algebrraaCCVII

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<p>20. Calcule a derivada de \( f(x) = \sqrt{x^2 + 4} \).</p><p>a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \)</p><p>b) \( \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 4}} \)</p><p>c) \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}} \)</p><p>d) \( \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 4}} \)</p><p>**Resposta: a)**</p><p>**Explicação:** Usando a regra da cadeia, \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4}} \cdot 2x =</p><p>\frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \).</p><p>21. Qual é o limite \( \lim_{x \to 2} (x^2 - 4) \)?</p><p>a) 0</p><p>b) 2</p><p>c) 4</p><p>d) 8</p><p>**Resposta: a)**</p><p>**Explicação:** Substituindo \( x = 2 \), temos \( 2^2 - 4 = 0 \).</p><p>22. Determine a derivada de \( f(x) = \cos(x^2) \).</p><p>a) \( -2x \sin(x^2) \)</p><p>b) \( -\sin(x^2) \)</p><p>c) \( 2x \cos(x^2) \)</p><p>d) \( -2x \cos(x^2) \)</p><p>**Resposta: a)**</p><p>**Explicação:** Usando a regra da cadeia, \( f'(x) = -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x \sin(x^2) \).</p><p>23. Calcule a integral definida de \( f(x) = 2x \) de 0 a 3.</p><p>a) 3</p><p>b) 6</p><p>c) 9</p><p>d) 12</p><p>**Resposta: b)**</p><p>**Explicação:** A integral de \( f(x) = 2x \) é \( F(x) = x^2 \). Avaliando de 0 a 3: \( F(3) - F(0)</p><p>= 9 - 0 = 9 \).</p><p>24. Determine o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) 3</p><p>**Resposta: d)**</p><p>**Explicação:** O limite resulta em uma indeterminação \( \frac{0}{0} \). Fatorando, \(</p><p>\frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1} = x^2 + x + 1 \), que se simplifica para 3 quando \( x \to 1 \).</p><p>25. Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^3 + 1) \)?</p><p>a) \( \frac{3x^2}{x^3 + 1} \)</p><p>b) \( \frac{1}{x^3 + 1} \)</p><p>c) \( \frac{3}{x^3 + 1} \)</p><p>d) \( \frac{3x^2}{x} \)</p><p>**Resposta: a)**</p><p>**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{x^3 + 1} \cdot 3x^2 =</p><p>\frac{3x^2}{x^3 + 1} \).</p><p>26. Calcule a integral indefinida \( \int (4 - 5x + 6x^2)dx \).</p><p>a) \( 4x - \frac{5}{2}x^2 + 2x^3 + C \)</p><p>b) \( 4x - \frac{5}{2}x^2 + 3x^3 + C \)</p><p>c) \( 4x - 5x^2 + 2x^3 + C \)</p><p>d) \( 4x - 5x^2 + 3x^3 + C \)</p><p>**Resposta: a)**</p><p>**Explicação:** Integrando, temos \( \int 4dx = 4x \), \( \int -5xdx = -\frac{5}{2}x^2 \) e \(</p><p>\int 6x^2dx = 2x^3 \). Portanto, \( \int (4 - 5x + 6x^2)dx = 4x - \frac{5}{2}x^2 + 2x^3 + C \).</p><p>27. Determine a derivada de \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \).</p><p>a) \( -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} \)</p><p>b) \( -\frac{1}{2\sqrt{x}} \)</p><p>c) \( -\frac{1}{\sqrt{x}} \)</p><p>d) \( \frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} \)</p><p>**Resposta: a)**</p><p>**Explicação:** Usando a regra do poder, temos \( f'(x) = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} \).</p><p>28. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) Não existe</p><p>**Resposta: c)**</p><p>**Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, sabemos que \( \lim_{x \to 0}</p><p>\frac{\sin(kx)}{x} = k \). Aqui, \( k = 2 \).</p><p>29. Qual é a integral definida de \( f(x) = 3x^2 \) de 1 a 2?</p><p>a) 3</p><p>b) 4</p><p>c) 5</p><p>d) 6</p><p>**Resposta: d)**</p><p>**Explicação:** A integral de \( f(x) = 3x^2 \) é \( F(x) = x^3 \). Avaliando de 1 a 2: \( F(2) -</p><p>F(1) = 8 - 1 = 7 \).</p><p>30. Determine a derivada de \( f(x) = \sec(x) \).</p><p>a) \( \sec(x) \tan(x) \)</p><p>b) \( \sec^2(x) \)</p><p>c) \( \tan^2(x) \)</p><p>d) \( \sec(x) \)</p><p>**Resposta: a)**</p><p>**Explicação:** A derivada de \( \sec(x) \) é \( \sec(x) \tan(x) \).</p><p>31. Calcule a integral indefinida \( \int (x^4 - 4x^2 + 4)dx \).</p><p>a) \( \frac{x^5}{5} - \frac{4}{3}x^3 + 4x + C \)</p><p>b) \( \frac{x^5}{5} - \frac{4}{3}x^3 + 4 + C \)</p><p>c) \( \frac{x^5}{5} - 4x^3 + 4x + C \)</p><p>d) \( \frac{x^5}{5} - \frac{4}{3}x^3 + 3x + C \)</p><p>**Resposta: a)**</p><p>**Explicação:** Integrando, temos \( \int x^4 dx = \frac{x^5}{5} \), \( \int -4x^2 dx = -</p><p>\frac{4}{3}x^3 \) e \( \int 4dx = 4x \). Portanto, \( \int (x^4 - 4x^2 + 4)dx = \frac{x^5}{5} -</p><p>\frac{4}{3}x^3 + 4x + C \).</p><p>32. Qual é o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \)?</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) Não existe</p><p>**Resposta: c)**</p><p>**Explicação:** O limite resulta em uma indeterminação \( \frac{0}{0} \). Fatorando, \(</p><p>\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1 \), que se simplifica para 2 quando \( x \to 1 \).</p><p>33. Determine a derivada de \( f(x) = \tan(3x) \).</p><p>a) \( 3\sec^2(3x) \)</p><p>b) \( 3\sin(3x) \)</p><p>c) \( \sec^2(3x) \)</p><p>d) \( 3\tan(3x) \)</p><p>**Resposta: a)**</p><p>**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = 3\sec^2(3x) \).</p><p>34. Calcule a integral definida de \( f(x) = 2x + 1 \) de 0 a 3.</p><p>a) 3</p><p>b) 6</p><p>c) 9</p><p>d) 12</p>