calculo hard 2NHH

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<p>**Resposta: a) \(\frac{5}{3}\)**</p><p>**Explicação:** A antiderivada de \(3x^2 + 2\) é \(x^3 + 2x\). Avaliando de 0 a 1, temos</p><p>\((1^3 + 2(1)) - (0 + 0) = 1 + 2 = 3\).</p><p>47. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3x}{2x^2 + 4}\)?**</p><p>a) \(\frac{5}{2}\)</p><p>b) \(\frac{3}{2}\)</p><p>c) 0</p><p>d) 2</p><p>**Resposta: a) \(\frac{5}{2}\)**</p><p>**Explicação:** Dividimos todos os termos pelo maior grau de \(x\) no denominador:</p><p>\(\lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{3}{x}}{2 + \frac{4}{x^2}} = \frac{5 + 0}{2 + 0} = \frac{5}{2}\).</p><p>48. **Qual é a solução da equação \(x^2 - 1 = 0\)?**</p><p>a) \(x = 1\)</p><p>b) \(x = -1\)</p><p>c) \(x = \pm 1\)</p><p>d) Não existem soluções reais</p><p>**Resposta: c) \(x = \pm 1\)**</p><p>**Explicação:** A equação pode ser fatorada como \((x - 1)(x + 1) = 0\), resultando em \(x</p><p>= 1\) e \(x = -1\).</p><p>49. **Qual é o valor de \(\int_0^1 e^x \, dx\)?**</p><p>a) \(e - 1\)</p><p>b) \(1\)</p><p>c) \(0\)</p><p>d) \(e\)</p><p>**Resposta: a) \(e - 1\)**</p><p>**Explicação:** A antiderivada de \(e^x\) é \(e^x\). Avaliando de 0 a 1, temos \(e^1 - e^0</p><p>= e - 1\).</p><p>50. **Qual é a soma dos ângulos internos de um octógono?**</p><p>a) \(1080^\circ\)</p><p>b) \(720^\circ\)</p><p>c) \(540^\circ\)</p><p>d) \(360^\circ\)</p><p>**Resposta: a) \(1080^\circ\)**</p><p>**Explicação:** A soma dos ângulos internos de um polígono é dada por \(180(n-2)\).</p><p>Para um octógono, \(n = 8\), então \(180(8-2) = 1080^\circ\).</p><p>51. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x}\)?**</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 5</p><p>d) Não existe</p><p>**Resposta: c) 5**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} =</p><p>k\). Assim, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} = 5\cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{5x} =</p><p>5\cdot 1 = 5\).</p><p>52. **Qual é a derivada de \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2\)?**</p><p>a) \(4x^3 - 12x^2 + 4\)</p><p>b) \(4x^3 - 12x^2 + 8\)</p><p>c) \(12x^2 - 8x\)</p><p>d) \(4x^3 - 8x\)</p><p>**Resposta: a) \(4x^3 - 12x^2 + 8\)**</p><p>**Explicação:** A derivada de \(f(x)\) é \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8\).</p><p>53. **Qual é o valor de \(\int_0^1 (2x + 1) \, dx\)?**</p><p>a) \(\frac{3}{2}\)</p><p>b) \(\frac{1}{2}\)</p><p>c) \(\frac{1}{3}\)</p><p>d) \(\frac{5}{6}\)</p><p>**Resposta: a) \(\frac{3}{2}\)**</p><p>**Explicação:** A antiderivada de \(2x + 1\) é \(x^2 + x\). Avaliando de 0 a 1, temos \((1^2</p><p>+ 1) - (0 + 0) = 1 + 1 = 2\).</p><p>54. **Qual é a solução da equação \(x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0\)?**</p><p>a) \(x = 1\)</p><p>b) \(x = -1\)</p><p>c) \(x = 0\)</p><p>d) \(x = 3\)</p><p>**Resposta: a) \(x = 1\)**</p><p>**Explicação:** A equação pode ser fatorada como \((x - 1)^3 = 0\), resultando em uma</p><p>solução única \(x = 1\).</p><p>55. **Qual é o valor de \(\int_1^2 (x^2 + 1) \, dx\)?**</p><p>a) \(\frac{7}{3}\)</p><p>b) \(\frac{5}{3}\)</p><p>c) \(\frac{8}{3}\)</p><p>d) \(\frac{10}{3}\)</p><p>**Resposta: a) \(\frac{7}{3}\)**</p><p>**Explicação:** A antiderivada de \(x^2 + 1\) é \(\frac{x^3}{3} + x\). Avaliando de 1 a 2,</p><p>temos \(\left(\frac{2^3}{3} + 2\right) - \left(\frac{1^3}{3} + 1\right) = \left(\frac{8}{3} + 2\right)</p><p>- \left(\frac{1}{3} + 1\right) = \left(\frac{8}{3} + \frac{6}{3}\right) - \left(\frac{1}{3} +</p><p>\frac{3}{3}\right) = \frac{14}{3} - \frac{4}{3} = \frac{10}{3}\).</p><p>56. **Qual é o valor de \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n}\)?**</p><p>a) \(\frac{1}{2}\)</p><p>b) \(\frac{1}{3}\)</p><p>c) \(\frac{1}{2}\)</p><p>d) \(\frac{3}{2}\)</p><p>**Resposta: a) \(\frac{1}{2}\)**</p><p>**Explicação:** Esta é uma série geométrica com razão \(r = \frac{1}{3}\). A soma de</p><p>uma série geométrica infinita é dada por \(\frac{a}{1 - r}\), onde \(a\) é o primeiro termo,</p><p>que neste caso é \(\frac{1}{3}\). Portanto, a soma é \(\frac{1/3}{1 - 1/3} = \frac{1/3}{2/3} =</p><p>\frac{1}{2}\).</p><p>57. **Qual é a solução da equação \(x^2 + 2x + 1 = 0\)?**</p><p>a) \(x = 1\)</p><p>b) \(x = -1\)</p><p>c) \(x = -2\)</p><p>d) \(x = 0\)</p><p>**Resposta: c) \(x = -1\)**</p><p>**Explicação:** A equação pode ser fatorada como \((x + 1)^2 = 0\), resultando em uma</p><p>solução única \(x = -1\).</p><p>58. **Qual é o valor de \(\int_0^1 (4x^3) \, dx\)?**</p><p>a) \(\frac{1}{4}\)</p><p>b) \(\frac{1}{5}\)</p><p>c) \(\frac{1}{3}\)</p><p>d) \(\frac{1}{2}\)</p><p>**Resposta: a) \(\frac{1}{4}\)**</p><p>**Explicação:** A antiderivada de \(4x^3\) é \(x^4\). Avaliando de 0 a 1, temos \(1 - 0 =</p><p>1\).</p><p>59. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}\)?**</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 3</p><p>d) Não existe</p><p>**Resposta: c) 3**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} =</p><p>k\). Assim, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3\cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} =</p><p>3\cdot 1 = 3\).</p><p>60. **Qual é a derivada de \(f(x) = x^5 - 5x^3 + 4x - 2\)?**</p><p>a) \(5x^4 - 15x^2 + 4\)</p><p>b) \(5x^4 - 15x^2 + 8\)</p><p>c) \(4x^3 - 12x^2 + 4\)</p>