PDF_01-08-23 - AP MATEMATICA - PROF CAUCAIA - AIRLES

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SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 
 
DEFINIÇÃO: É o conjunto de medidas que tem por base o metro. 
 
UNIDADES DE COMPRIMENTO, CAPACIDADE E MASSA 
 
MÚLTIPLOS 
UNIDADE 
PRINCIPAL 
SUBMÚLTIPLOS 
km hm dam m dm cm mm 
kl hl dal l dl cl ml 
kg hg dag g dg cg mg 
 
Para passarmos de uma unidade qualquer para a outra imediatamente INFERIOR, deslocamos a vírgula da ESQUERDA para a 
DIREITA; 
 
Para passarmos de uma unidade qualquer para a outra imediatamente SUPERIOR, deslocamos a vírgula da DIREITA para a 
ESQUERDA. 
 
A relação nas medidas de COMPRIMENTO, CAPACIDADE e MASSA são decimais. As mudanças de unidades são feitas deslocan-
do-se a vírgula de UMA em UMA casa; 
 
EXEMPLO 
Calcular o somatório 6,12 km + 6,4 dm + 0,52 hm em metros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADES DE ÁREA (SUPERFÍCIE) 
 
MÚLTIPLOS UNIDADE PRINCIPAL SUBMÚLTIPLOS 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
 
Para passarmos de uma unidade qualquer para a outra imediatamente INFERIOR, deslocamos a vírgula da ESQUERDA para a 
DIREITA; 
 
Para passarmos de uma unidade qualquer para a outra imediatamente SUPERIOR, deslocamos a vírgula da DIREITA para a 
ESQUERDA. 
 
A relação nas medidas de SUPERFÍCIE é CENTESIMAL. As mudanças de unidades são feitas deslocando-se a vírgula de DUAS 
em DUAS casas; 
 
 
EXEMPLO 
Um terreno é formado por três lotes. Cada um deles tem áreas medindo 0,03 km2, 0,58hm2 e 6,4 dam2 
Calcule valor total da área desse terreno em metros quadrados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADES DE ÁREA (SUPERFÍCIE) 
 
MÚLTIPLOS UNIDADE PRINCIPAL SUBMÚLTIPLOS 
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 
 
Para passarmos de uma unidade qualquer para a outra imediatamente INFERIOR, deslocamos a vírgula da ESQUERDA para a 
DIREITA; 
 
Para passarmos de uma unidade qualquer para a outra imediatamente SUPERIOR, deslocamos a vírgula da DIREITA para a 
ESQUERDA. 
 
A relação de VOLUME é MILESIMAL. As mudanças de unidades são feitas de TRÊS em TRÊS casas. 
 
ATENÇÃO! 
Em todos os casos, se o número de algarismos for inferior ao necessário para deslocamento da vírgula, completam-
se com zeros as ordens que faltam. 
 
EXEMPLO 
Transforme 7500 dm3 para metro cúbico 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES ENTRE UNIDADES DE VOLUME E CAPACIDADE 
 
1m3 = 1000 litros 
1 dm3 = 1 litro 
1 cm3 = 1 ml 
 
CASO ESPECIAL DA ÁGUA 
 
Para a água pura, vale a seguinte correspondência: 
 
1 LITRO de água pesa 1 KG 
 
 
 
EXEMPLO 
Uma caixa d´água está sendo construída para ter uma capacidade total de 50m3 de volume. Depois de construída 
quantos quilogramas essa caixa d´água deverá suportar? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
01.(UEM) João comprou 1 kg de bombons e deu 6 bombons a cada filho, restando 2 bombons. Se cada bombom pesa 
20 g, quantos filhos João tem? 
 
A) 6 
B) 8 
C) 4 
D) 2 
E) 12 
 
02.(IPEFAE) Um mapa do estado de São Paulo, foi feito em escala 1 : 900 000. A distância entre duas cidades no mapa 
é de 13,8 cm. Quantos quilômetros é a distância entre essas cidades? 
 
A) 12420 km 
B) 1242 km 
C) 124,2 km 
D) 12,42 km 
 
03.(INSTITUTO EXCELÊNCIA) As unidades de medidas são utilizadas de diferentes formas a depender de região, país e 
cultura para expressar grandezas. Ao longo da história da humanidade as unidades de medida eram criadas e adap-
tadas de acordo com a necessidade dos povos, e atualmente foram padronizadas pelo sistema internacional de me-
didas. Considerando os múltiplos e submúltiplos do metro, assinale a alternativa cuja conversão de 7 Km em rela-
ção à unidade esteja CORRETA: 
 
A) 0,7 dm 
B) 70 cm 
C) 700 dam 
D) 70000 hm 
 
04.(FAUEL) Uma fazenda de azeitonas produziu um volume de 3.500 litros de azeite de oliva, que devem ser acondicio-
nados em frascos de volume igual a 50 cm³ cada um; então, qual será o número de frascos de azeite produzidos? 
 
A) 7.000 
B) 700 
C) 70.000 
D) 70 
 
05.(PREF. RIO) Admita que um terreno de 0,12 km² seja dividido em três partes iguais. A medida, em m², de uma des-
sas partes é igual a: 
 
A) 40.000 
B) 4.000 
C) 400 
D) 0,4 
 
 
06.(CETREDE) Por quanto consigo vender uma barra de ouro que tem 1,35 kg, sabendo que o grama do ouro custa R$ 
13,25? 
 
A) R$ 14.062,50 
B) R$ 13.525,00 
C) R$ 13 875,25 
D) R$ 14.325,50 
E) R$ 17.887,50 
 
07.(CETREDE) Pedrinho quer medir a distância entre sua casa e a do seu melhor amigo. Para isso, ele mediu o compri-
mento de seu passo, obtendo 60 centímetros. Em seguida, observou que, para ir até a casa do seu melhor amigo, ele 
deveria dar 3.000 passos. Considerando iguais todos os passos do Pedrinho, a distância entre a dele e a casa do seu 
melhor amigo é: 
 
A) 1,8 km 
B) 1 km 
C) 3,0 km 
D) 2,7 km 
E) 1,3 km 
 
08.(VUNESP) Em uma escritura, consta que a área de um terreno é de 250000 m². Essa área, em km², corresponde a: 
 
A) 2500 
B) 250 
C) 25 
D) 2,5 
E) 0,25 
 
09.(COMPERVE) Uma criança desenvolveu uma infecção cujo tratamento deve ser feito com antibióticos. O antibiótico 
utilizado no tratamento tem recomendação diária de 1,5 mg por um quilograma de massa corpórea, devendo ser 
administrado três vezes ao dia, em doses iguais. Se a criança tem massa equivalente a 12 kg, cada dose adminis-
trada deve ser de: 
 
A) 7,5 mg 
B) 9,0 mg 
C) 4,5 mg 
D) 6,0 mg 
 
10.(INAZ – PA) João mediu cinco pedaços de fio para seu pai e anotou os valores obtidos em um papel conforme a 
figura representada a seguir. Determine qual a medida do maior fio medido por João. 
 
0,15 m 167 mm 0,12 dm 0,002 dam 19 cm 
 
A) 0,15m 
B) 167mm 
C) 0,12 dm 
D) 0,002 dam 
E) 19 cm 
 
01 02 03 04 05 
B C C C C 
06 07 08 09 10 
E A E D E 
 
 
 
 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS 
 
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
 
 
Conjunto dos Números Naturais Não-Nulos 
 
N* = N – {0} = {0, 1, 2, 3, 4,...} 
 
 
Conjunto dos Números Inteiros 
 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} 
 
 
Conjunto dos Números Inteiros Não-Nulos 
 
Z* = Z – {0} = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...} 
 
 
Conjunto dos Números Inteiros Não-Negativos 
 
Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} 
 
 
Conjunto dos Números Inteiros Não-Positivos 
 
Z_ = {..., –3, –2, –1, 0} 
 
 
Conjunto dos Números Inteiros Positivos 
 
Z+* = Z+ – {0} = {1, 2, 3, ...} 
 
 
Conjunto dos Números Inteiros Negativos 
 
Z_* = Z_ – {0} = {..., –3, –2, –1} 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 
 
 
Propriedades 
 
▪ Todo número que pode ser escrito na forma de fração é um número racional. 
▪ Todo número inteiro é um número racional. 
▪ Todo número decimal exato é um número racional. 
▪ Toda dízima periódica, seja ela simples ou composta, é um número racional. 
 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS 
 
Formado pelas dízimas não periódicas e raízes inexatas. 
 
▪ 
▪ e = 2,71828... 
▪ π = 3,14159... 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 
 
 
 
 
RESUMO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 
 
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
Diferença de conjuntos 
 
Dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto diferença ou diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos 
de A que não pertencem a B. O conjunto diferença é representado por A – B. 
 
Exemplo: 
 
Sejam os conjuntos A = {1,2,3,4,5} e B = {4,5,6,7,8}. 
 
A – B = {1,2,3} e B – A = {6,7,8} 
 
 
Intersecção 
 
Os elementos que fazem parte do conjunto interseção são os elementos comuns aos conjuntos relacionados. 
 
Exemplo: 
 
Sejam os conjuntos A = {1,2,3,4,5} e B = {4,5,6,7,8}. 
 
A ∩ B = {4,5} 
...4142,12 =
QQR =
 
 
União 
 
Conjunto união são todos os elementos dos conjuntos relacionados. 
 
Exemplo: 
 
Sejam os conjuntos A = {1,2,3,4,5} e B = {4,5,6,7,8}. 
 
A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7,8} 
 
 
Relação de pertinência 
 
A relação entre um elemento e um conjunto é denominado de relação de pertinência. 
 
Exemplo: 
 
Seja o conjunto A = {1,3,5,7,9,11} 
 
9 ∈ A (9 pertence a A) 
 
10 ∉ A (10 não pertence a A) 
 
 
Relação de inclusão 
 
A relação entre conjuntos é denominado relação de inclusão. 
 
Essa relação é indicada pelos seguintes símbolos: 
 
⊂ → lê-se: está contido ⊃ → lê-se:contém ⊄ → lê-se: não está contido ⊅ → lê-se: não contém 
 
Exemplos: 
 
N ⊂ Z (O conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos inteiros). 
 
Q ⊄ I (O conjunto dos números racionais não está contido no conjunto dos números irracionais). 
 
R ⊃ Q (O conjunto dos números reais contém o conjunto dos números racionais). 
 
Z ⊅ I (O conjunto dos números inteiros não contém o conjunto dos números irracionais). 
 
 
 
 
n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B) 
 
 
Subconjuntos 
 
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se todo elemento de A é também elemento de B. 
 
Em outras palavras, podemos dizer que um certo conjunto A é subconjunto de um conjunto B, se todos os elementos 
que pertencem à A, também pertencerem ao conjunto B. 
 
Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 7}, B = {5, 7}, e C = {3, 7, 9}. 
 
 
B é um subconjunto do conjunto A. Observem que todos os elementos do conjunto B também pertencem ao conjunto 
A. 
 
C não é subconjunto do conjunto A, pois nem todos elementos de C pertencem a A. 
 
Número de subconjuntos = 2número de elementos conjunto 
 
Exemplo: 
 
Seja o conjunto A = {2,4,6}. Nº sub. = 23 = 8 subconjuntos. 
 
{ } : Subconjunto de todos os conjuntos. 
 
{2} , {4} , {6} : Subconjuntos com 1 elemento. 
 
{2,4} , {2,6} , {4,6} : Subconjuntos com 2 elementos. 
 
{2,4,6} : Subconjuntos com 3 elementos. 
 
Diagrama de Venn 
 
 
 
 
Basicamente nesse tipo de problemas fazemos: 
 
 
• Iniciamos pela intersecção. 
 
 
• Separamos as 4 partes. 
 
 
• Somamos as 4 partes e igualamos ao total. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
01.(ITAME) Das 84 crianças de uma região, verificou-se que 68 receberam a vacina BCG, 50 receberam vacina Pen-
ta/DTP e 12 não foram vacinadas. A quantidade de crianças que receberam as duas vacinas foi igual à: 
 
A) 46 
B) 48 
C) 50 
D) 60 
 
02.(IMA) Temos os conjuntos A = {2, 4, 7, 10}, B = {2, 7, 12} e C = {4, 7, 10}, qual o conjunto formado em (A – B) ∩ (B – 
C)? 
 
A) {4, 10, 12} 
B) { } 
C) {7} 
D) {4, 7} 
 
03.(AIRLES) O conjunto A possui 30 elementos; o conjunto A  B possui 12 elementos; o conjunto A  B possui 50 
elementos. O número de elementos do conjunto B é: 
 
A) 28 
B) 32 
C) 40 
D) 48 
E) 52 
 
04.(AOCP) Dos 50 alunos de uma turma, 15 foram reprovados em Língua Portuguesa, 12 em Biologia e 10 foram repro-
vados nas duas disciplinas. Quantos alunos não foram reprovados em nenhuma dessas disciplinas? 
 
A) 29 
B) 30 
C) 33 
D) 35 
E) 37 
 
05.(FAFIPA) Considerando os conjuntos A = {1,4,5,7,8,9,10,13,15,17} e B = {3,4,5,8,10,11,12,14}, assinale a alternativa 
CORRETA: 
 
A) A diferença entre o conjunto A e o conjunto B é o conjunto {1,4,5,6,7}. 
B) A diferença entre o conjunto B e o conjunto A é o conjunto {3,11,12,14}. 
C) O conjunto A é igual ao conjunto B. 
D) A interseção entre o conjunto A e o conjunto B é o conjunto {4,5,8,10,13}. 
 
06.(FGV) Dois conjuntos A e B têm exatamente a mesma quantidade de elementos. A união deles tem 2015 elementos 
e a interseção deles tem 1515 elementos. O número de elementos do conjunto A é: 
 
A) 250 
B) 500 
C) 1015 
D) 1765 
E) 1845 
 
 
 
 
 
07.(FGV) Em certo concurso, inscreveram-se 80 candidatos. Sabe-se que, desses candidatos, 50 são baianos, 22 pos-
suem curso superior e 26 são de outros estados e não possuem curso superior. O número de candidatos baianos 
com curso superior é: 
 
A) 16 
B) 18 
C) 20 
D) 22 
E) 24 
 
08.(AOCP) Sendo o conjunto dos números naturais, o conjunto dos números inteiros, o conjunto dos números 
racionais e  o conjunto dos números irracionais, é correto afirmar que: 
 
A) 3 8 
B) 4 32 
C) 3 27 
D) 6 729 
E) 3 64 
 
09.(CPCON) Sabendo que A= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, B = {1, 3, 5, 7, 9} e C = {6, 7, 8, 9, 10}, qual alternativa abaixo 
representa o conjunto ((A - B) ∩ C) ∪ B? 
 
A) A - {0, 2, 4} 
B) A 
C) B 
D) B ∪ {8, 10} 
E) C 
 
10.(CETREDE) Qual é a alternativa que apresenta um número irracional? 
 
A) 49 
B) 625 
C) 961 
D) 3 36 
E) 5 20 
 
01 02 03 04 05 
A B B C B 
06 07 08 09 10 
D B D A E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIVISIBILIDADE 
 
RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA DIVISÃO 
 
DIVIDENDO = (DIVISOR X QUOCIENTE) + RESTO 
 
EXEMPLO: 39 8 
 (7) 4 
Dividendo = 39 
Divisor = 8 
Quociente = 4 
Resto = 7 
 
Logo: 39 = 8  4 + 7 
 
MAIOR RESTO POSSÍVEL DE 
UMA DIVISÃO NÃO EXATA (MRP) 
 
MRP = DIVISOR – 1 
 
EXEMPLO 
Em uma divisão não exata, o quociente é 8, o divisor é 14 e o resto o maior possível. Portanto, o dividendo é: 
a)125 
b) 300 
c) 320 
d) 360 
e) 112 
 
REGRAS DE DIVISIBILIDADE 
 
DIVISIBILIDADE POR 2 
 
Dizemos que um número é divisível por 2 quando o algarismo final das unidades desse número é 0, 2, 4, 6, 8. Tais nú-
meros chamam-se pares. 
 
Exemplos: 
 
20, 72, 64, 96, 38. 
 
DIVISIBILIDADE POR 3 
 
Dizemos que um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é múltiplo de 3, ou 
seja, quando a soma dos valores absolutos for dividida por 3, teremos uma resposta exata. 
 
Exemplos: 
 
243 (2 + 4 + 3 = 9  9 ÷ 3 = 3) 
723 (7 + 2 + 3 = 12  12 ÷ 3 = 4) 
 
 
 
 
DIVISIBILIDADE POR 4 
 
Dizemos que um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos alga-
rismos da direita é divisível por 4. 
 
Exemplos: 
 
2500 
1120 (20 ÷ 4 = 5) 
324 (24 ÷ 4 = 6) 
 
DIVISIBILIDADE POR 5 
 
Dizemos que um número é divisível por 5 quando o algarismo final desse número é 0 ou 5. 
 
Exemplos: 
 
1000, 25, 8750, 3645 
 
DIVISIBILIDADE POR 6 
 
Dizemos que um número é divisível por 6 quando ele é divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo. 
 
Exemplos: 
 
216 (é divisível por 2 e por 3) 
492 (é divisível por 2 e por 3) 
 
DIVISIBILIDADE POR 7 
 
Dizemos que um número é divisível por 7 quando a diferença entre as suas dezenas e o dobro do valor de seu algaris-
mo das unidades é divisível por 7. 
 
Exemplos: 
 
819 temos 81 dezenas e 9 unidades 
Daí fazendo o teste, temos: 
81 – 2 x 9 = 81 – 18 = 63 é divisível por 7 
Portanto 819 também é divisível por 7 
 
DIVISIBILIDADE POR 8 
 
Dizemos que um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismos formarem um número divisível por 8 ou 
terminarem em 000. 
 
Exemplos: 
 
1864 temos os últimos três algarismos 864 
Fazendo 864  8 = 108 
Portanto 1864 também é divisível por 8 
 
DIVISIBILIDADE POR 9 
 
Dizemos que um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é múltiplo de 9, ou 
seja, quando a soma dos valores absolutos for dividida por 9, teremos uma resposta exata. 
 
 
 
Exemplos: 
 
243 (2 + 4 + 3 = 9  9 ÷ 9 = 1) 
864 (8 + 6 + 4 = 18  18 ÷ 9 = 2) 
 
DIVISIBILIDADE POR 10 
 
Dizemos que um número é divisível por 10 quando o algarismo final desse número é 0 (zero). 
 
Exemplos: 
 
50, 800, 6870 
 
DIVISIBILIDADE POR 11 
 
Dizemos que um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos valores absolutos dos algarismos de 
ordem ímpar (a partir das unidades) e a soma dos valores absolutos algarismos de ordem par é um múltiplo de 11. 
 
Exemplos: 
 
23859 
Algarismos de ordem ímpar a partir das unidades: 
9, 8, 2 → 9 + 8 + 2 = 19 
 
Algarismos de ordem par: 
 
5, 3 → 5 + 3 = 8 
 
Diferença entre as duas: 
 
19 – 8 = 11 (múltiplo de 11), portanto divisível por 11 
 
DIVISIBILIDADE POR 13 
 
Dizemos que um número é divisível por 13 quando a soma entre as suas dezenas e o quádruplo do valor de seu alga-
rismo das unidades é divisível por 13. 
 
Exemplos: 
 
351 temos 35 dezenas e 1 unidade 
Daí fazendo o teste, temos: 
35 + 4 x 1 = 35 + 4 = 39 é divisível por 13 
Portanto 351 também é divisível por 13 
 
DIVISIBILIDADE POR 12 
 
Dizemos que um número é divisível por 12 quando ele for divisível por 3 e 4 ao mesmo tempo. 
 
Exemplos: 
 
9468, 5472 
 
DIVISIBILIDADE POR 14 
 
Dizemos que um número é divisível por 14 quando ele for divisível por 2 e 7 ao mesmo tempo. 
 
 
 
DIVISIBILIDADE POR 15 
 
Dizemos que um número é divisível por 15 quando ele for divisível por 3 e 5 ao mesmo tempo. 
 
DIVISIBILIDADE POR18 
 
Dizemos que um número é divisível por 18 quando ele for divisível por 3 e 6 ao mesmo tempo. 
 
DIVISIBILIDADE POR 21 
 
Dizemos que um número é divisível por 21 quando ele for divisível por 3 e 7 ao mesmo tempo. 
 
DIVISIBILIDADE POR 24 
 
Dizemos que um número é divisível por 24 quando ele for divisível por 3 e 8 ao mesmo tempo. 
 
DIVISIBILIDADE POR 45 
 
Dizemos que um número é divisível por 45 quando ele for divisível por 5 e 9 ao mesmo tempo. 
 
 
EXEMPLO 
Um número N é formado por dois algarismos a e b tais que a + b = 7. Se N – 1 é divisível por 7, então N + 1 é divisível 
por: 
 
a) 11 
b) 7 
c) 3 
d) 13 
e) 5 
 
MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO 
 
Múltiplo de um número inteiro é o produto deste número por um inteiro qualquer 
 
Exemplos: 
 
M(2)= {0,  2,  4,  6,  8, ...} 
 
Observações: 
 
* Qualquer número inteiro é múltiplo de 1 
* Somente o próprio zero é múltiplo de zero 
M(0) = {0} 
* O zero é múltiplo de todos os inteiros (múltiplo universal) 
 
NÚMEROS PRIMOS 
 
Dizemos que um número inteiro é primo, quando ele tem exatamente dois divisores positivos. 
 
p é primo  D+(p) = {1, |p|} 
 
Exemplo: 
 
O número 19 é primo, pois tem exatamente dois divisores positivos, que são 1 e 19. 
 
 
NÚMEROS COMPOSTOS 
 
Dizemos que um número inteiro é composto, quando ele tem mais que dois divisores positivos. 
 
DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS 
 
Todo número composto pode ser expresso com um produto de dois ou mais fatores primos. 
 
EXEMPLO: 
 
18 2 
9 3 
3 3 
1 
 
A decomposição do número 18 é 2 x 32 
 
EXEMPLO 
A soma dos fatores primos distintos do número  61,26 10 é: 
 
a) 11 
b) 13 
c) 15 
d) 17 
e) 19 
 
DIVISORES DE UM NÚMERO 
 
Divisor de um número a é qualquer inteiro d tal que a =d x n por algum inteiro n. 
 
* Quando d é divisor de um número n diz-se n divisível por d. 
* O menor divisor positivo de um inteiro n qualquer é o número 1. 
* O maior divisor de um número inteiro n (n  0) é |n| 
* O número 1 é divisor de todos os números inteiros (divisor universal) 
* O zero não pode ser divisor de nenhum número inteiro. 
 
O conjunto de divisores de um número pode ser reconhecido examinando sua fatoração. Veja: 
 
 1 
18 2 2 
9 3 3, 6 
3 3 9, 18 
1 
 
D(18) = {1, 2, 3, 6, 18} 
 
 
EXEMPLO 
Sejam n1, n2, n3, n4, n5 e n6 os números naturais divisores de 28. A soma 
1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1
n n n n n n
+ + + + + é igual a: 
a) 1 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
 
 
TOTAL DE DIVISORES DE UM NÚMERO COMPOSTO 
 
Se a decomposição em fatores primos de um número composto N é: 
 
N = p a x q b x r c x ... x t n 
 
Então o número de divisores naturais de N é: 
 
(a + 1) x (b + 1) x (c + 1) x ... x (n + 1) 
 
EXEMPLO: 
 
Decompondo o número 12 em fatores primos temos: 
 
12 = 2 2 x 3 1 
 
Logo o número de divisores é igual a: 
 
(2 + 1) x (1 + 1) = 3 x 2 = 6 
 
EXEMPLO 
Determine o valor inteiro positivo M de modo que o número  M9 10 admita 48 divisores naturais distintos: 
 
a) 16 
b) 4 
c) 3 
d) 5 
e) 12 
 
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) 
 
É o maior de todos os divisores comuns de dois ou mais números, diferentes de zero 
 
Existem dois processos para se determinar o M.D.C. de dois ou mais números, que são: 
 
(a) Processo das divisões sucessivas; 
(b) Processo da decomposição de fatores primos; 
 
Para resolução das questões aqui propostas, utilizaremos apenas o processo da decomposição em fatores primos 
 
PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS 
 
(a) Decompõe-se cada número dado em seus fatores primos; 
(b) O M.D.C. será igual ao produto dos fatores primos comuns elevados aos menores expoentes que entram na 
composição dos números 
 
Exemplo: 
 
A = 22 3 5  e B = 3 22 3 5 7   
 
M.D.C. (A, B) = 22 3 5  
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
Sabe-se que o M.D.C. dos números A= 3 42 3 5x   ; 
B = 3 22 3 5y  e C = 4 42 3 5z  é igual a 180. Nessas condições x + y + z é igual a: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) 
 
Chamamos de mínimo múltiplo comum de dois ou mais números como sendo o menor números, diferente de zero, que 
seja, ao mesmo tempo divisível por todos esses números. 
 
CÁLCULO DO M.M.C. 
 
(a) Decompõe-se cada número em seus fatores primos; 
(b) Multiplicam-se todos os fatores primos comuns e não comuns elevados aos seus maiores expoentes 
 
Exemplo: 
A = 22 3 5  e B = 3 22 3 5 7   
M.M.C. (A, B) = 3 22 3 5 7   
 
RELAÇÃO IMPORTANTE 
M.D.C.(A,B) M.M.C.(A,B) A B =  
 
EXEMPLO 
O M.D.C.(a, b) = 2 e o M.M.C.(a, b) = 30. Sabendo que a soma dos quadrados de a e b é 136, calcule o quadrado da 
soma de a e b: 
a) 196 
b) 60 
c) 136 
d) 256 
 
PROBLEMAS COM MMC E MDC 
 
EXEMPLO 
Numa corrida de automóveis, o primeiro corredor dá a volta completa em 10 segundos; o segundo, em 11 segundos 
e o terceiro em 12 segundos. Quantas voltas terá dado cada um, respectivamente, até o momento em que passarão 
juntos na linha de chegada: 
 
a) 66, 60 e 55 
b) 62, 58 e 54 
c) 60, 55 e 50 
d) 50, 45 e 40 
e) 40, 36 e 32 
 
SUPER DICA! 
Sempre que nos depararmos com problemas envolvendo eventos periódicos, no qual pergunta-se após quanto 
tempo esses mesmos eventos ocorrerão simultaneamente, o problema é de MMC. 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
Um funcionário recebeu 3 lotes de pastas para colocar num arquivo morto. O primeiro lote tinha 240 pastas; o se-
gundo 360; o terceiro 180. Ele deseja repartir os 3 lotes em pacotes contendo a mesma quantidade de pastas e a 
maior quantidade de pastas possível. O número de pacotes que ele fará é: 
a) 6 
b) 10 
c) 13 
d) 15 
e) 18 
 
 
 
01.(VUNESP) Uma unidade escolar recebeu 420 canetas esferográficas e 750 lápis pretos. Para facilitar a guarda e a 
posterior distribuição aos alunos, todos os lápis e todas as canetas foram distribuídos em pacotes com o mesmo 
número de unidades em cada um, sendo esse número o maior possível, de modo que cada pacote contivesse so-
mente canetas ou somente lápis. Nessas condições, o número máximo de pacotes formados foi: 
 
A) 25 
B) 27 
C) 33 
D) 36 
E) 39 
 
02.(VUNESP) Em uma empresa, há 2 caixas; uma delas com 135 lápis preto, e a outra com 160 canetas azuis. Todo 
esse material será dividido em pacotinhos, cada um deles com o mesmo número de objetos e na maior quantidade 
possível, de modo que cada pacotinho não contenha lápis e canetas juntos. O maior número de mesas que podem 
receber um pacotinho de cada tipo é: 
 
A) 35 
B) 32 
C) 30 
D) 27 
E) 25 
 
03.(ITAME) Um médico faz um plantão a cada 24 horas de trabalho e um enfermeiro a cada 36 horas. Hoje, que é do-
mingo, os dois profissionais começaram juntos o plantão às 06 horas, no mesmo hospital. Daqui a quantas horas 
eles voltarão a se encontrar? 
 
A) 72 horas 
B) 82 horas 
C) 88 horas 
D) 92 horas 
 
04.(FUNDATEC) O produto entre o MDC (56,84,140) pelo MMC (6,8,12) é: 
 
A) 962 
B) 672 
C) 568 
D) 412 
E) 256 
 
 
 
 
 
 
 
05.(CETREDE) Determine quantos divisores positivos tem o número 76? 
 
A) 3 
B) 6 
C) 9 
D) 12 
E) 18 
 
06.(AVANÇA SP) Sentindo fortes dores nas costas, José procurou seu médico, que lhe receitou um comprimido de 4 em 
4 horas e outro de 6 em 6 horas. Às 8 horas da manhã, ele tomou os dois remédios. Assinale a alternativa que indica 
a as horas em que José tomará os dois remédios juntos novamente: 
 
A) 12 horas 
B) 14 horas 
C) 18 horas 
D) 20 horas 
E) 22 horas 
 
07.(IBGP) Três pedaços de tecido deverão ser cortados do mesmo tamanho e ter o maior tamanho possível. O primeiro 
tecido possui 150 metros, o segundo 98 metros e o terceiro, 90 metros. Assinale a alternativa que apresenta COR-
RETAMENTE o tamanho em que esses tecidos deverão ser cortados. 
 
A) 1 metro 
B) 2 metros 
C) 3 metros 
D) 5 metros 
 
08.(FUNRIO) Se numa divisão o divisor é 25, o quociente é 17 e o resto é o maior possível, o dividendo é igual a: 
 
A) 409 
B) 419 
C) 429 
D) 439 
E) 449 
 
09.(CONSULPAM) No número 372n19, qual é o algarismo que substitui n para que ele seja divisível por 9? 
 
A) 8 
B) 7 
C) 6 
D) 5 
 
10.(FGV) O número de divisores inteiros positivos de 600é: 
 
A) 21 
B) 22 
C) 23 
D) 24 
E) 25 
 
01 02 03 04 05 
E D A B B 
06 07 08 09 10 
D B E C D 
 
 
 
 
NÚMEROS RACIONAIS (Q) 
DEFINIÇÃO: São aqueles que podem ser expressos na forma a
b
, onde a e b são inteiros quaisquer, com b diferente de 
zero. 
 
Q ={ x
x
 = a
b
 com a e b  Z com b diferente de 0 } 
Q = RACIONAIS = {..., -2, 3
2
− , -1, 0, 1
2
, 1, 2, ...} 
 
TIPOS DE FRAÇÕES 
 
FRAÇÃO PRÓPRIA 
 
É aquela em que o numerador é menor que o denominador 
 
FRAÇÃO IMPRÓPRIA 
 
É aquela em que o numerador é maior que o denominador 
 
FRAÇÃO APARENTE 
 
É aquela em que o numerador é múltiplo do denominador 
 
DÍZIMAS PERIÓDICAS E FRAÇÃO GERATRIZ 
 
Toda fração pode ser representada por um número decimal. A fração que dá origem a dízima periódica é chamada de 
fração geratriz. 
 
OBTENÇÃO DE UMA FRAÇÃO GERATRIZ ... (g) 
 
DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES 
 
g = 
Período 
Um nove por cada algarismo do período 
 
Exemplos: 
 
0,4444... = 4
9
 
0,515151... = 51
99
 
2,555... = 5 232 0,55... 2
9 9
+ = + = 
 
 
 
 
 
 
DÍZIMA PERIÓDICA COMPOSTA 
g = 
 
Parte não periódica seguida do período 
menos a parte não periódica 
Um nove por algarismo do período seguido 
de tantos zeros quantos são os algarismos 
da parte não periódica 
 
Exemplos: 
0,3454545... = 345-3 342 38 19
990 990 110 55
= = = 
3,257... = 257-253 0,2577... 3
900
+ = + = 
 232 2932 7333
900 900 225
= + = = 
 
EXEMPLO 
Encontre a fração geratriz da dízima 0,454545... 
 
 
 
 
 
 
 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES 
 
COM DENOMINADORES IGUAIS 
 
Conserva-se o denominador, adicionando ou subtraindo os numeradores. 
 
EXEMPLO 
Determine o valor de 1 3 5
2 2 2
+ + 
 
 
 
 
 
 
 
COM DENOMINADORES DIFERENTES 
 
Substituem-se as frações dadas por outras, equivalentes, cujo denominador será o MMC dos denominadores dados. 
 
EXEMPLO 
Determine o valor de 1 3 1
6 4 2
+ − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES 
 
Para multiplicar duas ou mais frações, deve-se: 
 
a) Multiplicar os numeradores, encontrando o novo numerador; 
b) Multiplicar os denominadores, encontrando o novo denominador; 
 
EXEMPLO 
Determine o valor de 2 3 1
5 4 6
  
 
 
 
 
 
 
 
 
DIVISÃO DE FRAÇÕES 
 
Para efetuar uma divisão onde pelo menos um dos números envolvidos é uma fração, devemos multiplicar o primeiro 
número pelo inverso do segundo. 
 
EXEMPLO 
Determine o valor de 1 4
3 5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NÚMERO MISTO 
 
Dados três números inteiros n, a e b, com n ≠ 0 e 
0 < a < b, denomina-se número misto à representação de um número racional escrito sob a forma: 
 
a an n
b b
= + 
 
EXEMPLO 
Transforme 18
2
 em fração imprópria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS ENVOLVENDO FRAÇÕES 
 
Vejamos algumas observações importantes para facilitar a resolução de problemas: 
 
(1) A unidade é o número básico para resolvermos problemas de números fracionários; 
 
(2) Para maior facilidade de cálculos, devemos escrever a unidade como fração aparente, isto é, na qual o numerador seja 
igual ao denominador. Isto depende da situação de cada problema; 
 
EXEMPLO: 
Se você perdeu 1
4
 do que possuía, era porque você possuía 1, mas escreve 4
4
 
 
4 1 3( ) ( ) ( )
4 4 4
possuía perdeu resto− = 
 
(3) Para se saber quanto é uma fração de um número ou de outra fração, multiplica-se a fração pelo número ou pela outra 
fração; 
 
EXEMPLOS: 
 
Quanto é 3
4
 de 20 ? 3 6020 15
4 4
  = = 
 
Quanto é 2
3
 de 4
5
 ? 2 4 8
3 5 15
  = 
 
(4) Quando se tem uma fração que equivale ou corresponde a um número ou uma quantia e se deseja saber o total, multiplica-
se o número ou a quantia pela fração invertida. 
 
EXEMPLO: 
 
2
3
 de um número corresponde a 60. Calcule esse número. 
 
Resposta: 3 18060 90
2 2
 = = 
 
 
EXEMPLO 
Numa certa cidade, 312 são de nacionalidade estrangeira. Sabendo-se que o total de habitantes é 11.760, o número 
de brasileiros nessa cidade é: 
 
a) 8.250 
b) 9.600 
c) 10.780 
d) 8.500 
e) 8.820 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRA: “PROBLEMA DAS TORNEIRAS” 
 
O problema das torneiras é bem típico na operação com números racionais. Para resolver com maior facilidade 
vamos considerar um tanque de capacidade C inicialmente vazio. A primeira torneira consegue encher sozinha em T1. A 
segunda torneira consegue encher também sozinha, o mesmo tanque em T2. Utilizando-se as duas torneiras juntas 
simultaneamente abertas ao mesmo tempo, o tempo para encher o tanque é N. Calculado pela seguinte expressão: 
 
1 2
1 1 1
N T T
= + 
 
OBS: É válido ressaltar que o sinal positivo da fórmula é utilizado para torneiras que estão enchendo o tanque. Caso 
torneiras ou vazamentos esvaziando o tanque, devemos utilizar o sinal negativo. 
 
EXEMPLO 
Uma caixa d'água tem um vazamento que a esvaziaria em 8 horas. A torneira que a abastece pode enchê-la em 6 ho-
ras. Com a torneira aberta, em quanto tempo a caixa d'água ficará cheia? 
 
a) 60 horas 
b) 12 horas 
c) 24 horas 
d) 36 horas 
e) 48 horas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
01.(UFPR) Na figura, a região pintada de preto representa que fração do círculo? 
 
 
 
A) 1/9 
B) 2/9 
C) 1/16 
D) 2/10 
E) 1/20 
 
02.(FAU) Dada as frações 2/3, 1/5, 3/4, 1/2, 4/5 a que representa o maior valor é: 
 
A) 2/3 
B) 1/5 
C) 3/4 
D) 1/2 
E) 4/5 
 
03.(VUNESP) Do número total de questões de uma prova de certo concurso, Isa acertou 5/6 e Ana acertou 3/5. Se Isa 
acertou 14 questões a mais que Ana, então o número de questões que Ana acertou é: 
 
A) 50 
B) 46 
C) 40 
D) 36 
E) 30 
 
04.(FCC) Três torneiras são abertas simultaneamente. A primeira consegue encher o tanque completamente em 2 h. A 
segunda em 4 h. A terceira consegue esvaziar o mesmo tanque completamente cheio em 3 h. O tempo para que o 
tanque fique completamente cheio, é: 
 
A) 1 h e 12 min 
B) 1 h e 24 min 
C) 2 h e 12 min 
D) 2 h e 24 min 
E) 3 h e 12 min 
 
05.(AIRLES) Um pedreiro faz um muro sozinho em 20 dias. Outro pedreiro faz o mesmo muro sozinho em 30 dias. Se 
trabalhassem juntos, levantariam o mesmo muro em quantos dias? 
 
A) 10 dias 
B) 12 dias 
C) 14 dias 
D) 16 dias 
E) 18 dias 
 
 
 
06.(INAZ DO PARÁ) Duas empresas de Pavimentação realizaram em parceria uma obra de pavimentação das estradas 
do município de Castanhal. Em uma dessas obras, uma das empresas pavimentou 2/5 de uma estrada e a outra, os 
45 Km restantes. Em relação à referida estrada, pode-se dizer que a sua extensão é de? 
 
A) 43 km 
B) 75 km 
C) 81 km 
D) 98 km 
 
07.(CESPE) Considere que, das correspondências que um carteiro deveria entregar em determinado dia, 5/8 foram en-
tregues pela manhã, 1/5 à tarde e 14 ficaram para ser entregues no dia seguinte. Nessa situação, a quantidade de 
correspondências entregue pelo carteiro naquele dia foi igual a: 
 
A) 98 
B) 80 
C) 26 
D) 66 
E) 82 
 
08.(FCC) Há duas torneiras independentes em uma banheira, uma com água quente e outra, fria. Se só a torneira de 
água quente está aberta, a banheira enche completamente em 24 minutos. Por outro lado, se apenas a torneira de 
água fria está aberta, a banheira leva 12 minutos para encher completamente. Com ambas as torneiras abertas si-
multaneamente, a banheira enche completamente em: 
 
A) 6 minutos 
B) 14 minutos 
C) 8 minutos 
D) 10 minutos 
E) 18 minutos 
 
09.(GUALIMP) Marque a alternativa que corresponda ao resultado da operação: 
 
 
A) 16/27 
B) 5/3 
C) 4/15 
D) 0,5 
 
10.(FAEPESUL) A Prefeitura do Munícipio vai recuperar a ciclovia que liga dois bairros importantes da cidade e será 
recuperada em três etapas. Na primeira etapa, será recuperado 1/6 da ciclovia e na segunda etapa mais 1/4 desta. 
Uma fração que corresponde à terceira etapa da recuperação é: 
 
A) 12/7 
B) 5/12 
C) 1/5 
D) 7/12 
 
01 02 03 04 05 
E E D D B 
06 07 08 09 10 
B D C A D 
 
 
 
 
DEFINIÇÃO DE PORCENTAGEM 
 
Chamamos de porcentagem a parte de um todo, que dele se retira ou a ele se junta. Também podemos definir porcen-
tagem como sendo qualquer razão cujo denominadoré 100. O seu símbolo é o % (por cento). 
 
10% - lê-se dez por cento 
200% - lê-se duzentos por cento 
 
Observe que, quando dizemos, por exemplo 30% de um certo valor, queremos dizer que em cada 100 partes desse valor, 
tomamos 30 partes 
 
TRANSFORMAÇÃO DE PORCENTAGEM EM FRAÇÃO 
 
Como porcentagem pode ser definida como sendo a razão na qual o denominador é 100, podemos transformar qual-
quer porcentagem em uma fração, onde o numerador da fração é a própria porcentagem e o denominador 100. 
 
EXEMPLOS: 
4 1
4%
100 25
= = 
 
TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÃO EM PORCENTAGEM 
 
Para transformar qualquer fração em porcentagem, basta formar uma proporção na qual, a primeira razão é igual a 
própria fração e a segunda razão é igual a X
100
. Donde X será a porcentagem procurada 
 
EXEMPLOS: 
1 1004 100 1 25%
4 100 4
X X X X= →  =  → = → = 
1 1002 100 1 50%
2 100 2
X X X X= →  =  → = → = 
 
EXEMPLO 
Transformando a fração 3
8
 em taxa percentual, temos: 
a) 37,5% 
b) 42% 
c) 32,5% 
d) 1,25% 
e) 35,7% 
 
TAXA PERCENTUAL 
 
Para determinarmos o percentual de certo valor, devemos tomar este valor e multiplicarmos pela taxa percentual dada. 
 
EXEMPLO 01: 
Determine 20% de 400. 
 
Solução: 20400 20% 400 400 0,20 80
100
 =  =  = 
 
 
Podemos generalizar nosso raciocínio pela seguinte fórmula: 
 
100
iP V=  
 
P = valor do percentual 
 
i = taxa percentual (dada em %) 
 
V = valor (principal) 
 
EXEMPLO 
Trinta por cento da quarta parte de 6.400 é igual a: 
 
a) 480 
b) 640 
c) 240 
d) 160 
e) 120 
 
AUMENTO PERCENTUAL 
 
Para aumentarmos i% de um certo valor, devemos tomar este valor e multiplicá-lo pelo fator (100 + i)%. 
 
Generalizando temos: 
 
(100 )
100
iN V+=  
 
N = novo valor (após o aumento) 
i = taxa percentual de aumento (dada em %) 
V = valor inicial (antes do aumento) 
 
EXEMPLO 
Um aluno do TIRADENTES Vestibulares comprou um livro de Matemática por $47,00. Se esse aluno, depois do vesti-
bular, deseja vender esse livro de modo a obter um lucro de 38%, então ele deve vender por: 
 
a) $61,86 
b) $64,86 
c) $62,80 
d) $65,86 
e) $63,86 
 
DESCONTO PERCENTUAL 
 
Para descontarmos i% de um certo valor, devemos tomar este valor e multiplicá-lo pelo fator (100 − i)%. 
 
Generalizando temos: 
 
(100 )
100
iN V−=  
 
N = novo valor (após o desconto) 
i = taxa percentual de desconto (dada em %) 
V = valor inicial (antes do desconto) 
 
 
EXEMPLO 
Se na compra de um artigo de R$ 3.250,00 foi concedido um desconto de 12,5%, o valor a ser pago pelo comprador 
é: 
 
a) R$ 2.856,50 
b) R$ 2.843,75 
c) R$ 2.840,00 
d) R$ 2.834,25 
e) R$ 2.827,50 
 
AUMENTOS SUCESSIVOS 
 
Para aumentarmos i% de um certo valor e depois j% e depois k%, devemos tomar este valor e multiplicá-lo pelo seguinte 
fator: 
 
(100 + i)  (100 + j)  (100 + k)% 
 
EXEMPLO 
Numa cidade, a passagem de ônibus custava $12,00 em agosto. Em setembro, houve um aumento de 25% e, em ou-
tubro, um reajuste de 20% sobre o preço de setembro. Qual foi o aumento percentual da passagem de outubro em 
relação a agosto? 
 
a) 22,5% 
b) 36,7% 
c) 45% 
d) 50% 
e) 66,7% 
 
DESCONTOS SUCESSIVOS 
 
Para descontarmos i% de um certo valor e depois j% e depois k%, devemos tomar este valor e multiplicá-lo pelo seguinte 
fator: 
 
(100 − i)  (100 − j)  (100 − k)% 
 
EXEMPLO 
Sobre o valor de uma certa compra, foram feitos abatimentos de 10% e 15%. A taxa única que substituirá esses dois 
abatimentos é: 
 
a) 21,5% 
b) 22% 
c) 23,5% 
d) 25% 
e) 25,5% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
01.(FGV) Juliana pagou em um restaurante, pelo seu almoço e pelos 10% de gorjeta para o garçom, o total de R$ 27,50. 
Assinale a opção que indica o valor da gorjeta do garçom. 
 
A) R$ 2,75 
B) R$ 2,70 
C) R$ 2,65 
D) R$ 2,55 
E) R$ 2,50 
 
02.(FUNDATEC) Uma pessoa comprou um produto eletrônico por R$ 84,70 após um aumento de 10% no preço desse 
produto. Nessa situação, qual era o valor desse produto antes do aumento de preço? 
 
A) R$ 67,00 
B) R$ 69,00 
C) R$ 73,00 
D) R$ 75,00 
E) R$ 77,00 
 
03.(IDECAN) Após as vendas natalinas, uma loja entrou em promoção oferecendo um desconto de 40% em qualquer 
produto da loja. Após uma semana de promoção, o gerente resolveu oferecer mais 30% de desconto nos produtos 
que ainda não haviam sido vendidos. Os dois descontos consecutivos equivalem a um desconto único de: 
 
A) 12% 
B) 42% 
C) 58% 
D) 70% 
E) 88% 
 
04.(FGV) O valor de uma ação da Bolsa de Valores desvalorizou 20% em junho e valorizou 20% em julho. Em relação ao 
seu valor no início de junho, assinale a opção que indica, ao final de julho, o valor dessa ação. 
 
A) ficou igual. 
B) valorizou 2%. 
C) desvalorizou 2%. 
D) valorizou 4%. 
E) desvalorizou 4% 
 
05.(QUADRIX) Numa eleição concorreram 3 candidatos e participaram 1800 eleitores. Se o candidato vencedor obteve 
532 votos, o segundo colocado obteve 493, e o terceiro ficou com 325, qual a porcentagem de votos inválidos? 
 
A) 25% 
B) 24% 
C) 20% 
D) 28% 
E) 30% 
 
06.(FEPESE) Em uma empresa, o número de funcionárias mulheres é igual a 75% do número de funcionários homens. 
Se essa empresa tem 2460 homens, então o número total de funcionários da empresa é: 
 
A) Maior que 4300. 
B) Maior que 4200 e menor que 4300. 
C) Maior que 4100 e menor que 4200. 
D) Maior que 4000 e menor que 4100. 
E) Menor que 4000. 
 
 
07.(VUNESP) Um título foi pago com 10% de desconto sobre o valor total. Sabendo-se que o valor pago foi de R$ 
315,00, é correto afirmar que o valor total desse título era de: 
 
A) R$ 345,00 
B) R$ 346,50 
C) R$ 350,00 
D) R$ 358,50 
E) R$ 360,00 
 
08.(FGV) Um fabricante de papel higiênico anuncia: “Leve 16 e pague 15”. O desconto percentual equivalente é: 
 
A) 5,75% 
B) 6,25% 
C) 6,67% 
D) 6,75% 
E) 7,33% 
 
09.(FUNRIO) Uma loja de eletrônicos decidiu realizar dois aumentos consecutivos de 6% e 8% em todas as mercadorias 
da loja, em um intervalo de duas semanas. Baseado nestes valores, estes aumentos correspondem a um único per-
centual de aumento de: 
 
A) 14% 
B) 13,78% 
C) 1,145% 
D) 14,48% 
E) 13,55% 
 
10.(QUADRIX) O preço da gasolina quadruplicou em dez anos. Nesse caso, o aumento de preço no período corresponde 
a um aumento percentual de: 
 
A) 25% 
B) 100% 
C) 200% 
D) 300% 
E) 400% 
 
 
01 02 03 04 05 
E E C E A 
06 07 08 09 10 
A C B D D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEFINIÇÃO DE EQUAÇÃO 
 
É uma sentença aberta, expressa por uma igualdade entre duas expressões algébricas. 
 
EXEMPLOS: 
3x + 5 = 11 32 4x x
x
+ = − 
4x – 1 = 0 2 11
1
x x
x x
−
+ =
−
 
 
Cada uma das letras que aparece em uma equação é chamada de variável ou incógnita. 
 
DEFINIÇÃO DE EQUAÇÃO DO 1º GRAU 
 
É toda sentença na forma ax + b = 0 
 
EXEMPLO: 5x + 6 = 0 → 
5
6
a
b
 =

=
 
 
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 
Na resolução de uma equação, ela sofre sucessivas transformações, mas sempre resultando em equações equivalen-
tes à equação inicial. Estas transformações são baseadas em algumas regras. 
 
REGRA Nº 01 
 
Eliminam-se os denominadores, se houverem. 
 
REGRA Nº 02 
 
Efetuam-se as multiplicações indicadas. 
 
REGRA Nº 03 
 
Transpõe-se para o primeiro membro, todos os termos que contiverem a incógnita, que estiverem no segundo membro. 
 
REGRA Nº 04 
 
Transpõe-se para o segundo membro, todos os termos independentes, que estiverem no segundo membro. 
 
REGRA Nº 05 
 
Reduzem-se os termos semelhantes. 
 
REGRA Nº 06 
 
Divide-se toda a equação, pelo coeficiente da incógnita. 
 
 
 
 
ATENÇÃO! 
Devemos sempre trocar o sinal quando passamos um termo de um membro para outro 
 
 
EXEMPLO 
Resolva a seguinte equação 8x – 5 = 3x + 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
Resolva a seguinte equação 2 2 1
2 3
x x x− = − 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
Resolva a seguinte equação 1 2 8
3 2
x x+ +
+ = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RAIZ DE UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU 
 
Chama-se de raiz da equação o valor que a incógnita x assume para que a equação tenha valor 0 (zero): 
 
0 bax b ax b x
a
−
+ = → = − → = 
 
EXEMPLO 
Ache o valor da raiz daequação 3x – 4 = 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 
Chamamos de sistema de equações, ao conjunto formado por duas ou mais equações. Na resolução de um sistema de 
equações simultâneas do primeiro grau, empregamos os processos da Adição, Substituição e Comparação, os quais pas-
saremos a estudá-los separadamente. 
 
MÉTODO DA ADIÇÃO 
 
a) Multiplicam-se, ambos os membros de uma ou de cada uma das equações, por números, tais que, a incógnita que se 
deseja eliminar tenha, nas duas equações o mesmo coeficiente, porém de sinais contrários; 
b) Somam-se, membro a membro, as duas equações, resultando, assim, uma única equação com uma incógnita; 
c) Resolve-se esta equação, obtendo-se, assim, o valor de uma incógnita; 
d) Substitui-se o valor dessa incógnita em qualquer uma das equações do sistema obtendo-se, assim, o valor de outra 
incógnita e consequentemente, a solução do sistema. 
 
EXEMPLO 
Resolva o seguinte sistema pelo método da adição 
2 11
5
x y
x y
 + =

− =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO 
 
a) Resolve-se uma das equações, em relação à incógnita que se deseja eliminar; 
 
b) Substitui-se, na outra equação, a incógnita pelo seu valor obtido na primeira; 
 
c) Resolve-se a equação resultante dessa substituição; encontrando-se dessa forma, o valor dessa incógnita; 
 
d) Substitui-se o valor dessa incógnita em qualquer uma das equações do sistema obtendo-se, assim, o valor da outra 
incógnita e consequentemente a solução do sistema. 
 
EXEMPLO 
Resolva o seguinte sistema pelo método da substituição 
2 1
2 7
x y
x y
 + =

− =
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODO DA COMPARAÇÃO 
 
a) Resolvem-se as duas equações, em relação à incógnita que se deseja eliminar; 
b) Comparam-se os dois valores desta incógnita e resolve-se a equação resultante, obtendo-se, assim, o valor de uma 
incógnita; 
c) Substitui-se o valor dessa incógnita, em qualquer uma das equações do sistema, obtendo-se o valor de outra incóg-
nita e consequentemente a solução do sistema. 
 
 
EXEMPLO 
Resolva o seguinte sistema pelo método da comparação 
5
1
x y
x y
 + =

− =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
01.(UNIFIL) A soma de três números consecutivos é igual a 1701. O número ímpar dessa soma é igual à: 
 
A) 576 
B) 575 
C) 567 
D) 569 
E) 563 
 
02.(MS CONCURSOS) Num concurso, a nota da avaliação é dada da seguinte forma: para cada questão correta, o aluno 
soma 3 pontos e, para cada questão errada, ele perde 2 pontos. Numa prova com 20 questões, um aluno que obteve 
15 pontos errou quantas questões? 
 
A) 7 
B) 8 
C) 9 
D) 10 
E) 11 
 
03.(VUNESP) A média aritmética simples das idades de Marcelo e de Débora é 45 anos. Se Débora é 6 anos mais nova 
que Marcelo, então Marcelo tem: 
 
A) 48 anos 
B) 49 anos 
C) 50 anos 
D) 51 anos 
E) 52 anos 
 
04.(FCC) Um atirador ganha R$ 10,00 por tiro acertado e perde R$ 15,00 por tiro errado. Se num total de 100 tiros, lu-
crou R$ 250,00, quantos tiros ele errou? 
 
A) 40 
B) 35 
C) 30 
D) 25 
E) 20 
 
05.(QUADRIX) Em um caixa eletrônico, Maria Fernanda sacou R$ 710,00, recebendo apenas cédulas de 20 reais e 50 
reais, num total de 22 cédulas. Em seguida, ela utilizou todas as cédulas de 20 reais que recebeu do caixa, para co-
locar créditos em seu bilhete único. Com esses dados, é possível afirmar que Maria Fernanda pagou pelos créditos 
um total de: 
 
A) R$ 260,00 
B) R$ 240,00 
C) R$ 220,00 
D) R$ 200,00 
 
 
06.(CONSULPAM) Uma turma com 11 pessoas tem a média de suas idades igual a 20 anos. Se retirarmos uma pessoa 
dessa mesma turma que tem 30 anos, a nova média dessa turma será de: 
 
A) 19 anos 
B) 18 anos 
C) 16 anos 
D) 22 anos 
 
07.(VUNESP) Maria é vendedora dos produtos A e B, que são vendidos aos preços unitários de R$ 30,00 e R$ 40,00, 
respectivamente. Certo dia, as vendas realizadas por ela totalizaram R$ 680,00, e ela vendeu, no total, 20 unidades 
desses produtos. O valor correspondente aos produtos A vendidos foi de: 
 
A) R$ 400,00 
B) R$ 390,00 
C) R$ 380,00 
D) R$ 370,00 
E) R$ 360,00 
 
08.(CETREDE) O ingresso de uma peça de teatro custa R$ 2,00 por criança e R$ 5,00 por adulto. Num dia, entraram 57 
pessoas no teatro, e foi obtida a receita total de R$ 222,00. Nesse dia, o valor absoluto da diferença entre o número 
de crianças e adultos que entraram no teatro foi de: 
 
A) 30 
B) 15 
C) 36 
D) 21 
E) 33 
 
09.(CONSULPLAN) Carlos e Renata foram com seu cachorro Jerry ao veterinário. Lá, encontraram uma balança que só 
indicava “pesos” maiores que 60 kg. Se “pesaram”, e obtiveram as seguintes marcas: 
 
• Carlos e Jerry juntos: 87 kg. 
• Carlos e Renata juntos: 123 kg. 
• Renata e Jerry juntos: 66 kg. 
 
Quantos quilogramas pesa o cachorro Jerry? 
 
A) 72 kg 
B) 51 kg 
C) 12 kg 
D) 15 kg 
E) 24 kg 
 
10.(FGV) Interrogado sobre sua idade, respondeu um menino: "Há oito anos eu tinha um quarto da idade que terei daqui 
a um ano". Que idade tem o menino? 
 
A) 10 anos 
B) 9 anos 
C) 8 anos 
D) 11 anos 
E) 12 anos 
01 02 03 04 05 
C C A C A 
06 07 08 09 10 
A E B D D 
 
 
 
 
RAZÃO 
 
A razão entre dois números racionais a e b, com b ≠ 0, é o quociente de a por b. 
 
Indica-se a:b ou 
a
b
 e lê-se: “a está para b” ou “a para b”. Dizemos que a é o antecedente e b o consequente. 
 
EXEMPLO 
Em uma repartição pública, o número de funcionários do sexo masculino equivale a 5
8
 do número total de funcioná-
rios. A razão entre o número de homens e o de mulheres que trabalham nessa Repartição é, nessa ordem: 
 
a) 3
8
 
b) 2
5
 
c) 1
2
 
d) 5
3
 
e) 4
5
 
 
 
PROPORÇÃO 
 
É toda igualdade entre duas razões. Indica-se por a c
b d
= , na qual a, b, c e d ≠ 0 
 
PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES 
 
1. Propriedade fundamental 
 
a c b c a d
b d
= →  =  
 
2. Propriedade da soma dos termos 
 
a c
b d
= → 
a b c d
a c
+ +
= ou 
a b c d
b d
+ +
= 
 
3. Propriedade da diferença dos termos 
 
a c
b d
= → 
a b c d
a c
− −
= ou 
a b c d
b d
− −
= 
 
4. Propriedade da soma dos antecedentes e dos consequentes 
 
a c
b d
= → 
a c a
b d b
+
=
+
 ou 
a c c
b d d
+
=
+
 
 
 
5. Propriedade da diferença dos antecedentes e dos consequentes 
 
a c
b d
= → 
a c a
b d b
−
=
−
 ou 
a c c
b d d
−
=
−
 
 
 
6. Propriedade do produto dos antecedentes e dos consequentes 
 
a c
b d
= → 
2
2
a c a
b d b

=

 ou 
2
2
a c c
b d d

=

 
 
 
EXEMPLO 
A razão entre dois números é de 2
3
. Se o maior deles é igual a 24, então o menor é igual a: 
 
a) 8 
b) 10 
c) 12 
d) 15 
e) 16 
 
 
 
ESCALAS 
 
 
É a razão existente entre o comprimento representado no desenho e o correspondente comprimento real, medidos na 
mesma unidade de comprimento. Então: 
 
dE
D
= 
E = escala 
 
d = comprimento no desenho 
 
D = comprimento real 
 
ATENÇÃO! 
A unidade utilizada nas escalas é o centímetro (cm). 
 
 
EXEMPLO 
Sabendo-se que um navio de 90m de comprimento é representado por uma miniatura de 30 cm de comprimento, a 
escala utilizada é: 
 
a) 1:300 
b) 1:200 
c) 1:400 
d) 1:250 
e) 3:500 
 
 
 
 
NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Duas sucessões de números são diretamente proporcionais quando as razões existentes entre um elemento qualquer 
da primeira e o seu correspondente na segunda sucessão são constantes. 
 
Exemplo: 
 
Digamos que as sucessões a, b, c e x, y, z são diretamente proporcionais, daí temos: 
 
a b c
x y z
= = 
 
 
EXEMPLO 
165 bolas foram distribuídas entre 3 irmãos, cujas idades somadas, totalizam 33 anos. Sabendo-se que a distribui-
ção foi diretamente proporcional à idade de cada um e que o mais moço recebeu 40 bolas e o do meio 50, calcular 
suas idades: 
 
a) 10, 11 e 12 
b) 8, 9 e 16 
c) 8, 10 e 15 
d) 15, 12 e 6 
e) 6, 10 e 17 
 
 
 
 
 
 
 
NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Duas sucessões de números são inversamente proporcionais quando os produtos existentes entre um elemento qual-
quer da primeira e o seu correspondente na segunda sucessão são constantes. 
 
Exemplo: 
 
Digamos que as sucessõesa, b, c e x, y, z são diretamente proporcionais, daí temos: 
 
a x b y c z =  =  
 
EXEMPLO 
Dividir 120 em partes inversamente proporcionais a 1
2
, 1
3
 e 1
5
: 
 
a) 20, 30 e 70 
b) 24, 36 e 60 
c) 10, 25 e 85 
d) 28, 42 e 50 
e) 75, 38 e 7 
 
 
 
 
 
 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
É um processo prático utilizado para resolver problemas que envolvam pares de grandezas direta ou inversamente pro-
porcionais 
 
COMO RESOLVER UMA REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
 Identificamos os termos dados no problema e o termo que é procurado, dispondo as grandezas envolvidas em colu-
nas, de modo que cada coluna contenha as grandezas semelhantes (dias, horas por dia, máquinas, etc.); 
 
 Identificamos se os pares estão nas mesmas unidades ou se é necessário efetuar conversões. Ao lado da coluna 
que contém a incógnita (x), colocamos uma flecha para baixo (por convenção). Esta coluna serve como referência 
para comparação com as demais; 
 
 Identificamos se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais e colocamos as flechas da seguinte forma: 
 
Diretamente proporcional 
 
Colocamos uma flecha no mesmo sentido da coluna da incógnita, ou seja, para baixo. 
 
Inversamente proporcional 
 
Colocamos uma flecha no sentido contrário da coluna da incógnita, ou seja, para cima; 
 
 Utilizamos as propriedades da proporção para achar a solução do problema 
 
 
EXEMPLO 
Uma rua tem 600 m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180 m da rua. Supondo-
se que o ritmo de trabalho continue o mesmo, o número de dias em que o trabalho estará terminado será: 
 
a) 10 dias 
b) 15 dias 
c) 16 dias 
d) 14 dias 
e) 20 dias 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
Com uma velocidade de 75 km/h, um ônibus faz um determinado percurso em 40 minutos. Devido a um pequeno 
congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 minutos. A velocidade do ônibus no percurso de volta 
foi: 
 
a) 75 km/h 
b) 50 km/h 
c) 40 km/h 
d) 35 km/h 
e) 60 Km/h 
 
 
 
 
 
 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
É um processo prático utilizado para resolver problemas que envolvam mais de dois pares de grandezas direta ou in-
versamente proporcionais 
 
COMO RESOLVER UMA REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
 Utilizamos o mesmo processo utilizado na regra de três simples; 
 
 É necessária atenção na identificação das grandezas inversas ou diretas, afim de que se possa montar as propor-
ções de forma correta. 
 
EXEMPLO 
Meia dúzia de datilógrafos preparam 720 páginas em 18 dias. Oito datilógrafos, com a mesma capacidade dos pri-
meiros prepararão 800 páginas em: 
 
a) 10 dias 
b) 20 dias 
c) 30 dias 
d) 25 dias 
e) 15 dias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
01.(INAZ DO PARÁ) Um assistente administrativo verificou que a diferença do número de licenças entre homens e mu-
lheres a serem lançadas no sistema era igual a 6. Se a razão entre o número de licenças de homens está para o nú-
mero de licenças de mulheres, assim como 3 está para 2, então é correto afirmar que: 
 
A) Há 12 licenças de homens 
B) Há 18 licenças de mulheres 
C) Há 20 licenças de homens 
D) Há 26 licenças de mulheres 
E) Há 30 licenças a serem lançadas 
 
02.(FCC) Certa noite, dois técnicos em segurança vistoriaram as 130 salas do edifício de uma Unidade de um Tribunal, 
dividindo essa tarefa em partes inversamente proporcionais às suas respectivas idades: 31 e 34 anos. O número de 
salas vistoriadas pelo mais jovem foi: 
 
A) 68 
B) 66 
C) 64 
D) 62 
E) 60 
 
03.(IFPE) O Homem-Escorpião, o Menino-Vespa e a Garota-Abelha já derrotaram, juntos, 600 vilões na proporção 13, 2 e 
5, respectivamente. Quantos vilões o Homem-Escorpião derrotou a mais que o Menino-Vespa? 
 
A) 240 vilões 
B) 330 vilões 
C) 90 vilões 
D) 360 vilões 
E) 210 vilões 
 
04.(FEPESE) Em uma cidade, a razão entre o número de praias próprias para banho e as impróprias é de 9:6. Se o nú-
mero de praias próprias para banho excede o número de praias impróprias em 15, então o número total de praias 
nessa cidade é: 
 
A) Maior que 100. 
B) Maior que 90 e menor que 100. 
C) Maior que 80 e menor que 90. 
D) Maior que 70 e menor que 80. 
E) Menor que 70. 
 
05.(IFPR) A planta de um terreno retangular foi feita na escala 1:4000, em centímetros. Se o comprimento real deste 
terreno mede 84 metros, então a medida em centímetros deste comprimento representada no mapa será de: 
 
A) 2,4 
B) 2,1 
C) 1,7 
D) 0,7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
06.(FUNDATEC) Cinco mecânicos levaram 27 minutos para consertar um caminhão. Supondo que fossem três mecâni-
cos, com a mesma capacidade e ritmo de trabalho para realizar o mesmo serviço, quantos minutos levariam para 
concluir o conserto desse mesmo caminhão? 
 
A) 20 minutos 
B) 35 minutos 
C) 45 minutos 
D) 50 minutos 
E) 55 minutos 
 
07.(IFMA) O proprietário de uma loja resolveu dividir R$ 50.000,00 em partes diretamente proporcionais aos números 
de vendas por dia de cada um dos três vendedores, Aldo, Bia e Carol. Aldo fez 4 vendas por dia, Bia, 7 e Carol, 9. Qual 
a diferença entre os valores recebidos por Carol e Aldo? 
 
A) R$ 17.500,00 
B) R$ 12.500,00 
C) R$ 10.000,00 
D) R$ 7.500,00 
E) R$ 8.500,00 
 
08.(OBJETIVA) Uma caixa de chocolate contém 36 chocolates. Deseja-se distribuir esses chocolates de maneira inver-
samente proporcional à idade de três irmãos, que possuem 6, 8 e 12 anos. Sendo assim, assinalar a alternativa que 
apresenta a quantidade de chocolates que o irmão de 6 anos recebeu: 
 
A) 18 
B) 16 
C) 12 
D) 8 
 
09.(IFBA) A empresa de bebidas “Beba Mais” possui uma máquina de refrigerantes que, quando opera por 4 horas diá-
rias, consegue engarrafar 9600 litros, num período de 6 dias. Determine em quantas horas diárias esta mesma má-
quina engarrafará 24000 litros, num período de 20 dias, considerando que a máquina tem um mesmo ritmo padrão 
durante estes serviços. 
 
A) 3 
B) 4 
C) 6 
D) 2 
E) 5 
 
10.(IFPE) Estudando 3 horas por dia durante 16 dias, Iago realizou 400 exercícios. Quanto tempo seria necessário para 
que ele realizasse 500 exercícios estudando 4 horas por dia? 
 
A) 18 dias 
B) 16 dias 
C) 20 dias 
D) 12 dias 
E) 15 dias 
 
01 02 03 04 05 
E A B D B 
06 07 08 09 10 
C B B A E 
 
 
 
 
 
DEFINIÇÃO 
 
A equação do 2º grau é toda equação do tipo: ax2 + bx + c = 0, com a  0 
 
EXEMPLO: x2 – 5x + 6 = 0 → 
a 1
b 5
c 6
 =

= −
 =
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
A equação do 2º grau pode se apresentar de duas formas diferentes: 
 
➢ Completa: a equação é dita completa, quando os coeficientes b e c são diferentes de zero: 
 
Exemplo: 5x2 – 8x + 3 = 0 (a = 5; b = –8 ; c = 3) 
 
➢ Incompleta: a equação é dita incompleta, quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0: 
 
EXEMPLOS: 
 
x2 – 81 = 0 (a = 1; b = 0; c = –81) 
 
10x2 + 2x = 0 (a = 10; b = 2; c = 0) 
 
5x2 = 0 (a = 0; b = 0; c = 0) 
 
RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
Como a equação é do 2º grau, então a mesma possui duas raízes. Para encontrarmos as raízes da equação, de-
vemos utilizar a fórmula de Báskara: 
 
bx
2a
−  
= , onde 2b 4ac = − 
 
 
EXEMPLO 
Qual é o número real positivo y que verifica a igualdade 8 yy 1
y
−
+ = ? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISCUSSÃO DAS RAÍZES 
 
Dependendo do valor de  (delta), obteremos três formas de discussão de raízes: 
 
➢ Se  > 0 → teremos raízes reais e distintas 
 
➢ Se  = 0 → teremos raízes reais e iguais 
 
➢ Se  < 0 → não tem raízes reais 
 
EXEMPLO 
Determine o valor de m sabendo que a equação 25x 4x 2m 0− + = tem duas raízes reais e iguais: 
a) 5
2
 
b) 3 
c) 2
5
 
d) 2 
e) 7
2
 
 
 
RELAÇÃO ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES 
 
➢ Soma das raízes: 1 2
bx x
a
−
+ = 
 
➢ Produto das raízes: 1 2
cx x
a
 = 
 
➢ Diferença das raízes: 1 2x x a

− = 
 
EXEMPLO 
Se m e n são raízes de 2x 6x 10 0− + = , então 1 1
m n
+ vale: 
 
a) 6 
b) 2 
c) 1 
d) 3
5
 
e) 1
6
 
 
 
COMPOSIÇÃO DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
A partir das raízes podemos compor a equação do 2º grau pela fórmula: 2x Sx P 0− + = , onde S é a soma dasraízes e P 
o produto das raízes. 
 
 
 
 
EXEMPLO 
Forme a equação do segundo grau que tenha como raízes, –2 e 8: 
a) 28x 2x 10 0+ + = 
b) 2x 6x 16 0− − = 
c) 2x x 2 0− − = 
d) 2x 10x 18 0+ − = 
e) 2x 10x 0+ = 
 
DICA! 
Se a equação 2ax bx c 0+ + = tem as raízes 1x e 2x (iguais ou diferentes entre si), então ela pode ser escrita na 
seguinte forma fatorada; 
 
( ) ( )1 2a x x x x 0 −  − = 
 
 
EQUAÇÕES BIQUADRADAS 
 
Denomina-se equação biquadrada, na incógnita x, toda equação na forma ax4 + bx2 + c = 0, com a  0. 
 
Como as equações biquadradas são do 4º grau, teremos 4 raízes. Para resolver devemos efetuar a mudança de incóg-
nita por uma letra auxiliar. 
 
EXEMPLO 
Determine os valores reais de para o qual a expressão 4 2x 26x 25− + é igual a zero: 
 
a) 1 e 25 
b) 2, -2, 3, -3 
c) 1, -1, 25, -25 
d) 1, -1, 5, -5 
e) 1 e 5 
 
EQUAÇÕES IRRACIONAIS 
 
Toda equação que possui incógnita dentro do radicando é chamada de equação irracional. 
 
Para resolvermos é necessário que elevemos os dois membros da equação a uma potência de expoente conveniente, 
afim de que eliminemos o radical. 
 
Para este tipo de equação é importante que seja feita a verificação dos valores da incógnita em questão, afim de que a 
equação possa existir. 
 
EXEMPLO 
Determine o conjunto solução da equação x 3 5 x− + = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
01.(FAFIPA) O quadrado da idade do meu filho menos a idade que ele tinha 8 anos atrás é igual a 20. Quantos anos ele 
tem agora? 
 
A) 4 anos 
B) 7 anos 
C) 10 anos 
D) 15 anos 
 
02.(AIRLES) Se a equação x² – 5x + 10 = 0, apresenta m e n como raízes, o valor de (m + n)² – 4mn, será: 
 
A) – 15 
B) – 10 
C) 0 
D) 10 
E) 15 
 
03.(CETREDE) As raízes reais da equação 1,5x² + 0,1x = 0,6 são: 
 
A) 3/5 e 1 
B) 3/5 e – 2/3 
C) 3/5 e 2/3 
D) – 4/5 e 2/3 
E) – 6/5 e – 2/5 
 
04.(FUNDATEC) Um agente administrativo procede a conferência de documentos que necessitavam de autenticação 
em cartório. Considerando que o número de documentos conferidos, em uma hora de trabalho, corresponde ao pro-
duto das raízes reais da equação x² – 11x + 28 = 0, esse número é igual a: 
 
A) 11 
B) 13 
C) 18 
D) 24 
E) 28 
 
05.(FUNDATEC) Acerca das raízes da seguinte equação de 2º grau: x² - 3x - 10, é correto afirmar que: 
 
A) As duas raízes têm valores iguais. 
B) Pelo menos uma das raízes é uma fração. 
C) As duas raízes são números negativos. 
D) Uma das raízes pertence aos números naturais, e a outra, aos inteiros. 
E) As duas raízes são números positivos. 
 
06.(ITAME) Sabendo que x = - 8 é raiz da equação x² + 6x - 8k - 8, onde k pertence ao conjunto dos números reais. Então 
podemos afirmar que valor de k que satisfaz a equação será de: 
 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
 
 
 
 
07.(OBJETIVA) Certa loja de eletrodomésticos vende fogões e geladeiras. A quantidade de fogões e geladeiras vendi-
dos em certo mês corresponde às raízes da equação: x² - 62x + 912 = 0. Sabendo-se que foram vendidas mais gela-
deiras do que fogões, ao todo, quantos fogões foram vendidos nesse mês? 
 
A) 20 
B) 24 
C) 30 
D) 38 
 
08.(VUNESP) Considere a equação 8x² + 2x – 3 = 0. A metade da diferença entre a maior e a menor raiz é: 
 
A) 5/8 
B) 1/8 
C) 3/8 
D) - 5/8 
E) - 3/8 
 
09.(FUNDATEC) De uma equação de segundo grau, sabe-se que a soma de suas raízes é igual a - 9 e que o produto de 
suas raízes é igual a 14. Das equações abaixo, assinale a que se enquadra nas informações fornecidas. 
 
A) x² - 9x + 14 
B) x² + 9x + 14 
C) x² + 14x - 9 
D) x² - 14x + 9 
E) 2x² + 4,5x + 7 
 
10.(OBJETIVA) As quantidades de professores de matemática e português em certa escola correspondem às raízes da 
equação: x² - 20x + 96 = 0. Sabe-se que há mais professores de matemática do que de português. Sendo assim, as-
sinalar a alternativa que apresenta a quantidade de professores de matemática dessa escola: 
 
A) 8 
B) 10 
C) 12 
D) 14 
 
01 02 03 04 05 
A A B E D 
06 07 08 09 10 
B B A B C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREAS E PERÍMETROS DE FIGURAS PLANAS 
 
QUADRADO 
 
 
Área: A = l2 
 
Perímetro: 2P = 4l 
 
 
RETÂNGULO 
 
 
Área: A = b  h 
 
Perímetro: 2P = 2h + 2h 
 
 
TRIÂNGULO 
 
 
Área: 
Perímetro: 2P = a + b + c 
 
CÍRCULO 
 
 
 
 
 
 
Área: 
Diâmetro: D = 2r 
Perímetro ou Comprimento: 
 
l
l
b
h
ca
b
h
2
hb
A

=
2rA =
r2C =
 
r 
 
 
VOLUMES DE SÓLIDOS 
 
CUBO 
 
 
Volume: V = a3 
 
PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO 
 
Volume: V = a . b . c 
 
HECTARE 
 
Hectare é uma unidade de medida agrária. É a medida mais usada para o cálculo do tamanho de áreas agrícolas, matas 
e áreas naturais. 
 
A medida é simbolizada por "ha" e corresponde a área de um quadrado de lado 100 m. 
 
1 hectare equivale a 10000 metros quadrados (m²). 
 
 
 
PERÍMETRO 
 
O perímetro é a medida do contorno de uma figura geométrica e pode ser obtido pela soma dos lados de um polígono 
ou, no caso dos círculos, por meio de uma fórmula. 
 
a
a
a
b
a
c
 
 
 
 
01.(FUNDATEC) Considere o cubo representado na figura a seguir: 
 
 
 
Se o perímetro do quadrado ABCD é 20, então o volume do cubo é: 
 
A) 100 
B) 125 
C) 150 
D) 175 
E) 200 
 
02.(CETREDE) Uma caixa d’água tem a capacidade de 6 m³ e está com 2/3 de sua capacidade cheia. Estimando que o 
consumo diário de água seja de 500 litros, quantos dias serão necessários para esvaziar totalmente a caixa d’água? 
 
A) 8 
B) 4 
C) 1 
D) 12 
E) 11 
 
03.(FGV) O mapa de um loteamento foi construído na escala 1:2500. No centro desse loteamento há uma praça que 
aparece no mapa como um retângulo de 3 cm por 4 cm. A área real dessa praça é de: 
 
A) 300 m2 
B) 3000 m2 
C) 750 m2 
D) 7500 m2 
E) 12000 m2 
 
04.(FGV) O piso de uma sala retangular com 6 metros de comprimento e 4 metros de largura será revestido com placas 
quadradas de cerâmica que têm, cada uma, 20 centímetros de lado. Assinale a opção que indica o número de placas 
necessárias para esse revestimento. 
 
A) 120 
B) 240 
C) 300 
D) 400 
E) 600 
 
05.(RBO) Para ladrilhar uma sala quadrada, foram utilizadas exatamente 400 peças de cerâmica cujas medidas das 
arestas são iguais. O perímetro de cada cerâmica é igual a 8,4 decímetros, então, a área da sala, em metros quadra-
dos, é igual a: 
 
A) 12,96 
B) 14,44 
C) 16,00 
D) 16,81 
E) 17,64 
 
 
06.(CETREDE) Estou fazendo uma estrutura que terá o formato de um triângulo retângulo com dois dos seus maiores 
lados medindo 8 m e 10 m. O perímetro dessa estrutura é de quantos metros? 
 
A) 12 
B) 24 
C) 26 
D) 80 
E) 36 
 
07.(CONSULPAM) Sabendo que o perímetro de um triângulo equilátero é 18 cm, a sua área vale: Use √3 = 1,73. 
 
A) 15,57 cm² 
B) 15,65 cm² 
C) 15,76 cm² 
D) 15,84 cm² 
 
08.(FGV) A figura a seguir mostra um salão poligonal ABCDEF, onde os ângulos internos nos vértices A, B, C, D e F são 
retos e as medidas indicadas estão em metros. 
 
 
 
O perímetro e a área desse salão são, respectivamente: 
 
A) 105 m e 44 m2 
B) 44 m e 105 m2 
C) 120 m e 36 m2 
D) 36 m e 120 m2 
E) 120 m e 44 m2 
 
09.(CETREDE) Temos um trapézio com a base menor medindo 6 cm, a base maior medindo 11 cm e altura de 8 cm. 
Qual a área deste trapézio? 
 
A) 264 cm² 
B) 47 cm² 
C) 88 cm² 
D) 68 cm² 
E) 54 cm² 
 
10.(FGV) O comprimento e a largura de um retângulo foram aumentados, cada um deles, em 20%. O perímetro desse 
retângulo aumentou em: 
 
A) 10% 
B) 20% 
C) 21% 
D) 40% 
E) 44% 
 
01 02 03 04 05 
B A D E E 
06 07 08 09 10 
B A B D B 
 
 
 
 
O QUE SÃO POLÍGONOS REGULARES? 
 
A definição de polígono regular está atrelada à definição de polígonos. Os polígonos são formas planas fechadas limi-
tadas por uma cadeia de segmentos de reta. Em linguagem simples, são formas fechadas e com lados retos. 
 
A diferença dos polígonos regulares é que todos seus lados são iguais e os ângulos formados por esses lados também 
são iguais. Dizemosque eles são equiláteros e equiângulos. Esses polígonos regulares podem ser convexos ou estela-
res, mas já já vamos falar mais sobre isso. 
 
 
PROPRIEDADES DOS POLÍGONOS REGULARES 
 
Os polígonos regulares têm propriedades que independem de serem convexos ou estelares. Vamos conhecer algumas: 
 
• Todos os polígonos regulares podem ser girados em torno de um eixo de simetria, e ele ainda será igual; 
• Todo polígono regular pode ser circunscrito por um círculo que toca todos os seus vértices; 
• Todo polígono regular tem um círculo inscrito, ou seja, um círculo que toca os pontos médios de cada lado. 
 
 
O QUE SÃO POLÍGONOS CONVEXOS? 
 
Os polígonos convexos são aqueles em que nenhum lado se intercepta e, além disso, o segmento de reta que liga 
quaisquer dois pontos do polígono sempre está contido dentro dele, como triângulos, quadrados, quadriláteros, pentá-
gonos etc. (faça o teste!) 
 
Agora uma curiosidade: perceba que cada vez que aumentamos o número de lados de um polígono regular convexo, 
cada vez mais ele se parece com um círculo. E sim, podemos pensar no círculo como um polígono regular de infinitos 
lados. Interessante, não é? 
 
 
PROPRIEDADES DOS POLÍGONOS CONVEXOS 
 
Já falamos sobre a primeira propriedade dos polígonos convexos: um segmento de reta que liga dois pontos do polígo-
no está sempre contido nele. Uma outra propriedade bem importante é que todos os ângulos internos de um polígono 
convexo são menores ou iguais a 180º. 
 
 
FÓRMULAS PARA POLÍGONOS REGULARES 
 
Cálculo da soma dos ângulos internos de um polígono regular 
 
Sabendo que a soma dos ângulos de um triângulo é sempre 180º, basta dividirmos o polígono em vários triângulos 
escolhendo um vértice e traçando as diagonais. Teremos n – 2 triângulos formados. Logo, a soma dos ângulos internos 
será: 
 
S = (n – 2) x 180º 
 
 
 
 
 
 
Cálculo dos ângulos de um polígono regular 
 
Como todos os ângulos internos de um polígono regular são iguais, basta calcularmos a soma dos ângulos internos e 
dividir pelo número de ângulos. Como o número de ângulos é igual ao número de lados, temos: 
 
Aî = Si/n Aê = Se/n 
 
 
Cálculo do número de diagonais de um polígono regular 
 
As diagonais são os segmentos de reta que conectam dois vértices não consecutivos do polígono. Portanto, cada vér-
tice de um polígono de n lados tem n – 3 diagonais, já que podem ser ligados a todos os outros vértices, menos aos 
dois consecutivos e a ele próprio. 
 
Temos essa mesma soma para todos os vértices, portanto, o número de diagonais poderia ser dado pelo produto n x (n-
3). Porém, perceba que nessa conta, estamos contando cada diagonal duas vezes, porque contamos a diagonal que sai 
do vértice A até o C e também a que vai do vértice C até o A. Por isso, precisamos dividir por dois, já que só a metade 
deles valerá. 
 
A soma D do número de diagonais de um polígono regular é dada por: 
 
D = n (n – 3)/2 
 
 
 
ÁREA DE UM POLÍGONO REGULAR 
 
No caso dos perímetros regulares, o cálculo geral da área é: o semiperímetro multiplicado pelo apótema. 
 
 
 
 
 
 
01.(IFMA) Qual é o número de diagonais de um polígono regular cuja soma das medidas dos seus ângulos internos é 
1440º? 
 
A) 18 diagonais 
B) 20 diagonais 
C) 35 diagonais 
D) 14 diagonais 
E) 9 diagonais 
 
02.(INSTITUTO EXCELÊNCIA) Observando o polígono abaixo, o valor de x será: 
 
A) 11 
B) 16 
C) 12 
D) Nenhuma das alternativas 
 
03.(CONSULPLAN) A soma dos ângulos internos de um polígono regular é 2.880°. Logo, a medida do ângulo interno 
desse polígono é: 
 
A) 152° 
B) 160° 
C) 174° 
D) 192° 
 
04.(PUC-RJ) Os ângulos internos de um quadrilátero medem 3x – 45, 2x + 10, 2x + 15 e x + 20 graus. O menor ângulo 
mede: 
 
A) 90° 
B) 65° 
C) 45° 
D) 105° 
E) 80° 
 
05.(LEGALLE) Um eneágono regular de lado 8 cm tem o perímetro igual a: 
 
A) 72 cm 
B) 76 cm 
C) 88 cm 
D) 90 cm 
 
 
06.(UECE) Se a soma dos ângulos internos de um polígono regular é 1080°, então, o número de lados dele é: 
 
A) 8 
B) 7 
C) 6 
D) 5 
 
07.(UECE) Se, em um polígono convexo, o número de lados n é um terço do número de diagonais, então o valor de n é: 
 
A) 9 
B) 11 
C) 13 
D) 15 
 
08.(AIRLES) Existe um polígono que possui o número de lados igual ao número de diagonais. O nome desse polígono é: 
 
A) quadrado. 
B) pentágono. 
C) hexágono. 
D) heptágono. 
E) octógono. 
 
09.(FAAP) A medida mais próxima de cada ângulo externo do heptágono regular da moeda de R$ 0,25: 
 
 
 
A) 60° 
B) 45° 
C) 36° 
D) 83° 
E) 51° 
 
10.(MACKENZIE) Os ângulos externos de um polígono regular medem 20°. Então, o número de diagonais desse polígo-
no é: 
 
A) 90 
B) 104 
C) 119 
D) 135 
E) 152 
 
 
01 02 03 04 05 
C C B B A 
06 07 08 09 10 
A A B E D 
 
 
 
 
 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA 
 
Progressão aritmética (P.A.) é toda sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao seu antecedente so-
mado a uma constante chamada razão da progressão. 
 
 
 
 
 
Termo geral 
 
 
 
 
 
Soma dos Termos 
 
A soma dos n primeiros termos de uma P.A. é: 
 
 
 
 
 
 
Propriedades 
 
a) Numa P.A. cada termo é igual à média aritmética entre “seus vizinhos” equidistantes, ou seja: 
 
 
 (... ; a; b; c; d; e; ...)  a e b dc ...
2 2
+ +
= = = 
 
 
Dica de generalização de uma P.A. 
 
Obs.!!! 
 
Quando os problemas tratam de soma ou produto de termos consecutivos de uma P.A. é conveniente usar a notação: 
 
 
➢ (... ; x – r; x; x + r; ...) ,ou seja, trabalhar sempre com termos simétricos. 
 
➢ (x – r, x, x + r) se a P.A. tiver 3 termos. 
 
➢ (x – 3r, x – r, x + r, x + 3r) se a P.A. tiver 4 termos. 
 
➢ (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r) se a P.A. tiver 5 termos. 
 
 
 
 
an = an-1 + r ⇔ an – an-1 = r 
 
an = a1 + (n – 1) r 
(a a ) . nn1S
n 2
+
= 
 
 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
 
Progressão geométrica (P.G.) é toda sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao seu antecedente 
multiplicado por uma constante, chamada razão da progressão. 
 
 
 
 
 
com a n-1  0 
 
Termo geral 
 
 
 
 
 
Soma dos Termos 
 
Soma dos n primeiros termos de uma P.G finita é: 
 
 
 
 
 
 
Soma dos n primeiros termos de uma P.G. infinita e convergente ( – 1 < q < 1 ) 
 
 
 
 
 
Produto dos Termos 
 
Produto dos n primeiros termos de uma P.G finita 
 
 
 
 
 
Propriedades 
 
➢ Numa P.G. cada termo é igual à média geométrica entre “seus vizinhos” equidistantes. 
 
( ... ; a; b; c; d; e; ... )  c a.e b.d ...= = = 
 
Dica de generalização de uma P.G. 
 
➢ 
x ; x; x.q
q
 
  
 
 , PG de três termos 
 
 
 
a n = a1 . q n-1 
a
na a .q qn n-1 a
n-1
=  = 
na q 1 
1
S
n q 1
 
 
 
 −
=
−
 
a 
1S
n 1 q
=
−
 
( )
n
P a an n1
=  
 
 
 
 
 
01.(IUDS) Carlos é professor de matemática e propôs o seguinte problema para seus alunos: “Uma determinada pro-
gressão aritmética de razão igual a 4 começa com o número 12. Qual será o seu 51º termo? 
 
A) 200 
B) 212 
C) 216 
D) 604 
 
02.(CONSULPLAN) Uma progressão geométrica tem razão —2 e o terceiro termo igual a 56. Qual é o valor do quinto 
termo dessa progressão? 
 
A) 112 
B) 224 
C) – 112 
D) – 224 
 
03.(IBFC) Analise a sequência a seguir: 25; 33; 41; 49;... Considerando que essa sequência possui um padrão lógico 
matemático, assinale a alternativa que apresente o sétimo termo desta sequência. 
 
A) 57 
B) 73 
C) 65 
D) 79 
 
04.(FAU) Uma série tem 12 temporadas e foi pensada da seguinte forma, a 1ª temporada vai ter 12 capítulos, a 2ª 11, 3ª 
10 e assim sucessivamente. Assim o total de capítulos desta série é igual a: 
 
A) 64 
B) 78 
C) 82 
D) 84 
E) 96 
 
05.(FUMARC) Se a sequência numérica (-8, X, 22 , Y ,52, W) é uma Progressão Aritmética. Então é CORRETO afirmar que 
o valor da expressão (X.Y) + W é igual a: 
 
A) 165 
B) 259 
C) 326 
D) 436 
 
06.(FEPESE) Se (x – 3, 2x – 14, x + 11) forma uma progressão aritmética, então o valor de x é: 
 
A) Maior que 26. 
B) Maior que 23 e menor que 26. 
C) Maior que20 e menor que 23. 
D) Maior que 17 e menor que 20. 
E) Menor que 17. 
 
 
 
 
 
07.(FADENOR) Considere a P.A (26, 35, 44...). É CORRETO afirmar que o 31.º termo dessa P.A é 
 
A) 297 
B) 296 
C) 269 
D) 286 
E) 268 
 
08.(AVANÇA SP) Seja a PA (a, b, 3), podemos afirmar que o valor 2.b é: 
 
A) 2 
B) 2 + a 
C) 3 + a 
D) 3 
E) 5a 
 
09.(CONSULPAM) Em uma progressão geométrica o primeiro termo vale 4 e o sexto termo vale 128, logo a sua razão 
vale: 
 
A) 6 
B) 4 
C) 3 
D) 2 
 
10.(OBJETIVA) Sabendo-se que o primeiro termo de certa progressão aritmética é igual a 5 e que a sua razão é igual a 
3, assinalar a alternativa que apresenta o sétimo termo dessa progressão: 
 
A) 23 
B) 24 
C) 25 
D) 2 
 
 
 
01 02 03 04 05 
B B B B C 
06 07 08 09 10 
D B C D A 
 
 
 
11.(AIRLES) Uma progressão geométrica tem razão 2 e o primeiro termo igual a 6. Qual é o valor do sexto termo dessa 
progressão? 
 
A) 152 
B) 172 
C) 182 
D) 192 
 
12.(CESGRANRIO) No primeiro dia de agosto, foram registradas 180 reclamações em um órgão de defesa do consumi-
dor. No segundo dia, foram registradas 184 reclamações. Supondo-se que há reclamações todos os dias e que cada 
dia tenha 4 reclamações a mais do que o dia anterior, durante todos os 31 dias do mês de agosto, o total de recla-
mações registradas será igual a: 
 
 
 
 
A) 7.108 
B) 7.440 
C) 7.860 
D) 8.184 
E) 8.880 
 
13.(RBO) Na sequência (3, 7, 11, 15,…) a soma do 25º termo com o 42º termo é: 
 
A) 99 
B) 103 
C) 117 
D) 155 
E) 266 
 
14.(AVANÇA SP) A soma de todos os números de [0;1000] é: 
 
A) 10.000 
B) 100.000 
C) 499.500 
D) 501.500 
E) 500.500 
 
15.(AVANÇA SP) Os honorários de três colaboradores estão, respectivamente, em Progressão Aritmética. Sabendo-se 
que que X recebe R$ 2.100,00 e é a menor remuneração e que Y recebe R$ 5.500,00 e é a maior remuneração. Qual o 
salário de Z que é o colaborador intermediário? 
 
A) R$ 3.400,00 
B) R$ 2.980,00 
C) R$ 3600,00 
D) R$ 2.780,00 
E) R$ 3.800,00 
 
16.(CESPE) O protocolo de determinado tribunal associa, a cada dia, a ordem de chegada dos processos aos termos de 
uma progressão aritmética de razão 2: a cada dia, o primeiro processo que chega recebe o número 3, o segundo, o 
número 5, e assim sucessivamente. Se, em determinado dia, o último processo que chegou ao protocolo recebeu o 
número 69, então, nesse dia, foram protocolados: 
 
A) 23 processos. 
B) 33 processos. 
C) 34 processos. 
D) 66 processos. 
E) 67 processos. 
 
17.(AVANÇA SP) Em uma Progressão Geométrica, a2 = 16 e a4 = 64. Assinale a alternativa que apresenta o valor cor-
respondente a a5: 
 
A) 104 
B) 128 
C) 144 
D) 81 
E) 72 
 
 
 
 
 
 
 
18.(OBJETIVA) Qual o valor da soma dos cinco primeiros termos de certa progressão geométrica, em que o primeiro 
termo é igual a 26, e a razão é igual a 5? 
 
A) 20.306 
B) 19.506 
C) 18.306 
D) 16.250 
E) 15.750 
 
19.(FUMARC) Se a sequência representada por (x-1, x+5, 4x -4, y) é uma Progressão Aritmética, então é CORRETO afir-
mar que o valor de (x + y) é igual a: 
 
A) 14 
B) 16 
C) 22 
D) 27 
 
20.(CONSULPAM) A soma dos 40 primeiros termos da progressão aritmética (2, 5, 8, 11, ...) é: 
 
A) 2 420 
B) 2 426 
C) 2 430 
D) 2 434 
 
 
 
11 12 13 14 15 
D B E E E 
16 17 18 19 20 
C B A D A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO 1º GRAU 
 
Chamamos de função polinomial do 1° grau a função F : IR → IR definida pela fórmula matemática: 
 
 
F(x) = ax + b (com a, b reais e a  0) 
 
 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
 
O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta. Assim, para traçarmos este gráfico basta determinarmos dois dos seus 
pontos. 
 
Por outro lado, podemos dar uma interpretação geométrica aos coeficientes da função do 1º grau para determinar o 
seu gráfico. 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
 F(x) = A x B + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos ainda, definir zero ou raiz de uma função como o valor de x no ponto em que a reta toca o eixo "x". Note que/ 
neste caso temos F(x) = 0, ou seja: 
 
 
X1 é raiz de uma função  
 
 
 
 
 
Coeficiente linear: representa o valor 
da ordenada do ponto em que a reta 
toca o eixo "y". O gráfico da função 
sempre passa pelo ponto (0, B). 
Coeficiente angular: indica a inclinação 
da reta. A = tg , onde  = ângulo for-
mado com o eixo "x". 
• (x1, 0) é o ponto em que o 
gráfico de F toca o eixo x. 
ou 
• F(x1) = 0 
 
 
Na função polinomial do 1º grau, a raiz é dada por: 
 
F(x) = Ax + B = 0  Ax = – B  
 
ESTUDO DE SINAIS 
 
Para fazermos um estudo sobre os sinais que a função assume, devemos: 
 
I. determinar a raiz da função, fazendo F(x) = 0. 
II. esboçar o gráfico da função. 
III. analisar os valores de F(x), ou seja, examinar se é positiva ou negativa a ordenada de cada ponto da curva. 
 
Assim, temos as seguintes possibilidades: 
 
1º caso: Função crescente 
F(x) = Ax + B, com A > 0 
 
 
 









−
−==
−
A
B
x0)x(F
A
B
x0)x(F
A
B
x0)x(F
 
 
 
 
2º caso: Função decrescente 
F(x) = Ax + B, com A < 0 
 
 









−
−==
−
A
B
x0)x(F
A
B
x0)x(F
A
B
x0)x(F
 
 
 
 
A
B
x −=
 
 
Observação: Note que, à direita da raiz, sempre colocamos o mesmo sinal de "A" e que, à esquerda, sempre colocamos 
o sinal contrário de "A". 
 
Sinal oposto de A Mesmo sinal de A 
↑ 
Raiz 
 
 
FUNÇÃO CONSTANTE 
 
Quando temos a = 0, encontramos a função F(x) = b, chamada de função constante, pois a sua imagem é um conjunto 
unitário (lm(F) = {b}). 
 
A representação de uma função constante é dada por: 
 
 
 
ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO 2º GRAU 
 
Definição 
 
Denomina-se função do 2° grau toda função F : IR → IR cuja lei de formação é dada por: 
 
 
F(x) = Ax2 + Bx + C (onde A, B e C  IR e A  0) 
 
 
 
Exemplos de Funções do 2° grau: 
 
a) 2x2 – x + 4 
 C = 4 
 B = – 1 
 A = 2 
 
• 
 
 
b) 
 C = m2 – 1 
 B = – 2m 
 A = 1/3 
 
c) X2 – 15 
 B = 0 
 C = – 15 
 A = 1 
d) 2X2 – 3x 
 C = 0 
 B = – 3 
 A = 2 
 
 
RAÍZES DA FUNÇÃO DO 2º GRAU 
 
Os valores de x para os quais a equação: Ax2 + Bx + C se anula (F(x) = 0) são chamados de zeros ou raízes dessa fun-
ção. Assim: 
 
Ax2 + Bx + C = 0  
 
onde ∆ = B2 – 4AC. 
 
Convém lembrar que: 
 
∆ > 0  2 raízes reais diferentes. 
 
∆ = 0  2 raízes reais iguais. 
 
∆ < 0  2 raízes complexas e conjugadas (não existem raízes reais) 
 
Podemos ainda estabelecer as seguintes relações entre as raízes x1 e x2 de F(x). 
 
 
 
 
ESTUDO DO SINAL DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
O gráfico de uma função polinomial do 2° grau é sempre uma parábola. 
 
1. Concavidade: é determinada pelo sinal de A (coeficiente de x2) 
 
 • A > 0  a concavidade é voltada para cima:  
 • A < 0  a concavidade é voltada para baixo:  
 
 
 
 
1mmx2
3
x 2
2
−+−







+−
=
−−
=
A2
B
x
A2
B
x
2
1
A
B
xx 21 −=+
A
C
xx 21 = |A|
|xx| 21

=−
 
 
2. Raízes: Determinam os pontos em que a parábola toca o eixo "x". 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Coeficiente "C" ou termo independente: Determina o ponto em que a parábola toca o eixo y: 
 
Se Ax2 + Bx + C, 
 
Então a parábola passa pelo ponto (0, C). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Valor do "∆": Como o ∆ indica o número de raízes, concluímos que o seu valor determina o número de pontos em 
que a parábola toca o eixo "x". 
 
∆ > 0  a parábola toca o eixo "x" em 2 pontos distintos. 
 
∆ = 0  a parábola toca o eixo "x" em um único ponto; ficando tangente ao eixo "x". 
 
∆ < 0  a parábola não toca o eixo "x". 
 
COORDENADAS DO VÉRTICE 
Dada a equação Ax2 + Bx + C, lembramos que seu gráfico é uma parábola e, como tal, possui um eixo de simetria que 
passa pelo seu vértice. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
► Note que "XV" é ponto médio entre as raízes X1 e X2. Logo: 
 
 
 
2
XX
X 21V
+
=
• 
 
 
Colocando o valor dasraízes X1 e X2, temos: 
 
 
 
Agora, como em qualquer outro ponto que se conhece o valor de x, para encontrarmos o valor de yv basta-nos substituir 
x por x em F(x). Logo: 
 
 
 
 
 
Resumindo o que acabamos de mostrar, temos: 
 
 XV = ponto médio das raízes 
 ou 
 
 
 
 
 
ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO DO 2º GRAU 
 
Estudar o sinal de uma função do 2° grau é analisar o valor do y em cada ponto do gráfico. Assim, se parte do gráfico 
está acima do eixo do x então a função é positiva e se uma parte do gráfico está abaixo do eixo do x então a função é 
negativa. 
 
Para estudarmos o sinal da função F(x) = Ax2 + Bx + C é necessário que saibamos o valor de "A" e do "∆". 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

−−
+
+−
=
+
=
2
A2
B
A2
B
X
2
XX
X V
21
V
A2
B
X
2
A2
B2
V −=
−

++=




 −
== CBXXAy
A
B
Fy)X(Fy V
2
VvvVv
+
−
+

=+




 −
+




 −
= C
A2
B
A4
BA
yC
A2
B
B
A2
B
Ay
2
2
2
vv
A4
y
A4
AC4B
A4
AC4B2B
y v
222
v
−
=
+−
=
+−
=
2
xx
X 21V
+
=
A2
B
XV
−
=
A4
y)X(Fy vVv
−
==
VÉRTICE 
 
 
 
 
01.(CETREDE) Determine o valor A função f(x) = 5000 + 10x representa o custo de produção de um determinado item, x 
é a quantidade de itens produzidos. Se em um determinado mês a função custo é igual a R$ 22.500,00 a quantidade 
de itens produzidos é de: 
 
A) 1250 
B) 1350 
C) 1450 
D) 1650 
E) 1750 
 
02.(FDC) O preço da corrida de táxi na cidade R é calculado adicionando um valor fixo de R$ 2,50 a R$ 1,30 por cada 
quilômetro rodado, enquanto na cidade S o preço é obtido adicionando um valor fixo de R$ 3,40 a R$ 1,25 por quilô-
metro rodado. A partir de quantos quilômetros rodados, o táxi da cidade R deixa de ser mais barato que o da cidade 
S? 
 
A) 12 km 
B) 14 km 
C) 16 km 
D) 18 km 
E) 20 km 
 
03.(VUNESP) Carlos trabalha como disc-jóquei (DJ) e cobra uma taxa fixa de R$ 100,00, mais R$ 20,00 por hora, para 
animar uma festa. Daniel, na mesma função, cobra uma taxa fixa de R$ 55,00, mais R$ 35,00 por hora. O tempo má-
ximo de duração de uma festa, para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Carlos, é: 
 
A) 6 horas 
B) 5 horas 
C) 4 horas 
D) 3 horas 
E) 2 horas 
 
04.(CETREDE) Sobre a função polinomial f(x) = 2 – 8x, analisar os itens abaixo: 
 
I. O valor de f(x) quando x = 4 é – 30. 
II. O valor real de x quando f(x) = 10 é 1. 
III. O valor real de x quando f(x) = 10 é – 1. 
 
Está(ão) CORRETO(S): 
 
A) Somente o item I. 
B) Somente o item II. 
C) Somente os itens I e III. 
D) Nenhum dos itens. 
E) Todos os itens. 
 
05.(FDC) Considere uma função polinomial do segundo grau definida por f(x) = x² – 4x + 3. O gráfico que representa 
essa função é uma parábola, que possui vértice V (a; b). O valor de (a + b) é igual a: 
 
A) 4 
B) 3 
C) 2 
D) 1 
E) 0 
 
 
06.(CETREDE) Se f é uma função do primeiro grau tal que f(12) = 45 e f(15) = 54, então f(18) é igual a: 
 
A) 60 
B) 61 
C) 62 
D) 63 
E) 65 
 
07.(CONSULPAM) Uma empresa de serviços de assistência técnica em energia elétrica cobra pela visita à residência 
do cliente e pelo tempo necessário para realizar o serviço na residência. O valor fixo cobrado pela visita é de R$ 
50,00 e o valor da hora (h) para realização do serviço é R$ 18,50. Qual é a alternativa que representa uma função que 
indica o valor a ser pago (P) em função das horas (h) necessárias à execução do serviço? 
 
A) P = 50 − 18,50h 
B) P = 50 + 18,50h 
C) P = 18,50 + 50h 
D) P = 18,50 − 50h 
 
08.(IDIB) Um aplicativo de transporte privado utiliza uma função matemática para determinar o valor que deve ser co-
brado por uma corrida realizada. Essa função é determinada por um valor fixo e um valor variável. O valor fixo é de 
R$ 4,50 e o valor variável é de R$ 1,25 por quilômetro rodado. Em uma viagem que custou R$ 27,94, é correto afirmar 
que a quilometragem utilizada pelo aplicativo para calcular o preço final da corrida foi de: 
 
A) 17,64 km. 
B) 18,75 km. 
C) 19,15 km. 
D) 20,25 km. 
E) 20,55 km. 
 
09.(FUNDATEC) O custo de produção de x unidades de um produto em reais é determinado pela função C(x) = 2x² − 
160x + 20000. O custo mínimo ocorre para uma produção de quantas unidades? 
 
A) 10 
B) 18 
C) 20 
D) 40 
E) 50 
 
10.(AMEOSC) Uma bola foi lançada de uma catapulta, conforme indica a figura ao 
lado, fazendo uma trajetória que obedeceu a função f(x) = - x² + 6x. 
 
Quais são as coordenadas do ponto (P) onde esta bola começa a cair? 
 
A) O ponto P possui coordenadas x = 6 e y = -1. 
B) O ponto P possui coordenadas x = 3 e y = 9. 
C) O ponto P possui coordenadas x = -3 e y = -1. 
D) O ponto P possui coordenadas x = 3 e y = 6. 
 
 
 
01 02 03 04 05 
E D E C D 
06 07 08 09 10 
D D B D B