p>IR</p><p>R</p><p>V</p><p>P  (W)</p><p>3.2 – Circuito Puramente Indutivo</p><p>Em um circuito puramente indutivo, a corrente i está atrasada de 90º em relação à tensão v .</p><p>  º90  iv , de modo que 0cos </p><p>W</p><p>IV</p><p>P mm 0º90cos</p><p>2</p><p></p><p>A potência média ou potência dissipada por um indutor ideal (sem resistência associada) é zero.</p><p>3.3 – Circuito Puramente Capacitivo</p><p>Em um circuito puramente capacitivo, a corrente i está adiantada de 90º em relação à tensão v .</p><p>  º90  iv , de modo que 0cos </p><p>W</p><p>IV</p><p>P mm 0)º90(cos</p><p>2</p><p></p><p>A potência média ou potência dissipada por um capacitor ideal (sem resistência associada) é zero.</p><p>167</p><p>Exemplo 1 - Calcule a potência média dissipada em um circuito no qual a corrente e a tensão de</p><p>entrada são dadas por:</p><p>)º40(5  tseni </p><p>)º40(10  tsenv </p><p>Solução:</p><p>Como v e i estão em fase, o circuito é puramente resistivo.</p><p>W</p><p>IV</p><p>P mm 25</p><p>2</p><p>510</p><p>cos</p><p>2</p><p></p><p></p><p> </p><p>Exemplo 2 - Determine a potência média fornecida nos circuitos em que a corrente e a tensão de</p><p>entrada obedecem às seguintes expressões:</p><p>(a) )º40(100  tsenv </p><p>)º70(20  tseni </p><p>(b) )º70(150  tsenv </p><p>)º50(3  tseni </p><p>Soluções:</p><p>(a) º30º70º40)(  iv </p><p>W</p><p>IV</p><p>P mm 03,866)º30(cos</p><p>2</p><p>20100</p><p>cos</p><p>2</p><p></p><p></p><p> </p><p>(b) º20)º50(º70)(  iv </p><p>W</p><p>IV</p><p>P mm 43,211)º20(cos</p><p>2</p><p>3150</p><p>cos</p><p>2</p><p></p><p></p><p> </p><p>168</p><p>4 – Fator de Potência</p><p>Na expressão cos)2/Im.(VmP  , o fator que tem uma influência significativa no valor da</p><p>potência fornecida é o cos . Independentemente dos valores da tensão e da corrente, se 0cos  ,</p><p>a potência é nula; se 1cos  , a potência é máxima. Por ter tal influência, a expressão recebeu o</p><p>nome de fator de potência, ou seja:</p><p>cos FPPotênciadeFator</p><p>Para uma carga puramente resistiva como a ilustrada na figura 12, a diferença de fase entre v e i é</p><p>0°, logo o 1º0coscos  . A potência fornecida é dada por</p><p>W</p><p>IV</p><p>P mm 250)1(</p><p>2</p><p>5100</p><p>cos</p><p>2</p><p></p><p></p><p>  .</p><p>Fig. 12 - Carga puramente resistiva com 1cos  .</p><p>No caso de uma carga puramente reativa (indutiva ou capacitiva), como a que é vista na figura 13</p><p>(puramente indutiva), a diferença de fase entre v e i é de 90°. Nesse caso, o fator de potência é</p><p>nulo ( 0º90coscos  ) e, a potência entregue à carga é nula, embora a corrente tenha o mesmo</p><p>valor de pico que no circuito da figura 12.</p><p>Fig. 13 - Carga puramente indutiva com 0cos  .</p><p>169</p><p>Nas situações em que a carga é uma combinação de elementos resistivos e reativos, o fator de</p><p>potência tem um valor entre 0 e 1. Quanto mais resistiva, mais próximo da unidade está o fator de</p><p>potência; quanto mais reativa, mais o fator de potência se aproxima de zero.</p><p>Em termos da potência média, a tensão e a corrente no circuito têm-se:</p><p>efef IV</p><p>P</p><p>cos</p><p>Os termos adiantado e atrasado são frequentemente escritos juntamente com o fator de potência. O</p><p>termo a ser usado é definido em função da corrente na carga. Quando a corrente está adiantada em</p><p>relação à tensão aplicada, diz-se que a carga tem um fator de potência adiantado. Quando a corrente</p><p>está atrasada, diz-se que a carga tem um fator de potência atrasado. Em outras palavras, os circuitos</p><p>capacitivos têm um fator de potência adiantado, enquanto os circuitos indutivos têm um fator de</p><p>potência atrasado.</p><p>Exemplo 1 - Determine os fatores de potência das cargas em cada figura a seguir e verifique se eles</p><p>são atrasados ou adiantados:</p><p>(a)</p><p>adiantadoiv 5,0)º60(cos)º40º20(cos)(coscos  </p><p>(b)</p><p>atrasadoiv 64278,0º50cos)º30º80(cos)(coscos  </p><p>170</p><p>(c)</p><p>1</p><p>520</p><p>100</p><p>cos </p><p></p><p></p><p>efef IV</p><p>P</p><p></p><p>A carga é resistiva e, portanto o fator de potência não é atrasado nem adiantado.</p><p>5 - Fasores</p><p>Na comparação de ângulos de fase ou simplesmente fases de correntes e tensões alternadas, são</p><p>mais convenientes à utilização de diagramas de fasores correspondentes às formas de onda da</p><p>corrente e da tensão. Um fasor é uma entidade com módulo e sentido. Os termos fasor e vetor são</p><p>usados para representar quantidades que possuem um sentido. Entretanto, o fasor varia com o</p><p>tempo, enquanto, o vetor tem sentido no espaço. O comprimento da seta que representa o fasor em</p><p>um diagrama indica o módulo da corrente ou da tensão alternada. O ângulo que a seta forma com o</p><p>eixo horizontal indica o ângulo de fase. Escolhe-se uma forma de onda senoidal como referência.</p><p>Então, a segunda forma de onda senoidal pode ser comparada com a de referência através do ângulo</p><p>entre as setas que representam os fasores.</p><p>Um método válido utilizado em análise de circuitos de corrente alternada, porém longo e tedioso,</p><p>para a adição de tensões e correntes senoidais, é traçar as duas funções senoidais no mesmo gráfico</p><p>e somar algebricamente as ordenadas em cada ponto, como pode ser vista na figura 14, para</p><p>bac  . Além dos aspectos negativos citados anteriormente, deve-se ressaltar que a precisão deste</p><p>método não é muito boa.</p><p>171</p><p>Fig. 14 - Adição gráfica de duas formas de onda senoidais.</p><p>Um método mais rápido é o que utiliza o vetor, de módulo (comprimento) constante e com um</p><p>ponto fixo na origem. O fasor estará, no instante 0t , nas posições vistas na figura 15(a), para</p><p>cada uma das formas de onda na figura 15(b).</p><p>Observa-se, na figura 15(b) que 2v corta o eixo horizontal em 0t , tornando necessário que o raio</p><p>vetor na figura 15(a) coincida com o eixo horizontal neste instante para garantir que a projeção</p><p>vertical seja zero volt. O seu comprimento, visto na figura 15(a) é igual à amplitude da senóide. A</p><p>outra senóide é gerada por um fasor que em 0t já descreveu um ângulo de 90° em relação ao</p><p>eixo horizontal, alcançando, portanto, a sua projeção vertical máxima, como mostra a figura 15(a).</p><p>172</p><p>Fig. 15 – (a) Representação fasorial de formas de onda senoidais. (b) Obtenção da soma de duas</p><p>tensões alternadas senoidais 1v e 2v .</p><p>Como a projeção vertical é máxima, o valor do pico da senóide que o fasor gera também é</p><p>alcançado em 0t , como ilustra a figura 15(b). Observa-se também que em 0t , tem-se 1vvT  ,</p><p>pois 02 v neste instante.</p><p>Vº43,63236,2º902º01 </p><p>Em outras palavras, se converter 1v e 2v para a forma de fasores:   mm VtsenVv )( ,</p><p>e efetuar a adição com o auxílio da álgebra dos números complexos, pode-se obter Tv , também, em</p><p>forma de fasor, com bastante facilidade. Pode-se então, converter Tv para o domínio do tempo e</p><p>plotá-la no mesmo gráfico, como na figura 15(b). A figura 15(a), que mostra os módulos e posições</p><p>relativas dos fasores envolvidos, é denominada diagrama de fasores. Ela é na realidade um valor</p><p>instantâneo dos vetores girantes em 0t</p><p>.</p><p>Assim, daqui por diante, se desejar adicionar duas funções senoidais, deve-se primeiro convertê-las</p><p>para a forma fasorial e calcular a soma usando a álgebra dos complexos. O resultado pode ser então</p><p>transformado para obter uma função no domínio do tempo.</p><p>173</p><p>Na figura 16 ilustra o caso de duas funções senoidais cuja diferença de fase é distinta de 0° e 90°.</p><p>Novamente observa-se que as ordenadas das funções vistas na figura 16(b) 0t são determinadas</p><p>pelas posições angulares dos fasores vistos na figura 16(a).</p><p>Fig. 16 – Adição de duas correntes senoidais cuja diferença de fase não é 90º.</p><p>Como são utilizados quase que exclusivamente os valores eficazes, e não os valores de pico, na</p><p>análise de circuitos de corrente alternada, o fasor agora será definido, por razões práticas e de</p><p>uniformidade, como tendo um módulo igual ao valor eficaz da função senoidal que representa. O</p><p>ângulo associado com o fasor continuará, conforme descrito anteriormente, como sendo o ângulo de</p><p>fase.</p><p>No caso geral, em todas as análises que se seguem, a forma fasorial de uma tensão ou de uma</p><p>corrente senoidal será:</p><p></p><p></p><p>VV e </p><p></p><p>II</p><p>Onde V e I são valores eficazes e  é o ângulo de fase. Deve-se ressaltar que na notação de</p><p>fasores as grandezas envolvidas sempre variam de forma senoidal e a frequência não é representada.</p><p>A álgebra de fasores só pode ser aplicada a formas de onda senoidais de mesma frequência.</p><p>174</p><p>Exemplo 1 - Converta as expressões a seguir do domínio do tempo para o domínio dos fasores.</p><p>(a) tsen)50(2 º050</p><p>(b) )º72(6,69 tsen  º72215,49º72</p><p>2</p><p>)6,69(</p><p></p><p>(c) tcos45 º0820,31º0</p><p>2</p><p>)45(</p><p></p><p>Exemplo 2 - Escreva a expressão senoidal para os fasores a seguir. Considere a frequência igual a</p><p>60Hz.</p><p>(a) AI º3010</p><p></p><p>Atsentseni )º30377(142,14)º30602()10(2  </p><p>(b) VV º70115 </p><p></p><p>Vtsentsenv )º70377(63,162)º70602()115(2  </p><p>Exemplo 3 - Calcule a tensão de entrada no circuito abaixo.</p><p>Hzf 60</p><p>)º30377(50  tsenva</p><p>)º60377(30  tsenvb</p><p>Solução:</p><p>Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões.</p><p>bain vve </p><p>175</p><p>Passando do domínio do tempo para o domínio dos fasores.</p><p> )º30377(50 tsenva º30355,35º30</p><p>2</p><p>50</p><p></p><p></p><p>aV</p><p> )º60377(30 tsenvb º60213,21º60</p><p>2</p><p>30</p><p></p><p></p><p>bV</p><p>Passando agora da forma polar para a retangular, para poder efetuar a adição.</p><p>678,17618,30 jV a </p><p></p><p>371,18607,10 jV b </p><p></p><p>Então:</p><p>VjjVVE bain º17,41763,54049,36225,41)371,18678,17()607,10618,30( </p><p></p><p>Transformando para o domínio do tempo.</p><p>Vtsentsenein )º17,41377(447,77)º17,41377()763,54(2 </p><p>176</p><p>Exemplo 4 - Determine a corrente 2i do circuito.</p><p>Solução:</p><p>Aplicando a lei de Kirchhoff para correntes.</p><p>21 iiiT </p><p>12 iii T </p><p>AjAIAtseni TT</p><p>333 10)485,73427,42(º6010853,84)º60(10120 </p><p></p><p>  </p><p>AAIAtseni 33</p><p>1</p><p>3</p><p>1 10569,56º010569,56)(1080 </p><p></p><p>  </p><p>mAjjIII T º89,100833,74485,73142,14485,73)569,56427,42(12 </p><p></p><p>mAtseni )º89,100(83,1052  </p><p>As três formas de onda estão ilustradas abaixo.</p><p>177</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>1 – As expressões a seguir representam a ddp, em volts, entre os terminais de um resistor de 5Ω.</p><p>Determine a expressão da corrente no domínio do tempo.</p><p>(a) t377 sen 150</p><p>(b) )20 t (377sen30 </p><p>(c) t(sen80-</p><p>(d) t(cos40</p><p>2 – As expressões a seguir representam a corrente, em ampères, em um resistor de 7kΩ. Determine</p><p>a expressão da tensão no domínio do tempo entre os terminais do resistor.</p><p>(a) t 754sen0,03</p><p>(b) )120ºt400(sen102 -3 </p><p>(c)  º(cos106 -6 t</p><p>(d)  ºcos(0,004- t</p><p>3 – Determine a reatância indutiva de um indutor de 2H:</p><p>(a) no caso de corrente contínua.</p><p>(b) Para as seguintes frequências em corrente alternada:</p><p>(b.1) Hz25</p><p>(b.2) Hz60</p><p>(b.3) Hz2000</p><p>(b.4) Hz000.100</p><p>4 – Determine a indutância de um indutor cuja reatância é</p><p>(a) Hzfpara 220 </p><p>(b) Hzfpara 601000 </p><p>(c) Hzfpara 100052 </p><p>5 – Determine a frequência para que um indutor de 10H tenha as seguintes reatâncias indutivas:</p><p>(a) 500 (b) 3770 (c) k7,15 (d) 243</p><p>178</p><p>6 – São dadas a seguir as expressões para a corrente, em ampères. Determine, em cada caso, a</p><p>expressão senoidal da tensão, sabendo que a reatância indutiva é igual a 20Ω.</p><p>(a) tsen 5 i</p><p>(b)  º60t(sen0,4 i</p><p>(c)  ti cos( 3</p><p>(d)  º(sen 6- ti </p><p>7 – São dadas a seguir as expressões da corrente, em ampères, em uma bobina de 0,1H. Determine,</p><p>em cada caso, a expressão senoidal da tensão.</p><p>(a) t30sen 30</p><p>(b) t377sen 0,006</p><p>(c) )70º - (20 cos 4- t</p><p>(d) )20º t (400sen 10 x 5 -6 </p><p>8 – A tensão entre os terminais de uma indutância reativa de 50Ω é dada, em volts, pelas expressões</p><p>a seguir. Determine, em cada caso, a expressão da corrente no domínio do tempo.</p><p>(a) tsen 50</p><p>(b) )20º t (sen 30 </p><p>(c) )10º t (cos 40 </p><p>(d) )40º t (377sen 80- </p><p>9 – As expressões a seguir se referem à tensão, em volts, em um indutor de 0,2H. Determine, em</p><p>cada caso, a expressão senoidal da corrente.</p><p>(a) tsen 605,1</p><p>(b) )º4(016,0 tsen</p><p>(c) )º5005,0(8,4  tsen</p><p>(d) )º360377(cos109 3   t</p><p>10 – Determine a reatância capacitiva de um capacitor de 5μF:</p><p>(a) em corrente contínua.</p><p>(b) Para as seguintes frequências em corrente alternada:</p><p>(b.1) Hz60 (b.2) Hz120 (b.3) Hz1800 (b.4) Hz24000</p><p>179</p><p>11 – Determine a capacitância, em microfarads, de um capacitor cuja reatância e frequência, são:</p><p>(a) Hzfem 60250 </p><p>(b) Hzfem 31255 </p><p>(c) zf  em 10</p><p>12 – Determine as frequências para as quais um capacitor de 50μF apresenta as seguintes reatâncias:</p><p>(a) 342</p><p>(b) 684</p><p>(c) 171</p><p>(d) 2000</p><p>13 – A ddp entre os terminais de uma reatância capacitiva de 2,5Ω é dada a seguir. Determine, em</p><p>cada caso, a expressão da corrente no domínio do tempo.</p><p>(a) tsen100</p><p>(b) )20(4,0 tsen </p><p>(c) )10(cos8 t</p><p>(d) )40(70  tsen </p><p>14 – A seguir são apresentadas as expressões para a tensão, em volts, aplicada a um capacitor de</p><p>1μF. Determine, em cada caso, a expressão senoidal da corrente.</p><p>(a) tsen 20030</p><p>(b) tsen 37790</p><p>(c) )30374(120  tsen</p><p>(d) )20800(cos70 t</p><p>15 – As expressões a seguir se referem à corrente, em ampères, em uma reatância capacitiva de</p><p>10Ω. Determine, em cada caso, a expressão senoidal da tensão.</p><p>(a) tseni 50</p><p>(b) )60(  tseni </p><p>(c) )30(6  tseni </p><p>(d) )10(cos3  ti </p><p>180</p><p>16 – A corrente, em ampères, em um capacitor de 0,5μF é dada a seguir. Qual é, em cada caso, a</p><p>expressão senoidal da tensão entre os terminais do capacitor.</p><p>(a) tsen 30020,0</p><p>(b) tsen 377007,0</p><p>(c) t754cos048,0</p><p>(d) )801600(08,0 tsen</p><p>17 – Determine nos casos dos pares de expressões para tensão, em volts, e a corrente, em ampères,</p><p>dados a seguir, se o elemento envolvido é um resistor, indutor ou capacitor. Se os dados forem</p><p>suficientes, determine os valores de R, L e C.</p><p>(a) )40377(550  tsenv</p><p>)50377(11  tseni</p><p>(b) )80754(36  tsenv</p><p>)170754(4  tseni</p><p>(c) )13(5,10  tsenv </p><p>)13(5,1  tseni </p><p>(d) tsenv 2000</p><p>ti cos5</p><p>(e) )150157(80  tsenv</p><p>)60157(2  tseni</p><p>(f) )20(35  tsenv </p><p>)110(cos7  ti </p><p>18 – Em que frequência a reatância de um capacitor de 1μF é igual à resistência de um resistor de</p><p>2kΩ?</p><p>19 – A reatância de um indutor é igual à resistência de um resistor de 10kΩ, quando a frequência é</p><p>5kHz. Determine a indutância do indutor.</p><p>181</p><p>20 – Determine a frequência na qual um capacitor de 1μF e um indutor de 10mH tem a mesma</p><p>reatância.</p><p>21 – Obtenha o valor da capacitância necessária para termos uma reatância capacitiva de mesmo</p><p>valor que a reatância de uma bobina de 2mH em 50kHz.</p><p>22 – Determine a dissipação de potência média, em watts,</p><p>e o fator de potência, para os valores de</p><p>entrada da tensão e da corrente, relacionados abaixo.</p><p>(a) )40377(550  tsenv (b) )80754(36  tsenv</p><p>)50377(11  tseni )170754(4  tseni</p><p>(c) )13(5,10  tsenv  (d) tsenv 2000</p><p>)13(5,1  tseni  ti cos5</p><p>(e) )150157(80  tsenv (f) )20(35  tsenv </p><p>)60157(2  tseni )110(cos7  ti </p><p>(g) )30(60  tsenv  (h) )20(50  tsenv </p><p>)60(15  tseni  )40(2  tseni </p><p>(i) )80(50  tsenv  (j) )5(75  tsenv </p><p>)20(3  tseni  )35(08,0  tseni </p><p>23 – Se a corrente em um elemento é dada por Atseni )º40(8   e a tensão aplicada ao</p><p>elemento é Vtsenv )º40(48   , determine a potência utilizando as expressões 2IR ,</p><p>cos</p><p>2</p><p>mm IV</p><p>e cosIV e compare os resultados.</p><p>24 – Determine o fator de potência em um circuito de 150V (tensão de entrada efetiva) e 2A</p><p>(corrente de entrada efetiva), para as seguintes dissipações de potências:</p><p>(a) 100W</p><p>(b) 0W</p><p>(c) 300W</p><p>182</p><p>25 – O fator de potência de um circuito é 0,5 atrasado e a potência dissipada é de 500W. Se a tensão</p><p>de entrada é dada por Vtsenv )º10(50   , determine a expressão senoidal da corrente de</p><p>entrada.</p><p>26 – No circuito abaixo, Vtsene )20377(30  , determine:</p><p>(a) A expressão senoidal da corrente.</p><p>(b) A dissipação de potência no circuito.</p><p>(c) O tempo necessário, em segundos, para que a corrente complete seis ciclos.</p><p>27 – No circuito abaixo, Vtsene )30157(100  , determine:</p><p>(a) A expressão senoidal da corrente.</p><p>(b) O valor da indutância L.</p><p>(c) A dissipação de potência média no indutor.</p><p>28 – No circuito abaixo, Atseni )20377(3  , determine:</p><p>(a) A expressão senoidal da tensão.</p><p>(b) O valor da capacitância, em microfarads.</p><p>(c) A dissipação média de potência no capacitor.</p><p>183</p><p>29 – No circuito abaixo, determine as expressões senoidais das seguintes correntes:</p><p>(a) 1i e 2i</p><p>(b) Ti</p><p>30 – No circuito abaixo, determine a expressão senoidal:</p><p>(a) da tensão da fonte v .</p><p>(b) das correntes 1i e 2i .</p><p>31 – Determine no domínio dos fasores.</p><p>(a) )º30()100(2 tsen </p><p>(b) )º40157()25,0(2 tsen</p><p>(c) )º90(100 tsen </p><p>(d) )º10377(42 tsen</p><p>(e) tcos106 6</p><p>(f) )º20754(cos106,3 6   t</p><p>184</p><p>32 – Determine no domínio do tempo, sabendo que a frequência é igual a 60Hz.</p><p>(a) AI º2040 </p><p>(b) VU º0120 </p><p>(c) AI º120108 3  </p><p>(d) VU º905</p><p>(e) AI º1201200 </p><p>(f) VU º180</p><p>2</p><p>6000</p><p></p><p>33 – Determine a tensão av no domínio do tempo e dos fasores, sabendo que:</p><p>Vtsenein )º20377(60 </p><p>Vtsenvb )377(20</p><p>34 – Determine a corrente 1i no domínio do tempo e dos fasores, sabendo que:</p><p>AtseniT )º90(1020 6   </p><p>Atseni )º60(106 6</p><p>2   </p><p>185</p><p>35 – Determine a tensão da fonte no domínio do tempo e dos fasores, sabendo que:</p><p>Vtsenva )º30(60  </p><p>Vtsenvb )º30(30  </p><p>Vtsenvc )º120(40  </p><p>36 – Determine a corrente total no domínio do tempo e dos fasores, sabendo que:</p><p>Atseni )º180377(106 3</p><p>1  </p><p>Atseni )377(108 3</p><p>2</p><p> 23 2 ii </p><p>Respostas:</p><p>(1) (a) Atseni )377(30 ; (b) Atseni )º20377(6  ; (c) Atseni )º140(16   ;</p><p>(d) AtsenAti )º100(8)º10(cos8   ; (2) (a) Vtsenv )754(210 ;</p><p>(b) Vtsenv )º120400(14  ; (c) mVtsenmVtv )º88(42)º2(cos42   ;</p><p>(d) VtVtsenv )º90(cos28)º180(28   ; (3) (a) 0 ; (b.1) 16,314 ; (b.2) 98,753 ;</p><p>(b.3) k132,25 ; (b.4) 637.256.1 ; (4) (a) H5915,1 ; (b) H6526,2 ; (c) mH2761,8 ;</p><p>(5) (a) 7,9577Hz; (b) 60Hz; (c) 249,87Hz; (d) 3,8675Hz; (6) (a) Vtsenv )º90(100   ;</p><p>(b) Vtsenv )º150(8   ; (c) VtsenVtv )º190(60º100(cos60   ;</p><p>(d) Vtsenv )º240(120   ; (7) (a) Vtsenv )º9030(90  ; (b) mVtsenv )º90377(2,226  ;</p><p>(c) VtVtsenv )º16020(cos8)º7020(8  ; (d) mVtsenv )º110400(2,0  ;</p><p>(8) (a) Atseni )º90(   ; (b) Atseni )º70(6,0   ; (c)</p><p>AtsenAti )º10(8,0)º80(cos8,0   ; (d) Atseni )º130377(6,1  ;</p><p>186</p><p>(9) (a) mAtseni )º9060(125  ; (b) mAtseni )º86(80  ; (c) Atseni )º14005,0(480  ;</p><p>(d) AtsenAti  )377(36,119)º90377(cos36,119  ; (10) (a)  ; (b.1) 52,530 ;</p><p>(b.2) 26,265 ; (b.3) 684,17 ; (b.4) 3263,1 ; (11) (a) F610,10 ; (b) F2748,9 ; (c) F62,636 ;</p><p>(12) (a) Hz3073,9 ; (b) Hz6537,4 ; (c) Hz615,18 ; (d) Hz5915,1 ; (13) (a) Atseni )º90(40   ;</p><p>(b) Atseni )º110(16,0   ; (c) AtsenAti )º190(2,3)º100(cos2,3   ;</p><p>(d) Atseni )º50(28   ; (14) (a) mAtseni )º90200(6  ; (b) mAtseni )º90377(93,33  ;</p><p>(c) mAtseni )º60374(88,44  ; (d) mAtseni )º160800(56  ;</p><p>(15) (a) Vtsenv )º90(500   ; (b) Vtsenv )º30(400   ; (c) Vtsenv )º60(60   ;</p><p>(d) Vtsenv )º10(30   ; (16) (a) Vtsenv )º90300(3,333.1  ;</p><p>(b) Vtsenv )º90377(135,37  ; (c) Vtsenv )754(32,127 ; (d) Vtsenv )º1701600(100  ;</p><p>(17) (a) mHL 63,132 ; (b) FC 36,147 5; (c)  7R ; (d) capacitor; (e) mHL 78,254 ;</p><p>(f)  5R ; (18) Hz577,79 (19) mH31,318 ; (20) Hz5,591.1 ; (21) nF0661,5 ;</p><p>(22) (a) 0cos;0  WP ; (b) 0cos;0  WP ; (c) 1cos;875,7  WP ;</p><p>(d) 0cos;0  WP ; (e) 0cos;0  WP ; (f) 1cos;5,122  WP ;</p><p>(g) adiantadoWP 86603,0cos;71,389   ; (h) adiantadoWP 5,0cos;25   ;</p><p>(i) atrasadoWP 5,0cos;5,37   ; (j) atrasadoWP 86603,0cos;5981,2   ; (23) W192 ;</p><p>(24) (a) 33333,0 ; (b) 0 ; (c) 1; (25) Atseni )º50(40   ; (26) (a) Atseni )º20377(10  ;</p><p>(b) W150 ; (c) s1,0 ; (27) (a) Atseni )º60157(2  ; (b) mH47,318 ; (c) W0 ;</p><p>(28) (a) Vtsene )º110377(1200  ; (b) F6313,6 ; (c) W0 ;</p><p>(29) (a) Atseni )º15010(8284,2 4</p><p>1  ; Atseni )º15010(314,11 4</p><p>2  ;</p><p>(b) AtseniT )º15010(142,14 4  ; (30) (a) Vtsenv )º1201000(456,25  ;</p><p>(b) Atseni )º301000(3640,61  ; Atseni )º301000(1213,22  ; (31) (a) º30100 ;</p><p>(b) º4025,0  ; (c) º90711,70  ; (d) º10698,29  ; (e) º0102426,4 6   ;</p><p>(f) º20105456,2 6   ; (32) (a) Atseni )º20377(569,56  ; (b) Vtsenv )377(71,169 ;</p><p>(c) mAtseni )º120377(314,11  ; (d) Vtsenv )º90377(0711,7  ;</p><p>(e) Atseni )º120377(1,697.1  ; (f) Vtsenv )º180377(000.6  ;</p><p>(33) Vtsenva )º43,29377(769,41  ; VVa º43,29535,29  ;</p><p>(34) Atseni  )º79,96(374,251  ; AI º79,96942,171  ;</p><p>(35) Vtsenein )º59,40(298,76   ; VEin º59,40951,53  ;</p><p>(36) mAtseniT )(18  ; mAI º0728,121 </p><p>187</p><p>CAPÍTULO VII - CIRCUITOS DE CA EM SÉRIE E EM PARALELO</p><p>1 - Introdução</p><p>A álgebra dos fasores será utilizada neste capítulo para desenvolver um método de solução rápido e</p><p>direto para problemas envolvendo circuitos CA em série e em paralelo. Depois de examinar alguns</p><p>exemplos simples, ficará clara a relação entre este método e os que são aplicados em circuitos de</p><p>corrente contínua.</p><p>Várias das regras utilizadas para circuitos CC (regra dos divisores de tensão,</p><p>regra dos divisores de corrente, etc.) podem ser aplicadas a circuitos de corrente alternada.</p><p>2 - Circuitos de Corrente Alternada em Série</p><p>2.1 - Impedância e o Diagrama de Fasores</p><p>2.1.1 - Elementos Resistivos</p><p>Já foi estudado que, para o circuito puramente resistivo da figura 1, “ v ” e “i” estão em fase e suas</p><p>amplitudes são dadas por:</p><p>R</p><p>V</p><p>I m</p><p>m  ou mm IRV </p><p>tsenVv m </p><p>Na forma fasorial: º0</p><p></p><p>VV</p><p>Onde:</p><p>2</p><p>mV</p><p>V </p><p>Fig.1 - Circuito CA resistivo.</p><p>188</p><p>Aplicando a definição de resistência e utilizando a álgebra dos fasores, tem-se:</p><p>iVV</p><p>v II</p><p>R</p><p>V</p><p>R</p><p>V</p><p>R</p><p>V</p><p>I </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Como “ v ” e “ i ” estão em fase, o ângulo associado a “ i ” deve também ser igual ao ângulo</p><p>associado a “ v ”, ou seja, iV   . De modo que, no domínio do tempo:</p><p>tsen</p><p>R</p><p>V</p><p>i </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 2</p><p>Para escrever uma expressão na forma polar com a relação de fase apropriada entre a tensão e a</p><p>corrente em um resistor, tem-se:</p><p>RR</p><p>I</p><p>V</p><p>Z</p><p>i</p><p>v </p><p></p><p></p><p> º0</p><p></p><p></p><p>A grandeza Z que tem um módulo, uma fase e é denominada impedância. É medida em ohms e</p><p>indica quanto o elemento “impede” a passagem de corrente no circuito. O formato utilizado na</p><p>equação se mostrará uma “ferramenta” bastante útil quando forem analisados circuitos mais</p><p>complexos e as relações de fase não forem tão óbvias. É importante observar que Z não é um fasor,</p><p>muito embora a notação º0R seja semelhante à notação fasorial utilizada para correntes e tensões</p><p>senoidais. O termo fasor é reservado para grandezas que variam no tempo; o elemento R e sua fase</p><p>associada, 0º, são grandezas fixas.</p><p>Exemplo 1 - Determine a corrente no domínio dos fasores e do tempo. Faça os gráficos de v e i .</p><p>189</p><p>VVfasorialformatsenv º0711,70º0</p><p>2</p><p>100</p><p>100 </p><p></p><p></p><p>A</p><p>R</p><p>V</p><p>Z</p><p>V</p><p>I v º0142,14</p><p>5</p><p>º0711,70</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p>Atsentseni )(20)142,14(2  </p><p>Exemplo 2 - Determine a tensão no domínio dos fasores e do tempo. Faça os gráficos de v e i .</p><p>AIfasorialformaAtseni º308284,2)º30(4 </p><p></p><p></p><p>VIRIZV i º306568,5)º308284,2()2()( </p><p></p><p></p><p>Vtsentsenv )º30(8)º30()6568,5(2  </p><p>190</p><p>É sempre útil, ao fazer a análise de um circuito, traçar um diagrama de fasores, pois dá uma visão</p><p>imediata dos módulos e das relações de fase para as várias grandezas associadas ao circuito.</p><p>Exemplo 1:</p><p>Exemplo 2:</p><p>2.1.2 - Reatância Indutiva</p><p>No caso do indutor puro da figura 2, vimos que a corrente está atrasada de 90º em relação à tensão e</p><p>que a reatância do indutor LX é dada por L .</p><p>º0</p><p></p><p>VVfasorialformatsenVv m </p><p>L</p><p>LLL X</p><p>V</p><p>X</p><p>V</p><p>Z</p><p>V</p><p>I </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>º0</p><p>º0</p><p>191</p><p>Como a corrente i deve estar atrasada de 90º em relação a tensão v , deve-se associar para a esta</p><p>corrente uma fase inicial de -90º. Para satisfazer esta condição º90L (positivo). Substituindo</p><p>este valor na expressão anterior, tem-se:</p><p>º90º90º0</p><p>º90</p><p>º0</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>LLL X</p><p>V</p><p>X</p><p>V</p><p>X</p><p>V</p><p>Z</p><p>V</p><p>I</p><p>De modo que, no domínio do tempo,</p><p>)º90(2)º90( </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> tsen</p><p>X</p><p>V</p><p>tsenIi</p><p>L</p><p>m </p><p>Para assegurar a relação de fase apropriada entre a tensão e a corrente em um indutor, deve-se</p><p>adotar:</p><p>º90 LXZ</p><p>Fig. 2 - Circuito CA indutivo.</p><p>A grandeza Z , que tem um módulo e uma fase, é denominada impedância do indutor. A</p><p>impedância é medida em ohms e indica o quanto o indutor “impede” a passagem de corrente no</p><p>circuito. Não se pode esquecer que indutores puros só podem armazenar energia, e nunca dissipá-la</p><p>como acontece com os resistores. Do mesmo modo que no caso dos resistores, a notação acima será</p><p>uma “ferramenta” útil na análise de circuitos de “CA”. Novamente, é importante ressaltar que Z</p><p>não é um fasor, pelos mesmos motivos indicados no caso de um elemento resistivo.</p><p>192</p><p>Exemplo 3: Determine a corrente no domínio dos fasores e do tempo. Faça os gráficos de v e i .</p><p>Solução:</p><p>VVfasorialformatsenv º0971,1624 </p><p></p><p></p><p>A</p><p>X</p><p>V</p><p>Z</p><p>V</p><p>I</p><p>L</p><p>º906570,5</p><p>º903</p><p>º0971,16</p><p>º90</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p>Atsentseni )º90(8)º90()657,5(2  </p><p>Exemplo 4: Determine a tensão no domínio dos fasores e do tempo. Faça os gráficos de v e i .</p><p>Solução:</p><p>193</p><p>AIfasorialformatseni º305355,3)º30(5 </p><p></p><p></p><p>A tensão no domínio dos fasores:</p><p>VIXIZV L º120142,14)º305355,3()º904()()º90(. </p><p></p><p></p><p>A tensão no domínio do tempo:</p><p>Vtsentsenv )º120(20)º120()142,14(2  </p><p>Os diagramas de fasores para os circuitos dos dois exemplos precedentes são vistos na figura</p><p>abaixo. Ambos indicam claramente que a tensão está adiantada de 90º em relação à corrente.</p><p>194</p><p>2.1.3 - Reatância Capacitiva</p><p>No caso do capacitor puro da figura 3, a corrente está adiantada de 90º em relação à tensão e que a</p><p>reatância capacitiva CX é dada por C/1 .</p><p>º0</p><p></p><p>VVfasorialformatsenVv m </p><p>Fig. 3 - Circuito CA capacitivo.</p><p>C</p><p>CCC X</p><p>V</p><p>X</p><p>V</p><p>Z</p><p>V</p><p>I </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>º0</p><p>º0</p><p>Como a corrente i está adiantada de 90º em relação a tensão v , a fase associada à corrente deve ser</p><p>de +90º. Para que esta condição seja satisfeita, é necessário que C = -90º. Substituindo este valor</p><p>na equação acima, tem-se:</p><p>º90)º90(º0</p><p>º90</p><p>º0</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>CCC X</p><p>V</p><p>X</p><p>V</p><p>X</p><p>V</p><p>Z</p><p>V</p><p>I</p><p>De modo que, no domínio do tempo:</p><p>)º90(2)º90( </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> tsen</p><p>X</p><p>V</p><p>tsenIi</p><p>C</p><p>m </p><p>Deve-se agora utilizar o fato de que C = -90º, para introduzir a seguinte notação em forma polar,</p><p>que assegura a relação de fase apropriada entre a tensão e a corrente em um capacitor:</p><p>º90 CXZ</p><p>195</p><p>A grandeza Z , que tem módulo e uma fase, é denominada impedância do capacitor. É medida em</p><p>ohms e indica quanto o capacitor “impede” a passagem de corrente no circuito (lembre-se de que o</p><p>capacitor, como o indutor, não dissipa energia). Do mesmo modo que no caso dos resistores e</p><p>indutores, a notação acima será uma “ferramenta” útil na análise de circuitos CA. Novamente é</p><p>importante ressaltar que Z não é um fasor, por motivos idênticos aos apresentados nos dois casos</p><p>anteriores.</p><p>Exemplo 5: Determine a corrente no domínio dos fasores e do tempo. Faça os gráficos de v e i .</p><p>Solução:</p><p>VVfasorialnotaçãotsenv º0607,1015 </p><p></p><p></p><p>A</p><p>X</p><p>V</p><p>Z</p><p>V</p><p>I</p><p>C</p><p>º903035,5</p><p>º902</p><p>º0607,10</p><p>º90</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p>Atsentseni )º90(5,7)º90()3035,5(2  </p><p>196</p><p>Exemplo 6: Determine a tensão no domínio dos fasores e do tempo. Faça os gráficos de v e i .</p><p>Solução:</p><p>AIfasorialnotaçãoAtseni º602426,4)º60(6 </p><p></p><p></p><p>VIXIZV C º1501213,2)º602426,4)(º905,0()()º90(. </p><p></p><p></p><p>Vtsentsenv )º150(3)º150()1213,2(2  </p><p>197</p><p>2.2 - Diagrama de Impedâncias</p><p>Agora que foram associados ângulos de fase à resistência, à reatância indutiva e à reatância</p><p>capacitiva, essas três grandezas podem ser representadas no plano complexo, como é mostrada na</p><p>figura 4. Em qualquer circuito, a resistência sempre está no semi-eixo positivo do eixo dos reais, a</p><p>reatância indutiva no semi-eixo positivo do eixo dos imaginários e a capacitância no semi-eixo</p><p>negativo do eixo dos imaginários. Como resultado, tem-se um diagrama de impedâncias que pode</p><p>representar os valores individuais e o valor total da impedância de qualquer circuito de corrente</p><p>alternada.</p><p>Fig. 4 - Diagrama de impedâncias.</p><p>Dependendo das características de seus elementos, um circuito pode ter uma impedância total cujo</p><p>ângulo está entre +90º e -90º. Se este ângulo for igual a 0º, diz-se que o circuito é resistivo. Se o</p><p>ângulo for positivo, diz-se que o circuito é indutivo e se for negativo, o circuito é capacitivo.</p><p>No caso de circuitos com um único elemento,</p><p>é claro que o ângulo associado à impedância é o</p><p>mesmo que o associado ao elemento resistivo ou reativo. É importante não esquecer que a</p><p>impedância, como a resistência e a reatância, não é uma grandeza fasorial que representa uma</p><p>função do tempo com um deslocamento de fase particular, mas simplesmente uma “ferramenta”</p><p>muito útil na determinação do módulo e da fase de grandezas associadas com circuitos alternados</p><p>senoidais.</p><p>Uma vez determinada a impedância total de um circuito, seu módulo pode ser usado para</p><p>determinar a intensidade da corrente (com auxílio da definição de resistência) e seu ângulo, para</p><p>determinar a fase de corrente.</p><p>Para qualquer configuração (série, paralelo ou série-paralelo), o ângulo associado à impedância total</p><p>é igual ao ângulo de fase da tensão aplicada em relação à corrente da fonte. Para circuitos indutivos,</p><p>T é positivo, enquanto para circuitos capacitivos T é negativo.</p><p>198</p><p>2.3 - Configuração em Série</p><p>As propriedades gerais dos circuitos em série na figura 5 são as mesmas que as dos circuitos de</p><p>corrente contínua. A impedância total, por exemplo, é a soma das impedâncias individuais:</p><p>NT ZZZZZ  321</p><p>Fig. 5 - Impedâncias em série.</p><p>Exemplo 7: Construa o diagrama de impedâncias para o circuito abaixo e calcule a impedância</p><p>total.</p><p>Solução:</p><p>A impedância da entrada pode ser obtida graficamente a partir do diagrama, escolhendo-se uma</p><p>escala apropriada para os eixos real e imaginário e medindo-se o comprimento do vetor TZ e</p><p>também do ângulo T . Utilizando a álgebra vetorial, obtem-se</p><p> º43,639443,884º90º021 jjXRXRZZZ LLT</p><p>199</p><p>Exemplo 8: Calcule a impedância equivalente do circuito abaixo e desenhe o diagrama de</p><p>impedância.</p><p>Solução:</p><p></p><p></p><p>º43,183246,626)1210(6)(</p><p>º90º90º0321</p><p>jjXXjRZ</p><p>jXjXRXXRZZZZ</p><p>CLT</p><p>CLCLT</p><p>No exemplo anterior existe uma reatância indutiva e uma reatância capacitiva em oposição direta.</p><p>Se no circuito do exercício anterior as reatâncias indutiva e capacitiva tivessem o mesmo módulo, a</p><p>impedância de entrada seria puramente resistiva, ou seja, o circuito estaria em ressonância.</p><p>No caso do circuito de corrente alternada em série da figura 6, que tem duas impedâncias, a corrente</p><p>é a mesma em todos os elementos (como acontece com os circuitos de corrente contínua em série),</p><p>sendo determinada através da definição de resistência.</p><p>200</p><p>Fig. 6 – Circuito CA em série,</p><p>21 ZZZT </p><p>TZ</p><p>V</p><p>I</p><p></p><p></p><p></p><p>Aplicando novamente a definição de resistência, obtem-se a tensão entre os terminais de cada</p><p>elemento do circuito.</p><p></p><p> IZV .11</p><p></p><p> IZV .22</p><p>Pode-se então aplicar a lei de Kirchhoff para tensões do mesmo modo que para circuitos de corrente</p><p>de contínua. Porém, agora o circuito tem grandezas com um módulo e uma fase.</p><p>021 </p><p></p><p>VVV</p><p>21</p><p></p><p> VVV</p><p>201</p><p>A potência fornecida ao circuito será:</p><p>TIVP cos</p><p>Onde T é a diferença de fase entre V e I .</p><p>Agora que foi apresentada uma abordagem geral, será analisada com pormenores a mais simples</p><p>das configurações em série, para mostrar a semelhança com a análise de circuitos de corrente</p><p>contínua. Será usada com frequência, nos circuitos a serem estudados, os números complexos</p><p>º87,36534º13,55543  jej para assegurar que a análise seja a mais clara possível e o</p><p>estudante não se perca em complexidades numéricas. Os problemas propostos no final do capítulo,</p><p>naturalmente, farão com que o estudante adquira farta experiência com quaisquer valores.</p><p>Exemplo 9: Determine:</p><p>(a) A impedância equivalente.</p><p>(b) A corrente complexa.</p><p>(c) O diagrama de impedâncias.</p><p>(d) A tensão complexa RV .</p><p>(e) A tensão complexa LV .</p><p>(f) Comprove que LR VVV</p><p></p><p></p><p>(g) O diagrama de fasores de</p><p></p><p>I , RV</p><p></p><p>, LV</p><p></p><p>,</p><p></p><p>V .</p><p>(h) A potência ativa total fornecida ao circuito.</p><p>(i) O fator de potência do circuito.</p><p>Solução:</p><p>VVtsenv º010042,141 </p><p></p><p></p><p>202</p><p>(a)  º13,5354321 jZZZT</p><p>(b) A</p><p>Z</p><p>V</p><p>I</p><p>T</p><p>º13,5320</p><p>º13,535</p><p>º0100</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>(c)</p><p>(d) VIRVR º13,5360)º13,5320)(3(. </p><p></p><p>(e) VIXV LL º87,3680)º13,5320)(º904(. </p><p></p><p>(f) 4836º13,5360 jVV R </p><p></p><p>486487,3680 jVVL </p><p></p><p>VjjjVVV LR º01000100)4864()4836( </p><p></p><p>(g)</p><p>203</p><p>(h) WIVP TT 1200)6,0()100()20(º13,53cos)20()100(cos  </p><p>WIRPT 1200)20()3( 22 </p><p>º90cos)20()80(º0cos)20()60(coscos  LLRRLRT IVIVPPP </p><p>WPT 120001200 </p><p>Onde R é a diferença de fase entre RV e I e L é a diferença de fase entre LV e I .</p><p>(i) 6,0º13,53coscos T em atraso</p><p>T</p><p>T</p><p>Z</p><p>R</p><p>I</p><p>V</p><p>R</p><p>V</p><p>IR</p><p>IV</p><p>IR</p><p>IV</p><p>P</p><p></p><p>2</p><p>cos </p><p>Observando o diagrama de impedâncias, verifica-se que T é o ângulo associado à impedância que</p><p>aparece na equação anterior, o que mostra mais uma vez que, nos circuitos de corrente alternada em</p><p>série, a fase da impedância ( T ) é igual à diferença de fase entre a tensão e a corrente de entrada.</p><p>Para determinar o fator de potência, basta calcular a razão entre a resistência total e o módulo da</p><p>impedância de entrada.</p><p>6,0</p><p>5</p><p>3</p><p>cos </p><p>T</p><p>T</p><p>Z</p><p>R</p><p> em atraso</p><p>Exemplo 10: Determine:</p><p>(a) A impedância equivalente.</p><p>(b) O diagrama de impedâncias.</p><p>(c) A tensão complexa RV .</p><p>(d) A tensão complexa CV .</p><p>(e) A tensão complexa da fonte.</p><p>(f) O diagrama de fasores de</p><p></p><p>I , RV</p><p></p><p>, CV</p><p></p><p>,</p><p></p><p>V .</p><p>(g) A potência ativa total fornecida ao circuito.</p><p>(h) O fator de potência do circuito.</p><p>(i) As expressões de v , Rv e Cv no domínio do tempo.</p><p>(j) Os gráficos de v , Rv e Cv .</p><p>204</p><p>Solução:</p><p>AItseni º13,535)º13,53(0711,7 </p><p></p><p></p><p>(a)  º13,53108621 jZZZT</p><p>(b)</p><p>(c) VIRVR º13,5330)º13,535)(6(. </p><p></p><p>(d) VIXV CC º87,3640)º13,535)(º908(. </p><p></p><p>(e) 2418º13,5330 jVV R </p><p></p><p>243287,3640 jVVC </p><p></p><p>VjjjVVV CR º050050)2432()2418( </p><p></p><p>205</p><p>(f)</p><p>(g) WIVP TT 150)6,0()5()50()º13,53(cos)5()50(cos  </p><p>WIRPT 150)5()6( 22 </p><p>WIVIVPPP CCRRCRT 1500150)º90(cos)5()40(º0cos)5()30(coscos  </p><p>Onde R é a diferença de fase entre RV e I e C é a diferença de fase entre CV e I .</p><p>(h) 6,0)º13,53(coscos T adiantado</p><p>6,0</p><p>10</p><p>6</p><p>cos </p><p>T</p><p>T</p><p>Z</p><p>R</p><p> adiantado</p><p>(i) Vtsentsenv )(711,70()50(2  </p><p>VtsentsenvR )º13,53(426,42)º13,53()30(2  </p><p>VtsentsenvC )º87,36(569,56)º87,36()40(2  </p><p>(j) A tensão Rv e a corrente i estão em fase e a corrente i está adiantada de 90º em relação a tensão</p><p>Cv .</p><p>206</p><p>Exemplo 11: Determine:</p><p>(a) A impedância equivalente.</p><p>(b) O diagrama de impedâncias.</p><p>(c) A corrente complexa.</p><p>(d) A tensão complexa RV .</p><p>(e) A tensão complexa LV .</p><p>(f) A tensão complexa CV .</p><p>(g) O diagrama de fasores de</p><p></p><p>I , RV</p><p></p><p>, LV</p><p></p><p>, CV</p><p></p><p>,</p><p></p><p>V .</p><p>(h) A potência ativa total fornecida ao circuito.</p><p>(i) O fator de potência do circuito.</p><p>(j) As expressões de i , v , Rv , Lv e Cv no domínio do tempo.</p><p>(k) Os gráficos de v , Rv , Lv e Cv .</p><p>Solução:</p><p>VVtsenv º050711,70 </p><p></p><p></p><p>(a)  º13,53543373321 jjjXjXjRZZZZ CLT</p><p>207</p><p>(b)</p><p>(c) A</p><p>Z</p><p>V</p><p>I</p><p>T</p><p>º13,5310</p><p>º13,535</p><p>º050</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>(d) VIRVR º13,5330)º13,5310)(3(. </p><p></p><p>(e) VIXV LL º87,3670)º13,5310)(º907(. </p><p></p><p>(f) VIXV CC º13,14330)º13,5310)(º903(. </p><p></p><p>(g)</p><p>(h) WIVP TT 300)6,0()10()50(º13,53cos)10()50(cos  </p><p>WIRPT 300)²10()3(2 </p><p>CCLLRRCLRT IVIVIVPPPP  coscoscos </p><p>WPT 30000300)º90(cos)10()30(º90cos)10()70(º0cos)10()30( </p><p>208</p><p>(i) atrasadoFP T 6,0º13,53coscos  </p><p>atrasado</p><p>Z</p><p>R</p><p>FP</p><p>T</p><p>T 6,0</p><p>5</p><p>3</p><p>cos  </p><p>(j) Atsentseni )º13,53(142,14)º13,53()10(2  </p><p>VtsentsenvR )º13,53(426,42)º13,53()30(2  </p><p>VtsentsenvL )º87,36(995,98)º87,36()70(2  </p><p>VtsentsenvC )º13,143(426,42)º13,143()30(2</p><p> </p><p>(k)</p><p>2.4 - Regra dos Divisores de Tensão</p><p>A regra dos divisores de tensão para circuitos de corrente alternada é formalmente idêntica a usada</p><p>nos circuitos de corrente contínua.</p><p>T</p><p>X</p><p>X</p><p>Z</p><p>VZ</p><p>V</p><p></p><p></p><p></p><p>.</p><p>Onde XV</p><p></p><p>é a tensão entre os terminais de um ou mais elementos em série com uma impedância</p><p>total XZ ,</p><p></p><p>V é a tensão total aplicada ao circuito em série e TZ é a impedância total do circuito em</p><p>série.</p><p>209</p><p>Exemplo 12: Usando a regra dos divisores de tensão, calcule a tensão entre os terminais de cada</p><p>elemento do circuito abaixo.</p><p>Solução:</p><p>V</p><p>jXjR</p><p>VR</p><p>V</p><p>C</p><p>R º13,5360</p><p>º13,535</p><p>º0300</p><p>43</p><p>)º0100()3(.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>jjXR</p><p>VX</p><p>V</p><p>C</p><p>C</p><p>C º87,3680</p><p>º13,535</p><p>º90400</p><p>43</p><p>)º0100()º904(.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Exemplo 13: Utilizando a regra dos divisores de tensão, calcule as tensões desconhecidas RV</p><p></p><p>, LV</p><p></p><p>,</p><p></p><p>CV e</p><p></p><p>1V no circuito abaixo.</p><p>Solução:</p><p>V</p><p>jjjXjXjR</p><p>VR</p><p>V</p><p>CL</p><p>R º13,8330</p><p>º13,5310</p><p>º30300</p><p>86</p><p>º30300</p><p>1796</p><p>)º3050()6(.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>V</p><p>XjXjR</p><p>VX</p><p>V</p><p>CL</p><p>L</p><p>L º13,17345</p><p>º13,5310</p><p>º120450</p><p>º13,5310</p><p>)º3050()º909(.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>210</p><p>V</p><p>XjXjR</p><p>VX</p><p>V</p><p>CL</p><p>C</p><p>C º87,685</p><p>º13,5310</p><p>º60850</p><p>º13,5310</p><p>)º3050()º9017(.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>º13,5310</p><p>)º3050()º908(</p><p>º13,5310</p><p>)º3050(.)8(</p><p>º13,5310</p><p>)º3050()179(.)(</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> jjj</p><p>XjXjR</p><p>VXjjX</p><p>V</p><p>CL</p><p>CL</p><p>VV º87,640</p><p>º13,5310</p><p>º60400</p><p>1 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Exemplo 14: Determine:</p><p>(a) A impedância equivalente.</p><p>(b) A corrente complexa.</p><p>(c) A tensão complexa</p><p></p><p>RV .</p><p>(d) A tensão complexa</p><p></p><p>LV .</p><p>(e) A tensão complexa</p><p></p><p>CV .</p><p>(f) O fator de potência do circuito.</p><p>(g) A potência ativa total fornecida ao circuito.</p><p>(h) O diagrama de fasores de</p><p></p><p>I , RV</p><p></p><p>, LV</p><p></p><p>, CV</p><p></p><p>,</p><p></p><p>V .</p><p>(i) Obtenha a soma fasorial de</p><p></p><p>RV ,</p><p></p><p>LV e</p><p></p><p>CV . Mostre que a soma é igual a tensão de entrada</p><p></p><p>V .</p><p>(j) A tensão complexa</p><p></p><p>RV e</p><p></p><p>CV utilizando a regra dos divisores de tensão.</p><p>Solução:</p><p>211</p><p>(a) Combinando os elementos comuns e calculando as reatâncias do indutor e a do capacitor,</p><p>encontra-se:</p><p> 1046TR</p><p>HLT 1,005,005,0 </p><p> 7,37)1,0()377(TL LX </p><p>F</p><p>F</p><p>CT </p><p></p><p>100</p><p>2</p><p>200</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>525,26</p><p>700.37</p><p>10</p><p>)10100()377(</p><p>11 6</p><p>6</p><p>T</p><p>C</p><p>C</p><p>X</p><p></p><p>Redesenhando o circuito e utilizando a notação fasorial:</p><p>(a)  º18,48996,14175,1110525,2670,3710 jjjXjXjRZ CLTT</p><p>(b) A</p><p>Z</p><p>V</p><p>I</p><p>T</p><p>º18,483337,1</p><p>º18,48996,14</p><p>º020</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>(c) VIRVR º18,48337,13)º18,483337,1()10(. </p><p></p><p>(d) VIXV LL º82,4128,50)º18,483337,1()º9070,37(. </p><p></p><p>(e) VIXV CC º18,138376,35)º18,483337,1()º90525,26(. </p><p></p><p>(f) atrasadoFP T 66679,0º18,48coscos  </p><p>atrasado</p><p>Z</p><p>R</p><p>FP</p><p>T</p><p>T 6668,0</p><p>996,14</p><p>10</p><p>cos  </p><p>(g) WIVP TT 786,17)66679,0()3337,1()20(cos  </p><p>212</p><p>(h)</p><p>(i) º18,138376,35º82,4128,50º18,48337,13 </p><p></p><p>CLR VVVV</p><p>º82,41906,14º18,48337,13 </p><p></p><p>V</p><p>VV 20)906,14()337,13( 22</p><p>.</p><p></p><p>VV </p><p></p><p>020</p><p>(j) V</p><p>Z</p><p>VR</p><p>V</p><p>T</p><p>T</p><p>R </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>18,48336,13</p><p>18,48996,14</p><p>0200</p><p>18,48996,14</p><p>)020(10</p><p>.</p><p>V</p><p>Z</p><p>VX</p><p>V</p><p>T</p><p>C</p><p>C </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>18,138376,35</p><p>18,48996,14</p><p>905,530</p><p>18,48996,14</p><p>)020()90525,26(</p><p>213</p><p>3 – Circuitos CA em Paralelo</p><p>3.1 - Admitância e Susceptância</p><p>A discussão dos circuitos de corrente alternada em paralelo será muito semelhante a dos circuitos de</p><p>corrente contínua. Para este últimos, a condutância (G) foi definida como sendo igual a 1/R. A</p><p>condutância total de um circuito em paralelo foi, então, obtida somando as condutâncias de cada</p><p>ramo. A resistência total TR é simplesmente 1/ TG .</p><p>Em circuitos CA, definimos a admitância (Y) como sendo igual a 1/Z. A unidade de admitância no</p><p>sistema SI é o siemens, cujo símbolo é S. A admitância é uma medida de quanto um circuito CA</p><p>admite, ou permite, a passagem de corrente. Assim, quanto maior o seu valor, maior será a corrente</p><p>para a mesma tensão aplicada. Podemos também obter a admitância total de um circuito somando as</p><p>admitâncias em paralelo. A impedância total TZ do circuito será então 1/ TY . Para o circuito da</p><p>figura 7, temos:</p><p>NT YYYYY  321</p><p>Fig. 7 - Circuito CA em paralelo.</p><p>Ou, como Z = 1/Y</p><p>NT ZZZZZ</p><p>11111</p><p>321</p><p> </p><p>Para duas impedâncias em paralelo:</p><p>21</p><p>111</p><p>ZZZT</p><p></p><p>214</p><p>Usando as mesmas manipulações matemáticas empregadas anteriormente para determinar a</p><p>resistência equivalente de dois resistores em paralelo, temos:</p><p>21</p><p>21</p><p>ZZ</p><p>ZZ</p><p>ZT</p><p></p><p></p><p>Para três impedâncias em paralelo:</p><p>313221</p><p>321</p><p>ZZZZZZ</p><p>ZZZ</p><p>ZT</p><p></p><p></p><p>Como ressaltamos no começo dessa seção, a condutância é o inverso da resistência e</p><p>º0</p><p>º0</p><p>11</p><p></p><p></p><p> G</p><p>RZ</p><p>Y</p><p>R</p><p>R</p><p>O inverso da reatância (1/X) é denominada susceptância, e dá uma ideia de quanto uma componente</p><p>é suscetível à passagem de corrente. A susceptância também é medida em siemens e representada</p><p>pela letra maiúscula B.</p><p>No caso dos indutores:</p><p>º90</p><p>1</p><p>º90</p><p>11</p><p></p><p></p><p></p><p>XXZ</p><p>Y</p><p>LL</p><p>L</p><p>Definindo</p><p>L</p><p>L</p><p>X</p><p>B</p><p>1</p><p> BL em siemens, (S)</p><p>Temos º90 LL BY</p><p>Observe que no caso dos indutores um aumento da frequência, ou da indutância resultará em uma</p><p>diminuição da susceptância.</p><p>Para os capacitores:</p><p>º90</p><p>1</p><p>º90</p><p>11</p><p></p><p></p><p></p><p>CCC</p><p>C</p><p>XXZ</p><p>Y</p><p>Definindo</p><p>C</p><p>C</p><p>X</p><p>B</p><p>1</p><p> BC em siemens, (S)</p><p>215</p><p>Temos º90 CC BY</p><p>Assim, no caso dos capacitores, se a frequência ou capacitância aumentar, teremos um aumento da</p><p>susceptância.</p><p>Utilizamos, no caso de circuitos CA em paralelo, o diagrama de admitâncias, com as três</p><p>admitâncias representadas como na figura 8.</p><p>Observe na figura 8 que a condutância (como a resistência) está no semi-eixo positivo do eixo real,</p><p>enquanto as susceptâncias indutiva e capacitiva estão no eixo imaginário, em sentidos opostos.</p><p>Fig. 8 - Diagrama de admitâncias.</p><p>Qualquer que seja a configuração (série, paralelo, série-paralelo, etc.), o ângulo de fase associado à</p><p>admitância total coincide entre a corrente e a tensão. Nos circuitos indutivos</p><p>.</p><p>T é negativo,</p><p>enquanto nos circuitos capacitivos</p><p>.</p><p>T é positivo.</p><p>216</p><p>Exemplo 15: Para o circuito a seguir:</p><p>(a) Calcule as admitâncias dos dois ramos.</p><p>(b) Obtenha a admitância de entrada.</p><p>(c) Encontre a impedância de entrada.</p><p>(d) Construa o diagrama de admitâncias.</p><p>Solução:</p><p>(a) 005,0º005,0º0</p><p>20</p><p>1</p><p>º0</p><p>1</p><p>º0 jSS</p><p>R</p><p>GYR </p><p></p><p></p><p>SjS</p><p>X</p><p>BY</p><p>L</p><p>LL )1,00(º901,0º90</p><p>10</p><p>1</p><p>º90</p><p>1</p><p>º90 </p><p>(b) LLRT jBGSjSSjjSYYY  1,005,0)1,00()005,0(</p><p>(c) </p><p></p><p></p><p></p><p> º43,6393,8</p><p>º43,63112,0</p><p>1</p><p>1,005,0</p><p>11</p><p>SSjSY</p><p>Z</p><p>T</p><p>T</p><p>ou, </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> º43,6393,8</p><p>º57,2636,22</p><p>º90200</p><p>1020</p><p>)º9010()º020(</p><p>jZZ</p><p>ZZ</p><p>Z</p><p>LR</p><p>LR</p><p>T</p><p>(d) O diagrama de admitâncias.</p><p>217</p><p>Exemplo 16: Repita o exemplo 15 para o circuito em paralelo abaixo.</p><p>Solução:</p><p>(a) 02,0º02,0º0</p><p>5</p><p>1</p><p>º0</p><p>1</p><p>º0 jSS</p><p>R</p><p>GYR </p><p></p><p></p><p>SjS</p><p>X</p><p>BY</p><p>L</p><p>LL )125,00(º90125,0º90</p><p>8</p><p>1</p><p>º90</p><p>1</p><p>º90 </p><p>SjS</p><p>X</p><p>BY</p><p>C</p><p>CC 050,00º90050,0º90</p><p>20</p><p>1</p><p>º90</p><p>1</p><p>º90 </p><p></p><p></p><p>(b)</p><p>SSjS</p><p>SjSjjSYYYY CLRT</p><p>56,202136,0075,02,0</p><p>)050,00()125,00()02,0(</p><p></p><p></p><p>(c) </p><p></p><p> º56,2068,4</p><p>º56,202136,0</p><p>1</p><p>S</p><p>ZT</p><p>Ou</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>º56,2068,4</p><p>º56,2088,170</p><p>800</p><p>60160</p><p>800</p><p>10040160</p><p>800</p><p>º90100º0160º9040</p><p>º0800</p><p>)º9020()º05()º9020()º908()º908()º05(</p><p>)º9020()º908()º05(</p><p>jjj</p><p>ZZZZZZ</p><p>ZZZ</p><p>Z</p><p>CRCLLR</p><p>CLR</p><p>T</p><p>218</p><p>d) O diagrama de admitâncias.</p><p>As relações inversas TT ZY /1 e TT YZ /1 tornarão necessário, em várias ocasiões, dividir 1 por</p><p>um número complexo com parte real e imaginária. Se esta divisão não for realizada</p><p>na forma polar,</p><p>será preciso multiplicar o numerador e o denominador pelo complexo conjugado do denominador,</p><p>como no exemplo a seguir:</p><p>Logo SjSYT</p><p>52</p><p>6</p><p>52</p><p>4</p><p></p><p>Para evitar a repetição deste método trabalhoso cada vez que quisermos calcular o inverso de um</p><p>número complexo na forma retangular, vamos deduzir uma fórmula simbólica geral para o inverso</p><p>de um número complexo que representa uma impedância ou uma admitância no primeiro ou no</p><p>quarto quadrante:</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>11</p><p>11</p><p>11</p><p>1111</p><p>11</p><p>bja</p><p>ba</p><p>ba</p><p>bja</p><p>bjabja </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Logo</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>11</p><p>1</p><p>ba</p><p>b</p><p>j</p><p>bja</p><p>a</p><p>bja </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Observe que o denominador é simplesmente a soma dos quadrados das partes real e imaginária.</p><p>Note também a inversão do sinal da parte imaginária. Alguns exemplos ajudarão a se familiarizar</p><p>com o uso desta equação.</p><p>²6²4</p><p>64</p><p>64</p><p>64</p><p>64</p><p>1</p><p>64</p><p>11</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>j</p><p>j</p><p>j</p><p>jjZ</p><p>Y</p><p>T</p><p>T</p><p>219</p><p>Exemplo 17: Calcule as admitâncias dos circuitos em série abaixo.</p><p>(a)</p><p>Solução:</p><p>a)  86 jXjRZ C</p><p>SjSj</p><p>j</p><p>Y</p><p>100</p><p>8</p><p>100</p><p>6</p><p>)²8()²6(</p><p>8</p><p>)²8()²6(</p><p>6</p><p>86</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>(b)</p><p>Solução:</p><p> 9,310)1,0(410 jjjZ</p><p>SjSjj</p><p>jZ</p><p>Y 034,0087,0</p><p>21,115</p><p>9,3</p><p>21,115</p><p>10</p><p>)²9,3()²10(</p><p>9,3</p><p>)²9,3()²10(</p><p>10</p><p>9,310</p><p>11</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>No caso do circuito CA em paralelo típico ilustrado na figura 9, obtemos a impedância ou</p><p>admitância total utilizando o método descrito anteriormente, enquanto a corrente da fonte é</p><p>calculada usando a definição de resistência (generalizada para impedância):</p><p>220</p><p>Fig. 9 - Circuito CA em paralelo.</p><p>T</p><p>T</p><p>EY</p><p>Z</p><p>E</p><p>I </p><p>Como a ddp é a mesma entre os terminais de elementos em paralelo, a corrente em cada ramo pode</p><p>ser obtida usando novamente a definição de resistência:</p><p>1</p><p>1</p><p>1 EY</p><p>Z</p><p>E</p><p>I </p><p>2</p><p>2</p><p>2 EY</p><p>Z</p><p>E</p><p>I </p><p>Podemos agora utilizar a lei de Kirchhoff para correntes, como nos circuitos de corrente contínua.</p><p>Lembre-se, no entanto, de que agora estamos lidando com grandezas que possuem módulo e fase</p><p>(fasores).</p><p>021  III</p><p>Ou 21 III </p><p>A potência fornecida ao circuito é dada por</p><p>TIEP cos</p><p>Onde</p><p>T é a diferença de fase entre E e I.</p><p>Vamos analisar agora alguns exemplos com mais detalhes, já que se trata de um primeiro contato</p><p>com este tipo de problema.</p><p>221</p><p>3.2 - Circuito RL</p><p>Exemplo 18:</p><p>Fig. 10 - Circuito RL em paralelo.</p><p>Notação fasorial: Ilustrada na figura 11.</p><p>Fig. 11 - Aplicação da notação de fasores ao circuito da figura 10.</p><p>SSjS</p><p>SSBGYYY LLRT</p><p>º13,535,04,03,0</p><p>º904,0º03,0º90</p><p>5,2</p><p>1</p><p>º0</p><p>33,3</p><p>1</p><p>º90º0</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> º13,532</p><p>º13,535,0</p><p>11</p><p>SY</p><p>Z</p><p>T</p><p>T</p><p>Diagrama de admitâncias:</p><p>Fig. 12 - Diagrama de admitâncias para o circuito RL em paralelo da figura 10.</p><p>222</p><p>ASVEY</p><p>Z</p><p>E</p><p>I T</p><p>T</p><p>º010)º13,535,0()13,5320( </p><p>ASVGE</p><p>R</p><p>E</p><p>I R º13,536)º03,0()º13,5320()º0()(</p><p>º0</p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p>ASVBE</p><p>X</p><p>E</p><p>I L</p><p>L</p><p>L º87,368)º904,0()º13,5320()º90()(</p><p>º90</p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p>LR III </p><p>010)80,440,6()80,460,3(º010</p><p>º87,368º13,536º010</p><p>jAAjAAjAA</p><p>AAA</p><p></p><p></p><p>Logo, AjA º010010 </p><p>Diagrama de fasores: O diagrama de fasores mostra que a tensão aplicada E está em fase com a</p><p>corrente RI e adiantada de 90º em relação à corrente LI .</p><p>Fig. 13 - Diagrama de fasores para o circuito RL em paralelo da figura 10.</p><p>A potência total fornecida ao circuito é</p><p>WIEP T 12013,53cos1020cos  </p><p>Ou WSVGV</p><p>R</p><p>V</p><p>RIP R</p><p>R</p><p>T 120)3,0()20( 22</p><p>2</p><p>2 </p><p>223</p><p>Ou ainda, finalmente:</p><p>WWAVAVEIEIPPP LRRLRT 1200120º90cos)8()20(º0cos)6()20(coscos  </p><p>O fator de potência deste circuito é</p><p>atrasadoFP T 6,013,53coscos  </p><p>Ou, utilizando um método semelhante ao que usamos para os circuitos CA em série,</p><p>T</p><p>T</p><p>Y</p><p>G</p><p>EI</p><p>G</p><p>I</p><p>GE</p><p>IE</p><p>RE</p><p>IE</p><p>P</p><p>FP </p><p>/</p><p>/</p><p>cos</p><p>2</p><p></p><p>T</p><p>T</p><p>Y</p><p>G</p><p>FP  cos</p><p>Onde G e TY são os módulos da condutância e da admitância totais do circuito em paralelo. Neste</p><p>caso:</p><p>atrasado</p><p>Y</p><p>G</p><p>FP</p><p>T</p><p>T 6,0</p><p>5,0</p><p>3,0</p><p>cos  </p><p>Podemos também obter a corrente I calculando primeiro a impedância total do circuito:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 13,532</p><p>º87,36164,4</p><p>º90325,8</p><p>º905,2º033,3</p><p>)º905,2()º033,3(</p><p>LR</p><p>LR</p><p>T</p><p>ZZ</p><p>ZZ</p><p>Z</p><p>Utilizando agora a definição de resistência (generalizada), obtemos</p><p>A</p><p>V</p><p>V</p><p>Z</p><p>E</p><p>I</p><p>T</p><p>º010</p><p>º13,532</p><p>º13,5320</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>224</p><p>3.3 - Circuito RC</p><p>Exemplo 19:</p><p>Fig. 14 - Circuito RC em paralelo.</p><p>Notação fasorial: Ilustrada na figura 15.</p><p>Fig. 15 - Aplicação da notação de fasores ao circuito da figura 14.</p><p>S</p><p>SjSSSBGYYY CCRT</p><p>º13,530,1</p><p>8,06,0º908,0º06,0º90</p><p>25,1</p><p>1</p><p>º0</p><p>67,1</p><p>1</p><p>º90º0</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> º13,531</p><p>º13,530,1</p><p>11</p><p>SY</p><p>Z</p><p>T</p><p>T</p><p>Diagrama de admitâncias:</p><p>Fig. 16 - Diagrama de admitâncias para o circuito RC em paralelo da figura 14.</p><p>225</p><p>V</p><p>S</p><p>A</p><p>Y</p><p>I</p><p>IZE</p><p>T</p><p>T º13,5310</p><p>13,531</p><p>º010</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>VSVGEIR º13,536)º06,0()º13,5310()º0()(  </p><p>ASVBEI CC º87,368)º908,0()º13,5310()º90()(  </p><p>CR III </p><p>Um resultado que também pode ser obtido (como no caso do circuito RL) através do uso da álgebra</p><p>vetorial.</p><p>Diagrama de fasores: No diagrama de fasores da figura 17, vemos que E está em fase com a</p><p>corrente RI no resistor e adiantada de 90º em relação a corrente no capacitor CI .</p><p>Fig. 17 - Diagrama de fasores para o circuito RC em paralelo da figura 14.</p><p>Domínio do tempo:</p><p>)º13,53(14,14)º13,53()10(2  tsentsene  V</p><p>)º13,53(48,8)º13,53()6(2  tsentseniR  A</p><p>)º87,36(31,11)º87,36()8(2  tsentseniC  A</p><p>Na figura 18, vemos o gráfico de todas as correntes e da tensão em função do tempo. Observe que e</p><p>e Ri estão em fase e que e está atrasada de 90º em relação a Ci .</p><p>226</p><p>Fig. 18 - Formas de onda para o circuito RC em paralelo da figura 14.</p><p>WIEP T 6013,53cos1010cos  </p><p>Ou WSVGEPT 60)6,0()²10(² </p><p>Ou ainda, finalmente,</p><p>WAVAVEIEIPPP CCRRCRT 60º90cos)8()10(º0cos)6()10(coscos  </p><p>O fator de potência deste circuito é</p><p>adiantadoFP T 6,013,53coscos  </p><p>Ou,</p><p>adiantado</p><p>Y</p><p>G</p><p>FP</p><p>T</p><p>T 6,0</p><p>10</p><p>6,0</p><p>cos  </p><p>Podemos também obter a tensão E calculando primeiro a impedância total do circuito:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 19,531</p><p>81,3609,2</p><p>9009,2</p><p>25,167,1</p><p>)9025,1(67,1</p><p>jZR</p><p>ZR</p><p>Z</p><p>C</p><p>C</p><p>T</p><p>Aplicando a definição de resistência:</p><p>VAIZE T º19,5310)º19,531)(º010( </p><p>227</p><p>3.4 - Circuito RLC</p><p>Exemplo 20:</p><p>Fig. 19 - Circuito RLC de CA em paralelo.</p><p>Notação fasorial: Ilustrada na figura 20.</p><p>Fig. 20 - Aplicação da notação de fasores ao circuito da figura 19.</p><p>SSjSSjSjSSSSY</p><p>BBGYYYY</p><p>T</p><p>CLCLRT</p><p>º13,535,04,03,03,07,03,0º903,0º907,0º03,0</p><p>º90</p><p>33,3</p><p>1</p><p>º90</p><p>43,1</p><p>1</p><p>º0</p><p>33,3</p><p>1</p><p>º90º90º0</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> º13,532</p><p>º13,535,0</p><p>11</p><p>SY</p><p>Z</p><p>T</p><p>T</p><p>228</p><p>Diagrama de admitâncias:</p><p>Fig. 21 - Diagrama de admitâncias para o circuito em paralelo RLC da figura 19.</p><p>Fig. 22 - Diagrama de fasores para o circuito em paralelo RLC da figura 19.</p><p>ASVEY</p><p>Z</p><p>E</p><p>I T</p><p>T</p><p>º050)º13,535,0()º13,53100( </p><p>ASVGEIR º13,5330)º03,0()º13,53100()º0()(  </p><p>ASVBEI LL 87,3670)º907,0()º13,53100()º90()(  </p><p>ASVBEI CC º13,14330)º903,0()º13,53100()º90()(  </p><p>CLR IIII </p><p>229</p><p>No diagrama ilustrado na figura 22 vemos que a tensão aplicada E está em fase com a corrente no</p><p>resistor RI , adiantada de 90º em relação à corrente LI no indutor e atrasada de 90º em relação à</p><p>corrente no capacitor, CI .</p><p>Domínio do tempo:</p><p>tsentseni  70,70)50(2  A</p><p>)º13,53(42,42)º13,53()30(2  tsentseniR  A</p><p>)º87,36(98,98)º87,36()70(2  tsentsenil </p><p>)º13,143(42,42)º13,143()30(2</p><p> tsentseniC  A</p><p>Na figura 23, vemos a representação gráfica de todas as correntes e da tensão aplicada, em função</p><p>do tempo.</p><p>A potência total fornecida ao circuito é:</p><p>WIEP T 300013,53cos50100cos  </p><p>Ou, WSVGEPT 3000)3,0()100(² </p><p>Ou ainda</p><p>WAVAVAV</p><p>EIEIEIPPPP CCLLRRCLRT</p><p>3000º90cos)30()100(º90cos)70)(100(º0cos)30)(100(</p><p>coscoscos</p><p></p><p> </p><p>O fator de potência do circuito é:</p><p>atrasadoFP T 6,013,53coscos  </p><p>230</p><p>Fig. 23 - Formas de onda para o circuito em paralelo RLC da figura 19.</p><p>Também podemos determinar a corrente I calculando primeiro a impedância total:</p><p></p><p></p><p> º13,532</p><p>CRCLLR</p><p>CLR</p><p>T</p><p>ZZZZZZ</p><p>ZZZ</p><p>Z</p><p>E em seguida aplicando a definição generalizada de resistência:</p><p>A</p><p>V</p><p>Z</p><p>E</p><p>I</p><p>T</p><p>º050</p><p>º13,532</p><p>º13,53100</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3.5 - Regra dos Divisores de Corrente</p><p>A regra dos divisores de corrente para circuitos CA é formalmente idêntica àquela utilizada em</p><p>circuitos CC. Assim, para dois ramos em paralelo de impedâncias 21 ZeZ , como na figura 24,</p><p>Fig. 24 - Aplicação da regra dos divisores de corrente.</p><p>231</p><p>Exemplo 21: Utilizando a regra dos divisores de corrente, calcule as correntes nas duas impedâncias</p><p>do circuito abaixo.</p><p>Solução:</p><p>A</p><p>AA</p><p>ZZ</p><p>IZ</p><p>I</p><p>LR</p><p>TL</p><p>R º87,3616</p><p>º13,535</p><p>º9080</p><p>º904º03</p><p>)º020()º904(</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>A</p><p>AA</p><p>ZZ</p><p>IZ</p><p>I</p><p>LR</p><p>TR</p><p>L º13,5312</p><p>º13,535</p><p>º060</p><p>13,535</p><p>)º020()º03(</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Exemplo 22: Obtenha, com o auxílio da regra dos divisores de corrente, as correntes nos dois ramos</p><p>do circuito abaixo.</p><p>Solução:</p><p>A</p><p>A</p><p>j</p><p>A</p><p>jj</p><p>A</p><p>ZZ</p><p>IZ</p><p>I</p><p>LRC</p><p>TC</p><p>LR º54,140644,1</p><p>º54,80083,6</p><p>º6010</p><p>¨</p><p>1</p><p>º6010</p><p>812</p><p>)º305)(º902(</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>A</p><p>AAAj</p><p>ZZ</p><p>IZ</p><p>I</p><p>CLR</p><p>TLR</p><p>C</p><p>º33,32625,6</p><p>º54,80083,6</p><p>87,11230,40</p><p>º54,8008,6</p><p>)º305)(º87,8206,8(</p><p>º54,8008,6</p><p>)º305)(81(</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>232</p><p>Exemplo 23: Para o circuito:</p><p>(a) Obtenha TY</p><p>(b) Construa o diagrama de admitâncias.</p><p>(c) Calcule E e LI .</p><p>(d) Calcule o fator de potência e a potência fornecida ao circuito.</p><p>(e) Determine o circuito em série equivalente.</p><p>(f) Calcule E utilizando o circuito equivalente obtido no item (e) e compre com o resultado do item</p><p>(c).</p><p>(g) Calcule a potência fornecida ao circuito equivalente e compare com o resultado do item (d)</p><p>(h) Obtenha o circuito paralelo equivalente a partir do circuito em série obtido no item (e) e calcule</p><p>a admitância total TY . Compare com o resultado do item (a).</p><p>Solução:</p><p>a) Combinando os componentes de mesma espécie e calculando as reatâncias do indutor e do</p><p>capacitor equivalente, temos:</p><p> 840||10TR</p><p>mHmHmHLT 412||6 </p><p>FFFCT  1002080 </p><p> 4)4)(/100( mHsradLX L </p><p> 10</p><p>)100)(/1000(</p><p>11</p><p>FsradC</p><p>X C</p><p></p><p>233</p><p>O circuito aparece redesenhado a seguir, utilizando notação fasorial. A admitância total é dada por:</p><p>S</p><p>SjSSjSjSSSS</p><p>BBGYYYY CLCLRT</p><p>º194,50195,0</p><p>15,0125,01,025,0125,0º901,0º9025,0º0125,0</p><p>º90</p><p>10</p><p>1</p><p>º90</p><p>4</p><p>1</p><p>º0</p><p>8</p><p>1</p><p>º90º90º0</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>L</p><p>T</p><p>T XjRj</p><p>Y</p><p>Z </p><p></p><p> 939,3283,3194,50128,5</p><p>194,50195,0</p><p>11</p><p>(b)</p><p>(c) V</p><p>Y</p><p>I</p><p>ZIE</p><p>T</p><p>T </p><p></p><p></p><p> 194,50538,61</p><p>194,50195,0</p><p>º012</p><p>A</p><p>Z</p><p>E</p><p>Z</p><p>V</p><p>I</p><p>LL</p><p>L</p><p>L </p><p></p><p></p><p> 81,39385,15</p><p>904</p><p>º194,50538,61</p><p>(d) atrasado</p><p>Y</p><p>G</p><p>FP</p><p>T</p><p>T 641,0</p><p>195,0</p><p>125,0</p><p>cos  </p><p>WIEP T 75,472194,50cos12538,61cos  </p><p>234</p><p>(e) LX L  939,3</p><p>mH</p><p>X</p><p>L L 939,3</p><p>1000</p><p>939,3</p><p></p><p></p><p>O circuito em série equivalente é:</p><p>(f) VAIZE T º194,50536,61)º194,50128,5)(º012( </p><p>(g) WARIP 75,427)283,3)²(12(² </p><p>(h) </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 8</p><p>283,3</p><p>)²939,3()²283,3(</p><p>22</p><p>s</p><p>ss</p><p>p</p><p>R</p><p>XR</p><p>R</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 675,6</p><p>939,3</p><p>)²939,3()²283,3(</p><p>22</p><p>s</p><p>ss</p><p>p</p><p>X</p><p>XR</p><p>X</p><p>O circuito em paralelo equivalente é:</p><p>S</p><p>SjSSSBGY LT</p><p>º194,50195,0</p><p>15,025,1º9015,0º025,1º90</p><p>675,6</p><p>1</p><p>º0</p><p>8</p><p>1</p><p>º90º0</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>235</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>1 - Utilizando a álgebra dos números complexos, obtenha a tensão v(t) entre os terminais dos</p><p>componentes dos circuitos abaixo e plote as formas de onda de  e i no mesmo gráfico.</p><p>2 - Calcule a impedância total dos circuitos abaixo. Expresse a resposta nas formas retangular e</p><p>polar e construa o diagrama de impedâncias.</p><p>3. Calcule a impedância total dos circuitos abaixo. Expresse a resposta nas formas retangular e polar</p><p>e construa o diagrama de impedâncias.</p><p>236</p><p>4 - Descubra o tipo e a impedância em ohms dos componentes dos circuitos em série que devem</p><p>estar no interior das caixas nos circuitos abaixo para que as tensões e as correntes sejam as</p><p>indicadas (encontre o circuito em série mais simples que satisfaça ás condições indicadas).</p><p>5 - Para o circuito abaixo:</p><p>(a) Encontre a impedância total TZ na forma polar.</p><p>(b) Construa o diagrama de impedâncias.</p><p>(c) Encontre a corrente I e as tensões RV e LV em forma fasorial.</p><p>(d) Construa o diagrama de fasores para as tensões E, RV , LV e para a corrente I.</p><p>(e) verifique a validade da lei de Kirchhoff para tensões ao longo da malha fechada.</p><p>(f) Calcule a potência média fornecida ao circuito.</p><p>(g) Obtenha o fator de potência do circuito, indicando se ele é atrasado ou adiantado.</p><p>(h) Se a frequência é 60 Hz, encontre expressões senoidais para as tensões e correntes.</p><p>(i) Plote as formas de ondas das tensões e da corrente no mesmo gráfico.</p><p>6. Repita o exercício anterior para o circuito abaixo, substituindo LV por CV nos itens (c) e (d).</p><p>237</p><p>7. Dado o circuito abaixo:</p><p>(a) Determine TZ .</p><p>(b) Obtenha I.</p><p>(c) Calcule LV e RV .</p><p>(d) Encontre P e FP.</p><p>8 - Para o circuito abaixo:</p><p>(a) Encontre a impedância total TZ na forma polar.</p><p>(b) Construa o diagrama de impedâncias.</p><p>(c) Obtenha o valor de X em microfarads e o de L em henries.</p><p>(d) Encontre a corrente I e as tensões LV , RV e CV na forma fasorial.</p><p>(e) Construa o diagrama de fasores para a corrente I e as tensões E, LV , RV e CV .</p><p>(f) Confirme a validade da lei de Kirchhoff para tensões ao longo da malha fechada.</p><p>(g) Calcule a potência média fornecida ao circuito.</p><p>(h) Obtenha o fator de potência do circuito e diga se ele é atrasado ou adiantado.</p><p>(i) Encontre expressões senoidais para as tensões e a corrente.</p><p>(j) Plote as formas de onda das tensões e da corrente no mesmo gráfico.</p><p>238</p><p>9 - Repita o exercício anterior para o circuito abaixo.</p><p>10 - Utilizando as leituras de osciloscópio do circuito abaixo, obtenha o valor da resistência R.</p><p>11 - Utilizando a leitura de corrente feita por um amperímetro e a medida feita com osciloscópio</p><p>indicada no circuito abaixo, determine:</p><p>(a) A indutância L.</p><p>(b) A resistência R.</p><p>12 - Utilizando a leitura do osciloscópio no circuito abaixo, determine a capacitância C.</p><p>239</p><p>13 - Calcule as tensões 1V e 2V para os circuitos abaixo, em forma fasorial, usando a regra dos</p><p>divisores de tensão.</p><p>(a)</p><p>(b)</p><p>14 - Calcule as tensões 1V e 2V para os circuitos abaixo, em forma fasorial usando a regra dos</p><p>divisores de tensão.</p><p>(a)</p><p>(b)</p><p>240</p><p>15 - Para o circuito abaixo:</p><p>(a) Determine I, RV e CV na forma fasorial.</p><p>(b) Calcule o fator de potência total, indicando se é atrasado ou adiantado.</p><p>(c) Obtenha a potência média fornecida ao circuito.</p><p>(d) Construa o diagrama de impedâncias.</p><p>(e) Construa o diagrama de fasores para as tensões E, RV e CV e a corrente I.</p><p>(f) Obtenha as tensões RV e CV usando a regra dos divisores de tensão e compare com os resultados</p><p>do item (a).</p><p>(g) Desenhe o circuito em série equivalente.</p><p>16 - Repita o exercício anterior com o valor da capacitância alterado para 1000 µF.</p><p>17 - O fator de potência da carga em um circuito elétrico é 0,8.</p><p>A carga dissipa 8 kW quando a</p><p>tensão é 200 V. Sabendo que o fator de potência é atrasado, calcule a impedância da carga em</p><p>coordenadas retangulares.</p><p>18 - Encontre o componente ou os componentes em série que devem estar no interior da caixa do</p><p>circuito abaixo, de modo a satisfazer às seguintes condições:</p><p>(a) Potência média fornecida ao circuito: 300 W.</p><p>(b) O circuito tem um fator de potência atrasado.</p><p>241</p><p>19 - Obtenha a admitância e a susceptância total para os circuitos a seguir. Identifique os valores da</p><p>condutância e da susceptância e construa o diagrama de admitâncias.</p><p>20 - Obtenha a admitância e a impedância total para os circuitos abaixo. Identifique os valores da</p><p>condutância e da susceptância e construa o diagrama de admitâncias.</p><p>21 - Para o circuito abaixo:</p><p>(a) Encontre a admitância total pY na forma polar.</p><p>(b) Construa o diagrama de admitâncias.</p><p>(c) Obtenha a tensão E e as correntes RI e LI na forma fasorial.</p><p>(d) Construa o diagrama de fasores para as correntes FI , RI , LI e a tensão E.</p><p>(e) Confirma a validade da lei de Kirchhoff para correntes em um dos nós.</p><p>(f) Calcule a potência média fornecida ao circuito.</p><p>(g) Obtenha o fator de potência do circuito e indique se ele é atrasado ou adiantado.</p><p>(h) Se a frequência é 60 Hz, encontre expressões senoidais para as correntes e para a tensão.</p><p>(i) Plote as tensões e correntes no mesmo gráfico.</p><p>242</p><p>22 - Repita o exercício 21 para o circuito abaixo, substituindo LI por CI nos itens (c) e (d).</p><p>23 - Repita o exercício 21 para o circuito abaixo, substituindo E por FI no item (c).</p><p>24 - Para o circuito abaixo:</p><p>(a) Obtenha a admitância total TY na forma polar.</p><p>(b) Construa o diagrama de admitâncias.</p><p>(c) Encontre o valor de C em microfarads e o de L em henries.</p><p>(d) Obtenha a tensão E e as correntes CI , RI , LI na forma fasorial.</p><p>(e) Construa o diagrama de fasores para as correntes FI , RI , LI , CI e a tensão E.</p><p>(f) Confirme a lei de Kichhoff para correntes em um dos nós.</p><p>(g) Obtenha a potência média fornecida ao circuito</p><p>(h) Calcule o fator de potência e indique se ele é atrasado ou adiantado.</p><p>(i) Encontre expressões senoidais para as correntes e a tensão.</p><p>(j) Plote as formas de onda da tensão e das correntes no mesmo gráfico.</p><p>243</p><p>25 - Repita o exercício 24 para o circuito abaixo.</p><p>26 - Repita o exercício 24 para o circuito abaixo, substituindo e por FI no item (d).</p><p>27 - Calcule as correntes 1I e 2I nos circuitos abaixo, na forma fasorial, utilizando a regra dos</p><p>divisores de corrente.</p><p>(a)</p><p>(b)</p><p>244</p><p>28 – Determine:</p><p>(a) Encontre a impedância total TZ na forma polar.</p><p>(b) Construa o diagrama de impedâncias.</p><p>(c) Obtenha o valor de L em henries.</p><p>(d) Encontre a corrente I e as tensões RV e LV na forma fasorial.</p><p>(e) Construa o diagrama de fasores para a corrente I e as tensões V, RV e LV .</p><p>(f) Obtenha o fator de potência do circuito.</p><p>(g) Calcule a potência média fornecida ao circuito.</p><p>(h) Encontre expressões senoidais para as tensões e a corrente.</p><p>(i) Plote as formas de onda das tensões e da corrente no mesmo gráfico.</p><p>e desse modo abrir</p><p>o circuito, se a corrente exceder um valor predeterminado. Suponha que o material a ser usado em</p><p>um fusível se funda quando a densidade de corrente atinge 440A/cm</p><p>2</p><p>. Que diâmetro de fio</p><p>cilíndrico deveria ser usado para fazer um fusível que limitará a corrente a 0,50A?</p><p>13</p><p>17. Um fio de tungstênio tem uma resistência de 10 a 20ºC. Determine a sua resistência a</p><p>120ºC. Dado:  = 0,0045/ºC.</p><p>18. Um fio de nicromo (uma liga de níquel-cromo-ferro normalmente usada em elementos de</p><p>aquecimento) possui 1,0m de comprimento e 1,0mm</p><p>2</p><p>de área de seção transversal. Ele transporta</p><p>uma corrente de 4A quando uma diferença de potencial de 2V é aplicada entre as suas</p><p>extremidades. Calcule a condutividade  do nicromo.</p><p>19 - Um equipamento elétrico monofásico de 5kW é alimentado por uma fonte de 200 V através de</p><p>um circuito de fio de cobre de 4mm</p><p>2</p><p>. O comprimento máximo desse circuito, em metros, para que</p><p>nele a queda de tensão não ultrapasse 2 %, é de:</p><p>Dado: A resistividade do fio de cobre é de</p><p>m</p><p>mm202,0 </p><p>20 - Têm-se cinco fios condutores F1, F2, F3, F4 e F5, de mesmo material e à mesma temperatura. Os</p><p>fios apresentam comprimento e área de seção transversal conforme tabela abaixo. Sendo R a</p><p>resistência elétrica de F1, podemos afirmar que F2, F3, F4 e F5 têm resistências elétricas,</p><p>respectivamente:</p><p>21 - Um fio cilíndrico de comprimento  e raio de seção reta r apresenta resistência R. Um outro</p><p>fio, cuja resistividade é o dobro da primeira, o comprimento é o triplo, e o raio 3/r , terá resistência</p><p>igual a:</p><p>Fio</p><p>condutor</p><p>Comprimento</p><p>Área de seção</p><p>transversal</p><p>F1 ℓ A</p><p>F2 2ℓ A</p><p>F3 ℓ 2A</p><p>F4 ℓ A/2</p><p>F5 2ℓ A/2</p><p>14</p><p>Respostas:</p><p>(1) (a) 60C; (b) 3,75x10</p><p>20</p><p>elétrons; (2) (a) 27C; (b) 1,6875x10</p><p>20</p><p>elétrons; (3) 6,25x10</p><p>18</p><p>elétrons;</p><p>(4) magnético, químico, fisiológico e térmico (ou joule); (5) (a) 60V; (b) 180W; (c) 3.600J;</p><p>(6) 525kWh; (7) (a) 3,6657; (b) 34,646A; (c) 0,088kWh; (d) 316.800 joules; (e) R$102,96;</p><p>(8) (a) 11; (b) 1,76kWh; (c) 1.320.000 joules; (9) 1,8x10</p><p>-8</p><p>.m; (10) 100V; (11) 1,9635x10</p><p>-8</p><p>.m;</p><p>(12) nula; (13) 18W; (14) 2W; (15) 8,2143x10</p><p>-4</p><p>.m; (16) 0,38037mm; (17) 14,5;</p><p>(18) 2.000.000 mhos/metro; (19) 16m; (20) 2R ; R/2 ; 2R ; 4R; (21) 54R</p><p>15</p><p>CAPÍTULO II – CIRCUITOS ELÉTRICOS DE CORRENTE CONTÍNUA</p><p>II.1 – CIRCUITOS EM SÉRIE</p><p>1. Introdução</p><p>Atualmente, dois tipos de corrente elétrica são usados nos equipamentos elétricos e eletrônicos. Um</p><p>deles é a corrente contínua (CC), cujo fluxo de cargas (corrente) não varia em intensidade e sentido</p><p>com o tempo. O outro é a corrente alternada (CA) senoidal, cujo fluxo de cargas varia</p><p>continuamente em intensidade e sentido com o tempo.</p><p>Uma bateria como a ilustrada na figura 1 tem, em função da diferença de potencial entre seus</p><p>terminais, a capacidade de promover (‘pressionar’) um fluxo de cargas através de um simples</p><p>circuito. O terminal positivo atrai os elétrons do fio com a mesma rapidez com que eles são</p><p>fornecidos pelo terminal negativo. Enquanto a bateria estiver ligada ao circuito e mantendo as suas</p><p>características elétricas, a corrente (CC) através do circuito não terá variações de intensidade nem</p><p>sentido.</p><p>Se considerar o fio como um condutor ideal (isto é, que não se opõe ao fluxo de elétrons), a</p><p>diferença de potencial V entre os terminais do resistor será igual à tensão aplicada pela bateria.</p><p>A corrente é limitada somente pelo resistor R. Quanto maior a resistência, menor a corrente, e vice-</p><p>versa, como determinado pela lei de Ohm.</p><p>Fig. 1 - Componentes básicos de um circuito elétrico.</p><p>Por convenção, o sentido do fluxo convencional da corrente ( alconvencionI ) como indicado na figura</p><p>1, é oposto ao do fluxo de elétrons ( eletrônicoI ). Além disso, o fluxo uniforme de cargas leva a</p><p>concluir que a corrente contínua I é a mesma em qualquer ponto do circuito. Segundo o sentido do</p><p>fluxo convencional, observa-se que há aumento de potencial ao atravessar a bateria (de – para +) e</p><p>uma queda de potencial ao atravessar o resistor (de + para -). Em circuitos de corrente contínua com</p><p>16</p><p>apenas uma fonte de tensão, a corrente convencional sempre passa de um potencial mais baixo para</p><p>um potencial mais alto ao atravessar uma fonte de tensão, como mostra a figura 2.</p><p>Fig. 2 - Sentido convencional da corrente para circuitos CC com uma fonte de tensão.</p><p>Entretanto, o fluxo convencional sempre passa de um potencial mais alto para um potencial mais</p><p>baixo ao atravessar um resistor, qualquer que seja o número de fontes de tensão no mesmo circuito,</p><p>como mostra a figura 3.</p><p>Fig. 3 - Polaridade resultante da passagem de uma corrente I no sentido convencional, através de</p><p>um elemento resistivo.</p><p>2. Circuitos em Série</p><p>Um circuito consiste de um número qualquer de elementos unidos por seus terminais,</p><p>estabelecendo pelo menos um caminho fechado através do qual a carga possa fluir. O circuito visto</p><p>na figura 4(a) possui três elementos, conectados em três pontos (a, b e c), de modo a constituir um</p><p>caminho fechado para a corrente I.</p><p>Fig. 4(a) - Circuito em série Fig. 4 (b) - 1R e 2R não estão em série.</p><p>17</p><p>Dois elementos estão em série se:</p><p> Possuem somente um terminal em comum (isto é, um terminal de um está conectado</p><p>somente a um terminal do outro).</p><p> O ponto comum entre os dois elementos não está conectado a outro elemento percorrido por</p><p>corrente.</p><p>Na figura 4(a), os resistores 1R e 2R estão em série porque possuem apenas o ponto “b” em</p><p>comum. As outras extremidades dos resistores estão conectadas a outros pontos do circuito. Pela</p><p>mesma razão, a bateria U e o resistor 1R estão em série (terminal “a” em comum), e o resistor 2R e</p><p>a bateria U estão em série (terminal “c” em comum). Visto que todos os elementos estão em série, o</p><p>circuito é chamado circuito em série.</p><p>Se o circuito mostrado na figura 4(a) for modificado de modo que um resistor 3R percorrido por</p><p>corrente seja introduzido, conforme ilustra a figura 4(b), os resistores 1R e 2R não estarão mais em</p><p>série porque a segunda parte da definição de elementos em série não será verdadeira.</p><p>Uma característica do circuito em série é que a corrente elétrica é a mesma através de todos</p><p>os elementos ligados no circuito.</p><p>Um ramo do circuito é qualquer parte do circuito que possui um ou mais elementos em série. Na</p><p>figura 4(a), o resistor 1R constitui um ramo do circuito, o resistor 2R , outro, e a bateria U, um</p><p>terceiro.</p><p>A resistência total de um circuito em série é a soma das resistências do circuito.</p><p>Na figura 4(a), por exemplo, a resistência total ( TR ) é igual a 1R + 2R . Observa-se que a resistência</p><p>total é na realidade a resistência ‘vista’ pela bateria quando ela ‘observa’ a combinação de</p><p>elementos em série, conforme ilustra a figura 5.</p><p>Fig. 5 - Resistência ‘vista’ pela fonte.</p><p>18</p><p>Em geral, para determinar a resistência total (ou equivalente) de “N” resistores em série, é aplicada</p><p>a seguinte equação.</p><p>NT RRRRR  ...321</p><p>Para determinar a resistência total de “n” resistores de mesmo valor em série, simplesmente</p><p>multiplica-se o valor de um dos resistores pelo número total de resistores em série, n, ou seja:</p><p>RnRT </p><p>Uma vez conhecida a resistência total, o circuito visto na figura 4(a) pode ser redesenhado segundo</p><p>mostrado na figura 6, revelando claramente que a única resistência que a fonte ‘vê’ é a resistência</p><p>equivalente. Não importa como os elementos estão conectados para estabelecer TR . Desde que o</p><p>valor de TR seja conhecido, a corrente drenada da fonte pode ser determinada usando a lei de Ohm</p><p>da seguinte forma:</p><p>TR</p><p>U</p><p>I </p><p>Fig. 6 – Circuito equivalente.</p><p>Como a tensão “U” é fixa, a intensidade da corrente da fonte depende somente do valor de TR .</p><p>Uma resistência TR elevada resultará em um valor relativamente pequeno de I , enquanto valores</p><p>pequenos de TR resultarão em grandes valores de corrente I .</p><p>19</p><p>O fato de a corrente ser a mesma em todos os elementos do circuito mostrado na figura 4(a) permite</p><p>calcular a tensão entre os terminais de cada resistor usando diretamente a lei de Ohm, ou seja:</p><p>IRU 11 </p><p>IRU 22 </p><p>A potência fornecida a cada resistor pode então ser determinada utilizando qualquer uma das três</p><p>equações, conforme listado a seguir:</p><p>1</p><p>2</p><p>12</p><p>111</p><p>R</p><p>U</p><p>IRIUP </p><p>2</p><p>2</p><p>22</p><p>222</p><p>R</p><p>U</p><p>IRIUP </p><p>N</p><p>N</p><p>NNN</p><p>R</p><p>U</p><p>IRIUP</p><p>2</p><p>2 </p><p>A potência fornecida pela fonte é:</p><p>IUPfornecida </p><p>A potência total fornecida a um circuito resistivo é igual a potência total dissipada pelos elementos</p><p>resistivos, ou seja:</p><p>Nfornecida PPPPP  ...321</p><p>20</p><p>Exemplo 1: No circuito abaixo, determine:</p><p>(a) A resistência total.</p><p>(b) A corrente fornecida pela fonte I .</p><p>(c) As tensões 321, UeUU .</p><p>(d) A potência dissipada por 321, ReRR .</p><p>(e) A potência fornecida pela fonte e a compare com a soma das potências calculadas em (d).</p><p>Solução:</p><p>(a)  8512321 RRRRT</p><p>(b) A</p><p>R</p><p>U</p><p>I</p><p>T</p><p>5,2</p><p>8</p><p>20</p><p></p><p>(c) VIRU 5)5,2)(2(11 </p><p>VIRU 5,2)5,2()1(22 </p><p>VIRU 5,12)5,2)(5(33 </p><p>(d) WIUP 5,12)5,2)(5(11 </p><p>WIRP 5,12)5,2)(2( 22</p><p>11 </p><p>W</p><p>R</p><p>U</p><p>P 5,12</p><p>2</p><p>52</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>1 </p><p>21</p><p>WIUP 25,6)5,2)(5,2(22 </p><p>WIRP 25,6)5,2)(1( 22</p><p>22 </p><p>W</p><p>R</p><p>U</p><p>P 25,6</p><p>1</p><p>5,2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 </p><p>WIUP 25,31)5,2)(5,12(33 </p><p>WIRP 25,31)5,2)(5( 22</p><p>33 </p><p>W</p><p>R</p><p>U</p><p>P 25,31</p><p>5</p><p>5,12 2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>3 </p><p>(e) WIUPT 50)5,2)(20( </p><p>WPPPPT 5025,3125,65,12321 </p><p>Exemplo 2: Determine TR , I e 2U para o circuito mostrado.</p><p>Solução:</p><p>Observe o sentido da corrente, estabelecido pela bateria e a polaridade da queda de tensão entre os</p><p>terminais de 2R determinada pelo sentido da corrente.</p><p> 2577474321 RRRRRT</p><p>22</p><p>Como  7431 RRR , o valor de TR pode ser calculado, também, da seguinte forma:</p><p> 254)7()3(21 RnRRT</p><p>A</p><p>R</p><p>U</p><p>I</p><p>T</p><p>2</p><p>25</p><p>50</p><p></p><p>VIRU 8)2)(4(22 </p><p>Exemplo 3: A resistência total (RT) do circuito é igual a 1500kΩ. Determine:</p><p>(a) A tensão da fonte (U).</p><p>(b) A energia elétrica total (EEL), em joules, se o circuito ficar ligado durante 25h.</p><p>(c) A potência (P1), em µW (microwatt), dissipada em R1.</p><p>Solução:</p><p>321 RRRRT </p><p> kkRRRR T 500)2008001500(321</p><p>(a) VIRU T 9106101500. 63  </p><p>(b) JtIUtPE TEL 86,43600251069... 6  </p><p>(c) WIRP 18)106(10500. 2632</p><p>11  </p><p>23</p><p>3. Fontes de Tensão em Série</p><p>As fontes de tensão podem ser conectadas em série, como mostra a figura 7, para aumentar ou</p><p>diminuir a tensão total aplicada a um sistema. A tensão resultante é determinada somando-se as</p><p>tensões das fontes de mesma polaridade e subtraindo-se as de polaridade oposta. A polaridade</p><p>resultante é aquela para a qual a soma é maior.</p><p>Fig. 7 - Reduzindo fontes de tensão CC em série a uma única fonte.</p><p>Na figura 7(a), por exemplo, as fontes estão todas ‘forçando’ a corrente para a direita, de modo que</p><p>a tensão total é dada por:</p><p>VUUUU 182610321 </p><p>Entretanto, na figura 7(b) a maior ‘força’ é para esquerda, o que resulta em uma tensão total dada</p><p>por:</p><p>VUUUU 8439132 </p><p>24</p><p>4. Lei de Kirchhoff para Tensões</p><p>A lei de Kirchhoff para tensões (LKT) afirma que a soma algébrica das elevações e quedas de</p><p>tensão em uma malha fechada é zero.</p><p>Uma malha fechada é qualquer caminho contínuo que, ao ser percorrido em um sentido a partir de</p><p>um ponto, retorna ao mesmo ponto vindo do sentido oposto, sem deixar o circuito. Seguindo a</p><p>corrente na figura 8, pode-se traçar um caminho contínuo que deixa o ponto “a” através de 1R e</p><p>retorna através de U sem deixar o circuito. Assim, abcda é uma malha fechada. Para poder aplicar a</p><p>lei de Kirchhoff para tensões, a soma das elevações e quedas de potencial precisa ser feita</p><p>percorrendo a malha num certo sentido.</p><p>Fig. 8 - Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões em um circuito série.</p><p>Por convenção, o sentido horário será usado para todas as aplicações da lei de Kirchhoff para</p><p>tensões que se seguem. Entretanto, o mesmo resultado pode ser obtido se o sentido escolhido for o</p><p>anti-horário e a lei for aplicada corretamente.</p><p>Um sinal positivo indica uma elevação de potencial (de – para +), e um sinal negativo, uma queda</p><p>(de + para -). Se seguir a corrente no circuito mostrado na figura 8 a partir do ponto “a”, primeiro</p><p>encontra-se uma queda de potencial 1U (de + para -) entre os terminais de 1R e outra queda 2U</p><p>entre os terminais de 2R . Ao passar pelo interior da fonte, tem-se um aumento de potencial U (de –</p><p>para +) antes de retornar ao ponto “a”.</p><p>0 U</p><p>25</p><p>No circuito da figura 8 usando o sentido horário, seguindo a corrente I e começando no ponto “d”,</p><p>tem-se:</p><p>21</p><p>21 0</p><p>UUU</p><p>UUU</p><p></p><p></p><p>A tensão aplicada a um circuito em série é igual a soma das quedas de tensão nos elementos em</p><p>série.</p><p>A lei de Kirchhoff também pode ser baseada na seguinte fórmula: quedaselevações UU </p><p>A soma das elevações de potencial em uma malha fechada tem de ser igual à soma das quedas de</p><p>potencial.</p><p>Se o circuito fosse estudado no sentido anti-horário, começando no ponto “a”, o resultado seria o</p><p>seguinte:</p><p>21</p><p>12 0</p><p>0</p><p>UUU</p><p>UUU</p><p>U</p><p></p><p></p><p></p><p>A aplicação da lei de Kirchhoff para tensões não precisa seguir um caminho que inclua elementos</p><p>percorridos por corrente. Por exemplo, na figura 9 há uma diferença de potencial entre os pontos</p><p>“a” e “b”, embora os dois pontos não estejam conectados por um elemento percorrido por corrente.</p><p>A aplicação da lei de Kirchhoff para tensões em torno da malha fechada irá resultar em uma</p><p>diferença de potencial de 4V entre os dois pontos. Usando o sentido horário:</p><p>VUxUx 40812 </p><p>Fig. 9 - Demonstração de que pode existir tensão entre dois pontos não-conectados por um condutor</p><p>percorrido por corrente.</p><p>26</p><p>5. Regra do Divisor de Tensão</p><p>Nos circuitos em série a tensão entre os terminais dos elementos resistivos divide-se na mesma</p><p>proporção que os valores de resistência.</p><p>Por exemplo, as tensões entre os terminais dos elementos resistivos mostrados na figura 10 são</p><p>dadas. O maior resistor, de 6Ω, captura a maior parte da tensão aplicada, enquanto o menor resistor,</p><p>3R , fica com a menor. Observa-se também que, como a resistência de 1R é 6 vezes maior que a de</p><p>3R , a tensão entre os terminais de 1R é também 6 vezes maior que entre os terminais de 3R . O fato</p><p>de que a resistência de 2R é 3 vezes maior que a de 1R resulta em uma tensão 3 vezes maior entre</p><p>os terminais de 2R . Finalmente, como a resistência de 1R é o dobro da resistência de 2R , a tensão</p><p>entre os terminais de 1R é o dobro da de 2R . Portanto, em geral, a tensão entre os terminais de</p><p>resistores em série está na mesma razão que suas resistências.</p><p>Fig. 10 - Como a tensão se divide entre elementos resistivos em série.</p><p>Se a resistência de todos os resistores da figura 10 for aumentada na mesma proporção como</p><p>mostrado na figura 11, os valores de tensão permanecerão os mesmos. Em outras palavras, ainda</p><p>que as resistências sejam multiplicadas por um milhão, as tensões continuarão as mesmas. Assim,</p><p>fica claro que é a relação entre os valores dos resistores que conta para a divisão da tensão, e não o</p><p>valor absoluto dos resistores. O valor de corrente no circuito será profundamente afetado pela</p><p>mudança nos valores das resistências da figura 10 para a figura 11, mas os valores de tensão</p><p>permanecerão os mesmos.</p><p>27</p><p>Fig. 11 - A razão entre os valores das resistências determina a</p><p>divisão da tensão em um circuito CC</p><p>em série.</p><p>O método denominado regra dos divisores de tensão, permite calcular às tensões sem determinar</p><p>primeiro a corrente. A regra pode ser deduzida analisando o circuito mostrado na figura 12.</p><p>Fig. 12 - Dedução da regra do divisor de tensão.</p><p>21 RRRT </p><p>TR</p><p>U</p><p>I </p><p>28</p><p>Aplicando a lei de Ohm:</p><p>TT R</p><p>UR</p><p>R</p><p>U</p><p>RIRU 1</p><p>111 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>TT R</p><p>UR</p><p>R</p><p>U</p><p>RIRU 2</p><p>222 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Regra geral:</p><p>T</p><p>x</p><p>x</p><p>R</p><p>UR</p><p>U </p><p>Onde xU é a tensão entre os terminais de xR , U é a tensão aplicada aos elementos em série e TR é</p><p>a resistência total do circuito em série.</p><p>Exemplo 4: Determine a tensão 1U para o circuito mostrado a seguir, utilizando a regra do divisor</p><p>de tensão.</p><p>Solução:</p><p>V</p><p>RR</p><p>UR</p><p>R</p><p>UR</p><p>U</p><p>T</p><p>16</p><p>80</p><p>1280</p><p>6020</p><p>)64)(20(</p><p>21</p><p>11</p><p>1 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>29</p><p>6. Fonte de Tensão e Terra</p><p>Exceto em alguns poucos casos especiais, os sistemas elétricos e eletrônicos são aterrados por</p><p>razões de segurança e para fins de referência. O símbolo que indica a conexão à terra aparece na</p><p>figura 13 com seu valor de potencial definido (zero volt).</p><p>Fig. 13 - Potencial do ponto de terra.</p><p>Se a figura 4(a) fosse redesenhada com a fonte aterrada, pode ter o aspecto mostrado na figura</p><p>14(a), 14(b) ou 14(c). Em qualquer caso, fica entendido que o terminal negativo da bateria e o</p><p>terminal inferior do resistor 2R estão conectados ao potencial do ponto de terra. Embora a figura</p><p>14(c) não mostre nenhuma conexão entre os dois símbolos de terra, supõe-se que tal ligação exista</p><p>para garantir o fluxo contínuo da carga. Se U = 12 V, então o ponto “a” está a um potencial</p><p>positivo de 12 V em relação ao potencial do ponto de terra (0 V) e existem 12 V entre os terminais</p><p>da combinação em série dos resistores 1R e 2R . Se, por exemplo, um voltímetro conectado entre o</p><p>ponto “b” e a terra medir 4 V, então a tensão entre os terminais de 2R é igual a 4 V, com o</p><p>potencial maior em b.</p><p>Fig. 14 - Três formas de mostrar o mesmo circuito CC em série.</p><p>O fato de a tensão ser uma grandeza que é estabelecida entre dois pontos resulta em uma notação de</p><p>duplo índice inferior que define o primeiro índice inferior como correspondente ao ponto de maior</p><p>potencial. Na figura 15(a), os dois pontos que definem a tensão entre os terminais do resistor R são</p><p>representados por “a” e “b”. Como “a” é o primeiro índice em abU , o ponto de “a” deve estar a</p><p>um potencial maior que o ponto “b” para que abU tenha um valor positivo. Se, na verdade, o ponto</p><p>30</p><p>“b” estiver a um potencial maior que o ponto “a”, abU terá um valor negativo, conforme indicado</p><p>na figura 15(b).</p><p>A notação de duplo índice inferior abU especifica o ponto “a” como o de maior potencial. Se este</p><p>não for o caso, um sinal negativo deve ser associado no valor de abU . A tensão abU é a tensão no</p><p>ponto “a” em relação ao ponto “b”.</p><p>Fig. 15 - Definindo o sinal para a notação de duplo índice inferior.</p><p>Se o ponto “b” da notação abU for especificado como o potencial de terra (zero volt), então uma</p><p>notação de subscrito inferior único poderá ser usada para informar a tensão em um ponto em relação</p><p>ao ponto de terra.</p><p>Exemplo 5: Determine a tensão abU .</p><p>Solução:</p><p>VUUU baab 42016 </p><p>Observe que o sinal negativo indica o fato de que o ponto “b” está a um potencial mais elevado que</p><p>o ponto “a”.</p><p>31</p><p>Exemplo 6: Determine a tensão aU .</p><p>Solução:</p><p>baab UUU </p><p>VUUU baba 945 </p><p>Exemplo 7: Determine as tensões bU , cU e acU .</p><p>Solução:</p><p>Começando no potencial da terra (zero volt), subindo até 10V para chegar ao ponto “a” e em</p><p>seguida passa-se por uma queda de potencial de 4V para chegar ao ponto “b”. O resultado é que o</p><p>medidor lerá:</p><p>VUb 6410 </p><p>Se continuar até o ponto “c”, haverá uma queda adicional de 20V, o que dará:</p><p>VUU bc 1420620 </p><p>A tensão acU pode ser obtida usando a equação abaixo.</p><p>VUUU caac 24)14(10 </p><p>32</p><p>7. Resistência Interna das Fontes de Tensão</p><p>Toda fonte de tensão, seja ela um gerador, uma bateria ou uma fonte de alimentação para</p><p>experiências de laboratório como a que é mostrada na figura 16, possui uma resistência interna. O</p><p>circuito equivalente de qualquer fonte de tensão é, portanto, parecido ao mostrado na figura 16(b).</p><p>Fig. 16 - (a) Fontes de tensão CC; (b) circuito equivalente.</p><p>A fonte de tensão ideal não possui resistência interna e sua tensão de saída é U volts com carga</p><p>máxima ou sem carga. Nas fontes reais, figura 17(b)(c), nas quais consideram-se os efeitos devido a</p><p>resistência interna, a tensão de saída será de U volts somente quando a fonte não estiver ligada a</p><p>nenhuma carga ( 0LI ). Quando uma carga for conectada à fonte, figura 17(c), a tensão de saída</p><p>da fonte diminui devido à queda de tensão na resistência interna.</p><p>Fig. 17 - Fonte de tensão: (a) ideal intR = 0; (b) determinação de NLV ; (c) determinação de intR .</p><p>Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões ao circuito fechado da figura 17(c), tem-se:</p><p>0int  LL UIRU</p><p>LL IRUU int</p><p>Se o valor de intR não for conhecido, ele pode ser determinado da seguinte forma:</p><p>L</p><p>L</p><p>I</p><p>UU</p><p>R</p><p></p><p>int</p><p>33</p><p>Exemplo 8: Antes que a carga seja conectada, a tensão de saída da fonte mostrada na figura (a) está</p><p>ajustada para 40 V. Quando uma carga de 500 Ω é conectada, com mostra a figura (b), a tensão de</p><p>saída cai para 36 V. O que aconteceu ao restante da tensão e qual a resistência interna da fonte?</p><p>Solução:</p><p>A diferença de 40V – 36V = 4V aparece entre os terminais da resistência interna da fonte. A</p><p>corrente na carga é:</p><p>AI L 072,0</p><p>500</p><p>36</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 55,55</p><p>072,0</p><p>3640</p><p>int</p><p>L</p><p>L</p><p>I</p><p>UU</p><p>R</p><p>8. Regulação de Tensão</p><p>Para qualquer fonte de tensão, o ideal é que a tensão da saída se mantenha constante, independente</p><p>do valor de corrente, dentro da faixa especificada para a corrente de carga ( LI ). Em outras palavras,</p><p>se uma fonte for ajustada para 12 V, é desejável que ela mantenha essa tensão entre os terminais de</p><p>saída, mesmo que a corrente de carga varia. Uma medida que indica o quanto uma fonte está</p><p>próxima das condições ideais é dada pela característica de regulação de tensão da fonte. Por</p><p>definição, a regulação de tensão de uma fonte entre as condições “sem carga” e em “plena carga” é</p><p>dada pela seguinte equação:</p><p>100100</p><p>arg</p><p>arg</p><p>)%(Re x</p><p>U</p><p>UU</p><p>ac</p><p>acvazio</p><p>Utensãodegulação</p><p>L</p><p>L</p><p>R</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>34</p><p>Em condições ideais LUU  e (UR)% = 0. Portanto, quanto menor a regulação de tensão, melhor,</p><p>pois será menor a variação da tensão de saída de uma fonte quando a carga varia.</p><p>Pode ser mostrado, por meio de uma breve substituição que a regulação também pode ser expressa</p><p>na forma:</p><p>100%)( int </p><p>L</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>U</p><p>Em outras palavras, quanto menor for a resistência interna de uma fonte, menor será sua regulação e</p><p>mais ela se aproximará de uma fonte ideal.</p><p>Exemplo 9: Calcule a regulação de tensão de uma fonte com VU 24 e  1,0intR , alimentando</p><p>uma carga  5LR .</p><p>Solução:</p><p>%2100</p><p>5</p><p>1,0</p><p>100)%( int </p><p>L</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>U</p><p>Outra forma de resolução:</p><p>A</p><p>RR</p><p>U</p><p>I</p><p>L</p><p>L 7059,4</p><p>51,0</p><p>24</p><p>int</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>VIRU LLL 529,23)7059,4()5( </p><p>%2100</p><p>529,23</p><p>471,0</p><p>100</p><p>529,23</p><p>529,2324</p><p>100)%( </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>L</p><p>L</p><p>R</p><p>U</p><p>UU</p><p>U</p><p>35</p><p>II.2 – CIRCUITOS EM PARALELO</p><p>1. Elementos em Paralelo</p><p>Dois elementos ou ramos ou circuitos estão conectados em paralelo quando possuem dois pontos</p><p>em comum.</p><p>Na figura 1, por exemplo, os elementos 1 e 2 têm terminais “a” e “b” em comum; portanto, eles</p><p>estão em paralelo.</p><p>Fig. 1 - Elementos em paralelo.</p><p>Na figura 2 todos os elementos estão em paralelo porque satisfazem o critério anteriormente citado.</p><p>Essas três configurações têm o objetivo de ilustrar como os circuitos em paralelo podem</p><p>ser</p><p>desenhados.</p><p>Fig. 2 - Diferentes aparências para uma configuração com três elementos em paralelo.</p><p>36</p><p>Na figura 3, os elementos 1 e 2 estão em paralelo porque têm os terminais “a” e “b” em comum, e</p><p>esta combinação está em série com o elemento 3.</p><p>Fig.3 - O elemento 1 está em paralelo com o elemento 2. O elemento 3 está em série com a</p><p>combinação em paralelo de 1 e 2.</p><p>Na figura 4, os elementos 1 e 2 estão em série devido ao ponto comum “a”, e esta combinação em</p><p>série está em paralelo com o elemento 3, como evidenciam as conexões comuns aos pontos “b” e</p><p>“c”.</p><p>Fig. 4 - O elemento 1 está em série com o elemento 2. Esta associação de 1 com 2 está em paralelo</p><p>com o elemento 3.</p><p>Nas figuras 1 a 4, os retângulos numerados foram usados como símbolos genéricos representando</p><p>um resistor, ou uma bateria, ou mesmo circuitos complexos.</p><p>37</p><p>2. Circuitos em Paralelo</p><p>O circuito mostrado na figura 5 é o mais simples dos circuitos em paralelo. Os terminais “a” e “b”</p><p>são comuns a todos os elementos.</p><p>Fig. 5 - Circuito em Paralelo.</p><p>Como os terminais da bateria estão diretamente ligados aos terminais de 21 ReR , é óbvio que as</p><p>tensões obtidas entre os terminais destes elementos em paralelo são iguais.</p><p>Fazendo uso deste fato, tem-se:</p><p>UUU  21</p><p>11</p><p>1</p><p>1</p><p>R</p><p>U</p><p>R</p><p>U</p><p>I </p><p>22</p><p>2</p><p>2</p><p>R</p><p>U</p><p>R</p><p>U</p><p>I </p><p>Para circuitos em paralelo com apenas uma fonte, a corrente fornecida pela fonte ( TI ) é igual à</p><p>soma das correntes em cada um dos ramos do circuito. Logo, a corrente fornecida pela fonte é:</p><p>21 IIIT </p><p>21 R</p><p>U</p><p>R</p><p>U</p><p>R</p><p>U</p><p>T</p><p></p><p>38</p><p>A potência dissipada pelos resistores e a potência fornecida pela fonte podem ser obtidas da</p><p>seguinte maneira:</p><p>1</p><p>2</p><p>12</p><p>11111 ..</p><p>R</p><p>U</p><p>IRIUP </p><p>2</p><p>2</p><p>22</p><p>22222 ..</p><p>R</p><p>U</p><p>IRIUP </p><p>21</p><p>2</p><p>2.. PP</p><p>R</p><p>U</p><p>IRIUP</p><p>T</p><p>TTTT </p><p>3. Resistência Equivalente</p><p>Fig. 6 - Determinação da resistência total (ou equivalente) para resistências em paralelo.</p><p>NT IIIII ...321 </p><p>N</p><p>N</p><p>T R</p><p>U</p><p>R</p><p>U</p><p>R</p><p>U</p><p>R</p><p>U</p><p>R</p><p>U</p><p> ...</p><p>3</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>NUUUUU  ...321</p><p>NT RRRRR</p><p>1</p><p>...</p><p>1111</p><p>321</p><p></p><p>Para dois resistores diferentes em paralelo:</p><p>21</p><p>21</p><p>21 .</p><p>111</p><p>RR</p><p>RR</p><p>RRRT</p><p></p><p></p><p>21</p><p>21 .</p><p>RR</p><p>RR</p><p>RT</p><p></p><p></p><p>39</p><p>Para “ n ” resistores iguais a “R” em paralelo:</p><p>n</p><p>R</p><p>RT </p><p>A resistência total de um conjunto de resistores em paralelo é sempre menor que a do resistor de</p><p>menor resistência. Além disso, quanto maior for a diferença entre os valores das resistências de dois</p><p>resistores em paralelo, mais o valor da resistência equivalente será próximo do valor da menor</p><p>resistência. Por exemplo, a resistência total para um resistor de 3Ω em paralelo com um de 6Ω vale</p><p>2Ω. Entretanto, a resistência total de um resistor de 3Ω em paralelo com um de 60Ω é de 2,857Ω.</p><p>4. Condutância Equivalente</p><p>A condutância é o inverso da resistência. A unidade de condutância é o siemens (S) ou mho</p><p>(inverso de ohms).</p><p>R</p><p>G</p><p>1</p><p></p><p>No caso de elementos em paralelo, a condutância total é a soma das condutâncias individuais. Ou</p><p>seja, para o circuito em paralelo visto na figura 7, pode-se representar:</p><p>NT GGGGG  ...321</p><p>Fig. 7 - Determinação da condutância total para circuito em paralelo.</p><p>Quanto maior a condutância total, maior é a intensidade da corrente total no circuito (mantendo</p><p>constante a tensão aplicada). Quanto maior for o número de elementos em paralelo, maior será a</p><p>corrente de entrada do circuito. Em outras palavras, à medida que aumenta o número de resistores</p><p>em paralelo, a corrente na entrada do circuito também aumenta, para uma tensão de entrada</p><p>constante. Este efeito é oposto ao que acontece no caso dos resistores em série.</p><p>40</p><p>Exemplo 1: Determine a condutância e a resistência equivalente no circuito abaixo.</p><p>Solução:</p><p>SGGGT 5,0167,0333,0</p><p>6</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>21 </p><p> 2</p><p>5,0</p><p>11</p><p>T</p><p>T</p><p>G</p><p>R Ou, </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 2</p><p>63</p><p>63.</p><p>21</p><p>21</p><p>RR</p><p>RR</p><p>RT</p><p>Ou, </p><p></p><p> 2</p><p>2</p><p>1</p><p>6</p><p>3</p><p>6</p><p>12</p><p>1</p><p>6</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>1111</p><p>21</p><p>T</p><p>T</p><p>R</p><p>RRR</p><p>Exemplo 2: Determine a condutância e a resistência totais do circuito mostrado no exemplo</p><p>anterior, se um resistor adicional de 10 Ω for colocado em paralelo com outros elementos.</p><p>Solução:</p><p>SGT 6,01,05,0</p><p>10</p><p>1</p><p>5,0   667,1</p><p>6,0</p><p>11</p><p>T</p><p>T</p><p>G</p><p>R</p><p>Observa-se que a adição de mais resistores em paralelo, aumenta-se a condutância e diminui-se a</p><p>resistência.</p><p>Exemplo 3: Determine a resistência total para o circuito abaixo.</p><p>41</p><p>Solução:</p><p>20</p><p>19</p><p>20</p><p>4510</p><p>4</p><p>5</p><p>1</p><p>5</p><p>4</p><p>1</p><p>10</p><p>2</p><p>11111</p><p>321</p><p></p><p></p><p></p><p>RRRRT</p><p> 0526,1</p><p>19</p><p>20</p><p>TR</p><p>Exemplo 4: Determine a resistência equivalente de cada circuito.</p><p>(a)</p><p>Solução:</p><p> 4</p><p>3</p><p>12</p><p>n</p><p>R</p><p>RT</p><p>(b)</p><p>Solução:</p><p>RRRRR  4321</p><p> 5,0</p><p>4</p><p>2</p><p>n</p><p>R</p><p>RT</p><p>42</p><p>Exemplo 5: Calcule a resistência total do circuito.</p><p>Solução:</p><p>O circuito foi redesenhado de modo mais conveniente:</p><p> 2</p><p>3</p><p>6'</p><p>n</p><p>R</p><p>RT</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 8</p><p>81</p><p>648</p><p>729</p><p>729.</p><p>42</p><p>42"</p><p>RR</p><p>RR</p><p>RT</p><p>"' || TTT RRR </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 6,1</p><p>10</p><p>16</p><p>82</p><p>82.</p><p>"'</p><p>"'</p><p>TT</p><p>TT</p><p>T</p><p>RR</p><p>RR</p><p>R</p><p>43</p><p>Exemplo 6: Determine a resistência total para cada circuito:</p><p>(a)</p><p>Solução:</p><p> 15</p><p>2</p><p>30</p><p>30||30 TR</p><p>(b) Qual o efeito no valor da resistência total do circuito do item (a) se acrescentarmos um resistor</p><p>de mesmo valor?</p><p>Solução:</p><p> 10</p><p>3</p><p>30</p><p>30||30||30 TR</p><p>O valor de TR diminui em relação ao circuito do item (a).</p><p>44</p><p>(c) Qual o efeito no valor da resistência total do circuito do item (a) se acrescentarmos um resistor</p><p>de valor grande em paralelo, conforme mostra a figura abaixo?</p><p>Solução:</p><p></p><p></p><p></p><p> 778,14</p><p>100015</p><p>100015</p><p>1||151||30||30 TRkk</p><p>Pequena diminuição no valor de TR , em comparação ao valor de RT do circuito do item (a).</p><p>(d) Qual o efeito sobre a resistência total do circuito do item (a) se acrescentarmos um resistor de</p><p>valor pequeno em paralelo, conforme figura abaixo?</p><p>Solução:</p><p></p><p></p><p></p><p> 099338,0</p><p>1,015</p><p>1,015</p><p>1,0||151,0||30||30 TR</p><p>Diminuição considerável no valor de TR , em comparação ao valor de RT do circuito do item (a).</p><p>Conclusão: Em todos os casos, a resistência total de um circuito em paralelo diminui quando é</p><p>adicionado um resistor em paralelo, não importando o valor de sua resistência. Observa-se, também,</p><p>que a resistência total é menor que a resistência de menor valor do circuito.</p><p>45</p><p>Exemplo 7: Determine:</p><p>(a) A resistência equivalente.</p><p>(b) A corrente total TI .</p><p>(c) As correntes 1I e 2I .</p><p>(d) A potência dissipada em cada resistor.</p><p>(e) A potência fornecida pela fonte comparando o resultado com a potência dissipada pelos</p><p>resistores.</p><p>Solução:</p><p>(a) </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 6</p><p>27</p><p>162</p><p>189</p><p>189.</p><p>21</p><p>21</p><p>RR</p><p>RR</p><p>RT</p><p>(b) A</p><p>R</p><p>U</p><p>I</p><p>T</p><p>T 5,4</p><p>6</p><p>27</p><p></p><p>(c) A</p><p>R</p><p>U</p><p>R</p><p>U</p><p>I 3</p><p>9</p><p>27</p><p>11</p><p>1</p><p>1 </p><p>A</p><p>R</p><p>U</p><p>R</p><p>U</p><p>I 5,1</p><p>18</p><p>27</p><p>22</p><p>2</p><p>2 </p><p>(d) WIUIUP 81327.. 1111 </p><p>WIUIUP 5,405,127.. 2222 </p><p>(e) WIUP TT 5,1215,427. </p><p>WPPPT 5,1215,408121 </p><p>46</p><p>Exemplo 8: A resistência equivalente do circuito é igual a 4, determine:</p><p>(a) A resistência 3R .</p><p>(b) A tensão da fonte U.</p><p>(c) A corrente total TI .</p><p>(d) A corrente 2I .</p><p>(e) A potência dissipada em R2.</p><p>Solução:</p><p>(a)</p><p>3321</p><p>1</p><p>20</p><p>1</p><p>10</p><p>1</p><p>4</p><p>11111</p><p>RRRRRT</p><p></p><p></p><p></p><p> 10</p><p>2</p><p>20</p><p>20</p><p>2</p><p>20</p><p>125</p><p>1</p><p>20</p><p>1</p><p>2</p><p>10</p><p>1</p><p>5</p><p>4</p><p>11</p><p>3</p><p>3</p><p>R</p><p>R</p><p>(b) VIRUU 40410. 111 </p><p>(c) A</p><p>R</p><p>U</p><p>I</p><p>T</p><p>T 10</p><p>4</p><p>40</p><p></p><p>(d) A</p><p>R</p><p>U</p><p>R</p><p>U</p><p>I 2</p><p>20</p><p>40</p><p>22</p><p>2</p><p>2 </p><p>(e) WIRP 80)2(20. 22</p><p>222 </p><p>47</p><p>5. Lei de Kirchhoff para Corrente</p><p>A lei de Kirchhoff para a tensão dá uma relação muito importante entre os valores da tensão ao</p><p>longo de uma malha fechada de um circuito. A lei de Kirchhoff para corrente (LKC) fornece uma</p><p>relação igualmente importante entre as corrente</p><p>que chegam a qualquer nó.</p><p>A lei de Kirchhoff para corrente (LKC) afirma que “a soma algébrica das correntes que entram e</p><p>saem de um nó é igual a zero”. Em outras palavras, a “soma das corrente que entram em um nó tem</p><p>de ser igual à soma das correntes que deixam este nó”.</p><p>Em forma de equação, tem-se: saementram II </p><p>Fig. 8 - Ilustração da lei de Kirchhoff para corrente.</p><p>Na figura 8, por exemplo, a área sombreada pode representar um sistema completo, um circuito</p><p>complicado ou simplesmente uma junção de dois ou mais ramos (um nó). Em qualquer dos casos, a</p><p>soma das correntes que entram é igual à soma das corrente que saem, conforme pode ser verificado</p><p>facilmente:</p><p>AA</p><p>IIII</p><p>1212</p><p>10284</p><p>3241</p><p></p><p></p><p></p><p>48</p><p>A aplicação mais comum desta lei será em junções de dois ou mais caminhos (ramos) para a</p><p>corrente, conforme é mostrado na figura 9.</p><p>Fig. 9 - Demonstração da lei de Kirchhoff para corrente.</p><p>Aplicando a lei de Kirchhoff para corrente ao nó da figura 9:</p><p>saementram II </p><p>426 </p><p>AA 66 </p><p>Exemplo 9: Determine as correntes 43 IeI no circuito abaixo usando a lei de Kirchhoff para</p><p>corrente.</p><p>Solução:</p><p>Deve-se trabalhar primeiro com o nó “a”, pois neste caso a única incógnita é 3I . Na junção “b”</p><p>existem duas correntes desconhecidas, I3 e I5, que não podem obviamente serem determinadas a</p><p>partir de uma única aplicação da lei.</p><p>49</p><p>Em “a”:</p><p>saementram II </p><p>321 III </p><p>332 I</p><p>AI 53 </p><p>Em “b”:</p><p>saementram II </p><p>453 III </p><p>415 I</p><p>AI 64 </p><p>Exemplo 10: Determine 5431 ,, IeIII para o circuito abaixo.</p><p>Solução:</p><p>Em “a”: saementram II </p><p>21 III </p><p>45 1  I</p><p>AI 1451 </p><p>Em “b”: saementram II </p><p>AII 131 </p><p>50</p><p>Um resultado esperado, pois 31 ReR estão em série, sendo que a corrente em elementos em série é</p><p>igual.</p><p>Em “d”: saementram II </p><p>543 III </p><p>AI 541 5 </p><p>Em “c”:</p><p>AII 442 </p><p>Considera-se o circuito como um todo. Observa-se que a corrente que entra é I = 5 A. A intensidade</p><p>da corrente que deixa o circuito, à direita, é AI 55  . Os dois valores têm de ser iguais, já que a</p><p>corrente que entra em qualquer sistema tem de ser igual à corrente que sai do sistema.</p><p>Exemplo 11: Determine as correntes 53 IeI aplicando a lei de Kirchhoff para corrente.</p><p>Solução:</p><p>51</p><p>Visto que na junção “b” há duas quantidades desconhecidas e na junção “a” apenas uma, tem que</p><p>se aplicar a lei de Kirchhoff para corrente primeiro ao nó “a”. O resultado pode então ser aplicado</p><p>ao nó “b”:</p><p>Para o nó “a”:</p><p>321 III </p><p>334 I AI 73 </p><p>Para o nó “b”:</p><p>543 III </p><p>517 I</p><p>AI 6175 </p><p>Exemplo 12: Encontre o valor e o sentido das correntes 7643 ,, IeIII no circuito mostrado.</p><p>Solução:</p><p>Embora os elementos não estejam em série nem em paralelo, pode-se aplicar a lei de Kirchhoff para</p><p>corrente para determinar todas as correntes desconhecidas.</p><p>52</p><p>Considerando o sistema em sua totalidade, sabe-se que a corrente que entra deve ser igual à corrente</p><p>que sai. Portanto: AII 1017 </p><p>Como estão chegando 10A à junção “a” e 12A estão deixando esta mesma junção, 3I tem de estar</p><p>fornecendo corrente a este nó.</p><p>Aplicando a lei de Kirchhoff para corrente na junção “a”:</p><p>AI</p><p>I</p><p>III</p><p>21012</p><p>1210</p><p>3</p><p>3</p><p>231</p><p></p><p></p><p></p><p>No caso do nó “b”, como 12A estão entrando e 8A saindo, logo 4I , também, deve sair deste ponto.</p><p>Portanto:</p><p>812 4</p><p>542</p><p></p><p></p><p>I</p><p>III</p><p>AI 48124 </p><p>Na junção “c”, tem-se AI 23  saindo e 4I = 4A entrando; logo 6I deve estar saindo. Aplicando a</p><p>lei de Kirchhoff para a corrente ao nó “c”:</p><p>AI</p><p>I</p><p>III</p><p>224</p><p>24</p><p>6</p><p>6</p><p>634</p><p></p><p></p><p></p><p>Verifica-se a consistência dos resultados na junção “d”:</p><p>AA</p><p>A</p><p>III</p><p>1010</p><p>1028</p><p>765</p><p></p><p></p><p></p><p>53</p><p>6. Regra do Divisor de Corrente</p><p>Conforme o nome sugere, a regra do divisor de corrente mostra que uma corrente que entra em um</p><p>conjunto de elementos em paralelos se dividirá entre esses elementos.</p><p>No caso de dois elementos em paralelo com resistências iguais, a corrente se dividirá igualmente.</p><p>Se os elementos em paralelo tiverem resistências diferentes, o elemento de menor resistência será</p><p>percorrido pela maior fração da corrente.</p><p>A razão entre os valores das correntes nos dois ramos será inversamente proporcional a razão entre</p><p>as suas resistências.</p><p>Por exemplo, se a resistência de um dos resistores de uma combinação em paralelo for o dobro da</p><p>resistência do outro, então a corrente que o atravessa será a metade da corrente que percorre o</p><p>resistor de menor resistência.</p><p>Na figura 10, como 1I vale 1 mA e o valor de 1R é seis vezes o de 3R , a corrente através de 3R</p><p>tem de ser 6mA (não havendo necessidade de se efetuar quaisquer outros cálculos). No caso de 2R</p><p>a corrente tem de ser 2mA, pois 1R é o dobro de 2R . A corrente total, 321 III  , é de 9mA.</p><p>Portanto, conhecendo somente a corrente que percorre 1R , é possível calcular todas as outras</p><p>correntes no circuito, sem ter conhecimento adicional sobre o circuito.</p><p>No caso de circuitos para os quais são conhecidos somente os valores dos resistores e a corrente de</p><p>entrada, deve-se utilizar a regra do divisor de corrente para calcular as correntes nos vários ramos.</p><p>Fig. 10 - Ilustração da forma como a corrente se divide entre resistências diferentes.</p><p>54</p><p>Fig. 11 - Dedução da regra do divisor de corrente.</p><p>A corrente de entrada )( TI é dada por TRU / , em que TR é a resistência total do circuito.</p><p>Substituindo esta expressão para xx IRU  , em que xI é a corrente que atravessa o ramo de</p><p>resistência xR , a fórmula geral para a regra do divisor de corrente é obtida da seguinte forma:</p><p>T</p><p>xx</p><p>T</p><p>T</p><p>R</p><p>IR</p><p>R</p><p>U</p><p>I </p><p>T</p><p>x</p><p>T</p><p>x I</p><p>R</p><p>R</p><p>I </p><p>Descrevendo em palavras, a corrente que percorre qualquer dos ramos em paralelo é igual ao</p><p>produto da resistência total do circuito pela corrente de entrada, dividido pelo valor da resistência</p><p>no ramo em que se deseja determinar a corrente.</p><p>Para a corrente 1I :</p><p>T</p><p>T I</p><p>R</p><p>R</p><p>I</p><p>1</p><p>1 </p><p>Para a corrente 2I :</p><p>T</p><p>T I</p><p>R</p><p>R</p><p>I</p><p>2</p><p>2 </p><p>E assim por diante.</p><p>55</p><p>No caso particular de dois resistores em paralelo como mostra a figura 12:</p><p>Fig. 12 - Dedução de uma fórmula para a divisão da corrente entre dois resistores em paralelo.</p><p>21</p><p>21</p><p>RR</p><p>RR</p><p>RT</p><p></p><p></p><p>1</p><p>21</p><p>21</p><p>1</p><p>1</p><p>R</p><p>I</p><p>RR</p><p>RR</p><p>I</p><p>R</p><p>R</p><p>I</p><p>T</p><p>T</p><p>T </p><p></p><p>21</p><p>2</p><p>1</p><p>RR</p><p>IR</p><p>I T</p><p></p><p></p><p>Analogamente para 2I :</p><p>21</p><p>1</p><p>2</p><p>RR</p><p>IR</p><p>I T</p><p></p><p></p><p>Ou seja, no caso de dois ramos em paralelo, a corrente através de um deles é igual ao produto da</p><p>resistência no outro ramo pela corrente de entrada, dividido pela soma dos valores das duas</p><p>resistências em paralelo.</p><p>56</p><p>Exemplo 13: Determine a corrente 2I usando a regra do divisor de corrente.</p><p>Solução:</p><p>A</p><p>RR</p><p>IR</p><p>I T 2</p><p>3</p><p>6</p><p>12000</p><p>)6()4000(</p><p>80004000</p><p>)6)(4000(</p><p>21</p><p>1</p><p>2 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Exemplo 14: Determine o valor da corrente 1I usando a regra do divisor de corrente.</p><p>Solução: Existem dois métodos para resolver este problema.</p><p>1º Método:</p><p>48</p><p>11</p><p>48</p><p>128</p><p>1</p><p>48</p><p>1</p><p>2</p><p>24</p><p>1</p><p>8</p><p>6</p><p>11</p><p></p><p></p><p></p><p>TR</p><p> 6363,4</p><p>11</p><p>48</p><p>TR</p><p>Logo: mAmAI</p><p>R</p><p>R</p><p>I T</p><p>T 545,30)42(</p><p>6</p><p>3636,4</p><p>1</p><p>1 </p><p></p><p></p><p></p><p>2º Método:</p><p></p><p></p><p></p><p> 16</p><p>4824</p><p>4824</p><p>48||24 mA</p><p>mA</p><p>I 545,30</p><p>616</p><p>)42(16</p><p>1 </p><p></p><p></p><p></p><p>Os dois métodos forneceram, é claro, a mesma resposta. E tem-se agora uma opção para resolver</p><p>problemas que envolvam mais de dois resistores em paralelo.</p><p>57</p><p>A corrente sempre procura o caminho de menor resistência.</p><p>1) Para dois resistores em paralelo a maior corrente passará através do resistor de menor resistência.</p><p>2) Uma corrente que entra em uma configuração de vários resistores em paralelo se divide entre</p><p>estes resistores na razão inversa dos valores de suas resistências. Esse efeito é ilustrado a seguir.</p><p>Fig. 13 -</p><p>Divisão da corrente entre ramos em paralelo.</p><p>58</p><p>II.3 – CIRCUITOS EM SÉRIE-PARALELO</p><p>Circuitos em série-paralelo, também chamados mistos, são os que contêm componentes ligados em</p><p>série e em paralelo.</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>1) Determine:</p><p>(a) A resistência equivalente.</p><p>(b) A corrente elétrica IT , I1 e I2.</p><p>(c) A queda de tensão em cada resistor.</p><p>(d) A potência dissipada em cada resistor.</p><p>(e) A energia elétrica total consumida pelo circuito, em kWh, se ficar ligado durante 10h.</p><p>2) Determine:</p><p>(a) A resistência equivalente.</p><p>(b) A corrente elétrica IT , I1 e I2, em mA.</p><p>(c) A queda de tensão em cada resistor.</p><p>(d) A potência dissipada em cada resistor, em mW.</p><p>(e) A energia elétrica total consumida pelo circuito, em quilojoules (kJ), se ficar ligado durante 2h.</p><p>59</p><p>3) Determine:</p><p>(a) A resistência equivalente, em MΩ.</p><p>(b) A corrente elétrica total (IT), em A.</p><p>(c) A queda de tensão em R1 (U1).</p><p>(d) A corrente elétrica em R2 (I2), em A.</p><p>(e) A queda de tensão em R5 (U5).</p><p>(f) A corrente elétrica em R4 (I4), em A.</p><p>(g) A potência total consumida, em mW.</p><p>(h) A energia elétrica total consumida, em joules, supondo que o circuito fique ligado 10h.</p><p>4) Determine:</p><p>(a) A resistência equivalente, em kΩ.</p><p>(b) A tensão da fonte (U).</p><p>(c) A corrente elétrica I4, em A.</p><p>(d) A queda de tensão (U2).</p><p>60</p><p>5) Determine:</p><p>(a) A resistência equivalente.</p><p>(b) A corrente elétrica total (IT).</p><p>(c) A queda de tensão em R1 (UR1).</p><p>(d) A queda de tensão em R3 (UR3).</p><p>(e) A ddp entre os pontos “a” e “b” (Uab).</p><p>(f) A energia elétrica total, em quilojoules (kJ), supondo que o circuito fique ligado 100s.</p><p>6) Determine:</p><p>(a) A queda de tensão em R1 (UR1).</p><p>(b) A queda de tensão em R2 (UR2).</p><p>(d) A queda de tensão em R3 (UR3).</p><p>61</p><p>7) Determine:</p><p>(a) A resistência equivalente.</p><p>(b) A corrente elétrica total (IT).</p><p>(c) A corrente elétrica I6.</p><p>(d) A queda de tensão em R6 (U6).</p><p>(e) A energia elétrica total, em kWh, supondo que o circuito fique ligado 2h.</p><p>8) Determine:</p><p>(a) A resistência equivalente.</p><p>(b) A corrente elétrica 21, IeIIT .</p><p>(c) O potencial elétrico Ua.</p><p>62</p><p>Respostas:</p><p>(1) (a) RT = 16; (b) IT = 15A; I1 = 10A; I2 = 5A; (c) UR1 = 180V; UR2 = UR3 = 60V;</p><p>(d) PR1 = 2,7kW; PR2 = 600W; PR3 = 300W; (e) Eel = 36kWh; (2) (a) RT = 30k; (b) IT = 5mA;</p><p>I1 = 1mA; I2 = 4mA; (c) UR1 = 50V; UR2 = UR3 = 100V; (d) PR1 = 250mW; PR2 = 100mW;</p><p>PR3 = 400mW; (e) Eel = 5,4kJ; (3) (a) RT = 10M; (b) IT = 12A; (c) U1 = 24V; (d) I2 = 1,6A;</p><p>(e) U5 = 96V; (f) I4 = 6A; (g) PT = 1,44mW; (h) Eel = 51,84J; (4) (a) RT = 120k; (b) U = 12V;</p><p>(c) I4 = 60A; (d) U2 = 8V; (5) (a) RT = 4; (b) IT = 3A; (c) UR1 = 7,5V; (d) UR3 = 9V;</p><p>(e) Uab = 1,5V; (f) Eel = 3,6kJ; (6) (a) UR1 = 12V; (b) UR2 = 7V; (c) UR3 = 15V; (7) (a) RT = 8;</p><p>(b) IT = 30A; (c) I6 = 10A; (d) U6 = 20V; (e) Eel = 14,4kWh; (8) (a) RT = 4; (b) IT = 9A; I1 = 6A;</p><p>I2 = 3A; (c) Ua = 6V</p><p>63</p><p>II.4 – CURTO-CIRCUITO</p><p>Provoca-se um curto-circuito entre dois pontos de um circuito quando esses pontos são ligados por</p><p>um condutor de resistência desprezível.</p><p>O exemplo 1 apresenta resistores em curto-circuito nos itens (a) e (b). Porém, não há curto-circuito</p><p>no item (c), pois nesse caso os três resistores estão em paralelo.</p><p>Exemplo 1 – Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B.</p><p>(a)</p><p>RAB = 22</p><p>(b)</p><p>RAB = 11</p><p>(c)</p><p>RAB = (11/3)</p><p>64</p><p>Exemplo 2 – Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B.</p><p>(a)</p><p>RAB = 10</p><p>(b)</p><p>RAB = 32</p><p>(c)</p><p>RAB = 2</p><p>65</p><p>(d)</p><p>RAB = 2</p><p>(e)</p><p>RAB = 1</p><p>(f)</p><p>RAB = 8</p><p>66</p><p>(g)</p><p>RAB = 2,5</p><p>(h)</p><p>RAB = 2</p><p>(i)</p><p>RAB = 5</p><p>(j)</p><p>RAB = 6</p><p>67</p><p>II.5 – AS LEIS DE KIRCHHOFF</p><p>Considere um circuito elétrico constituído de três fontes de tensão (E1, r1), (E2, r2) e (E3, r3) e de</p><p>resistores elétricos R1, R2 e R3, conforme o exemplo abaixo.</p><p>Chama-se nó o ponto no qual a corrente elétrica se divide.</p><p>Os trechos de circuitos entre dois nós consecutivos são denominados ramos.</p><p>Qualquer conjunto de ramos formando um percurso fechado recebe o nome de malha.</p><p>No circuito elétrico apresentado acima, como exemplo, são:</p><p>Nós B e E.</p><p>Ramos: BAFE, BE e BCDE.</p><p>Malhas: ABEFA, BCDEB e ABCDEFA.</p><p>A cada ramo do circuito elétrico atribui-se um sentido de corrente. Esse sentido, embora arbitrário,</p><p>deve ser coerente com o elemento de circuito do ramo. Sendo uma fonte de tensão, a corrente</p><p>elétrica entra pelo terminal negativo e sai pelo terminal positivo. Sendo um resistor, a corrente entra</p><p>pelo terminal positivo e sai pelo negativo.</p><p>A primeira lei de Kirchhoff ou lei dos nós estabelece que “em um nó, a soma das intensidades de</p><p>corrente que chegam é igual a soma das intensidades de corrente que saem”.</p><p>  saemchegam II</p><p>68</p><p>A lei dos nós aplicada no nó “B” fornece:</p><p>321 iii  (1)</p><p>Essa lei aplicada ao nó “E” leva à mesma equação anterior.</p><p>Conhecendo os valores de tensão das fontes e dos resistores, há três incógnitas ( 321 ,, iii ), logo, são</p><p>necessárias três equações. Como já existe uma, 321 iii  , ficam faltando duas equações. Para</p><p>solucionar, escolhem-se duas das três malhas existentes e adota-se um sentido, que nesse caso será</p><p>aplicado o horário ().</p><p>Malha ABEFA:</p><p>0.... 1222211111  iREiriRirE (2)</p><p>21221211 ..)( EEiriRRr </p><p>Malha BCDEB:</p><p>0... 33333222  irEiRirE (3)</p><p>3233322 .)(. EEirRir </p><p>321 iii </p><p>32213322 )(.)(. EEiirRir </p><p>322323131322 ..... EEiriRiriRir </p><p>322332133 .)(.)( EEiRrrirR </p><p>Dessa forma, é obtido o sistema de duas equações com duas incógnitas:</p><p>21221211 ..)( EEiriRRr </p><p>322332133 .)(.)( EEiRrrirR </p><p>69</p><p>Exemplo 1: Determine as intensidades e os sentidos das correntes em todos os ramos.</p><p>Solução:</p><p>Adotam-se os seguintes sentidos para as correntes 321 ,, iii :</p><p>A corrente 1i no sentido horário na malha da esquerda.</p><p>A corrente 2i no ramo central no sentido para cima.</p><p>A corrente 3i no sentido horário na malha da direita.</p><p>321 iii  (1)</p><p>0133210 21  ii</p><p>101332 21  ii</p><p>332 21  ii (2)</p><p>05,3414313 332  iii</p><p>5,3131453 32  ii</p><p>5,2353 32  ii</p><p>5,23)(53 212  iii</p><p>5,23553 212  iii</p><p>5,2385 21  ii (3)</p><p>)10(332 21  ii</p><p>)4(5,2385 21  ii</p><p>70</p><p>303020 21  ii</p><p>943220)( 21  ii</p><p>12462 2 i</p><p>Ai 2</p><p>62</p><p>124</p><p>2 </p><p>Uma equação deve ser escolhida, para encontrar a corrente 1i .</p><p>332 21  ii</p><p>3)2(32 1  i</p><p>632 1  i</p><p>32 1  i</p><p>Ai 5,11 </p><p>213 iii </p><p>Ai 5,325,13 </p><p>Exemplo 2: Determine as intensidades das correntes 321 ,, iii .</p><p>Solução:</p><p>321 iii  (1)</p><p>040208210 122  iii</p><p>)2(501020 21  ii</p><p>25510 21  ii (2)</p><p>71</p><p>0542040 331  iii</p><p>45520 31  ii</p><p>45)(520 211  iii</p><p>455520 211  iii</p><p>45525 21  ii (3)</p><p>25510 21  ii</p><p>45525)( 21  ii</p><p>7035 1 i</p><p>Ai 2</p><p>35</p><p>70</p><p>1 </p><p>25510 21  ii</p><p>255)2(10 2  i</p><p>20255 2 i</p><p>55 2 i</p><p>Ai 1</p><p>5</p><p>5</p><p>2 </p><p>321 iii </p><p>12213  iii</p><p>Ai 13 </p><p>72</p><p>Exemplo 3: Determine as intensidades das correntes 321, IeII .</p><p>321 III  (I)</p><p>0655475 21  II</p><p>657554 21  II</p><p>1054 21  II</p><p>1054 21  II (II)</p><p>01653565 332  III</p><p>1636565 32  II</p><p>5265 32  II</p><p>5265 32  II</p><p>  5265 212  III</p><p>52665 212  III</p><p>52116 21  II (III)</p><p>52116 21  II 2084424)4( 21  II</p><p>1054 21  II 603024)()6( 21</p><p> II</p><p>14874 2 I AI 2</p><p>74</p><p>148</p><p>2 </p><p>1054 21  II</p><p>10)2(54 1 I</p><p>2010104 1 I AI 5</p><p>4</p><p>20</p><p>1 </p><p>AIII 725213 </p><p>73</p><p>Exemplo 4: A intensidade de corrente 1i vale 0,2A. Determine 32 , ii e 3R .</p><p>Solução:</p><p>23 2,0 ii  (1)</p><p>053 331  iRi</p><p>0)2,0()2,0()5(3 23  iR</p><p>0.2,013 233  iRR</p><p>2.2,0 233  iRR (2)</p><p>055. 233  iiR</p><p>055)2,0( 223  iiR</p><p>55.2,0 2233  iiRR (3)</p><p>55.2,0 2233  iiRR</p><p>2.2,0)( 233  iRR</p><p>35 2 i Ai 6,0</p><p>5</p><p>3</p><p>2 </p><p>Aii 8,06,02,02,0 23 </p><p>2.2,0 233  iRR</p><p>2)6,0(2,0 33  RR</p><p>28,0 3 R</p><p> 5,2</p><p>8,0</p><p>2</p><p>3R</p><p>74</p><p>Exemplo 5: Determine a diferença de potencial BA UU  .</p><p>Solução:</p><p>Adotam-se os seguintes sentidos para as correntes 321 ,, iii :</p><p>A corrente 1i no sentido horário na malha da esquerda;</p><p>A corrente 2i no ramo central no sentido para baixo;</p><p>A corrente 3i no sentido horário na malha da direita.</p><p>321 iii  (1)</p><p>082010 21  ii</p><p>20810 21  ii</p><p>20810 21  ii (2)</p><p>01068 32  ii</p><p>0)(1068 212  iii</p><p>0101068 212  iii</p><p>61810 21  ii (3)</p><p>75</p><p>20810 21  ii</p><p>61810 21  ii</p><p>2626 2 i</p><p>Ai 1</p><p>26</p><p>26</p><p>2 </p><p>20810 21  ii</p><p>20)1(810 1 i</p><p>)1(82010 1 i</p><p>82010 1 i</p><p>1210 1 i</p><p>Ai 2,1</p><p>10</p><p>12</p><p>1 </p><p>213 iii </p><p>213 iii </p><p>12,13 i</p><p>Ai 2,03 </p><p>ABBA UUU </p><p>28iU AB </p><p>18ABU</p><p>VU AB 8</p><p>76</p><p>Exemplo 6: Determine 321, IeII .</p><p>321 III </p><p>05130515180 121  III</p><p>050520 21  II</p><p>50520 21  II (I)</p><p>08100125130 332  III</p><p>0205230 32  II</p><p>230205 32  II</p><p>230)(205 212  III</p><p>23020205 212  III</p><p>5)(2302520 21  II</p><p>4654 21  II (II)</p><p>50520 21  II</p><p>(+) 4654 21  II</p><p>9624 1 I  AI 4</p><p>24</p><p>96</p><p>1 </p><p>4654 21  II  465)4(4 2  I</p><p>16465 2 I  305 2 I</p><p>AI 6</p><p>5</p><p>30</p><p>2   AIII 1064213 </p><p>77</p><p>EXERCÍCIOS PROPOSTOS</p><p>1) Determine 321, IeII .</p><p>2) Determine 321, IeII .</p><p>3) Determine 321, IeII .</p><p>Respostas:</p><p>(1) I1 = 3A; I2 = 2A; I3 = 5A; (2) I1 = 8A; I2 = 20A; I3 = 12A; (3) I1 = 4A; I2 = 10A; I3 = 6A</p><p>78</p><p>CAPÍTULO III – CAPACITOR</p><p>1. Introdução</p><p>O capacitor é bem diferente do resistor no que diz respeito à sua função, princípio de</p><p>funcionamento e estrutura interna. Ao contrário do resistor, o capacitor apenas exibe seu</p><p>comportamento característico quando ocorrem variações de tensão no circuito em que se encontra.</p><p>Além disso, se considerar a situação ideal, não dissipa energia, como o resistor, mas armazena e</p><p>pode devolvê-la mais tarde ao circuito.</p><p>2. Capacitor</p><p>O capacitor é um elemento constituído por dois condutores separados por um material isolante</p><p>(dielétrico). Estes dois elementos podem assumir diversas formas. Um exemplo simples é o</p><p>capacitor de placas paralelas, constituído por dois condutores planos separados por um dielétrico.</p><p>Na figura 1a, uma bateria U, uma chave S, um capacitor descarregado C e fios de interligação</p><p>formam um circuito elétrico. O mesmo circuito é mostrado no diagrama esquemático da figura 1b,</p><p>nos quais os símbolos para uma bateria, uma chave e um capacitor representam esses dispositivos.</p><p>A bateria mantém uma diferença de potencial V entre os seus terminais. O terminal de potencial</p><p>mais alto é indicado pelo sinal + e frequentemente é chamado de potencial positivo; o terminal de</p><p>potencial mais baixo é indicado pelo sinal – e frequentemente é chamado de terminal negativo.</p><p>Fig. 1</p><p>79</p><p>3. Capacitância</p><p>A capacitância é uma medida da quantidade de carga que o capacitor pode armazenar em suas</p><p>placas, em outras palavras, é a sua capacidade de armazenamento de carga elétrica.</p><p>O valor da capacitância depende apenas da geometria das placas e não da sua carga ou da diferença</p><p>de potencial.</p><p>Um capacitor possui uma capacitância de 1 farad se uma carga de 1 coulomb for depositada em</p><p>suas placas por uma diferença de potencia de 1 volt entre elas.</p><p>O farad recebeu este nome em homenagem a Michael Faraday, um químico e físico inglês do século</p><p>XIX. Na prática ele se mostra, entretanto, uma unidade de medida muito grande para a maioria das</p><p>aplicações; assim, é mais comum usar o microfarad (F), nanofarad (nF) ou o picofarad (pF).</p><p>U</p><p>q</p><p>C  Onde:</p><p>C é a capacitância, em farads (F).</p><p>q é a carga elétrica, em coulombs (C).</p><p>U é a tensão elétrica entre os terminais do capacitor, em volts (V).</p><p>4. Cálculo da Capacitância</p><p>4.1 – Capacitor de Placas Paralelas</p><p>A capacitância de um capacitor depende da área das placas condutoras, da separação entre as placas</p><p>e do dielétrico. Para um capacitor com duas placas paralelas, conforme mostra a figura 2, a sua</p><p>capacitância é:</p><p>Fig. 2</p><p>80</p><p>d</p><p>A</p><p>C  </p><p>Onde: C  é a capacitância, em farad (F).</p><p>  permissividade ou constante dielétrica do material isolante, em farad/metro (F/m).</p><p>A  é a área da placa, em metros quadrados (m</p><p>2</p><p>).</p><p>d  é a distância entre as placas, em metros (m).</p><p>4.2 – Capacitor Cilíndrico</p><p>A figura 3 mostra, em corte transversal, um capacitor cilíndrico de comprimento L formado por</p><p>dois cilindros coaxias de raios a e b.</p><p>O cálculo da capacitância de um capacitor cilíndrico, assim como a de um capacitor de placas</p><p>paralelas, depende apenas de fatores geométricos, neste caso L, b e a. Considerando, L » b.</p><p>Fig. 3 – Vista superior de um capacitor cilíndrico.</p><p>)/(ln</p><p>2</p><p>ab</p><p>L</p><p>C </p><p>Onde: C  é a capacitância, em farad (F)</p><p>  permissividade ou constante dielétrica do material isolante, em farad/metro (F/m).</p><p>L  é o comprimento do capacitor, em metros (m).</p><p>a  é o raio do cilindro menor, em metros (m).</p><p>b  é o raio do cilindro maior, em metros (m).</p><p>81</p><p>4.3 – Capacitor Esférico</p><p>A figura 3 também serve para ilustrar um capacitor esférico em um corte transversal passando pelo</p><p>seu centro. O capacitor esférico é formado por duas cascas esféricas concêntricas, de raios a e b.</p><p>O cálculo da capacitância de um capacitor esférico é igual a:</p><p>ab</p><p>ba</p><p>C</p><p></p><p> 4</p><p>Onde:</p><p>C  é a capacitância, em farad (F)</p><p>  permissividade ou constante dielétrica do material isolante, em farad/metro (F/m).</p><p>a  é o raio da esfera menor, em metros (m).</p><p>b  é o raio da esfera maior, em metros (m).</p><p>4.4 – Uma Esfera Isolada</p><p>A capacitância atribuída a um único condutor esférico isolado de raio R supondo que “a placa que</p><p>está faltando” é uma esfera condutora de raio infinito. Para encontrar a capacitância do condutor</p><p>isolado, em primeiro reescreve-se a equação do cálculo do capacitor formado por duas cascas</p><p>esféricas.</p><p>ab</p><p>ba</p><p>C</p><p></p><p> 4</p><p>Se considerar b e substituir “a” por R, encontra-se a equação para o cálculo da capacitância</p><p>da esfera isolada:</p><p>RC 4</p><p>Onde: C  é a capacitância, em farad (F)</p><p>  permissividade ou constante dielétrica do material isolante, em farads/metro (F/m).</p><p>R  é o raio da esfera, em metros (m).</p><p>82</p><p>4.5 – Capacitor Eletrolítico</p><p>Um tipo especial de capacitor; adequado para altos valores de capacitância (da ordem de micro ou</p><p>milifarads), é o eletrolítico, representado pelos símbolos da figura 4.</p><p>Fig. 4</p><p>A diferença deste capacitor para os demais, além da alta capacitância que permite maior</p><p>armazenamento de cargas elétricas, é a polarização das placas, sendo uma positiva e outra negativa.</p><p>Ao contrário dos capacitores comuns que são conectados em qualquer posição (os terminais não</p><p>têm polaridade) e com qualquer tipo de tensão (CA ou CC) o eletrolítico só pode ser instalado em</p><p>tensão CC com o terminal positivo ligado ao pólo positivo e o terminal negativo ao pólo negativo,</p><p>conforme figura 5.</p><p>Fig. 5</p><p>Se um capacitor eletrolítico for ligado em tensão alternada ou com polarização invertida ele</p><p>"estoura". É preciso ter cuidado, pois esta</p>