Avaliação II - Individual

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<p>Prova Impressa</p><p>GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:887407)</p><p>Peso da Avaliação 1,50</p><p>Prova 70818405</p><p>Qtd. de Questões 10</p><p>Acertos/Erros 9/1</p><p>Nota 9,00</p><p>Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial.</p><p>Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu</p><p>principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a</p><p>ambos os vetores originais. Quanto ao resultado do produto escalar entre u = (1,0,4) e v = (1,-1,0),</p><p>classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:</p><p>( ) u x v = 1.</p><p>( ) u x v = -1.</p><p>( ) u x v = 4.</p><p>( ) u x v = -4.</p><p>Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:</p><p>A F - F - F - V.</p><p>B F - V - F - F.</p><p>C V - F - F - F.</p><p>D F - F - V - F.</p><p>A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, com as operações de</p><p>adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de</p><p>partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de</p><p>adição de elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo,</p><p>números reais) por elementos deste conjunto.</p><p>A respeito das propriedades dos espaços vetoriais, classifique V para as sentenças verdadeiras e F</p><p>para as falsas:</p><p>( ) Os espaços vetoriais preservam as operações de soma e multiplicação por escalar.</p><p>( ) Os espaços vetoriais podem ser imaginados como domínio de contradomínio de operações</p><p>lineares.</p><p>VOLTAR</p><p>A+ Alterar modo de visualização</p><p>1</p><p>Revisar Conteúdo do Livro</p><p>2</p><p>11/10/24, 09:53 Avaliação II - Individual</p><p>about:blank 1/5</p><p>( ) A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um espaço.</p><p>( ) A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um espaço.</p><p>Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:</p><p>A V – V – F – V.</p><p>B V – V – F – F.</p><p>C F – V – V – F.</p><p>D V – F – V – V.</p><p>No estudo da Álgebra Linear e Vetorial surge o conceito de autovalores e autovetores. Teoricamente,</p><p>um autovetor de uma transformação é um vetor que quando aplicado na transformação, resulta um</p><p>múltiplo de si próprio, sendo que a este fator multiplicativo, damos o nome de autovalor. Estes</p><p>conceitos possuem diversas aplicações práticas, principalmente na Engenharia.</p><p>Baseado nisso, dada a transformação T(x,y) = (2x, y) analise as sentenças a seguir:</p><p>I. v = (0,1) é um autovetor de T, com autovalor igual a 2.</p><p>II. v = (1,0) é um autovetor de T, com autovalor igual a 2.</p><p>III. T possui um autovalor de multiplicidade algébrica 1.</p><p>IV. T possui dois autovalores de multiplicidade algébrica 1.</p><p>Assinale a alternativa CORRETA:</p><p>3</p><p>11/10/24, 09:53 Avaliação II - Individual</p><p>about:blank 2/5</p><p>A Somente as opções II e III estão corretas.</p><p>B Somente as opções I e III estão corretas.</p><p>C Somente as opções II e IV estão corretas.</p><p>D Somente as opções I e IV estão corretas.</p><p>A norma ou módulo de um vetor trata da verificação de qual é o comprimento do vetor</p><p>analisado. Fisicamente, o módulo do vetor informa qual a intensidade da grandeza física envolvida</p><p>em um dado problema. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a norma (ou módulo) do vetor</p><p>z = (1,4):</p><p>A Raiz de 5.</p><p>B Raiz de 17.</p><p>C 2.</p><p>D 4.</p><p>Uma transformação linear é um tipo de função que opera vetores de diferentes espaços vetoriais.</p><p>Em especial, para poder afirmar que uma transformação é linear, temos que verificar se ela preserva</p><p>as operações de soma, e multiplicação por um escalar. Considerando a imagem do vetor (1, -2, 4)</p><p>quando aplicado na transformação a seguir, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as</p><p>falsas:</p><p>A V - F - F - F.</p><p>B F - F - F - V.</p><p>C F - V - F - F.</p><p>D F - F - V - F.</p><p>As operações vetoriais existentes são a soma e a multiplicação por um escalar. Combinando</p><p>estas operações, podemos realizar uma série de outros vetores que podem ser aplicados em diversas</p><p>áreas. Sendo assim, dados os vetores u = (1, -2) e v = (3,-3), quanto à opção que apresenta o vetor</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>11/10/24, 09:53 Avaliação II - Individual</p><p>about:blank 3/5</p><p>resultante da operação w = u - 2v, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:</p><p>( ) w = (4,5).</p><p>( ) w = (-1,-1).</p><p>( ) w = (-5,4).</p><p>( ) w = (2,-1).</p><p>Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:</p><p>A F - F - V - F.</p><p>B F - V - F - F.</p><p>C V - F - F - F.</p><p>D V - V - F - V.</p><p>A matriz a seguir permite que sejam calculados autovalores, a partir de uma Transformação</p><p>Linear. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta os autovalores desta matriz 2x2:</p><p>A Não há autovalores reais associados a essa Transformação Linear.</p><p>B Os autovalores associados são 1 e -1.</p><p>C Os autovalores associados são 5 e 3.</p><p>D Os autovalores associados são 0 e 2.</p><p>Durante o estudo das transformações lineares, verificamos os conceitos de núcleo e imagem de</p><p>uma transformação. O núcleo de uma transformação linear é o subconjunto do domínio formado pelos</p><p>vetores que são levados ao vetor nulo do contradomínio. Por sua vez, a imagem é o conjunto de</p><p>vetores do contradomínio que são resultados da aplicação dos vetores do domínio na transformação.</p><p>Baseado nisso, assinale alternativa CORRETA a respeito da transformação a seguir:</p><p>A O vetor (1,-1) pertence ao núcleo da transformação.</p><p>B A transformação a seguir não é um operador linear.</p><p>C O vetor (2,2) possui imagem (0,0).</p><p>D O vetor (2, 4) não pertence ao domínio da transformação.</p><p>Uma das aplicações mais práticas do conceito de produto vetorial é o cálculo de área. Por</p><p>exemplo, temos a área do paralelogramo formada pela unificação de dois vetores, que é o módulo (ou</p><p>7</p><p>8</p><p>9</p><p>11/10/24, 09:53 Avaliação II - Individual</p><p>about:blank 4/5</p><p>norma) do produto vetorial entre os dois. Já para o caso da área do triângulo, bastaria dividir este</p><p>resultado por dois, pois a área do triângulo é a metade da área do paralelogramo. Determine a área do</p><p>triângulo formado pelos vetores u = (1,2,0) e v = (0,1,2):</p><p>A Somente a opção IV está correta.</p><p>B Somente a opção II está correta.</p><p>C Somente a opção III está correta.</p><p>D Somente a opção I está correta.</p><p>Seja F uma função que transforma vetores do R² em vetores do R³, dada pela fórmula: F(x,y) =</p><p>(x + y), (x - y)², x²). O vetor v = (1, -1) de R² terá que coordenadas em R³?</p><p>A As coordenadas são (2, -4, 0).</p><p>B As coordenadas são (2, -4, 1).</p><p>C As coordenadas são (0, 4, 1).</p><p>D As coordenadas são (2, 4, 1).</p><p>10</p><p>Imprimir</p><p>11/10/24, 09:53 Avaliação II - Individual</p><p>about:blank 5/5</p>