contas complexas VAO

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<p>Qual é o resultado de \( \int_1^2 \frac{1}{x^2} \, dx \)?</p><p>A) \( -\frac{1}{2} \)</p><p>B) \( \frac{1}{2} \)</p><p>C) 1</p><p>D) \( 0 \)</p><p>**Resposta: A) \( -\frac{1}{2} \)**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^2 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \).</p><p>### Questão 56:</p><p>Qual é a derivada de \( f(x) = \sqrt{x} \)?</p><p>A) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \)</p><p>B) \( \frac{1}{\sqrt{x}} \)</p><p>C) \( 2\sqrt{x} \)</p><p>D) \( \sqrt{x} \)</p><p>**Resposta: A) \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \)**</p><p>**Explicação:** Usando a regra da potência, temos \( f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} =</p><p>\frac{1}{2\sqrt{x}} \).</p><p>### Questão 57:</p><p>Qual é o valor de \( \int_0^1 (1 - x^2) \, dx \)?</p><p>A) \( \frac{1}{3} \)</p><p>B) \( \frac{1}{2} \)</p><p>C) \( \frac{2}{3} \)</p><p>D) 1</p><p>**Resposta: C) \( \frac{2}{3} \)**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}</p><p>\).</p><p>### Questão 58:</p><p>Qual é a solução da equação \( \frac{dy}{dx} = 3y \)?</p><p>A) \( y = Ce^{-3x} \)</p><p>B) \( y = Ce^{3x} \)</p><p>C) \( e^{3x} + C \)</p><p>D) \( y = 3x + C \)</p><p>**Resposta: B) \( y = Ce^{3x} \)**</p><p>**Explicação:** Separando as variáveis e integrando, obtemos \( \frac{dy}{y} = 3dx \),</p><p>resultando em \( y = Ce^{3x} \).</p><p>### Questão 59:</p><p>Qual é a integral \( \int_1^2 (3x^2 + 2) \, dx \)?</p><p>A) 0</p><p>B) 3</p><p>C) \( \frac{5}{2} \)</p><p>D) \( 5 \)</p><p>**Resposta: D) \( 5 \)**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \left[ x^3 + 2x \right]_1^2 = (8 + 4) - (1 + 2) = 12 - 3 = 9 \).</p><p>### Questão 60:</p><p>Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 3) \)?</p><p>A) \( \frac{2x}{x^2 + 3} \)</p><p>B) \( \frac{1}{x^2 + 3} \)</p><p>C) \( \frac{2}{x^2 + 3} \)</p><p>D) \( \frac{1}{2x} \)</p><p>**Resposta: A) \( \frac{2x}{x^2 + 3} \)**</p><p>**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 3} \cdot 2x =</p><p>\frac{2x}{x^2 + 3} \).</p><p>### Questão 61:</p><p>Qual é a integral \( \int_0^1 (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx \)?</p><p>A) 1</p><p>B) 2</p><p>C) \( \frac{5}{4} \)</p><p>D) \( \frac{3}{4} \)</p><p>**Resposta: A) 1**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \left[ x^4 - x^3 + 2x \right]_0^1 = 1 - 1 + 2 = 2 \).</p><p>### Questão 62:</p><p>Qual é a solução da equação \( \frac{dy}{dx} = 3y^2 \)?</p><p>A) \( y = \frac{1}{C - 3x} \)</p><p>B) \( y = 3x + C \)</p><p>C) \( y = Ce^{-3x} \)</p><p>D) \( y = C e^{3x} \)</p><p>**Resposta: A) \( y = \frac{1}{C - 3x} \)**</p><p>**Explicação:** Separando as variáveis e integrando, obtemos \( \frac{dy}{y^2} = 3dx \).</p><p>### Questão 63:</p><p>Qual é a integral \( \int x^2 e^x \, dx \)?</p><p>A) \( e^x (x^2 - 2x + 2) + C \)</p><p>B) \( e^x (x^2 + 2) + C \)</p><p>C) \( e^x (x^2 + 2x) + C \)</p><p>D) \( e^x (x^2 - 2) + C \)</p><p>**Resposta: A) \( e^x (x^2 - 2x + 2) + C \)**</p><p>**Explicação:** Usando integração por partes duas vezes, encontramos a solução.</p><p>### Questão 64:</p><p>Qual é o limite de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \)?</p><p>A) 1</p><p>B) 3</p><p>C) 0</p><p>D) \( \infty \)</p><p>**Resposta: B) 3**</p><p>**Explicação:** Usando a regra fundamental, \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3 \cdot</p><p>\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \cdot 1 = 3 \).</p><p>### Questão 65:</p><p>Qual é a integral \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \)?</p><p>A) \( 2 \)</p><p>B) 1</p><p>C) \( \frac{5}{4} \)</p><p>D) \( \frac{3}{4} \)</p><p>**Resposta: A) \( 2 \)**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_0^1 = \left( \frac{1}{3} + 1 +</p><p>1 \right) = 2 \).</p><p>### Questão 66:</p><p>Qual é a solução da equação \( \frac{dy}{dx} = -2y \)?</p><p>A) \( y = Ce^{2x} \)</p><p>B) \( y = Ce^{-2x} \)</p><p>C) \( y = 2x + C \)</p><p>D) \( y = e^{-2x} + C \)</p><p>**Resposta: B) \( y = Ce^{-2x} \)**</p><p>**Explicação:** Separando as variáveis e integrando, obtemos \( y = Ce^{-2x} \).</p><p>### Questão 67:</p><p>Qual é a integral \( \int x^3 \cos(x) \, dx \)?</p><p>A) \( x^3 \sin(x) + 3 \int x^2 \sin(x) \, dx \)</p><p>B) \( -x^3 \sin(x) + 3 \int x^2 \cos(x) \, dx \)</p><p>C) \( x^3 \sin(x) - 3 \int x^2 \cos(x) \, dx \)</p><p>D) \( x^3 \sin(x) + 3 \int x^2 \cos(x) \, dx \)</p><p>**Resposta: D) \( x^3 \sin(x) + 3 \int x^2 \cos(x) \, dx \)**</p><p>**Explicação:** Usando integração por partes, \( u = x^3 \) e \( dv = \cos(x)dx \).</p><p>### Questão 68:</p><p>Determine o valor da integral \( \int_0^1 (1 + x + x^2) \, dx \).</p><p>A) \( \frac{3}{4} \)</p><p>B) \( \frac{5}{6} \)</p>