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ELETROTÉCNICA GERAL
ENGENHARIA CIVIL
Prof. José Cláudio Furquim
Circuitos de Corrente Alternada
Primeiramente vamos fazer uma breve explanação sobre álgebra complexa, entendendo as operações matemáticas com fasores e suas representações;
Representações:
 
	Forma Retangular : 
	Forma Polar: 
	Forma Temporal: Trigonometria
	Forma Complexa: 
Conversão da Forma Retangular para Polar
 
 
 
Conversão de Forma Polar para Retangular
 
 
 
Importante:
+j (eixo imaginário)
Eixo Real
- j
180°
0°
270°
90°
360°
1°
2°
3°
4°
		Real	Imaginário
	1°	+	+
	2°	_	+
	3°	_	_
	4°	+	_
Soma 180°
Subtrai 180°
Adição / Subtração de Fasores
Grandezas fasoriais similares, isto é, apenas tensões ou apenas correntes, podem ser somadas tanto graficamente como através da álgebra complexa, com o uso de componentes fasoriais.
Embora uma solução seja sempre possível, sua precisão é limitada.
Uma solução mais precisa é obtida pela representação dos fasores na forma retangular, com a soma obtida pela simples adição dos valores complexos.
Soma-se parte real com parte real e parte complexa com parte complexa.
 
 
Multiplicação de Fasores:
A multiplicação de fasores pode ser feita tanto no modo polar quanto no modo retangular;
O produto de dois fasores na forma polar é igual ao produto de seus módulos e a soma algébrica de seus ângulos;
Já fasores na forma retangular são tratados como binômios, logo o produto entre eles é igual a soma dos produtos dos componentes;
Vale lembrar que j2 = -1
 
Divisão de Fasores
O quociente de dois fasores na forma polar é igual ao quociente de seus módulos e a diferença de seus ângulos;
Para encontrar o quociente de dois valores na forma retangular, deve-se primeiro racionalizar o denominador;
A racionalização do denominador é o processo de eliminação dos símbolo “j” do denominador através da multiplicação do numerador e denominador pelo conjugado complexo do denominador. 
 
 
 
 
 
Circuitos de Corrente Alternada
São circuitos onde a alimentação vem de uma fonte de tensão alternada;
TENSÃO SENOIDAL
	Tensão que varia com o tempo de acordo com uma lei senoidal de acordo com a expressão:
onde:
- Graficamente teremos:
10
-10
0,5
1,0
1,5
2,0
V
t[ms]
Qual a função do gráfico?
T = 2ms 
Tensão e Corrente Eficazes
Para uma tensão senoidal definimos o seu valor eficaz () como sendo igual ao valor de uma tensão contínua que produzirá a mesma dissipação de potência que a tensão alternada em questão;
Provando o Valor Eficaz:
 Por definição o valor médio de uma potência variável é o valor médio da potência que, no período T, transfere a mesma energia w, assim:
Então: 
Se a potência elétrica é transformada em calor numa resistência R:
, ou seja, a corrente eficaz é aquela corrente constante que, no mesmo intervalo de tempo, produz uma mesma quantidade de calor que uma corrente variável , numa mesma resistência R, ou seja:
que é definido como “Valor Médio Quadrático” (Root Mean Square);
Para uma onda senoidal , temos:
]
Obs.: O mesmo vale para tensão
0
T
- Para uma tensão Senoidal o seu valor eficaz é calculada por:
Exemplo 1: Para as seguintes tensões senoidais , Calcular:
	 [V]
	 [V]
Frequência Angular (
Frequência (Hz)
Período (T)
Valor Eficaz (
Representar as tensões e o diagrama fasorial.
Exemplo 2: Idem Exemplo I, para:
 [V]
 [V]
Importante:
Sinal Adiantado: °
10
-10
90°
180°
270°
360°
90°
0°
Sinal Atrasado: °
10
90°
180°
270°
360°
-10
-90°
0°
Exercício: Representar as seguintes tensões senoidais.
 
 
Circuito Resistivo em CA
Em um circuito puramente resistivo alimentado em CA, a tensão e corrente estão em fase;
V = R.I ou I =V/R
Graficamente:
V
I
t
Exemplo: Representar graficamente a tensão e corrente do circuito a seguir.
1kΩ
3kΩ
60Hz
Potência em CA em Circuitos Resistivo
A potência CA é obtida pelo produto do valor instantâneo da tensão e da corrente;
Se 
A potência dissipada no resistor será o valor médio da potência instantânea.
Exemplo: Para uma fonte de CA de [V] sobre um resistor de 10Ω, calcular:
P(2)
Capacitor em CA
Para um capacitor ideal (sem perdas) a corrente no capacitor estará 90° adiantada em relação a tensão;
Porque antes de aparecer um potencial sobre as armaduras do capacitor ele precisa ser carregado. Devido a este fenômeno a corrente de carga sempre aparecerá primeiro do que a tensão.
Reatância Capacitiva
É a medida da oposição oferecida pelo capacitor a passagem da corrente alternada;
onde:
C – Capacitância [F]
F – Frequência [Hz]
 [Rad/s}
Exemplo: Calcular a corrente de pico e eficaz no capacitor a seguir.
0,1
169,2
60 Hz
Circuito RC Série
O F. P. (Fator de Potência) é calculado pelo cosseno da defasagem entre tensão e corrente;
Indica a quantidade de potência útil;
Neste tipo de circuito a corrente continua adiantada em relação à tensão mas com ângulo menor que 90°;
V
R
C
A impedância nesse circuito é chamada de Z e definida por:
 [Ω] [Retangular]
Ou
 [Polar]
onde:
Ex.: Para o circuito a seguir calcular: Z; Corrente I; (Diagramas
.
120
60 Hz
Circuito RC Paralelo
As considerações desse tipo de circuito são as mesmas do circuito RC série, mudando somente o modo de calcular Z e as correntes nos elementos;
Ex.: Calcular Z; e a defasagem entre V e I e fazer o DF.
60 Hz
Indutor em CA
O indutor, ao contrário do capacitor, irá fazer com que a corrente fique atrasada em 90° em ralação à tensão;
Sobre um indutor a tensão aparece primeiro sobre as extremidades, porque a corrente inicial produz o campo magnético;
A corrente não acompanha a velocidade de aumento da tensão;
V
I
Reatância Indutiva
É a medida da oposição oferecida pelo indutor à passagem da corrente alternada;
 [Ω]
onde:
L = Indutância [H]
F = Frequência [Hz]
 Frequência angular [rad/s]
Ex.: Calcular a corrente de pico e eficaz no indutor do circuito a seguir.
0,1H
110
60Hz
Circuito RL série
Neste tipo de circuito a corrente continua atrasada em relação a tensão mas com um ângulo menor que 90°;
A impedância nesse circuito é chamada Z e definida por:
onde:
V
R
L
Fator de Potência
Ex.: Para o circuito a seguir, calcular: 
a) Impedância Z; b) Corrente I; c) ; d) Defasagem entre I e V; e) D.F. I e V e .
0,1H
100 Ω
212 Hz
Circuito RL Paralelo
As considerações desse tipo de circuito são as mesmas do circuito RL série, mudando apenas o modo de calcular Z e as correntes nos elementos;
Ex.: Para o circuito a seguir, calcular Z; e a defasagem entre V e I, e fazer o D.F.
110
212mH
60Ω
Circuito RLC Série
Neste tipo de circuito a tensão aplicada é a soma vetorial das tensões 
A tensão na resistência está em fase com a corrente, na indutância está adiantada em 90° e no capacitor está atrasada em 90°;
R
L
C
I
A impedância Z será a soma das componentes de cada elemento e será da forma , chamando , teremos e onde 
Ressonância ()
Ao calcularmos a impedância podemos observar que se a impedância será igual a R, isto é, o circuito será puramente resistivo e a corrente estará em fase com a tensão;
Esta situação é conhecida como ressonância e ocorre em uma frequência calculada por:
Se 
 
Ex.: Para o circuito a seguir calcular: a) Frequência de Ressonância; b) Valor de I na frequência de ressonância; 
c) d) Se f = 20 kHz, calcular e se f = 10 kHz, calcular 
150Ω
1mH
0,1µF
15 
Circuito RLC Paralelo
Nesse tipo de circuito a tensão é a mesma em todos os elementos;
R
L
C
V
A impedância Z desse tipo de circuito será o paralelo das três impedâncias e ficará na forma final:
Da mesma forma que no circuito RLC série, teremos uma frequência na qual Z = R, esta será a frequência de ressonância que é dada por:
Se 
Ex.: Para o circuito a seguir, calcular: 
Frequência de Ressonância; 
I para 
0,1µF
1mH
150Ω
15 
Definições de Potência ElétricaSempre que uma carga for ligada a um dado circuito elétrico, há três tipos de potência a serem consideradas: 
 Potência ativa
 Potência Reativa
Potência Aparente 
 
Potência Ativa : (P)
É a transformação da energia elétrica em qualquer forma de energia útil, como, por exemplo: luminosa, térmica, entre outras, sem a necessidade de uma transformação intermediária de energia;
Exemplos de potência ativa: Chuveiros, Resistores, Aquecedores;
A potência ativa em corrente alternada é dada pelas seguintes equações:
	Circuito monofásico: P = V . I . Cosφ [Watts]
	Circuito Trifásico: P = 1,73 . V . I . cosφ [Watts]
Potência Reativa : (Q)
É a energia intermediária necessária para qualquer equipamento, como, por exemplo: motores, transformadores, reatores, capacitores, entre outros;
Ela é indispensável para que esses equipamentos possam excitar o seu campo magnético ou elétrico, tornando possível a utilização da energia que efetivamente realiza o trabalho, a energia ativa;
A potência reativa é trocada entre o gerador e a carga, não sendo consumida efetivamente;
Consumidores de corrente reativa são: transformadores, reatores, motores de indução, motores síncronos subexcitados.
São fornecedores de corrente reativa: capacitores e motores síncronos superexcitados, sendo o capacitor o elemento mais utilizado para essa finalidade.
Exemplos de equipamentos consumidores de potência reativa indutiva: Motores de indução, Transformadores, Máquinas de Solda, Lâmpada de Descarga;
A Potência Reativa em corrente alternada é representada pelas seguintes equações:
	Circuito monofásico: Q = V . I . senφ [VAr]
	Circuito Trifásico: Q = 1,73 . V . I . senφ [VAr]
Potência Aparente: (S)
- É a soma vetorial da potência ativa com a potência reativa;
Em função dessa potência são dimensionados os equipamentos como transformadores, condutores entre outros;
A Potência Aparente em corrente alternada é representada pelas seguintes equações:
Circuito monofásico: S = V . I [VA]
 Circuito Trifásico: S = 1,73 . V . I [VA]
- Temos as seguintes razões trigonométricas, que relacionam os ângulos do triângulo retângulo, sendo caracterizadas pelas relações de seno, cosseno e tangente, como a seguir:
cateto oposto
cateto adjacente
cateto oposto
hipotenusa
Podemos fazer uma representação gráfica das potências no chamado triângulo das potências, representado a seguir:
A potência aparente S é a soma geométrica da potência ativa P com a potência reativa Q, caracterizando o triângulo retângulo com Q, sendo o cateto oposto a e P o cateto adjacente a ;
Desta forma, temos a relação entre as potências, dada pelo teorema de Pitágoras, em que:
(kVA)
Aparente
S
 Reativa
Q
 (kVAr)
P
Ativa (kW)
- Com isso, obtemos as equações das potências por meio dos conceitos de trigonometria, em que:
Potência Ativa – Energia útil (líquido);
Potência Reativa – Energia não consumida efetivamente (Espuma);
Potência Aparente – É a soma das potências Ativa e Reativa (líquido + Espuma)
Fator de Potência (cos φ)
É a relação entre potência ativa e potência reativa. 
Trata-se da diferença entre o consumo aparente (medido em VA) e o consumo real (medido em Watts);
Ele indica a eficiência com a qual a energia está sendo usada;
Um alto fator de potência indica  uma eficiência alta e inversamente um fator de potência baixo indica baixa eficiência;
 Um baixo fator de potência indica que você não está aproveitando plenamente a energia, e uma das soluções para corrigir, é a instalação de Banco de Capacitores;
O fator de potência é determinado pelo tipo de carga ligada ao sistema elétrico, que pode ser: Resistiva, Indutiva ou Capacitiva;
Uma das maneiras de correção do fator de potência é através da instalação de bancos de capacitores, que podem ser fixos ou automáticos;
Esses bancos são colocados normalmente nos barramentos dos quadros gerais, corrigindo o fator de potência de toda a instalação, ou colocados junto às máquinas mais indutivas, corrigindo o fator de potência apenas dessas máquinas;
Esse procedimento deve ter um certo automatismo para evitar confrontos com grupos motor gerador por exemplo, que não podem atuar junto com os bancos de capacitores;
Deve-se tomar muito cuidado para não deixar o transformador com baixo fator de potência quando o mesmo estiver operando em vazio (normalmente de madrugada quando as cargas são desligadas);
Uma instalação com excesso de capacitores ligados no período entre meia noite e seis horas da manhã, podem gerar sobretaxa;
A correção do fator de potência tem que ser muito bem calculada, pois se colocarmos um capacitor muito grande ele acaba se transformando numa carga, mas se colocarmos um capacitor pequeno ele acaba não corrigindo o fator de potência;
Um baixo fator de potência, normalmente abaixo de 0,92, indica que a energia está sendo mal aproveitada, podendo ocorrer as seguintes situações:
Acréscimo cobrado nas contas de energia elétrica;
 Aumento das perdas elétricas internas da instalação;
 Quedas ou variações de tensão nas instalações (oscilações);
 Redução do aproveitamento da capacidade do transformador;
 Condutores aquecidos, por efeito joule;
 Diminuição da vida útil dos equipamentos;
As principais causas do fator de potência são:
Transformadores operando a vazio ou sobrecarregados durante longos períodos de tempo;
Motores operando abaixo da sua capacidade normal (superdimensionados);
Utilização de grande número de motores de pequena potência;
Instalação de lâmpadas de descarga (fluorescentes, de vapor de mercúrio e vapor de sódio);
Capacitores ligados permanentemente nas instalações horo sazonais no período da madrugada; 
ou
Ex.: Para os exemplos anteriores (RLC série e RLC paralelo) calcular a potência total e a potência no resistor. Comparar os resultados com o valor F.P. (utilizar 
Correção do Fator de Potência
Ex.: Para o sistema a seguir calcular o valor de um capacitor para que o Fator de Potência do sistema seja 0,92.
15Ω
142,21mH
197,9µF
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