APOSTILA CIRCUITOS-Goulart Cap 3

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<p>“Circuitos Resistivos” 42</p><p>3 – ELEMENTOS DE CIRCUITOS</p><p>A relação entre a entrada e a saída de um circuito depende da</p><p>natureza e do tamanho dos componentes, assim como da maneira</p><p>como eles estejam interligados.</p><p>Neste capítulo discutiremos os componentes e no seguinte serão</p><p>apresentadas as leis que regem suas interligações. Neste curso</p><p>consideraremos principalmente os componentes de dois terminais,</p><p>como mostrado na Figura 17-(a).</p><p>Suponha que sejam feitas medidas de tensão e de corrente em</p><p>um componente com dois terminais, estando ele integrado em</p><p>circuitos sujeitos a uma ampla variedade de entradas. Destas</p><p>medidas será possível formular uma equação simples que aproxime as</p><p>relações tensão-corrente observadas na maioria das circunstâncias.</p><p>Um elemento ideal poderá então ser definido por esta equação e</p><p>usado como modelo para o dispositivo físico. Todos os elementos</p><p>definidos neste capítulo são ideais e somente aproximam o</p><p>comportamento de seus correspondentes físicos.</p><p>A teoria dos circuitos trabalha somente com as grandezas que</p><p>possam ser medidas nos terminais de um componente e não com os</p><p>fenômenos físicos que ocorrem dentro do mesmo. Obviamente, é</p><p>sempre mais satisfatório se o modelo escolhido puder ser relacionado</p><p>com os fenômenos internos. Mais ainda, a compreensão dos princípios</p><p>físicos, obtida na física e na teoria do campo, pode facilitar muito a</p><p>tarefa de conceber modelos satisfatórios.</p><p>A descrição matemática dos elementos ideais que serão</p><p>finalmente adotados deverá ser a mais simples possível e o número de</p><p>diferentes tipos de elementos não poderá ser excessivo.</p><p>Consequentemente, alguns componentes físicos não poderão ser</p><p>adequadamente representados por um só elemento, mas poderão ser</p><p>representados por vários elementos interligados.</p><p>Os elementos de circuitos podem ser divididos em dois grandes</p><p>grupos: os ativos, que são as fontes de tensão e corrente, os quais são</p><p>capazes de fornecer energia para a rede (o restante do circuito), e os</p><p>passivos, os quais podem absorver ou armazenar energia das fontes.</p><p>“Circuitos Resistivos” 43</p><p>Um elemento de circuito é dito passivo se a energia líquida</p><p>total fornecida a ele pelo resto do circuito (calculada pelas Eqs. (43) ou</p><p>(44)) for sempre não-negativa, isto é, w ≥ 0. A potência entregue a um</p><p>elemento passivo de circuito pode ser dissipada sob a forma de calor,</p><p>quando será irremediavelmente “perdida” (não mais recuperável pelo</p><p>circuito), ou pode ainda ser armazenada nos campos elétrico e</p><p>magnético vizinhos. (É necessária certa energia para separar</p><p>acumulações de carga e produzir-se um campo elétrico. Diz-se, então,</p><p>que esta energia foi armazenada no campo elétrico. Energia também</p><p>é necessária para fazer circular uma corrente elétrica e produzir um</p><p>campo magnético. E dizemos, então, que esta energia foi armazenada</p><p>no campo magnético).</p><p>Entre os componentes encontrados nos circuitos comuns estão o</p><p>resistor, o capacitor e o indutor. Os elementos usados para</p><p>aproximar estes componentes são a resistência (R), a capacitância</p><p>(C) e a indutância (L), respectivamente. Seus símbolos, definições e</p><p>unidades estão mostrados na Tabela 1. A menos que declarado ao</p><p>contrário, R, C e L são consideradas constantes reais não-negativas.</p><p>As unidades usadas para estas grandezas foram tiradas dos nomes de</p><p>três grandes cientistas do século XIX: Georg Simon Ohm (que propôs</p><p>a lei tomada como definição da resistência), Michael Faraday e</p><p>Joseph Henry (que descobriram, independentemente, que uma tensão</p><p>pode ser produzida por um campo magnético variante). Os símbolos</p><p>Ω, F e H são usados para ohm, farad e henry, respectivamente.</p><p>Ao passar por um condutor, os elétrons livres colidem com os</p><p>átomos do condutor e perdem um pouco da energia cinética que é</p><p>transformada em calor. Uma tensão aplicada fará com que eles</p><p>recuperem energia e velocidade, mas as colisões subseqüentes as</p><p>reduzirão novamente à medida que os elétrons livres se deslocam</p><p>entre os átomos do condutor. A resistência é a propriedade dos</p><p>materiais de se opor ou resistir ao movimento dos elétrons e exige a</p><p>aplicação de uma tensão para fazer passar a corrente.</p><p>“Circuitos Resistivos” 44</p><p>Tabela 1 – Elementos usados para aproximar componentes de</p><p>circuitos.</p><p>e(t)</p><p>i(t)</p><p>R</p><p>e(t)</p><p>i(t)</p><p>C</p><p>L</p><p>i(t)</p><p>e(t)</p><p>Resistência:</p><p>R onhms (Ω)</p><p>Condutância:</p><p>G(mhos) = 1/R</p><p>Capacitância:</p><p>C farads (f)</p><p>Elastância:</p><p>S (darafs) = 1/C</p><p>Auto indutância:</p><p>L henrys (h)</p><p>Condutância</p><p>inversa:</p><p>Γ (henrys inversos)</p><p>= 1/L</p><p>Elemento de</p><p>circuito</p><p>Símbolo Equação de</p><p>definição</p><p>1( )e t idt</p><p>C</p><p>= ∫</p><p>1( )e t edt</p><p>L</p><p>= ∫</p><p>( ) . ( )et Ri t=</p><p>( )( ) ( )e ti t Ge t</p><p>R</p><p>= =</p><p>( ) dei t C</p><p>dt</p><p>=</p><p>( ) die t L</p><p>dt</p><p>=</p><p>3.1 - Resistência</p><p>A definição de resistência, e(t)=R i(t), também conhecida como</p><p>Lei de Ohm, indica que a corrente e a tensão são diretamente</p><p>proporcionais. Assim, curvas de e(t) e i(t), traçadas em função de t,</p><p>têm sempre a mesma forma, diferindo somente na escala usada no</p><p>eixo vertical, como ilustrado na Figura 21-(a). De fato, a forma de</p><p>onda de uma corrente é frequentemente determinada</p><p>experimentalmente pelo exame da forma de onda da tensão em um</p><p>resistor através do qual ela passa. A condutância é definida como</p><p>“Circuitos Resistivos” 45</p><p>G=1/R, e a sua unidade é o mho, obtida escrevendo ohm de trás para</p><p>diante. (A unidade legal para condutância é denominada siemens,</p><p>com símbolo S. Admite-se, entretanto, chamá-la de mho, que é mais</p><p>usual).</p><p>Na Tabela 1, a seta da tensão é dirigida para o terminal onde</p><p>entra a seta da corrente (setas em oposição). Se uma das setas for</p><p>alterada, será necessário introduzir um sinal negativo na equação,</p><p>como ilustrado na Figura 20.</p><p>Figura 20 – Sinal na equação da Lei de Ohm em função</p><p>das setas de referência de tensão e corrente.</p><p>Da Eq. (39), a potência entregue à resistência da Figura 20-(a) é</p><p>p = e.i=R.i2 = G.e2 = e2/R (52)</p><p>e será sempre não-negativa se R for tomada como não-negativa.</p><p>Portanto, a resistência nunca pode ser uma fonte de potência, mas</p><p>somente absorvê-la e dissipá-la em forma de calor; consequentemente,</p><p>a resistência é um elemento passivo. A energia total fornecida a uma</p><p>resistência pode ser calculada pela Eq. (43). A Figura 21-(b) mostra a</p><p>potência e a energia correspondentes às formas de onda de corrente e</p><p>tensão da Figura 21-(a). Ao traçar w(t) na Figura 21-(b) admitiu-se</p><p>que nenhuma potência tenha sido fornecida antes do instante t = 0.</p><p>A resistência de valor zero (tensão zero) é denominada de curto-</p><p>circuito e a condutância de valor zero, ou seja, uma resistência</p><p>infinita (corrente zero), é denominada um circuito aberto. Estes</p><p>dois casos extremos são mostrados na Figura 22. Nem todos os curto-</p><p>circuitos e os circuitos abertos são desejados. Frequentemente, um</p><p>ou outro é uma falha do circuito que ocorre como resultado de</p><p>uma falha de um componente devido a um acidente ou ao uso</p><p>incorreto de um circuito.</p><p>“Circuitos Resistivos” 46</p><p>1</p><p>R</p><p>2</p><p>3R</p><p>1</p><p>3R</p><p>1</p><p>R</p><p>Figura 21–(a) Sinais de tensão e corrente numa</p><p>resistência R e (b) potência e energia correspondentes.</p><p>(a) curto-circuito</p><p>e(t)=0 e(t)</p><p>(b) circuito aberto</p><p>i(t) i(t) = 0</p><p>Figura 22 – (a) Ilustração de curto-circuito (e=0) e</p><p>(b) de circuito aberto (i=0).</p><p>Embora todos os condutores metálicos tenham alguma</p><p>resistência, resistores são dispositivos construídos para fazer a</p><p>resistência ser o efeito dominante. Admitiremos que a resistência de</p><p>um fio ligando dois componentes ou é desprezível ou é representada</p><p>por um elemento separado no modelo de um circuito. Assim, todos os</p><p>fios de interligação mostrados nos circuitos deverão ser interpretados</p><p>como curto-circuitos sem nenhuma diferença de potencial entre seus</p><p>dois extremos.</p><p>Quando uma estrutura física capaz de converter potência</p><p>elétrica em calor é representada por uma resistência ideal, um certo</p><p>número de aproximações é feito. Inicialmente porque a potência não</p><p>é exatamente proporcional ao quadrado</p><p>ser usada</p><p>produzindo bons resultados. Neste curso L será considerada sempre</p><p>como uma constante.</p><p>Fisicamente, qualquer extensão de um condutor apresenta</p><p>alguma indutância associada, quando ele é percorrido por uma</p><p>corrente variável com o tempo. Isto significa que não é necessário</p><p>construir um indutor para se obter indutância. Um indutor é um</p><p>dispositivo físico construído para que a indutância seja a sua</p><p>característica principal, ou seja, possua a capacidade de armazenar e</p><p>fornecer quantidades finitas de energia. Diz-se, então, que a energia</p><p>foi armazenada no campo magnético.</p><p>A indutância de um condutor ou de uma bobina é sempre de</p><p>interesse. Normalmente, a indutância de fios curtos não nos</p><p>preocupa particularmente, mas muitos circuitos eletrônicos modernos</p><p>operam com velocidades altíssimas, e variações de corrente de,</p><p>digamos, 15[mA] em 0,5[µs] são muito comuns. Então</p><p>∆i/∆t=15[mA]/0,5[µs]=30.000[A/s]. Sob estas circunstâncias, tensões</p><p>“Circuitos Resistivos” 94</p><p>relativamente grandes podem aparecer ao longo dos fios de conexão</p><p>devido às suas indutâncias próprias.</p><p>Em geral, a indutância de sinais de alta freqüência tende a ser</p><p>um pouco menor que aquela de baixa freqüência devido ao efeito skin.</p><p>A indutância também pode ser considerada como sendo a</p><p>propriedade de um circuito de se opor às variações bruscas de</p><p>corrente. De acordo com a Eq. (128), uma mudança brusca na</p><p>corrente (uma descontinuidade na curva de i), exigiria uma tensão</p><p>auto-induzida infinita. Neste curso não admitiremos a existência de</p><p>tensões infinitas, ou seja, não será admitida a mudança brusca</p><p>na corrente de uma indutância. Esta restrição à presença de</p><p>tensões infinitas será removida, em outros cursos, quando for</p><p>admitida a existência das chamadas tensões impulsivas. É claro que</p><p>não existe restrição similar para a tensão do indutor. Ela pode sofrer</p><p>descontinuidade ou até mesmo mudar de polaridade (mudar de sinal)</p><p>instantaneamente. As correntes dos indutores não saltarem, isto é,</p><p>não sofrerem descontinuidades, significa que as correntes dos</p><p>indutores imediatamente após uma operação de comutação (t=0+) são</p><p>as mesmas que imediatamente antes da operação (t=0-). Este é um</p><p>dado importante na análise transitória de circuitos contendo</p><p>indutores.</p><p>Se for feita uma tentativa de abrir um circuito de um indutor</p><p>através do qual esteja fluindo uma corrente finita e armazenando</p><p>uma energia (1/2)Li2, um arco pode aparecer entre os terminais da</p><p>chave. A energia armazenada no indutor será despendida na</p><p>ionização do ar na região de aparecimento do arco.</p><p>É necessário atentar para o fato de que a Eq. (128), ou seja,</p><p>e=Ldi/dt implica que as referências de corrente e tensão estão</p><p>associadas: a seta de corrente entra no terminal para o qual está</p><p>dirigida a seta de tensão (setas em oposição). Caso contrário (setas de</p><p>tensão e corrente no mesmo sentido), um sinal menos é necessário,</p><p>isto é, e= –Ldi/dt.</p><p>A Eq. (128) também nos revela que se a corrente de um indutor</p><p>é constante, então a tensão nos seus terminais é zero, porque di/dt=0.</p><p>Com uma corrente fluindo por ele, mas com tensão zero sobre ele,</p><p>“um indutor, comporta-se como um curto-circuito em relação</p><p>à corrente contínua” (corrente constante).</p><p>Da Eq. (128), podemos obter que</p><p>“Circuitos Resistivos” 95</p><p>∫= ,dt)t(e</p><p>L</p><p>1)t(i (132)</p><p>que pode ser trocada por</p><p>∫ ∞−</p><p>λλ=</p><p>t d)(e</p><p>L</p><p>1)t(i (133)</p><p>ou, ainda, de maneira equivalente e mais clara, como</p><p>∫ λλ+=</p><p>t</p><p>t0 0</p><p>d)(e</p><p>L</p><p>1)t(i)t(i (134)</p><p>Se t0 = 0, a Eq. (134) torna-se</p><p>∫ λλ+=</p><p>t</p><p>0 d)(e</p><p>L</p><p>1)0(i)t(i (135)</p><p>A Eq, (127) pode ser escrita como</p><p>d(N φ) = edt (136)</p><p>ou que</p><p>∫∫ =φ=φ dt)t(eN)N(d (137)</p><p>Assim, a grandeza ∫ edt representa o fluxo enlaçado ou fluxo</p><p>concatenado de uma bobina de N espiras, e a comparação das Eqs.</p><p>(132) e (137) permite concluir que</p><p>)t(N</p><p>L</p><p>1)t(i φ= (138)</p><p>ou que</p><p>Nφ(t) = Li(t) (139)</p><p>Obviamente, para uma única espira</p><p>φ(t) = Li(t) (140)</p><p>“Circuitos Resistivos” 96</p><p>A Figura 48-(a) mostra um par de formas de ondas de tensão e</p><p>de corrente em uma indutância L, quando i(0) = 0. Embora a forma</p><p>da integral da Eq. (132) seja a mais frequentemente encontrada –</p><p>porque é mais simples de escrever – a integral deverá ser</p><p>interpretada como nas Eqs. (133) e (134).</p><p>1</p><p>L</p><p>1</p><p>2L</p><p>1</p><p>2L 1</p><p>4L1</p><p>8L</p><p>Figura 48 – (a) Tensão e corrente numa indutância L, se</p><p>i(0)=0 e (b) curvas de potência e energia correspondentes,</p><p>se w(0)=0.</p><p>A potência fornecida a uma indutância pode ser escrita</p><p>dt</p><p>)t(di)t(i.L)t(i).t(e)t(p == (141)</p><p>de acordo com as Eqs. (39) e (128).</p><p>Supondo que até algum instante t0 não tivessem sido ainda</p><p>fornecidas nem tensão, nem corrente e nem energia para a</p><p>indutância, então i(t0)=w(t0)=0. Pela Eq. (43), a energia total recebida</p><p>pela indutância até o instante t é</p><p>∫∫</p><p>=λ</p><p>=λ</p><p>=λ</p><p>=λ</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>⎤</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>⎡ λ</p><p>=λλ=λ</p><p>λ</p><p>λ</p><p>λ=</p><p>t</p><p>t</p><p>t</p><p>t</p><p>2t</p><p>t 0</p><p>0</p><p>0 2</p><p>)(iL)(di)(iLd</p><p>d</p><p>)(di)(Li)t(w</p><p>Portanto,</p><p>“Circuitos Resistivos” 97</p><p>),t(iL</p><p>2</p><p>1)t(w 2= (142)</p><p>pois o limite inferior i2(t0) é nulo. Se a variável t na Eq. (142) for</p><p>omitida, ela pode ser escrita simplesmente como</p><p>2iL</p><p>2</p><p>1w = (143)</p><p>Se a indutância L ≥ 0, a energia total líquida fornecida à mesma</p><p>até um instante t qualquer será também não-negativa (w ≥ 0),</p><p>confirmando ser a indutância um elemento passivo de circuito.</p><p>Nota 7: Se uma indutância for variante com o tempo ela será</p><p>denotada por L(t). Neste caso, a Eq. (140), (ou 139, para uma bobina</p><p>com N espiras), deve ser substituída por</p><p>φ(t) = L(t) i(t) (144)</p><p>Então a tensão induzida numa tal indutância será</p><p>dt</p><p>)t(dL).t(i</p><p>dt</p><p>)t(di).t(L</p><p>dt</p><p>)t(d)t(e +=</p><p>φ</p><p>= (145)</p><p>A Eq. (145) mostra que, mesmo para corrente contínua</p><p>(i=constante), existe tensão induzida e o componente não pode ser</p><p>tratado como um curto-circuito, porque di(t)/dt=0 mas dL(t)/dt≠0.</p><p>Ou seja, para uma corrente contínua I, a tensão numa indutância</p><p>variante com o tempo seria</p><p>dt</p><p>)t(dL.I)t(e = (146)</p><p>Nota 8: A indutância e a capacitância são elementos duais, pois</p><p>suas equações de definição, e(t)=Ldi(t)/dt e i(t)=Cde(t)/dt, são</p><p>essencialmente as mesmas, exceto pelo fato de que os papéis de e(t) e</p><p>de i(t) são trocados. Assim, para obter todas as equações de uma</p><p>delas, basta efetuar as trocas adequadas em todas as equações da</p><p>outra. Por exemplo, se na equação (67), q=C.e, substituirmos C por L</p><p>e e por i, obtemos a Eq. (140), φ=Li, mostrando que o dual de q, a</p><p>“Circuitos Resistivos” 98</p><p>carga na capacitância, é φ, o fluxo na indutância. A Tabela 7 mostra</p><p>uma relação para obtenção de duais em se tratando de circuitos</p><p>elétricos.</p><p>Tabela 7 – Relação de dualidade para circuitos elétricos</p><p>Ligação Série Ligação Paralela</p><p>Carga Elétrica q Fluxo Magnético φ</p><p>Tensão Corrente</p><p>Fonte de Tensão Fonte de Corrente</p><p>Curto-Circuito Circuito Aberto</p><p>Resistência (R) Condutância (G)</p><p>Capacitância (C) Indutância (L)</p><p>Malha Nó</p><p>Tensão Nodal Corrente de Malha</p><p>Malha contendo N</p><p>ramos em série</p><p>Nó contendo N ramos</p><p>em paralelo</p><p>Chave que se fecha Chave que se abre</p><p>É importante frisar que circuito dual não é o mesmo que circuito</p><p>equivalente. Dois circuitos elétricos são duais quando são descritos</p><p>pelas mesmas equações, embora apresentando funcionamentos físicos</p><p>diferentes.</p><p>A conexão de N indutores em série da Figura 49 é dual da</p><p>conexão paralela de N capacitores da Figura 41-(a).</p><p>Consequentemente, a indutância equivalente Leq pode ser obtida de</p><p>Ceq, substituindo-se as capacitâncias da Eq. (116) pelas respectivas</p><p>indutâncias duais. Portanto, para as N indutâncias ligadas em série,</p><p>a indutância equivalente é</p><p>Leq = L1 + L2 + L3 +...+ LN (147)</p><p>Portanto, indutores em série combinam de maneira análoga a</p><p>resistores em série, isto é, combinam-se através da adição.</p><p>“Circuitos Resistivos” 99</p><p>Figura 49 – N indutores ligados em série.</p><p>Da mesma forma, dois indutores de indutâncias L1 e L2 ligados</p><p>em paralelo constituem a configuração dual dos dois capacitores de</p><p>capacitâncias C1 e C2 ligados em série da Figura 42-(a). Portanto,</p><p>efetuando-se as trocas pelos respectivos duais na Eq. (120), obtemos</p><p>que</p><p>21eq L</p><p>1</p><p>L</p><p>1</p><p>L</p><p>1</p><p>+= (148)</p><p>ou</p><p>21</p><p>21</p><p>eq LL</p><p>L.LL</p><p>+</p><p>= (149)</p><p>A generalização para N indutores ligados em paralelo da Figura</p><p>50 é obtida da troca de duais na Eq. (122), e resulta em</p><p>N321eq L</p><p>1...</p><p>L</p><p>1</p><p>L</p><p>1</p><p>L</p><p>1</p><p>L</p><p>1</p><p>++++= (150)</p><p>1 1 1 1 1...</p><p>1 2 3Leq L L L Ln</p><p>= + +</p><p>Figura 50 – N indutores ligados em paralelo.</p><p>Valores típicos de indutância são encontrados em miliHenrys</p><p>[mH] ou em microHenrys [µH].</p><p>A seguir são apresentadas as indutâncias de algumas</p><p>configurações de interesse.</p><p>“Circuitos Resistivos” 100</p><p>Fio condutor isolado</p><p>A Figura 51 mostra um condutor circular isolado de</p><p>comprimento l[m] e diâmetro d[m]. A indutância deste fio é dada por:</p><p>[ ]H75,0</p><p>d</p><p>4n2,0L µ⎥</p><p>⎦</p><p>⎤</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>⎡</p><p>−⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛= (151)</p><p>Figura 51 – Fio condutor isolado.</p><p>Condutores idênticos paralelos</p><p>Para dois condutores idênticos conduzindo correntes em</p><p>sentidos opostos, como mostrado na Figura 52, para D>>d, a</p><p>indutância equivalente de ambos é dada por</p><p>[ ]HD</p><p>d</p><p>D2n4,0L µ⎥</p><p>⎦</p><p>⎤</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>⎡</p><p>−⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛≈ (152)</p><p>d</p><p>D</p><p>i</p><p>i</p><p>l</p><p>Figura 52 – Condutores idênticos em paralelo.</p><p>A Eq. (152) não vale para uma espira conectada nos extremos</p><p>(tracejada na Figura 52). Se a conexão for perpendicular aos dois</p><p>condutores, a indutância da ligação deve ser calculada pela Eq. (151)</p><p>e adicionada àquela da Eq. (152).</p><p>Solenóide</p><p>“Circuitos Resistivos” 101</p><p>A Figura 53 mostra uma bobina de simples camada, também</p><p>chamada de solenóide. A sua indutância, com 1% de precisão se l ></p><p>0,8.r, é dada por</p><p>[ ]H</p><p>10r9</p><p>N.r5,39L</p><p>22</p><p>µ</p><p>+</p><p>≈ (153)</p><p>onde</p><p>N = número de espiras</p><p>r = raio [m]</p><p>l = comprimento do enrolamento [m]</p><p>Figura 53 – Solenóide de N espiras, comprimento l e raio</p><p>r.</p><p>Exemplo 51: Achar o número de espiras de uma bobina para a qual</p><p>uma variação de 0,4 [Wb/s] do fluxo que a atravessa induz uma</p><p>tensão de 20[V].</p><p>Solução: O número de espiras é dado pela Eq. (127) e vale</p><p>espiras50</p><p>4,0</p><p>20</p><p>dt/d</p><p>eN ==</p><p>φ</p><p>=</p><p>Exemplo 52: Achar a indutância de uma bobina de 100 espiras que é</p><p>atravessada pelo fluxo de 3.10-4[Wb] quando uma corrente de 20[mA]</p><p>passa por ela.</p><p>“Circuitos Resistivos” 102</p><p>Solução: A fórmula pertinente está contida na Eq. (139): Nφ=Li.</p><p>Então,</p><p>]H[5,1</p><p>10.20</p><p>)10.3(100</p><p>i</p><p>NL 3</p><p>4</p><p>==</p><p>φ</p><p>=</p><p>−</p><p>−</p><p>Exemplo 53: Achar o valor aproximado da indutância de uma bobina</p><p>de uma só camada com 300 espiras enroladas num núcleo cilíndrico</p><p>de plástico de 12[cm] de comprimento e 0,5[cm] de diâmetro.</p><p>Solução: A solução vem da Eq. (130): L=µ N2A/l, onde µ = µr . µ0 é a</p><p>permeabilidade do plástico. Como a permeabilidade relativa do</p><p>plástico é muito próxima de 1, podemos tomar µ ≈ µ0. Portanto</p><p>( ) ( )</p><p>]H[10.185</p><p>10.12</p><p>10.25,6.10.9.10.4</p><p>10.12</p><p>10.25,0.30010.4ANL</p><p>7</p><p>2</p><p>6472</p><p>2</p><p>2227</p><p>2</p><p>0</p><p>−</p><p>−</p><p>−−</p><p>−</p><p>−−</p><p>=</p><p>π</p><p>=</p><p>=</p><p>⎥⎦</p><p>⎤</p><p>⎢⎣</p><p>⎡ππ</p><p>=</p><p>µ</p><p>=</p><p>ou</p><p>L = 18,5[ µH]</p><p>Exemplo 54: Achar a indutância aproximada de uma bobina de uma</p><p>só camada com 50 espiras enroladas em um núcleo cilíndrico</p><p>ferromagnético com 1,5 [cm] de comprimento e 1,5[mm] de diâmetro,</p><p>se a permeabilidade relativa do material ferromagnético é µr = 7000.</p><p>Solução: De acordo com a Eq. (130),</p><p>]mH[59,2</p><p>10.5,1</p><p>])10.75,0.([50)10.4.7000(ANANL 2</p><p>23272</p><p>0r</p><p>2</p><p>=</p><p>=</p><p>ππ</p><p>=</p><p>µµ</p><p>=</p><p>µ</p><p>=</p><p>−</p><p>−−</p><p>Exemplo 55: Achar a tensão induzida numa bobina de 200[mH] de</p><p>indutância em 3[ms] se a corrente aumenta uniformemente de</p><p>30[mA] em t=2[ms] para 90[mA] em t=5[ms].</p><p>“Circuitos Resistivos” 103</p><p>Solução: Devido ao fato de a corrente aumentar uniformemente com</p><p>o tempo, a tensão induzida é constante durante o citado intervalo de</p><p>tempo, e a Eq. (128) pode ser trocada por</p><p>t</p><p>iL</p><p>dt</p><p>diLe</p><p>∆</p><p>∆</p><p>== (154)</p><p>onde ∆i é a corrente no final do intervalo de tempo menos a corrente</p><p>no início do mesmo: 90-30=60[mA]. E, claro, ∆t = 5-2=3[ms]. Então,</p><p>]ms[5t]ms[2para]V[4</p><p>10.3</p><p>10.60.10.200e 3</p><p>3</p><p>3 0</p><p>Mas, como cos(ωt+π/2) = cosωt.cosπ/2–senωt.senπ/2= –senωt,</p><p>então</p><p>e(t)= ωLI cos(ωt+π/2)= ωLIcos[ω (t+π /2ω)] (156)</p><p>“Circuitos Resistivos” 107</p><p>Comparando as Eqs. (155) e(156) podemos, então, concluir que:</p><p>“para formas de ondas senoidais, numa indutância pura (ideal), a</p><p>tensão está adiantada de 90º (π/2)[rd] da corrente ou, de forma</p><p>equivalente, a corrente i(t) está atrasada de 90º (π/2)[rd] da tensão</p><p>e(t)”. Esta conclusão é corroborada pela Eq. (133), pois se a corrente</p><p>depende da área sob a curva da tensão, obviamente, não pode se</p><p>adiantar a ela. Portanto, a corrente numa indutância está</p><p>sempre atrasada da tensão. Se e(t) surgir em t=0, i(t) surgirá em</p><p>t=0+.</p><p>Mas veja bem: a defasagem é de π/2 [rd] (90º) quando a referência é</p><p>ωt. Quando ela é t, a defasagem é de t0 = π/2ω. Assim, se a tensão</p><p>senoidal passar pelo seu valor máximo num determinado instante</p><p>t=τ, a corrente senoidal correspondente passará pelo seu valor</p><p>máximo (ou de pico) um tempo t0=π/2ω depois de τ, embora ambas</p><p>existam naquele instante τ e em todos os outros instantes</p><p>antecedentes e subseqüentes.</p><p>Exemplo 60: Uma corrente i(t) = 0,32t[A] passa por um indutor de</p><p>150 [mH]. Achar a energia armazenada em t=4[s].</p><p>Solução: Em t=4[s] a corrente no indutor é i=0,32.4=1,28[A].</p><p>Portanto, de acordo com a Eq. (142), a energia armazenada é</p><p>w(4)=</p><p>2</p><p>1 Li2(4)=0,5(150.10-3)(1,28)2=0,123[J]</p><p>3.5 - Fontes</p><p>Acabamos de estudar os elementos passivos de circuitos, a</p><p>saber: o resistor, o capacitor e o indutor. Abordaremos agora os</p><p>elementos ativos, ou seja, as fontes. Fontes são elementos de dois</p><p>terminais para os quais não há uma relação direta tensão-corrente,</p><p>como nos elementos passivos. Portanto, quando uma das duas</p><p>variáveis for dada, a outra não poderá ser calculada sem um</p><p>conhecimento do restante do circuito. As fontes podem ser</p><p>classificadas em fontes independentes e fontes dependentes ou</p><p>controladas.</p><p>“Circuitos Resistivos” 108</p><p>Fontes independentes são aquelas para as quais ou a tensão ou a</p><p>corrente é sempre dada. A fonte de tensão independente</p><p>mostrada na Figura 57-(a) tem uma tensão e(t) que é uma função</p><p>especificada do tempo e que é independente de quaisquer ligações</p><p>externas. (As fontes aqui definidas são elementos ideais que somente</p><p>aproximam os dispositivos físicos; assim, elas são consideradas como</p><p>sendo capazes de fornecer energia indefinidamente). A corrente i(t)</p><p>dependerá das ligações externas e poderá passar em ambos os</p><p>sentidos. Se em algum instante ambos os valores de e(t) e i(t) forem</p><p>positivos (com as setas de e(t) e de i(t) concordantes), a fonte estará</p><p>fornecendo e não absorvendo potência (isto devido a que a seta de</p><p>corrente sai do terminal para o qual a seta de tensão está dirigida). A</p><p>corrente pode assumir qualquer valor, de maneira que a fonte de</p><p>tensão é teoricamente capaz de fornecer uma quantidade ilimitada de</p><p>potência e de energia para o restante do circuito.</p><p>Uma fonte de tensão independente que apresente em seus</p><p>terminais uma tensão constante é, normalmente, chamada de fonte</p><p>de tensão contínua. E uma fonte que apresente uma tensão que</p><p>varia senoidalmente com o tempo (incluindo a função cosseno, porque</p><p>cosωt=sen(ωt+π/2)) é chamada de fonte de tensão alternada.</p><p>Uma bateria é uma fonte de tensão independente que fornece</p><p>uma tensão quase constante, independentemente da corrente que</p><p>está sendo solicitada dela e, assim, pode ser aproximada por uma</p><p>fonte de tensão de valor constante. Quando e(t) é uma constante, isto</p><p>é, quando a fonte de tensão é contínua, a fonte é algumas vezes</p><p>desenhada como mostrado na Figura 57-(b), onde os segmentos de</p><p>reta pequenos sugerem as placas de uma bateria. Convém notar na</p><p>figura 57(b) que, sendo sugerida a estrutura física da bateria, ao traço</p><p>mais longo dever ser associado o sinal positivo; assim, embora os</p><p>sinais + e – representem uma redundância de notação, eles são</p><p>normalmente incluídos. Uma fonte de tensão de valor zero é</p><p>equivalente ao curto-circuito mostrado na Figura 22-(a).</p><p>“Circuitos Resistivos” 109</p><p>Figura 57 – (a) Fonte independente de tensão, (b) representação de</p><p>uma bateria e (c) fonte independente de corrente.</p><p>Uma pilha voltaica química é constituída por uma</p><p>combinação de materiais usados para converter energia química em</p><p>energia elétrica. A pilha ou célula química é formada por dois</p><p>eletrodos de metais ou por compostos metálicos, diferentes, e um</p><p>eletrólito, que é uma solução capaz de conduzir uma corrente</p><p>elétrica, como mostrado na Figura 58-(a). Forma-se uma bateria</p><p>quando duas ou mais dessas células são conectadas.</p><p>Um exemplo excelente de um par de eletrodos é o zinco e o</p><p>cobre. O zinco contém uma abundância de átomos carregados</p><p>negativamente (íons negativos), enquanto o cobre apresenta uma</p><p>abundância de átomos carregados positivamente (íons positivos).</p><p>Quando se imerge placas destes metais num eletrólito, tem início uma</p><p>ação química entre eles. O eletrodo constituído de zinco acumula uma</p><p>carga negativa muito maior, pois ele se dissolve lentamente no</p><p>eletrólito. Os átomos que saem do eletrodo de zinco estão carregados</p><p>positivamente. São atraídos pelos íons (–) carregados negativamente</p><p>do eletrólito, enquanto repelem os íons (+) carregados positivamente</p><p>do eletrólito em direção ao eletrodo de cobre, como mostrado na</p><p>Figura 58-(b). Isto faz com que elétrons sejam retirados do cobre</p><p>deixando-o com um excesso de carga positiva. Se uma carga, como</p><p>por exemplo uma lâmpada, for ligada através dos terminais dos</p><p>eletrodos, as forças de atração e repulsão farão com que os elétrons</p><p>livres do eletrodo de zinco (negativo), dos fios condutores, e do</p><p>filamento da lâmpada se desloquem em direção ao eletrodo de cobre</p><p>carregado positivamente, como mostrado na Figura 58-(c). A</p><p>diferença de potencial resultante permite que a pilha funcione como</p><p>uma fonte de tensão.</p><p>“Circuitos Resistivos” 110</p><p>Figura 58 – Ilustração do princípio de funcionamento de</p><p>uma pilha voltaica química.</p><p>O eletrólito de uma pilha pode ser líquido ou pastoso. Se o</p><p>eletrólito for líquido, a pilha é chamada de pilha úmida. Se o</p><p>eletrólito for na forma pastosa, ela é chamada de pilha seca.</p><p>Quando várias pilhas são ligadas em série, como na Figura 59, a</p><p>tensão total através da bateria de células é igual à soma da tensão em</p><p>cada pilha separadamente. Na Figura 59, as quatro pilhas de 1,5[V]</p><p>ligadas em série fornecem uma tensão total para a bateria de 6[V].</p><p>Observe-se que quando as pilhas são colocadas em série, o terminal</p><p>positivo de uma é ligado ao terminal negativo da outra, e assim</p><p>sucessivamente. E que a corrente que passa através de uma bateria</p><p>formada por pilhas em série é a mesma que passa por uma única</p><p>pilha, porque a mesma corrente passa por todas as pilhas em série.</p><p>Para se obter uma corrente maior, a bateria é formada por</p><p>pilhas em paralelo, como mostrado na Figura 60. Quando as pilhas</p><p>são ligadas em paralelo, todos os terminais positivos são conectados</p><p>entre si e todos os terminais negativos são ligados pelo mesmo fio</p><p>condutor.</p><p>“Circuitos Resistivos” 111</p><p>V∆</p><p>V∆</p><p>Figura 59 – Bateria de pilhas ligadas em série.</p><p>Figura 60 – Bateria de pilhas em paralelo.</p><p>A tensão total de saída de uma bateria formada por pilhas em</p><p>paralelo é a mesma que a de uma única pilha, como mostrado na</p><p>Figura 60, mas a corrente é a soma das correntes através de cada</p><p>pilha.</p><p>As pilhas podem, ainda, ser classificadas em primárias e</p><p>secundárias. As pilhas primárias são aquelas que não podem ser</p><p>recarregadas ou retornarem às condições originais de funcionamento</p><p>depois de a sua tensão de saída ter diminuído excessivamente. As</p><p>pilhas secas usadas em lanternas e em rádios transistorizados</p><p>(portáteis) são exemplos de pilhas primárias.</p><p>“Circuitos Resistivos” 112</p><p>As pilhas secundárias são aquelas recarregáveis. Durante a</p><p>recarga, os produtos químicos que produzem a energia elétrica são</p><p>restituídos às suas condições originais. A recarga é feita passando-se</p><p>uma corrente contínua através da pilha no sentido oposto ao sentido</p><p>da corrente que a pilha libera no circuito. A pilha é recarregada</p><p>ligando-a a um carregador de bateria com os pólos de mesmo</p><p>nome, isto é, positivo com positivo e negativo com negativo, como</p><p>mostrado na Figura 61. O exemplo mais comum de uma pilha</p><p>secundária é a bateria que alimenta o sistema elétrico dos</p><p>automóveis.</p><p>São usadas pilhas secundárias menores e blindadas na</p><p>alimentação de equipamentos portáteis como barbeadores,</p><p>calculadoras, agendas eletrônicas e telefones celulares.</p><p>Figura 61 – Recarga de uma pilha secundária com um</p><p>carregador de bateria.</p><p>Um gerador é uma máquina na qual se usa a indução</p><p>eletromagnética para produzir uma tensão por meio da rotação de</p><p>bobinas de fio condutor através de um campo magnético estacionário</p><p>ou pela rotação de um campo magnético, chamado campo girante,</p><p>através de bobinas estacionárias. Uma rotação completa de cada</p><p>espira da bobina é chamada de ciclo. Um gerador que produz uma</p><p>tensão alternada senoidal é geralmente chamado de alternador.</p><p>A fonte de corrente independente, mostrada na Figura 57-</p><p>(c), produz uma corrente específica i(t) independente das ligações</p><p>externas. Como a tensão e(t) nos seus terminais depende do restante</p><p>do circuito, e pode assumir qualquer valor, a fonte independente de</p><p>corrente também pode fornecer uma quantidade ilimitada de potência</p><p>e energia. A introdução do conceito de fonte de corrente pode causar</p><p>alguma surpresa em quem está mais familiarizado com fontes de</p><p>tensão, mas muitos dispositivos podem ser representados por uma</p><p>fonte de corrente combinada com alguns elementos passivos. Além</p><p>disso, indutores inicialmente energizados, isto é, percorridos por uma</p><p>corrente inicial i(0)=I, podem ser representados por uma indutância</p><p>desenergizada L em paralelo com uma fonte de corrente de valor I. É</p><p>lógico que a situação dual também existe, ou seja, um capacitor com</p><p>uma tensão inicial e(0)=E pode ser substituído por uma capacitância</p><p>“Circuitos Resistivos” 113</p><p>desenergizada C em série com uma fonte de tensão de valor E. Estas</p><p>afirmações têm respaldo nas Eqs. (135) e (90), que também são duais.</p><p>Esses equivalentes são muito importantes na análise transitória de</p><p>circuitos contendo indutâncias e capacitâncias inicialmente</p><p>energizadas. Uma fonte de corrente de valor zero é equivalente ao</p><p>circuito aberto mostrado na Figura 22 – (b).</p><p>O termo fonte em repouso é frequentemente usado para</p><p>designar uma fonte de valor zero. Então, uma fonte de tensão em</p><p>repouso é um curto-circuito e uma fonte de corrente em repouso é um</p><p>circuito aberto.</p><p>Uma fonte controlada, também chamada de fonte</p><p>dependente ou fonte vinculada, é uma cujo valor não é</p><p>independente do restante do circuito do qual faz parte, mas é uma</p><p>função conhecida de alguma outra tensão ou corrente do mesmo</p><p>circuito. De um modo geral, as fontes dependentes raramente são</p><p>componentes físicos reais. Mas elas são particularmente importantes</p><p>na construção de modelos de transistores e outros componentes</p><p>eletrônicos, como os circuitos integrados, por exemplo. A Figura 62–</p><p>(a) mostra um modelo muito simples de um amplificador a transistor,</p><p>com a fonte de corrente i2(t) controlada pela corrente i1(t). A Figura</p><p>62-(b) mostra uma fonte de corrente i2(t) que é controlada pela tensão</p><p>e1(t) e a Figura 62-(c) representa uma fonte de tensão e2(t) controlada</p><p>pela corrente i1(t). De uma certa maneira, uma fonte controlada não é</p><p>realmente um componente de dois terminais, pois a tensão ou a</p><p>corrente da qual ela depende (e que pode estar localizada em</p><p>qualquer lugar) deve também ser mostrada para que o elemento fique</p><p>completamente caracterizado.</p><p>“Circuitos Resistivos” 114</p><p>Figura 62–(a) Modelo simples de amplificador a</p><p>transistor, (b) fonte de corrente controlada por tensão, e</p><p>(c) fonte de tensão controlada por corrente.</p><p>Um símbolo para o transistor NPN de emissor comum é</p><p>dado na Figura 63-(a) onde b, e e c denotam os terminais da base, do</p><p>emissor (comum à entrada e à saída) e do coletor. Este componente</p><p>pode ser operado de maneira (aproximadamente) linear ou de</p><p>maneira não-linear. Na faixa linear, a corrente do coletor ic(t) é</p><p>aproximadamente proporcional à corrente da base ib(t) , mas depende</p><p>também da tensão entre o coletor e o emissor ece(t). Se a tensão entre</p><p>a base e o emissor ebe(t), que é usualmente pequena, for considerada</p><p>nula, o modelo com uma fonte controlada da Figura 63-(b) poderá ser</p><p>usado. Um valor típico para o fator de amplificação β da fonte de</p><p>corrente controlada por corrente é β=50. A pequena tensão entre a</p><p>base e o emissor ebe(t) depende da corrente da base ib(t) e, em menor</p><p>extensão, da tensão do coletor para o emissor ece(t). Um modelo mais</p><p>exato, então, que inclui estes efeitos, é mostrado na Figura 63-(c),</p><p>contendo duas fontes controladas.</p><p>Figura 63–(a) Símbolo do transistor NPN ligado com</p><p>emissor comum, (b) seu modelo mais simples e (c) um</p><p>modelo mais exato.</p><p>“Circuitos Resistivos” 115</p><p>O transistor também possui alguma capacitância interna, que</p><p>poderá ser necessário incluir em algumas aplicações, mas que não é</p><p>incluída na Figura 63. Os elementos adicionais nos modelos mais</p><p>rigorosos (e mais complicados também) representam fenômenos que</p><p>não são desejados na maioria dos casos mas que não podem ser</p><p>completamente evitados. Estes elementos adicionais não podem ser</p><p>ignorados e são algumas vezes chamados de elementos parasitas.</p><p>Uma rede que não contenha nenhum elemento ativo (fonte) é</p><p>chamada de rede passiva.</p><p>da corrente. Em particular, o</p><p>fator R depende da temperatura. Por exemplo, a resistência de uma</p><p>lâmpada incandescente de 120[V] e 100[W] é de cerca de 10[Ω],</p><p>“Circuitos Resistivos” 47</p><p>quando o filamento está operando nestas circunstâncias, e somente</p><p>uma fração de 10[Ω] quando o filamento está à temperatura</p><p>ambiente.</p><p>Por outro lado, a potência dissipada é distribuída no volume do</p><p>resistor, e esta distribuição é função de vários fatores. Uma mudança</p><p>nesta distribuição pode resultar numa mudança no valor da</p><p>resistência. O fenômeno conhecido como efeito skin ou efeito</p><p>pelicular, um ajuntamento de correntes de alta freqüência próximo</p><p>da superfície do condutor, é um exemplo. Quanto mais alta a</p><p>freqüência, menor densidade de corrente resulta no centro do</p><p>condutor. A diferença na distribuição das correntes pode fazer com</p><p>que a resistência de um condutor seja consideravelmente maior para</p><p>correntes alternadas de alta freqüência que para correntes</p><p>unidirecionais (correntes contínuas).</p><p>Em geral, a relação entre as resistências de corrente alternada</p><p>(Rca) e de corrente contínua (Rcc) para um fio de cobre sólido é dada</p><p>por</p><p>fk</p><p>R</p><p>R</p><p>cc</p><p>ca =</p><p>onde f é a freqüência em [MHz] e k é um fator que depende da bitola</p><p>do condutor de cobre. Para um fio 14AWG (2,08[mm2]) de seção, com</p><p>capacidade de conduzir 15[A] a 60oC, k=17,6. Portanto, para uma</p><p>freqüência de 1[MHz], Rca = 17,6Rcc.</p><p>Numa temperatura fixa a resistência de um condutor é dada por</p><p>A</p><p>R ρ= (53)</p><p>onde l é o comprimento do condutor em metros, e A é a área da seção</p><p>transversal em metros quadrados. A constante de proporcionalidade</p><p>ρ (rô) é o símbolo de quantidade para a resistividade, o fator que</p><p>depende do tipo de material.</p><p>A unidade SI da resistividade é o ôhmetro com o símbolo de</p><p>unidade Ω.m. A Tabela 2 mostra as resistividades de alguns</p><p>materiais a 20 oC.</p><p>“Circuitos Resistivos” 48</p><p>Tabela 2 – Resistividade de alguns materiais</p><p>Material Resistividade ρ[Ω.m] a</p><p>20[oC]</p><p>Prata 1,64.10-8</p><p>Cobre</p><p>recozido</p><p>1,72.10-8</p><p>Alumínio 2,83.10-8</p><p>Ferro 12,30.10-8</p><p>Constantana 49,00.10-8</p><p>Nicromo 100,00.10-8</p><p>Silício 2500</p><p>Papel 1010</p><p>Mica 5.1011</p><p>Quartzo 1017</p><p>Um bom condutor possui uma resistividade muito próxima a</p><p>10-8[Ω.m]. A prata, o melhor condutor, é cara demais para a maioria</p><p>das aplicações. O cobre e o alumínio são condutores bastante comuns.</p><p>Os materiais com resistividades maiores do que 1010[Ω.m] são os</p><p>isoladores. Eles podem fornecer apoio físico sem fuga significativa</p><p>de corrente, ou, ainda, revestir os fios impedindo a fuga de corrente</p><p>quando eles se tocam ou são tocados por nós. Os materiais com</p><p>resistividades na faixa de 10-4 a 10-7[Ω.m] são chamados</p><p>semicondutores, dos quais são fabricados os transistores.</p><p>O transistor consiste de um cristal de germânio ou silício ao</p><p>qual se adicionam certas “impurezas” em pequenas quantidades e ao</p><p>qual se ligam três contatos metálicos. Se uma impureza cujas</p><p>moléculas têm cinco elétrons de valência (como o arsênio) for</p><p>adicionada a um cristal, ela produz uma região tipo N. Se as</p><p>moléculas da impureza tiverem somente três elétrons de valência</p><p>(como o índio), resultará uma região tipo P. O transistor tem três</p><p>regiões, cada uma contendo um terminal acessível externamente. São</p><p>eles: o emissor (e), a base (b) e o coletor (c). Embora as regiões do</p><p>“Circuitos Resistivos” 49</p><p>emissor e do coletor contenham o mesmo tipo de impureza (ambas</p><p>tipo N ou ambas tipo P), elas não são idênticas, e, em geral, não</p><p>podem ser trocadas. Os símbolos para um transistor tipo NPN e um</p><p>tipo PNP são mostrados pelas Figuras 23-(a) e (b), respectivamente.</p><p>Em diagramas de circuitos os símbolos com o círculo são normalmente</p><p>usados. A seta no emissor serve para distingui-lo do coletor, e o</p><p>sentido da seta é o sentido no qual a corrente flui quando o transistor</p><p>é usado em circuitos padrões. O transistor é um componente não-</p><p>linear de três terminais.</p><p>b</p><p>e</p><p>c</p><p>c</p><p>b</p><p>e</p><p>ib(t)</p><p>ib(t)</p><p>eBE(t)</p><p>eCE(t)</p><p>eBE(t)</p><p>eCE(t)</p><p>ic(t)</p><p>ic(t)</p><p>iE(t)</p><p>iE(t)</p><p>N</p><p>P</p><p>N</p><p>P</p><p>N</p><p>P</p><p>b</p><p>c</p><p>e</p><p>(a)</p><p>(b)</p><p>b</p><p>c</p><p>e</p><p>Figura 23 – Símbolos dos transistores (a) NPN e (b) PNP.</p><p>As resistências da maioria dos bons condutores aumentam</p><p>quase que linearmente (com a equação aproximada de uma reta) com</p><p>a temperatura acima da faixa das temperaturas normais de operação,</p><p>como mostrado pela linha cheia na Figura 24. Entretanto, alguns</p><p>materiais, e em particular os semicondutores comuns, têm</p><p>resistências que diminuem com os aumentos de temperatura.</p><p>“Circuitos Resistivos” 50</p><p>Se a linha reta na Figura 24 se estender para a esquerda, ela</p><p>cortará o eixo da temperatura T a um temperatura T0 na qual a</p><p>resistência parece ser zero. Esta temperatura T0 é a temperatura da</p><p>resistência a zero grau inferida, (a temperatura real da</p><p>resistência a zero grau é -273[oC]).</p><p>Se T0 é conhecida e se a resistência R1 numa outra temperatura</p><p>T1 também é conhecida, então a resistência R2 em outra temperatura</p><p>T2 é obtida da Figura 24, onde R2/(T2-T0) = R1/(T1-T0) ou</p><p>1</p><p>01</p><p>02</p><p>2 R.</p><p>TT</p><p>TTR</p><p>−</p><p>−</p><p>= (54)</p><p>Figura 24 – Variação da resistência em função da</p><p>temperatura.</p><p>A Tabela 3 apresenta as temperaturas da resistência a zero</p><p>grau inferida para alguns materiais condutores comuns.</p><p>Tabela 3 – Temperatura da resistência a zero grau</p><p>inferida T0 [oC] de alguns materiais</p><p>Material T0[oC]</p><p>Tungstênio -202</p><p>Cobre -234,5</p><p>Alumínio -236</p><p>Prata -243</p><p>Constantana -125.000</p><p>Uma maneira diferente, mas equivalente, de achar a resistência</p><p>R2 é usar a fórmula</p><p>“Circuitos Resistivos” 51</p><p>[ ])TT(1 R R 12112 −α+= (55)</p><p>onde α1 é o coeficiente da temperatura da resistência na</p><p>temperatura T1. Geralmente T1 = 20[oC]. A Tabela 4 mostra os</p><p>coeficientes de temperatura das resistências a 20[oC] para alguns</p><p>materiais condutores.</p><p>Tabela 4 – Coeficientes de temperatura a 20[oC]</p><p>Material α1 [oC]-1</p><p>Tungstênio 0,0045</p><p>Cobre 0,00393</p><p>Alumínio 0,00391</p><p>Prata 0,0038</p><p>Constantana 0,000 008</p><p>Carbono -0,0005</p><p>É interessante observar que a unidade de α1 é por graus centígrados</p><p>com símbolo [oC]-1.</p><p>A dimensão física de um resistor não é um indicativo da sua</p><p>resistência. Um resistor bem pequeno pode ter uma resistência muita</p><p>baixa ou uma resistência muito alta. A sua dimensão física,</p><p>entretanto, pode fornecer uma indicação sobre a sua especificação de</p><p>potência. Para um dado valor de resistência, a dimensão física de um</p><p>resistor aumenta à medida que a especificação de potência cresce.</p><p>Os resistores podem, ainda, ser classificados em fixos e</p><p>variáveis. Um resistor fixo é aquele que possui um único valor de</p><p>resistência que permanece constante sob condições normais</p><p>(temperatura ambiente). Os dois tipos principais de resistores fixos</p><p>são os resistores de carbono (grafite) e os resistores de fio enrolado,</p><p>nos quais o elemento de resistência é geralmente um fio de níquel-</p><p>cromo enrolado em espiral sobre uma haste cerâmica, e recoberto por</p><p>um material cerâmico ou por um esmalte especial. Os resistores de</p><p>carbono possuem valores de resistência que variam de 0,1[Ω] a</p><p>22[MΩ], e especificação de potência que varia de 1/16 a 2[W]. Os</p><p>resistores de fio enrolado têm valores de resistência que variam de</p><p>“Circuitos Resistivos” 52</p><p>1[Ω] a 100[kΩ], e especificações de potência que vão de 3[W] a</p><p>centenas de watts.</p><p>Um resistor variável é usado para variar ou mudar a</p><p>quantidade de resistência de um circuito. Os resistores variáveis são</p><p>chamados de potenciômetros ou reostatos. Os potenciômetros</p><p>geralmente possuem o elemento resistivo formado por carbono,</p><p>enquanto que nos reostatos ele é constituído por fio enrolado. Em</p><p>ambos os casos, o contato com o elemento resistivo fixo é feito através</p><p>de um braço deslizante, como mostrado na Figura 25. À medida que o</p><p>braço deslizante gira, o seu ponto de contato com o elemento resistivo</p><p>muda, variando assim a resistência entre o terminal do braço</p><p>deslizante e os terminais da resistência fixa.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>A resistência</p><p>entre B e A aumenta.</p><p>A resistência entre B e C diminui.</p><p>A resistência entre B e A diminui.</p><p>A resistência entre B e C aumenta.</p><p>B</p><p>CA</p><p>A CB</p><p>Figura 25 – Quando o braço deslizante de um resistor</p><p>variável se desloca, a resistência entre o terminal central</p><p>e os terminais das extremidades varia.</p><p>Os reostatos geralmente são usados para controlar correntes</p><p>muito altas tais como as encontradas em cargas constituídas por</p><p>motores e lâmpadas, como mostrado na Figura 26.</p><p>“Circuitos Resistivos” 53</p><p>Figura 26 – Utilização de reostato para controlar</p><p>(reduzir) a corrente no circuito de uma lâmpada.</p><p>Os potenciômetros podem ser usados para variar o valor da</p><p>tensão aplicada a um circuito, como ilustrado na Figura 27. Neste</p><p>circuito, a tensão de entrada é aplicada através dos terminais AC da</p><p>resistência fixa. Variando a posição do braço deslizante (terminal B),</p><p>mudará a tensão através dos terminais BC. Os potenciômetros, como</p><p>dispositivos de controle, são encontrados em amplificadores,</p><p>aparelhos eletrônicos e em instrumentos elétricos. A especificação de</p><p>um resistor variável é a resistência total entre os seus terminais.</p><p>Figura 27 – Utilização de um potenciômetro para mudar</p><p>a tensão.</p><p>Exemplo 24: Achar a resistência de um fio de alumínio de</p><p>comprimento de 1000[m] e um diâmetro de 1,626[mm], à temperatura</p><p>de 20[oC].</p><p>Solução: A área da seção transversal do fio é 2rπ , onde</p><p>]m[10.813,02/10.626,12/dr 33 −− === . De acordo com a Tabela 2, a</p><p>resistividade do alumínio é de 2,83.10-8[Ω m]. Portanto, da Eq. (53),</p><p>“Circuitos Resistivos” 54</p><p>][6,13</p><p>)10.813,0(</p><p>)1000)(10.83,2(</p><p>A</p><p>R 23</p><p>8</p><p>Ω=</p><p>π</p><p>=ρ= −</p><p>−</p><p>Exemplo 25: A resistência de um determinado fio é de 15[Ω]. Um</p><p>outro fio do mesmo material e à mesma temperatura tem um</p><p>diâmetro de um terço e um comprimento duas vezes maior. Achar a</p><p>resistência do segundo fio.</p><p>Solução: De acordo com a Eq. (53), a resistência do primeiro fio é</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1 d</p><p>4</p><p>4/dA</p><p>R</p><p>π</p><p>ρ</p><p>=</p><p>π</p><p>ρ=ρ= (56)</p><p>Da mesma forma, para o segundo fio,</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 d</p><p>4R</p><p>π</p><p>ρ</p><p>= (57)</p><p>Dividindo a Eq. (57) pela Eq. (56), vem que</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>11</p><p>2</p><p>22</p><p>1</p><p>2</p><p>d</p><p>d</p><p>d/</p><p>d/</p><p>R</p><p>R</p><p>⎟⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>⎟⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>== (58)</p><p>Tomando 12 2= e 3/dd 12 = , obtemos que</p><p>][27015.18R18R.)3)(2(R 11</p><p>2</p><p>2 Ω====</p><p>Exemplo 26: Um determinado fio de alumínio tem uma resistência</p><p>de 5[Ω] a 20[oC]. Qual é a resistência de um fio de cobre recozido de</p><p>mesmas dimensões e à mesma temperatura?</p><p>Solução: De acordo com a Eq. (53), para os fios de cobre e alumínio,</p><p>respectivamente,</p><p>A</p><p>.R cc ρ= e</p><p>A</p><p>.R aa ρ=</p><p>Portanto</p><p>a</p><p>c</p><p>a</p><p>c</p><p>R</p><p>R</p><p>ρ</p><p>ρ</p><p>= (59)</p><p>“Circuitos Resistivos” 55</p><p>De acordo com a Tabela 2,</p><p>61,0</p><p>10.83,2</p><p>10.72,1</p><p>R</p><p>R</p><p>8</p><p>8</p><p>a</p><p>c == −</p><p>−</p><p>(60)</p><p>Portanto, para as mesmas dimensões e à mesma temperatura, a</p><p>resistência do cobre é aproximadamente de 61% da do alumínio. Com</p><p>menor resistência o fio de cobre é melhor condutor que o alumínio.</p><p>No caso presente,</p><p>Rc = 0,61.Ra = 0,61.5 = 3,05[Ω]</p><p>Exemplo 27: Um resistor de fio é feito de constantana com 0,2[mm]</p><p>de diâmetro enrolado em torno de um cilindro com 1[cm] de diâmetro.</p><p>Quantas espiras de fio são necessárias para se obter uma resistência</p><p>de 50[Ω] a 20[oC]?</p><p>Solução: O número de espiras é igual ao comprimento (total) do fio</p><p>pela circunferência do cilindro. Sendo a resistência dada por</p><p>A/R ρ= , e com a resistividade dada na Tabela 2, o comprimento do</p><p>fio com uma resistência de 50[Ω] é</p><p>]m[21,3</p><p>10.49</p><p>)10.1,0(50rRRA</p><p>8</p><p>232</p><p>=</p><p>π</p><p>=</p><p>ρ</p><p>π</p><p>=</p><p>ρ</p><p>=</p><p>−</p><p>−</p><p>(61)</p><p>A circunferência do cilindro é 2πr, sendo r = 0,5.10-2[m].</p><p>Portanto, o número de espiras é</p><p>espiras102</p><p>)005,0(2</p><p>21,3</p><p>r2</p><p>N =</p><p>π</p><p>=</p><p>π</p><p>= (62)</p><p>Exemplo 28: A resistência de uma determinada linha de transmissão</p><p>de potência de cobre é de 100[Ω] a 20oC . Qual é a resistência da</p><p>linha quando o sol eleva sua temperatura para 38[oC]?</p><p>Solução: De acordo com a Tabela 3, a temperatura da resistência</p><p>zero absoluta inferida do cobre é To = -234,5[oC]. Pelos dados</p><p>fornecidos, T2 =38[oC], R1=100[Ω] e T1 = 20[oC]. Portanto, a resistência</p><p>do fio a 38[oC], em consonância com a Eq. (54), é</p><p>][107100.</p><p>)5,234(20</p><p>)5,234(38R</p><p>TT</p><p>TTR 1</p><p>01</p><p>02</p><p>2 Ω=</p><p>−−</p><p>−−</p><p>=</p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p>“Circuitos Resistivos” 56</p><p>Exemplo 29: Quando 120[V] são aplicados sobre uma determinada</p><p>lâmpada, circula uma corrente de 0,5[A], fazendo com que a</p><p>temperatura do filamento de tungstênio atinja 2600[oC]. Qual é a</p><p>resistência da lâmpada à temperatura ambiente normal de 20[oC]?</p><p>Solução: A resistência da lâmpada acesa é de 120/0,5=240[Ω] . E</p><p>visto que, da Tabela 3, a temperatura da resistência zero inferida do</p><p>tungstênio é -202[oC], a resistência a 20[oC], de acordo com a Eq. (54)</p><p>é</p><p>2</p><p>02</p><p>01</p><p>1 R.</p><p>TT</p><p>TTR</p><p>−</p><p>−</p><p>= (63)</p><p>onde ]C[202Te]C[20T],C[2600T],[240R o</p><p>0</p><p>o</p><p>1</p><p>o</p><p>22 −===Ω= .</p><p>Então</p><p>][19240.</p><p>)202(2600</p><p>)202(20R1 Ω=</p><p>−−</p><p>−−</p><p>=</p><p>Exemplo 30: Um enrolamento de transformador de cobre não</p><p>energizado tem uma resistência de 30[Ω] a 20[oC]. Entretanto, sob</p><p>operação nominal, a resistência aumenta para 35 [Ω]. Achar a</p><p>temperatura do enrolamento energizado.</p><p>Solução: Explicitando T2 na Eq. (54) obtemos que</p><p>)TT(</p><p>R</p><p>RTT 01</p><p>1</p><p>2</p><p>02 −+= (64)</p><p>Da Tabela 3, T0 = -234,5[oC]. Sendo R1 = 30[Ω], T1 = 20[oC] e</p><p>R2=35[Ω], então</p><p>]C[4,62)5,23420(</p><p>30</p><p>355,234T o</p><p>2 =++−=</p><p>Exemplo 31: A resistência de uma determinada linha de transmissão</p><p>de potência de alumínio é de 150 [Ω] a 20[oC]. Achar a resistência da</p><p>linha quando o sol a esquenta a 42[oC].</p><p>“Circuitos Resistivos” 57</p><p>Solução: De acordo com a Tabela 4, o coeficiente da temperatura da</p><p>resistência do alumínio é 0,00391[oC]-1. Portanto, de acordo com a Eq.</p><p>(55),</p><p>[ ] [ ] ][163)2042(00391,01150)TT(1RR 12112 Ω=−+=−α+=</p><p>Alternativamente, poderia ter sido usada a Eq.(54) com o apoio</p><p>da Tabela 3.</p><p>Exemplo 32: Achar a resistência a 35[oC] de um fio de alumínio com</p><p>um comprimento de 200[m] e um diâmetro de 1[mm].</p><p>Solução: A resistência do fio a 20[oC] pode ser encontrada usando a</p><p>Eq. (53), e empregada no coeficiente da temperatura da fórmula da</p><p>resistência expressa pela Eq. (55).</p><p>Visto que a área da seção transversal do fio é 4/d2π , onde</p><p>d=10-3[m] e visto que na Tabela 2 a resistividade do alumínio é</p><p>ρ=2,83.10-8[Ω m], a resistência do fio a 20[oC] é</p><p>][21,7</p><p>4/)10(</p><p>200).10.83,2(</p><p>A</p><p>RR 6</p><p>8</p><p>1 Ω=</p><p>π</p><p>=ρ== −</p><p>−</p><p>A outra única quantidade necessária para calcular a resistência</p><p>do fio a 35[oC] é o coeficiente da temperatura da resistência do</p><p>alumínio a 20[oC]. De acordo com a Tabela 4, ela vale</p><p>α1=0,00391[oC]-1. Portanto, da Eq. (55),</p><p>( )[ ] [ ] ][63,7)2035(00391,0121,7TT1RR 12112 Ω=−+=−α+=</p><p>Exemplo 33: Se um resistor não-linear tem uma relação tensão-</p><p>corrente dada por e= 23i +4, que corrente ele solicita quando excitado</p><p>por 85[V]? Que potência ele absorve?</p><p>Solução: Inserindo a tensão aplicada na equação não-linear, resulta</p><p>que 85= 23i +4, da qual</p><p>]A[2,5</p><p>3</p><p>485i =</p><p>−</p><p>=</p><p>“Circuitos Resistivos” 58</p><p>Por outro lado, p = e.i = 85.5,2 = 442[W]</p><p>Exemplo 34: A 20[oC] um diodo de junção pn, de silício, tem uma</p><p>relação corrente-tensão dada por:</p><p>)1.(10i e4014 −∈= − (65)</p><p>Qual é a tensão do diodo quando a corrente é i = 50[mA]?</p><p>Solução: Para i = 50[mA] = 50.10-3[A], a Eq.(65) dá que</p><p>50.10-3 = 10-14(∈40e-1) (66)</p><p>Multiplicando ambos os membros da Eq. (66) por 1014 e somando</p><p>1 a ambos os lados, o resultado é</p><p>50.1011+1=∈40e</p><p>Tomando-se o logaritmo natural (neperiano) de ambos os lados,</p><p>obtemos que</p><p>]V[73,0)110.50(n</p><p>40</p><p>1e 11 =+=</p><p>Exemplo 35: Obtenha as expressões analíticas da potência e da</p><p>energia numa resistência R cujas formas de onda de tensão e corrente</p><p>são aquelas mostradas na Figura 21-(a). Admita que nenhuma</p><p>potência tenha sido fornecida antes do instante t = 0.</p><p>Solução: As expressões analíticas da tensão e da corrente, obtidas da</p><p>Figura 21-(a), são</p><p>⎪</p><p>⎪</p><p>⎩</p><p>⎪⎪</p><p>⎨</p><p>⎧</p><p>≥</p><p>≤≤+−</p><p>≤≤</p><p>≤</p><p>=</p><p>⎪</p><p>⎪</p><p>⎩</p><p>⎪⎪</p><p>⎨</p><p>⎧</p><p>≥</p><p>≤≤+−</p><p>≤≤</p><p>≤</p><p>=</p><p>2tpara0</p><p>2t1paraR/)2t(</p><p>1t0paraR/t</p><p>0tpara0</p><p>)t(i</p><p>2tpara0</p><p>2t1para2t</p><p>1t0parat</p><p>0tpara0</p><p>)t(e</p><p>“Circuitos Resistivos” 59</p><p>Então, a potência p(t) = e(t).i(t) é dada por</p><p>⎪</p><p>⎪</p><p>⎩</p><p>⎪</p><p>⎪</p><p>⎨</p><p>⎧</p><p>≥</p><p>≤≤+−</p><p>≤≤</p><p>≤</p><p>=</p><p>2tpara0</p><p>2t1paraR/)2t(</p><p>1t0paraR/t</p><p>0tpara0</p><p>)t(p</p><p>2</p><p>2</p><p>Como não houve fluxo de potência para t</p><p>capacitor “deformam” os átomos do dielétrico, resultando numa carga</p><p>negativa total na superfície superior do dielétrico e uma carga</p><p>positiva total na superfície inferior do mesmo. Esta carga dielétrica</p><p>neutraliza parcialmente os efeitos da carga armazenada nas placas.</p><p>Em outras palavras, num dielétrico existe um mecanismo que faz</p><p>reduzir um campo elétrico externamente aplicado nas placas. Este</p><p>mesmo mecanismo, chamado de polarização do dielétrico, também</p><p>reduz a tensão entre as placas condutoras de um capacitor, para uma</p><p>dada carga fixa, e por isso leva a um aumento em sua capacitância.</p><p>Isto está de acordo com a Eq. (67), pois se q = constante,uma</p><p>diminuição em e provoca um aumento em C. Foi Michael Faraday</p><p>quem descobriu que para uma geometria fixa, a capacitância de um</p><p>capacitor aumenta quando se substitui o ar (ou o vácuo) por um</p><p>dielétrico, isto é, por uma substância isolante.</p><p>A permissividade do vácuo é ]m/F[10.85,8 12</p><p>o</p><p>−=ε .</p><p>A permissividade de outros materiais dielétricos está</p><p>relacionada àquela do vácuo por um fator chamado de constante</p><p>dielétrica K ou permissividade relativa εr. Portanto,</p><p>o</p><p>rK</p><p>ε</p><p>ε</p><p>=ε= (69)</p><p>“Circuitos Resistivos” 65</p><p>Para o vácuo K = 1, enquanto que para o ar ela é apenas</p><p>ligeiramente maior, isto é, 1,006 sob condições padrões.</p><p>Em face da Eq. (69), a Eq. (68) pode então ser reescrita como:</p><p>)10x85,8(</p><p>d</p><p>KA</p><p>d</p><p>AKC 12</p><p>o</p><p>−=ε= (70)</p><p>Valores típicos da constante dielétrica estão mostrados na</p><p>Tabela 5. O papel, por exemplo, tem uma constante dielétrica média</p><p>de 4,0 que significa que ele pode fornecer uma densidade de fluxo</p><p>elétrico quatro vezes maior que a do ar (do vácuo, na verdade) para</p><p>uma dada tensão aplicada e para as mesmas dimensões físicas.</p><p>Tabela 5 – Constantes dielétricas aproximadas de alguns materiais</p><p>MATERIAL CONSTANTE</p><p>DIELÉTRICA K</p><p>TEMPERATURA</p><p>[oC]</p><p>Vácuo 1 -</p><p>Ar 1,00059 (1 atmosfera) 20</p><p>Hidrogênio 1,00026 100</p><p>Água 80,4 20</p><p>Mica 3-7 25</p><p>Quartzo(fundido) 3.75-4,10 20</p><p>Vidro(pirex) 4,5 20</p><p>Vidro 4-7 20</p><p>Borracha 2,94 27</p><p>Parafina 2,0-2,5 20</p><p>Papel 4 20</p><p>Plástico(leve) 2-3 20</p><p>Plástico(pesado) 4-12 20</p><p>Cerâmica 7500 20</p><p>Os capacitores comerciais são denominados de acordo com o seu</p><p>dielétrico. Os mais comuns são os de ar, mica, papel e cerâmica, além</p><p>dos do tipo eletrolítico. Estes tipos são comparados na Tabela 6.</p><p>Tabela 6 – Tipos de capacitores</p><p>DIELÉTRICO CONSTRUÇÃO FAIXA DE</p><p>CAPACITÂNCIA</p><p>Ar Placas entrelaçadas 10-400[pF]</p><p>Mica Folhas superpostas 10-5000[pF]</p><p>“Circuitos Resistivos” 66</p><p>Papel Folha enrolada 0,01-1[µF]</p><p>Cerâmica Tubular 0,5-1.600[pF]</p><p>Disco 0,002-0,1[µF]</p><p>Eletrolítico Alumínio 5-1000[µF]</p><p>Tântalo 0,01-300[µF]</p><p>Exemplo 36: A área de uma placa de um capacitor de duas placas</p><p>paralelas com dielétrico de mica é de 0,0025[m2] e a separação entre</p><p>as placas é de 0,02[m]. Se a constante dielétrica da mica é 7, qual a</p><p>capacitância do capacitor?</p><p>Solução: De acordo com a Eq. (70),</p><p>]pF[74,7</p><p>]F[10.74,7)10.85,8(</p><p>02,0</p><p>0025,0.7)10.85,8(</p><p>d</p><p>AkC 121212</p><p>=</p><p>=== −−−</p><p>(70)</p><p>Exemplo 37: Se o número de placas do exemplo 36 aumentar para</p><p>formar um capacitor múltiplo com cinco regiões dielétricas, e se não</p><p>alterarmos nem o dielétrico nem a distância entre as placas do</p><p>capacitor, qual o valor da nova capacitância?</p><p>Solução: De acordo com a Eq. (68), a capacitância é proporcional à</p><p>área das placas, então cinco pares de placas paralelas darão uma</p><p>capacitância cinco vezes maior, isto é, C = 5(7,74) = 38,7[pF].</p><p>Exemplo 38: Um capacitor de placas paralelas é feito de folhas de</p><p>alumínio. As placas são separadas por 1[mm] de ar. Que área as</p><p>placas deveriam ter para produzir uma capacitância de a)1[pF],</p><p>b)1[µF] e c) 1[F]?</p><p>Solução: Como k ≅ 1 para o ar, a Eq. (70) revela que a área de cada</p><p>placa deve ser</p><p>“Circuitos Resistivos” 67</p><p>12</p><p>3</p><p>12</p><p>o 10.85,8</p><p>C)10(</p><p>10.85,8</p><p>CdCdA −</p><p>−</p><p>− ==</p><p>ε</p><p>= (71)</p><p>a) Para [F]10 1[pF]C -12</p><p>1 == , a área de cada placa é</p><p>]cm[13,1]m[10.13,1</p><p>10.85,8</p><p>)10)(10(A 224</p><p>12</p><p>123</p><p>1 === −</p><p>−</p><p>−−</p><p>b) Para [F]10 F]1[C -6</p><p>2 =µ=</p><p>]m[113]m[10.13,1</p><p>10.85,8</p><p>)10)(10(A 222</p><p>12</p><p>63</p><p>2 === −</p><p>−−</p><p>c) Para 1[F]C3 =</p><p>]km[113]m[10.13,1</p><p>10.85,8</p><p>)1)(10(A 228</p><p>12</p><p>3</p><p>3 === −</p><p>−</p><p>Obviamente, a área A1 é de tamanho razoável e pode muito bem</p><p>representar um capacitor real. Por outro lado, A2 é muito grande</p><p>enquanto que A3 revela que é impraticável construir um capacitor de</p><p>1[F] usando o plano descrito. Este exemplo ilustra muito bem porque</p><p>os capacitores de picofarads e microfarads são mais usuais.</p><p>Exemplo 39: O colapso elétrico do ar (quando ele deixa de ser</p><p>dielétrico e passa a ser condutor) acontece sempre que o campo</p><p>elétrico passa de 30.000[V/cm]. Qual é a carga máxima que um</p><p>capacitor de placas paralelas de ar, de 0,002[µF], pode conter se as</p><p>placas tiverem uma área de 100[cm2] cada uma?</p><p>Solução: A carga máxima qmáx é proporcional à tensão máxima emáx</p><p>que pode ser aplicada entre as placas:</p><p>qmáx = C.emáx (72)</p><p>de acordo com a Eq. (67).</p><p>“Circuitos Resistivos” 68</p><p>Por outro lado, o campo elétrico E entre as placas do capacitor é</p><p>perpendicular a elas e dirigido da placa com carga positiva (+q) para a</p><p>placa com carga negativa (-q), e vale</p><p>d</p><p>eE = (73)</p><p>Então</p><p>d</p><p>eE máx</p><p>máx = (74)</p><p>Como C =</p><p>d</p><p>A</p><p>oε (75)</p><p>porque k ≅ 1, obtemos, notando que 30.000[V/cm]=3.106[V/m] e</p><p>100[cm2]=0,01[m2], que</p><p>máxomáxmáxmáx AEdCECeq ε=== (76)</p><p>de acordo com as Eqs. (72), (74) e (75).</p><p>Então, a Eq. (75) fornece</p><p>[C]2,66.10))(3.10)(1.10(8,85.10 q -76-2-12</p><p>máx ==</p><p>Se a carga destas placas por maior que esta quantidade, o ar</p><p>entre as placas e tornará condutor e as cargas nas placas serão</p><p>neutralizadas. Diz-se, então, que ocorreu a ruptura do dielétrico.</p><p>Quando isto ocorre, aparece uma faísca entre os condutores.</p><p>A capacitância é manifestada por si só quando dois condutores</p><p>estão separados por um meio dielétrico. Isto significa que não é</p><p>necessário construir um capacitor para se obter capacitância.</p><p>Além do capacitor de duas placas paralelas, existem vários</p><p>outros tipos de capacitores simples. À seguir apresentamos alguns</p><p>deles, bem como situações onde podemos ter capacitância sem,</p><p>necessariamente, termos que construir capacitores.</p><p>Capacitor de várias placas paralelas</p><p>Para o caso do capacitor com múltiplas placas paralelas, como</p><p>ilustrado na Figura 33,</p><p>]pF[)1n(</p><p>d</p><p>kA85,8C −≅ (77)</p><p>onde: A = área de uma placa [m2]</p><p>“Circuitos Resistivos” 69</p><p>n = número total de placas</p><p>d = espaçamento entre placas [m]</p><p>Figura 33 – Capacitor com n=4 placas paralelas.</p><p>Capacitor cilíndrico</p><p>Para um capacitor formado por dois cilindros condutores, ocos,</p><p>longos e co-axiais, contendo ar entre eles, como ilustrado na Figura</p><p>34, a capacitância por unidade de comprimento linear é</p><p>]m/pF[</p><p>r</p><p>rlog</p><p>18,24]m/F[</p><p>r</p><p>rn</p><p>2/C</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>o</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>⎞⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>=</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>⎞⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>πε</p><p>= (78)</p><p>Se, entretanto, o meio entre o condutor interno de raio rb e o</p><p>externo de raio ra não for o ar, mas sim um dielétrico de constante</p><p>dielétrica K, a capacitância por unidade de comprimento linear será</p><p>]m/pF[</p><p>r</p><p>rlog</p><p>K18,24]m/F[</p><p>r</p><p>rn</p><p>k2/C</p><p>b</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>o</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>⎞⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>=</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>⎞⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>επ</p><p>= (79)</p><p>onde ln = loge e log = 10log .</p><p>“Circuitos Resistivos” 70</p><p>-q</p><p>+q</p><p>s</p><p>rb</p><p>ra</p><p>Figura 34 – Capacitor cilíndrico longo.</p><p>Capacitor esférico</p><p>A capacitância de duas esferas concêntricas condutoras com ar</p><p>entre elas, de raios ra (interno) e rb (externo), como ilustrado na</p><p>Figura 35, é</p><p>ab</p><p>bao</p><p>rr</p><p>rr4C</p><p>−</p><p>πε</p><p>= (80)</p><p>Sendo 4πεo = 111,21.10-12[C2/N.m2]</p><p>]pF[</p><p>rr</p><p>rr21,111C</p><p>ab</p><p>ba</p><p>−</p><p>= (81)</p><p>com ra e rb em metros.</p><p>É sempre conveniente descrever a capacitância de um único</p><p>condutor, em cujo caso supõe-se que o segundo condutor de carga está</p><p>localizado no infinito. Com esta definição, podemos usar a Eq. (80)</p><p>para calcular a capacitância de um único condutor esférico de raio ra.</p><p>O segundo condutor é então tomado como uma esfera de raio</p><p>muito</p><p>grande rb (isto é, rb → ∞). Deste modo,</p><p>C =</p><p>b</p><p>a</p><p>ao</p><p>rab</p><p>bao</p><p>r</p><p>r</p><p>r1</p><p>r4im</p><p>rr</p><p>rr4im</p><p>bb −</p><p>πε</p><p>=</p><p>−</p><p>πε</p><p>∞→∞→</p><p>ou C = ao r4πε (82)</p><p>Portanto, a Eq. (82) fornece a capacitância de uma esfera condutora</p><p>de raio ra.</p><p>“Circuitos Resistivos” 71</p><p>Figura 35 – Capacitor esférico.</p><p>Fio condutor isolado</p><p>Para um fio condutor isolado suspenso sobre um chassi de metal</p><p>(ou outro plano aterrado), cujas dimensões sejam suficientemente</p><p>grandes em relação ao fio condutor, como mostrado na Figura 36, a</p><p>capacitância por metro do fio é dada por</p><p>( )</p><p>[ ]m/pF</p><p>d/h2</p><p>111</p><p>d</p><p>h2log</p><p>18,24C</p><p>2 ⎥</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>⎤</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>⎡</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>−+</p><p>= (83)</p><p>onde h = altura em relação ao centro do fio sobre o plano da</p><p>terra, ou do chassi, em metros</p><p>d = diâmetro do fio em metros</p><p>“Circuitos Resistivos” 72</p><p>Figura 36 – Fio condutor suspenso sobre um chassi</p><p>aterrado ( )</p><p>Dois fios paralelos</p><p>A capacitância por metro linear entre dois fios paralelos</p><p>situados a uma distância h sobre um plano de terra e cujo diâmetro é</p><p>desprezível em comparação com o comprimento deles, conforme</p><p>mostrado na Figura 37, é dada por</p><p>[ ]m/pF</p><p>)h2/D(1</p><p>1.</p><p>d</p><p>D2log</p><p>073,12C</p><p>2 ⎥</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>⎤</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>⎡</p><p>+</p><p>= (84)</p><p>onde: D = distância entre os fios em metros</p><p>d = diâmetro dos fios em metros</p><p>h = altura dos fios sobre o plano de terra em metros</p><p>d</p><p>hh</p><p>D</p><p>Figura 37 – Dois fios paralelos suspensos sobre a terra.</p><p>“Circuitos Resistivos” 73</p><p>Exemplo 40: Duas placas idênticas quadradas de metal são</p><p>separadas por 0,003175[m] no ar. Se cada placa tem 0,03048[m] de</p><p>lado, determine a capacitância formada por elas.</p><p>Solução: Para n = 2 na Eq. (77),</p><p>]pF[59,2</p><p>003175,0</p><p>)3048,0).(1(.85,8C</p><p>2</p><p>=≅</p><p>Exemplo 41: Um capacitor cilíndrico consiste de dois cilindros</p><p>condutores concêntricos muito compridos. O raio externo do cilindro</p><p>interno é 9,5[cm] e o raio interno do cilindro externo é 10[cm]. a)Qual</p><p>é a capacitância desta estrutura, por unidade de comprimento?,</p><p>b)Qual a diferença de potencial (tensão) que esta estrutura poderia</p><p>suportar sem pane, isto é, sem ocorrer a ruptura do dielétrico?</p><p>Solução: a) De acordo com a Eq. (78),</p><p>)r/r(n</p><p>2/C</p><p>ba</p><p>oπε</p><p>=</p><p>Com εo = 8,85.10-12[F/m], rb=9,5[cm]=9,5.10-2[m] e ra=10[cm] =</p><p>10.10-2[m], vem que</p><p>]m/F[10.084,1]m/pF[1084</p><p>10.5,9</p><p>10.10n</p><p>10.85,8.2/C 9</p><p>2</p><p>2</p><p>12</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>==</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>π</p><p>=</p><p>b) De acordo com a Eq. (74)</p><p>máxmáx E.de =</p><p>Como d = ra-rb = 0,5.10-2[m] e Emáx = 3.106[V/m] em qualquer</p><p>ponto,</p><p>emáx = (0,5.10-2).(3.106) = 1,5.104[V]=15[kV]</p><p>Exemplo 42: Um capacitor cilíndrico comprido consiste de um</p><p>cilindro interior de 1[m] de raio e de um exterior de 2[m] de raio.</p><p>“Circuitos Resistivos” 74</p><p>Supondo que uma tensão de 200[V] seja aplicada, ache a carga</p><p>contida numa extensão de 5[m] do condutor exterior.</p><p>Solução: Com ra=2[m] e rb=1[m], a Eq. (78) dá</p><p>( ) ]pF[22,80</p><p>1</p><p>2n</p><p>10.85,8.2</p><p>r</p><p>rn</p><p>2/C</p><p>12</p><p>b</p><p>a</p><p>0 =</p><p>π</p><p>=</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>⎞⎜</p><p>⎝</p><p>⎛</p><p>πε</p><p>=</p><p>−</p><p>Para 5[m] de extensão do cilindro externo,</p><p>C = l.80,22 = 5.80,22=401,1[pF]</p><p>Da Eq. (67),</p><p>q = C.e = (401,1.10-12).200 = 8,02.10-8[C]</p><p>Esta carga corresponde a um excesso de 8,02.10-8[C].</p><p>.6,242.1018[elétrons/C] = 50,06.1010 elétrons num dos condutores</p><p>cilíndricos.</p><p>Na análise de circuitos trabalhamos com correntes e tensões, ao</p><p>invés da carga elétrica. Vejamos, então, como se relacionam a</p><p>corrente e a tensão numa capacitância. Derivando a Eq. (67) em</p><p>relação ao tempo, obtemos</p><p>dt</p><p>deC</p><p>dt</p><p>dq</p><p>= (85)</p><p>Mas, em face da Eq. (24), a Eq. (85) pode ser escrita como</p><p>dt</p><p>)t(deC)t(i = (86)</p><p>A Eq. (86) nos leva a duas importantes conclusões: como a</p><p>derivada de uma constante é zero, então “uma tensão constante nos</p><p>terminais de um capacitor requer que uma corrente nula passe por</p><p>ele”; “um capacitor comporta-se então como um circuito aberto</p><p>para tensão contínua” (constante).</p><p>É também evidente, da Eq. (86), que uma mudança brusca na</p><p>tensão (descontinuidade) requer uma corrente infinita (lembre-se da</p><p>interpretação geométrica do conceito de derivada). Neste nosso curso</p><p>não admitiremos a existência de correntes infinitas, ou seja, não será</p><p>permitida mudança brusca na tensão de um capacitor. Essa é a razão</p><p>de termos afirmado, anteriormente, que uma capacitância pode ser</p><p>considerada como sendo a propriedade de um circuito de se opor às</p><p>variações de tensão. (Cuidado para não confundir opor-se com</p><p>impedir). Essa restrição à presença de correntes infinitas será</p><p>“Circuitos Resistivos” 75</p><p>removida quando for admitida a existência das chamadas correntes</p><p>impulsivas. É claro que não existe uma restrição semelhante para a</p><p>corrente de um capacitor. Ela pode variar instantaneamente (sofrer</p><p>descontinuidade) ou até mesmo mudar de sentido (mudar de sinal)</p><p>instantaneamente. As tensões dos capacitores não saltarem, isto é,</p><p>não sofrerem descontinuidades, significa que as tensões dos</p><p>capacitores imediatamente após uma operação de comutação (t = 0+)</p><p>são exatamente as mesmas que imediatamente antes da operação</p><p>(t=0-). Este fato é um dado importante na análise transitória de</p><p>circuitos contendo capacitores.</p><p>A Eq. (86) pode ser reescrita, com auxilio da Eq. (67), como</p><p>∫== dti</p><p>C</p><p>1)t(q</p><p>C</p><p>1)t(e (87)</p><p>Esta Eq. (87) é mais facilmente interpretada, entretanto, como uma</p><p>integral definida, por um raciocínio semelhante ao usado no</p><p>desenvolvimento das Eqs. (28) e (30), e também Eqs. (44) e (45).</p><p>Como, da Eq. (86), i(t)dt = C.de(t),</p><p>[ ]∫∫ −== 2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>t</p><p>t 12</p><p>t</p><p>t )t(e)t(eC)t(edCdt)t(i (88)</p><p>ou, se t1, t2 e t forem substituídos por t0, t e λ, respectivamente,</p><p>λλ+= ∫</p><p>t</p><p>t0 0</p><p>d)(i</p><p>C</p><p>1)t(e)t(e (89)</p><p>Em particular se t0 = 0,</p><p>∫ λλ+=</p><p>t</p><p>0 d)(i</p><p>C</p><p>1)0(e)t(e (90)</p><p>ou, ainda, se t0 = 0+, um instante imediatamente após t = 0,</p><p>λλ+= ∫</p><p>+</p><p>+</p><p>t</p><p>0 d)(i</p><p>C</p><p>1)0(e)t(e (91)</p><p>onde e(0+) = e(0-) em face da restrição feita há pouco sobre a presença</p><p>de corrente infinita, ou seja, à impossibilidade de variação brusca da</p><p>tensão no capacitor ao se passar de t = 0- para t = 0+.</p><p>Uma equação alternativa à (90), mas equivalente, para a tensão</p><p>de uma capacitância é</p><p>∫ ∞−</p><p>λλ=</p><p>t d)(i</p><p>C</p><p>1)t(e (92)</p><p>“Circuitos Resistivos” 76</p><p>onde ∫ ∞−</p><p>λλ</p><p>t d)(i simboliza a carga líquida fornecida à capacitância por</p><p>toda a corrente que entrou ou saiu dela desde seu “nascimento” até o</p><p>instante t. Esta integral pode ser separada em duas partes como</p><p>segue</p><p>∫∫∫ λλ+=λλ+λλ=</p><p>∞−</p><p>t</p><p>0</p><p>t</p><p>0</p><p>0 d)(i</p><p>C</p><p>1</p><p>C</p><p>)0(qd)(i</p><p>C</p><p>1d)(i</p><p>C</p><p>1)t(e</p><p>ou</p><p>∫ λλ+=</p><p>t</p><p>0 d)(i</p><p>C</p><p>1)0(e)t(e</p><p>que é igual à Eq. (90). Na prática, a história completa da</p><p>capacitância quase sempre é desconhecida, mas sua tensão no</p><p>instante t = 0 (instante em que se começa a contar o tempo de</p><p>operação do circuito) pode ser conhecida; consequentemente, a Eq.</p><p>(90) é normalmente a expressão mais útil.</p><p>É preciso ficar muito claro que, em geral, as formas de onda da</p><p>tensão e da corrente de uma capacitância não são as mesmas. De</p><p>acordo com a Eq. (86), a forma de onda da corrente pode ser</p><p>encontrada derivando-se a forma de onda da tensão. Inversamente, a</p><p>forma de onda da tensão pode ser encontrada integrando-se a forma</p><p>de onda da corrente.</p><p>Quando uma dada função consiste de retas, a derivação ou</p><p>integração pode ser feita graficamente com facilidade. A derivada de</p><p>uma função é a inclinação da curva, enquanto que ∫ λλ</p><p>t</p><p>0 d)(f é a área</p><p>líquida sob a curva desde o instante zero até o instante t. Na Figura</p><p>38, é relativamente simples traçar imediatamente as curvas de uma</p><p>coluna, dadas as curvas da outra. É importante observar, mais uma</p><p>vez, que a integração tende a suavizar uma forma de onda enquanto</p><p>que a derivação tende a introduzir descontinuidades (variações</p><p>bruscas).</p><p>A Figura 39-(a) mostra um possível par de formas de onda para</p><p>a tensão e a corrente em uma capacitância. Se uma das duas for dada</p><p>e e(0) = 0, a outra segue imediatamente.</p><p>“Circuitos Resistivos” 77</p><p>110</p><p>t0</p><p>1</p><p>1</p><p>t</p><p>f1(t) f2(t)</p><p>1</p><p>f1(t) f2(t)</p><p>f1(t)=sent</p><p>para 0ωω==</p><p>Mas, como cosωt = sen(ωt + π/2),</p><p>( ) ( )[ ]ωπ+ωω=π+ωω= 2tsenEC2tsenEC)t(i (100)</p><p>A comparação das Eqs. (99) e (100) permite, então, concluir que:</p><p>“para formas de ondas senoidais numa capacitância pura (ideal), a</p><p>corrente está adiantada de 90º [(π/2)rd] em relação a tensão ou, de</p><p>forma equivalente, a tensão e(t) está atrasada da corrente i(t) de 90º</p><p>[(π/2)rd]”; Esta conclusão também tem respaldo na Eq. (92), pois se a</p><p>tensão depende da área sob a curva da corrente, obviamente, não</p><p>pode se adiantar a ela. É necessário primeiro circular corrente,</p><p>depositando cargas nas placas do capacitor e estabelecendo um campo</p><p>elétrico no dielétrico, para então surgir a tensão. Assim a corrente</p><p>numa capacitância está sempre adiantada da tensão, ou seja,</p><p>se i(t) surgir em t=0, e(t) surgirá em t=0+.</p><p>Se observarmos o último membro da Eq. (100), veremos que no</p><p>caso de formas de onda senoidais, a corrente está adiantada da</p><p>tensão, no tempo t, de um valor π/2ω. Assim, para uma freqüência</p><p>f=1[MHz], ou seja, um milhão de ciclos por segundo, a corrente está</p><p>adiantada da tensão de um tempo igual a</p><p>( ) ( ) ]s[25,0]S[10.25,0</p><p>10.4</p><p>1</p><p>f4</p><p>1</p><p>f4f2.22</p><p>6</p><p>6 µ====π</p><p>π=π</p><p>π=ω</p><p>π −</p><p>Isto significa que se a corrente senoidal passar pelo seu valor</p><p>máximo num determinado instante t0, a tensão passará pelo seu valor</p><p>máximo 0,25 microssegundos depois de t0, embora ambas existam</p><p>naquele instante t0 e em todos os outros instantes antecedentes e</p><p>subseqüentes.</p><p>“Circuitos Resistivos” 81</p><p>Exemplo 43: Deduza uma expressão para a força de atração entre as</p><p>placas de um capacitor de placas paralelas.</p><p>Solução: As placas de um capacitor de placas paralelas atraem-se</p><p>eletricamente, já que elas são carregadas com cargas iguais e opostas</p><p>(+q e –q). Esta força atrativa pode realmente ser calculada a partir</p><p>da energia potencial w se ela for expressa em termos da separação x</p><p>entre as placas do capacitor. De acordo com a Eq. (95),</p><p>2Ce</p><p>2</p><p>1w =</p><p>Mas, como e=q/C, de acordo com a Eq. (67),</p><p>C2</p><p>qw</p><p>2</p><p>= (101)</p><p>Da Eq. (70), C=kεoA/x, onde k é a constante dielétrica e εo a</p><p>permissividade do vácuo. Então a Eq.(101) pode ser reescrita como:</p><p>Ak2</p><p>x.qw</p><p>0</p><p>2</p><p>ε</p><p>= (102)</p><p>Agora a força pode ser obtida da relação</p><p>dx</p><p>dwF −= (103)</p><p>Então,</p><p>A2</p><p>q</p><p>Ak2</p><p>qF</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>ε</p><p>−=</p><p>ε</p><p>−= (104)</p><p>Portanto, as placas experimentam uma atração mútua que varia</p><p>quadraticamente com a carga no capacitor.</p><p>Exemplo 44: Um soldador a ponto pequeno e de precisão usa a</p><p>energia armazenada em um capacitor para depositar a solda na</p><p>junção a ser soldada. Se ele necessita de 2,6[J] de energia para</p><p>efetuar a solda, determine a tensão contínua necessária para carregar</p><p>um capacitor a óleo de 4[µF] até o nível desejado.</p><p>Solução: Da Eq. (95),</p><p>]V[1140</p><p>10.4</p><p>6,2.2</p><p>C</p><p>w2e 6 ===</p><p>−</p><p>“Circuitos Resistivos” 82</p><p>Como sabemos, elementos de circuitos são ditos em série</p><p>quando são percorridos pela mesma corrente, e em paralelo quando</p><p>estão submetidos à mesma tensão. Quando temos N resistências em</p><p>série, a resistência total, chamada de resistência equivalente, é</p><p>dada por</p><p>RT = R1 + R2 + R3 + ... +RN (105)</p><p>Se, entretanto, as N resistências estão em paralelo, a resistência</p><p>equivalente é obtida de</p><p>N321T R</p><p>1...</p><p>R</p><p>1</p><p>R</p><p>1</p><p>R</p><p>1</p><p>R</p><p>1</p><p>++++= (106)</p><p>Em particular, quando temos apenas duas resistências em</p><p>paralelo, a Eq. (106) fornece que</p><p>21T R</p><p>1</p><p>R</p><p>1</p><p>R</p><p>1</p><p>+= ,</p><p>resultando que</p><p>21</p><p>21</p><p>T RR</p><p>RRR</p><p>+</p><p>= (107)</p><p>conhecida como regra do produto pela soma. Se, entretanto,</p><p>R1=R2=R3= ... =RN= R, as Eqs. (105) a (107) transformam-se em</p><p>RT = NR (108)</p><p>para N resistências iguais a R em série, e</p><p>RT = R/N (109)</p><p>para N resistências iguais a R em paralelo.</p><p>E, para duas resistências iguais a R em paralelo,</p><p>RT = R/2 (110)</p><p>A exemplo dos resistores, capacitores também podem ser ligados</p><p>em paralelo ou em série. Queremos investigar, agora, como calcular a</p><p>capacitância equivalente nestas condições.</p><p>Seja, inicialmente, a conexão em paralelo de capacitores,</p><p>inicialmente descarregados, mostrada na Figura 41. Intuitivamente,</p><p>podemos imaginar que, conectando capacitores em paralelo,</p><p>formamos simplesmente um outro capacitor cuja área das placas é a</p><p>soma das áreas individuais de cada placa e que, assim, tem uma</p><p>“Circuitos Resistivos” 83</p><p>capacitância equivalente Ceq igual à soma das capacitâncias</p><p>e(t) = ∫ λ+=λ+ −t</p><p>0</p><p>t</p><p>0</p><p>347 10.56d10.5106</p><p>Portanto,</p><p>e(t) = (5000t + 6) [V], para t[s] ≥ 0</p><p>3.3 – Lei de Faraday</p><p>Os fenômenos magnéticos são explicados usando-se o conceito de</p><p>fluxo magnético, que está relacionado às linhas magnéticas da força</p><p>e que, através de um ímã permanente, se estende em linhas contínuas</p><p>do pólo Norte (N) ao pólo Sul (S) fora do ímã e do pólo Sul ao pólo</p><p>Norte dentro do ímã, como ilustrado na Figura 45-(a). A unidade SI</p><p>do fluxo é o Weber, com o símbolo Wb. Em geral, o símbolo de</p><p>quantidade para um fluxo constante é Φ e para um fluxo variável</p><p>com o tempo, φ .</p><p>No princípio do século XIX, 1819, o cientista holandês Oersted</p><p>provou que, ao se passar uma corrente elétrica por um</p><p>condutor, um campo magnético (fluxo) era produzido, ou seja,</p><p>era afetada a posição do ponteiro de uma bússola que estivesse</p><p>próxima do condutor, como mostrado na Figura 45-(b).</p><p>Figura 45 – (a) Um ímã permanente com seus pólos</p><p>Norte (N) e Sul (S) e as linhas de força magnéticas que</p><p>produzem o fluxo φ; (b) direção do fluxo produzido por</p><p>uma corrente i.</p><p>A relação entre as direções da corrente e do fluxo pode ser obtida</p><p>através da chamada regra da mão direita, a saber: se o polegar da</p><p>mão direita está colocado junto ao fio na direção da corrente, os</p><p>“Circuitos Resistivos” 90</p><p>quatro dedos da mão direita apontam na direção do fluxo magnético</p><p>em todo o fio, como ilustrado na Figura 45-(b).</p><p>Se o fio condutor for enrolado formando o que se denomina uma</p><p>bobina, tal como mostrado na Figura 46, e se, além disso, for</p><p>colocado no seu interior um núcleo de ferro, chamado material</p><p>ferromagnético, aumenta-se consideravelmente a concentração de</p><p>fluxo no seu interior. A permeabilidade, com o símbolo de</p><p>quantidade µ , é uma medida desta propriedade intensificadora do</p><p>fluxo. Ela tem a unidade Henry por metro com o símbolo [H/m] no SI.</p><p>A permeabilidade do vácuo, designada por µo, é 4π.10-7</p><p>[Wb/A.m]=0,4π[µH/m]. As permeabilidades de outros materiais são</p><p>relacionadas àquela do vácuo através de um fator chamado de</p><p>permeabilidade relativa, com o símbolo µr. Tal relação é µ = µr. µo,</p><p>ou seja, µr=µ/µo. A maior parte dos materiais tem permeabilidade</p><p>relativa próxima de 1 (µ≈µo), mas o ferro puro a tem na faixa de</p><p>6.000 a 8.000, e o níquel, na faixa de 400 a 1000. O chamado</p><p>permalói, uma liga com 78,5% de níquel e 21,5% de ferro, tem</p><p>permeabilidade relativa de 80.000.</p><p>Figura 46 – Uma bobina de fio condutor, enrolada sobre</p><p>um núcleo magnético cilíndrico.</p><p>Logo após a descoberta de Oersted, na França, Ampère</p><p>demonstrou que o campo magnético mantinha uma relação</p><p>linear com a corrente que o produzia. O passo seguinte ocorreu</p><p>por volta de 1831 quando Michael Faraday e Joseph Henry</p><p>descobriram, quase simultaneamente, que um campo magnético</p><p>variável podia produzir uma tensão num circuito próximo, ou</p><p>seja, que uma corrente elétrica poderia ser gerada</p><p>magneticamente, mas que tal efeito era observado apenas</p><p>quando o fluxo magnético através do circuito variava com o</p><p>tempo. Este efeito é referido como indução eletromagnética, e as</p><p>correntes e força eletromotrizes (f.e.ms.) geradas deste modo são</p><p>chamadas de correntes induzidas e f.e.ms. induzidas.</p><p>Ambos observaram também que quando uma corrente que varia</p><p>com o tempo flui num dado circuito, o campo magnético do próprio</p><p>“Circuitos Resistivos” 91</p><p>circuito atua para produzir uma f.e.m. neste mesmo circuito, cujos</p><p>efeitos são opostos à f.e.m. externa que faz a corrente circular (e</p><p>variar) em primeiro lugar. Este efeito é referido como auto-indução.</p><p>Portanto, quando a tensão através da bobina é devida ao fluxo</p><p>variável produzido pela variação de corrente na própria bobina,</p><p>dizemos que a tensão que aparece é auto-induzida ou força contra</p><p>eletromotriz – fcem. Eles estudaram também as f.e.ms. e correntes</p><p>induzidas numa bobina, por correntes que variam com o tempo</p><p>fluindo numa outra bobina próxima, e acharam que as f.e.ms. muito</p><p>grandes, induzidas, poderiam ser geradas numa bobina que tivesse</p><p>um grande número de espiras de fio, por uma f.e.m. menor, que</p><p>variasse com o tempo, numa bobina que consistisse de relativamente</p><p>poucas espiras. Deste modo eles inventaram os princípios sobre os</p><p>quais os transformadores operam. Quando a tensão da bobina em</p><p>questão é devida à variação de corrente em uma bobina diferente,</p><p>falamos de indução mútua.</p><p>Se todas as N espiras (N voltas de fio) de uma bobina estiverem</p><p>associadas a uma mesma quantidade φ(t) de fluxo, diz-se que a bobina</p><p>tem um fluxo enlaçado ou fluxo concatenado ou, ainda, um</p><p>acoplamento indutivo Nφ.</p><p>Os resultados experimentais de Faraday e Henry, no que diz</p><p>respeito à produção de f.e.ms. e correntes induzidas, podem ser</p><p>resumidos na seguinte afirmação:</p><p>”Sempre que há um fluxo magnético que varia com o</p><p>tempo através de um circuito, uma f.em. é induzida nele, sendo</p><p>que o módulo desta é diretamente proporcional à taxa de</p><p>variação do fluxo magnético em relação ao tempo”.</p><p>Esta definição é conhecida como Lei da indução de Faraday.</p><p>Quando se trata de uma bobina com N espiras e um fluxo</p><p>concatenado Nφ , a lei de Faraday é descrita matematicamente por</p><p>,</p><p>dt</p><p>dN)N(</p><p>dt</p><p>de φ</p><p>=φ= (127)</p><p>sendo que a polaridade desta tensão e(t) é tal que qualquer</p><p>corrente resultante dela produz um fluxo que se opõe à</p><p>alteração do fluxo original. Esta regra para se determinar a</p><p>polaridade da tensão induzida é conhecida como Lei de Lenz. Como</p><p>“Circuitos Resistivos” 92</p><p>o fluxo φ é produzido por uma corrente i, também podemos dizer, em</p><p>conformidade com a Lei de Lenz, que a polaridade da tensão e(t) é</p><p>tal que tende a se opor à alteração na corrente que</p><p>originalmente foi responsável por ela.</p><p>3.4 – Indutância</p><p>Uma vez que o fluxo φ(t) é produzido pela corrente i(t), a eq. 127)</p><p>pode ser reescrita como</p><p>t</p><p>iim.L</p><p>dt</p><p>)t(diL</p><p>dt</p><p>di</p><p>di</p><p>dN)t(e</p><p>0t ∆</p><p>∆</p><p>==⎟</p><p>⎠</p><p>⎞</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎛ φ</p><p>=</p><p>→∆</p><p>(128)</p><p>onde</p><p>di</p><p>NdL φ</p><p>= (129)</p><p>L é chamada de auto-indutância ou simplesmente indutância da</p><p>bobina. Sua unidade no SI é o Henry com o símbolo de unidade [H].</p><p>De acordo com a Eq.(128),um Henry é a quantidade de indutância que</p><p>permite uma indução de um volt quando a corrente varia na razão de</p><p>um Ampère por segundo.</p><p>A indutância de uma bobina depende de seu formato, de como</p><p>ela é enrolada, do material do núcleo em torno do qual ela é enrolada,</p><p>do número de espiras e da distância entre elas, e de outros fatores.</p><p>Para uma bobina com enrolamento de uma só camada mostrada</p><p>na Figura 46, a indutância é dada aproximadamente por</p><p>L = µ N2A/l (130)</p><p>onde µ é a permeabilidade do núcleo, N é o número total de espiras do</p><p>enrolamento, A é área da seção transversal do núcleo e l é o</p><p>comprimento da bobina. Quanto maior o comprimento da bobina em</p><p>relação ao seu diâmetro, mais preciso é o valor de L obtido com a Eq.</p><p>(130). Para um comprimento da ordem de dez vezes o diâmetro, a</p><p>indutância real é 4% menor do que o valor fornecido pela Eq. (130).</p><p>Nota 6: Na realidade a expressão mais rigorosa para o cálculo da</p><p>indutância é</p><p>dH</p><p>dB.ANL</p><p>2</p><p>= (131)</p><p>“Circuitos Resistivos” 93</p><p>onde B é a indução magnética [Wb/m2] e H é a intensidade</p><p>magnética [A.e/m].</p><p>A relação entre B e H depende do material do núcleo, e duas</p><p>curvas típicas são mostradas nas Figuras 47-(a) e (b). Para o núcleo</p><p>de ar, dB/dH é igual à permeabilidade, ou seja, dB/dH = µ , resultando</p><p>na Eq. (130) para a indutância L. Como a indutância tem um valor</p><p>constante, independendo da intensidade da corrente que atue, ela é</p><p>um elemento linear de circuito.</p><p>Figura 47 – (a) Indução magnética em função da</p><p>intensidade magnética para um núcleo de ar e (b) idem</p><p>para um núcleo de ferro.</p><p>Para o núcleo de ferro, o valor de dB/dH depende do valor de H</p><p>e, portanto, da corrente, de maneira que a indutância é um elemento</p><p>não-linear. Mesmo para o núcleo de ferro, entretanto, uma</p><p>indutância linear equivalente pode frequentemente</p>uma corrente contínua através da pilha no sentido oposto ao sentido 
da corrente que a pilha libera no circuito. A pilha é recarregada 
ligando-a a um carregador de bateria com os pólos de mesmo 
nome, isto é, positivo com positivo e negativo com negativo, como 
mostrado na Figura 61. O exemplo mais comum de uma pilha 
secundária é a bateria que alimenta o sistema elétrico dos 
automóveis. 
 São usadas pilhas secundárias menores e blindadas na 
alimentação de equipamentos portáteis como barbeadores, 
calculadoras, agendas eletrônicas e telefones celulares. 
 
Figura 61 – Recarga de uma pilha secundária com um 
carregador de bateria. 
 Um gerador é uma máquina na qual se usa a indução 
eletromagnética para produzir uma tensão por meio da rotação de 
bobinas de fio condutor através de um campo magnético estacionário 
ou pela rotação de um campo magnético, chamado campo girante, 
através de bobinas estacionárias. Uma rotação completa de cada 
espira da bobina é chamada de ciclo. Um gerador que produz uma 
tensão alternada senoidal é geralmente chamado de alternador. 
 A fonte de corrente independente, mostrada na Figura 57-
(c), produz uma corrente específica i(t) independente das ligações 
externas. Como a tensão e(t) nos seus terminais depende do restante 
do circuito, e pode assumir qualquer valor, a fonte independente de 
corrente também pode fornecer uma quantidade ilimitada de potência 
e energia. A introdução do conceito de fonte de corrente pode causar 
alguma surpresa em quem está mais familiarizado com fontes de 
tensão, mas muitos dispositivos podem ser representados por uma 
fonte de corrente combinada com alguns elementos passivos. Além 
disso, indutores inicialmente energizados, isto é, percorridos por uma 
corrente inicial i(0)=I, podem ser representados por uma indutância 
desenergizada L em paralelo com uma fonte de corrente de valor I. É 
lógico que a situação dual também existe, ou seja, um capacitor com 
uma tensão inicial e(0)=E pode ser substituído por uma capacitância 
“Circuitos Resistivos” 113
desenergizada C em série com uma fonte de tensão de valor E. Estas 
afirmações têm respaldo nas Eqs. (135) e (90), que também são duais. 
Esses equivalentes são muito importantes na análise transitória de 
circuitos contendo indutâncias e capacitâncias inicialmente 
energizadas. Uma fonte de corrente de valor zero é equivalente ao 
circuito aberto mostrado na Figura 22 – (b). 
 O termo fonte em repouso é frequentemente usado para 
designar uma fonte de valor zero. Então, uma fonte de tensão em 
repouso é um curto-circuito e uma fonte de corrente em repouso é um 
circuito aberto. 
 Uma fonte controlada, também chamada de fonte 
dependente ou fonte vinculada, é uma cujo valor não é 
independente do restante do circuito do qual faz parte, mas é uma 
função conhecida de alguma outra tensão ou corrente do mesmo 
circuito. De um modo geral, as fontes dependentes raramente são 
componentes físicos reais. Mas elas são particularmente importantes 
na construção de modelos de transistores e outros componentes 
eletrônicos, como os circuitos integrados, por exemplo. A Figura 62–
(a) mostra um modelo muito simples de um amplificador a transistor, 
com a fonte de corrente i2(t) controlada pela corrente i1(t). A Figura 
62-(b) mostra uma fonte de corrente i2(t) que é controlada pela tensão 
e1(t) e a Figura 62-(c) representa uma fonte de tensão e2(t) controlada 
pela corrente i1(t). De uma certa maneira, uma fonte controlada não é 
realmente um componente de dois terminais, pois a tensão ou a 
corrente da qual ela depende (e que pode estar localizada em 
qualquer lugar) deve também ser mostrada para que o elemento fique 
completamente caracterizado. 
 
“Circuitos Resistivos” 114
Figura 62–(a) Modelo simples de amplificador a 
transistor, (b) fonte de corrente controlada por tensão, e 
(c) fonte de tensão controlada por corrente. 
 
 Um símbolo para o transistor NPN de emissor comum é 
dado na Figura 63-(a) onde b, e e c denotam os terminais da base, do 
emissor (comum à entrada e à saída) e do coletor. Este componente 
pode ser operado de maneira (aproximadamente) linear ou de 
maneira não-linear. Na faixa linear, a corrente do coletor ic(t) é 
aproximadamente proporcional à corrente da base ib(t) , mas depende 
também da tensão entre o coletor e o emissor ece(t). Se a tensão entre 
a base e o emissor ebe(t), que é usualmente pequena, for considerada 
nula, o modelo com uma fonte controlada da Figura 63-(b) poderá ser 
usado. Um valor típico para o fator de amplificação β da fonte de 
corrente controlada por corrente é β=50. A pequena tensão entre a 
base e o emissor ebe(t) depende da corrente da base ib(t) e, em menor 
extensão, da tensão do coletor para o emissor ece(t). Um modelo mais 
exato, então, que inclui estes efeitos, é mostrado na Figura 63-(c), 
contendo duas fontes controladas. 
 
 
Figura 63–(a) Símbolo do transistor NPN ligado com 
emissor comum, (b) seu modelo mais simples e (c) um 
modelo mais exato. 
“Circuitos Resistivos” 115
 
 
 
 
 O transistor também possui alguma capacitância interna, que 
poderá ser necessário incluir em algumas aplicações, mas que não é 
incluída na Figura 63. Os elementos adicionais nos modelos mais 
rigorosos (e mais complicados também) representam fenômenos que 
não são desejados na maioria dos casos mas que não podem ser 
completamente evitados. Estes elementos adicionais não podem ser 
ignorados e são algumas vezes chamados de elementos parasitas. 
 Uma rede que não contenha nenhum elemento ativo (fonte) é 
chamada de rede passiva.