contas complexas VQE

Prévia do material em texto

<p>**Explicação:** Usando a regra do produto, temos \( f'(x) = 5e^{5x} \sin(3x) + 3e^{5x}</p><p>\cos(3x) \).</p><p>### Questão 82:</p><p>Determine a integral \( \int_0^1 (4x^3 + 3x^2 + 2x + 1) \, dx \).</p><p>A) \( 2 \)</p><p>B) \( \frac{5}{4} \)</p><p>C) \( \frac{9}{4} \)</p><p>D) 1</p><p>**Resposta: C) \( \frac{9}{4} \)**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \left[ x^4 + x^3 + x^2 + x \right]_0^1 = (1 + 1 + 1 + 1) = 4 \).</p><p>### Questão 83:</p><p>Qual é a integral \( \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx \)?</p><p>A) \( \frac{1}{5} \)</p><p>B) \( \frac{1}{6} \)</p><p>C) \( 0 \)</p><p>D) \( \frac{1}{3} \)</p><p>**Resposta: C) \( 0 \)**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{2} + \frac{x^3}{3} \right]_0^1 =</p><p>\left( \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) = 0 \).</p><p>### Questão 84:</p><p>Qual é a solução da equação \( \frac{dy}{dx} = -y^2 \)?</p><p>A) \( y = \frac{1}{C + x} \)</p><p>B) \( y = Ce^{-x} \)</p><p>C) \( y = C(1 - x) \)</p><p>D) \( y = C + x \)</p><p>**Resposta: A) \( y = \frac{1}{C + x} \)**</p><p>**Explicação:** Separando as variáveis, obtemos \( \frac{dy}{y^2} = -dx \).</p><p>### Questão 85:</p><p>Qual é a integral \( \int e^{3x} \cos(2x) \, dx \)?</p><p>A) \( \frac{e^{3x}(3\cos(2x) + 2\sin(2x))}{13} + C \)</p><p>B) \( e^{3x} \cos(2x) + C \)</p><p>C) \( \frac{e^{3x}(2\cos(3x) - 3\sin(3x))}{13} + C \)</p><p>D) \( \frac{e^{3x}(2\cos(3x) + 3\sin(3x))}{13} + C \)</p><p>**Resposta: A) \( \frac{e^{3x}(3\cos(2x) + 2\sin(2x))}{13} + C \)**</p><p>**Explicação:** Usando integração por partes duas vezes, encontramos a solução.</p><p>### Questão 86:</p><p>Qual é a série de Taylor da função \( f(x) = e^x \) em torno de \( x = 0 \)?</p><p>A) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \)</p><p>B) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \)</p><p>C) \( \sum_{n=0}^{\infty} x^n \)</p><p>D) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n!} \)</p><p>**Resposta: A) \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \)**</p><p>**Explicação:** A série de Taylor para \( e^x \) é dada por \( f(x) = e^0 + \frac{x^1}{1!} +</p><p>\frac{x^2}{2!} + \cdots \).</p><p>### Questão 87:</p><p>Qual é a integral \( \int_0^1 (2x^2 + 4x + 1) \, dx \)?</p><p>A) \( 1 \)</p><p>B) \( 2 \)</p><p>C) \( \frac{5}{3} \)</p><p>D) \( \frac{7}{3} \)</p><p>**Resposta: D) \( \frac{7}{3} \)**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{2x^3}{3} + 2x^2 + x \right]_0^1 = \left( \frac{2}{3} +</p><p>2 + 1 \right) = \frac{7}{3} \).</p><p>### Questão 88:</p><p>Qual é o resultado da integral \( \int_0^1 (x^2 + x + 1) \, dx \)?</p><p>A) \( \frac{5}{6} \)</p><p>B) \( \frac{1}{3} \)</p><p>C) \( \frac{1}{2} \)</p><p>D) \( 1 \)</p><p>**Resposta: D) \( 1 \)**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x \right]_0^1 = 1 \).</p><p>### Questão 89:</p><p>Qual é a solução da equação \( \frac{dy}{dx} = 2y + x \)?</p><p>A) \( y = Ce^{-2x} - \frac{x}{2} \)</p><p>B) \( y = Ce^{-2x} + \frac{x}{2} \)</p><p>C) \( y = Ce^{2x} + \frac{x}{2} \)</p><p>D) \( y = 2x + C \)</p><p>**Resposta: B) \( y = Ce^{-2x} + \frac{x}{2} \)**</p><p>**Explicação:** Usando o método da variação de parâmetros, obtemos a solução geral.</p><p>### Questão 90:</p><p>Qual é a integral \( \int_1^2 \frac{1}{x^3} \, dx \)?</p><p>A) \( -\frac{1}{2} \)</p><p>B) \( \frac{1}{4} \)</p><p>C) \( -\frac{1}{3} \)</p><p>D) \( 0 \)</p><p>**Resposta: A) \( -\frac{1}{2} \)**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \left[ -\frac{1}{2x^2} \right]_1^2 = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} = -</p><p>\frac{1}{2} \).</p><p>### Questão 91:</p><p>Qual é a derivada de \( f(x) = \tan^{-1}(x) \)?</p><p>A) \( \frac{1}{1+x^2} \)</p><p>B) \( \frac{1}{x} \)</p><p>C) \( \frac{1}{x^2 + 1} \)</p><p>D) \( 2x \)</p><p>**Resposta: A) \( \frac{1}{1+x^2} \)**</p><p>**Explicação:** A derivada da função arcotangente é uma fórmula padrão: \( f'(x) =</p><p>\frac{1}{1+x^2} \).</p><p>### Questão 92:</p><p>Determine o valor da integral \( \int_0^1 (1 - x) \, dx \).</p><p>A) \( \frac{1}{2} \)</p><p>B) \( \frac{1}{3} \)</p><p>C) \( \frac{1}{4} \)</p><p>D) \( 1 \)</p><p>**Resposta: A) \( \frac{1}{2} \)**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}</p><p>\).</p><p>### Questão 93:</p><p>Qual é a solução da equação \( \frac{dy}{dx} = y^2 \)?</p><p>A) \( y = \frac{1}{C - x} \)</p><p>B) \( y = \tan(2x + C) \)</p><p>C) \( y = C e^{-x} \)</p><p>D) \( y = C(1 - x) \)</p><p>**Resposta: A) \( y = \frac{1}{C - x} \)**</p><p>**Explicação:** Separando as variáveis e integrando, obtemos \( \frac{dy}{y^2} = dx \).</p><p>### Questão 94:</p><p>Qual é o valor da integral \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \)?</p><p>A) \( \frac{5}{4} \)</p><p>B) 1</p><p>C) \( \frac{3}{4} \)</p><p>D) \( 2 \)</p><p>**Resposta: D) \( 2 \)**</p><p>**Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_0^1 = (1 + 1 + 1) - (0) = 3 \).</p><p>### Questão 95:</p>