teste com resposta CCXXXII

Prévia do material em texto

<p>18. Calcule a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\).</p><p>A) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\)</p><p>B) \(\frac{x}{x^2 + 1}\)</p><p>C) \(\frac{2}{x^2 + 1}\)</p><p>D) \(\frac{1}{x^2 + 1}\)</p><p>**Resposta: A**</p><p>**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) =</p><p>\frac{2x}{x^2 + 1}\).</p><p>19. Determine o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\).</p><p>A) 1</p><p>B) 0</p><p>C) \(e\)</p><p>D) \(\infty\)</p><p>**Resposta: A**</p><p>**Explicação:** O limite é uma forma indeterminada \(0/0\). Usamos a série de Taylor</p><p>para \(e^x\) em torno de 0, que nos dá \(e^x \approx 1 + x\). Assim, \(\lim_{x \to 0}</p><p>\frac{x}{x} = 1\).</p><p>20. Encontre a integral indefinida \(\int (5x^4 - 3x^2 + 7) \, dx\).</p><p>A) \(x^5 - x^3 + 7x + C\)</p><p>B) \(\frac{5}{5}x^5 - x^3 + 7x + C\)</p><p>C) \(x^5 - \frac{3}{3}x^3 + 7x + C\)</p><p>D) \(5x^5 - 3x^3 + 7x + C\)</p><p>**Resposta: A**</p><p>**Explicação:** Integrando, temos \(\int 5x^4 \, dx = x^5\), \(\int -3x^2 \, dx = -x^3\), e \(\int</p><p>7 \, dx = 7x\). Portanto, a integral é \(x^5 - x^3 + 7x + C\).</p><p>21. Calcule a derivada de \(f(x) = \cos(2x)\).</p><p>A) \(-2\sin(2x)\)</p><p>B) \(-\sin(2x)\)</p><p>C) \(2\sin(2x)\)</p><p>D) \(\cos(2x)\)</p><p>**Resposta: A**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)\).</p><p>22. Determine o limite: \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 - x}{2x^3 + 4}\).</p><p>A) \(\frac{5}{2}\)</p><p>B) \(\infty\)</p><p>C) 0</p><p>D) 1</p><p>**Resposta: A**</p><p>**Explicação:** Dividimos todos os termos por \(x^3\): \(\lim_{x \to \infty} \frac{5 -</p><p>\frac{1}{x^2}}{2 + \frac{4}{x^3}} = \frac{5}{2}\).</p><p>23. Calcule a integral \(\int (3x^2 + 4x) \, dx\).</p><p>A) \(x^3 + 2x^2 + C\)</p><p>B) \(x^3 + 4x^2 + C\)</p><p>C) \(\frac{3}{3}x^3 + 2x^2 + C\)</p><p>D) \(3x^3 + 2x^2 + C\)</p><p>**Resposta: A**</p><p>**Explicação:** Integrando, temos \(\int 3x^2 \, dx = x^3\) e \(\int 4x \, dx = 2x^2\).</p><p>Portanto, a integral é \(x^3 + 2x^2 + C\).</p><p>24. Determine a derivada de \(f(x) = x^2 \ln(x)\).</p><p>A) \(2x \ln(x) + x\)</p><p>B) \(x \ln(x) + 2x\)</p><p>C) \(2x \ln(x) - x\)</p><p>D) \(x^2 \ln(x)\)</p><p>**Resposta: A**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do produto: \(f'(x) = x^2 \cdot \frac{1}{x} + 2x \ln(x) = 2x</p><p>\ln(x) + x\).</p><p>25. Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2}\).</p><p>A) 0</p><p>B) \(-\frac{1}{2}\)</p><p>C) 1</p><p>D) \(-1\)</p><p>**Resposta: B**</p><p>**Explicação:** Usamos a série de Taylor para \(\cos(x)\), que nos dá \(\cos(x) \approx 1 -</p><p>\frac{x^2}{2}\). Assim, \(\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2} = -\frac{1}{2}\).</p><p>26. Encontre a integral definida \(\int_0^1 (6x^2 - 4) \, dx\).</p><p>A) \(\frac{1}{3}\)</p><p>B) \(\frac{2}{3}\)</p><p>C) \(\frac{4}{3}\)</p><p>D) \(\frac{1}{2}\)</p><p>**Resposta: B**</p><p>**Explicação:** A integral é \(\int (6x^2 - 4) \, dx = 2x^3 - 4x + C\). Avaliando de 0 a 1:</p><p>\((2(1^3) - 4(1)) - (0) = 2 - 4 = -2\).</p><p>27. Calcule a derivada de \(f(x) = \frac{1}{x}\).</p><p>A) \(-\frac{1}{x^2}\)</p><p>B) \(\frac{1}{x^2}\)</p><p>C) \(-\frac{2}{x^3}\)</p><p>D) \(\frac{2}{x^3}\)</p><p>**Resposta: A**</p><p>**Explicação:** Usando a regra da potência, temos \(f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\).</p><p>28. Determine o limite: \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}\).</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 3</p><p>D) 2</p><p>**Resposta: C**</p><p>**Explicação:** O limite resulta em uma forma indeterminada \(0/0\). Fatorando, temos</p><p>\(\frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1}\), que simplifica para \(x^2 + x + 1\). Portanto, \(\lim_{x \to 1}</p><p>(x^2 + x + 1) = 3\).</p><p>29. Calcule a integral indefinida \(\int (4x^3 + 2x) \, dx\).</p><p>A) \(x^4 + x^2 + C\)</p><p>B) \(4x^4 + x^2 + C\)</p><p>C) \(x^4 + 4x^2 + C\)</p><p>D) \(2x^4 + x^2 + C\)</p><p>**Resposta: A**</p><p>**Explicação:** Integrando, temos \(\int 4x^3 \, dx = x^4\) e \(\int 2x \, dx = x^2\). Portanto,</p><p>a integral é \(x^4 + x^2 + C\).</p><p>30. Determine a derivada de \(f(x) = \tan(3x)\).</p><p>A) \(3\sec^2(3x)\)</p><p>B) \(3\sin(3x)\)</p><p>C) \(\sec^2(3x)\)</p><p>D) \(3\cos(3x)\)</p><p>**Resposta: A**</p><p>**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = 3\sec^2(3x)\).</p><p>31. Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}\).</p><p>A) 0</p><p>B) 2</p><p>C) 1</p><p>D) \(\infty\)</p><p>**Resposta: B**</p><p>**Explicação:** Usamos a propriedade do limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k\).</p><p>Aqui, \(k = 2\), então o limite é 2.</p><p>32. Encontre a integral definida \(\int_0^1 (x^2 + 2) \, dx\).</p><p>A) \(\frac{5}{3}\)</p>