Cap. 8 e Cap. 10

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<p>8 - Central para Dois Corpos 8.1 r2 Classica CM mt a do CM 5 R + V2 + M2 0 que ms. + = M (massa total do temos que: e V2 sao relacionadas pelo CM e a coordenada relative M podemos expressar as duas de R e r : MR = + de V2 = r CM se move Rnas afetar MR + de fica + evidente MR = + independente calcu- MR. V3 - do a K M associada sistema! MR = V3 M - m2 r M Separamos problema em R= - mar R + = duas M M R e r now afeta a analise da relativa entre as</p><p>We forma similar r2 de MR = + MR = + MR = + r + V2 + M R- r = V2 M Energia cinetica total: 2 R + m, r r, = R - K= 1 2 1/2 M M 2 R ms R 2 M - M 2 ms R 2.R mar + 12 + 1 R- 2R + 2 M M 2 M M 1/2 2 R m1 is 2 + m, maR + m2 M2 M2 + K= (ms + + m2 m2 + ms) M2 M 1 u (m2 K= (ms R r Mr M 2 2 MR + M Our seja : a entre eles ao de ser 2 2 damente, foi no de uma ficticia em um compo de forca central.</p><p>8.5 L= MR + 1 - , oncle 2 2 L= 1 MR + u 2 = 0 MR dr d E = MR - ac au d :- = ax dx dt Fy Vim da IL = d = My = py do moments ay dt ay 2L = = dt Portanto, p = + * No referencial do CM: CM temos P R=0 MR =0 = - Pela = P2 R + + R = + m2</p><p>8.7. a) a forga que ms em i a Gms is FG Como M1 esta em ela M1 uma forca centripeta : = & i por manter a massa 1 em orbita, atuando como a pode- mos igualar FG a Fcp para descrever de Gms M2 Gm2 V Por wr o de uma orbita circular dado por T= w r T= T= 3/2 r b) sistema pode ser separado em do de CM massa e movimento A do CM FG afeta a interação entre ms e per se mover de maneira independente de podemos trata - lo como coordenada focamos apenas no entre as duas massas, que i crito pela massa reduzida M = = massa total</p><p>FG= forga entre as duas massas r2 Como estamos interessados no movimento entre as duas massas, a centri- peta-que mantim a ser escrita em termos da massa Fop = Por V= wr T r T 1 r Fcp: M. Como IG atua como (u T = G r2 m2) 1 = G M r3 T r3 M G.M Se 00, que : M= + M Gms</p><p>c) FCP SOL * podemos problema a um corpo ficticio, FG M= M= 2 2 mode, = MSOL r2 2 T2 T: Para case da MT + : M = M= MSOL. periodo orbital da GMSOL Comparando Tr V2 V2</p><p>8.9 a) Energia is k K= 1/2 at 1/2 Energia Potencial G Lagrangiana do sistema em termos de sera dada por L= 1/2 + 1/2 m2 is - Das = is =M podemos em Re = R + = r e M M 2 1/2 + m2 M + 2 1 ms M - 2 2 L= r + 2R r m2 R + - + 1/2 M2 2 M2 M</p><p>+ 1/2 2 + 1/2 m2 - 1/2 M2 = M L= + M ms M L= 1 2 MR + Reescrevendo a Lagrangiana usando polares r = rr onde x + send y + send + Lagrangiana em coordenadas polares para permite analisar o movemento como wm todo (radial + angular) X+Y b) de : ; MX MX IX dt</p><p>de Y MY dt d MY seja, Como esperado, a para CM i nula dt X = + X. y = Vy = + R M.R.U. c) - de = ur Com isso, temos que: Fr = Fe IL = 0 i 20 d : dt que nos da que ha T=0 T= dl dl : =0 at dt</p><p>Casos r = implica em = - = equilibrio tratando de * implica em = e massa uso a ideia de centrifuga as de centripeta? rt k L inercial Aparece quando um referencial now inercial = - r= X +L X = (wt - 5) +L</p><p>8.11 onde is 2 - - - w2 M.H.S homogenea ordem Seja r(t)= iwt -iwt -iwt -iwt C1 + Usando Euler que: cos (wt) +i sen (wt)</p><p>(wt)+ i sen (wt)) + C2. (wt)- i sen (wt) cos(wt) + C1 i sen (wt) + (C1+C2) (wt) + i sen (wt) A B A cos(wt) + B sen (wt) Fazenda a em componentes x + y(t) i.e.: x(t) - :- y(+) Semelhante temos + B y(+)= D sen (wt) Para eliminarmos o termo temporal mostrarmos que uma elipse, podemos isolar a identidade nos permite eliminar t: D cos (wt) + B (wt) + D B Para = DA cos DB - BC (wt)+ BD sen (wt) D.X = (DA- BC) cos (wt)</p><p>Isolando cos (wt) cos (wt) = (DA - BC) Para isolarmos sen(wt), (A cos (wt) + B (C cos (wt + D = CA + BC Ay : AC cos(wt)+ DA sen (wt) (BC-DA) sen (wt) (-1) sen (wt) a identidade cos' (wt)+ - By) ( - BC)2 (DA - (Dx - + (DA-BC)2 2Dx + = =b (DB + AC) : ax2+</p><p>para a elipse 1) ae : positivos 2) ac > b2 Verificando as 1) a = i.e. : ae C saw 2) - (DB+AC)2 >0 Se a e sample positivos > 62 i garantida ( que seja positivo</p><p>8.13 Uer) a) 1/2 kr2 1/2 l2 Uef 2 1/2 kr2 + 1/2 l 2 Ucf r b) Equilibrio onde : = dr d dr Mrs l2 + 2! 31 k+ 2 De On k + 3k 4k 2k 4k W= 4k M u</p><p>8.19 300 3000 1-E 1+E e 1+ E rmin rmin - rmin rmin rmin + + -> 6400 + 300 r min 6700 . 6400 3000 9400 9400-670 0,17 a b rmin = h=c- Rt a= rmin (1-E) h= 7824-6400 7824 km 1424</p><p>8.23 a) k + Sya r= u - k + 2 3 (1) Seja ainda a radial dada por: l + Mrs onde: r=1 u + M + M2 M u u + M F(r) e M U2 MF(r) K l2 MR l2</p><p>Logo, U"= pu+k w"= Temos que: = A cos A cos B2 Voltando a = Acos B2 r: B2 A cos (BD)+K r K B2 : K A : E K 1+ E</p><p>b) + C= B= 1+ e2 8.29 GMm r GMm r GMm r GMm r GMm r r r r - 2 E'T=0</p><p>10.3 Por argumento de para cada uma das quatro massas na base da piramide ha uma outra massa h em uma que anula sua de massa Ycm = 0 5 1 m L 5m H 10.5 Devido a simetria do problema, onde as contribuiçoes das wordenadas positivas do plano xy pelas negativas do plano xy, cen- tro massa so estara localizado em um ponto onde as de xy sao nulas Z cm= 1 onde dv dV= dr M V R TY2 2TC cost do M pr sen (20)= = sen(20) 2 R 2th sen 1 2 P 2 2 2 M = 2</p><p>In K M 4 onde M 4 3R 8 10.11 , onde do = 3M V 3 I= dr do 0 =1 (1-</p><p>I, I, -2/3 = a I= MR2 2</p><p>10.23 y - Iyz= - Ixz=0 significa que now ha contribuição da coordenada Ixx = -> Iyy= Iyy= Izz = Izz Ixx+Iyy 10.35 a) 4ma2 =2a2 (a,0,0) em } Ixx: m + 3m 3 3m Ixx = 4ma2+ 6ma2 Ixx 10 ma2 * Iyy : Iyy= + 2m + Iyy= 3ma2 6ma2 * Izz= m (a2+02) + 2m 3m Izz= = 6ma2</p><p>+2m * Ixz= Ixz= - + * - * - W 2ma2 -3ma2 - + Iyz = +ma2 R - = Ixz = Iyz 10ma2 0 0 Ixz : = ma2 Iyx Iyy Iyz = ma ma2 6ma2 016 Izz 0</p>