pergunta e resposta CCVI

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<p>12. **Qual é o valor de \( \int_1^e \frac{1}{x} \, dx \)?**</p><p>A) 1</p><p>B) 0</p><p>C) \( \ln(e) \)</p><p>D) \( \ln(1) \)</p><p>**Resposta: A) 1**</p><p>**Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x} \) é \( \ln|x| + C \). Avaliando de 1 a \( e \), temos</p><p>\( \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1 \).</p><p>13. **Qual é a integral definida de \( \int_0^1 (6x^2) \, dx \)?**</p><p>A) 1</p><p>B) 2</p><p>C) 3</p><p>D) 4</p><p>**Resposta: B) 2**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \int 6x^2 \, dx = 2x^3 + C \). Avaliando de 0 a 1, temos \(</p><p>2(1^3) - 2(0^3) = 2 \).</p><p>14. **Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{x} \)?**</p><p>A) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \)</p><p>B) \( \frac{1}{\sqrt{x}} \)</p><p>C) \( \frac{1}{2x} \)</p><p>D) \( \frac{1}{x} \)</p><p>**Resposta: A) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \)**</p><p>**Explicação:** Usando a regra da potência, temos \( f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} =</p><p>\frac{1}{2\sqrt{x}} \).</p><p>15. **Qual é o limite de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} \)?**</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) 5</p><p>D) 10</p><p>**Resposta: C) 5**</p><p>**Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, sabemos que \( \lim_{x \to 0}</p><p>\frac{\tan(kx)}{x} = k \). Aqui, \( k = 5 \), então o limite é 5.</p><p>16. **Qual é a equação da reta tangente à função \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \) no ponto \( (1, -1)</p><p>\)?**</p><p>A) \( y = 2x - 3 \)</p><p>B) \( y = 3x - 4 \)</p><p>C) \( y = 2x + 1 \)</p><p>D) \( y = 3x + 1 \)</p><p>**Resposta: A) \( y = 2x - 3 \)**</p><p>**Explicação:** A derivada \( f'(x) = 3x^2 - 3 \). Avaliando em \( x = 1 \), temos \( f'(1) =</p><p>3(1)^2 - 3 = 0 \). A equação da reta tangente é \( y + 1 = 0(x - 1) \), que resulta em \( y = -1 \).</p><p>17. **Qual é o valor de \( \int_0^2 (x^2 + 3x) \, dx \)?**</p><p>A) 8</p><p>B) 10</p><p>C) 12</p><p>D) 14</p><p>**Resposta: B) 10**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \int (x^2 + 3x) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + C \).</p><p>Avaliando de 0 a 2: \( \left[\frac{2^3}{3} + \frac{3(2^2)}{2}\right] - 0 = \left[\frac{8}{3} +</p><p>6\right] = \frac{8}{3} + \frac{18}{3} = \frac{26}{3} \).</p><p>18. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)?**</p><p>A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)</p><p>B) \( \frac{1}{x^2 + 1} \)</p><p>C) \( \frac{2}{x} \)</p><p>D) \( \frac{x}{x^2 + 1} \)</p><p>**Resposta: A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)**</p><p>**Explicação:** Usando a regra da cadeia, \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) =</p><p>\frac{2x}{x^2 + 1} \).</p><p>19. **Qual é o limite de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \)?**</p><p>A) 1</p><p>B) 2</p><p>C) 3</p><p>D) 0</p><p>**Resposta: C) 3**</p><p>**Explicação:** O limite apresenta indeterminação \( \frac{0}{0} \). Fatorando, temos \(</p><p>\frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{x-1} \) que simplifica para \( x^2 + x + 1 \). Avaliando em \( x = 1 \),</p><p>obtemos \( 3 \).</p><p>20. **Qual é a integral definida de \( \int_0^1 (12x^2) \, dx \)?**</p><p>A) 1</p><p>B) 2</p><p>C) 3</p><p>D) 4</p><p>**Resposta: C) 4**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \int 12x^2 \, dx = 4x^3 + C \). Avaliando de 0 a 1, temos \(</p><p>4(1^3) - 4(0^3) = 4 \).</p><p>21. **Qual é a derivada de \( f(x) = \cos(2x) \)?**</p><p>A) \( -2\sin(2x) \)</p><p>B) \( 2\sin(2x) \)</p><p>C) \( -\sin(2x) \)</p><p>D) \( 2\cos(2x) \)</p><p>**Resposta: A) \( -2\sin(2x) \)**</p><p>**Explicação:** Usando a regra da cadeia, a derivada de \( \cos(kx) \) é \( -k\sin(kx) \).</p><p>Assim, \( f'(x) = -2\sin(2x) \).</p><p>22. **Qual é o valor de \( \int_1^3 (3x^2 - 2) \, dx \)?**</p><p>A) 10</p><p>B) 12</p><p>C) 14</p><p>D) 16</p><p>**Resposta: A) 10**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \int (3x^2 - 2) \, dx = x^3 - 2x + C \). Avaliando de 1 a 3: \(</p><p>[(3^3 - 2(3)) - (1^3 - 2(1))] = [27 - 6 - (1 - 2)] = 21 - (-1) = 22 - 1 = 21 \).</p><p>23. **Qual é o limite de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \)?**</p><p>A) 0</p><p>B) 1</p><p>C) \( e \)</p><p>D) \( \ln(1) \)</p><p>**Resposta: B) 1**</p><p>**Explicação:** Usando a definição de derivada, \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = f'(0) \)</p><p>onde \( f(x) = e^x \). A derivada de \( e^x \) em \( x = 0 \) é 1.</p><p>24. **Qual é a derivada de \( f(x) = \arctan(x) \)?**</p><p>A) \( \frac{1}{1+x^2} \)</p><p>B) \( \frac{1}{x^2+1} \)</p><p>C) \( \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \)</p><p>D) \( \frac{x}{1+x^2} \)</p><p>**Resposta: A) \( \frac{1}{1+x^2} \)**</p><p>**Explicação:** A derivada de \( \arctan(x) \) é \( \frac{1}{1+x^2} \), que pode ser derivada</p><p>usando a regra da cadeia.</p><p>25. **Qual é a integral indefinida de \( \int (5x^4) \, dx \)?**</p><p>A) \( x^5 + C \)</p><p>B) \( x^5 + 1 + C \)</p><p>C) \( \frac{5}{5}x^5 + C \)</p><p>D) \( \frac{5}{6}x^6 + C \)</p><p>**Resposta: D) \( \frac{5}{6}x^6 + C \)**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \int 5x^4 \, dx = x^5 + C \). Portanto, \( \frac{5}{6}x^6 + C \).</p><p>26. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (6x^3) \, dx \)?**</p>