2 Prova Geometria Analítica e Álgebra Vetorial

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1Pela definição de vetor, sabemos que dados dois pontos e um sentido, podemos 
determinar o vetor que liga estes dois pontos e possui a direção indicada. Através 
deste processo podemos mais tarde ter um apoio no estudo das retas e planos no 
espaço. Baseado nisso, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o vetor u 
definido pelos pontos A = (1,0,-3) e B = (2,4,1), no sentido de A para B: 
A 
u = (0,4,4). 
B 
u = (1,4,-2). 
C 
u = (1,4,4). 
D 
u = (1,4,2). 
2A figura a seguir apresenta a representação de um cubo de vértices nos pontos do 
espaço A, B, C, D, E, F, G e H. Neste cubo, imagine vetores, todos com origem no 
vértice A, e com extremidades em todos os outros vértices (excetuando-se A). 
Sobre as informações na imagem, assinale a alternativa CORRETA:
 
A 
AD. 
B 
AE. 
C 
AC. 
D 
AB. 
3No estudo dos espaços vetoriais, pode-se realizar a análise de sua dimensão. 
Pode-se relacioná-la com a quantidade de vetores LI que geram este espaço. As 
aplicações desse conceito são puramente utilizadas na matemática, nas provas de 
teoremas e propriedades. Sobre o exposto, classifique V para as sentenças 
verdadeiras e F para as falsas: ( ) A dimensão do conjunto de matrizes de ordem n 
x n é igual a n². ( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é 
igual a 3. ( ) A dimensão do R² é igual a 2. ( ) A dimensão do espaço formado pelos 
polinômios de grau 3, é igual a 4. Assinale a alternativa que apresenta a sequência 
CORRETA: 
A 
F - V - F - V. 
B 
V - F - V - V. 
C 
V - F - F - F. 
D 
F - F - V - V. 
4O núcleo de uma transformação linear, como já é de conhecimento, trata-se do 
conjunto de vetores do domínio que possuem representantes no contradomínio 
com valor nulo. Uma de suas principais aplicações na Álgebra Linear e Vetorial é a 
possibilidade de definir se uma aplicação possui a propriedade da injetividade. 
Observando os vetores que pertencem ao núcleo da transformação T(x,y) = (x-y, y-
x). I- v = (1,1). II- v = (0,1). III- v = (-2,-2). IV- v = (1,0). Assinale a alternativa 
CORRETA: 
A 
As opções I e III estão corretas. 
B 
As opções I e IV estão corretas. 
C 
As opções II e IV estão corretas. 
D 
As opções II e III estão corretas. 
5A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, com as 
operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um 
espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definirmos um espaço vetorial, 
precisamos de um conjunto, uma operação de adição de elementos deste conjunto, 
e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por 
elementos deste conjunto. A respeito das propriedades dos espaços vetoriais, 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) Os espaços 
vetoriais preservam as operações de soma e multiplicação por escalar. ( ) Os 
espaços vetoriais de podem ser imaginados como domínio de contradomínio de 
operações lineares. ( ) A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os 
elementos de um espaço. ( ) A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos 
os elementos de um espaço. Assinale a alternativa que apresenta a sequência 
CORRETA: 
A 
V - V - V - F. 
B 
V - F - V - F. 
C 
F - V - V - F. 
D 
V - V - F - F. 
6O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o 
comportamento no eletromagnetismo, mecânica de corpos rígidos e dos fluidos. Na 
matemática, o produto vetorial aplica-se a vetores em R³ resolvendo problemas na 
geometria, no qual o produto entre dois vetores tem como solução um novo vetor, 
simultaneamente ortogonal aos outros dois. Baseado nisto, quanto ao produto 
vetorial (u x v) entre os vetores u = (1,1,2) e v = (-3,1,2), analise as opções a seguir: 
I- u x v = (1,8,-4). II- u x v = (0,8,4). III- u x v = (0,-8,4). IV- u x v = (0,8,-4). Assinale a 
alternativa CORRETA: 
A 
Somente a opção I está correta. 
B 
Somente a opção II está correta. 
C 
Somente a opção III está correta. 
D 
Somente a opção IV está correta. 
7Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente 
conceitos de núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um 
entendimento teórico do problema encontrado. Baseado nisto, considere T, um 
operador linear de R³ em R³: T(x,y,z) = (z, x - y, -z) Assinale a alternativa CORRETA 
que melhor apresenta uma base para o Núcleo deste operador: 
A 
[(1,0,1)]. 
B 
[(0,1,1)]. 
C 
[(1,1,0)]. 
D 
[(0,0,1)]. 
8Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, 
permeiam muito mais do que estamos acostumados a verificar. Não são apenas as 
raízes do polinômio característico de uma transformação linear, mas sim o 
problema clássico de autovalores, que é absolutamente essencial para a 
compreensão e a análise de estruturas simples, tais como treliças, vigas, pórticos, 
placas etc., como também de sistemas estruturais mais complexos, dentre os quais 
podem ser citados os seguintes: pontes rodoviárias e ferroviárias, torres de aço de 
telecomunicações e de transmissão de energia, estádios de futebol, passarelas de 
pedestres, edificações residenciais, edifícios altos, plataformas off-shore etc. Sobre 
a soma dos autovalores da transformação apresentada a seguir, classifique V para 
as opções verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que 
apresenta a sequência CORRETA: 
A 
V - V - V - F. 
B 
V - F - F - F. 
C 
F - V - F - F. 
D 
F - F - F - V. 
9Durante o estudo das transformações lineares, verificamos os conceitos de núcleo 
e imagem de uma transformação. O núcleo de uma transformação linear é o 
subconjunto do domínio formado pelos vetores que são levados ao vetor nulo do 
contradomínio. Por sua vez, a imagem é o conjunto de vetores do contradomínio 
que são resultados da aplicação dos vetores do domínio na transformação. Baseado 
nisso, assinale alternativa CORRETA a respeito da transformação a seguir:
 
A 
A transformação a seguir não é um operador linear. 
B 
O vetor (2, 4) não pertence ao domínio da transformação. 
C 
O vetor (2,2) possui imagem (0,0). 
D 
O vetor (1,-1) pertence ao núcleo da transformação. 
10No estudo das transformações lineares, o conceito de imagem da transformação 
linear é o conjunto de todos os vetores do contradomínio que são imagens de pelo 
menos um vetor o espaço vetorial de saída. A respeito da base para a imagem da 
transformação T(x,y) = (x+y, x), analise as opções a seguir: I- [(1,1),(1,0)]. II- 
[(1,1),(0,1)]. III- [(0,1),(1,0)]. IV- [(1,1)]. Assinale a alternativa que apresenta a 
sequência CORRETA: 
A 
Somente a opção I está correta. 
B 
Somente a opção II está correta. 
C 
Somente a opção III está correta. 
D 
Somente a opção IV está correta.