10 - PROGRESSÃO ARITMÉTICA EXERCICIOS COMENTADOS

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<p>Progressão Aritmética - Exercícios</p><p>A progressão aritmética (PA) é toda sequência de números na qual a</p><p>diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o termo anterior é uma</p><p>constante.</p><p>Esse é um conteúdo muito cobrado em concursos e vestibulares, podendo</p><p>inclusive aparecer associado a outros conte��dos de Matemática.</p><p>Exercícios Resolvidos</p><p>Exercício 1</p><p>O preço de uma máquina nova é R$ 150 000,00. Com o uso, seu valor sofre</p><p>uma redução de R$ 2 500,00 por ano. Sendo assim, por qual valor o</p><p>proprietário da máquina poderá vendê-la daqui a 10 anos?</p><p>Solução</p><p>O problema indica que a cada ano o valor da máquina sofre uma redução de</p><p>R$ 2500,00. Logo, no primeiro ano de uso, seu valor cairá para R$ 147 500,00.</p><p>No ano seguinte será R$ 145 000,00, e assim por diante.</p><p>Percebemos então, que essa sequência forma uma PA de razão igual a - 2</p><p>500. Usando a fórmula do termo geral da PA, podemos encontrar o valor</p><p>pedido.</p><p>an = a1 + (n - 1) . r</p><p>Substituindo os valores, temos:</p><p>a10 = 150 000 + (10 - 1) . (- 2 500)</p><p>a10 = 150 000 - 22 500</p><p>a10 = 127 500</p><p>Portanto, ao final de 10 anos o valor da máquina será de R$ 127 500,00.</p><p>Exercício 2</p><p>O triângulo retângulo representado na figura abaixo, apresenta um perímetro</p><p>igual a 48 cm e área igual a 96 cm2. Quais são as medidas de x, y e z, se,</p><p>nesta ordem, formam uma PA?</p><p>Solução</p><p>Conhecendo os valores do perímetro e da área da figura, podemos escrever o</p><p>seguinte sistema de equações:</p><p>Mas, como os lados formam uma PA, então:</p><p>x = y - r</p><p>z = y + r</p><p>Onde r é a razão da PA. Substituindo o x e o z no sistema, temos:</p><p>Agora que conhecemos o valor do y e da razão, basta substituir esses valores</p><p>nas expressões de x e z:</p><p>x = 16 – 4 = 12</p><p>z = 16 + 4 = 20</p><p>Os valores dos lados do triângulo retângulo são 12 cm, 16 cm e 20 cm.</p><p>Exercício 3</p><p>Um ciclista percorre 15 km na primeira hora de uma corrida. Na segunda hora</p><p>de corrida, seu rendimento cai e ele só consegue percorrer 13 km, e na hora</p><p>seguinte 11 km. Continuando nesta sequência, quantos quilômetros ele</p><p>conseguirá percorrer nas 6 horas de prova?</p><p>Solução</p><p>Para calcular o total de quilômetros percorridos em 6 horas, precisamos</p><p>somar os quilômetros percorridos em cada hora.</p><p>A partir dos valores informados, é possível notar que a sequência indicada é</p><p>uma PA, pois a cada hora ocorre uma redução de 2 quilômetros (13-15 = - 2).</p><p>Portanto, podemos usar a fórmula da soma de uma PA para encontrar o valor</p><p>pedido, ou seja:</p><p>Sabemos que o primeiro termo da PA é 15, que sua razão é igual a - 2 e que o</p><p>número de termos é igual a 6. Assim, para calcular a soma de todos os</p><p>termos, falta apenas encontrar o valor de a6que encontramos fazendo:</p><p>a6 = a1+(n - 1).r = 15 + (6 - 1) . (- 2) = 15 + (-10) = 5</p><p>Agora que conhecemos o valor de a6, basta substituir todos os valores na</p><p>fórmula da soma para encontrar o seu valor:</p><p>Assim, ao final de 6 horas, o ciclista percorreu 60 km.</p>